50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Tổng hợp 25 đề luyện thi THPTQG môn Toán chọn lọc, cực hay có đáp án (đề 17)

Câu 1:

Hàm số $f (x) = \{\begin{cases} x^{2} - 1 khi x \leq 1 \\ x + m khi x > 1 \end{cases}$ liên tục tại điểm $x_{0} = 1$ khi m nhận giá trị

A. $m = 1$

B. $m = 2$

C. m bất kì

D. $m = - 1$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $\lim_{x \to 1^{+}} f (x) = \lim_{x \to 1^{+}} (x^{2} - 1) = 0, \lim_{x \to 1^{-}} f (x) = \lim_{x \to 1^{-}} (x + m) = 1 + m, f (1) = 1^{2} - 1 = 0$

để hàm số liên tục tại $x_{0} = 1$ thì $\lim_{x \to 1^{+}} f (x) = \lim_{x \to 1^{-}} f (x) = f (1) \Leftrightarrow 0 = 1 + m \Leftrightarrow m = - 1$

Câu 2:

Tìm tập xác định của hàm số $y = {(- x^{2} + 3 x + 4)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt{2 - x}$

A. $D = (- 1; 2]$

B. $D = [- 1; 2]$

C. $D = (- \infty; 2]$

D. $D = (- 1; 2)$

Xem đáp án

Đáp án A

Điều kiện $\{\begin{cases} - x^{2} + 3 x + 4 > 0 \\ 2 - x \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} - 1 < x < 4 \\ x \leq 2 \end{cases} \Rightarrow$ TXĐ: $D = (- 1; 2]$

Câu 3:

Gọi M, N là giao điểm của đường thẳng $y = x + 1$ và đường cong $y = \frac{2 x + 4}{x - 1} .$ Khi đó hoành độ trung điểm I của đoạn thẳng MN bằng

A. 2

B. -1

C. -2

D. 1

Xem đáp án

Đáp án D

Phương trình hoành độ giao điểm là $\underset{x \to 1^{-}}{\frac{2 x + 4}{x - 1} = x + 1} \Leftrightarrow x^{2} - 2 x - 5 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \pm \sqrt{6}$

$\Rightarrow M (1 + \sqrt{6}; 2 + \sqrt{6}), N (1 - \sqrt{6}; 2 - \sqrt{6}) \Rightarrow I (1; 2)$

Câu 4:

Một tổ có 6 học sinh nam và 9 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 6 học sinh đi lao động, trong đó 2 học sinh nam?

A. $C_{6}^{2} + C_{9}^{4}$

B. $C_{6}^{2} . C_{9}^{4}$

C. $A_{6}^{2} . A_{9}^{4}$

D. $C_{9}^{2} . C_{6}^{4}$

Xem đáp án

Đáp án B

Phải chọn 2 học sinh nam và 4 học sinh nữ $\Rightarrow$ Theo quy tắc nhân số cách chọn là $C_{6}^{2} C_{9}^{4}$ (Cách).

Câu 5:

Cho a là số thực dương khác 1. Mệnh đề nào dưới đây đúng với mọi số dương x, y.

A. $\log_{a} \frac{x}{y} = \log_{a} x + \log_{a} y$

B. $\log_{a} \frac{x}{y} = \log_{a} (x - y)$

C. $\log_{a} \frac{x}{y} = \log_{a} x - \log_{a} y$

D. $\log_{a} \frac{x}{y} = \frac{\log_{a} x}{\log_{a} y}$

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 6:

Cho các số thực dương a,b. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $\log_{2} \frac{2 \sqrt[3]{a}}{b^{3}} = 1 + \frac{1}{3} \log_{2} a - \frac{1}{3} \log_{2} b$

B. $\log_{2} \frac{2 \sqrt[3]{a}}{b^{3}} = 1 + \frac{1}{3} \log_{2} a + 3 \log_{2} b$

C. $\log_{2} \frac{2 \sqrt[3]{a}}{b^{3}} = 1 + \frac{1}{3} \log_{2} a + \frac{1}{3} \log_{2} b$

D. $\log_{2} \frac{2 \sqrt[3]{a}}{b^{3}} = 1 + \frac{1}{3} \log_{2} a - 3 \log_{2} b$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $\log_{2} \frac{2 \sqrt[3]{a}}{b^{3}} = \log_{2} 2 + \log_{2} \sqrt[3]{a} - \log_{2} b^{3} = 1 + \frac{1}{3} \log_{2} a - 3 \log_{2} b$

Câu 7:

Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số $y = - x^{3} + 3 x^{2} - 1$ trên đoạn $[- 3; 1]$ lần lượt là:

A. 1;-1

B. 53;1

C. 3;-1

D. 53;-1

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $y' = - 3 x^{2} + 6 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 0 \end{array}$

$y (- 3) = 53, y (1) = 1, y (0) = - 1, y (2) = 3 \Rightarrow \underset{[- 3; 1]}{M a x} y = 53, \underset{[- 3; 1]}{M i n} y = - 1$

Câu 8:

Cho hình chópS.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M là trung điểm SB và G là trọng tâm của tam giác SBC. Gọi $V, V'$ lần lượt là thể tích của các khối chóp M.ABC và G.ABD tính tỉ số $\frac{V}{V'}$

A. $\frac{V}{V'} = \frac{3}{2}$

B. $\frac{V}{V'} = \frac{4}{3}$

C. $\frac{V}{V'} = \frac{5}{3}$

D. $\frac{V}{V'} = \frac{2}{3}$

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của M và G xuống ABCD

Ta có $\frac{V}{V'} = \frac{\frac{1}{3} M H . S_{A B C}}{\frac{1}{3} G K . S_{A D B}} = \frac{3}{2} . \frac{\frac{1}{2} S_{A B C D}}{\frac{1}{2} S_{A B C D}} = \frac{3}{2}$

Câu 9:

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? Số các đỉnh hoặc các mặt của bất kì hình đa diện nào cũng

A. lớn hơn hoặc bằng 4

B. lớn hơn 4

C. lớn hơn hoặc bằng 5

D. lớn hơn 5

Xem đáp án

Đáp án A

[Tứ diện có 4 đỉnh và 4 mặt]

Câu 10:

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho véctơ $\vec{v} = (- 1; 2)$ điểm $A (3; 5)$ . Tìm tọa độ của các điểm là ảnh của qua phép tịnh tiến theo .

A. $A' (2; 7)$

B. $A' (- 2; 7)$

C. $A' (7; 2)$

D. $A' (- 2; - 7)$

Xem đáp án

Đáp án A

Giả sử $A' (a; b) = T_{\vec{v}} (A) \Rightarrow \vec{A A'} = \vec{v} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a - 3 = - 1 \\ b - 5 = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 2 \\ b = 7 \end{cases} \Rightarrow A' (2; 7)$

Câu 11:

Đồ thị hàm số $y = \frac{2 x}{\sqrt{x^{2} - 1}}$ có số đường tiệm cận là

A. 2

B. 1

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Đáp án D

Hàm số có tập xác định $D = (- \infty; - 1) \cup (1; + \infty)$

Ta có $\lim_{x \to + \infty} \frac{2 x}{\sqrt{x^{2} - 1}} = 2, \lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{\sqrt{x^{2} - 1}} = - 2 \Rightarrow$ Đồ thị hàm số có 2 TCN

Mặt khác $x^{2} - 1 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = - 1 \end{array} \Rightarrow$ Đồ thị hàm số có 2 TCĐ

Câu 12:

Cho hình chóp S.ABC có SA,SB,SC đôi một vuông góc với nhau và $S A = 2 \sqrt{3}; S B = 2, S C = 3.$ Tính thể tích khối chóp S.ABC.

A. $V = 6 \sqrt{3}$

B. $V = 4 \sqrt{3}$

C. $V = 2 \sqrt{3}$

D. $V = 12 \sqrt{3}$

Xem đáp án

Đáp án C

Thể tích khối chóp S.ABC là

$V = \frac{1}{6} S A . S B . S C = \frac{1}{6} .2 \sqrt{3} .2.3 = 2 \sqrt{3}$

Câu 13:

Hàm số $y = {\frac{(x - 2)}{1 - x}}^{2}$ có đạo hàm là:

A. $y' = - 2 (x - 2)$

B. $y' = \frac{x^{2} + 2 x}{{(1 - x)}^{2}}$

C. $y' = \frac{- x^{2} + 2 x}{{(1 - x)}^{2}}$

D. $y' = \frac{x^{2} - 2 x}{{(1 - x)}^{2}}$

Xem đáp án

Đáp án C

$y' = \frac{2 (x - 2) (1 - x) + {(x - 2)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}} = \frac{- x^{2} + 2 x}{{(1 - x)}^{2}}$

Câu 14:

Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên $(- \infty; + \infty)$ ?

A. $y = - x^{4} + 3 x^{2} - 2 x + 1$

B. $y = \frac{x + 1}{2 x - 2}$

C. $y = - x^{3} + x^{2} - 2 x + 1$

D. $y = x^{3} + 3$

Xem đáp án

Đáp án C

Hàm số $y = - x^{3} + x^{2} - 2 x + 1 \Rightarrow y' = - 3 x^{2} + 2 x - 2 < 0 (\forall x \in ℝ)$

Câu 15:

Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?

A. $y = \sin x \cos 3 x$

B. $y = \cos 2 x$

C. $y = \sin x$

D. $y = \sin x + \cos x$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $\cos (- 2 x) = \cos 2 x$ nên hàm số $y = \cos 2 x$ là hàm số chẵn

Câu 16:

Hàm số $y = - x^{3} + 3 x^{2} - 1$ đồng biến trên khoảng:

A. (0;2)

B. $(- \infty; 0)$ và $(2; + \infty)$

C. $(1; + \infty)$

D. (0;3)

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $y' = - 3 x^{2} + 6 x = - 3 x (x - 2) \Rightarrow y' > 0 \Leftrightarrow 0 < x < 2$

Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng (0;2)

Câu 17:

Phương trình $\sin 2 x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng $(0; π)$ ?

A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

Xem đáp án

Đáp án C

PT $[\begin{array}{l} 2 x = - \frac{π}{4} + k 2 π \\ 2 x = \frac{5 π}{4} + k 2 π \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - \frac{π}{8} + k π \\ x = \frac{5 π}{8} + k π \end{array} (k \in ℤ)$

Vì $x \in (0; π) \Rightarrow [\begin{array}{l} 0 < - \frac{π}{8} + k π < π \\ 0 < \frac{5 π}{8} + k π < π \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \frac{1}{8} < k < \frac{9}{8} \\ - \frac{5}{8} < k < \frac{3}{8} \end{array} \Rightarrow [\begin{array}{l} k = 1 \\ k = 0 \end{array} \Rightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{7 π}{8} \\ x = \frac{5 π}{8} \end{array}$

Câu 18:

Cho hình chóp S. ABC có $S A ⊥ (A B C)$ và tam giác BC vuông tại C. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC. H là hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng (ABC). Khẳng định nào sau đây đúng?

A. H là trọng tâm tam giác $Δ A B C$

B. H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $Δ A B C$

C. H là trung điểm cạnh AC

D. H là trung điểm cạnh AB

Xem đáp án

Đáp án D

Vì $\{\begin{cases} B C ⊥ S A \\ B C ⊥ C A \end{cases} \Rightarrow B C ⊥ (S A C) \Rightarrow B C ⊥ S C \Rightarrow O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC

Vì $S A ⊥ (A B C) \Rightarrow H$ là trung điểm của AB

Câu 19:

Cho bảng biến thiên của hàm số $y = f (x)$ . Mệnh đề nào sau đây sai?

A. Giá trị lớn nhất của hàm số $y = f (x)$ trên tập Rbằng 0

B. Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f (x)$ trên tập Rbằng

C. Hàm số $y = f (x)$ nghịch biến trên (-1;0) và $(1; + \infty)$

D. Đồ thị hàm số $y = f (x)$ không có đường tiệm cận.

Xem đáp án

Đáp án B

Hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên R

Câu 20:

Tính giới hạn $I = \lim \frac{2 n + 1}{n + 1}$

A. $I = \frac{1}{2}$

B. $I = + \infty$

C. $I = 2$

D. $I = 1$

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 21:

Cho khối nón có bán kính đáy $r = \sqrt{3}$ và chiều cao $h = 4.$ Tính thể tích V của khối nón đã cho.

A. $V = 16 π \sqrt{3}$

B. $V = 16 π$

C. $V = 4$

D. $V = 4 π$

Xem đáp án

Đáp án D

Thể tích khối nón là $V = \frac{1}{3} π r^{2} h = \frac{1}{3} π {(\sqrt{3})}^{2} .4 = 4 π$

Câu 22:

Hàm số $y = - x^{3} + 3 x^{2} - 1$ có đồ thị nào sau đây?

A. Hình 3

B. Hình 2

C. Hình 1

D. Hình 4

Xem đáp án

ĐÁP ÁN C

Câu 23:

Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có $A B = 1$ và $A D = 2$ Gọi M;N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục MN, ta được một hình trụ. Tính diện tích toàn phần $S_{t p}$ của hình trụ đó.

A. $S_{t p} = \frac{4 π}{3}$

B. $S_{t p} = 4 π$

C. $S_{t p} = 6 π$

D. $S_{t p} = 3 π$

Xem đáp án

Đáp án B

Hình trụ có bán kính đáy $r = \frac{A D}{2} = \frac{2}{2} = 1$ , chiều cao $h = A B = 1$

Diện tích toàn phần hình trụ là $S_{t p} = 2 π r l + 2 π r^{2} = 2 π .1.1 + 2 π {.1}^{2} = 4 π$

Câu 24:

Cho $x = a \sqrt{a \sqrt[3]{a}}$ với $a > 0, a \neq 1.$ Tính giá trị của biểu thức $P = \log_{a} x$ .

A. 0

B. 5/3

C. 2/3

D. 1

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $x = a \sqrt{a \sqrt[3]{a}} = a^{\frac{5}{3}} \Rightarrow P = \log_{a} a^{\frac{5}{3}} = \frac{5}{3}$

Câu 25:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCDlà hình bình hành. Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC_. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. d qua S và song song với AB

B. d qua S và song song với BC

C. d qua S và song song với BD

D. d qua S và song song với DC

Xem đáp án

Đáp án B

Vì $B C / / A D$ nên $(S A D) \cap (S B C) = d$ trong đó d qua S và song song với BC

Câu 26:

Hàm số $y = x^{4} + 2 x^{3} - 2017$ có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 2

B. 1

C. 0

D. 3

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $y' = 4 x^{3} + 6 x^{2} = 2 x^{2} (2 x + 3)$

Suy ra $h = A B = 1$ đổi dấu lần qua điểm $x = - \frac{3}{2}$ , suy ra hàm số có 1 cực trị

Câu 27:

Tính đường kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương có cạnh bằng $a \sqrt{3}$

A. 6

B. 3a/2

C. $a \sqrt{3}$

D. 3a

Xem đáp án

Đáp án D

Đường kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương là

$d = 2 r = \sqrt{{(a \sqrt{3})}^{2} + {(a \sqrt{3})}^{2} + {(a \sqrt{3})}^{2}} = 3 a$

Câu 28:

Giải bất phương trình sau $\log_{\frac{1}{5}} (3 x - 5) > \log_{\frac{1}{5}} (x + 1)$

A. $\frac{5}{3} < x < 3$

B. $- 1 < x < 3$

C. $- 1 < x < \frac{5}{3}$

D. x>3

Xem đáp án

Đáp án A

BPT $\Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 x - 5 > 0 \\ x + 1 > 0 \\ 3 x - 5 < x + 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x > \frac{5}{3}, x > - 1 \\ x < 3 \end{cases} \Rightarrow \frac{5}{3} < x < 3$

Câu 29:

Trong các khai triển sau, khai triển nào sai?

A. ${(1 + n)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} C_{n}^{k} x^{n - k}$

B. ${(1 + n)}^{n} = \sum_{k = 1}^{n} C_{n}^{k} x^{k}$

C. ${(1 + n)}^{n} = \sum_{k = 1}^{n} C_{n}^{k} x^{k}$

D. ${(1 + n)}^{n} = C_{n}^{0} + C_{n}^{1} x + C_{n}^{2} x^{2} + ... + C_{n}^{n} . x^{n}$

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 30:

Tìm tập nghiệm của phương trình $4^{x^{2}} = 2^{x + 1}$

A. $S = \{0; 1\}$

B. $S = \{- \frac{1}{2}; 1\}$

C. $S = \{\frac{1 - \sqrt{5}}{2}; \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\}$

D. $S = \{- 1; \frac{1}{2}\}$

Xem đáp án

Đáp án B

PT $\Leftrightarrow 2^{2 x^{2}} = 2^{x + 1} \Leftrightarrow 2 x^{2} = x + 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = - \frac{1}{2} \end{array} \Rightarrow S = \{- \frac{1}{2}; 1\}$

Câu 31:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m bất phương trình $4^{x - 1} - m (2^{x} + 1) > 0$ có nghiệm với $x \in ℝ$

A. $m \leq 0$

B. $m \in (0; + \infty)$

C. $m \in (0; 1)$

D. $m \in (- \infty; 0) \cup (1; + \infty)$

Xem đáp án

Đáp án A

Đặt $t = 2^{x} > 0$ ta có $\frac{t^{2}}{4} - m (t + 1) > 0 \Leftrightarrow g (t) = \frac{t^{2}}{4 (t + 1)} > m$ (do $t > 0$ )

Bất PT có nghiệm với $x \in ℝ \Leftrightarrow \min_{x > 0} g (t) > m$

Xét $g (t) = \frac{1}{4} \frac{t^{2}}{t + 1} (t > 0)$ ta có $g' (t) = \frac{2 t (t + 1) - t^{2}}{4 {(t + 1)}^{2}} = \frac{t^{2} + 2 t}{4 {(t + 1)}^{2}} > 0 (\forall t > 0)$

Do đó hàm số đồng biến trên $(0; + \infty)$

Lập BBT suy ra $m \leq 0$ là giá trị cần tìm

Câu 32:

Cho tam giác ABC đều cạnh 3 và nội tiếp trong đường tròn tâm O, AD là đường kính của đường tròn tâm O. Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi cho phần tô đậm (hình vẽ bên) quay quanh đường thẳng AD bằng

A. $V = \frac{9 \sqrt{3}}{8} π$

B. $V = \frac{23 \sqrt{3}}{8} π$

C. $V = \frac{23 \sqrt{3}}{24} π$

D. $V = \frac{5 \sqrt{3}}{8} π$

Xem đáp án

Đáp án B

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là: $R = \frac{B C}{2 \sin A} = \frac{30}{2 \sin 60} = \sqrt{3}$

Độ dài đường cao là $A H = A B \sin B = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Khi quay quanh đường thẳng AD

Thể tích hình cầu tạo thành là: $V_{1} = \frac{4}{3} π R^{3} = 4 π \sqrt{3}$

Thể tích khối nón tạo thành là: $V_{2} = \frac{1}{3} π r^{2} h = \frac{1}{3} π H B^{2} . A H = \frac{23}{8} π \sqrt{3}$

Câu 33:

Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với $(A B C), A B = a; A C = a \sqrt{2}, \overset{⏜}{B A C} = 45 ° .$ Gọi $B_{1}, C_{1}$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên $S B, S C .$ Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $A . B C C_{1} B_{1}$ .

A. $V = \frac{π a^{3} \sqrt{2}}{3}$

B. $V = π a^{3} \sqrt{2}$

C. $V = \frac{4}{3} π a^{3}$

D. $V = \frac{π a^{3}}{\sqrt{2}}$

Xem đáp án

Đáp án A

Dễ thấy $Δ A B C$ là tam giác vuông cân tại B, do đó $O A = O B = O C$ (với O là trung điểm của AC)

Ta có $\{\begin{cases} B C ⊥ A B \\ B C ⊥ S A \end{cases} \Rightarrow B C ⊥ A B_{1},$ lại do $A B_{1} ⊥ S B \Rightarrow A B_{1} ⊥ B_{1} C$

Do đó $Δ A B_{1} C$ vuông tại O nên $O A = O C = O B_{1}$

Vậy O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $A B C C_{1} B_{1}$

Do đó $R = \frac{A C}{2} = \frac{a \sqrt{2}}{2} \Rightarrow V = \frac{4}{3} π R^{3} = \frac{π a^{3} \sqrt{2}}{3}$

Câu 34:

Cho hàm số $y = - x^{3} + 6 x^{2} - 9 x + 4$ có đồ thị (C). Gọi d là đường thẳng đi qua giao điểm của (C) với trục tung. Để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt thì d có hệ số góc k thỏa mãn:

A. $\{\begin{cases} k > 0 \\ k \neq 9 \end{cases}$

B. $\{\begin{cases} k < 0 \\ k \neq - 9 \end{cases}$

C. $- 9 < k < 0$

D. $k < 0$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $(C) \cap O y = (0; 4) \Rightarrow d : y = k x + 4$

PT hoành độ giao điểm là $- x^{3} + 6 x^{2} - 9 x + 4 = k x + 4 \Leftrightarrow x (x^{2} - 6 x + 9 + k) = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ g (x) = x^{2} - 6 x + 9 + k = 0 \end{array}$

Để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt thì $g (x) = 0$ có 2 nghiệm phân biệt khác 0

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} Δ' = 9 - 9 - k > 0 \\ g (0) = 9 + k \neq 0 \end{cases} \{\begin{cases} k < 0 \\ k \neq - 9 \end{cases}$

Câu 35:

Cho hàm số $y = \frac{a x + b}{x - 1}$ có đồ thị cắt trục tung tại A(-0;1)tiếp tuyến A tại có hệ số góc -3. Khi đó giá trị a, b thỏa mãn điều kiện sau:

A. $a + b = 0$

B. $a + b = 1$

C. $a + b = 2$

D. $a + b = 3$

Xem đáp án

Đáp án D

Khi $x = 0 \Rightarrow y = 1 \Rightarrow \frac{b}{- 1} = 1 \Rightarrow b = - 1$

Tiếp tuyến tại A có hệ số góc $- 3 \Rightarrow y' (0) = \frac{- a - b}{{(0 - 1)}^{2}} = - 3 \Rightarrow a + b = 3$

Câu 36:

Tìm tập xác định của hàm số sau $y = \frac{\cot x}{2 \sin x - 1}$

A. $D = ℝ \ \{k π; \frac{π}{6} + k 2 π; - \frac{π}{6} + k 2 π; k \in ℤ\}$

B. $D = ℝ \ \{\frac{π}{6} + k 2 π; \frac{5 π}{6} + k 2 π; k \in ℤ\}$

C. $D = ℝ \ \{k π; \frac{π}{6} + k 2 π; \frac{5 π}{6} + k 2 π; k \in ℤ\}$

D. $D = ℝ \ \{k π; \frac{π}{3} + k 2 π; \frac{2 π}{3} + k 2 π; k \in ℤ\}$

Xem đáp án

Đáp án C

Hàm số xác định khi $\{\begin{cases} \sin x \neq \frac{1}{2} \\ \sin x \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \neq \frac{π}{6} + k 2 π \\ x \neq \frac{5 π}{6} + k 2 π \\ x \neq k π \end{cases}$

Câu 37:

Tìm hệ số của số hạng chứa $x^{3}$ trong khai triển ${(1 - 2 x + 2015 x^{2016} - 2016 x^{2017} + 2017 x^{2018})}^{60}$

A. $- C_{60}^{3}$

B. $C_{60}^{3}$

C. $8. C_{60}^{3}$

D. $- 8. C_{60}^{3}$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có ${(1 - 2 x + 2015 x^{2016} - 2016 x^{2017} - 2017 x^{2018})}^{60} = \sum_{k = 0}^{60} {(1 - 2 x)}^{k} {(.....)}^{80 - k}$

Số hạng chứa $x^{3}$ trong khai triển là hệ số $x^{3}$ trong khai triển ${(1 - 2 x)}^{80} . {(.....)}^{0}$

Khi đó số hạng chứa $x^{3}$ trong khai triển là: $C_{60}^{3} {(1)}^{80 - 3} . {(2 x)}^{3} = - 8. C_{60}^{3} x^{3}$

Câu 38:

Lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' đều có góc giữa hai mặt phẳng $(A' B C)$ và (ABC) bằng $30 °$ . Điểm M nằm trên cạnh AA'. Biết cạnh $A B = a \sqrt{3}$ , thể tích khối đa diện $M B C C' B'$ bằng

A. $\frac{3 a^{3}}{4}$

B. $\frac{3 a^{3} \sqrt{3}}{2}$

C. $\frac{3 a^{3} \sqrt{2}}{4}$

D. $\frac{2 a^{3}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án A

Do $A A' / / B B' \Rightarrow V_{M' . B C B' C'} = V_{A' B C C' B'} = V - V_{A' . A B C} = V - \frac{V}{3} - \frac{2 V}{3}$ (với V là thể tích của khối lăng trụ)

Dựng $A H ⊥ B C$ lại có $A A' ⊥ B C \Rightarrow B C ⊥ (A' H A)$

Do đó $\overset{⏜}{(A' B C); (A B C)} = \overset{⏜}{A' H A} = 30 °; A H = \frac{A B \sqrt{3}}{2} = \frac{3 a}{2}$

Khi đó $A A' = A H \tan 30 ° = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

$V = A A' . S_{A B C} = \frac{a \sqrt{3}}{2} . \frac{{(a \sqrt{3})}^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{9}{8} a^{3} \Rightarrow V_{M . B C C' B'} = \frac{2}{3} . \frac{9}{8} a^{3} = \frac{3}{4} a^{3}$

Câu 39:

Cho hàm số $y = f (x) = x (x^{2} - 1) (x^{2} - 4) (x^{2} - 9)$ . Hỏi đồ thị hàm số $y = f' (x)$ cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm phân biệt?

A. 3

B. 5

C. 7

D. 6

Xem đáp án

Đáp án D

Phát họa đồ thị hàm số $f (x)$ (hình vẽ)

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 7 điểm

Từ đó suy ta hàm số có 6 điểm cực trị nên $f' (x) = 0$ có 6 nghiệm

Hay đồ thị hàm số $y = f' (x)$ cắt trục hoành tại 6 điểm phân biệt

Câu 40:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, $A D / / B C, A D = 3 B C . M, N$ lần lượt là trung điểm AB; CD;G là trọng tâm. Mặt phẳng (GMN) cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là

A. Hình bình hành

B. $Δ G M N$

C. $Δ S M N$

D. Ngũ giác

Xem đáp án

Đáp án A

Do $M N / / A D$ nên giao tuyến của (SAD) và (GMN) song song với AD

Khi đó qua G dựng đường thẳng song song với AD cắt SA và SD lần lượt tại Q và P

Thiết diện là hình thang MNPQ

Lại có $P Q = \frac{2}{3} A D = 2 B C$

Mặt khác $M N = \frac{B C + A D}{2} = \frac{B C + 3 B C}{2} = 2 B C$

Suy ra $P Q = M N$ do đó thiết diện là hình bình hành

Câu 41:

Cho hàm số $y = \frac{2 m + 1}{m - x}$ (m là tham số) thỏa mãn trên đoạn $\max_{[2; 3]} y = - \frac{1}{3}$ . Khi đó mệnh đề nào sau đây đúng

A. $m \in [0; 1]$

B. $m \in [1; 2]$

C. $m \in (0; 6)$

D. $m \in (- 3; - 2)$

Xem đáp án

Đáp án A

Xét hàm số $y = f (x) = \frac{2 m x + 1}{- x + m}$ trên $[2; 3]$ có $f' (x) = \frac{2 m^{2} + 1}{{(- x + m)}^{2}} > 0$

Suy ra $f (x)$ là hàm số đồng biến trên $[2; 3] \to \underset{[2; 3]}{M a x} f (x) = f (3) = \frac{6 m + 1}{m - 3}$

Mặt khác $\underset{[2; 3]}{M a x} y = - \frac{1}{3}$ suy ra $\frac{6 m + 1}{m - 3} = - \frac{1}{3} \Leftrightarrow 18 m + 3 = - m + 3 \Leftrightarrow m = 0$

Câu 42:

Trên hình 2.13, đồ thị của ba hàm số $y = a^{x}, y = b^{x}, y = c^{x}$ (a;b;clà ba số dương khác 1 cho trước) được vẽ trong cùng một mặt phẳng tọa độ. Dựa vào đồ thị và các tính chất của lũy thừa, hãy so sánh ba số a, b và c

A. $c > b > a$

B. $b > c > a$

C. $a > c > b$

D. $a > b > c$

Xem đáp án

Đáp án C

Dựa vào hình 2.13, ta thấy rằng:

Hàm số $y = a^{x}$ là hàm số đồng biến; hàm số $y = b^{x}, y = c^{x}$ là các hàm số nghịch biến

Suy ra $a > 1$ và $y = a^{x}$

Gọi $B (- 1; y_{B})$ thuộc đồ thị hàm số $y = b^{x} \Rightarrow y_{B} = \frac{1}{b}$

Và $C (- 1; y_{C})$ thuộc đồ thị hàm số $y = c^{x} \Rightarrow y_{C} = \frac{1}{c}$

Dựa vào đồ thị, ta có $y_{B} > y_{C} \Leftrightarrow y_{C} = \frac{1}{c}$

Vậy hệ số $a > c > b$

Câu 43:

Cho hàm số f(x)có đồ thị là đường cong (C)biết đồ thi ̣của f'(x)như hình vẽ. Tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 1 cắt đồ thi ̣ (C) tại hai điểm A, B phân biệt lần lượt có hoành độ a, b. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau

A. $4 \geq a - b \geq - 4$

B. $a - b \geq 0$

C. $a, b < 3$

D. $a^{2} + b^{2} > 10$

Xem đáp án

Đáp án D

Đồ thị hàm số $y = f' (x)$ cắt trục hoành tại 3 điểm $x = \pm 1; x = 3 \Rightarrow f' (1) = 0$

Suy ra phương trình tiếp tuyến của (C) tại $x = 1$ là $(d) : y = f (1)$

Bảng biến thiên

Dựa vào BBT, ta thấy đồ thị hàm số $y = f (x)$ cắt đường thẳng $y = f (1)$ tại 2 điểm A, B phân biệt có hoành độ lần lượt là $x_{A} = a < - 1$ và $x_{B} = b > 3$ . Vậy $a^{2} + b^{2} > 10$

Câu 44:

Cho dãy số un thỏa mãn $\{\begin{cases} u_{1} = 2 \\ u_{n + 1} = \frac{u_{n} + \sqrt{2} - 1}{1 - (\sqrt{2} - 1) u_{n}} \end{cases}, \forall n \in ℕ^{*} .$ Tính $u_{2018}$ .

A. $u_{2018} = 7 + 5 \sqrt{2}$

B. $u_{2018} = 2$

C. $u_{2018} = 7 - 5 \sqrt{2}$

D. $u_{2018} = 7 + \sqrt{2}$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $\tan \frac{π}{8} = \sqrt{2} - 1$ suy ra $u_{n + 1} = \frac{u_{n} + \tan \frac{π}{8}}{1 - \tan \frac{π}{8} . u_{n}}$

Đặt $\tan φ = 2$ suy ra $u_{1} = \tan φ \to u_{2} = \frac{u_{1} + \tan \frac{π}{8}}{1 - \tan \frac{π}{8} . u_{1}} = \frac{\tan φ + \tan \frac{π}{8}}{1 - \tan φ . \tan \frac{π}{8}} = \tan (φ + \frac{π}{8})$

Do đó $u_{3} (\tan φ + 2. \frac{π}{8}) \to u_{n} (\tan φ + n . \frac{π}{8})$

Vậy $u_{2018} = \tan (φ + 2017. \frac{π}{8}) = \tan (φ + \frac{π}{8}) = u_{2} = \frac{2 + \sqrt{2} - 1}{1 - 2 (\sqrt{2} - 1)} = 7 + 5 \sqrt{2}$

Câu 45:

Cho các số thực x, y, z thỏa mãn $3^{x} = 5^{y} = 15^{\frac{2017}{x + y} - z}$ . Gọi $S = x y + y z + z x$ . Khẳng định nào đúng?

A. $S \in (1; 2016)$

B. $S \in (0; 2017)$

C. $S \in (0; 2018)$

D. $S \in (2016; 2017)$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $3^{x} = 5^{y} = 15^{\frac{2017}{x + y} - z} = k$ và $\frac{2017}{x + y} - z = t$ suy ra $\{\begin{cases} 3 = k^{\frac{1}{x}} \\ 5 = k^{\frac{1}{y}} \end{cases}$ và $15 = k^{\frac{1}{t}}$

Khi đó $3.5 = k^{\frac{1}{t}} \Leftrightarrow k^{\frac{1}{x}} . k^{\frac{1}{y}} = k^{\frac{1}{t}} \Leftrightarrow k^{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} = k^{\frac{1}{t}} \Leftrightarrow t (x + y) = x y \Leftrightarrow 2017 - (x + y) z = (x y)$

Vậy $x y + y z + x z = 2017 \to S \in (0; 2018)$

Câu 46:

Cho a, b là các số thực và $f (x) = a \ln^{2017} (\sqrt{x^{2} + 1} + x) + b x \sin^{2018} x + 2$ . Biết $f (5^{\log_{c} 6}) = 6$ , tính giá trị của biểu thức $P = f (- 6^{\log_{c} 5})$ với $0 < c \neq 1$

A. $P = - 2$

B. $P = 6$

C. $P = 4$

D. $P = 2$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $5^{\log_{c} 6} = 6^{\log_{c} 5} = x \Rightarrow - 6^{\log_{c} 5} = - x$

Khi đó $f (- x) = a . \ln^{2017} (\sqrt{x^{2} + 1} - x) - b x \sin^{2018} x + 2$

$= a . \ln^{2017} \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1} + x} - b x \sin^{2018} x + 2$

$= - [a . \ln^{2017} (\sqrt{x^{2} + 1}) + b x \sin^{2018} x + 2] + 4$

Mặt khác $f (x) = 6 \to P = f (- x) = - f (x) + 4 = - 6 + 4 = - 2$

Câu 47:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. I nằm trên cạnh SC sao cho $I S = 2 I C$ . Mặt phẳng (P)chứa cạnh AI cắt cạnh SB;SD lần lượt tại M;N. Gọi $V', V$ lần lượt là thể tích khối chóp $S . A M I N$ và $S . A B C D$ . Tính giá trị nhỏ nhất của tỷ số thể tích $\frac{V}{V'}$

A. 4/5

B. 5/54

C. 8/15

D. 5/24

Xem đáp án

Đáp án C

Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD

Gọi $H = S K \cap A I$ qua H kẻ $d / / B D$ cắt SB;SD lần lượt tại M;N

Xét tam giác SAC có

$\frac{I S}{I C} . \frac{A C}{O C} . \frac{O H}{S H} = 1 \Rightarrow \frac{O H}{S C} = \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{S H}{S C} = \frac{4}{5}$

Mà $M N / / B D \to \frac{S M}{S B} = \frac{S N}{S D} = \frac{S H}{S O} = \frac{4}{5}$

Ta có $\frac{V_{S . A M I}}{V_{S . A C D}} = \frac{S M}{S B} . \frac{S I}{S C} = \frac{2}{3} . \frac{S M}{S B} \Rightarrow \frac{V_{S . A M I}}{V_{S . A B C D}} = \frac{1}{3} . \frac{S M}{S B}$

Và $\frac{V_{S . A N I}}{V_{S . A C D}} = \frac{S N}{S D} . \frac{S I}{S C} = \frac{2}{3} . \frac{S D}{S D} \Rightarrow \frac{V_{S . A N I}}{V_{S . A B C D}} = \frac{1}{3} . \frac{S N}{S D}$

Suy ra $\frac{V'}{V} = \frac{1}{3} (\frac{S M}{S B} + \frac{S N}{S D}) = \frac{1}{3} . (\frac{4}{5} + \frac{4}{5}) = \frac{8}{15}$

Câu 48:

Một người mỗi đầu tháng đều đặn gửi vào ngân hàng một khoản tiền T theo hình thức lãi kép với lãi suất 0,6% mỗi tháng. Biết đến cuối tháng thứ 15 thì người đó có số tiền là 10 triệu đồng. Hỏi số tiền T gần với số tiền nào nhất trong các số sau?

A. 635.000

B. 535.000

C. 613.000

D. 643.000

Xem đáp án

Đáp án A

Bài toán tổng quát “Một người, hàng tháng gửi vào ngân hàng số tiền là a đồng, Biết lãi suất hàng tháng là m. Sau n tháng, người tiền mà người ấy có là $T_{n} = \frac{a}{m} . [{(1 + m)}^{n} - 1] . (1 + m)$ ”

Áp dụng công thức với $\{\begin{cases} n = 15; m = 0, 6 % \\ T_{n} = 10000000 \end{cases} \to a = \frac{10000000.0, 6 %}{[{(1 + 0, 6 %)}^{15} - 1] (1 + 0, 6 %)} \approx 635000$ đồng

Câu 49:

Cho hình chóp S.ABCcó mặt đáy là tam giác đều cạnh bằng 2 và hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC) là điểm H nằm trong tam giác ABC sao cho $\overset{⏜}{A H B} = 150 °, \overset{⏜}{B H C} = 120 °, \overset{⏜}{C H A} = 90 °$ Biết tổng diện tích mặt cầu ngoại tiếp các hình chóp $S . H A B, S . H B C, S . H C A$ là $\frac{124}{3} π$ . Tính thể tích khối chóp S.ABC.

A. $V_{S . A B C} = \frac{9}{2}$

B. $V_{S . A B C} = \frac{4}{3}$

C. $V_{S . A B C} = 4 a^{3}$

D. $V_{S . A B C} = 4$

Xem đáp án

Đáp án B

Gọi $r_{1}, r_{2}, r_{3}$ lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp $Δ H A B, Δ H B C, Δ H C A$

Theo định lí Sin, ta có $\frac{A B}{\sin \overset{⏜}{A H B}} = 2 r_{1} \Rightarrow r_{1} = \frac{2}{2. \sin 150 °} = 2;$ tương tự $\{\begin{cases} r_{2} = \frac{2 \sqrt{3}}{3} \\ r_{3} = 1 \end{cases}$

Gọi $R_{1}, R_{2}, R_{3}$ lần lượt là bán kính mặt cầu ngoại tiếp các hình chóp $S . H A B, S . H B C, S . H C A$

Đặt $S H = 2 x \Rightarrow R_{1} = \sqrt{r_{1}^{2} + \frac{S H^{2}}{4}} = \sqrt{x^{2} + 4}; R_{2} = \sqrt{x^{2} + \frac{3}{4}}$ và $R_{3} = \sqrt{x^{2} + 1}$

Suy ra $\sum S = S_{1} + S_{2} + S_{3} = 4 π R_{1}^{2} + 4 π R_{2}^{2} + 4 π R_{3}^{2} = 4 π (3 x^{2} + \frac{19}{3}) = \frac{124 π}{3} \Rightarrow x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Vậy thể tích khối chóp S.ABC là $V = \frac{1}{3} . S H . S_{Δ A B C} = \frac{1}{3} . \frac{4 \sqrt{3}}{3} . \frac{2^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{4}{3}$

Chú ý: “Cho hình chóp $S . A B C$ có SA vuông góc với đáy và $R_{Δ A B C}$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $A B C \to R = \sqrt{R_{Δ A B C}^{2} + \frac{S A^{2}}{4}}$ là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC”

Câu 50:

Cho $0 \leq x, y \leq 1$ thỏa mãn $2017^{1 - x - y} = \frac{x^{2} + 2018}{y^{2} - 2 y + 2019} .$ Gọi M,mlần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S = (4 x^{2} + 3 y) (4 y^{2} + 3 x) + 25 x y .$ Khi đó $M + m$ bằng bao nhiêu?

A. 136/3

B. 391/16

C. 383/16

D. 25/2

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $2017^{1 - x - y} = \frac{x^{2} + 2018}{y^{2} - 2 y + 2019} \Leftrightarrow \frac{2017^{1 - y}}{2017^{x}} = \frac{x^{2} + 2018}{{(1 - y)}^{2} + 2018}$

$2017^{x} (x^{2} + 2018) = 2017^{1 - y} [{(1 - y)}^{2} + 2018] \Leftrightarrow f (x) = f (1 - y)$

Xét hàm số $f (t) = 2017^{t} (t^{2} + 2018) = t^{2} {.2017}^{t} + {2018.2017}^{t},$ có

$f' (t) = 2 t {.2017}^{t} + t^{2} {.2017}^{t} . \ln 2017 + {2018.2017}^{t} . \ln 2017 > 0; \forall t > 0$

Suy ra f(t) là hàm đồng biến trên $(0; + \infty)$ mà $f (x) = f (1 - y) \Rightarrow x + y = 1$

Lại có $P = (4 x^{2} + 3 y) (4 y^{2} + 3 x) + 25 x y = 16 x^{2} y^{2} + 12 x^{3} + 12 y^{3} + 34 x y$

$16 x^{2} y^{2} + 12 [{(x + y)}^{3} - 3 x y (x + y)] + 34 x y = 16 x^{2} y^{2} + 12 (1 - 3 x y) + 34 x y = 16 x^{2} y^{2} - 2 x y + 12$

Mà $1 = x + y \geq 2 \sqrt{x y} \Leftrightarrow x y \leq \frac{1}{4}$ nên đặt $t = x y \in [0; \frac{1}{4}]$ khi đó $P = f (t) = 16 t^{2} - 2 t + 12$

Xét hàm số $f (t) = 16 t^{2} - 2 y + 12$ trên $[0; \frac{1}{4}]$ ta được $\{\begin{cases} \min_{[0; \frac{1}{4}]} f (t) = f (\frac{1}{16}) = \frac{191}{16} \\ \max_{[0; \frac{1}{4}]} f (t) = f (\frac{1}{4}) = \frac{25}{2} \end{cases}$