50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Tổng hợp 25 đề luyện thi THPTQG môn Toán chọn lọc, cực hay có đáp án (đề 12)

Câu 1:

Một nguyên hàm của $f (x) = (2 x - 1) e^{\frac{1}{x}}$ là $F (x) = (a x^{2} + b x + c + \frac{d}{x}) e^{\frac{1}{x}} .$ Tính $a + b + c + d$

A. 1

B. 3

C. 0

D. 2

Xem đáp án

Đáp án A

$\begin{array}{l} F' (x) = f (x) \Leftrightarrow (2 a x + b - \frac{d}{x^{2}} - a - \frac{b}{x} - \frac{c}{x^{2}} - \frac{d}{x^{3}}) = (2 x - 1) e^{\frac{1}{x}}, \forall x \\ \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 1 \\ b - a = - 1 \\ b = c = d = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 1 \\ b = c = d = 0 \end{cases} \Rightarrow a + b + c + d = 1 \end{array}$

Câu 2:

Hàm số $y = x^{4} + 8 x^{3} + 5$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(0; + \infty)$

B. $(- \infty; - 6)$

C. $(- 6; 0)$

D. $(- \infty; + \infty)$

Xem đáp án

Đáp án B

$y' = 4 x^{3} + 24 x^{2} < 0 \Leftrightarrow 4 x^{2} (x + 6) < 0 \Leftrightarrow x < - 6 \Rightarrow$ hàm số nghịch biến trên $(- \infty; - 6)$

Câu 3:

Biết $l o g_{7} 2 m,$ khi đó giá trị của $l o g_{49} 28$ được tính theo m là

A. $\frac{1 + 2 m}{2}$

B. $\frac{m + 2}{4}$

C. $\frac{1 + m}{2}$

D. $\frac{1 + 4 m}{2}$

Xem đáp án

Đáp án A

$l o g_{49} 28 = \log_{7^{2}} ({7.2}^{2}) = \frac{1}{2} \log_{7} ({7.2}^{2}) = \frac{1}{2} (1 + 2 \log_{7} 2) = \frac{1}{2} (1 + 2 m)$

Câu 4:

Biết góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là $α (α \neq 90 °),$ tam giác ABC nằm trên mặt phẳng (P) có diện tích là S và hình chiếu vuông góc của nó lên mặt phẳng (Q) có diện tích là S’ thì

A. $S = S' . c o s α$

B. $S' = S . c o s α$

C. $S = S' . \sin α$

D. $S' = S . \sin α$

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 5:

Phương trình $\log_{3} (x + 2) = 3$ có nghiệm là

A. 5

B. 25

C. 7

D. -3

Xem đáp án

Đáp án B

$P T \Leftrightarrow x + 2 = 3^{3} = 27 \Leftrightarrow x = 25$

Câu 6:

Tứ diện OABC có $O A = O B = O C = 1$ và $O A ⊥ O B .$ Tìm góc giữa OC và (OAB) để tứ diện có thể tích là $\frac{1}{12}$

A. $30 °$

B. $45 °$

C. $60 °$

D. $90 °$

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi H là hình chiếu của C lên (OAB)

Khi đó: $\hat{C O H} = \hat{(O C; (O A B))}$

Ta có: $C H = \frac{3 V}{S_{O A B}} = \frac{3. \frac{1}{12}}{\frac{1}{2} .1.1} = \frac{1}{2}$

$\sin \hat{C O H} = \frac{C H}{C O} = \frac{\frac{1}{2}}{1} = \frac{1}{2} \Rightarrow \hat{C O H} = 30 °$

Câu 7:

Tìm các giá trị của tham số m để phương trình $x^{2} |x^{2} - 2| = m$ có đúng 4 nghiệm thực phân biệt là:

A. $m = 1$

B. $0 < m < 1$

C. $m \leq 1$

D. $m = 0$

Xem đáp án

Đáp án A

Vẽ đồ thị hàm số $y = |x^{4} - 2 x^{2}|$

Để phương trình $x^{2} |x^{2} - 2| = m$ có đúng 4 nghiệm thực phân biệt thì $m = 1$

Câu 8:

Nếu (x;y) là nghiệm của phương trình $x^{2} y - x^{2} + 2 x y - x + 2 y - 1 = 0$ thì tổng giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của y là:

A. 2

B. 3

C. 3/3

D. 1

Xem đáp án

Đáp án A

$(y - 1) x^{2} + (2 y - 1) x + 2 y - 1 = 0 (1)$

Nếu $y = 1$ thì $x = 1$

Nếu $y \neq 1$ thì để (1) có nghiệm thì

$Δ = {(2 y - 1)}^{2} + 4 (y - 1) (2 y - 1) \geq 0 \Leftrightarrow (2 y - 1) (3 - 2 y) \geq 0 \Leftrightarrow \frac{1}{2} \leq y \leq \frac{3}{2}$

$\Rightarrow \min y = \frac{1}{2}; \max y = \frac{3}{2} \Rightarrow \min y + \max y = 2$

Câu 9:

Biết $\int f (x) d x = 2 x \ln (3 x - 1) + C$ với $x \in (\frac{1}{3}; + \infty) .$ Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau.

A. $\int f (3 x) d x = 2 x \ln (9 x - 1) + C$

B. $\int f (3 x) d x = 6 x \ln (3 x - 1) + C$

C. $\int f (3 x) d x = 6 x \ln (9 x - 1) + C$

D. $\int f (3 x) d x = 3 x \ln (9 x - 1) + C$

Xem đáp án

Đáp án A

$\int f (3 x) d x = \frac{1}{3} \int f (3 x) d (3 x) = \frac{1}{3} (2.3 x \ln (9 x - 1) + C) = 2 x \ln (9 x - 1) + C$

Câu 10:

Cho dãy số $(u_{n})$ biết $\{\begin{cases} u_{1} = 2 \\ u_{n + 1} = 2 u_{n} \end{cases}, \forall n \in ℕ * .$ Tìm số hạng tổng quát của dãy số này?

A. $u_{n} = 2^{n}$

B. $u_{n} = n^{n - 1}$

C. $u_{n} = 2$

D. $u_{n} = 2^{n + 1}$

Xem đáp án

Đáp án A

$u_{2} = 2 u_{1} = 2^{2}; u_{3} = 2 u_{2} = 2^{3}, ..., u_{n} = 2^{n}$

Câu 11:

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} \frac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{x^{2}} khi x \neq 0 \\ 0 khi x=0 \end{cases} .$ Tính $f' (0)$

A. 1/2

B. Không tồn tại

C. 1

D. 0

Xem đáp án

Đáp án A

$f' (0) = \lim_{x \to 0} \frac{y}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{x^{2}} = \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{x^{2} + 1} - 1) (\sqrt{x^{2} + 1} + 1)}{x^{2} (\sqrt{x^{2} + 1} + 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2} (\sqrt{x^{2} + 1} + 1)} = \frac{1}{2}$

Câu 12:

Phương trình $c o s x . c o s 7 x = c o s 3 x . c o s 5 x$ tương đương với phương trình nào sau đây

A. $\sin 4 x = 0$

B. $c o s 3 x = 0$

C. $c o s 4 x = 0$

D. $\sin 5 x = 0$

Xem đáp án

Đáp án A

$P T \Leftrightarrow c o s 8 x + c o s 6 x = c o s 8 x+ c o s 2 x \Leftrightarrow c o s 2 x = c o s 6 x \Leftrightarrow 2 \sin 2 x \sin 4 x = 0 \Leftrightarrow \sin 4 x = 0$

Câu 13:

Cho hàm số $y = x^{4} - 2 m x^{2} + 2 m .$ Xác định tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị và các điểm cực trị này lập thành một tam giác có diện tích bằng 32.

A. $m = 4, m = 1$

B. $m = 4$

C. $m = - 4$

D. $m = - 1$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $y' = 4 x^{3} - 4 m x = 4 x (x^{2} - m)$

Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị $\Leftrightarrow y' = 0$ có ba nghiệm phân biệt, suy ra $m > 0$

Khi đó tọa độ ba điểm cực trị là $A (0; 2 m), B (\sqrt{m}; 2 m - m^{2}), C (- \sqrt{m}; 2 m - m^{2})$

Suy ra $H (0; 2 m - m^{2})$ là trung điểm BC

$\Rightarrow \{\begin{cases} A H = m^{2} \\ B C = 2 \sqrt{m} \end{cases} \Rightarrow S_{A B C} = \frac{1}{2} A H . B C = \frac{1}{2} m^{2} .2 \sqrt{m} = 32 \Rightarrow m = 4$

Câu 14:

Tính thể tích hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, $\hat{B A D} = 45 °$ biết tam giác SAB vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy

A. $\frac{a^{3}}{2}$

B. $\frac{a^{3}}{6}$

C. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{2}$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{12}$

Xem đáp án

Đáp án D

$\begin{array}{l} S_{A B C D} = a^{2} \sin 45 ° = \frac{a^{2} \sqrt{2}}{2} \\ 2 S A^{2} = A B^{2} = a^{2} \Rightarrow S A = \frac{a}{\sqrt{2}} \\ S H = \sqrt{{(\frac{a}{\sqrt{2}})}^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2}} = \frac{a}{2} \end{array}$

Thể tích khối chóp S.ABCD là

$V = \frac{1}{3} S H . S_{A B C D} = \frac{1}{3} . \frac{a}{2} \frac{a^{2} \sqrt{2}}{2} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{12}$

Câu 15:

Cho hàm số $y = \frac{2 x - 3}{x - 2} (C) .$ Gọi d là tiếp tuyến bất kì của (C) d, cắt hai đường tiệm cận của đồ thị (C) lần lượt tại A, B . Khi đó khoảng cách giữa A và B ngắn nhất bằng

A. $3 \sqrt{2}$

B. 4

C. $2 \sqrt{2}$

D. $3 \sqrt{3}$

Xem đáp án

Đáp án C

Gọi $M (x_{0}; \frac{2 x_{0} - 3}{x_{0} - 2})$ là tiếp tuyến của d với (C)

Ta có $y' = - \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} \Rightarrow y' (x_{0}) = - \frac{1}{{(x_{0} - 2)}^{2}}$

Suy ra $d : y = - \frac{1}{{(x_{0} - 2)}^{2}} (x - x_{0}) + \frac{2 x_{0} - 3}{x_{0} - 2} \Leftrightarrow d : y = - \frac{1}{{(x_{0} - 2)}^{2}} x + \frac{2 x_{0}^{2} - 6 x_{0} + 6}{{(x_{0} - 2)}^{2}}$

Ta có $\{\begin{cases} d \cap (x = 2) = A (2; \frac{2 x_{0} - 2}{x_{0} - 2}) \\ d \cap (y = 2) = B (2 x_{0} - 2; 2) \end{cases} \Rightarrow A B = \sqrt{4 {(x_{0} - 2)}^{2} + \frac{4}{{(x_{0} - 2)}^{2}}}$

Có $A B^{2} = 4 {(x_{0} - 2)}^{2} + \frac{4}{{(x_{0} - 2)}^{2}} \geq 24 \sqrt{{(x_{0} - 2)}^{2} \frac{4}{{(x_{0} - 2)}^{2}}} = 8 \Rightarrow A B \geq 2 \sqrt{2} \Rightarrow \min A B = 2 \sqrt{2}$

Câu 16:

Điều kiện xác định của hàm số $y = \frac{1}{\sqrt{\log_{9} \frac{2 x}{x + 1} - \frac{1}{2}}}$ là

A. $x < - 3$

B. $x > - 1$

C. $- 3 < x < - 1$

D. $0 < x < 3$

Xem đáp án

Đáp án C

Hàm số xác định

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} \frac{2 x}{x + 1} > 0 \\ \log_{9} \frac{2 x}{x + 1} - \frac{1}{2} > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \frac{2 x}{x + 1} > 0 \\ \frac{2 x}{x + 1} > 3 \end{cases} \Rightarrow \frac{2 x}{x + 1} > 3 \Leftrightarrow \frac{x + 3}{x + 1} < 0 \Leftrightarrow - 3 < x < - 1$

Câu 17:

Nếu $\int f (x) d x = \frac{1}{x} + \ln |5 x| + C$ với $x \in (0; + \infty)$ thì hàm số f(x) là

A. $f (x) = \sqrt{x} + \frac{1}{5 x}$

B. $f (x) = - \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{5 x}$

C. $f (x) = - \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x}$

D. $f (x) = \frac{1}{x^{2}} + \ln (5 x)$

Xem đáp án

Đáp án C

$f (x) = (\frac{1}{x} + \ln |5 x| + C)' = - \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x}$

Câu 18:

Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{0, 5} (x - 3) < \log_{0, 5} (x^{2} - 4 x + 3)$ là

A. $(3; + \infty)$

B. R

C. $\emptyset$

D. (2;3)

Xem đáp án

Đáp án C

$B P T \Leftrightarrow \{\begin{cases} x^{2} - 4 x + 3 > 0 \\ x - 3 > x^{2} - 4 x + 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} [\begin{array}{l} x > 3 \\ x < 1 \end{array} \\ 2 < x < 3 \end{cases} \Rightarrow x \in \emptyset \Leftrightarrow S = \emptyset$

Câu 19:

Hàm số $y = \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x + 2}$ đạt giá trị lớn nhất trên đoạn [-5;-3] bằng

A.-13/12

B. -47/60

C. -11/6

D. 11/6

Xem đáp án

Đáp án B

$y' = - \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{1}{{(x + 2)}^{2}} < 0, \forall x \in [- 5; - 3] \Rightarrow \max_{[- 5; - 3]} y = y (- 5) = - \frac{47}{60}$

Câu 20:

Cho $tanx= \frac{1}{2} .$ Tính $\tan (x + \frac{π}{4})$

A. 2

B. 3/2

C. 6

D. 3

Xem đáp án

Đáp án D

$tanx= \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{s inx}{c o s x} = \frac{1}{2} \Rightarrow c o s x- s inx= s inx$

$tan (x + \frac{π}{4}) = \frac{s in (x + \frac{π}{4})}{c o s (x + \frac{π}{4})} = \frac{c o s x+ s inx}{c o s x - s inx} = \frac{c o s x+ s inx}{s inx} = 1 + \frac{c o s x}{s inx} = 1 + 2 = 3$

Câu 21:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông; $S A = A B = a$ và $S A ⊥ (A B C D) .$ Gọi M là trung điểm AD, tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và BM

A. $\frac{a \sqrt{14}}{6}$

B. $\frac{6 a}{\sqrt{14}}$

C. $\frac{a \sqrt{14}}{2}$

D. $\frac{2 a}{\sqrt{14}}$

Xem đáp án

Đáp án D

Dựng $C E / / B M$ khi đó $d (B M; S C) = d (B M; (S C E))$

Ta có $\frac{A E}{M E} = \frac{3}{2} \Rightarrow d_{M} = \frac{2}{3} d_{A}$

Dựng $A I ⊥ C E; A F ⊥ S I \Rightarrow d_{A} = A F$

Trong đó $S A = a, A I = A E \sin E,$ với

$\sin E = \frac{C D}{C E} = \frac{a}{\sqrt{a^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2}}} = \frac{2}{\sqrt{5}} \Rightarrow A I = \frac{3 a}{2} . \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{3 a}{\sqrt{5}}$

Hoặc tính $A I = \frac{2 S_{A C D}}{C D} \Rightarrow d_{A} = \frac{A I . S A}{\sqrt{A I^{2} + S A^{2}}} = \frac{3}{\sqrt{14}} \Rightarrow d_{M} = \frac{2}{\sqrt{14}}$

Câu 22:

Số nghiệm của phương trình $c o s^{4} x - c o s 2 x + 2 \sin^{6} x = 0$ trên đoạn $[0; 2 π]$ là

A. 4

B. 2

C. 1

D. 3

Xem đáp án

Đáp án D

$\begin{array}{l} P T \Leftrightarrow {(\frac{1 + c o s 2 x}{2})}^{2} - c o s 2 x + 2 {(\frac{1 + c o s 2 x}{2})}^{3} = 0 \\ \Leftrightarrow c o s^{3} 2 x - 4 c o s^{2} 2 x + 5 c o s 2 x - 2 = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} c o s 2 x = 2 \\ c o s 2 x = 1 \end{array} \Rightarrow c o s 2 x = 1 \Leftrightarrow 2 x = k 2 π \Leftrightarrow x = k π (k \in ℤ) \\ x \in [0; 2 π] \Rightarrow 0 \leq k π \leq 2 π \Leftrightarrow 0 \leq k \leq 2 \Rightarrow k \in \{0; 1; 2\} \end{array}$

Câu 23:

Cho các phát biểu sau về góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau:

Góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau bằng góc giữa hai đường thẳng tương ứng vuông góc với hai mặt phẳng đó (I)

Góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau bằng góc giữa hai đường thẳng tương ứng song song với hai mặt phẳng đó (II)

Góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau bằng góc giữa hai đường thẳng cùng vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng đó (III)

Trong các phát biểu trên có bao nhiêu phát biểu là Đúng?

A. 2

B. 1

C. 3

D. 0

Xem đáp án

Đáp án B

Chỉ có khẳng định (I) đúng

Câu 24:

Hàm số $y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ đồng biến trên R khi và chỉ khi

A. $[\begin{array}{l} a = b = 0, c > 0 \\ a > 0, b^{2} - 3 a c \geq 0 \end{array}$

B. $[\begin{array}{l} a = b = 0, c > 0 \\ a < 0, b^{2} - 3 a c \leq 0 \end{array}$

C. $[\begin{array}{l} a = b = 0, c > 0 \\ a > 0, b^{2} - 3 a c \leq 0 \end{array}$

D. $a > 0, b^{2} - 3 a c \leq 0$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $y' = 3 a x^{2} + 2 b x + c$

Hàm số đồng biến trên $ℝ \Leftrightarrow y' \geq 0, \forall x \in ℝ$

$\begin{array}{l} T H 1 : a = 0 \Rightarrow y' = 2 b x + c \Rightarrow [\begin{array}{l} b = 0 \Rightarrow y' = c > 0 \Leftrightarrow c > 0 \\ b \neq 0 \Rightarrow y' = 2 b x + c \geq 0 \Leftrightarrow c \geq - \frac{c}{2 b} \Rightarrow a = b = 0, c = 0 \end{array} \\ T H 2 : a \neq 0 \Rightarrow y' \geq 0, \forall x \in ℝ \Leftrightarrow \{\begin{cases} a > 0 \\ Δ = {(2 b)}^{2} - 12 a c \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a > 0 \\ b^{2} - 3 a c \leq 0 \end{cases} \end{array}$

Kết hợ 2TH, ta có $[\begin{array}{l} a = b = 0, c > 0 \\ a > 0, b^{2} - 3 a c \leq 0 \end{array}$

Câu 25:

Cho 6 chữ số 4, 5, 6, 7, 8, 9. Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau được lập thành từ 6 chữ số đó?

A. 120

B. 216

C. 180

D. 256

Xem đáp án

Đáp án A

Số các số thỏa mãn đề bài là $A_{6}^{3} = 120$

Câu 26:

Đồ thị hàm số nào dưới đây có tiệm cận đứng $x = 1$ và đi qua điểm A(2;5)

A. $y = \frac{- 3 x + 2}{1 - x}$

B. $y = \frac{x + 13}{x + 1}$

C. $y = \frac{2 x + 1}{x - 1}$

D. $y = \frac{x + 1}{x - 1}$

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 27:

Cho bất phương trình $2^{- x^{2} + 2 x + 1} + 2^{x^{2} - 2 x} \geq m .$ Tìm m để bất phương trình đúng với mọi $x \in ℝ$

A. $m \leq 3$

B. $m \geq 3 \sqrt{2}$

C. $m \leq 2 \sqrt{2}$

D. $m \leq 3 \sqrt{2}$

Xem đáp án

Đáp án C

Đặt $t = 2^{x^{2} - 2 x}, t \in (0; + \infty) \Rightarrow B P T \Leftrightarrow \frac{2}{t} + t \geq m (1)$

Ta có $t + \frac{2}{t} \geq 2 \sqrt{t . \frac{2}{t}} = 2 \sqrt{2} \Rightarrow (1) \Leftrightarrow m \leq 2 \sqrt{2}$

Câu 28:

Hệ số của $x^{3} y^{3}$ trong khai triển ${(1 + x)}^{6} {(1 + y)}^{6}$ là

A. 20

B. 800

C. 36

D. 400

Xem đáp án

Đáp án D

${(1 + x)}^{6} {(1 + y)}^{6} = (\sum_{k = 0}^{6} C_{6}^{k} x^{k}) (\sum_{k = 0}^{6} C_{6}^{k} y^{k}) = \sum_{k = 0}^{6} {(C_{6}^{k})}^{2} x^{k} y^{k}$

Số hạng chứa $x^{3} y^{3} \Rightarrow k = 3 \Rightarrow a_{3} = {(C_{6}^{3})}^{2} x^{3} y^{3} = 400 x^{3} y^{3}$

Câu 29:

Tìm các giá trị thực của tham số m sao cho đường thẳng $y = x$ cắt đồ thị hàm số $y = \frac{x - 5}{x + m}$ tại hai điểm A và B sao cho $A B = 4 \sqrt{2}$

A. 2

B. 8

C. 5

D. 7

Xem đáp án

Đáp án D

Phương trình hoành độ giao điểm $x = \frac{x - 5}{x + m} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x + m \neq 0 \\ x^{2} + (m - 1) x + 5 = 0 (1) \end{cases}$

Hai đồ thị có 2 giao điểm $\Leftrightarrow (1)$ có 2 nghiệm phân biệt $x \neq - m$

Suy ra $\{\begin{cases} Δ = {(m - 1)}^{2} - 20 > 0 \\ {(- m)}^{2} - m (m - 1) + 5 \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} [\begin{array}{l} m > 2 \sqrt{5} + 1 \\ m < 1 - 2 \sqrt{5} \end{array} \\ m \neq - 5 \end{cases} (*)$

Khi đó

$\{\begin{cases} x_{A} + x_{B} = 1 - m \\ x_{A} x_{B} = 5 \end{cases} \Rightarrow A B = \sqrt{2 {(x_{A} - x_{B})}^{2}} = \sqrt{2 {(x_{A} + x_{B})}^{2} - 8 x_{A} x_{B}} = \sqrt{2 {(1 - m)}^{2} - 40} = 4 \sqrt{2}$

$\Rightarrow 2 {(1 - m)}^{2} - 40 = 32 \Rightarrow {(m - 1)}^{2} = 36 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 7 \\ m = - 5 \end{array}$

Kết hợp điều kiện $(*) \Rightarrow m = 7$

Câu 30:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số $y = \frac{x + m}{x + 1}$ đồng biến trên từng khoảng xác định.

A. $m \leq 1$

B. $m > 1$

C. $m = 1$

D. $m < 1$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $y' = \frac{1 - m}{{(x + 1)}^{2}}$

Để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định

$\Leftrightarrow y' > 0, \forall x \in D = ℝ \ \{\pm 1\} \Rightarrow 1 - m > 0 \Leftrightarrow m < 1$

Câu 31:

Cho hàm số $y = \frac{a x + b}{x - 1}$ có đồ thị cắt trục tung tại $A (0; - 1)$ tiếp tuyến tại A của đồ thị hàm số đã cho có hệ số góc $k = - 3.$ Các giá trị của a, b là:

A. $a = 1; b = 1$

B. $a = 2; b = 1$

C. $a = 1; b = 2$

D. $a = 2; b = 2$

Xem đáp án

Đáp án B

Vì đồ thị hàm số cắt trục tung tại A(0;-1) $\Rightarrow b = 1 \Rightarrow y = \frac{a x + 1}{x - 1}$

Ta có $y' = - \frac{a + 1}{{(x - 1)}^{2}} \Rightarrow y' (0) = - a - 1 = - 3 \Leftrightarrow a = 2.$ Vậy $a = 2, b = 1$

Câu 32:

Tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số $f (x) = 3 x^{2} + \frac{x}{2}$

A. $\int f (x) d x = \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{4} + C$

B. $\int f (x) d x = x^{3} + \frac{x^{2}}{2} + C$

C. $\int f (x) d x = x^{3} + \frac{x^{2}}{4} + C$

D. $\int f (x) d x = x^{3} + \frac{x^{2}}{4}$

Xem đáp án

Đáp án D

$\int f (x) d x = \int f (3 x^{2} + \frac{x}{2}) d x = x^{3} + \frac{x^{2}}{4} + C$

Câu 33:

Cho dãy số $(u_{n})$ biết $\{\begin{cases} u_{1} = 1 \\ u_{n + 1} = u_{n} + 2 n - 1 \end{cases} \forall n \in ℕ * .$ Tính số hạng $u_{50}$

A. 4024

B. 2404

C. 2240

D. 202

Xem đáp án

Đáp án B

$\begin{array}{l} u_{2} = u_{1} + 1; u_{3} = u_{2} + 3 = u_{1} + 1 + 3; u_{4} = u_{3} + 5 = u_{1} + 1 + 3 + 5; ...; u_{50} = u_{1} + 1 + 3 + 5 + ... + 2.49 - 1 \\ = 1 + (1 + 3 + 5 + ... + 97) = 1 + \frac{(1 + 97) .49}{2} = 2402 \end{array}$

Câu 34:

Có thể dùng ít nhất bao nhiêu khối tứ diện để ghép thành một hình hộp chữ nhật.

A. 4

B. 3

C. 5

D. 6

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 35:

Hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 4$ có bao nhiêu cực trị?

A. 2

B. 1

C. 3

D. 0

Xem đáp án

Đáp án D

$y' = 3 x^{2} - 6 x + 3 = 3 (x^{2} - 2 x + 1) = 3 {(x - 1)}^{2} \geq 0, \forall x \Rightarrow$ hàm số không có cực trị

Câu 36:

Cho tứ diện đều ABCD. Tính tang của góc giữa AB và (BCD)

A. $\sqrt{3}$

B. $\frac{1}{\sqrt{3}}$

C. $\sqrt{2}$

D. $\frac{1}{\sqrt{2}}$

Xem đáp án

Đáp án C

Gọi H là hình chiếu của A lên (BCD)

Khi đó H là tâm tam giác BCD.

Đặt cạnh tứ diện là a

Ta có $B H = \frac{2}{3} \sqrt{a^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2}} = \frac{a \sqrt{3}}{3}$

$\begin{array}{l} \cos \hat{A B H} = \frac{B H}{A B} = \frac{\frac{a \sqrt{3}}{3}}{a} = \frac{\sqrt{3}}{3} \\ \sin \hat{A B H} = \sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}} = \frac{\sqrt{6}}{3} \\ \Rightarrow \tan \hat{A B H} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \sqrt{2} \end{array}$

Câu 37:

Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp một hình chóp tứ giác đều có cạnh bên bằng 2 và cạnh đáy bằng 1.

A. $\frac{32 π}{7}$

B. $\frac{8 π}{7}$

C. $\frac{128 π}{21 \sqrt{14}}$

D. $\frac{16 π}{\sqrt{14}}$

Xem đáp án

Đáp án A

Áp dụng công thức giải nhanh ta có $R = \frac{S A^{2}}{2 S O}$

Trong đó $S A = 2; O A = \frac{1}{\sqrt{2}}; S O = \sqrt{4 - \frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{14}}{2}$

Do đó $R = \frac{4}{\sqrt{14}}$

VẬY diện tích mặt cầu ngoại tiếp một hình chóp là: $s = 4 π R = 4 π (\frac{4}{\sqrt{14}}) = \frac{32 π}{7}$

Câu 38:

Khối hai mươi mặt đều thuộc khối đa diện loại nào?

A. loại $\{3; 5\}$

B. loại $\{5; 3\}$

C. loại $\{3; 4\}$

D. loại $\{4; 3\}$

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 39:

Tính thể tích khối bát diện đều cạnh a

A. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{12}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{6}$

C. $\frac{a^{2} \sqrt{2}}{3}$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án D

Khối bát diện đều được lập từ hai khối tứ giác đều

Thể tích 1 khối chóp là $V_{1} = \frac{1}{3} a^{2} \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a^{3}}{3 \sqrt{2}}$

Thể tích khối bát diện đều là $V = 2 V_{1} = 2 \frac{a^{3}}{3 \sqrt{2}} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{3}$

Câu 40:

Trong các loại hình sau: Tứ diện đều; hình chóp tứ giác đều; hình lăng trụ tam giác đều; hình hộp chữ nhật, loại hình nào có ít mặt phẳng đối xứng nhất.

A. Tứ diện đều

B. Hình chóp tứ giác đều

C. Hình lăng trụ tam giác đều

D. Hình hộp chữ nhật

Xem đáp án

Đáp án D

Tứ diện đều có 6 mặt phẳng đối xứng

Hình chóp tứ giác đều có 4 mặt phẳng đối xứng

Hình lăng trụ tam giác đều có 4 mặt phẳng đối xứng

Hình hộp chữ nhật có 3 mặt phẳng đối xứng

Câu 41:

Đường cong hình bên dưới là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây.

Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A. $y = x^{3} - 3 x + 1$

B. $y = - x^{3} - 3 x^{2} - 1$

C. $y = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x + 1$

Xem đáp án

Đáp án C

Đồ thị hàm số điq qua $A (1; 2) \overset{}{\to}$ $y = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x + 1$

Câu 42:

Tứ diện OABC có $O A = 1, O B = 2, O C = 3$ và đôi một vuông góc với nhau. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của $A B, B C, C A .$ Tính thể tích khối tứ diện OMNP.

A. 1

B. 1/3

C. 1/4

D. 1/6

Xem đáp án

Đáp án C

Thể tích khối tứ diện OABC là $V_{O A B C} = \frac{O A . O B . O C}{6} = 1$

Mà $S_{M N P} = \frac{1}{4} S_{A B C} \overset{}{\to} V_{O . M N P} = \frac{1}{4} V_{O . A B C} = \frac{1}{4}$

Câu 43:

Một hộp đựng 9 thẻ được đánh số từ 1 đến 9. Rút ngẫu nhiên 2 thẻ. Xác suất để hai thẻ rút được có tích 2 số ghi trên 2 thẻ là số lẻ là

A. 5/18

B. 7/18

C. 3/18

D. 1/9

Xem đáp án

Đáp án A

Rút ngẫu nhiên 2 thẻ trong 9 thẻ có $C_{9}^{2}$ cách $\Rightarrow n (Ω) = C_{9}^{2}$

Gọi X là biến cố “hai thẻ rút được có tích 2 số ghi trên 2 thẻ là số lẻ”

Khi đó 2 thẻ rút ra đều phải đưuọc đánh số lẻ $\Rightarrow$ có $C_{5}^{2}$ cách $\Rightarrow n (X) = C_{5}^{2}$

Vậy xác suất cần tính là $P = \frac{n (X)}{n (Ω)} = \frac{C_{5}^{2}}{C_{9}^{2}} = \frac{5}{18}$

Câu 44:

Tính thể tích lớn nhất của khối chóp tứ giác nội tiếp một mặt cầu bán kính bằng 3.

A. 49/3

B. $12 π$

C. $\frac{32 π}{3}$

D. 64/3

Xem đáp án

Đáp án D

Xét khối chóp tứ giác đều S.ABCD có chiều aco $S H = h, A B = x$

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD là $R = \frac{S A^{2}}{2 \times S H} = 3 \Leftrightarrow S A^{2} = 6 \times S H$

Tam giác SAH vuông tại H, ta có $S A^{2} = S H^{2} + A H^{2} = S H^{2} + \frac{A B^{2}}{2} = h^{2} + \frac{x^{2}}{2}$

Suy ra $h^{2} + \frac{x^{2}}{2} = 6 h \Leftrightarrow x^{2} = 12 h - 2 h^{2} .$

Thể tích khối chóp S.ABCD là $V = \frac{1}{3} . S H . S_{A B C D}$

Khi đó $V = \frac{1}{3} h . x^{2} = \frac{2}{3} h (6 h - h^{2}) = \frac{2}{3} (6 h^{2} - h^{3}) \leq \frac{64}{3}$ (khảo sát hàm số)

Câu 45:

Tính diện tích xung quanh của một hình nón tròn xoay có đường cao là 1 và đường kính đáy là 1.

A. $π$

B. $\frac{π \sqrt{5}}{8}$

C. $2 π$

D. $\frac{π \sqrt{5}}{4}$

Xem đáp án

Đáp án D

Độ dài đường sinh hình nón là $l = \sqrt{h^{2} + r^{2}} = \sqrt{1^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

Vậy diện tích xung quanh của hình nón là

Câu 46:

Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay tam giác đều ABC cạnh bằng 1 quanh ABá

A. $\frac{3 π}{4}$

B. $\frac{π}{4}$

C. $\frac{π}{8}$

D. $\frac{π \sqrt{3}}{2}$

Xem đáp án

Đáp án B

Gọi H là trung điểm AB, khi quay tam giác đều ABC quanh AB ta được

Khối nón N1 có chiều cao $h_{1} = A H = \frac{1}{2},$ bán kính đáy $R = C H = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Khối nón N2 có chiều cao $h_{2} = B H = \frac{1}{2},$ bán kính đáy $R = C H = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Vậy thể tích khối tròn xoay cần tính là $V = V_{1} + V_{2} = \frac{1}{3} π R^{2} h_{1} + \frac{1}{3} π R^{2} h_{2} = \frac{π}{4}$

Câu 47:

Trong các khối trụ cùng có diện tích toàn phần là $6 π .$ Tìm bán kính đáy của khối trụ có thể tích lớn nhất

A. $R = 1$

B. $R = \frac{1}{3}$

C. $R = \frac{1}{\sqrt{3}}$

D. $R = 3$

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi R, h lần lượt là bán kính đáy, chiều cao của khối trụ

Diện tích toàn phần của khối trụ là $S_{t p} = 2 π R^{2} + 2 π R h = 6 π \Rightarrow R^{2} + R h = 3$

Thể tích của khối trụ là $V = π R^{2} h = π R (3 - R^{2}) \leq 2 π$ (khảo sát hàm số)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $R = 1.$

Vậy $V_{m a x} = 2 π \Rightarrow R = 1$

Câu 48:

Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để hàm số $F (x) = m x^{3} + (3 m + 2) x^{2} - 4 x + 3$ là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = 3 x^{2} + 10 x - 4$

A. 3

B. 1

C. 2

D. 0

Xem đáp án

Đáp án B

Vì $F (x)$ là nguyên hàm của hàm số $f (x) \Rightarrow f (x) = F' (x)$ $F' (x) = 3 m x^{2} + 2 (3 m + 2) x - 4 \Rightarrow 3 x^{2} + 10 x - 4 = 3 m x^{2} + 2 (3 m + 2) x - 4 \Rightarrow m = 1$

Mà

Câu 49:

Đồ thị hàm số $y = \frac{4 x - 1}{x + 4}$ cắt đường thẳng $y = x + 4$ tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm tọa độ trung điểm C của AB.

A. C(0;4)

B. C(-2;6)

C. C(4;0)

D. C(2;-6)

Xem đáp án

Đáp án B

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d là

$\frac{4 x - 1}{x + 4} = x + 4 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 2 - \sqrt{21} \\ x = - 2 + \sqrt{21} \end{array}$

Vậy tọa độ trung điểm C là $C (\frac{x_{A} + x_{B}}{2}; \frac{y_{A} + y_{B}}{2}) = C (\frac{x_{A} + x_{B}}{2}; \frac{8 - (x_{A} + x_{B})}{2}) = (- 2; 6)$

Câu 50:

Tính giới hạn $\lim_{x \to 3^{+}} \frac{x - 3}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

A. $- \infty$

B. 0

C. $\sqrt{6}$

D. $+ \infty$

Xem đáp án

Đáp án B

$\lim_{x \to 3^{+}} \frac{x - 3}{\sqrt{x^{2} - 9}} = \lim_{x \to 3^{+}} \frac{x - 3}{\sqrt{(x - 3) (x + 3)}} = \lim_{x \to 3^{+}} \frac{x - 3}{\sqrt{x + 3}} = 0$