50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 30 đề thi thử thpt năm 2020 môn Toán cực hay có lời giải chi tiết (đề số 9)

Câu 1:

Đồ thị hình bên là đồ thị của một trong 4 đồ thị của các hàm số ở các phương án A, B, C, D dưới đây. Hãy chọn phương án đúng.

A. $y = x^{4} + x^{2} + 5$

B. $y = - \frac{1}{4} x^{4} - x^{2} + 5$

C. $y = - \frac{1}{4} x^{4} + 5$

D. $y = - \frac{1}{4} x^{4} + 2 x^{2} + 7$

Xem đáp án

Chọn B.

Phương pháp: Sử dụng phương pháp loại trừ.

Cách giải: Vì điểm (0;5) thuộc đồ thị hàm số nên ta loại đáp án D.

Vì bề lõm của đồ thị hướng xuống dưới nên dựa vào tính chất của đồ thị hàm số

Ta thấy trị tuyệt đối hoành độ giao điểm của đồ thị hình bên nhỏ hơn 2. Nhưng trị tuyệt đối hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số ở phương án C là $|x| = \sqrt[4]{20} > 2$ . Từ đó loại phương án C.

Câu 2:

Cho hàm số y = f(x) xác định trên $D = ℝ \ \{- 2; 2\}$ , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên sau

Có bao nhiêu khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

(I). Đồ thị hàm số có 2 tiệm cận. (II). Hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 0.

(III). Hàm số có đúng 1 điểm cực trị. (IV). Đồ thị hàm số có 3 tiệm cận.

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Chọn C.

Phương pháp: Dựa vào bảng biến thiên để xác định tiệm cận, cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.

Cách giải: Dựa vào bảng biến thiên dễ thấy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = 0 và hai tiệm cận đứng x = 2, x = -2. Vậy (I) sai và (IV) đúng.

Câu 3:

Kí hiệu M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \frac{x^{2} + x + 4}{x + 1}$ trên đoạn [0;3]. Tính giá trị của tỉ số $\frac{M}{m}$ .

A. $\frac{4}{3}$

B. 3

C. 1

D. 4

Xem đáp án

Chọn A.

Câu 4:

Cho các hàm số $y = \log_{2} x; y = {(\frac{e}{π})}^{x - 2}; y = \log x; y = {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{x}$ . Trong các hàm số trên, có bao nhiêu hàm số ngịch biến trên tập xác định của nó?

A. 2

B. 3

C. 1

D. 4

Xem đáp án

Chọn A

Câu 5:

Cho các mệnh đề sau:

(I). Nếu $a = \sqrt{b c} t h ì 2 \ln a = \ln b + \ln c$

(II). Cho số thực 0 < a ≠ 1. Khi đó $(a - 1) \log_{a} x \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 1$

(III). Cho các số thực $0 < a \neq 1, b > 0, c > 0$ . Khi đó $b^{\log_{a} c} \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 1$

(IV). $\underset{x \to + \infty}{l i m} {(\frac{1}{2})}^{x} = - \infty$ .

Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là

A. 3

B. 4

C. 2

D. 1

Xem đáp án

Chọn C.

Phương pháp: Kiểm tra tính đúng sai của từng mệnh đề.

Cách giải:

Câu 6:

Nguyên hàm của hàm số $f (x) = \cos (5 x - 2)$ là.

A. $F (x) = \frac{1}{5} \sin (5 x - 2) + C$

B. $F (x) = 5 \sin (5 x - 2) + C$

C. $F (x) = - \frac{1}{5} \sin (5 x - 2) + C$

D. $F (x) = - 5 \sin (5 x - 2) + C$

Xem đáp án

Chọn A.

Câu 7:

Cho số phức $z = a + b i (a, b \in ℝ)$ tùy ý. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Điểm M (-a; - b) là điểm biểu diễn của số phức $\bar{z}$ .

B. Mô đun của z là một số thực dương.

C. Số phức liên hợp của z có mô đun bằng mô đun của số phức iz.

D. $z^{2} = {|z|}^{2}$

Xem đáp án

Chọn C.

Phương pháp: Kiểm tra tính đúng sai của từng mệnh đề.

Cách giải:

Câu 8:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $(P) : x + 2 y - 3 z + 5 = 0$ . Vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) ?

A. $\vec{n} = (1; 2; 3)$

B. $\vec{n} = (1; - 2; - 3)$

C. $\vec{n} = (- 1; 2; - 3)$

D. $\vec{n} = (1; 2; - 3)$

Xem đáp án

Chọn D.

Câu 9:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng $(α) : x + y - z + 1 = 0 v à (β) : - 2 x + m y + 2 z - 2 = 0$ . Tìm m để mặt phẳng (α) song song với mặt phẳng (β).

A. m = 2

B. m = 5

C. Không tồn tại

D. m = -2

Xem đáp án

Chọn C.

Câu 10:

Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy 2a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 600. Tính thể tích của khối chóp S. ABCD

A. $\frac{2 a^{3} \sqrt{2}}{3}$

B. $\frac{4 a^{3} \sqrt{3}}{3}$

C. $\frac{2 a^{3} \sqrt{3}}{3}$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}$

Xem đáp án

Chọn B.

Phương pháp: Sử dụng định nghĩa hình chóp đều và góc giữa hai mặt phẳng..

Cách giải: Vì S.ABCD là hình chóp đều nên ABCD là hình vuông. Suy ra:

Câu 11:

Cho m là một số thực. Hỏi đồ thị của hàm số $y = 2 x^{3} - x$ và đồ thị của hàm số $y = x^{3} + m x^{2} - m$ cắt nhau tại ít nhất mấy điểm?

A. 0

B. 3

C. 2

D. 1

Xem đáp án

Chọn C.

Phương pháp: Viết phương trình hoành độ giao điểm và xét số nghiệm.

Cách giải: Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là:

Câu 12:

Cho hàm số y = f (x) có đồ thị của y = f '(x) như hình vẽ sau. Xác định số điểm cực trị của hàm y = f (x)

A. 3

B. 4

C. 2

D. 1

Xem đáp án

Chọn C.

Câu 13:

Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số $y = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 2 m x - m}$ có 3 tiệm cận là.

A. $m \in ℝ \ \{1; \frac{1}{3}\}$

B. $m \in (- \infty; - 1) \cup (0; + \infty)$

C. $m \in (- 1; 0) \ \{- \frac{1}{3}\}$

D. $m \in (- \infty; - 1) \cup (0; + \infty) \ \{\frac{1}{3}\}$

Xem đáp án

Chọn D.

Phương pháp: Sử dụng định nghĩa đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Dễ thấy đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang y = 1.

Để đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận thì đồ thị hàm số phải có hai tiệm cận đứng.

Điều kiện cần và đủ để đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận đứng là mẫu số có hai nghiệm phân biệt không là nghiệm của tử số.

Hay

Câu 14:

Một người gửi 15 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 1,65% một quý, nếu hết quý người đó không rút tiền lãi ra thì số tiền lãi đó được tính là tiền gốc của quý tiếp theo. Nếu như người đó không rút lãi hàng quý, thì sau bao lâu người đó có được ít nhất 20 triệu đồng (cả vốn lẫn lãi) từ số vốn ban đầu ? (Giả sử lãi suất không thay đổi).

A. 4 năm

B. 3 năm và 3 quý

C. 4 năm và 2 quý

D. 3 năm 1 quý

Xem đáp án

Chọn C.

Vậy sau ít nhất 18 quý tức 4 năm 2 tháng người đó có được ít nhất 20 triệu đồng (cả vốn lẫn lãi) từ số vốn ban đầu.

Câu 15:

Tìm tập xác định D của hàm số $y = \log_{\frac{2}{3}} [\log_{\frac{1}{3}} (\frac{x^{2}}{2} + 2^{\log_{2} (x - 1)}) + 3]$

A. $D = (1; 1 + \sqrt{57})$

B. $D = (- 1 - \sqrt{57}; - 1 + \sqrt{57})$

C. $D = (2; - 1 + \sqrt{57})$

D. $D = (1; + \infty)$

Xem đáp án

Chọn A.

Phương pháp: Viết và giải các điều kiện xác định.

Lưu ý: Với toán trắc nghiệm thì có thể thử phương án để loại ba phương án sai.

Cách giải: Ta có điều kiện xác định hàm số:

Câu 16:

Nghiệm của bất phương trình $\log_{2} (x + 1) + \log_{\frac{1}{2}} \sqrt{x + 1} \leq 0$ là.

A. $- 1 < x \leq 0$

B. $- 1 \leq x \leq 0$

C. $- 1 \leq x \leq 1$

D. $x \leq 0$

Xem đáp án

Chọn A.

Phương pháp: Biến đổi tương đương, hệ quả.

Cách giải: Ta có:

Câu 17:

Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng được giới hạn bởi các đồ thị hàm số $y = \sqrt{1 - x^{2}}; y = 0$ quanh trục Ox

A. 2

B. $3 π$

C. $\frac{3}{4} π$

D. $\frac{4}{3} π$

Xem đáp án

Chọn D.

Phương pháp: Tìm cận và sử dụng tích phân để tính thể tích.

Câu 18:

Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số $f (x) = a x + \frac{b}{x^{2}} (x \neq 0)$ , biết rằng $F (- 1) = 1, F (1) = 4, f (1) = 0$

A. $F (x) = \frac{3 x^{2}}{4} + \frac{3}{2 x} + \frac{7}{4}$

B. $F (x) = \frac{3 x^{2}}{4} + \frac{3}{2 x} - \frac{7}{4}$

C. $F (x) = \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{3}{4 x} - \frac{7}{4}$

D. $F (x) = \frac{3 x^{2}}{2} - \frac{3}{2 x} - \frac{1}{2}$

Xem đáp án

Chọn A.

Phương pháp: Sử dụng các công thức tính nguyên hàm đã biết.

Câu 19:

Môđun của số phức $z = 2 + 3 i - \frac{1 + 5 i}{3 - i}$ là:

A. $|z| = \frac{\sqrt{170}}{4}$

B. $|z| = \frac{\sqrt{170}}{3}$

C. $|z| = \frac{\sqrt{170}}{5}$

D. $|z| = \frac{\sqrt{170}}{8}$

Xem đáp án

Chọn C.

Phương pháp: Sử dụng định nghĩa mô đun của số phức.

Câu 20:

Các điểm M, N, P lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức $z_{1} = \frac{4 i}{i - 1}; z_{2} = (1 - i) (1 + 2 i); z_{3} = - 1 + 2 i$ . Hỏi tam giác MNP có đặc điểm gì?

A. Tam giác vuông

B. Tam giác cân

C. đáp án khác

D. Tam giác đều

Xem đáp án

Chọn C.

Câu 21:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng $d_{1} : \frac{x - 2}{1} = \frac{y - 1}{- 2} = \frac{z + 3}{- 1}; d_{2} \{\begin{cases} x = - 3 - t \\ y = 6 + t \\ z = - 3 \end{cases}$ . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. d₁ và d₂ chéo nhau.

B. d₁ và d₂ cắt nhau.

C. d₁ và d₂ trùng nhau.

D. d₁ song song với d₂ .

Xem đáp án

Chọn B.

Phương pháp: Sử dụng tích có hướng và tích hỗn tạp để kiểm tra vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian.

Câu 22:

Có bao nhiêu mặt phẳng song song với mặt phẳng $(α) : x + y + z = 0$ đồng thời tiếp xúc với mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x - 2 y - 2 z = 0$ ?

A. 1

B. 0

C. Vô số

D. 2

Xem đáp án

Chọn A.

Câu 23:

Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a. Mặt phẳng (AB'C') tạo với mặt đáy góc $60 °$ . Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C'.

A. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{2}$

B. $V = \frac{3 a^{3} \sqrt{3}}{4}$

C. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{8}$

D. $V = \frac{3 a^{3} \sqrt{3}}{8}$

Xem đáp án

Chọn D.

Phương pháp: Sử dụng công thức tính thể tích lăng trụ.

Câu 24:

Cho hai điểm A, B cố định. Gọi M là một điểm di động trong không gian sao cho $M A B = 30 °$ Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng ?

A. M thuộc mặt cầu cố định.

B. M thuộc mặt trụ cố định.

C. M thuộc mặt phẳng cố định.

D. M thuộc mặt nón cố định.

Xem đáp án

Chọn D.

Phương pháp: Đây là câu hỏi về kiến thức cơ bản.

Cách giải: Dễ thấy điểm M thuộc mặt nón đỉnh A trục AB và góc ở đỉnh là $60 °$

Câu 25:

Hàm số $y = \frac{2 - \sin 2 x}{\sqrt{m \cos x + 1}}$ có tập xác định $ℝ$ khi

A. m > 0

B. 0 < m < 1

C. $m \neq - 1$

D. -1 < m < 1

Xem đáp án

Chọn D.

Phương pháp: Dưới mẫu là biểu thức chứa căn bậc hai nên để hàm số xác định trên $ℝ$ thì biểu thức trong căn bậc hai luôn dương.

Cách giải: Để hàm số đã cho xác định trên $ℝ$ thì

Câu 26:

Tìm tập các số âm trong dãy số $x_{1}; x_{2}; x_{3}; . . .; x_{n} v ớ i x_{n} = \frac{A_{n + 1}^{4}}{P_{n + 2}} - \frac{143}{4 P_{n}}, n \in ℕ *$

A. $H = \{\frac{- 54}{5}; \frac{- 23}{8}\}$

B. H = {1;2}

C. $H = \{\frac{- 63}{4}; \frac{- 23}{4}\}$

D. Đáp án khác

Xem đáp án

Chọn D.

Phương pháp: Về bản chất đây là bài toán giải bất phương trình.

Câu 27:

Biết đồ thị hàm số $y = x^{3} + a x^{2} + b x + c$ (với a, b, c là các số thực(đi qua điểm (1;0) và có điểm cực trị (-2; 0) . Tính giá trị biểu thức $T = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2$ .

A. 18

B. 7

C. 9

D. 27

Xem đáp án

Chọn D.

Phương pháp: Sử dụng các tính chất hàm số đa thức bậc 3.

Câu 28:

Tìm số thức a để hàm số $f (x) = \{\begin{cases} \frac{\sqrt{4 x + 1} - 1}{a x^{2} + (2 a + 1) x} \\ 3 \end{cases}$ khi $x \neq 0$ liên tục tại x = 0

A. $\frac{1}{2}$

B. $\frac{1}{4}$

C. Đáp án khác

D. 1

Xem đáp án

Chọn C.

Câu 29:

Cho đồ thị hàm số $y = f (x) = x^{3} + b x^{2} + c x + d$ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ $x_{1}; x_{2}; x_{3}$ . Tính giá trị biểu thức $P = \frac{1}{f' (x_{1})} + \frac{1}{f' (x_{2})} + \frac{1}{f' (x_{3})}$ .

A. P = 2b + c

B. P = 1

C. P = 0

D. $P = \frac{1}{2 b} + \frac{1}{c} + a$

Xem đáp án

Chọn C.

Phương pháp: Sử dụng định lý Viet cho phương trình bậc 3.

Câu 30:

Tìm m để đường thẳng $d : y = x - m$ cắt đồ thị hàm số $(C) : y = \frac{x + 1}{x - 1}$ tại hai điểm phân biệt A, B sao cho $A B = 3 \sqrt{2}$

A. m = 2 và m = -2

B. m = 4 và m = -4

C. m = 1 và m = -1

D. m = 3 và m = -3

Xem đáp án

Chọn C.

Phương pháp: Sử dụng phương trình hoành độ giao điểm và định lý Viet.

Cách giải: Phương trình hoành độ giao điểm là

Vì a,c là nghiệm của (*) nên theo định lý Viet ta có:

Câu 31:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình $\log_{3} (x + 2) + 2 m \log_{\sqrt{x + 2}} 3 = 16$ có hai nghiệm đều lớn hơn - 1

A. vô số

B. đáp án khác

C. 63 giá trị

D. 16 giá trị

Xem đáp án

Chọn D.

Phương pháp: Đặt ẩn phụ.

Câu 32:

Biết hai hàm số $y = a^{x}, y = f (x)$ có đồ thị như hình vẽ đồng thời đồ thị của hai hàm số này đối xứng nhau qua đường thẳng $y = - x$ . Tính $f (- a) + f (- a^{2})$

A. -3

B. 4

C. 5

D. đáp án khác

Xem đáp án

Chọn A

Cách giải:

Đặt X= -x, Y=y => Ta có hệ trục tọa độ OXY như hình vẽ

Câu 33:

Tìm tất cả các giá trị thực dương của tham số m sao cho $\int_{o}^{m} x e^{\sqrt{x^{2} + 1}} d x = 2^{500} e^{\sqrt{m^{2} + 1}}$ .

A. $m = 2^{250} \sqrt{2^{500} - 2}$

B. $m = \sqrt{2^{1000} + 1}$

C. $m = 2^{250} \sqrt{2^{500} + 2}$

D. $m = \sqrt{2^{1000} - 1}$

Xem đáp án

Chọn C.

Phương pháp: Sử dụng phương pháp đổi biến và tích phân từng phần.

Câu 34:

Cho đồ thị biểu diên vận tốc của hai xe A và B khởi hành cùng một lúc, bên cạnh nhau và trên cùng một con đường. Biết đồ thị biểu diễn vận tốc của xe A là một đường Parabol, đồ thị biểu diễn vận tốc của xe B là một đường thẳng ở hình bên. Hỏi sau khi đi được 5 giây khoảng cách giữa hai xe là bao nhiêu mét.

A. 270 m

B. 60 m

C. 80 m

D. $\frac{250}{3} m$

Xem đáp án

Chọn D

Phương pháp: Sử dụng tích phân.

Cách giải: Trước hết ta xác định phương trình đường thẳng và phương trình Parabol.

Dễ thấy phương trình đường thẳng là $v_{1} = 20 t$ và phương trình đường Parabol là

Câu 35:

Cho dãy số $(u_{n})$ xác định bởi công thức $\{\begin{cases} u_{1} = 5 \\ u_{n + 1} = u_{n} + n \end{cases}$ . Tính $u_{100}$ .

A. 4950

B. 4955

C. 4960

D. 4965

Xem đáp án

Chọn B.

Phương pháp: Từ công thức truy hồi suy ra kết quả.

Cách giải:

Câu 36:

Cho các số phức $z_{1} = 1 + 3 i, z_{2} = - 5 - 3 i$ . Tìm điểm M (x; y) biểu diễn số phức $z_{3}$ , biết rằng trong mặt phẳng phức điểm M nằm trên đường thẳng $x - 2 y + 1 = 0$ và mô đun số phức $w = 3 z_{3} - z_{2} - 2 z_{1}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

A. $M (\frac{- 3}{5}; \frac{- 1}{5})$

B. $M (\frac{3}{5}; \frac{- 1}{5})$

C. $M (\frac{3}{5}; \frac{1}{5})$

D. $M (\frac{- 3}{5}; \frac{1}{5})$

Xem đáp án

Chọn D.

Câu 37:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba đường thẳng $d_{1} : \{\begin{cases} x = 1 \\ y = - 1 \\ z = t_{1} \end{cases}, d_{2} : \{\begin{cases} x = t_{2} \\ y = - 1 \\ z = 0 \end{cases}, d_{3} : \{\begin{cases} x = 1 \\ y = t_{3} \\ z = 0 \end{cases}$ Viết phương trình mặt phẳng đi qua $M (1; 2; 3)$ và cắt ba đường thẳng $d_{1}, d_{2}, d_{3}$ lần lượt tại A, B, C sao cho M là trực tâm tam giác ABC

A. $x + y + z - 6 = 0$

B. $x - z - 2 = 0$

C. $2 x + 2 y - z - 9 = 0$

D. đáp án khác

Xem đáp án

Chọn D.

Phương pháp: Nhận xét rằng ba đường thẳng lần lượt song song với các trục tọa độ và đồng quy tại điểm A(1;-1;0) nên bài toán trở thành bài toán quen thuộc là viết phương trình mặt phẳng đi qua M vuông góc với đường thẳng AM.

Câu 38:

Cho hình chóp S.ABCD có cạnh bên $S A = a (0 < a < \sqrt{3})$ và các cạnh còn lại đều bằng 1. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD.

A. $V = \frac{a \sqrt{3 - a^{2}}}{3}$

B. đáp án khác

C. $2 \sqrt{2}$

D. $\sqrt{2}$

Xem đáp án

Chọn B.

Phương pháp: Mấu chốt bài toán là chỉ ra được tam giác SAC vuông tại S.

Cách giải: Gọi O là giao điểm của AC và BD, H là hình chiếu của S lên mặt đáy.

Câu 39:

Cho hình lập phương $A B C D . A' B' C' D'$ có cạnh bằng 1. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A'C và MN.

A. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

B. $\frac{\sqrt{2}}{4}$

C. $2 \sqrt{2}$

D. $\sqrt{2}$

Xem đáp án

Chọn B.

Phương pháp: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách từ một trong hai đường thẳng đó tới mặt phẳng chứa đường thẳng kia và song song với nó.

Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song với nhau là khoảng cách từ điểm bất kỳ trên đường thẳng tới mặt phẳng đó.

Câu 40:

Cho một cái bể nước hình hộp chữ nhật có ba kích thước 2m, 3m, 2m lần lượt là chiều rộng, chiều dài, chiều cao của lòng trong đựng nước của bể. Hàng ngày nước ở trong bể được lấy ra bởi một cái gáo hình trụ có chiều cao là 5cm và bán kính đường tròn đáy là 4cm. Trung bình một ngày được múc ra 170 gáo nước để sử dụng (Biết mỗi lần múc là múc đầy gáo). Hỏi sau bao nhiều ngày thì bể hết nước biết rằng ban đầu bể đầy nước ?

A. 280 ngày

B. 281 ngày

C. 282 ngày

D. 283 ngày

Xem đáp án

Chọn B.

Phương pháp: Sử dụng công thức tính thể tích hình hộp và thể tích hình trụ.

Cách giải: Thể tích nước trong bể khi đầy là

Câu 41:

Một cái ao có hình ABCDE (như hình vẽ), ở giữa ao có một mảnh vườn hình tròn bán kính 10m, người ta muốn bắc một cây cầu từ bờ AB của ao đến vườn. Hỏi độ dài ngắn nhất l của cây cầu gần nhất với so nào dưới đây biết.

- Hai bờ AE và BC nằm trên hai đường thẳng vuông góc với nhau, hai đường thẳng này cắt nhau tại điểm O;

- Bờ AB là một phần của một parabol có đỉnh là điểm A và có trục đối xứng là đường thẳng OA ;

- Độ dài đoạn OA và OB lần lượt là 40m và 20m;

- Tâm I của mảnh vườn cách đường thẳng AE và BC lần lượt là 40m và 30m.

A. 29,7m

B. 17,7m.

C. 11,7m.

D. 6,7m.

Xem đáp án

Chọn B.

Phương pháp: Sử dụng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.

Cách giải: Chọn hệ trục tọa độ Đề các vuông góc như sau:

Gốc O, chiều dương trục hoành là tia OC, chiều dương trục tung là tia OE, đơn vị hai trục là đơn vị độ dài 1m

Khi đó ta có phương trình Parabol là

nằm trên Parabol thì khoảng cách ngắn nhất từ đường tròn đến M là

Khảo sát hàm số suy ra khoảng cách ngắn nhất xấp xỉ 17,7

Câu 42:

Trong một đợt kiểm tra về vệ sinh an toàn thực phẩm của ngành y tế tại chợ X. Ban quản lý chợ lấy ra 15 mẫu thịt lợn trong đó có 4 mẫu ở quầy A, 5 mẫu ở quầy B và 6 mẫu ở quầy C. Mỗi mẫu thịt này có khối lượng như nhau và để trong các hộp kín có kích thước giống hệt nhau. Đoàn kiểm tra lấy ra ngẫu nhiên ba hộp để phân tích, kiểm tra xem trong thịt lợn có chứa hóa chất "Super tạo nạc" (Clenbuterol) hay không. Xác suất để 3 hộp lấy ra có đủ ba loại thịt ở các quầy A, B, C là:

A. $\frac{24}{93}$

B. đáp án khác

C. $\frac{1}{5}$

D. $\frac{1}{15}$

Xem đáp án

Chọn B.

Phương pháp: Đây là bài toán xác suất cơ bản.

Câu 43:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-3; 3] để hàm số $y = \frac{3^{- x} - 3}{3^{- x} - m}$ nghịch biến trên khoảng (-1;1).

A. 4

B. 3

C. 2

D. 0

Xem đáp án

Chọn B

Phương pháp: Sử dụng đạo hàm của hàm hợp để tính đạo hàm.

Câu 44:

Biết phương trình $\log_{5} \frac{2 \sqrt{x} + 1}{x} = 2 \log_{3} (\frac{\sqrt{x}}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{x}})$ có nghiệm duy nhất $x = a + b \sqrt{2}$ trong đó a, b là các số nguyên. Hỏi m thuộc khoảng nào dưới đây để hàm số $y = \frac{m x + a - 2}{x - m}$ có giá trị lớn nhất trên đoạn [1;2] bằng -2.

A. $m \in (2; 4)$

B. $m \in (4; 6)$

C. $m \in (6; 7)$

D. $m \in (7; 9)$

Xem đáp án

Chọn A.

Phương pháp: S.

Cách giải: Ta có:

Câu 45:

Cho hàm số f(x) liên tục trên R. và thỏa mãn $\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} c o t x . f (\sin^{2} x) d x = \int_{1}^{16} \frac{f (\sqrt{x})}{x} d x = 1$ . Tính $I = \int_{\frac{1}{8}}^{1} \frac{f (4 x)}{x} d x$ .

A. $I = \frac{5}{2}$

B. I = 2

C. $I = \frac{3}{2}$

D. I = 3

Xem đáp án

Chọn A.

Phương pháp: Sử dụng phương pháp đổi biến và các tính chất của tích phân.

Cách giải: Ta có:

Câu 46:

Cho số phức z thỏa mãn $(1 + 2 i) |z| = \frac{\sqrt{10}}{z} - 2 + i$ . Hỏi phần ảo của số phức $w = z^{2} + z + 1$ bằng bao nhiêu?

A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

B. $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

C. $\frac{1}{2}$

D. đáp án khác

Xem đáp án

Chọn D

Cách giải:

Câu 47:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;-1) và mặt phẳng (P) có phương trình $x + y + 2 z - 13 = 0$ . Mặt cầu (S) đi qua A, tiếp xúc với mặt phẳng (P) và có bán kính nhỏ nhất. Điểm I (a;b;c) là tâm của mặt cầu (S), tính giá trị của biểu thức $T = a^{2} + 2 b^{2} + 3 c^{2}$

A. T = 25

B. T = 30

C. T = 20

D. T = 35

Xem đáp án

Chọn A

Cách giải:

Gọi B là điểm tiếp xúc của mặt cầu (S) và mặt phẳng (P)

=> IB=R

Gọi H là hình chiếu của A xuống (P)

Câu 48:

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Các điểm E và F lần lượt là trung điểm của C'B' và C'D'. Mặt phẳng ( AEF) cắt khối lập phương đã cho thành hai phần, gọi $V_{1}$ là thể

tích khối chứa điểm A' và $V_{2}$ là thể tích khối chứa điểm C’. Khi đó tỉ số $\frac{V_{1}}{V_{2}}$ bằng

A. $\frac{25}{47}$

B. 1

C. $\frac{17}{25}$

D. $\frac{8}{17}$

Xem đáp án

Chọn A

Phương pháp: .

Cách giải: Dựng hình như hình vẽ.

Trước hết ta tính thể tích khối chóp A.A'MN.

Câu 49:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết rằng diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD là $4 π ({dm}^{2})$ Khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AC gần nhất với giá trị nào sau đây?

A. $\frac{2}{7} d m$

B. $\frac{3}{7} d m$

C. $\frac{4}{7} d m$

D. $\frac{6}{7} d m$

Xem đáp án

Chọn D.

Phương pháp: Xác định cạnh của đáy trước.

Cách giải: Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp là

Gọi O là tâm của đáy, I là tâm mặt cầu, G là tâm tam giác SAD, M là trung điểm AD.

Dễ thấy I nằm đồn thời trên trục của tam giác SAD và trục của đáy.

Qua D dựng đường thẳng d song song với AC. Gọi K là hình chiếu cửa M trên d, H là hình chiếu của M trên SD. Suy ra $M H ⊥ (d, S D)$ .

Ta có:

Câu 50:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0;-2;-l), B(-2;-4;3), C(l;3;-l) và mặt phẳng $(P) : x + y - 2 z - 3 = 0$ . Tìm điểm $M \in (P)$ sao cho $|\vec{M A} + \vec{M B} + 2 \vec{M C}|$ đạt giá trị nhỏ nhất.

A. $M (\frac{1}{2}; \frac{1}{2}; - 1)$

B. $M (- \frac{1}{2}; - \frac{1}{2}; 1)$

C. M(2;2;-4)

D. (-2;-2;4)

Xem đáp án

Chọn A .

Phương pháp: S.