50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 35 đề minh họa THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 có lời giải (Đề 14)

Câu 1:

Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 học sinh thành một hàng dọc?

A. $5^{5}$ .

B.

5!

.

C.

4!

.

D.

5

.

Xem đáp án

Chọn B.

Số cách sắp xếp 5 học sinh thành một hàng dọc là $5!$ .

Câu 2:

Cho cấp số cộng có $u_{1} = - 3$ , $d = 4$ . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

A. $u_{5} = 15$ .

B.

u_{4} = 8

.

C.

u_{3} = 5

.

D.

u_{2} = 2

.

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có $u_{3} = u_{1} + 2 d$ $= - 3 + 2.4$ $= 5$ .

Câu 3:

Tìm nghiệm của phương trình

\log_{2} (x - 5) = 4

.

A. x = 3.

B. x = 13.

C. x = 21.

D. x = 11.

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có, $\log_{2} (x - 5) = 4 \Leftrightarrow x - 5 = 16 \Leftrightarrow x = 21$ .

Câu 4:

Tính thể tích của một khối lăng trụ biết khối lăng trụ đó có đường cao bằng 3a, diện tích mặt đáy bằng

4 a^{2}

.

A. $12 a^{2}$ .

B.

4 a^{3}

.

C.

12 a^{3}

.

D.

4 a^{2}

.

Xem đáp án

Chọn C.

Áp dụng công thức thể tích khối lăng trụ ta có được: $V = S_{đ} . h = 4 a^{2} .3 a = 12 a^{3}$ .

Câu 5:

Tập xác định của hàm số $y = \log_{3} (4 - x)$ là

A. $(4; + \infty)$ .

B.

[4; + \infty)

.

C.

(- \infty; 4)

.

D.

(- \infty; 4]

.

Xem đáp án

Chọn C.

Điều kiện $4 - x > 0$ $\Leftrightarrow x < 4$ .

Câu 6:

Cho f(x), g(x) là các hàm số xác định và liên tục trên R. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. $\int f (x) g (x) d x = \int f (x) d x . \int g (x) d x$ .

B.

\int 2 f (x) d x = 2 \int f (x) d x

.

C.

\int [f (x) + g (x)] d x = \int f (x) d x + \int g (x) d x

.

D.

\int [f (x) - g (x)] d x = \int f (x) d x - \int g (x) d x

.

Xem đáp án

Chọn A

Nguyên hàm không có tính chất nguyên hàm của tích bằng tích các nguyên hàm.

Hoặc B, C, D đúng do đó là các tính chất cơ bản của nguyên hàm nên A sai.

Câu 7:

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = 3a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích khối chóp SABCD.

A. $\frac{a^{3}}{3}$ .

B.

9 a^{3}

.

C.

a^{3}

.

D.

3 a^{3}

.

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có diện tích đáy ABCD: $S_{A B C D} = a^{2}$ .

Đường cao SA = 3a.

Vậy thể tích khối chóp SABCD là $V = \frac{1}{3} S_{A B C D} . S A$ $= \frac{1}{3} . a^{2} .3 a$ $= a^{3}$ .

Câu 8:

Lăng trụ tam giác đều có độ dài tất cả các cạnh bằng 3. Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng

A. $\frac{9 \sqrt{3}}{4}$ .

B.

\frac{27 \sqrt{3}}{4}

.

C.

\frac{27 \sqrt{3}}{2}

.

D.

\frac{9 \sqrt{3}}{2}

.

Xem đáp án

Chọn B.

Diện tích đáy: $S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} .3.3. \sin 60 ° = \frac{9 \sqrt{3}}{4}$ . Thể tích $V_{l t} = S_{Δ A B C} . A A^{'} = \frac{27 \sqrt{3}}{4}$

Câu 9:

Cho hình trụ có bán kính đáy bằng 3 cm, độ dài đường cao bằng 4 cm. Tính diện tích xung quanh của hình trụ này?

A. $24 π (c m^{2})$ .

B.

22 π (c m^{2})

.

C.

26 π (c m^{2})

.

D.

20 π (c m^{2})

.

Xem đáp án

Chọn A.

Áp dụng công thức tính diện tích xung quanh, ta có: $S_{x q} = 2 π R . l = 2 π .3.4 = 24 π (c m^{2})$

Câu 10:

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau

Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng nào sau đây?

A. (0;3).

B.

(2; + \infty)

.

C.

(- \infty; 0)

.

D. (0;2).

Xem đáp án

Chọn D.

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên (0;2).

Câu 11:

Cho b là số thực dương khác 1

. Tính

P = \log_{b} (b^{2} . b^{\frac{1}{2}})

.

A. $P = \frac{3}{2}$ .

B.

P = 1

.

C.

P = \frac{5}{2}

.

D.

P = \frac{1}{4}

.

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có $P = \log_{b} (b^{2} . b^{\frac{1}{2}})$ $= \log_{b} b^{\frac{5}{2}}$ $= \frac{5}{2} \log_{b} b$ $= \frac{5}{2}$ .

Câu 12:

Gọi l, h, r lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính mặt đáy của hình nón. Diện tích xung quanh

S_{x q}

của hình nón là

A. $S_{x q} = π r h$ .

B.

S_{x q} = 2 π r l

.

C.

S_{x q} = π r l

.

D.

S_{x q} = \frac{1}{3} π r^{2} h

.

Xem đáp án

Chọn C.

$S_{x q} = π r l$ .

Câu 13:

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên sau:

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đạt cực đại tại x = 2

B. Hàm số đạt cực đại tại x = 3

C. Hàm số đạt cực đại tại x = -2

D. Hàm số đạt cực đại tại x = 4

Xem đáp án

Chọn A.

Hàm số đạt cực đại tại x = 2 và $y_{C Đ} = y (2) = 3.$

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 4 và $y_{C T} = y (4) = - 2.$

Câu 14:

Đường cong hình bên là đồ thị của hàm số nào trong bốn hàm số sau đây?

A. $y = x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + 1$ .

B.

y = - x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} + 1

.

C.

y = - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 1

.

D.

y = 2 x^{3} + 3 x^{2} + 1

.

Xem đáp án

Chọn D

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy

+ $a > 0 \Rightarrow$ loại B, C.

+Khi x = -1thì y = 2

Câu 15:

Cho hàm số

y = \frac{2020}{x - 2}

có đồ thị

(H)

. Số đường tiệm cận của

(H)

là?

A. 0

B. 2

C. 3

D. 1

Xem đáp án

Chọn B.

Đồ thị (H) có tiệm cận đứng là x = 2

Ta có $\lim_{x \to \pm \infty} y = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{2020}{x - 2} = 0 \Rightarrow (H)$ có tiệm cận ngang là y = 0

Vậy số đường tiệm cận của (H)là 2

Câu 16:

Giải bất phương trình $\log_{3} (x - 1) > 2$ .

A.

x > 10

.

B.

x < 10

.

C.

0 < x < 10

.

D.

x \geq 10

.

Xem đáp án

Chọn A.

Điều kiện $x > 1$ , ta có $\log_{3} (x - 1) > 2$ $\Leftrightarrow x - 1 > 3^{2}$ $\Leftrightarrow x > 10$ .

Câu 17:

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình bên

Số nghiệm của phương trình $f (x) + 3 = 0$ là:

A. 0

B. 3

C. 2

D. 1

Xem đáp án

Chọn C.

Đồ thị hàm số $y = f (x) + 3$ được suy ra từ đồ thị hàm số y = f(x) bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y = f(x) theo chiều dương trục tung 3 đơn vị.

Bảng biến thiên của đồ thị hàm số $y = f (x) + 3$ là

Vậy số nghiệm của phương trình $f (x) + 3 = 0$ là 2.

Câu 18:

Cho hàm số f(x) liên tục trên R và có $\int_{0}^{1} f (x) d x = 2$ ; $\int_{1}^{3} f (x) d x = 6$ . Tính $I = \int_{0}^{3} f (x) d x$ .

A. I = 8

B. I = 12

C. 36

D. I = 4

Xem đáp án

Chọn A.

$I = \int_{0}^{3} f (x) d x$ $= \int_{0}^{1} f (x) d x + \int_{1}^{3} f (x) d x$ $= 2 + 6 = 8$ .

Câu 19:

Phần thực và phần ảo của số phức z = 1 + 2i lần lượt là:

A. 2 và 1

B. 1 và 2i.

C. 1 và 2.

D. 1 và i.

Xem đáp án

Chọn C.

Số phức z = 1 + 2i có phần thực và phần ảo lần lượt là 1 và 2.

Câu 20:

Cho hai số phức $z_{1} = - 1 + 2 i$ , $z_{2} = - 1 - 2 i$ . Giá trị của biểu thức ${|z_{1}|}^{2} + {|z_{2}|}^{2}$ bằng

A. $\sqrt{10}$

B. 10

C. -6

D. 4

Xem đáp án

Chọn B.

Ta có ${|z_{1}|}^{2} + {|z_{2}|}^{2} = {(\sqrt{{(- 1)}^{2} + 2^{2}})}^{2} + {(\sqrt{{(- 1)}^{2} + {(- 2)}^{2}})}^{2} = 10$ .

Câu 21:

Trong mặt phẳng Oxy, cho các điểm A, B như hình vẽ bên. Trung điểm của đoạn thẳng AB biểu diễn số phức.

A. $- \frac{1}{2} + 2 i$ .

B.

- 1 + 2 i

.

C.

2 - i

.

D.

2 - \frac{1}{2} i

.

Xem đáp án

Chọn A.

Trung điểm AB là $I (- \frac{1}{2}; 2)$ biểu diễn số phức là $z = - \frac{1}{2} + 2 i$ .

Câu 22:

Trong không gian Oxyz, cho điểm $A (3; - 1; 1)$ . Hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (Oyz) là điểm

A. M (3; 0; 0).

B.

N (0; - 1; 1)

.

C.

P (0; - 1; 0)

.

D.

Q (0; 0; 1)

.

Xem đáp án

Chọn B.

Cách 1. Tự luận:

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (Oyz).

Mặt phẳng $(O y z) : x = 0$ có VTPT $\vec{n} = (1; 0; 0)$ .

Đường thẳng AH qua $A (3; - 1; 1)$ và vuông góc với $(O y z)$ nên nhận $\vec{n} = (1; 0; 0)$ làm VTCP.

$\Rightarrow A H : \{\begin{cases} x = 3 + t \\ y = - 1 \\ z = 1 \end{cases}$ $(t \in ℝ)$ $\Rightarrow H (3 + t; - 1; 1)$ .

Mà $H \in (O y z)$ $\Rightarrow 3 + t = 0$ $\Rightarrow H (0; - 1; 1)$ .

Cách 2: Trắc nghiệm

Với $M (a; b; c)$ thì hình chiếu của nó trên $(O y z)$ là $M^{'} (0; b; c)$ . Do đó chọ đáp án B.

Câu 23:

Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ , cho mặt cầu $(S)$ : $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6 x + 4 y - 8 z + 4 = 0$ . Tìm tọa độ tâm I và tính bán kính R của mặt cầu $(S)$ .

A. $I (3; - 2; 4)$ , $R = 25$ .

B.

I (- 3; 2; - 4)

,

R = 5

.

C.

I (3; - 2; 4)

,

R = 5

.

D.

I (- 3; 2; - 4)

,

R = 25

.

Xem đáp án

Chọn C.

Mặt cầu $(S)$ có tâm là $I (3; - 2; 4)$ .

Bán kính của mặt cầu $(S)$ là $R = \sqrt{{(3)}^{2} + {(- 2)}^{2} + {(4)}^{2} - 4}$ = 5.

Câu 24:

Vectơ $\vec{n} = (1; 2; - 1)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng nào dưới đây?

A. $x + 2 y + z + 2 = 0$ .

B.

x + 2 y - z - 2 = 0

.

C.

x + y - 2 z + 1 = 0

.

D.

x - 2 y + z + 1 = 0

.

Xem đáp án

Chọn B.

Mặt phẳng $x + 2 y - z - 2 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (1; 2; - 1)$ .

Câu 25:

Trong không gian $O x y z$ cho đường thẳng $d : \frac{x - 2}{3} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z + 3}{2}$ . Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng d?

A. $N (2; - 1; - 3)$ .

B.

P (5; - 2; - 1)

.

C.

Q (- 1; 0; - 5)

.

D.

M (- 2; 1; 3)

.

Xem đáp án

Chọn D.

Nhận xét $N, P, Q$ thuộc đường thẳng d.

Tọa độ điểm M không thuộc đường thẳng d.

Câu 26:

Cho hình lăng trụ đứng $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, $A B = B C = a$ , $B B' = a \sqrt{3}$ . Tính góc giữa đường thẳng $A^{'} B$ và mặt phẳng $(B C C^{'} B^{'})$ .

A. $45 °$ .

B.

30 °

.

C.

60 °

.

D.

90 °

.

Xem đáp án

Chọn B.

Câu 27:

Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên R và có bảng biến thiên:

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng:

A. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 2 và giá trị nhỏ nhất bằng -3

B. Hàm số có đúng một cực trị.

C. Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và đạt cực tiểu tại x = 1

D. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 2

Xem đáp án

Chọn C

Dựa vào BBT ta có khẳng định đúng là C.

Câu 28:

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

y = \frac{2 x + 1}{1 - x}

trên đoạn

[2; 3]

.

A. 1

B. -2

C. 0

D. -5

Xem đáp án

Chọn D.

$y^{'} = \frac{3}{{(- x + 1)}^{2}} > 0 \forall x \neq 1 \Rightarrow \min_{[2; 3]} y = y (2) = - 5$ .

Câu 29:

Cho các số thực dương a, b thỏa mãn $\log_{2} a = x$ , $\log_{2} b = y$ . Tính $P = \log_{2} (a^{2} b^{3})$ .

A. $P = x^{2} y^{3}$ .

B.

P = x^{2} + y^{3}

.

C.

P = 6 x y

.

D.

P = 2 x + 3 y

.

Xem đáp án

Chọn D.

$P = \log_{2} (a^{2} b^{3})$ $= \log_{2} a^{2} + \log_{2} b^{3}$ $= 2 \log_{2} a + 3 \log_{2} b$ $= 2 x + 3 y$ .

Câu 30:

Cho hàm số $y = x^{4} + 4 x^{2}$ có đồ thị $(C)$ . Tìm số giao điểm của đồ thị $(C)$ và trục hoành.

A. 0

B. 3

C. 1

D. 2

Xem đáp án

Chọn C.

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị $(C)$ và trục hoành: $x^{4} + 4 x^{2} = 0 \Leftrightarrow x = 0$ .

Vậy đồ thị $(C)$ và trục hoành có 1 giao điểm.

Câu 31:

Tập nghiệm của bất phương trình $16^{x} - {5.4}^{x} + 4 \geq 0$ là:

A. $T = (- \infty; 1) \cup (4; + \infty)$ .

B.

T = (- \infty; 1] \cup [4; + \infty)

C.

T = (- \infty; 0) \cup (1; + \infty)

.

D.

T = (- \infty; 0] \cup [1; + \infty)

.

Xem đáp án

Chọn D.

Câu 32:

Cho hình nón tròn xoay có chiều cao $h = 20 (cm)$ , bán kính đáy $r = 25 (cm)$ . Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là $12 (cm)$ . Tính diện tích của thiết diện đó.

A. $S = 500 ({cm}^{2}) .$

B.

S = 400 ({cm}^{2}) .

C.

S = 300 ({cm}^{2}) .

D.

S = 406 ({cm}^{2}) .

Xem đáp án

Chọn A.

Theo bài ra ta có $A O = r = 25;$ $S O = h = 20;$ $O K = 12$ (Hình vẽ).

Lại có $\frac{1}{O K^{2}} = \frac{1}{O I^{2}} + \frac{1}{O S^{2}} \Rightarrow O I = 15 (cm)$

$A B = 2 A I = \sqrt{25^{2} - 15^{2}} = 40 (cm); S I = \sqrt{S O^{2} + O I^{2}} = 25 (cm) \Rightarrow S_{Δ S A B} = \frac{1}{2} .25.40 = 500 ({cm}^{2}) .$

Câu 33:

Cho

I = \int_{0}^{4} x \sqrt{1 + 2 x} d x

và

u = \sqrt{2 x + 1}

. Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. $I = \frac{1}{2} \int_{1}^{3} x^{2} (x^{2} - 1) d x$ .

B.

I = \int_{1}^{3} u^{2} (u^{2} - 1) d u

.

C.

I = \frac{1}{2} {(\frac{u^{5}}{5} - \frac{u^{3}}{3})|}_{1}^{3}

.

D.

I = \frac{1}{2} \int_{1}^{3} u^{2} (u^{2} - 1) d u

.

Xem đáp án

Chọn B.

$I = \int_{0}^{4} x \sqrt{1 + 2 x} d x$

Đặt $u = \sqrt{2 x + 1}$ $\Rightarrow x = \frac{1}{2} (u^{2} - 1)$ $\Rightarrow d x = u d u$ , đổi cận: $x = 0 \Rightarrow u = 1$ , $x = 4 \Rightarrow u = 3$ .

Khi đó $I = \frac{1}{2} \int_{1}^{3} (u^{2} - 1) u^{2} d u$ .

Câu 34:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị $f (x) = x^{3} - 3 x + 2$ ; $g (x) = x + 2$ là:

A. S = 8

B. S = 4

C. S = 12

D. S = 16

Xem đáp án

Chọn A.

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị $x^{3} - 3 x + 2 = x + 2 \Leftrightarrow x^{3} - 4 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \pm 2 \end{array}$

Diện tích cần tìm $S = \int_{- 2}^{0} |x^{3} - 4 x| d x + \int_{0}^{2} |x^{3} - 4 x| d x$ $= \int_{- 2}^{0} (x^{3} - 4 x) d x - \int_{0}^{2} (x^{3} - 4 x) d x$ $= (\frac{x^{4}}{4} - 2 x^{2}) |\begin{array}{l} 0 \\ - 2 \end{array} - (\frac{x^{4}}{4} - 2 x^{2}) |\begin{array}{l} 2 \\ 0 \end{array} = 8$ .

Câu 35:

Cho hai số phức $z_{1} = 2 + 3 i$ và $z_{2} = - 3 - 5 i$ . Tính tổng phần thực và phần ảo của số phức $w = z_{1} + z_{2}$ .

A. 3

B. 0

C. $- 1 - 2 i$

D. -3

Xem đáp án

Chọn D.

$w = z_{1} + z_{2} = 2 + 3 i - 3 - 5 i = - 1 - 2 i$ . Vậy tổng phần thực và phần ảo của số phức $w$ là -3.

Câu 36:

Gọi $z_{1}$ là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình $z^{2} + 6 z + 13 = 0$ . Tìm tọa độ điểm M biểu diễn số phức $w = (i + 1) z_{1}$ .

A. $M (- 5; - 1)$ .

B.

M (5; 1)

.

C.

M (- 1; - 5)

.

D.

M (1; 5)

.

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có $z^{2} + 6 z + 13 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} z_{1} = - 3 + 2 i \\ z_{2} = - 3 - 2 i \end{array}$ . Suy ra $w = (i + 1) z_{1}$ $= (1 + i) (- 3 + 2 i)$ $= - 5 - i$ .

Vậy tọa độ điểm M biểu diễn số phức $w = (i + 1) z_{1}$ là $M (- 5; - 1)$ .

Câu 37:

Trong không gian $O x y z$ , cho hai điểm $A (- 1; 2; 1)$ và $B (2; 1; 0)$ . Mặt phẳng qua A và vuông góc với AB có phương trình là

A. $3 x - y - z - 6 = 0$ .

B.

3 x - y - z + 6 = 0

.

C.

x + 3 y + z - 5 = 0

.

D.

x + 3 y + z - 6 = 0

.

Xem đáp án

Chọn B.

Ta có $\Rightarrow d x = 2 \cos t . d t$ .

Mặt phẳng cần tìm vuông góc với AB nên nhận $\Rightarrow d x = 2 \cos t . d t$ làm vectơ pháp tuyến.

Do đó phương trình của mặt phẳng cần tìm là

$3 (x + 1) - (y - 2) - (z - 1) = 0$ $\Leftrightarrow 3 x - y - z + 6 = 0$ .

Câu 38:

Trong không gian với hệ trục $O x y z$ , cho tam giác ABC có $A (- 1; 3; 2)$ , $B (2; 0; 5)$ và $C (0; - 2; 1)$ . Phương trình trung tuyến AM của tam giác ABC là.

A. $\frac{x + 1}{- 2} = \frac{y - 3}{- 2} = \frac{z - 2}{- 4}$ .

B.

\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 3}{- 4} = \frac{z - 2}{1}

.

C.

\frac{x - 2}{- 1} = \frac{y + 4}{3} = \frac{z - 1}{2}

.

D.

\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 3}{- 4} = \frac{z + 2}{1}

.

Xem đáp án

Chọn B.

Ta có: $M (1; - 1; 3)$ ; $\vec{A M} = (2; - 4; 1)$ . Phương trình AM: $\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 3}{- 4} = \frac{z - 2}{1}$ .

Câu 39:

Người ta muốn chia tập hợp 16 học sinh gồm 3 học sinh lớp 12A, 5 học sinh lớp 12B và 8 học sinh lớp 12C thành hai nhóm, mỗi nhóm có 8 học sinh. Xác suất sao cho ở mỗi nhóm đều có học sinh lớp 12A và mỗi nhóm có ít nhất hai học sinh lớp 12B là:

A. $\frac{42}{143}$ .

B.

\frac{84}{143}

.

C.

\frac{356}{1287}

.

D.

\frac{56}{143}

.

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có $n (Ω) = C_{16}^{8} = 12870$ .

Số cách chia nhóm thỏa mãn bài toán là số cách chọn ra một tổ có số học sinh lớp 12A từ 1 đến 2 em, số học sinh lớp 12B là 2 em, còn lại là học sinh lớp 12C.

Khi đó xảy ra các trường hợp sau:

TH1: 2 học sinh 12B + 2 học sinh 12A + 4 học sinh 12C

Có: $C_{5}^{2} . C_{3}^{2} . C_{8}^{4} = 2100$ .

TH2: 2 học sinh 12B + 1 học sinh 12A + 5 học sinh 12C

Có: $C_{5}^{2} . C_{3}^{1} . C_{8}^{5} = 1680$

$\Rightarrow n (A) = 2100 + 1680 = 3780$ .

Vậy xác suất cần tìm là $P (A) = \frac{n (A)}{n (Ω)} = \frac{3780}{12870} = \frac{42}{143}$ .

Câu 40:

Cho lăng trụ đứng tam giác

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

có đáy là một tam giác vuông cân tại B,

A B = B C = a

,

A A^{'} = a \sqrt{2}

, M là trung điểm BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và

B^{'} C

.

A. $\frac{a}{\sqrt{7}}$ .

B.

\frac{a \sqrt{3}}{2}

.

C.

\frac{2 a}{\sqrt{5}}

.

D.

a \sqrt{3}

.

Xem đáp án

Chọn A.

Câu 41:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số $y = x^{3} + 3 x^{2} - (m^{2} - 3 m + 2) x + 5$ đồng biến trên $(0; 2)$ ?

A. 3

B. 2

C. 4

D. 1

Xem đáp án

Chọn B.

Ta có $y = x^{3} + 3 x^{2} - (m^{2} - 3 m + 2) x + 5 \Rightarrow y^{'} = 3 x^{2} + 6 x - (m^{2} - 3 m + 2)$ .

Hàm số đồng biến trên khoảng $(0; 2)$ khi

$y^{'} \geq 0, \forall x \in (0; 2)$ và dấu $'' =''$ chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm trên khoảng $(0; 2)$ .

$\Leftrightarrow 3 x^{2} + 6 x - (m^{2} - 3 m + 2) \geq 0,$ $\forall x \in (0; 2)$

$\Leftrightarrow 3 x^{2} + 6 x \geq m^{2} - 3 m + 2 (*)$ $\forall x \in (0; 2)$

Xét hàm số $g (x) = 3 x^{2} + 6 x,$ $x \in (0; 2)$ .

Ta có $g^{'} (x) = 6 x + 6 > 0, \forall x \in (0; 2)$ .

Bảng biến thiên:

Nhìn bảng biến thiên suy ra điều kiện để $(*)$ xảy ra là: $m^{2} - 3 m + 2 \leq 0 \Leftrightarrow 1 \leq m \leq 2$ .

Do $m \in ℤ \Rightarrow m \in \{1; 2\}$ .

Câu 42:

Một người tham gia chương trình bảo hiểm HÀNH TRÌNH HẠNH PHÚC của công ty Bảo Hiểm MANULIFE với thể lệ như sau: Cứ đến tháng 9 hàng năm người đó đóng vào công ty là 12 triệu đồng với lãi suất hàng năm không đổi là $6 %$ / năm. Hỏi sau đúng 18 năm kể từ ngày đóng, người đó thu về được tất cả bao nhiêu tiền? Kết quả làm tròn đến hai chữ số phần thập phân.

A. $403,32$ (triệu đồng).

B.

293,32

(triệu đồng).

C.

412,23

(triệu đồng).

D.

393,12

(triệu đồng).

Xem đáp án

Chọn D.

Gọi số tiền đóng hàng năm là A = 12 (triệu đồng), lãi suất là $r = 6 % = 0,06$ .

Sau 1 năm, nếu người đó đi rút tiền thì sẽ nhận được số tiền là $A_{1} = A (1 + r)$ . (nhưng người đó không rút mà lại đóng thêm A triệu đồng nữa, nên số tiền gốc để tính lãi năm sau là $A_{1} + A$ ).

Sau 2 năm, nếu người đó đi rút tiền thì sẽ nhận được số tiền là:

.

Sau 33 năm, nếu người đó đi rút tiền thì sẽ nhận được số tiền là:

$A_{3} = (A_{2} + A) (1 + r) = [A {(1 + r)}^{2} + A (1 + r) + A] (1 + r) = A {(1 + r)}^{3} + A {(1 + r)}^{2} + A (1 + r)$ .

…

Sau 18 năm, người đó đi rút tiền thì sẽ nhận được số tiền là:

$A_{18} = A {(1 + r)}^{18} + A {(1 + r)}^{17} + ... + A {(1 + r)}^{2} + A (1 + r)$ .

Tính: $A_{18} = A [{(1 + r)}^{18} + {(1 + r)}^{17} + ... + {(1 + r)}^{2} + (1 + r) + 1 - 1]$ .

$\Rightarrow A_{18} = A [\frac{{(1 + r)}^{19} - 1}{(1 + r) - 1} - 1] = A [\frac{{(1 + r)}^{19} - 1}{r} - 1] = 12 [\frac{{(1 + 0,06)}^{19} - 1}{0,06} - 1] \approx 393,12$ .

Câu 43:

Cho hàm số

y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d

. Hàm số luôn đồng biến trên R khi và chỉ khi.

A. $[\begin{array}{l} a = b = 0; c > 0 \\ a > 0; b^{2} - 4 a c \leq 0 \end{array}$ .

B.

a \geq 0; b^{2} - 3 a c \leq 0

.

C.

[\begin{array}{l} a = b = 0; c > 0 \\ a > 0; b^{2} - 3 a c \geq 0 \end{array}

.

D.

[\begin{array}{l} a = b = 0; c > 0 \\ a > 0; b^{2} - 3 a c \leq 0 \end{array}

.

Xem đáp án

Chọn D.

Ta có $y^{'} = 3 a x^{2} + 2 b x + c$

TH1: $a = 0$ có $y^{'} = 2 b x + c$ để hàm số đồng biến trên $ℝ \Leftrightarrow y^{'} \geq 0, \forall x \in ℝ$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} b = 0 \\ c > 0 \end{cases}$ .

TH2: $a \neq 0$ để hàm số đồng biến trên $ℝ \Leftrightarrow y^{'} \geq 0, \forall x \in ℝ$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} a > 0 \\ Δ^{'} = b^{2} - 3 a c \leq 0 \end{cases}$

Vậy để để hàm số đồng biến trên $ℝ \Leftrightarrow y^{'} \geq 0, \forall x \in ℝ$ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} a = b = 0; c > 0 \\ a > 0; b^{2} - 3 a c \leq 0 \end{array}$ .

Câu 44:

Cho hình thang ABCD vuông tại A và D,

A D = C D = a

,

A B = 2 a

. Quay hình thang ABCD quanh đường thẳng CD. Thể tích khối tròn xoay thu được là:

A. $\frac{5 π a^{3}}{3}$ .

B.

\frac{7 π a^{3}}{3}

.

C.

\frac{4 π a^{3}}{3}

.

D.

π a^{3}

.

Xem đáp án

Chọn A.

Gọi $(T)$ là khối trụ có đường cao là 2a, bán kính đường tròn đáy là a và $(N)$ là khối nón có đường cao là a, bán kính đường tròn đáy là a.

Ta có:

Thể tích khối trụ $(T)$ là: $V_{1} = π . a^{2} .2 a$ $= 2 π . a^{3}$ .

Thể tích khối nón $(N)$ là: $V_{2} = \frac{1}{3} π . a^{2} . a$ $= \frac{π . a^{3}}{3}$ .

Thể tích khối tròn xoay thu được là: $V = V_{1} - V_{2}$ $= 2 π . a^{3} - \frac{π . a^{3}}{3}$ $= \frac{5 π a^{3}}{3}$

Câu 45:

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn $[1; 4]$ , đồng biến trên đoạn $[1; 4]$ và thỏa mãn đẳng thức $x + 2 x . f (x)$ $= {[f^{'} (x)]}^{2}$ , $\forall x \in [1; 4]$ . Biết rằng $f (1) = \frac{3}{2}$ , tính $I = \int_{1}^{4} f (x) d x$ ?

A.

I = \frac{1186}{45}

.

B.

I = \frac{1174}{45}

.

C.

I = \frac{1222}{45}

.

D.

I = \frac{1201}{45}

.

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có $x + 2 x . f (x)$ $= {[f^{'} (x)]}^{2}$ $\Rightarrow \sqrt{x} . \sqrt{1 + 2 f (x)} = f^{'} (x)$ $\Rightarrow \frac{f^{'} (x)}{\sqrt{1 + 2 f (x)}} = \sqrt{x}$ , $\forall x \in [1; 4]$ .

Suy ra $\int \frac{f^{'} (x)}{\sqrt{1 + 2 f (x)}} d x = \int \sqrt{x} d x + C$ $\Leftrightarrow \int \frac{d f (x)}{\sqrt{1 + 2 f (x)}} d x = \int \sqrt{x} d x + C$

$\Rightarrow \sqrt{1 + 2 f (x)} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$ . Mà $f (1) = \frac{3}{2}$ $\Rightarrow C = \frac{4}{3}$ . Vậy $f (x) = \frac{{(\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{4}{3})}^{2} - 1}{2}$ .

Vậy $I = \int_{1}^{4} f (x) d x = \frac{1186}{45}$ .

Câu 46:

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thuộc đoạn $[- π; π]$ của phương trình $3 f (2 \sin x) + 1 = 0$ là

A. 4

B. 5

C. 2

D. 6

Xem đáp án

Chọn A.

Đặt $t = 2 \sin x$ . Vì $x \in [- π; π]$ nên $t \in [- 2; 2] .$ Suy ra $3 f (t) + 1 = 0 \Leftrightarrow f (t) = - \frac{1}{3} .$

Dựa vào bảng biến thiên, phương trình $f (t) = - \frac{1}{3}$ có 2 nghiệm $t_{1} \in (- 2; 0)$ và $t_{2} \in (0; 2)$

Suy ra: $s inx = \frac{t_{1}}{2} \in (- 1; 0)$ và $s inx = \frac{t_{2}}{2} \in (0; 1) .$

Với $s inx = \frac{t_{1}}{2} \in (- 1; 0)$ thì phương trình có 2 nghiệm $- π < x_{1} < x_{2} < 0.$

Với $s inx = \frac{t_{2}}{2} \in (0; 1)$ thì phương trình có 2 nghiệm $0 < x_{3} < x_{4} < π .$

Vậy phương trình có 4 nghiệm phân biệt thuộc đoạn $[- π; π]$

Câu 47:

Cho hai số thực x, y thỏa mãn: $2 y^{3} + 7 y + 2 x \sqrt{1 - x} = 3 \sqrt{1 - x} + 3 (2 y^{2} + 1)$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = x + 2 y$ .

A. $P = 8$ .

B.

P = 10

C.

P = 4

.

D.

P = 6

.

Xem đáp án

Chọn C.

$2 y^{3} + 7 y + 2 x \sqrt{1 - x} = 3 \sqrt{1 - x} + 3 (2 y^{2} + 1)$ .

$\Leftrightarrow 2 (y^{3} - 3 y^{2} + 3 y - 1) + (y - 1) = 2 (1 - x) \sqrt{1 - x} + 3 \sqrt{1 - x} - 2 \sqrt{1 - x}$ .

$\Leftrightarrow 2 {(y - 1)}^{3} + (y - 1) = 2 {(\sqrt{1 - x})}^{3} + \sqrt{1 - x} (1)$ .

+ Xét hàm số $f (t) = 2 t^{3} + t$ trên $[0; + \infty)$ .

Ta có: $f^{'} (t) = 6 t^{2} + 1$ $> 0$ với $\forall t \geq 0$ $\Rightarrow f (t)$ luôn đồng biến trên $[0; + \infty)$ .

Vậy $(1) \Leftrightarrow y - 1 = \sqrt{1 - x}$ $\Leftrightarrow y = 1 + \sqrt{1 - x}$ .

$\Rightarrow P = x + 2 y = x + 2 + 2 \sqrt{1 - x}$ với $(x \leq 1)$ .

+ Xét hàm số $g (x) = 2 + x + 2 \sqrt{1 - x}$ trên $(- \infty; 1]$ .

Ta có: $g^{'} (x) = 1 - \frac{1}{\sqrt{1 - x}}$ $= \frac{\sqrt{1 - x} - 1}{\sqrt{1 - x}}$ . $g^{'} (x) = 0 \Rightarrow x = 0$ .

Bảng biến thiên g(x):

Từ bảng biến thiên của hàm số g(x) suy ra giá trị lớn nhất của P là: $\max_{(- \infty; 1]} g (x) = 4$ .

Câu 48:

Cho hàm số

f (x) = |x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2} + a|

. Gọi M, m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên

[0; 2]

. Có bao nhiêu số nguyên a thuộc

[- 4; 4]

sao cho

M \leq 2 m

?

A. 7

B. 5

C. 6

D. 4

Xem đáp án

Chọn A.

Câu 49:

Cho khối tứ diện ABCD có thể tích 2020.Gọi M, N, P, Q lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ABD, ACD, BCD. Tính theo V thể tích của khối tứ diện MNPQ.

A. $\frac{2020}{9}$ .

B.

\frac{4034}{81}

C.

\frac{8068}{27}

.

D.

\frac{2020}{27}

.

Xem đáp án

Chọn D.

Câu 50:

Giả sử a, b là các số thực sao cho $x^{3} + y^{3} = a {.10}^{3 z} + b {.10}^{2 z}$ đúng với mọi các số thực dương x, y, z thoả mãn $\log (x + y) = z$ và $\log (x^{2} + y^{2}) = z + 1$ . Giá trị của a + b bằng

A. $\frac{31}{2}$ .

B.

\frac{29}{2}

.

C.

\frac{- 31}{2}

.

D.

\frac{- 25}{2}

.

Xem đáp án

Chọn B.