50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 35 đề minh họa THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 có lời giải (Đề 9)

Ta có $\{\begin{matrix} x_{2} - x_{4} + x_{5} = 10 \\ x_{3} - x_{5} + x_{6} = 20 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} x_{2} (1 - q^{2} + q^{3}) = 10 \\ x_{2} q (1 - q^{2} + q^{3}) \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} x_{2} = 2 \\ q = 2 \end{matrix} .$

Suy ra $x_{1} = \frac{x_{2}}{q} = 1.$ Vậy phương án đúng là A.

Câu 3:

Hàm số

y = \frac{1}{2} x^{4} - 3 x^{2} - 3

nghịch biến trên các khoảng nào ?

A. $(0; - \frac{\sqrt{3}}{2})$ và $(\frac{\sqrt{3}}{2}; + \infty)$

B. $(- \sqrt{3}; 0)$ và $(\sqrt{3}; + \infty)$

C. $(- \infty; - \sqrt{3})$ và $(0; \sqrt{3})$

D. $(\sqrt{3}; + \infty)$

Xem đáp án

$y' = 2 x^{3} - 6 x$ . Dùng MTCT chức năng giải BPT bậc ba dạng “< 0”. Chọn C

Câu 4:

Đồ thị hàm số

y = x^{4} - 3 x^{2} + 2

có số điểm cực trị là

A. $0$

B. $2$

C. $3$

D. $4$

Xem đáp án

Chọn C

Ta có y’ = 4x3 – 6x, y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt nên đồ thị có 3 cực trị.

Câu 5:

Đồ thị hàm số $y = - 2 x^{4} + (m + 3) x^{2} + 5$ có duy nhất một điểm cực trị khi và chỉ khi

A. $m = 0$

B. $m \leq - 3$

C. $m < - 3$

D. $m > - 3$

Xem đáp án

Chọn B.

Hàm số có 1 cực trị

\Leftrightarrow a . b \geq 0 \Leftrightarrow - 2 (m + 3) \geq 0 \Leftrightarrow m \leq - 3

Câu 6:

Cho hàm số

y = f (x)

có

\lim_{x \to + \infty} f (x) = 0

và

\lim_{x \to 0^{+}} f (x) = + \infty

. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận đứng.

B. Trục hoành và trục tung là hai tiệm cận của đồ thị hàm số đã cho.

C. Đồ thị hàm số đã cho có một tiệm cận đứng là đường thẳng $y = 0$ .

D. Hàm số đã cho có tập xác định là $D = (0, + \infty)$ .

Xem đáp án

Theo định nghĩa về tiệm cận, ta có:

$\lim_{x \to + \infty} f (x) = 0 \overset{}{\to} y = 0$ là TCN.

$\lim_{x \to 0^{+}} f (x) = + \infty \overset{}{\to} x = 0$ là TCĐ.

Chọn B.

Câu 7:

Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A. $y = - x^{3} - 3 x^{2} - 2$

B. $y = x^{3} + 3 x^{2} - 2$

C. $y = x^{3} - 3 x^{2} - 2$

D. $y = - x^{3} + 3 x^{2} - 2$

Xem đáp án

Hình dáng đồ thị thể hiện $a > 0$ . Loại đáp án A, D.

Thấy đồ thị cắt trục hoành tại điểm $x = - 1$ nên thay $\{\begin{cases} x = - 1 \\ y = 0 \end{cases}$ vào hai đáp án B và C, chỉ có B thỏa mãn.

Chọn B.

Câu 8:

Trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hàm số nào có bảng biến thiên sau?

A. $y = \frac{x - 1}{x - 1}$

B. $y = \frac{- 2 x}{x - 1}$

C. $y = \frac{1 - 2 x}{x + 1}$

D. $y = \frac{2 x - 1}{x + 1}$

Xem đáp án

Dựa vào BBT và các phương án lựa chọn, ta thấy

Đây là dạng hàm phân thức hữu tỉ, có tiệm cận đứng là $x = - 1$ . Loại A và B.

Do đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là $y = - 2$ . Chọn C.

Câu 9:

Cho các mệnh đề sau:

(I). Cơ số của logarit phải là số nguyên dương.

(II). Chỉ số thực dương mới có logarit.

(III). $\ln (A + B) = \ln A + \ln B$ với mọi $A > 0, B > 0$ .

(IV) $\log_{a} b . \log_{b} c . \log_{c} a = 1$ với mọi $a, b, c \in ℝ$ .

Số mệnh đề đúng là:

A. $1$

B. $2$

C. $3$

D. $4$

Xem đáp án

Cơ số của lôgarit phải là số dương khác $1$ . Do đó (I) sai.

Rõ ràng (II) đúng theo lý thuyết SGK.

Ta có $\ln A + \ln B = \ln (A . B)$ với mọi $A > 0, B > 0$ . Do đó (III) sai.

Ta có $\log_{a} b . \log_{b} c . \log_{c} a = 1$ với mọi $0 < a, b, c \neq 1$ . Do đó (IV) sai.

Vậy chỉ có mệnh đề (II) đúng.

Chọn A.

Câu 10:

Tìm tập xác định

D

của hàm số

y = \frac{1}{\sqrt{2 - x}} + \ln (x - 1)

.

A. $D = ℝ \ \{2\}$

B. $D = (1; 2)$

C. $D = [0; + \infty)$

D. $D = (- \infty; 1) \cup (2; + \infty)$

Xem đáp án

Hàm số xác định $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x - 1 > 0 \\ 2 - x > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x > 1 \\ x < 2 \end{cases} \Leftrightarrow 1 < x < 2$ .

Chọn B.

Câu 11:

Tính giá trị của biểu thức $P = \log_{a} (a . \sqrt[3]{a \sqrt{a}})$ với $0 < a \neq 1.$

A. $P = \frac{1}{3}$

B. $P = \frac{3}{2}$

C. $P = \frac{2}{3}$

D. $P = 3$

Xem đáp án

Ta có $P = \log_{a} [a . {(a . a^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{3}}] = \log_{a} (a^{\frac{3}{2}}) = \frac{3}{2} \log_{a} a = \frac{3}{2}$ .

Chọn B.

Cách trắc nghiệm: Chọn $a = 2$ và bấm máy.

Câu 12:

Tìm tập nghiệm

S

của phương trình

{(\frac{2}{3})}^{4 x} = {(\frac{3}{2})}^{2 x - 6}

A. $S = \{1\} .$

B. $S = \{- 1\} .$

C. $S = \{- 3\} .$

D. $S = \{3\} .$

Xem đáp án

Ta có

{(\frac{2}{3})}^{4 x} = {(\frac{3}{2})}^{2 x - 6} \Leftrightarrow {(\frac{2}{3})}^{4 x} = {(\frac{2}{3})}^{6 - 2 x} \Leftrightarrow 4 x = 6 - 2 x \Leftrightarrow x = 1.

Chọn A.

Câu 13:

Tìm tập nghiệm

s

của phương trình

{\sqrt{2}}^{x^{2} + 2 x + 3} = 8^{x} .

A. $S = \{1;3\} .$

B. $S = \{- 1;3\} .$

C. $S = \{- 3; 1\} .$

D. $S = \{- 3\} .$

Xem đáp án

Phương trình $\Leftrightarrow x^{2} - 4 = \frac{6 - 3 x}{x} \log_{3} 2 \Leftrightarrow (x - 2) (x + 2 + \frac{3}{x} \log_{3} 2) = 0$

$\Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = 3$

Chọn A.

Cách 2. CALC với các giá trị của đáp án xem giá trị nào là nghiệm.

Nhập vào máy tính phương trình:

CALC tại X=1ta được 0

CALC tại X=3ta được 0

Câu 14:

Nguyên hàm của

f (x) = x^{3} - x^{2} + 2 \sqrt{x}

là:

A. $\frac{1}{4} x^{4} - x^{3} + \frac{4}{3} \sqrt{x^{3}} + C$

B. $\frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + \frac{4}{3} \sqrt{x^{3}} + C$

C. $\frac{1}{4} x^{4} - x^{3} + \frac{2}{3} \sqrt{x^{3}} + C$

D. $\frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + \frac{2}{3} \sqrt{x^{3}} + C$

Xem đáp án

Ta có:

. $\int (x^{3} - x^{2} + 2 \sqrt{x}) d x = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + \frac{4}{3} \sqrt{x^{3}} + C$

Đáp án đúng là A.

Câu 15:

Tìm nguyên hàm của hàm số

f (x) = x^{3} \ln (\frac{4 - x^{2}}{4 + x^{2}})

?

A. $x^{4} \ln (\frac{4 - x^{2}}{4 + x^{2}}) - 2 x^{2}$

B. $(\frac{x^{4} - 16}{4}) \ln (\frac{4 - x^{2}}{4 + x^{2}}) - 2 x^{2}$

C. $x^{4} \ln (\frac{4 - x^{2}}{4 + x^{2}}) + 2 x^{2}$

D. $(\frac{x^{4} - 16}{4}) \ln (\frac{4 - x^{2}}{4 + x^{2}}) + 2 x^{2}$

Xem đáp án

Đặt : $\{\begin{cases} u = \ln (\frac{4 - x^{2}}{4 + x^{2}}) \\ d v = x^{3} d x \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = \frac{16 x}{x^{4} - 16} \\ v = \frac{x^{4}}{4} - 4 = \frac{x^{4} - 16}{4} \end{cases}$

\Rightarrow \int x^{4} \ln (\frac{4 - x^{2}}{4 + x^{2}}) d x = (\frac{x^{4} - 16}{4}) \ln (\frac{4 - x^{2}}{4 + x^{2}}) - \int 4 x d x = (\frac{x^{4} - 16}{4}) \ln (\frac{4 - x^{2}}{4 + x^{2}}) - 2 x^{2} + C

Vậy đáp án đúng là đáp án B.

Câu 16:

Tích phân

I = \int_{1}^{2} 2 x . d x

có giá trị là:

A. $. I = 1$

B. $I = 2$

C. $I = 3$

D. $I = 4$

Xem đáp án

Cách 1: $I = \int_{1}^{2} 2 x . d x = 2. \int_{1}^{2} x . d x = {(2. \frac{x^{2}}{2})|}_{1}^{2} = 3$ .

Cách 2: Kiểm tra bằng máy tính, dễ dàng thu được kết quả như cách 1.

Đáp án đúng là C.

Câu 17:

Giá trị của tích phân $I = \int_{0}^{1} \frac{x}{x + 1} d x = a$ . Biểu thức $P = 2 a - 1$ có giá trị là:

A. $P = 1 - \ln 2$

B. $P = 2 - 2 \ln 2$

C. $P = 1 - 2 \ln 2$

D. $P = 2 - \ln 2$

Xem đáp án

Giá trị của tích phân $I = \int_{0}^{1} \frac{x}{x + 1} d x = a$ . Biểu thức $P = 2 a - 1$ có giá trị là:

Ta có: $I = \int_{0}^{1} \frac{x}{x + 1} d x = \int_{0}^{1} (1 - \frac{1}{x + 1}) d x = {(x - \ln |x + 1|)|}_{0}^{1} = 1 - \ln 2 \Rightarrow a = 1 - \ln 2 \Rightarrow P = 2 a - 1 = 1 - 2 \ln 2$

Chọn C

Câu 18:

Cho số phức

z = - 1 + 3 i

. Phần thực và phần ảo của số phức

w = 2 i - 3 \bar{z}

lần lượt là:

A. -3 và -7

B. 3 và -11

C. 3 và -7

D. 3 và 11

Xem đáp án

$w = 2 i - 3 \bar{z} = 2 i - 3 (- 1 - 3 i) = 11 i + 3$

Chọn D

Câu 19:

Tìm số phức liên hợp của số phức

z = i (3 i + 3)

.

A. $\bar{z} = 3 - i$

B. $\bar{z} = - 3 + i$

C. $\bar{z} = 3 + i$

D. $\bar{z} = - 3 - i$

Xem đáp án

Theo bài ra ta có:

$z = i (3 i + 1) = - 3 + i \Rightarrow \bar{z} = - 3 - i$

Đáp án D.

Câu 20:

Cho số phức z thỏa mãn $i z = 2 + i$ . Khi đó phần thực và phần ảo của z là

A. Phần thực bằng 1 và phần ảo bằng

- 2 i

B. Phần thực bằng 1 và phần ảo bằng

2 i

C. Phần thực bằng -1 và phần ảo bằng -2

D. Phần thực bằng 1 và phần ảo bằng -2

Xem đáp án

Ta có: $z = \frac{2 + i}{i} = 1 - 2 i$

Chọn D

Câu 21:

Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình vuông cạnh $a$ , cạnh bên $S A$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $S A = a \sqrt{2} .$ Tính thể tích $V$ của khối chóp $S . A B C D .$

A. $V = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{6} .$

B. $V = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{4} .$

C. $V = a^{3} \sqrt{2} .$

D. $V = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{3} .$

Xem đáp án

Diện tích hình vuông $A B C D$ là $S_{A B C D} = a^{2}$ .

Chiều cao khối chóp là $S A = a \sqrt{2} .$

Vậy thể tích khối chóp $V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S_{A B C D} . S A = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{3} .$

Chọn D.

Câu 22:

Cho tứ diện

A B C D

có các cạnh

A B, A C

và

A D

đôi một vuông góc với nhau;

A B = 6 a, A C = 7 a

và

A D = 4 a .

Gọi

M, N, P

tương ứng là trung điểm các cạnh

B C, C D, B D .

Tính thể tích

V

của tứ diện

A M N P .

A. $V = \frac{7}{2} a^{3} .$

B. $V = 14 a^{3} .$

C. $V = \frac{28}{3} a^{3} .$

D. $V = 7 a^{3} .$

Xem đáp án

Do

A B, A C

và

A D

đôi một vuông góc với nhau nên

$V_{A B C D} = \frac{1}{6} A B . A C . A D = \frac{1}{6} .6 a .7 a .4 a = 28 a^{3} .$

Dễ thấy $S_{Δ M N P} = \frac{1}{4} S_{Δ B C D}$ .

Suy ra $V_{A M N P} = \frac{1}{4} V_{A B C D} = 7 a^{3}$ .

Chọn D.

Câu 23:

Cho hình nón đỉnh

S

có bán kính đáy

R = a \sqrt{2}

, góc ở đỉnh bằng

60^{0}

. Diện tích xung quanh của hình nón bằng:

A. $4 π a^{2} .$

B. $3 π a^{2} .$

C. $2 π a^{2} .$

D. $π a^{2} .$

Xem đáp án

Theo giả thiết, ta có

O A = a \sqrt{2}

và

\hat{O S A} = 30^{0}

.

Suy ra độ dài đường sinh:

$l = S A = \frac{O A}{\sin 30^{0}} = 2 a \sqrt{2} .$

Vậy diện tích xung quanh bằng:

$S_{x q} = π R l = 4 π a^{2}$ (đvdt).

Chọn A.

Câu 24:

Mặt phẳng đi qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh bằng $a$ . Thể tích khối trụ bằng:

A. $π a^{3} .$

B. $\frac{π a^{3}}{2} .$

C. $\frac{π a^{3}}{3} .$

D. $\frac{π a^{3}}{4} .$

Xem đáp án

Do thiết diện đi qua trục hình trụ nên ta có $h = a$ .

Bán kính đáy $R = \frac{a}{2} .$ Do đó thể tích khối trụ $V = R^{2} π . h = \frac{π a^{3}}{4}$ (đvtt). Chọn D.

Câu 25:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm và mặt phẳng $(P) : x + 2 y - 2 z - 1 = 0.$ Gọi B là điểm đối xứng với A qua $(P)$ . Độ dài đoạn thẳng AB là

A. $2$

B. $\frac{4}{3}$

C. $\frac{2}{3}$

D . $4$

Xem đáp án

Ta có:

B là điểm đối xứng với A qua $(P)$ nên:

$A B = 2. d_{(A, (P))} = 2. \frac{|1 + 2.2 - 2.1 - 1|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} + {(- 2)}^{2}}} = 2. \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$

Vậy đáp án đúng là B.

Câu 26:

Phương trình mặt câu tâm

I (a, b, c)

có bán kính

R

là

A. $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 a x + 2 b y + 2 c z - R^{2} = 0$

B. $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 a x + 2 b y + 2 c z + d = 0$

C. $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 a x + 2 b y + 2 c z + d = 0, d = a^{2} + b^{2} + c^{2} - R^{2}$

D. $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 a x - 2 b y - 2 c z + d = 0, a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0$

Xem đáp án

Theo lý thuyết SGK về phương trình mặt cầu, ta chọn D.

Câu 27:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm

A (2; - 3; - 1); B (4; - 1; 2)

. Phương trình mặt phẳng trung trực của AB là

A. $4 x + 4 y + 6 z - 7 = 0$

B. $2 x + 3 y + 3 z - 5 = 0$

C. $4 x - 4 y + 6 z - 23 = 0$

D. $2 x - 3 y - z - 9 = 0$

Xem đáp án

Cách 1: Trung điểm AB là:

$M (\frac{2 + 4}{2}; \frac{- 3 - 1}{2}; \frac{- 1 + 2}{2}) \Rightarrow M (3; - 2; \frac{1}{2})$

Phương trình mặt phẳng trung trực AB nhận $\vec{A B} = (2; 2; 3)$ là vecto pháp tuyến và đi qua điểm M nên nó có dạng:

2 (x - 3) + 2 (y + 2) + 3 (z - \frac{1}{2}) = 0

\Leftrightarrow 4 x + 4 y + 6 z - 7 = 0

Vậy đáp án đúng là A.

Cách 2: loại C; D.

Thay tọa độ điểm I vào đáp án (I là trung điểm của AB) ta chọn A.

Câu 28:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

(P) : x - 2 y + z - 5 = 0

. Điểm nào dưới đây thuộc ?

A. $Q (2; - 1; - 5)$

B. $P (0; 0; - 5)$

C. $N (- 5; 0; 0)$

D . $M (1; 1; 6)$

Xem đáp án

Đặt $f (x; y; z) = x - 2 y + z - 5$ .

Với phương án A: Ta có $f (2; - 1; 5) = 2 - 2 (- 1) + 5 - 5 = 4 \neq 0$

nên điểm $Q (2; - 1; 5)$ không thuộc mặt phẳng $(P)$ .

Với phương án B: $f (0; 0; - 5) = 0. - 2.0 + (- 5) - 5 = - 10 \neq 0$

nên điểm $P (0; 0; - 5)$ không thuộc mặt phẳng $(P)$ .

Với phương án C: $f (- 5; 0; 0) = - 5 - 2.0 + 0 - 5 = - 10 \neq 0$

nên điểm $N (- 5; 0; 0)$ không thuộc mặt phẳng $(P)$ .

Với phương án D: $f (1; 1; 6) = 1 - 2.1 + 6 - 5 = 0$ nên điểm $M (1; 1; 6)$ nằm trên mặt phẳng $(P)$ .

Đáp án D

Câu 29:

Gieo ngẫu nhiên hai con xúc sắc cân đối và đồng chất. Xác suất của biến cố “ Có ít nhất một con xúc sắc xuất hiện mặt một chấm” là

A. $\frac{11}{36}$

B. $\frac{1}{6}$

C. $\frac{25}{36}$

D. $\frac{15}{36}$

Xem đáp án

Gọi $A$ là biến cố: “Có ít nhất một con xúc sắc xuất hiện mặt một chấm”.

Do mỗi xúc sắc có thể xảy ra $6$ trường hợp nên số kết quả có thể xảy ra là .

Tìm số kết quả thuận lợi cho $A$ .

Ta có các trường hợp sau:

.

Đáp án A.

Câu 30:

Cho hàm số

y = \frac{x + 2}{x - 1}

có đồ thị

(C)

. Chọn mệnh đề sai?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0; + \infty)$ .

B.

(C)

có một tiệm cận ngang.

C.

(C)

có tâm đối xứng là điểm

I (1; 1)

.

D. $(C)$ không có điểm chung với đường thẳng $d : y = 1$ .

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có $y' = \frac{- 3}{{(x - 1)}^{2}} < 0; \forall x \neq 1$ .

Vì $1 \in (0; + \infty)$ nên đáp án A sai.

Câu 31:

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên $ℝ$ và có đồ thị như hình sau:

(I). Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0; 1)$ .

(II). Hàm số đồng biến trên khoảng $(- 1; 2)$ .

(III). Hàm số có ba điểm cực trị.

(IV). Hàm số có giá trị lớn nhất bằng $2$

Trong các mệnh đề đã cho có bao nhiêu mệnh đề đúng?

A. $1$

B. $2$

C. $3$

D. $4$

Xem đáp án

Xét trên $(0; 1)$ ta thấy đồ thị đi xuống (từ trái sang phải) nên hàm số nghịch biến. Do đó (I) đúng

Xét trên $(- 1; 2)$ ta thấy đồ thị đi lên, rồi đi xuống, rồi đi lên. Do đó (II) sai.

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy có ba điểm cực trị. Do đó (III) đúng.

Hàm số không có giá trị lớn nhất trên $ℝ$ . Do đó (IV) sai.

Vậy có $2$ mệnh đề đúng.

Chọn B.

Câu 32:

Giải bất phương trình

\log_{2} (3 x - 1) > 3

.

A. $x > 3$

B. $\frac{1}{3} < x < 3$

C. $x < 3$

D. $x > \frac{10}{3}$

Xem đáp án

Bất phương trình $\Leftrightarrow 3 x - 1 > 2^{3} \Leftrightarrow 3 x > 9 \Leftrightarrow x > 3.$

Chọn A.

Câu 33:

Hàm số

f (x)

liên tục trên

[0; π]

và :

f (π - x) = f (x) \forall x \in [0; π], \int_{0}^{π} f (x) d x = \frac{π}{2}

. Tính

I = \int_{0}^{π} x . f (x) d x

A. $I = \frac{π}{2} .$

B. $I = \frac{π^{2}}{2} .$

C. $I = \frac{π}{4} .$

D. $I = \frac{π^{2}}{4} .$

Xem đáp án

Đặt $t = π - x \Rightarrow d t = - d x .$

$x = 0 \Rightarrow t = π, x = π \Rightarrow t = 0$

$I = - \int_{π}^{0} (π - t) f (π - t) d t$

$= \int_{0}^{π} (π - t) f (t) d t$

$= π \int_{0}^{π} f (x) d x - \int_{0}^{π} x f (x) d x$

$\Rightarrow I = π . \frac{π}{2} - I \Rightarrow I = \frac{π^{2}}{4} .$

Chọn D.

Câu 34:

Cho số phức z thỏa mãn $(1 + 3 i) z + 2 i = - 4$ . Điểm nào sau đây là điểm biểu diễn của z trong các điểm M, N, P, Q ở hình bên?

A. Điểm M

B. Điểm N

C. Điểm P

D. Điểm Q

Xem đáp án

Ta có: $(1 + 3 i) z + 2 i = - 4 \Leftrightarrow z = \frac{- 4 - 2 i}{1 + 3 i} = - 1 + i$

Đáp án D.

Câu 35:

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia

B. Một đường thẳng là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau nếu nó vuông góc với cả hai đường thẳng đó

C. Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì nằm trong mặt phẳng chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia

D. Một đường thẳng là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau nếu nó cắt cả hai đường thẳng đó.

Xem đáp án

Đáp án A: Đúng

Đáp án B: Sai, do phát biểu này thiếu yếu tố cắt nhau.

Đáp án C: Sai, vì mặt phẳng đó chưa chắc đã tồn tại.

Đáp án D: Sai, do phát biểu này thiếu yếu tố vuông góc.

Chọn đáp án A.

Câu 36:

Mệnh đề nào sau đây có thể sai?

A. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song.

B. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song.

C. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song.

D. Một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đã cho) cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song nhau.

Xem đáp án

Chọn C.

Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song chỉ đúng khi ba đường thẳng đó đồng phẳng.

Câu 37:

Cho mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4 x - 2 y + 6 z - 2 = 0$ và mặt phẳng $(P) : 3 x + 2 y + 6 z + 1 = 0$ . Gọi $(C)$ là đường tròn giao tuyến của $(P)$ và $(S)$ . Viết phương trình mặt cầu cầu $(S')$ chứa $(C)$ và điểm $M (1, - 2,1) .$

A. $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 5 x - 8 y + 12 z - 5 = 0$

B. $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 5 x - 8 y + 12 z + 5 = 0$

C. $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 5 x + 8 y - 12 z + 5 = 0$

D. $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 5 x - 8 y - 12 z - 5 = 0$

Xem đáp án

Phương trình của $(S') : (S) + m (P) = 0, m \neq 0$

$(S') : x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4 x - 2 y + 6 z - 2 + m (3 x + 2 y + 6 z + 1) = 0$

$(S')$ qua $M (1, - 2,1) \Rightarrow 6 m + 18 = 0 \Leftrightarrow m = - 3$

$\Rightarrow (S') : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 5 x - 8 y - 12 z - 5 = 0$

Chọn D

Câu 38:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng

(P)

đi qua điểm

A (1; 2; 0)

và vuông góc với đường thẳng

d : \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z + 1}{- 1}

.

A. $x + 2 y - 5 = 0$

B. $2 x + y - z + 4 = 0$

C. $- 2 x - y + z - 4 = 0$

D. $- 2 x - y + z + 4 = 0$

Xem đáp án

$(P)$ vuông góc với d nên:

$\begin{array}{l} \vec{n_{(P)}} = \vec{u_{d}} = (2; 1; - 1) \\ \Rightarrow (P) : 2 (x - 1) + 1 (y - 2) - (z) = 0 \\ \Leftrightarrow (P) : 2 x + y - z - 4 = 0 \end{array}$

Vậy đáp án đúng là D.

Câu 39:

Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

y = - 2 x^{3} + 3 x^{2} + 1

.

A. $y = x - 1.$

B. $y = x + 1.$

C. $y = - x + 1.$

D. $y = - x - 1.$

Xem đáp án

Ta có $y^{'} = - 6 x^{2} + 6 x; y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \Rightarrow y = 1 \\ x = 1 \Rightarrow y = 2 \end{array} .$

Suy ra đồ thị hàm số đã hai điểm cực trị là $A (0; 1)$ và $B (1; 2)$ .

Khi đó, đường thẳng đi qua hai điểm cực trị chính là đường thẳng $A B$ có phương trình $y = x + 1.$

Chọn B.

Câu 40:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để bất phương trình $\log 5 + \log (x^{2} + 1) \geq \log (m x^{2} + 4 x + m)$ đúng với mọi ?

A. $0$

B. $1$

C. $2$

D. $4$

Xem đáp án

Để bất phương trình đúng với mọi $x$ khi và chỉ khi:

● Bất phương trình xác định với mọi $x \Leftrightarrow m x^{2} + 4 x + m > 0, \forall x \in ℝ$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} m > 0 \\ Δ' < 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m > 0 \\ 4 - m^{2} < 0 \end{cases} \Leftrightarrow m > 2.$ $(1)$

● Bất phương trình nghiệm đúng với mọi $x \Leftrightarrow \log (5 x^{2} + 5) \geq \log (m x^{2} + 4 x + m), \forall x \in ℝ$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 5 x^{2} + 5 \geq m x^{2} + 4 x + m, \forall x \in ℝ \\ \Leftrightarrow (5 - m) x^{2} - 4 x + 5 - m \geq 0, \forall x \in ℝ \end{array}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 5 - m > 0 \\ Δ' \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m < 5 \\ - m^{2} + 10 m - 21 \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow m \leq 3.$

Từ $(1)$ và $(2)$ , ta được Chọn B.

Câu 41:

Giả sử $\int_{1}^{2} (2 x - 1) \ln x d x = a \ln 2 + b$ , $(a; b \in ℚ)$ .Tính $a + b$ .

A. $\frac{5}{2}$

B. $2$

C. $1$

D. $\frac{3}{2}$

Xem đáp án

Đặt $\{\begin{cases} u = \ln x \\ d v = (2 x - 1) d x \end{cases}$ $\Rightarrow \{\begin{cases} d u = \frac{1}{x} d x \\ v = x^{2} - x \end{cases}$

$\int_{1}^{2} (2 x - 1) \ln x d x =$ ${[(x^{2} - x) \ln x]|}_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{x^{2} - x}{x} d x$ $= 2 \ln 2 - {(\frac{x^{2}}{2} - x)|}_{1}^{2}$ $= 2 \ln 2 - \frac{1}{2}$

nên $a = 2$ , $b = - \frac{1}{2}$ .

Vậy $= \frac{3}{2}$ .

Chọn D

Câu 42:

Cho các số phức a, b, c, z thỏa mãn

a z^{2} + b z + c = 0

,

(a \neq 0)

. Gọi

z_{1}

và

z_{2}

lần lượt là hai nghiệm của phương trình đã cho. Tính giá trị của biểu thức

P = {|z_{1} + z_{2}|}^{2} + {|z_{1} - z_{2}|}^{2} - 2 {(|z_{1}| - |z_{2}|)}^{2}

A. $P = 2 |\frac{c}{a}|$

B. $P = 4 |\frac{c}{a}|$

C. $P = |\frac{c}{a}|$

D.

Xem đáp án

Ta có ${|z_{1} + z_{2}|}^{2} + {|z_{1} - z_{2}|}^{2} = 2 {|z_{1}|}^{2} + 2 {|z_{2}|}^{2}$

$\Rightarrow P = 2 {|z_{1}|}^{2} + 2 {|z_{2}|}^{2} - 2 {(|z_{1}| - |z_{2}|)}^{2} = 4 |z_{1} z_{2}|$ .

Theo định lý Viet ta có $z_{1} z_{2} = \frac{c}{a} \Rightarrow P = 4 |z_{1} z_{2}| = 4 |\frac{c}{a}|$

Câu 43:

Cho lăng trụ $A B C D . A' B' C' D'$ có đáy $A B C D$ là hình chữ nhật tâm $O$ và $A B = a$ , $A D = a \sqrt{3}$ ; $A' O$ vuông góc với đáy $(A B C D)$ . Cạnh bên $A A'$ hợp với mặt đáy $(A B C D)$ một góc $45^{0}$ . Tính theo $a$ thể tích $V$ của khối lăng trụ đã cho.

A. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}$

B. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}$

C. $V = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{2}$

D. $V = a^{3} \sqrt{3}$

Xem đáp án

Vì $A' O ⊥ (A B C D)$ nên

$45^{0} = \hat{A A', (A B C D)} = \hat{A A', A O} = \hat{A' A O}$

Đường chéo hình chữ nhật

$A C = \sqrt{A B^{2} + A D^{2}} = 2 a \Rightarrow A O = \frac{A C}{2} = a$

Suy ra tam giác $A' O A$ vuông cân tại $O$ nên

$A' O = A O = a$

Diện tích hình chữ nhật $S_{A B C D} = A B . A D = a^{2} \sqrt{3}$ .

Vậy

V_{A B C D . A' B' C' D'} = S_{A B C D} . A' O = a^{3} \sqrt{3} .

Chọn D.

Câu 44:

Cho hình chữ nhật $A B C D$ có $A B = 4$ , $A D = 8$ (như hình vẽ).

Gọi $M N E F$ lần lượt là trung điểm của $B C$ , $A D$ , $B N$ và $N C$ . Tính thể tích $V$ của vật thể tròn xoay khi quay hình tứ giác $B E F C$ quanh trục $A B$ .

A. $100 π$

B. $96 π$

C. $84 π$

D. $90 π$

Xem đáp án

Chọn hệ trục tọa độ $O x y$ sao cho $B \equiv O, A B \equiv O x, B C \equiv O y$ ,

Bài toán trở thành: Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi: $y = x; y = 8 - x; x = 0; x = 2$ quay quanh trục $O x$

$V = π \int_{0}^{2} |x^{2} - {(8 - 2)}^{2}| dx = π \int_{0}^{2} |16 x - 64| dx = 96 π$

Cách khác:

Gọi $I$ là trung điểm $A B$ .

Gọi $V_{1}$ là thể tích khối nón cụt tạo bởi $C F I B$ quay quanh AB,

$V_{1}$ có chiều cao là $2$ , bán kính đáy là $r = 6$ và $R = 8 .$ $V_{1} = \frac{1}{3} π . 2 (6^{2} + 6.8 + 8^{2}) = \frac{296}{3} π$

Gọi $V_{2}$ là thể tích khối nón tạo bởi $B E I$ quay quanh $A B$ ,

$V_{2}$ có chiều cao là $2$ và bán kính đáy là $2$

$\Rightarrow V_{2} = \frac{8}{3} π .$

Ta có thể tích cần tính $V = V_{1} + V_{2} = 96 π$

Câu 45:

Trong không gian với hệ tọa độ $O x y$ , cho $3$ đường thẳng $(d_{1}) = \{\begin{matrix} x = t \\ y = 4 - t \\ z = - 1 + 2 t \end{matrix}, (d_{2}) : \frac{x}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z}{1}, (d_{3}) : \frac{x + 1}{5} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z + 1}{1}$

Viết phương trình đường thẳng $(d)$ cắt ba đường thẳng $(d_{1}), (d_{2}), (d_{3})$ lần lượt tại các điểm $A, B, C$ sao cho $A B = B C$ .

A. $\frac{x}{1} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z}{1}$

B. $\frac{x}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z}{1}$

C. $\frac{x}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z}{- 1}$

D. $\frac{x}{1} = \frac{y + 2}{- 1} = \frac{z}{1}$

Xem đáp án

$A \in (d_{1}) \Rightarrow A (a; 4 - a; - 1 + 2 a) B \in (d_{2}) \Rightarrow B (2 b; 2 + b; b) C \in (d_{3}) \Rightarrow C (- 1 + 5 c; 1 + 2 c; - 1 + c) .$

Vì $B$ là trung điểm của $A C$ nên $\{\begin{matrix} 2 b = \frac{a - 1 + 5 c}{2} \\ 2 + b = \frac{4 - a + 1 + 2 c}{2} \\ b = \frac{- 1 + 2 a + 1 + c}{2} \end{matrix} \Rightarrow \{\begin{matrix} a - 4 b + 5 c = 1 \\ - a - 2 b + 2 c = - 1 \\ 2 a - 2 b + c = 2 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} a = 1 \\ b = 0 \\ c = 0 \end{matrix} .$

$\Rightarrow A (1; 3; 1), B (0; 2; 0)$

$(d)$ đi qua điểm $B (0; 2; 0)$ và có VTCP $\vec{B C} = (1; 1; 1)$ có phương trình $\frac{x}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z}{1}$ .

Chọn B.

Câu 46:

Cho hàm số $y = x^{4} - 2 (m + 1) x^{2} + m^{2}$ với $m$ là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông.

A. $m = - 1$

B. $m = 0$

C. $m = 1$

D. $m > - 1$

Xem đáp án

Ta có ; $y' = 4 x^{3} - 4 (m + 1) x = 4 x (x^{2} - m - 1)$ .

Để hàm số có ba điểm cực trị có ba nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow m + 1 > 0 \Leftrightarrow m > - 1$ .

Suy ra tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

$A (0; m^{2}), B (\sqrt{m + 1}; - 2 m - 1)$ và $C (- \sqrt{m + 1}; - 2 m - 1)$ .

Khi đó $\vec{A B} = (\sqrt{m + 1}; - 2 m - 1 - m^{2})$ và $\vec{A C} = (- \sqrt{m + 1}; - 2 m - 1 - m^{2})$ .

Ycbt $\Leftrightarrow \vec{A B} . \vec{A C} = 0 \Leftrightarrow - (m + 1) + {(m + 1)}^{4} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = - 1 (l o ạ i) \\ m = 0 (t h ỏ a m ã n) \end{array} .$

Chọn B.

Cách áp dụng công thức giải nhanh: Điều kiện để có ba cực trị $a b < 0 \Leftrightarrow m > - 1.$

Ycbt

\overset{}{\to} 8 a + b^{3} = 0 \Leftrightarrow 8.1 + {[- 2 (m + 1)]}^{3} = 0 \Leftrightarrow m = 0.

Câu 47:

Cho phương trình

m {.2}^{x^{2} - 5 x + 6} + 2^{1 - x^{2}} = {2.2}^{6 - 5 x} + m

với

m

là tham số thực. Có tất cả bao nhiêu giá trị của để phương trình có đúng ba nghiệm phân biệt.

A. $1$

B. $2$

C. $3$

D. $4$

Xem đáp án

Ta có $m {.2}^{x^{2} - 5 x + 6} + 2^{1 - x^{2}} = {2.2}^{6 - 5 x} + m \Leftrightarrow m {.2}^{x^{2} - 5 x + 6} + 2^{1 - x^{2}} = 2^{7 - 5 x} + m$

$\Leftrightarrow m (2^{x^{2} - 5 x + 6} - 1) + 2^{1 - x^{2}} (1 - 2^{x^{2} - 5 x + 6}) = 0 \Leftrightarrow (2^{x^{2} - 5 x + 6} - 1) (m - 2^{1 - x^{2}}) = 0.$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2^{x^{2} - 5 x + 6} - 1 = 0 \\ 2^{1 - x^{2}} = m \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 \\ x = 3 \\ 2^{1 - x^{2}} = m (*) \end{array} .$

Yêu cầu bài toán tương đương với

= TH1: Phương trình $(*)$ có nghiệm duy nhất $(x = 0)$ , suy ra $m = 2.$

= TH2: Phương trình $(*)$ có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm là $2$ và nghiệm còn lại khác $3$ $\overset{}{\to} m = 2^{- 3} .$

= TH3: Phương trình $(*)$ có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm là $3$ và nghiệm còn lại khác $2 \overset{}{\to} m = 2^{- 8} .$

Vậy có tất cả ba giá trị $m$ thỏa mãn.

Chọn C.

Câu 48:

Cho $(H)$ là hình phẳng giới hạn bởi parabol $y = \sqrt{3} x^{2}$ và nửa đường tròn có phương trình $y = \sqrt{4 - x^{2}}$ với $- 2 \leq x \leq 2$ (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của $(H)$ bằng

A. $\frac{2 π + 5 \sqrt{3}}{3}$

B. $\frac{4 π + 5 \sqrt{3}}{3}$

C. $\frac{4 π + \sqrt{3}}{3}$

D. $\frac{2 π + \sqrt{3}}{3}$

Xem đáp án

Phương trình hoành độ giao điểm: $\sqrt{3} x^{2} = \sqrt{4 - x^{2}}$ , Đk: $- 2 \leq x \leq 2$

$\Leftrightarrow 3 x^{4} + x^{2} - 4 = 0 \Leftrightarrow x^{2} = 1 \Leftrightarrow x = \pm 1$ .

Hình $(H)$ giới hạn bởi: $\{\begin{matrix} (P) : y = \sqrt{3} x^{2} \\ (C) : y = \sqrt{4 - X^{6}} \\ x = - 1; x = 1 \end{matrix}$ có diện tích là:

$S = \int_{- 1}^{1} (\sqrt{4 - x^{2}} - \sqrt{3} x^{2}) d x = \int_{- 1}^{1} \sqrt{4 - x^{2}} d x - \int_{- 1}^{1} \sqrt{3} x^{2} d x$ .

* Ta có: $I_{2} = \frac{\sqrt{3}}{3} x^{3} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

* Xét $I_{1} = \int_{- 1}^{1} \sqrt{4 - x^{2}} d x$ :Đặt $x = 2 \sin t, t \in [- \frac{π}{π}; \frac{π}{2}]; d x = 2 \cos t d t$ .

Khi $x = - 1 \Rightarrow t = - \frac{π}{6}$ và $x = 1 \Rightarrow t = \frac{π}{6}$ .

Ta có: $I_{1} = \int_{- \frac{π}{6}}^{\frac{π}{6}} \sqrt{4 (1 - \sin^{2} x)} 2 \cos t d t = 4 \int_{- \frac{π}{6}}^{\frac{π}{6}} \cos^{2} t d t$ (Do $\cos t \geq 0$ khi $t \in [- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]$ )

$= 2 \int_{- \frac{π}{6}}^{\frac{π}{6}} (1 + \cos 2 t) d t = 2 (t + \frac{1}{2} \sin 2 t) = 2 (\frac{π}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2})$ .

Vậy $S = 2 (\frac{π}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}) - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2 π + \sqrt{3}}{3}$ .

Chọn D.

Câu 49:

Cho hai số thực b và c

(c > 0)

. Kí hiệu A, B là hai điểm của mặt phẳng phức biểu diễn hai nghiệm phức của phương trình

z^{2} + 2 b z + c = 0

. Tìm điều kiện của b và c để tam giác OAB là tam giác vuông (O là gốc tọa độ).

A. $b^{2} = 2 c$

B. $c = 2 b^{2}$

C. $b = c$

D. $b^{2} = c$

Xem đáp án

Hai nghiệm của phương trình $z^{2} + 2 b z + c = 0$ là hai số phức liên hợp với nhau nên hai điểm A, B sẽ đối xứng nhau qua trục Ox.

Do đó, tam giác OAB cân tại O.

Vậy tam giác OAB vuông tại O.

Để ba điểm O, A, B tạo thành tam giác thì hai điểm A, B không nằm trên trục tung, trục hoành. Tức là nếu đặt $z = x + y i, (x, y \in ℝ)$ thì $\{\begin{cases} x \neq 0 \\ y \neq 0 \end{cases} (*)$

Để phương trình $z^{2} + 2 b z + c = 0$ có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện $(*)$ thì $b^{2} - c < 0$ .

$z^{2} + 2 b z + c = 0 \Leftrightarrow {(z + b)}^{2} + c - b^{2} = 0$

$\Leftrightarrow {(z + b)}^{2} = b^{2} - c \Leftrightarrow z = - b \pm i \sqrt{c - b^{2}}$

Đặt $A (- b; \sqrt{c - b^{2}})$ và $B (- b; - \sqrt{c - b^{2}})$

Theo đề ta có:

$\vec{O A} . \vec{O B} = 0 \Leftrightarrow b^{2} - c + b^{2} = 0 \Leftrightarrow 2 b^{2} = c$

Đáp án B.

Câu 50:

Trong không gian $O x y z$ cho ba điểm $A (3; 0; 0)$ , $B (1; 2; 1)$ , $C (2; - 1; 2)$ và . Biết mặt phẳng qua $B$ , $C$ và tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện $O A B C$ có một vectơ pháp tuyến là $(10; a; b)$ . Tổng $a + b$ là

A. $- 2$

B. $2$

C. $1$

D. $- 1$

Xem đáp án

Phương trình $(O C B)$ là: $x - z = 0$ .

Phương trình $(A B C)$ là: $5 x + 3 y + 4 z - 15 = 0$ .

Gọi $(α)$ là mặt phẳng qua $B$ , $C$ và tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện $O A B C$ .

Suy ra $(α)$ là mặt phẳng phân giác của hai mặt phẳng $(O B C)$ và $(A B C)$ .

$(α) : \frac{|x - z|}{\sqrt{2}} = \frac{|5 x + 3 y + 4 z - 15|}{\sqrt{50}} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 y - 8 z - 15 = 0 (1) \\ 10 x + 3 y - z - 15 = 0 (2) \end{cases}$ .

Phương trình $(1)$ bị loại do $O$ và $A$ phải nằm khác phía đối với $(α)$ . Vì vậy ta chọn phương trình $(2)$ . Do đó, $(α)$ có một VTPT là $\vec{n} = (10; 3; - 1) = (10; a; b)$ .

Vậy: $a + b = 2$ .

Chọn B.