50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 35 đề minh họa THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 có lời giải (Đề 15)

Câu 1:

Hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + 1$ có điểm cực đại là:

A. x = 2

B. y = 1.

C. x = 0.

D. y = -3.

Xem đáp án

Chọn C

Ta có: $y^{'} = 3 x^{2} - 6 x$ và ${y^{'}}^{'} = 6 x - 6$ .

Vì $\{\begin{cases} y^{'} (0) = 0 \\ {y^{'}}^{'} (0) = - 6 < 0 \end{cases}$ $\Rightarrow x = 0$ là điểm cực đại.

Câu 2:

Các mặt của hình đa diện là những

A. đa giác.

B. tam giác.

C. tứ giác.

D. ngũ giác.

Xem đáp án

Chọn A

Câu 3:

Cho hai số thực dương a và x, với $a \neq 1$ . Hãy chọn đáp án đúng.

A. $\log_{a} x^{2} = \frac{1}{2} \log_{a} x$ .

B.

\log_{a}^{2} x = {(\log_{a} x)}^{2}

.

C.

\log_{a^{2}} x = 2 \log_{a} x

.

D.

\log_{a} x = \log_{x} a

.

Xem đáp án

Chọn B

Ta có: $\log_{a}^{2} x = \log_{a} x . \log_{a} x = {(\log_{a} x)}^{2}$ .

Câu 4:

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = 3 x^{2} - \sin x$ là:

A. $3 x^{3} - \cos x + C$ .

B.

x^{3} + \cos x + C

.

C.

x^{3} - \cos x + C

D.

3 x^{3} + \cos x + C

.

Xem đáp án

Chọn B

Ta có: $\int f (x) d x = \int (3 x^{2} - \sin x) d x = \int 3 x^{2} d x - \int \sin x d x = x^{3} + \cos x + C$

Câu 5:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tọa độ hai điểm $A (2; 0; - 1)$ và $B (- 1; 3; 1) .$ Tọa độ của véctơ $\vec{A B}$ tương ứng là:

A.

(3; - 3; - 2)

.

B.

(1; 3; 0)

.

C.

(3; - 1; - 2)

.

D.

(- 3; 3; 2)

.

Xem đáp án

Chọn D

$\vec{A B} = (- 1 - 2; 3 - 0; 1 + 1) = (- 3; 3; 2)$ .

Câu 6:

Cho số phức $z = 3 + 4 i$ . Tọa độ điểm M biểu diễn số phức $2 z + 1 - i$ trong mặt phẳng phức tương ứng là:

A. (7; 7).

B. (4; 3).

C. (3; 4).

D. (2; -1).

Xem đáp án

Chọn A

Ta có: $2 z + 1 - i = 2 (3 + 4 i) + 1 - i = 7 + 7 i$

$\Rightarrow M (7; 7) .$

Câu 7:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt cầu $(S) : x^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 9$ có tọa độ tâm I tương ứng là:

A.

(- 1; 0; 2)

.

B.

(0; - 1; 2)

.

C.

(0; 1; - 2)

.

D.

(- 2; 0; 1)

.

Xem đáp án

Chọn C

Ta có tâm $I (0; 1; - 2) .$

Câu 8:

Giới hạn $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x + 3} - 1}{|x - 1|}$ bằng:

A.

\frac{1}{4}

.

B.

\frac{1}{2}

.

C. 0.

D.

+ \infty

.

Xem đáp án

Chọn D

Ta có: $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x + 3} - 1}{|x - 1|} = + \infty$

Vì $\lim_{x \to 1} (\sqrt{x + 3} - 1) = 1 > 0$

$\lim_{x \to 1} |x - 1| = 0$ và $|x - 1| > 0$

Câu 9:

Nghiệm của phương trình

4^{x + 1} = 2

tương ứng là:

A.

x = \frac{1}{2}

.

B.

x = - 1

.

C.

x = \frac{- 1}{2}

.

D.

x = \frac{- 3}{2}

.

Xem đáp án

Chọn C

Ta có: $4^{x + 1} = 2 \Leftrightarrow 2^{2 (x + 1)} = 2 \Leftrightarrow 2 (x + 1) = 1 \Leftrightarrow x = \frac{- 1}{2} .$

Câu 10:

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Hỏi hàm số f(x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(- \infty; - 2)$ .

B.

(- 2; 1)

.

C.

(1; 4)

.

D.

(1; + \infty)

.

Xem đáp án

Chọn B

Đồ thị hàm số tăng trên khoảng $(- 2; 1)$ và $(4; + \infty)$ , nên f(x) đồng biến trên khoảng $(- 2; 1)$ .

Câu 11:

Hình lăng trụ ngũ giác có bao nhiêu cạnh?

A. 15

B. 10

C. 11

D. 12

Xem đáp án

Chọn A

Lăng trụ ngũ giác có 15 cạnh.

Câu 12:

Cho khối chóp có diện tích đáy 3S và chiều cao h. Thể tích khối chóp tương ứng là:

A. $V = \frac{1}{3} S h$ .

B.

V = 2 S h

.

C.

V = S h

.

D.

V = \frac{1}{6} S h

.

Xem đáp án

Chọn C

Ta có: $V = \frac{1}{3} .3 S . h = S h$ .

Câu 13:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f (x) = x^{4} - 4 x$ trên đoạn $[0; 3]$ là:

A. 0

B. -3

C. -4

D. 2

Xem đáp án

Chọn B

Ta có: $f^{'} (x) = 4 x^{3} - 4 = 0 \Leftrightarrow x = 1$

Dựa vào Bảng biến thiên ta thấy giá trị nhỏ nhất của hàm số $f (x) = x^{4} - 4 x$ trên đoạn $[0; 3]$ là $y = - 3$ khi $x = 1$

Câu 14:

Tập xác định của hàm số

f (x) = {(x - 1)}^{π} + \sqrt{5 x - 6 - x^{2}}

là:

A. [2;3]

B. $(1; + \infty)$

C. R

D. (2;3)

Xem đáp án

Chọn A

ĐKXĐ: $\{\begin{cases} x - 1 > 0 \\ 5 x - 6 - x^{2} \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x > 1 \\ 2 \leq x \leq 3 \end{cases} \Leftrightarrow 2 \leq x \leq 3$ .

TXĐ: $D = [2; 3]$

Câu 15:

Mặt cầu (S) có diện tích là $36 π {(cm}^{2})$ thì khối cầu giới hạn bởi (S) có thể tích là:

A. $27 π {(cm}^{3})$ .

B.

72 π {(cm}^{3})

.

C.

54 π {(cm}^{3})

.

D.

36 π {(cm}^{3})

.

Xem đáp án

Chọn D

Gọi $r > 0$ là bán kính mặt cầu (S).

Ta có diện tích: $S = 4 π r^{2} = 36 π \Rightarrow r = 3$ cm.

Do đó thể tích khối cầu là: $V = \frac{4}{3} π r^{3} = \frac{4}{3} π {.3}^{3} = 36 π ({cm}^{3})$ .

Câu 16:

Hỏi hàm số $y = x^{4} - 4 x^{2} + 3$ có đồ thị tương ứng với hình vẽ nào dưới đây?

A.

B.

C.

D.

Xem đáp án

Chọn D

TXĐ: $D = ℝ$

Ta có: $f^{'} (x) = 4 x^{3} - 8 x = 0 \Leftrightarrow x = 0; x = \pm \sqrt{2}$

Ta thấy $y_{C D} > 0; y_{C T} < 0$ $\Rightarrow$ Đồ thị của hàm số $y = x^{4} - 4 x^{2} + 3$ là hình D.

Câu 17:

Cho biết nguyên hàm của hàm số y = f(x) trên R là F(x) và có $F (0) = 2 F (1) = 4.$ Giá trị của tích phân $\int_{0}^{1} f (x) d x$ tương ứng bằng:

A. -2

B. 2

C. 0

D. 6

Xem đáp án

Chọn A

Ta có: $F (0) = 2 F (1) = 4 \Rightarrow F (0) = 4$ và $F (1) = 2.$

\Rightarrow \int_{0}^{1} f (x) d x = F (x) |_{0}^{1} = F (1) - F (0) = 2 - 4 = - 2

Câu 18:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $(P) : 3 x - y + 2 z - 6 = 0.$ Biết rằng điểm $A (1; a - 2; 3 - 2 a)$ nằm trên (P). Giá trị của a bằng:

A. 2

B. -1

C. 1

D. 0

Xem đáp án

Chọn C

Vì $A (1; a - 2; 3 - 2 a)$ nằm trên $(P) : 3 x - y + 2 z - 6 = 0$ nên:

$3.1 - (a - 2) + 2 (3 - 2 a) - 6 = 0 \Leftrightarrow - 5 a + 5 = 0 \Leftrightarrow a = 1.$

Câu 19:

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới. Đồ thị hàm số y = f(x) có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận ( nếu chỉ xét TCĐ và TCN)?

A. 2

B. 4

C. 2

D. 1

Xem đáp án

Chọn C

Một chiếc hộp có 9 thẻ đánh số từ 1 dến 9. Rút ngẫu nhiên 2 thẻ. Xác suất rút được một thẻ chẵn và một thẻ lẻ là

Câu 20:

Cho một lớp học X có 20 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách chọn ra 3 học sinh từ lớp X mà trong đó có ít nhất hai học sinh nữ?

A. 2920

B. 900

C. 1020

D. 4060

Xem đáp án

Chọn C

Số cách chọn có 2 học sinh nữ là: $C_{20}^{1} . C_{10}^{2} = 900$ (cách)

Số cách chọn có 3 nữ là: $C_{10}^{3} = 120$ (cách)

Tổng số cách chọn: $900 + 120 = 1020$ (cách)

Câu 21:

Biết rằng $\int_{0}^{1} f (x) d x = 2.$ Giá trị của tích phân $\int_{0}^{1} [f (x) - 2 x] d x$ bằng

A. 1

B. 0

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Chọn A

Ta có $\int_{0}^{1} [f (x) - 2 x] d x = \int_{0}^{1} f (x) d x - \int_{0}^{1} 2 x d x = 2 - x^{2} |_{0}^{1} = 1.$

Câu 22:

Cho hai số phức $z_{1}$ và $z_{2}$ là hai nghiệm của phương trình $z^{2} - 4 z + 9 = 0$ . Giá trị của biểu thức $P = z_{1} + z_{2} - z_{1} z_{2}$ bằng

A. 5

B. -5

C. 7

D. 13

Xem đáp án

Chọn C

Câu 23:

Tập nghiệm của bất phương trình $\log (x - 2) \leq 1$ là

A. $(2; 3)$ .

B.

(- \infty; 12]

.

C.

(- \infty; 3]

.

D.

(2; 12]

.

Xem đáp án

Chọn B

Câu 24:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d : \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{- 1} = \frac{z - 3}{2}$ . Tọa độ giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng $(O x z)$ tương ứng là

A. $(1; - 2; 3)$ .

B.

(- 3; 0; - 1)

.

C.

(2; - 1; 2)

.

D.

(0; - 1; 2)

.

Xem đáp án

Chọn D

Câu 25:

Cho số phức z thỏa mãn $|z - 1| = |\bar{z} + 2 i|$ . Quỹ tích điểm biểu diễn số phức z là

A. đường thẳng $x - 2 y = 0$ .

B. đường tròn

{(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 1

.

C. đường thẳng

2 x + 4 y + 3 = 0

.

D. đường thẳng

2 x - 4 y + 3 = 0

.

Xem đáp án

Chọn C

Câu 26:

Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi các đường cong $y = f (x)$ ; $y = g (x)$ và trục hoành như hình vẽ. Công thức tính diện tích hình phẳng $(H)$ là

A. $S = \int_{0}^{2} f (x) d x + \int_{2}^{5} g (x) d x$ .

B.

S = \int_{0}^{2} [g (x) - f (x)] d x + \int_{2}^{5} [f (x) - g (x)] d x

.

C.

S = \int_{0}^{2} f (x) d x + \int_{2}^{5} [f (x) - g (x)] d x

.

D.

S = \int_{0}^{2} g (x) d x + \int_{2}^{5} [g (x) - f (x)] d x

.

Xem đáp án

Chọn D

Câu 27:

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} - 4 x + 5}$ lần lượt là:

A. 5 và -1.

B. 10 và 0.

C.

\frac{7}{3}

và -1.

D. 6 và 0.

Xem đáp án

Chọn B

Xét $y = f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} - 4 x + 5} \Rightarrow f' (x) = \frac{- 6 x^{2} + 8 x + 14}{{(x^{2} - 4 x + 5)}^{2}} = 0 \Rightarrow x = - 1; x = \frac{7}{3}$

Bảng biến thiên:

Suy ra giá trị lớn nhất là 10 và giá trị nhỏ nhất là 0.

Câu 28:

Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Thể tích của khối chóp $S . A B C$ tương ứng bằng :

A. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{6}$ .

B.

\frac{a^{3} \sqrt{2}}{4}

.

C.

\frac{a^{3}}{2}

.

D.

\frac{a^{3} \sqrt{2}}{12}

.

Xem đáp án

Chọn C

Hình vẽ minh hoạ:

Ta suy ra đường cao của hình chóp $S O = \sqrt{S A^{2} - A O^{2}} = \sqrt{a^{2} - {(\frac{a \sqrt{2}}{2})}^{2}} = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

Suy ra :

V_{S . A B C} = \frac{1}{3} S_{△ A B C} . S O = \frac{1}{3} (\frac{a^{2}}{2}) . \frac{a \sqrt{2}}{2} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{12}

.

Câu 29:

Hỏi bất phương trình $(3^{x} - 27) (x^{2} - x - 20) \geq 0$ có tất cả bao nhiêu nghiệm nguyên $x \in [- 40; 40]$ ?

A. 45

B. 44

C. 46

D. 47

Xem đáp án

Chọn B

Bảng xét dấu vế trái:

Suy ra tập nghiệm của bất phương trình là:

$[\begin{array}{l} - 4 \leq x \leq 3 \\ x \geq 5 \end{array} \overset{x \in ℤ; x \in [- 40; 40]}{\to} x = \{- 4; - 3; ...; 3; 5; 6; ...; 40\}$

Suy ra có: 44 giá trị x nguyên thoả mãn.

Câu 30:

Hàm số nào dưới đây không có tiệm cận đứng?

A. $y = \sin (\frac{x + 2}{x - 1})$ .

B.

y = \tan (x^{2} + 1)

.

C.

y = \frac{x^{2} - x}{x + 2}

.

D.

y = \frac{\sqrt{2 x - 1} + 3}{\sqrt{x + 1} - 2}

.

Xem đáp án

Chọn A

Ta có thể dễ dàng chỉ ra ngay được hàm số ở đáp án A không có tiệm cận đứng vì giá trị của hàm số bị chặn trên $[- 1; 1]$ .

Câu 31:

Hỏi có bao nhiêu số phức z thoả mãn phương trình $2 |z| - 3 i z - 1 = 0$ ?

A. 3

B. 2

C. 0

D. 1

Xem đáp án

Chọn D

Gọi $z = a + i b; a, b \in ℝ \Rightarrow$ phương trình đã cho trở thành $2 \sqrt{a^{2} + b^{2}} - 3 i (a + b i) - 1 = 0$

$\Leftrightarrow (2 \sqrt{a^{2} + b^{2}} + 3 b - 1) - 3 a i = 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 0 \\ 2 |b| + 3 b - 1 = 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 0 \\ [\begin{array}{l} \{\begin{cases} b \geq 0 \\ 2 |b| + 3 b - 1 = 0 \end{cases} \\ \{\begin{cases} b < 0 \\ 2 |b| + 3 b - 1 = 0 \end{cases} \end{array} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 0 \\ [\begin{array}{l} \{\begin{cases} b \geq 0 \\ 2 b + 3 b - 1 = 0 \end{cases} \\ \{\begin{cases} b < 0 \\ - 2 b + 3 b - 1 = 0 \end{cases} \end{array} \Leftrightarrow \end{cases} \{\begin{cases} a = 0 \\ [\begin{array}{l} \{\begin{cases} b \geq 0 \\ b = \frac{1}{5} \end{cases} \\ \{\begin{cases} b < 0 \\ b = 1 \end{cases} \end{array} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 0 \\ b = \frac{1}{5} \end{cases}$

Vậy có duy nhất nột số phức z thoả mãn là $z = \frac{1}{5} i$ .

Câu 32:

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Cho đường thẳng $d : \frac{x - 2}{1} = \frac{y}{- 1} = \frac{x - 1}{2}$ và điểm $A (2; 0; 3)$ . Toạ độ điểm A' đối xứng với A qua đường thẳng d tương ứng là:

A. $(\frac{8}{3}; - \frac{2}{3}; \frac{7}{3})$ .

B.

(\frac{2}{3}; - \frac{4}{3}; \frac{5}{3})

.

C.

(\frac{10}{2}; - \frac{4}{3}; \frac{5}{3})

.

D.

(2; - 3; 1)

.

Xem đáp án

Chọn C

Đưa đường thẳng d về phương trình tham số $d : \{\begin{cases} x = 2 + t \\ y = - t \\ z = 1 + 2 t \end{cases}$

Gọi hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng d là H suy ra $H (2 + t; - t; 1 + 2 t)$ . Ta có $\vec{A H} = (t; - t; 2 t - 2)$ và VTCP của đường thẳng d là $\vec{u_{d}} = (1; - 1; 2)$

.

Suy ra $\vec{A H} . \vec{u_{d}} = 0 \Leftrightarrow t + 1 + 4 t - 4 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{2}{3} \Rightarrow H (\frac{8}{3}; - \frac{2}{3}; \frac{7}{3})$ .

Có điểm H là trung điểm của AA'suy ra tọa độ điểm A' là

là : $\{\begin{cases} x_{A^{'}} = 2 x_{H} - x_{A} = \frac{10}{3} \\ y_{A^{'}} = 2 y_{H} - y_{A} = - \frac{4}{3} \\ z_{A^{'}} = 2 z_{H} - z_{A} = \frac{5}{3} \end{cases}$ .

Câu 33:

Cho hình hộp chữ nhật có các cạnh 7,8,9. Diện tích xung quanh lớn nhất của hình hộp chữ nhật là

A. 270

B. 256

C. 382

D. 238

Xem đáp án

Chọn A

Để diện tích xung quanh lớn nhất thì hai đáy phải có diện tích nhỏ nhất ứng với các cặp cạnh 7 và 8 .

Suy ra diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật lớn nhất là $S_{x q} = 2 (8.9 + 7.9) = 270$ .

Câu 34:

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới . Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình

|3 f (x)| = m

có đúng 4 nghiệm thực .

A. 1

B. 3

C. 5

D. 6

Xem đáp án

Chọn B

Số nghiệm của phương trình $|f (x)| = \frac{m}{3}$ là số giao điểm của hai đồ thị $y = |f (x)|$ và $y = \frac{m}{3}$ .

$y = |f (x)| = \{\begin{cases} f (x) k h i f (x) \geq 0 \\ - f (x) k h i f (x) < 0 \end{cases}$ .

Suy ra cách vẽ: giữ nguyên phần đồ thị nằm trên trục hoành, phần nằm dưới lấy đối xứng qua trục hoành tồi xóa phần dưới đi.

Dựa và đồ thị ta nhận thấy để phương trình có bốn nghiệm thì

$[\begin{array}{l} 7 < \frac{m}{3} < 9 \Leftrightarrow 21 < m < 27 \\ \frac{m}{3} = 0 \Leftrightarrow m = 0 \end{array} \Rightarrow m \in \{0; 22; 23; 24; 25\} \Rightarrow$ có 6 giá trị nguyên .

Câu 35:

Cho phương trình $\log_{2} (4^{x} - 2^{x + 1} - m) = x + 1$ . Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình có hai nghiệm thực x phân biệt ?

A. 1

B. vô số.

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Chọn D

Phương trình đã cho $4^{x} - 2^{x + 1} - m = 2^{x + 1} \Leftrightarrow 4^{x} - {4.2}^{x} - m = 0$ .

Đặt $t = 2^{x} > 0 \Rightarrow$ phương trình trở thành $f (t) = t^{2} - 4 t - m (1)$ .

Để phương trình có hai nghiệm thực phân biệt x thì phương trình (1) phải có hai nghiệm t phân biệt dương . Suy ra

Suy ra

\{\begin{cases} Δ^{'} = 4 + m > 0 \\ t_{1} + t_{2} = 4 > 0 \\ t_{1} . t_{2} = - m > 0 \end{cases} \Leftrightarrow - 4 < m < 0 \Rightarrow m \in \{- 3; - 2; - 1\}

Câu 36:

Cho hình nón (N) có chiều cao h = 8 và bán kính đáy r = 4. Mặt phẳng (P) đi qua đỉnh nón (N) cắt đấy theo một dây có độ dài 6. Diện tích thiết diện cắt khối nón (N) bởi mặt phẳng (P) tương ứng là :

A. $12 \sqrt{7}$ .

B.

6 \sqrt{14}

.

C.

3 \sqrt{71}

.

D.

3 \sqrt{17}

.

Xem đáp án

Chọn C

Hình vẽ minh họa

Bài toán cho $A B = 6 \Rightarrow A H = H B = 3$ và $S H ⊥ A B$ .

Suy ra $O H = \sqrt{O A^{2} - A H^{2}} = \sqrt{4^{2} - 3^{2}} = \sqrt{7} \Rightarrow S H = \sqrt{S O^{2} + O H^{2}} = \sqrt{8^{2} + {(\sqrt{7})}^{2}} = \sqrt{71} .$

Suy ra diện tích thiết diện cần tính là : $S_{Δ S A B} = \frac{1}{2} A B . S H = \frac{1}{2} .6. \sqrt{71} = 3 \sqrt{71}$ .

Câu 37:

Cho một vật m bắt đầu chuyển động thẳng với biểu thức gia tốc phụ thuộc vào thời gian là $a = k_{1} ({m/s}^{2})$ trong đó kk là một hằng số thực dương. Biết rằng trong 6 giây đầu tiên quãng đường vật đi được là 120m. Hỏi trong 6 giây tiếp theo vật đi được quãng đường là bao nhiêu?

A. 960 m

B. 720 m

C. 840 m

D. 560 m

Xem đáp án

Chọn C

Biểu thức vận tốc : $v = \int a . d t = \int k t . d t = \frac{k}{2} t^{2} + C ({m/s}^{2})$

Vật bắt đầu chuyển động, nên ở thời điểm ban đầu có vận tốc bằng 0 tức là khi ta thay $t = 0 \Rightarrow v = 0 = \frac{k}{2} {.0}^{2} + C \Rightarrow C = 0 \Rightarrow$ biểu thức vận tốc $v = \frac{k}{2} . t^{2}$

Quãng đường đi được trong 6 giây đầu tiên $s_{6} = \int_{0}^{6} v d t = \int_{0}^{6} (\frac{k}{2} . t^{2}) d t = 36 k = 120 m \Rightarrow k = \frac{120}{36}$

Quãng đường đi được trong 6 giây tiếp theo $\int_{6}^{12} v d t = \int_{6}^{12} (\frac{k}{2} . t^{2}) d t = 252 k = 252. \frac{120}{36} = 840 m$

Câu 38:

Cho hàm số $y = f (x) = \frac{2 x + 2}{x - m}$ có đồ thị (C). Gọi S là tập chứa tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị (C) nhận $I (2; 2)$ làm tâm đối xứng. Tổng tất cả các giá trị của tập S :

A. 2

B. 0

C. 1

D. 3

Xem đáp án

Chọn C

Trường hợp 1: Khi $m = - 1 \Rightarrow$ hàm số bị suy biến thành $y = f (x) = 2$ là đường thẳng nằm ngang bỏ đi điểm $I (2; 2)$ . Hiển nhiên sẽ nhận I là tâm đối xứng.

Trường hợp 2: Khi $m \neq - 1 \Rightarrow$ đồ thị (C) nhận giao điểm của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng. Suy ra $I (2; 2) = (m; 2) \Leftrightarrow m = 2$

Suy ra tập $S = \{- 1; 2\} \Rightarrow$ tổng các phần tử là $- 1 + 2 = 1$

Câu 39:

Cho ba số thực dương a,b,c và đồ thị các hàm số $y = a^{x}; y = {(a b)}^{x}; y = {(c + 1)}^{x}$ được cho như hình vẽ bên dưới . Biết $M H = H K = K N$ .Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T = (\sqrt{b} - 4 c)$ bằng:

A. 1

B. 2

C. -1

D. 0

Xem đáp án

Chọn D

Ta có thể đặt $M H = H K = K N = m > 0 \Rightarrow x_{M} = - m; x_{K} = m; x_{N} = 2 m$

Suy ra: $a^{x_{M}} = {(a b)}^{x_{K}} = {(c + 1)}^{x_{N}} \Leftrightarrow a^{- m} = {(a b)}^{m} = {(c + 1)}^{2 m} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a^{- 1} = a b \\ a^{- 1} = {(c + 1)}^{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} b = \frac{1}{a^{2}} \\ c = - 1 + \frac{1}{\sqrt{a}} \end{cases}$

Suy ra tập $T = (\sqrt{b} - 4 c) = \frac{1}{a} - \frac{4}{\sqrt{a}} + 4 = {(\frac{1}{\sqrt{a}} - 2)}^{2} \geq 0$

Dấu = xảy ra khi $\frac{1}{\sqrt{a}} - 2 = 0 \Leftrightarrow a = \frac{1}{4}$ ( Thỏa mãn điều kiện $a < 1$ )

Suy ra giá trị nhỏ nhất T là $T_{\min} = 0$

Câu 40:

Cho hàm số $y = f (x) = x^{3} - 3 m x^{2} + 3 (m + 1) x - 4$ có đồ thị (C). Gọi S là tập chứa tất cả các giá trị nguyên của tham số $m \in [- 30; 30]$ để đồ thị (C) cắt tia Ox tại đúng một điểm. Số phần tử của tập S :

A. 2

B. 32

C. 19

D. 5

Xem đáp án

Chọn B

Dễ dàng nhẩm được x = 1 là nghiệm. Suy ra ta đưa phương trình hoành độ giao điểm về dạng:

$x^{3} - 3 m x^{2} + 3 (m + 1) x - 4 \Leftrightarrow (x - 1) (x^{2} - (3 m - 1) x + 4) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ g (x) = x^{2} - (3 m - 1) x + 4 = 0 \end{array}$

Chú ý rằng, yêu cầu bài toán là đồ thị (C) cắt tia Ox tức là cắt trục hoành tại các điểm có hoành độ không âm. Xảy ra các trường hợp sau:

Trường hợp 1: Phương trình $g (x) = x^{2} - (3 m - 1) x + 4 = 0$ vô nghiệm

Suy ra ${(3 m - 1)}^{2} - 16 < 0 \Leftrightarrow - 1 < m < \frac{5}{3}$

Trường hợp 2: Phương trình $g (x) = x^{2} - (3 m - 1) x + 4 = 0$ có nghiệm kép bằng 1 hoặc nghiệm kép âm

Suy ra $\{\begin{cases} {(3 m - 1)}^{2} - 16 = 0 \\ [\begin{array}{l} x_{0} = \frac{3 m - 1}{2} = 1 \\ x_{0} = \frac{3 m - 1}{2} < 0 \end{array} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} [\begin{array}{l} m = - 1 \\ m = \frac{5}{3} \end{array} \\ [\begin{array}{l} m = 1 \\ m < \frac{1}{3} \end{array} \end{cases} \Leftrightarrow m = - 1$

Trường hợp 3: Phương trình $g (x) = x^{2} - (3 m - 1) x + 4 = 0$ có 2 nghiệm phân biệt âm

Suy ra $\{\begin{cases} {(3 m - 1)}^{2} - 16 > 0 \\ x_{1} + x_{2} = (3 m - 1) < 0 \\ x_{1} . x_{2} = 4 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m < - 1 \lor m > \frac{5}{3} \\ m < \frac{1}{3} \\ \forall m \end{cases} \Leftrightarrow m < - 1$

Kết hợp cả ba trường hợp $m < \frac{5}{3} \overset{m \in ℤ, m \in [- 30; 30]}{\to} m = \{- 30; - 29; ...; 1\} = 32$ giá trị.

Câu 41:

Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho đường thẳng $d_{1} : \frac{x}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z + 1}{- 2}$ và $d_{2} : \frac{x + 2}{- 2} = \frac{y + 3}{1} = \frac{z - 3}{2}$ . Hãy lập phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng chứa hai đường thẳng $d_{1}; d_{2}$ ; sao cho ba đường thẳng $d; d_{1}; d_{2}$ đồng quy và khoảng cách từ gốc tọa độ O với đường thẳng d là lớn nhất:

A. $d : \frac{x - 3}{4} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z - 2}{- 3}$

B.

d : \frac{x}{2} = \frac{y + 4}{- 1} = \frac{z - 6}{3}

C.

d : \frac{x + 2}{3} = \frac{y + 3}{- 4} = \frac{z - 3}{2}

D.

d : \frac{x - 1}{3} = \frac{y + 7}{- 4} = \frac{z - 1}{- 2}

Xem đáp án

Chọn A

Dễ dàng tìm được giao điểm của hai đường thẳng $d_{1} : \{\begin{cases} x = t_{1} \\ y = 1 + 2 t_{1} \\ z = - 1 - 2 t_{1} \end{cases}$ và $d_{2} : \{\begin{cases} x = - 2 - 2 t_{2} \\ y = - 3 + t_{2} \\ z = 3 + 2 t_{2} \end{cases}$

$d_{1} \cap d_{2} : \{\begin{cases} x = t_{1} = - 2 - 2 t_{2} \\ y = 1 + 2 t_{1} = - 3 + t_{2} \\ z = - 1 - 2 t_{1} = 3 + 2 t_{2} \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} t_{1} = - 2 \\ t_{2} = 0 \end{cases}$ $\Rightarrow d_{1} \cap d_{2} = I (- 2; - 3; 3)$

Nếu gọi (P) là mặt phẳng chứa ba đương thẳng $d, d_{1}, d_{2}$ $\Rightarrow$ cặp VTCP của (P) và ${\vec{u}}_{d_{1}} = (1; 2; - 2)$ và ${\vec{u}}_{d_{2}} = (- 2; 1; 2)$ $\Rightarrow$ VTPT của (P) là ${\vec{n}}_{(P)} = [{\vec{u}}_{d_{1}}; {\vec{u}}_{d_{2}}] = (6; 2; 5)$

Ta có: $d (O; d) \leq O I$ . Để khoảng cách từ O đến d lớn nhất thì đường thẳng d vuông góc OI tại I. Hay nói cách khác $\vec{O I} = (- 2; - 3; 3)$ là một véc tơ pháp tuyến của d

Cặp VTPT của d là ${\vec{n}}_{(P)}$ và $\vec{O I}$ . Suy ra VTCP của d là: ${\vec{u}}_{d} = [{\vec{n}}_{(P)}; \vec{O I}] = (21; - 28; - 14)$

Chọn VTCP của đường thẳng d là: $(3; - 4; - 2)$ và d đi qua điểm $I (- 2; - 3; 3) .$ Chọn đáp án D

Câu 42:

Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi M là trung điểm của AD. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng CM và SA bẳng $\frac{a}{\sqrt{6}}$ . Thể tích khối chóp SABCD bằng

A.

\frac{a^{3}}{6}

.

B.

\frac{a^{3}}{4}

.

C.

\frac{a^{3}}{3}

.

D.

\frac{a^{3}}{12}

.

Xem đáp án

Chọn A

Câu 43:

Cho hàm số bậc ba $y = f (x) = x^{3} - 3 (m - 1) x^{2} - 9 (2 m + 1) + n$ có đồ thị là $(C_{m})$ , với m và n là những số thực. Gọi S là tập chứa tất cả các số thực của tham số m để đồ thị $(C_{m})$ có 2 cực trị tại A và B tạo với gốc tọa độ OO thành 3 điểm cách đều nhau. Tổng giá trị tất cả các phần tử của tập S bằng:

A. $\frac{- 15}{4}$

B. $\frac{19}{2}$

C. $\frac{- 5}{2}$

D. $\frac{15}{4}$

Xem đáp án

Chọn A

Câu 44:

Trong các hình nón và diện tích xung quanh bằng $4 π \sqrt{3}$ thì khối hình nón có thể tích lớn nhất tương ứng bằng:

A.

4 π \sqrt{2}

.

B.

\frac{8 π \sqrt{2}}{3}

.

C.

\frac{8 π}{3}

.

D.

\frac{8 π \sqrt[4]{2}}{3}

.

Xem đáp án

Chọn B

Ta có: $4 π \sqrt{3} = π r . \sqrt{r^{2} + h^{2}} \Rightarrow h = \sqrt{\frac{48}{r^{2}} - r^{2}}$ . Suy ra thể tích khối nón:

$V_{N} = \frac{1}{3} π r^{2} h = \frac{1}{3} π r^{2} . \sqrt{\frac{48}{r^{2}} - r^{2}} = \frac{π}{3} . \sqrt{48 r^{2} - r^{6}}$ .

Ta tiến hành đi khỏa sát hàm số $f (t) = 48 t - t^{3}$ với $t = r^{2}$ ; sẽ suy ra được giá trị lớn nhất của hàm số là: $\max f (t) = 128$ khi $t = r^{2} = 4 \Leftrightarrow r = 2$ .

Suy ra thể tích đạt giá trị lớn nhất là $V_{N_\max} = \frac{8 π \sqrt{2}}{3}$ {khi r = 2}. Chọn đáp án B.

Câu 45:

Có 8 hành khách bước ngẫu nhiên lên 3 toa tàu. Xác suất để có một toa tàu có đúng 4 hành khách bước lên tương ứng bằng:

A.

\frac{1120}{2187}

.

B.

\frac{350}{729}

.

C.

\frac{311}{650}

.

D.

\frac{13}{28}

.

Xem đáp án

Chọn B

Mỗi một hành khách bước lên tàu đều có 3 cách lựa chọn toa. Suy ra: $n_{Ω} = 3^{8}$

Gọi A là biến cố để có một toa có đúng bốn hành khách bước lên. Suy ra ta có các trường hợp là: $'' 404, 413, 422''$ ứng với số cách là: $n (A) = \frac{3!}{2!} . \frac{8!}{4! .4!} + 3! . \frac{8!}{4! .1! .3!} + \frac{3!}{2!} . \frac{8!}{4! .2! .2!} = 3150$ .

Suy ra xác suất là: $p (A) = \frac{n (A)}{n (Ω)} = \frac{3150}{3^{8}} = \frac{350}{729}$ . Chọn đáp án B.

Câu 46:

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Gọi S là tập chứa tất cả các giá trị nguyên của tham số

m \in [- 2021; 2012]

để hàm số

y = f (f (x) - 2 m + 1)

có đúng 4 điểm cực trị. Số phần tử của tập S là:

A. 4029

B. 4038

C. 4030

D. 4028

Xem đáp án

Chọn A

Ta đặt $g (x) = f (f (x) - 2 m + 1) \Rightarrow g' (x) = f' (x) . f' (f (x) - 2 m + 1)$ .

Xét phương trình đạo hàm: $g' (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} f' (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \to t h e m 1 d i e m c u c t r i \\ x = 2 \to t h e m 1 d i e m c u c t r i \end{array} \\ f' (f (x) - 2 m + 1) = 0 \end{array}$

Xét phương trình: $f' (f (x) - 2 m + 1) = 0 \Rightarrow [\begin{array}{l} f (x) - 2 m + 1 = - 1 \\ f (x) - 2 m + 1 = 2 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} f (x) = 2 m - 2 \\ f (x) - 3 = 2 m - 2 \end{array}$

Xét tương giao của đường thẳng $y = 2 m - 2$ và hai đồ thị hai hàm số $y = f (x); y = f (x) - 3$

Để hàm số $y = g (x) = f (f (x) - 2 m + 1)$ . Có 4 điểm cực trị thì đường thẳng $y = 2 m - 2$ cắt đồ thị hai hàm số trên tại hai điểm bội lẻ( không kể điểm tiếp xúc vì được coi như điểm bội chẵn).

Nhìn vào đồ thị ta thấy điều kiện là: $[\begin{array}{l} 2 m - 2 \geq 5 \\ 2 m - 2 \leq 6 \end{array} \Rightarrow [\begin{array}{l} 4 \leq m \leq 2012 \\ - 2021 \leq m \leq - 2 \end{array}$ suy ra có 4029 giá trị m nguyên thỏa mãn bài toán. Chọn đáp án A.

Câu 47:

Cho hai số phức z, w thỏa mãn đồng thời hai hệ thức $|z^{2} + (2 - i) z + 1| = 3 |z|$ và $|z^{2} + (2 i - 3 - w) z + 1| = |z|$ . Giá trị lớn nhất của $|w|$ tương ứng bằng:

A. 5

B. $4 + \sqrt{34}$

C. $3 + \sqrt{34}$

D. $3 + \sqrt{37}$

Xem đáp án

Chọn B

 Nhận thấy z = 0 không thỏa mãn hai hệ thức đã cho. Nên ta tiến hành chia hai vế hệ thức cho z, sẽ được: $|z^{2} + (2 i - 3 - w) z + 1| = | z | \Leftrightarrow |z + 2 i - 3 - w + \frac{1}{z}| = 1 \Leftrightarrow |w - (z + \frac{1}{z} + 2 i - 3)| = 1$

 Đặt $u = z + \frac{1}{z} + 2 i - 3 \Rightarrow$ hệ thức trên trở thành: $|w - u| = 1 (1)$

 Với hệ thức $|z^{2} + (2 - i) z + 1| = 3 |z| \Leftrightarrow |z + (2 - i) + \frac{1}{z}| = 3 \Leftrightarrow |z + \frac{1}{z} + 2 i - 3 + 5 - 3 i| = 3$ $\Leftrightarrow |u + 5 - 3 i| = 3 (2)$

 Áp dụng bất đẳng thức môđun ta có: $| w - u | = 1 \geq | w | - | u | \Leftrightarrow | w | \leq 1 + | u |$

 Lại có: $| u + 5 - 3 i | = 3 \geq | u | - | 3 i - 5 | = | u | - \sqrt{34} \Leftrightarrow | u | \leq 3 + \sqrt{34}$

 Suy ra: $| w | \leq 1 + | u | \leq 1 + 3 + \sqrt{34} = 4 + \sqrt{34}$ . Suy ra giá trị lớn nhất của $|u|$ là ${(| u |)}_{\max} = 4 + \sqrt{34}$

chọn đáp án B

Câu 48:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai mặt phẳng là $(P) : x - 2 y + 2 z - 1 = 0$ và $(Q) : - x + 2 y - 2 z - 11 = 0$ và điểm $A = (- 2; 1; 1) .$ Một mặt cầu di động $(S)$ đi qua A đồng thời tiếp xúc với hai mặt phẳng (P) và(Q) có tâm II nằm trên đường cong có độ dài bằng:

A. $2 π$ .

B.

4 π

.

C.

2 π \sqrt{3}

.

D.

2 π \sqrt{2}

.

Xem đáp án

Chọn C

Câu 49:

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị biểu diễn như hình vẽ và đồ thị đạo hàm không tiếp xúc với trục hoành. Số nghiệm của phương trình $f (x) {.3}^{f^{'} (x)} + f^{'} (x) {.4}^{f (x)} = f (x) + f^{'} (x)$ tương ứng là:

A. 7

B. 9

C. 8

D. 10

Xem đáp án

Chọn B

Ta đã biết $\frac{a^{t} - 1}{t} > 0$ với $\forall a > 1; t \neq 0$

Phương trình đã cho trở thành: $f (x) . (3^{f^{'} (x)} - 1) + f^{'} (x) (4^{f (x)} - 1) = 0$

Nhận thấy ngay khi $[\begin{array}{l} f (x) = 0 \\ f^{'} (x) = 0 \end{array}$ thì thỏa mãn phương trình đã cho. Số nghiệm của phương trình f(x) = 0 là 5 và số nghiệm của phương trình f'(x) = 0 là 5 nhưng có một nghiệm trùng nhau (tại chỗ đồ thị hàm số y = f(x) tiếp xúc với trục hoành) nên sẽ cho tất cả là 9 nghiệm thỏa mãn.

Với $\{\begin{cases} f (x) \neq 0 \\ f^{'} (x) \neq 0 \end{cases}$ : ta chia hai vế cho $f (x) . f^{'} (x)$ sẽ được : $\frac{3^{f^{'} (x)} - 1}{f^{'} (x)} + \frac{4^{f (x)} - 1}{f (x)} = 0$

Lại có : $\frac{3^{f^{'} (x)} - 1}{f^{'} (x)} > 0; \frac{4^{f (x)} - 1}{f (x)} > 0 \Rightarrow$ phương trình đã cho vô nghiệm.

Câu 50:

Cho hàm số trùng phương $y = f (x) = x^{4} - 2 (m + 1) x^{2} + m^{2} .$ Gọi S là tập chứa tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số $y = |f (x)|$ có 3 điểm cực đại lập thành một tam giác vuông cân. Tổng tất cả các phần tử của tập S nằm trong khoảng:

A.

(3; 4)

.

B.

(4; \frac{9}{2})

.

C.

(\frac{9}{2}; 5)

.

D.

(2; 3)

.

Xem đáp án

Chọn C

Ba điểm cực trị có tọa độ là:

$A = (0; m^{2}); B = (\sqrt{- \frac{b}{2 a}}; \frac{Δ}{4 a}) = (\sqrt{m + 1}; 1 + 2 m); C = (- \sqrt{m + 1}; 1 + 2 m)$

Tam giác ABC cân tại A để tam giác ABC vuông cân thì suy ra nó phải vuông cân tại A Suy ra:

$\vec{A B} . \vec{A C} = 0 \Leftrightarrow m^{4} - 4 m^{3} + 2 m^{2} + 3 m = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 0 \\ m = 3 \\ m = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \\ m = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \end{array} (*)$

Điều kiện để tồn tại ba điểm cực trị và có điểm cực đại nằm trên trục hoành và hai điểm cực tiểu nằm dưới trục hoành là:

$\{\begin{cases} - 2 (m + 1) < 0 \\ m^{2} > 0 \\ - \frac{Δ}{4 a} = - 1 - 2 m < 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m > - 1 \\ m \neq 0 \\ m > - \frac{1}{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m > - \frac{1}{2} \\ m \neq 0 \end{cases} (* *)$

Từ $(*)$ và $(* *),$ ta suy ra: $[\begin{array}{l} m = 3 \\ m = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \end{array} \Rightarrow S = \{3; \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\}$

Vậy tổng giá trị tất cả các phần tử của S bằng: