50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 35 đề minh họa THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 có lời giải

Câu 1:

Cho tập hợp $A$ gồm 12 phần tử. Số tập con gồm 4 phần tử của tập hợp $A$ là

A. $A_{12}^{8} .$

B. $C_{12}^{4}$

C. $4!$

D. $A_{12}^{4}$

Xem đáp án

Số cách chọn 4 phần tử từ 12 phần tử bằng: $C_{12}^{4} .$

Chọn đáp án B.

Câu 2:

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ , có $u_{1} = - 2, u_{4} = 4.$ Số hạng $u_{6}$ là

A. 8

B. 6

C. 10

D. 12

Xem đáp án

Áp dụng công thức của cấp số cộng $u_{n} = u_{1} + (n - 1) d,$ ta có

$u_{4} = u_{1} + 3 d \Leftrightarrow 4 = - 2 + 3 d \Leftrightarrow d = 2.$

Vậy $u_{6} = u_{1} + 5 d = - 2 + 5 (2) = 8.$

Chọn đáp án A.

Câu 3:

Cho hàm số $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ có đồ thị như hình bên. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng

(- \infty; 0)

.

B. Hàm số đồng biến trên khoảng

(- \infty; 1) .

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng

(0; 1) .

D. Hàm số đồng biến trên khoảng

(1; + \infty) .

Xem đáp án

Dựa vào đồ thị ta có hàm số đồng biến trên khoảng $(- \infty; 0)$ và $(1; + \infty)$ , hàm số nghịch biến trên khoảng $(0; 1) .$

Chọn đáp án B.

Câu 4:

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên $ℝ .$ Hàm số $y = f' (x)$ có đồ thị như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Đồ thị hàm số $y = f (x)$ có hai điểm cực trị.

B. Đồ thị hàm số $y = f (x)$ có ba điểm cực trị

C. Đồ thị hàm số $y = f (x)$ có bốn điểm cực trị.

D. Đồ thị hàm số $y = f (x)$ có một điểm cực trị.

Xem đáp án

Vì phương trình $f' (x) = 0$ có 3 nghiệm và khi qua 3 nghiệm $f' (x)$ đều đổi dấu nên đồ thị hàm số có ba điểm cực trị

Chọn đáp án B.

Câu 5:

Cho hàm số $y = f (x)$ có bảng biến thiên như hình vẽ. Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

A. Có ba điểm.

B. Có bốn điểm.

C. Có một điểm.

D. Có hai điểm.

Xem đáp án

Theo định nghĩa về cực trị, nhìn trên bảng biến thiên ta thấy chỉ có $x = - 1$ và $x = 1$ là thỏa mãn đồng thời của hai điều kiện. Vậy hàm số có hai điểm cực trị.

Chọn đáp án D.

Câu 6:

Phương trình tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{1 - 2 x}{- x + 2}$ lần lượt là

A. $x = - 2; y = - 2.$

B. $x = 2; y = - 2.$

C. $x = - 2; y = 2$

D. $x = 2; y = 2$

Xem đáp án

Dễ thấy đồ thị hàm số $y = \frac{1 - 2 x}{- x + 2}$ có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là $x = 2; y = 2.$

Chọn đáp án D.

Câu 7:

Đồ thị dưới đây là của hàm số nào?

A. $y = - \frac{x^{3}}{3} + x^{2} + 1.$

B. $y = - x^{3} - 3 x^{2} + 1.$

C. $y = 2 x^{3} - 6 x^{2} + 1.$

D. $y = x^{3} - 3 x^{2} + 1.$

Xem đáp án

Từ hình vẽ ta thấy hệ số $a > 0$ nên loại A và B.

Đồ thị hàm số đi qua điểm $(2; - 3)$ chỉ có đáp án D thỏa.

Chọn đáp án D.

Câu 8:

Tọa độ giao điểm $M$ của đồ thị hàm số $y = x^{3} + 3 x - 4$ và đường thẳng $y = 2 x - 4.$

A. $M (0; - 4)$

B. $M (- 3; 0)$

C. $M (- 1; - 6)$

D. $M (1; 0)$

Xem đáp án

Từ phương trình hoành độ giao điểm $x^{3} + 3 x - 4 = 2 x - 4 \Rightarrow x = 0.$

Thay $x = 0$ vào phương trình đường thẳng $y = 2 x - 4,$ ta được $y = - 4.$

Vậy $M (0; - 4) .$

Chọn đáp án A.

Câu 9:

Với các số thực dương $x, y$ . Ta có $8^{x} {,4}^{4},2$ theo thứ tự lập thành một cấp số nhân và các số $\log_{2} 45, \log_{2} y, \log_{2} x$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Khi đó $y$ bằng

A. 225

B. 15

C. 105

D. $\sqrt{105} .$

Xem đáp án

Từ $8^{x} {,4}^{4},2$ theo thứ tự lập thành một cấp số nhân nên công bội $q = \frac{2}{4^{4}} = \frac{1}{2^{7}}$

Mặt khác $\log_{2} 45, \log_{2} y, \log_{2} x$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng suy ra

$\log_{2} y = (\log_{2} 45 + \log_{2} x) : 2 \Leftrightarrow \log_{2} y = (\log_{2} 45 + \log_{2} 5) : 2 \Leftrightarrow \log_{2} y = \log_{2} \sqrt{225} \Leftrightarrow y = 15.$

Chọn đáp án B.

Câu 10:

Đạo hàm bậc nhất của hàm số $y = e^{2 x} + 3$ là

A. $y' = 2. e^{2 x} .$

B. $y' = e^{2 x} .$

C. $y' = 2 e^{2 x} + 3.$

D. $y' = e^{2 x} + 3.$

Xem đáp án

Ta có $y = e^{2 x} + 3$ nên $y' = e^{2 x} . (2 x)' = 2. e^{2 x} .$

Chọn đáp án A.

Câu 11:

Cho đẳng thức $\frac{\sqrt[3]{a^{2} \sqrt{a}}}{a^{3}} = a^{α},0 < a \neq 1.$ Khi đó $α$ thuộc khoảng nào?

A. $(- 1; 0)$

B. $(0; 1)$

C. $(- 2; - 1)$

D. $(- 3; - 2)$

Xem đáp án

Ta thấy $a^{α} = \frac{\sqrt[3]{a^{2} \sqrt{a}}}{a^{3}} = \frac{a^{\frac{5}{6}}}{a^{3}} = a^{- \frac{13}{6}} \Rightarrow α = - \frac{13}{6} \in (- 3; - 2) .$

Chọn đáp án D.

Câu 12:

Nghiệm của phương trình $\log_{2} (3 x - 8) = 2$ là

A. $x = 4.$

B. $x = - 4$

C. $x = - \frac{4}{3} .$

D. $x = 12$

Xem đáp án

Ta có $\log_{2} (3 x - 8) = 2 \Leftrightarrow 3 x - 8 = 4 \Leftrightarrow x = 4.$

Chọn đáp án A.

Câu 13:

Tìm nghiệm của phương trình $3^{x - 1} = 27.$

A. $x = 9$

B. $x = 3.$

C. $x = 4.$

D. $x = 10.$

Xem đáp án

Ta có $3^{x - 1} = 27 \Leftrightarrow 3^{x - 1} = 3^{3} \Leftrightarrow x - 1 = 3 \Leftrightarrow x = 4$

Chọn đáp án C.

Câu 14:

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = \sin 2 x$ là

A. $F (x) = - \frac{1}{2} \cos 2 x + C .$

B. $F (x) = \cos 2 x + C$

C. $F (x) = \frac{1}{2} \cos 2 x + C$

D. $F (x) = - \cos 2 x + C$

Xem đáp án

Ta có $\int_{}^{} \sin 2 x d x = - \frac{\cos 2 x}{2} + C .$

Chọn đáp án A.

Câu 15:

Tính nguyên hàm $A = \int_{}^{} \frac{1}{x \ln x} d x$ bằng cách đặt $t = \ln x .$ Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $A = \int_{}^{} d t$

B. $\int_{}^{} \frac{1}{t^{2}} d t$

C. $\int_{}^{} t d t .$

D. $\int_{}^{} \frac{1}{t} d t$

Xem đáp án

Đặt $t = \ln x \Rightarrow d t = \frac{1}{x} d x .$

$A = \int_{}^{} \frac{1}{t} d t$

Chọn đáp án D.

Câu 16:

Biết

f (x)

là hàm số liên tục trên

ℝ,

a

là số thực thỏa mãn

0 < a < π

và

\int_{0}^{a} f (x) d x = \int_{a}^{π} f (x) d x = 1.

Tính

\int_{0}^{π} f (x) d x .

A. 0

B. 2

C. $\frac{1}{2}$

D. 1

Xem đáp án

Ta có $I = \int_{0}^{π} f (x) d x = \int_{0}^{a} f (x) d x + \int_{a}^{π} f (x) d x = 2.$

Chọn đáp án B.

Câu 17:

Tích phân $I = \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sin x d x$ bằng

A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

B. $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

C. $\frac{1}{2}$

D. $- \frac{1}{2}$

Xem đáp án

Ta có $I = \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sin x d x = - \cos x |\begin{array}{l} \frac{π}{3} \\ 0 \end{array} = \frac{1}{2} .$

Chọn đáp án C.

Câu 18:

Cho số phức $z = 2 - 3 i .$ Số phức liên hợp của $z$ là

A. $\bar{z} = - 2 - 3 i .$

B. $\bar{z} = - 2 + 3 i .$

C. $\bar{z} = 2 + 3 i .$

D. $\bar{z} = 2 - 3 i .$

Xem đáp án

Số phức liên hợp của số phức $2 - 3 i$ là $2 + 3 i$ .

Chọn đáp án C.

Câu 19:

Số nào trong các số phức sau là số thực?

A. $(1 + 2 i) + (- 1 + 2 i)$

B. $(3 + 2 i) + (3 - 2 i)$

C. $(5 + 2 i) - (\sqrt{5} - 2 i)$

D. $(\sqrt{3} - 2 i) - (\sqrt{3} + 2 i) .$

Xem đáp án

Số phức có phần ảo bằng 0 là số thực. Do đó $(3 + 2 i) + (3 - 2 i) = 6$ là số thực.

Chọn đáp án B.

Câu 20:

Trong mặt phẳng tọa độ $O x y z,$ cho điểm $M (- 2; 1) .$ Hỏi điểm $M$ là điểm biểu diễn của số phức nào sau đây?

A. $z = 2 - i .$

B. $z = - 2 + i$

C. $z = - 1 + 2 i$

D. $z = 1 - 2 i .$

Xem đáp án

$M (- 2; 1) \Rightarrow z = - 2 + i .$

Chọn đáp án B.

Câu 21:

Thể tích của khối chóp có diện tích mặt đáy bằng $B,$ chiều cao bằng $h$ được tính bởi công thức

A. $V = \frac{1}{3} B h .$

B. $V = B h$

C. $V = \frac{1}{2} B h$

D. $V = 3 B h$

Xem đáp án

Công thức tính thể tích chóp.

Chọn đáp án A.

Câu 22:

Công thức tính thể tích khối chóp có diện tích đáy $B$ và chiều cao $h$ là

A. $V = \frac{4}{3} B h .$

B. $V = \frac{1}{3} B h .$

C. $V = B h .$

D. $V = \frac{1}{2} B h .$

Xem đáp án

Theo công thức tính thể tích khối chóp ta có $V = \frac{1}{3} B h .$

Chọn đáp án B.

Câu 23:

Thể tích của khối nón có chiều cao $h$ và bán kính đáy $r$ là

A. $V = π r^{2} h .$

B. $V = π r h .$

C. $V = \frac{1}{3} π r^{2} h .$

D. $V = \frac{1}{3} π r h^{2} .$

Xem đáp án

Thể tích của khối nón có chiều cao $h$ và bán kính đáy $r$ là $V = \frac{1}{3} π r^{2} h .$

Chọn đáp án C.

Câu 24:

Cho khối nón xoay có chiều cao và bán kính đáy cùng bằng $a .$ Khi đó thể tích khối nón là

A. $\frac{2}{3} π a^{3}$

B. $π a^{3}$

C. $\frac{1}{3} π a^{3}$

D. $\frac{4}{3} π a^{3}$

Xem đáp án

Theo bài ra $h = r = a .$

Thể tích khối nón là $V = \frac{1}{3} π r^{2} h = \frac{1}{3} π a^{3} .$

Chọn đáp án C.

Câu 25:

Cho các véc-tơ $\vec{a} = (1; 2; 3), \vec{b} = (- 2; 4; 1), \vec{c} = (- 1; 3; 4) .$ Véc-tơ $\vec{v} = 2 \vec{a} - 3 \vec{b} + 5 \vec{c}$ có tọa độ là

A. $\vec{v} = (23; 7; 3) .$

B. $\vec{v} = (7; 23; 3) .$

C. $\vec{v} = (3; 7; 23) .$

D. $\vec{v} = (7; 3; 23) .$

Xem đáp án

Ta có: $2 \vec{a} = (2; 4; 6); - 3 \vec{b} = (6; - 12; - 3); 5 \vec{c} = (- 5; 15; 20)$

$\Rightarrow \vec{v} = 2 \vec{a} - 3 \vec{b} + 5 \vec{c} = (3; 7; 23) .$

Chọn đáp án C.

Câu 26:

Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ cho mặt cầu có phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 4 y - 6 z + 9 = 0.$ Tìm tọa độ tâm $I$ và độ dài bán kính $R$ của mặt cầu.

A. $I (- 1; 2; - 3)$ và $R = \sqrt{5} .$

B. $I (1; - 2; 3)$ và $R = \sqrt{5}$

C. $I (1; - 2; 3)$ và $R = 5.$

D. $I (- 1; 2; - 3)$ và $R = 5.$

Xem đáp án

Tâm $I (1; - 2; 3); R = \sqrt{1 + 4 + 9 - 9} = \sqrt{5} .$

Chọn đáp án B.

Câu 27:

Trong không gian $O x y z,$ mặt phẳng $(O x z)$ có phương trình là

A. $x = 0.$

B. $z = 0.$

C. $y = 0.$

D. $x + z = 0.$

Xem đáp án

Phương trình mặt phẳng $O x z$ qua $O (0; 0; 0)$ và có véc-tơ pháp tuyến $\vec{k} = (0; 1; 0)$ nên có phương trình $y = 0.$

Chọn đáp án C.

Câu 28:

Trong không gian $O x y z$ cho đường thẳng $d : \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{3} = z - 3.$ Véc-tơ nào dưới đây là một véc-tơ chỉ phương của đường thẳng $d ?$

A. $\vec{u} = (2; 3; 1)$

B. $\vec{u} = (2; 3; 0)$

C. $\vec{u} = (1; 2; 3)$

D. $\vec{u} = (1; - 2; 3)$

Xem đáp án

Theo định nghĩa về phương trình chính tắc ta có $\vec{u} = (2; 3; 1)$ là một véc-tơ chỉ phương của đường thẳng $d : \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{3} = \frac{x - 3}{1} .$

Chọn đáp án A.

Câu 29:

Gieo một con súc sắc cân đối đồng chất một lần. Tính xác suất để xuất hiện mặt chẵn.

A. $\frac{1}{2}$

B. $\frac{1}{6} .$

C. $\frac{1}{4} .$

D. $\frac{1}{3}$

Xem đáp án

Không gian mẫu $Ω = \{1; 2; 3; 4; 5; 6\} \Rightarrow n (Ω) = 6.$

Gọi A là biến cố “con xúc sắc xuất hiện mặt chẵn” $\Rightarrow n (A) = 3.$

Xác suất tìm được là: $P (A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} .$

Chọn đáp án A.

Câu 30:

Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của hàm số nào?

A. $y = x^{4} - 2 x^{2} .$

B. $y = - x^{4} + 2 x^{2} .$

C. $y = - x^{3} + 3 x^{2} .$

D. $y = x^{3} - 2 x .$

Xem đáp án

Ta thấy đường cong là đồ thị của hàm trùng phương có dạng $y = a x^{4} + b x^{2} + c$ với $a > 0.$

Chọn đáp án A.

Câu 31:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \frac{2 x + 1}{1 - x}$ trên đoạn $[2; 3]$ là:

A. $\frac{3}{4} .$

B. $- 5.$

C. $- \frac{7}{2} .$

D. $- 3.$

Xem đáp án

Ta có $y' = \frac{3}{{(1 - x)}^{2}} > 0, \forall x \neq 1,$ suy ra hàm số đồng biến trên $[2; 3] .$ Do đó, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên $[2; 3]$ là $f (2) = - 5.$

Chọn đáp án B.

Câu 32:

Tập nghiệm của bất phương trình ${(\frac{2}{3})}^{4 x} \leq {(\frac{3}{2})}^{2 - x}$ là

A. $(- \infty; - \frac{2}{3}]$

B. $(- \infty; \frac{2}{5}]$

C. $(\frac{2}{5}; + \infty)$

D. $[- \frac{2}{3}; + \infty)$

Xem đáp án

${(\frac{2}{3})}^{4 x} \leq {(\frac{3}{2})}^{2 - x} \Leftrightarrow {(\frac{3}{2})}^{- 4 x} \leq {(\frac{3}{2})}^{2 - x} \Leftrightarrow - 4 x \leq 2 - x \Leftrightarrow x \geq - \frac{2}{3} .$

Chọn đáp án D.

Câu 33:

Tích phân $\int_{0}^{2} \frac{a}{a x + 3 a} d x, (a > 0)$ bằng

A. $\frac{16 a}{225}$

B. $a \log \frac{5}{3} .$

C. $\ln \frac{5}{3} .$

D. $\frac{2 a}{15} .$

Xem đáp án

Ta có $\int_{0}^{2} \frac{a}{a x + 3 a} d x = \int_{0}^{2} \frac{1}{x + 3} d x = \ln (x + 3) |\begin{array}{l} 2 \\ 0 \end{array} = \ln 5 - \ln 3 = \ln \frac{5}{3} .$

Chọn đáp án C.

Câu 34:

Cho số phức $w = {(2 + i)}^{2} - 3 (2 - i) .$ Giá trị của $|w|$ là

A. $\sqrt{54}$

B. $\sqrt{58}$

C. $2 \sqrt{10}$

D. $\sqrt{43}$

Xem đáp án

Ta có $w = - 3 + 7 i$ nên $|w| = \sqrt{58} .$

Chọn đáp án B.

Câu 35:

Cho hình chóp

S . A B C D

có đáy

A B C D

là hình vuông cạnh

a,

cạnh bên

S A

vuông góc với mặt đáy và

S A = a \sqrt{2} .

Tìm số đo của góc giữa đường thẳng

S C

và mặt phẳng

(A B C D)

.

A. $90^{0}$

B. $45^{0}$

C. $60^{0}$

D. $30^{0}$

Xem đáp án

* Theo giả thiết: $\{\begin{cases} S A ⊥ (A B C D) \\ A C = a \sqrt{2} \end{cases} \Rightarrow α = (S C; (A B C D)) = \hat{S C A}$ .

* Vì $Δ S A C$ vuông cân tại $A$ nên $α = 45^{0} .$

Chọn đáp án B.

Câu 36:

Cho tam giác đều

A B C

có cạnh bằng

3 a .

Điểm

H

thuộc cạnh

A C

với

H C = a .

Dựng đoạn thẳng

S H

vuông góc với mặt phẳng

(A B C)

với

S H = 2 a .

Khoảng cách từ điểm

C

đến mặt phẳng

(S A B)

là

A. $3 a .$

B. $\frac{\sqrt{21}}{7} a .$

C. $\frac{7}{3} a .$

D. $\frac{3 \sqrt{21}}{7} a .$

Xem đáp án

Gọi $E$ là trung điểm $A B,$ suy ra $C E ⊥ A B .$

Kẻ $H I / / C E, I \in A B .$

Ta có $\{\begin{cases} H I ⊥ A B \\ A B ⊥ S H \end{cases} \Rightarrow A B ⊥ (S H I)$ .

Trong mặt phẳng $(S H I),$ kẻ $H K ⊥ S I$ tại $K,$ suy ra $H K ⊥ (S A B)$ .

Ta có $H I = \frac{2}{3} C E = a \sqrt{3} .$

Ta có $\frac{1}{H K^{2}} = \frac{1}{H S^{2}} + \frac{1}{H I^{2}} \Rightarrow H K = \frac{2 a \sqrt{21}}{7} .$

Ta có $d (C; (S A B)) = \frac{3}{2} d (H; (S A B)) = \frac{3}{2} H K = \frac{3 a \sqrt{21}}{7} .$

Chọn đáp án D.

Câu 37:

Trong không gian với hệ tọa độ

O x y z

, cho mặt cầu

(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x - 4 y - 4 z = 0.

Viết phương trình mặt phẳng

(P)

tiếp xúc với mặt cầu

(S)

tại điểm

A (3; 4; 3) .

A. $4 x + 4 y - 2 z - 22 = 0.$

B. $2 x + 2 y + z - 17 = 0.$

C. $2 x + 4 y - z - 25 = 0.$

D. $x + y + z - 10 = 0.$

Xem đáp án

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I (1; 2; 2) .$ Mặt phẳng $(P)$ tiếp xúc với mặt cầu $(S)$ tại điểm $A (3; 4; 3)$ có véc-tơ pháp tuyến là $\vec{I A} = (2; 2; 1) .$

Phương trình mặt phẳng $(P)$ là $2 (x - 3) + 2 (y - 4) + z - 3 = 0$ hay $2 x + 2 y + z - 17 = 0.$

Chọn đáp án B.

Câu 38:

Trong không gian với hệ tọa độ

O x y z,

viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm

A (1; - 2; 3)

và

B (3; 1; 1) .

A. $\frac{x - 1}{4} = \frac{y + 2}{- 1} = \frac{z - 3}{4} .$

B. $\frac{x - 1}{- 2} = \frac{y + 2}{- 3} = \frac{z - 3}{2} .$

C. $2 (x - 1) + 3 (y + 2) - 2 (z - 3) = 0.$

D. $\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 3}{- 2} = \frac{z + 2}{3} .$

Xem đáp án

Ta có $\vec{A B} = (2; 3; - 2)$ là véc-tơ chỉ phương của đường thẳng $A B .$

Từ đó ta có phương trình đường thẳng $A B : \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z - 3}{- 2} .$

Chọn đáp án B.

Câu 39:

Cho hàm số $y = f (x)$ . Biết hàm số $y = f' (x)$ có đồ thị như hình bên. Trên $[- 4; 3]$ hàm số $g (x) = 2 f (x) + {(1 - x)}^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm?

Cho hàm số . Biết hàm số có đồ thị như hình bên. Trên hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm? (ảnh 1)

A. $x_{0} = - 4.$

B. $x_{0} = 3.$

C. $x_{0} = - 3.$

D. $x_{0} = - 1.$

Xem đáp án

Trên $[- 4; 3]$ , ta có: $g' (x) = 2 f' (x) - 2 (1 - x) .$

$g' (x) = 0 \Leftrightarrow f' (x) = 1 - x \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 4 \\ x = - 1 \\ x = 3 \end{array}$

Bảng biến thiên.

Hàm số $g (x)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm $x_{0} = - 1.$

Chọn đáp án D.

Câu 40:

Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để bất phương trình $\log_{4} (x^{2} - x - m) \geq \log_{2} (x + 2)$ có nghiệm.

A. $(- \infty; 6]$

B. $(- \infty; 6)$

C. $(- 2; + \infty)$

D. $[- 2; + \infty)$

Xem đáp án

Ta có $\log_{4} (x^{2} - x - m) \geq \log_{2} (x + 2) \Leftrightarrow \frac{1}{2} \log_{4} (x^{2} - x - m) \geq \log_{2} (x + 2)$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x + 2 > 0 \\ x^{2} - x - m \geq {(x + 2)}^{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x > - 2 \\ m \leq - 5 x - 4 \end{cases}$

Ta có bảng biến thiên của hàm số $f (x) = - 5 x - 4$ với $x > - 2$ sau đây

Dựa vào bảng biến thiên ta có $m < 6.$

Chọn đáp án B.

Câu 41:

Có bao nhiêu số thực $a$ để $\int_{0}^{1} \frac{x}{a + x^{2}} d x = 1 ?$

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Xem đáp án

$a + x^{2} \neq 0$ với mọi $x \in [0; 1] \Rightarrow a > 0$ hoặc $a < - 1.$

$\int_{0}^{1} \frac{x}{a + x^{2}} d x = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{2} \ln |a + x^{2}| |\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} = \frac{1}{2} \ln |\frac{a + 1}{a}| = 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} a = \frac{1}{e^{2} - 1} \\ a = - \frac{1}{e^{2} + 1} (l o a i) \end{array}$

Chọn đáp án B.

Câu 42:

Cho số phức

z = a + b i (a, b \in ℝ)

thỏa mãn

|z| = 5

và

z (2 + i) (1 - 2 i)

là một số thực. Tính

P = |a| + |b|

.

A. $P = 8$

B. $P = 4$

C. $P = 5$

D. $P = 7$

Xem đáp án

Ta có

$z (2 + i) (1 - 2 i) = (a + b i) (4 - 3 i) = 4 a + 3 b + (- 3 a + 4 b) i . (1)$

Do $z (2 + i) (1 - 2 i)$ là một số thực nên từ $(1)$ suy ra $- 3 a + 4 b = 0 \Leftrightarrow b = \frac{3}{4} a . (2)$

Mặt khác

$|z| = 5 \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} = 25. (3)$

Thế $(2)$ vào $(3)$ ta được phương trình

$a^{2} + {(\frac{3}{4} a)}^{2} = 25 \Leftrightarrow a^{2} = 16 \Leftrightarrow a = \pm 4.$

Với $a = 4 \Rightarrow b = 3$ và $a = - 4 \Rightarrow b = - 3.$

Vậy $P = |a| + |b| = 3 + 4 = 7.$

Chọn đáp án D.

Câu 43:

Cho hình chóp $S . A B C$ có đáy $A B C$ là tam giác vuông tại $A$ và có $A B = a, B C = a \sqrt{3},$ mặt bên $S A B$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng $(A B C)$ . Thể tích $V$ của khối chóp $S . A B C$ là

A. $V = \frac{2 a^{3} \sqrt{6}}{12} .$

B. $V = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{6} .$

C. $V = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{12} .$

D. $V = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{4} .$

Xem đáp án

Gọi $K$ là trung điểm của đoạn $A B .$

Ta có $Δ S A B$ đều $\Rightarrow S K ⊥ A B .$

Mà $(S A B) ⊥ (A B C)$ theo giao tuyến $A B$

$\Rightarrow S K ⊥ (A B C) \Rightarrow V_{S . A B C} = \frac{1}{3} S K . S_{Δ A B C}$

Ta có $Δ A B C$ vuông tại $A$ có $A B = a, B C = a \sqrt{3}$

$\Rightarrow A C = \sqrt{B C^{2} - A B^{2}} = \sqrt{3 a^{2} - a^{2}} = a \sqrt{2}$

$\Rightarrow S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} A B . A C = \frac{1}{2} a . a \sqrt{2} = \frac{a^{2} \sqrt{2}}{2} .$

$S_{Δ A B C}$ đều cạnh $A B = a \Rightarrow$ đường cao $S K = \frac{a \sqrt{3}}{2} .$

$V_{S . A B C} = \frac{1}{3} . \frac{a \sqrt{3}}{2} . \frac{a^{2} \sqrt{2}}{2} = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{12} .$

Chọn đáp án C.

Câu 44:

Một tấm đề can hình chữ nhật được cuộn lại theo chiều dài tạo thành một khối trụ có đường kính 50 cm. Người ta trải ra 250 vòng để cắt chữ và in tranh, phần còn lại là một khối trụ có đường kính 45 cm. Chiều dài phần trải ra gần với số nào nhất trong các số sau? (chiều dài tính bằng đơn vị mét).

A. 373

B. 180

C. 275

D. 343

Xem đáp án

Gọi $l_{1}, l_{2},..., l_{250}$ là chiều dài phần trải ra vòng thứ nhất, thứ hai,…, thứ 250 của khối trụ.

Vì khi trải ra 250 vòng, bán kính khối trụ giảm đi 2,5 cm nên bề dày tấm đề can là $\frac{2,5}{250} = 0,01 c m .$

Khi đó $l_{1}, l_{2},..., l_{250}$ lần lượt là chu vi các đường tròn có các bán kính $r_{1}, r_{2},..., r_{250,}$ với $r_{1}, r_{2},..., r_{250}$ lập thành một cấp số cộng có công sai $d = - 0,01$ và số hạng đầu bằng 25.

Nên $r_{1} + r_{2} + ... + r_{250} = 25.250 + \frac{250.249}{2} . (- 0,01) = 5938,75.$

Vậy chiều dài phần trải ra là $l_{1} + l_{2} + ... + l_{250} = 2 π .5938,75 \approx 37314 c m \approx 373 m .$

Chọn đáp án A.

Câu 45:

Trong không gian $O x y z$ cho đường thẳng $d : \frac{x - 3}{2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z}{6}$ và mặt cầu $(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + z^{2} = 9.$ Biết đường thẳng $d$ cắt mặt cầu $(S)$ theo dây cung $A B .$ Độ dài $A B$ là

A. $2 \sqrt{5}$

B. $4 \sqrt{2}$

C. $2 \sqrt{3}$

D. 4

Xem đáp án

Gọi $H$ là trung điểm của $A B .$ Khi đó

$A B = 2 \sqrt{I B^{2} - I H^{2}} = 2 \sqrt{R^{2} - d^{2} (I; d)}$

$d$ đi qua điểm $M (3; 2; 0)$ và $\vec{u_{d}} = (2; 3; 6) .$ Vậy

$d (I; d) = \frac{|[\vec{I M}; \vec{u_{d}}]|}{|\vec{u_{d}}|}$

Ta có $\vec{I M} = (2; 1; 0) \Rightarrow [\vec{I M}; \vec{u_{d}}] = (6; - 12; 4) .$ Vậy $|[\vec{I M}; \vec{u_{d}}]| = 14.$

Mà $|\vec{u_{d}}| = \sqrt{2^{2} + 3^{2} + 6^{2}} = 7 \Rightarrow d (I, d) = 2.$

Vậy $A B = 2 \sqrt{3^{2} - 2^{2}} = 2 \sqrt{5}$ .

Chọn đáp án A.

Câu 46:

Cho hàm số $y = f (x)$ . Đồ thị hàm số $y = f' (x)$ như hình bên. Tìm số điểm cực trị của hàm số $g (x) = f (x^{2} - 3) .$

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

Xem đáp án

Ta có $g' (x) = 2 x f' (x^{2} - 3)$

g' (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ f' (x^{2} - 3) = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x^{2} - 3 = - 2 \\ x^{2} - 3 = 1 (n g h i e m k e p) \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \pm 1 \\ x = \pm 2 (n g h i e m k e p) \end{array}

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số có 3 điểm cực trị.

Chọn đáp án B.

Câu 47:

Có tất cả bao nhiêu bộ ba các số thực $(x; y; z)$ thỏa mãn $\{\begin{cases} 2^{\sqrt[3]{x^{2}}} {.4}^{\sqrt[3]{y^{2}}} {.16}^{\sqrt[3]{z^{2}}} = 128 \\ {(x y^{2} + z^{4})}^{2} = 4 + {(x y^{2} - z^{4})}^{2} \end{cases} .$

A. 3

B. 4

C. 1

D. 2

Xem đáp án

Hệ phương trình đã cho tương đương

$\{\begin{cases} 2^{\sqrt[3]{x^{2}}} {.4}^{\sqrt[3]{y^{2}}} {.16}^{\sqrt[3]{z^{2}}} = 128 \\ {(x y^{2} + z^{4})}^{2} - {(x y^{2} - z^{4})}^{2} = 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \sqrt[3]{x^{2}} + 2 \sqrt[3]{y^{2}} + 4 \sqrt[3]{z^{2}} = 7 \\ x y^{2} z^{4} = 1 \end{cases}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 7 số không âm ta có

$7 = \sqrt[3]{x^{2}} + 2 \sqrt[3]{y^{2}} + 4 \sqrt[3]{z^{2}}$

$= \sqrt[3]{x^{2}} + \sqrt[3]{y^{2}} + \sqrt[3]{y^{2}} + \sqrt[3]{z^{2}} + \sqrt[3]{z^{2}} + \sqrt[3]{z^{2}}$

$\geq 7 \sqrt[7]{\sqrt[3]{x^{2}} . {(\sqrt[3]{y^{2}})}^{2} . {(\sqrt[3]{z^{2}})}^{4}}$

$= 7 \sqrt[21]{{(x y^{2} z^{4})}^{2}}$

$= 7.$

Do đó hệ phương trình đã cho tương đương

$\{\begin{cases} x^{2} = y^{2} = z^{2} \\ x y^{2} z^{4} = 1 \end{cases} .$

Dễ thấy $x > 0$ và từ phương trình thứ hai ta có $x > 0$ hay $x = 1.$ Suy ra $y = \pm 1, z = \pm 1.$

Vậy các bộ số thực thỏa mãn đề bài là $(1; 1; 1), (1; 1; - 1), (1; - 1; - 1), (1; - 1; 1) .$

Chọn đáp án B.

Câu 48:

Tính diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y = x^{2} - 4$ và $y = - x^{2} - 2 x .$

A. $S = 9$

B. $S = - 99$

C. $S = 3$

D. $S = 9 π$

Xem đáp án

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là $x^{2} - 4 = - x^{2} - 2 x \Leftrightarrow x^{2} + x - 2 = 0.$ Phương trình này có hai nghiệm là 1 và $- 2.$ Do đó, diện tích cần tính là

$S = \int_{- 2}^{1} |x^{2} - 4 - (- x^{2} - 2 x)| d x = |\int_{- 2}^{1} (2 x^{2} + 2 x - 4) d x| = |(\frac{2}{3} x^{3} + x^{2} - 4 x) |\begin{array}{l} 1 \\ - 2 \end{array}| = 9.$

Chọn đáp án A.

Câu 49:

Cho hai số phức

z_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i, z_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i .

Gọi

z

là số phức thỏa mãn

|3 z - \sqrt{3} i| = \sqrt{3} .

Gọi

M, m

lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức

T = |z| + |z - z_{1}| + |z - z_{2}|

. Tính mô-đun của số phức

w = M + m i .

A. $\frac{2 \sqrt{21}}{3} .$

B. $\sqrt{13}$

C. $\frac{4 \sqrt{3}}{3} .$

D. 4

Xem đáp án

Ta có $x^{2} + {(y - \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} = \frac{1}{2} (C) .$ Gọi $K, A, B$ lần lượt là các điểm biểu diễn của $z, z_{1}, z_{2} .$ Khi đó $T = O K + K A + K B .$

Ta có $A, B, O$ thuộc đường tròn $(C)$ và tam giác $A B O$ đều. Suy ra $m = 2 O A = 2.$ Đẳng thức xảy ra khi $K$ trùng với $O, A, B .$

Gọi $K$ thuộc cung $A B,$ ta có $K A . K B = O A . B K + A B . O K \Leftrightarrow K A = K B + O K$ suy ra $T 2 = \leq K A \leq \frac{4 \sqrt{3}}{3} .$ Vậy $|w| = \sqrt{\frac{16.3}{9} + 4} = \frac{2 \sqrt{21}}{3} .$

Chọn đáp án A.

Câu 50:

Cho hình lăng trụ

A B C . A' B' C'

có đáy là tam giác vuông tại

A, A B = a, A C = a \sqrt{2} .

Biết góc giữa hai mặt phẳng

(A B' C')

và

(A B C)

bằng

60^{0}

và hình chiếu của

A

lên

(A' B' C')

là trung điểm

H

của đoạn thẳng

A' B' .

Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

A . H B' C'

theo

A. $\frac{a \sqrt{21}}{7} .$

B. $\frac{3 a \sqrt{6}}{8} .$

C. $\frac{a \sqrt{62}}{8} .$

D. $\frac{2 a \sqrt{21}}{7} .$

Xem đáp án

Gọi $M$ là trung điểm $B' C'$ và $N$ là hình chiếu của $H$ trên $B' C' .$ Ta có

* $\{\begin{cases} B' C' ⊥ H N \\ B' C' ⊥ A H \end{cases} \Rightarrow B' C' ⊥ (A H N) \Rightarrow B' C' ⊥ A N .$

* $\{\begin{cases} (A B' C') \cap (A' B' C') = B' C' \\ B' C' ⊥ H N \\ B' C' ⊥ A N \end{cases}$

$\Rightarrow ((A' B' C'), (A B' C')) = \hat{A N H} = 60^{0}$

Ta có $B' C' = \sqrt{A' B'^{2} + A' C'^{2}} = a \sqrt{3}$

$\frac{1}{H N^{2}} = \frac{1}{H B^{2}} + \frac{1}{H M^{2}} \Rightarrow H N = \frac{a \sqrt{6}}{6}$ và $A H = H N . \tan 60^{0} = \frac{a \sqrt{2}}{2} .$

Chọn hệ trục tọa độ $O x y z$ sao cho $H$ trùng với $O$ các điểm $B', M, A$ lần lượt thuộc các tia $O x, O y, O z .$

Ta có $H (0; 0; 0), B' (\frac{a}{2}; 0; 0), A (0; 0; \frac{a \sqrt{2}}{2}), C' (- \frac{a}{2}; a \sqrt{2}; 0) .$

Gọi $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 A x - 2 B y - 2 C z + D = 0$ là phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $A H B' C' .$ Ta có

$\{\begin{cases} D = 0 \\ 2 A \frac{a}{2} = {(\frac{a}{2})}^{2} \\ 2 C . a \frac{\sqrt{2}}{2} = {(\frac{a \sqrt{2}}{2})}^{2} \\ 2 A . (- \frac{a}{2}) + 2 B . a \sqrt{2} = {(- \frac{a}{2})}^{2} + {(a \sqrt{2})}^{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} A = \frac{a}{4} \\ B = \frac{5}{4 \sqrt{2}} \\ C = \frac{a}{2 \sqrt{2}} \\ D = 0 \end{cases}$

Bán kính $R = \sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2} - D} = \frac{a \sqrt{62}}{8} .$

Chọn đáp án C.