50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 35 đề minh họa THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 có lời giải (Đề 10)

Câu 1:

10

cái bút khác nhau và

8

quyển sách giáo khoa khác nhau. Một bạn học sinh cần chọn

1

cái bút và

1

quyển sách. Hỏi bạn học sinh đó có bao nhiêu cách chọn?

A. $80$

B. $60$

C. $90$

D. $70$

Xem đáp án

Chọn A

Số cách chọn $1$ cái bút có $10$ cách, số cách chọn $1$ quyển sách có $8$ cách.

Vậy theo quy tắc nhân, số cách chọn $1$ cái bút và $1$ quyển sách là: $10.8 = 80$ cách.

Câu 2:

Cho dãy số

(u_{n})

có:

u_{1} = - 3; d = \frac{1}{2}

. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $u_{n} = - 3 + \frac{1}{2} (n + 1)$

B. $u_{n} = - 3 + \frac{1}{2} n - 1$

C. $u_{n} = - 3 + \frac{1}{2} (n - 1)$

D. $u_{n} = n (- 3 + \frac{1}{4} (n - 1))$

Xem đáp án

Chọn C

Sử dụng công thức số hạng tổng quát $u_{n} = u_{1} + (n - 1) d (\forall n \geq 2) .$ Ta có: $u_{n} = - 3 + (n - 1) \frac{1}{2}$ .

Câu 3:

Cho hàm số

y = f (x)

có bảng biến thiên như sau:

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng

(- 1; 3)

.

B. Hàm số đồng biến trên khoảng

(- 1; + \infty)

.

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng

(- 1; 1)

.

D. Hàm số đồng biến trên khoảng

(- \infty; 1)

.

Xem đáp án

Chọn C

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng $(- 1; 1)$ .

Câu 4:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đồ thị như hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?.

A. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng $2$ .

B. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng $2$ và giá trị nhỏ nhất bằng $2$ .

C. Hàm số đạt cực đại tại $x = 0$ và đạt cực tiểu tại $x = 2$ .

D. Hàm số có ba cực trị.

Xem đáp án

Chọn C

Dựa vào đồ thị ta có: Hàm số đạt cực đại tại $x = 0$ và đạt cực tiểu tại $x = 2$ .

Câu 5:

Cho hàm số

f (x)

xác định trên

ℝ

và có bảng xét dấu

f (x)

như hình bên. Khẳng định nào sau đây sai?

A. Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 2$ .

B. Hàm số đạt cực đại tại $x = - 3$ .

C. $x = 1$ là điểm cực trị của hàm số.

D. Hàm số có hai điểm cực trị.

Xem đáp án

Chọn B

Bảng biến thiên của hàm số

Dựa theo BBT, ta thấy phương án $B$ sai.

Câu 6:

Cho hàm số

y = \frac{2 x + 1}{x - 1}

. Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là:

A. Đường thẳng $y = 1$

B. Đường thẳng $x = 1$

C. Đường thẳng $y = 2$

D. Đường thẳng $x = 2$

Xem đáp án

Chọn B

Ta có: $\lim_{x \to 1^{-}} \frac{2 x + 1}{x - 1} = - \infty$ ; $\lim_{x \to 1^{+}} \frac{2 x + 1}{x - 1} = + \infty$ .

Vậy $x = 1$ là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Câu 7:

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?

A. $y = - x^{2} + x - 1$

B. $y = - x^{3} + 3 x + 1$

C. $y = x^{4} - x^{2} + 1$

D. $y = x^{3} - 3 x + 1$

Xem đáp án

Chọn D

Đặc trưng của đồ thị là hàm bậc ba. Loại đáp án A và C.

Khi $x \to + \infty$ thì $y \to + \infty$ $\Rightarrow a > 0$ nên chọn D.

Câu 8:

Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $y = m$ cắt đồ thị hàm số $y = - x^{3} + 6 x^{2}$ tại ba điểm phân biệt.

A. $[\begin{array}{l} m \geq 16 \\ m \leq 0 \end{array}$

B. $- 32 < m < 0$

C. $0 < m < 32$

D. $0 < m < 16$

Xem đáp án

Chọn C

$y = - x^{3} + 6 x^{2} \Rightarrow y^{'} = - 3 x^{2} + 12 x$ , $y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 4 \end{array}$ .

Bảng biến thiên của hàm số $y = - x^{3} + 6 x^{2}$

.

Qua bảng biến thiên ta có đường thẳng $y = m$ cắt đồ thị hàm số $y = - x^{3} + 6 x^{2}$ tại ba điểm phân biệt khi $0 < m < 32$ .

Câu 9:

Tìm tập xác định của hàm số

y = x^{π} + {(x^{2} - 1)}^{e}

A. $(- \infty; - 1) \cup (1; + \infty)$

B. $ℝ \ \{- 1; 1\}$

C. $(1; + \infty)$

D. $(0; + \infty)$

Xem đáp án

Chọn C

Hàm số đã cho xác định $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x > 0 \\ x^{2} - 1 > 0 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x > 0 \\ x^{2} > 1 \end{cases}$ $\Leftrightarrow x > 1$ .

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là $D = (1; + \infty)$ .

Câu 10:

Đạo hàm của hàm số

y = 5^{x}

là

A. $y^{'} = 5^{x} \ln 5$

B. $y^{'} = \frac{5^{x}}{\ln 5}$

C. $y^{'} = x {.5}^{x - 1}$

D. $y^{'} = 5^{x}$

Xem đáp án

Chọn A

Đạo hàm của hàm số $y = 5^{x}$ là $y^{'} = 5^{x} \ln 5$ .

Câu 11:

Xét các số thực $a$ và $b$ thỏa mãn $\log_{\sqrt{3}} (\frac{9^{b}}{3^{a}}) = \log_{\frac{1}{27}} \sqrt[3]{3}$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $a - 2 b = \frac{1}{18}$

B. $a + 2 b = \frac{1}{18}$

C. $2 b - a = \frac{1}{18}$

D. $2 a - b = \frac{1}{18}$

Xem đáp án

Chọn A

$\log_{\sqrt{3}} (\frac{9^{b}}{3^{a}}) = \log_{\frac{1}{27}} \sqrt[3]{3}$ $\Leftrightarrow \log_{3^{\frac{1}{2}}} 3^{2 b - a} = \log_{3^{- 3}} 3^{\frac{1}{3}}$ $\Leftrightarrow 2 (2 b - a) = - \frac{1}{3} . \frac{1}{3}$ $\Leftrightarrow a - 2 b = \frac{1}{18}$ .

Câu 12:

Tìm tập nghiệm $S$ của phương trình $2^{x + 1} = 8$

A. $S = \{1\}$

B. $S = \{- 1\}$

C. $S = \{4\}$

D. $S = \{2\}$

Xem đáp án

Chọn D

Ta có $2^{x + 1} = 8$ $\Leftrightarrow 2^{x + 1} = 2^{3}$ $\Leftrightarrow x + 1 = 3$ $\Leftrightarrow x = 2$ .

Câu 13:

Tìm tất cả các nghiệm của phương trình

\log_{2} (2 x - 2) = 3

.

A. $x = 3$

B. $x = 7$

C. $x = 4$

D. $x = 5$

Xem đáp án

Chọn D

$\log_{2} (2 x - 2) = 3$ $\Leftrightarrow 2 x - 2 = 8 \Leftrightarrow x = 5$ .

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = 5$ .

Câu 14:

Họ nguyên hàm của hàm số

f (x) = 3 x^{2} + \sin x

là

A. $x^{3} + \cos x + C$

B. $x^{3} + \sin x + C$

C. $x^{3} - \cos x + C$

D. $3 x^{3} - \sin x + C$

Xem đáp án

Chọn C

Họ nguyên hàm của hàm số là $f (x) = 3 x^{2} + \sin x$ .

Câu 15:

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{1}{5 x + 4}$ là

A. $\frac{1}{5} \ln (5 x + 4) + C$

B. $\ln |5 x + 4| + C$

C. $\frac{1}{\ln 5} \ln |5 x + 4| + C$

D. $\frac{1}{5} \ln |5 x + 4| + C$

Xem đáp án

Chọn D

Ta có $\int \frac{1}{5 x + 4} d x = \frac{1}{5} \int \frac{1}{5 x + 4} d (5 x + 4) = \frac{1}{5} \ln |5 x + 4| + C$ .

Câu 16:

Cho hàm số

y = x^{3}

có một nguyên hàm là

F (x)

. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $F (2) - F (0) = 16$

B. $F (2) - F (0) = 1$

C. $F (2) - F (0) = 8$

D. $F (2) - F (0) = 4$

Xem đáp án

Chọn D

Ta có:

\int_{0}^{2} x^{3} d x = {\frac{x^{4}}{4}|}_{0}^{2} = 4 = F (2) - F (0)

Câu 17:

Cho $\int_{1}^{2} [4 f (x) - 2 x] d x = 1.$ Khi đó $\int_{1}^{2} f (x) d x$ bằng :

A. $1$

B. $- 3$

C. $3$

D. $- 1$

Xem đáp án

Chọn A

Ta có $\int_{1}^{2} [4 f (x) - 2 x] d x = 1 \Leftrightarrow 4 \int_{1}^{2} f (x) d x - 2 \int_{1}^{2} x d x = 1 \Leftrightarrow 4 \int_{1}^{2} f (x) d x - {x^{2}|}_{1}^{2} = 1$

$\Leftrightarrow 4 \int_{1}^{2} f (x) d x = 4 \Leftrightarrow \int_{1}^{2} f (x) d x = 1 .$

Câu 18:

Cho số phức

z = 2 - 3 i

. Số phức liên hợp

\bar{z}

của số phức

z

là

A. $\bar{z} = - 3 + 2 i$

B. $\bar{z} = 2 + 3 i$

C. $\bar{z} = - 2 + 3 i$

D. $\bar{z} = - 2 - 3 i$

Xem đáp án

Chọn B

Số phức liên hợp $\bar{z}$ của số phức $z = 2 - 3 i$ là $\bar{z} = 2 + 3 i$ .

Câu 19:

Cho số phức

z = 1 - \frac{1}{3} i

. Tìm số phức

w = i \bar{z} + 3 z

A. $w = \frac{8}{3}$

B. $w = \frac{8}{3} + i$

C. $w = \frac{10}{3}$

D. $w = \frac{10}{3} + i$

Xem đáp án

Chọn A

Ta có $z = 1 - \frac{1}{3} i \Rightarrow \bar{z} = 1 + \frac{1}{3} i$

Khi đó:

w = i \bar{z} + 3 z = i (1 + \frac{1}{3} i) + 3 (1 - \frac{1}{3} i) = \frac{8}{3}

Câu 20:

Trong mặt phẳng toạ độ

O x y

, tập hợp điểm biểu diễn số phức

z

có phần thực bằng

3

là đường thẳng có phương trình

A. $x = - 3$

B. $x = 1$

C. $x = - 1$

D. $x = 3$

Xem đáp án

Chọn D

Tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ có phần thực bằng $3$ là đường thẳng $x = 3$ .

Câu 21:

Cho hình lăng trụ đứng có diện tích đáy là

\sqrt{3} a^{2}

. Độ dài cạnh bên là

a \sqrt{2}

. Khi đó thể tích của khối lăng trụ là:

A. $\sqrt{6} a^{3}$

B. $\sqrt{3} a^{3}$

C. $\sqrt{2} a^{3}$

D. $\frac{\sqrt{6} a^{3}}{3}$

Xem đáp án

Chọn A

Thể tích khối lăng trụ đó là $V = a^{2} \sqrt{3} . a \sqrt{2} = a^{3} \sqrt{6}$ .

Câu 22:

Cho hình lập phương $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ cạnh bằng $a$ . Gọi $O$ là giao điểm của $A C$ và $B D$ . Thể tích của tứ diện $O A^{'} B C$ bằng

A. $\frac{a^{3}}{12}$

B. $\frac{a^{3}}{24}$

C. $\frac{a^{3}}{6}$

D. $\frac{a^{3}}{4}$

Xem đáp án

Chọn A

$V_{O . A^{'} B C} = V_{A' . O B C} = \frac{1}{6} A A^{'} . O B . O C = \frac{1}{6} . a . \frac{a \sqrt{2}}{2} . \frac{a \sqrt{2}}{2} = \frac{a^{3}}{12}$

Câu 23:

Cho khối nón có bán kính

r = \sqrt{5}

và chiều cao

h = 3

. Tính thể tích

V

của khối nón.

A. $V = 9 π \sqrt{5}$

B. $V = 3 π \sqrt{5}$

C. $V = π \sqrt{5}$

D. $V = 5 π$

Xem đáp án

Chọn D

Thể tích $V$ của khối nón là : $V = \frac{1}{3} π r^{2} h = \frac{1}{3} π 5.3 = 5 π$ .

Câu 24:

Cho hình trụ có diện tích xung quanh bằng $2 π a^{2}$ và bán kính đáy bằng $a$ . Độ dài đường sinh của hình trụ đã cho bằng

A. $2 a$

B. $\frac{a}{2}$

C. $a$

D. $\sqrt{2} a$

Xem đáp án

Chọn C

$S_{x q} = 2 π r l$ $\Rightarrow l = \frac{S_{x q}}{2 π r}$ $= \frac{2 π a^{2}}{2 π a}$ $= a$ .

Câu 25:

Trong không gian $O x y z$ , hình chiếu vuông góc của điểm $M (3; 5; - 2)$ trên mặt phẳng $O x y$ có tọa độ là

A. $(0; 5; - 2)$

B. $(3; 0; - 2)$

C. $(0; 0; - 2)$

D. $(3; 5; 0)$

Xem đáp án

Chọn D

Hình chiếu vuông góc của điểm $M (3; 5; - 2)$ trên mặt phẳng $O x y$ có tọa độ là $(3; 5; 0)$ .

Câu 26:

Trong không gian $O x y z$ , cho mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 y + 2 z - 7 = 0$ . Bán kính của mặt cầu đã cho bằng

A. $9$

B. $3$

C. $15$

D. $\sqrt{7}$

Xem đáp án

Chọn B

Ta có: $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 y + 2 z - 7 = 0$ $\Leftrightarrow x^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 9$ .

$\Rightarrow (S)$ có bán kính $R = \sqrt{9} = 3$ .

Câu 27:

Trong không gian $O x y z$ , cho hai điểm $A (2; 1; 2)$ và $B (6; 5; - 4)$ . Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $A B$ có phương trình là

A. $2 x + 2 y - 3 z - 17 = 0$

B. $4 x + 3 y - z - 26 = 0$

C. $2 x + 2 y - 3 z + 17 = 0$

D. $2 x + 2 y + 3 z - 11 = 0$

Xem đáp án

Chọn A

Ta có mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $A B$ đi qua điểm $I (4; 3; - 1)$ là trung điểm của đoạn thẳng $A B$ và nhận $\vec{A B} = (4; 4; - 6) = 2 (2; 2; - 3)$ làm véc-tơ pháp tuyến.

Suy ra phương trình là $2 x + 2 y - 3 z = 17 \Leftrightarrow 2 x + 2 y - 3 z - 17 = 0$ .

Câu 28:

Trong không gian $O x y z$ , cho đường thẳng $d : \frac{x + 2}{1} = \frac{y - 1}{- 3} = \frac{z - 3}{2}$ . Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của $d$ ?

A. $\vec{u_{2}} = (1; - 3; 2)$

B. $\vec{u_{3}} = (- 2; 1; 3)$

C. $\vec{u_{1}} = (- 2; 1; 2)$

D. $\vec{u_{4}} = (1; 3; 2)$

Xem đáp án

Chọn A

Câu 29:

Hộp $A$ có $4$ viên bi trắng, $5$ viên bi đỏ và $6$ viên bi xanh. Hộp $B$ có $7$ viên bi trắng, $6$ viên bi đỏ và $5$ viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp một viên bi, tính xác suất để hai viên bi được lấy ra có cùng màu.

A. $\frac{91}{135}$

B. $\frac{44}{135}$

C. $\frac{88}{135}$

D. $\frac{45}{88}$

Xem đáp án

Chọn B

Số phần tử của không gian mẫu: $15.18 = 270$ .

Số cách chọn từ mỗi hộp 1 viên bi sau cho 2 viên bi cùng màu là: $4.7 + 5.6 + 6.5 = 88$ .

Vậy xác suất cần tìm là $\frac{88}{270} = \frac{44}{135}$ .

Câu 30:

Hàm số $y = \frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2} + 5 x + 6$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(5; + \infty)$

B. $(1; + \infty)$

C. $(1; 5)$

D. $(- \infty; 1)$

Xem đáp án

Chọn C

Tập xác định: $D = ℝ$ ; $y^{'} = x^{2} - 6 x + 5$ ; $y^{'} = 0$ $[\begin{array}{l} x = 1 \\ x = 5 \end{array}$ .

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(1; 5)$ .

Câu 31:

Giá trị lớn nhất của hàm số $y = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x + 2$ trên đoạn $[- 1; 2]$ có giá trị là một số thuộc khoảng nào dưới đây?

A. $(2; 14)$

B. $(3; 8)$

C. $(12; 20)$

D. $(- 7; 8)$

Xem đáp án

Chọn C

Hàm số đã cho liên tục trên đoạn $[- 1; 2]$ .

Ta có $y^{'} = 6 x^{2} + 6 x - 12$ ; $y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = - 2 \notin [- 1; 2] \end{array}$ .

$y (- 1) = 15$ ; $y (2) = 6$ ; $y (1) = - 5$ .

Suy ra $\max_{[- 1; 2]} y = 15 \in (12; 20)$ .

Câu 32:

Số nghiệm thực nguyên của bất phương trình

\log (2 x^{2} - 11 x + 15) \leq 1

là

A. $3$

B. $4$

C. $5$

D. $6$

Xem đáp án

Chọn B

ĐK: $2 x^{2} - 11 x + 15 > 0 \Leftrightarrow x < \frac{5}{2}$ hoặc $x > 3$ .

$\log (2 x^{2} - 11 x + 15) \leq 1 \Leftrightarrow$ $2 x^{2} - 11 x + 15 \leq 10 \Leftrightarrow$ $2 x^{2} - 11 x + 5 \leq 0 \Leftrightarrow$ $\frac{1}{2} \leq x \leq 5$ .

Kết hợp điều kiện ta có: $\frac{1}{2} \leq x < \frac{5}{2}$ hoặc $3 < x \leq 5$ . Vậy BPT có 4 nghiệm nguyên là: $x \in \{1; 2; 4; 5\}$ .

Câu 33:

Cho tích phân $I = \int_{0}^{1} \sqrt[3]{1 - x} d x .$ Với cách đặt $t = \sqrt[3]{1 - x}$ ta được:

A. $I = 3 \int_{0}^{1} t^{3} d t .$

B. $I = 3 \int_{0}^{1} t^{2} d t .$

C. $I = \int_{0}^{1} t^{3} d t .$

D. $I = 3 \int_{0}^{1} t^{3} d t .$

Xem đáp án

Chọn A

Đặt $t = \sqrt[3]{1 - x} \Rightarrow t^{3} = 1 - x \Rightarrow 3 t^{2} d t = - d x \Leftrightarrow d x = - 3 t^{2} d t$

Với $x = 0 \Rightarrow t = 1; x = 1 \Rightarrow t = 0$

Khi đó

I = \int_{1}^{0} t (- 3 t^{2}) d t = 3 \int_{0}^{1} t^{3} d t

Câu 34:

Tổng phần thực và phần ảo của số phức $z = {(1 + i)}^{2} - (3 + 3 i)$ là

A. $4$

B. $- 4$

C. $- 3 - i$

D. $\sqrt{10}$

Xem đáp án

Chọn B

Ta có $z = {(1 + i)}^{2} - (3 + 3 i)$ $= 1 + 2 i + i^{2} - 3 - 3 i$ $= - 3 - i$ $\Rightarrow$ phần thực $a = - 3$ , phần ảo $b = - 1$ .

Vậy $a + b = - 4$ .

Câu 35:

Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình chữ nhật có $A B = 3 a, A D = 2 a$ , $S A$ vuông góc với mặt phẳng $(A B C D)$ , $S A = a$ . Gọi $φ$ là góc giữa đường thẳng $S C$ và mp $(A B C D)$ . Khi đó $\tan φ$ bằng bao nhiêu?

A. $\frac{\sqrt{13}}{13}$

B. $\frac{\sqrt{11}}{11}$

C. $\frac{\sqrt{7}}{7}$

D. $\frac{\sqrt{5}}{5}$

Xem đáp án

Chọn A

Ta có $S A ⊥ (A B C D)$ nên $A C$ là hình chiếu vuông góc của $S C$ lên $(A B C D)$ .

Xét $Δ S A C$ vuông tại $A$ ta có

$\tan φ = \frac{S A}{A C} = \frac{a}{a \sqrt{13}} = \frac{\sqrt{13}}{13}$

.

Câu 36:

Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy là hình thoi, tam giác $S A B$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng $(A B C D) .$ Biết $A C = 2 a, B D = 4 a .$ Tính theo $a$ khoảng cách giữa hai đường thẳng $A D$ và $S C$

A. $\frac{4 a \sqrt{13}}{91}$

B. $\frac{a \sqrt{165}}{91}$

C. $\frac{4 a \sqrt{1365}}{91}$

D. $\frac{a \sqrt{135}}{91}$

Xem đáp án

Chọn C

Gọi $O = A C \cap B D, H$ là trung điểm của $A B$ suy ra $S H ⊥ A B .$

Do $A B = (S A B) \cap (A B C D)$ và $(S A B) ⊥ (A B C D)$ nên $S H ⊥ (A B C D)$

Ta có: $O A = \frac{A C}{2} = \frac{2 a}{2} = a$

$\begin{array}{l} O B = \frac{B D}{2} = \frac{4 a}{2} = 2 a \\ \Rightarrow A b = \sqrt{O A^{2} + O B^{2}} = \sqrt{a^{2} + 4 a^{2}} = a \sqrt{5} \end{array}$

$S H = \frac{A B \sqrt{3}}{2} = \frac{a \sqrt{15}}{2}; S_{A B C D} = \frac{1}{2} A C . B D = \frac{1}{2} 2 a .4 a = 4 a^{2}$

Thể tích khối chóp $S . A B C D$ là

$V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S H . S_{A B C D} = \frac{1}{3} \frac{a \sqrt{15}}{2} 4 a^{2} = \frac{2 a^{3} \sqrt{15}}{3}$

Ta có: $B C / / A D \Rightarrow A D / / (S B C) \Rightarrow d (A D, S C) = d (A D; (S B C)) = d (A; (S B C))$

Do $H$ là trung điểm của $A B$ và $B = A H \cap (S C B) \Rightarrow d (A; (S B C)) = 2 d (H; (S B C))$

Kẻ $H E ⊥ B C, H \in B C .$ Do $S H ⊥ B C \Rightarrow B C ⊥ (S H E) .$

Kẻ $H K ⊥ S E, K \in S E,$ ta có $B C ⊥ H K \Rightarrow H K ⊥ (S B C) \Rightarrow H K = d (H; (S B C))$

$H E = \frac{2 S_{B C H}}{B C} = \frac{S_{A B C}}{B C} = \frac{S_{A B C D}}{2 B C} = \frac{4 a^{2}}{2 a \sqrt{5}} = \frac{2 a \sqrt{5}}{5}$

$\frac{1}{H K^{2}} = \frac{1}{H E^{2}} + \frac{1}{S H^{2}} = \frac{5}{4 a^{2}} + \frac{4}{15 a^{2}} = \frac{91}{60 a^{2}} \Rightarrow H K = \frac{2 a \sqrt{15}}{\sqrt{91}} = \frac{2 a \sqrt{1365}}{91}$

Vậy $d (A D, S C) = 2 H K = \frac{4 a \sqrt{1365}}{91} .$

Câu 37:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $O x y z$ , cho điểm $I (1; 0; - 2)$ và mặt phẳng $(P)$ có phương trình: $x + 2 y - 2 z + 4 = 0$ . Phương trình mặt cầu $(S)$ có tâm $I$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(P)$ là

A. ${(x - 1)}^{2} + y^{2} + {(z + 2)}^{2} = 9$

B. ${(x - 1)}^{2} + y^{2} + {(z + 2)}^{2} = 3$

C. ${(x + 1)}^{2} + y^{2} + {(z - 2)}^{2} = 3$

D. ${(x + 1)}^{2} + y^{2} + {(z - 2)}^{2} = 9$

Xem đáp án

Chọn A

Mặt cầu $(S)$ có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng $(P)$ nên bán kính mặt cầu là

$R = d (I, (P))$ $= \frac{|1 + 0 - 2 (- 2) + 4|}{\sqrt{1 + 4 + 4}}$ $= 3$ .

Vậy phương trình mặt cầu là ${(x - 1)}^{2} + y^{2} + {(z + 2)}^{2} = 9$ .

Câu 38:

Trong không gian

O x y z

, cho các điểm

A (0; 0; 2), B (2; 1; 0), C (1; 2 - 1)

và

D (2; 0; - 2)

. Đường thẳng đi qua

A

và vuông góc với mặt phẳng

(B C D)

có phương trình là

A. $\{\begin{cases} x = 3 + 3 t \\ y = - 2 + 2 t \\ z = 1 - t \end{cases}$

B. $\{\begin{cases} x = 3 \\ y = 2 \\ z = - 1 + 2 t \end{cases}$

C. $\{\begin{cases} x = 3 + 3 t \\ y = 2 + 2 t \\ z = 1 - t \end{cases}$

D. $\{\begin{cases} x = 3 t \\ y = 2 t \\ z = 2 + t \end{cases}$

Xem đáp án

Chọn C

Ta có $\vec{B C} = (- 1; 1; - 1); \vec{B D} = (0; - 1; - 2)$ .

Gọi $Δ$ là đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với mặt phẳng $(B C D)$ . Khi đó $Δ$ có vetơ chỉ phương là $\vec{u} = [\vec{B D}; \vec{B C}] = (3; 2; - 1)$ .

$\Rightarrow Δ : \{\begin{cases} x = 3 t' \\ y = 2 t' \\ z = 2 - t' \end{cases}$ . Ta có $M (3; 2; 1) \in Δ$ . Nên $Δ : \{\begin{cases} x = 3 + 3 t \\ y = 2 + 2 t \\ z = 1 - t \end{cases}$ .

Câu 39:

Biết rằng hàm số $(f) x$ có đạo hàm là $f' (x) = x {(x - 1)}^{2} {(x - 2)}^{3} {(x - 3)}^{4}$ . Hỏi hàm số $f^{3} x$ có bao nhiêu điểm cực trị?

A. $1$

B. $2$

C. $4$

D. $3$

Xem đáp án

Chọn B

Ta có $[f^{3} (x)]' = 3 . f^{2} (f) . f' (x)$ nên số điểm cực trị của hàm số $y = f^{3} (x)$ bằng số điểm cực trị của hàm số $y = f (x)$ .

$3 f' (x) = 0 \Leftrightarrow x {(x - 1)}^{2} {(x - 2)}^{3} {(x - 3)}^{4} = 0 \Leftrightarrow \{\begin{matrix} x = 0 \\ x = 1 \\ x = 2 \end{matrix}$ .

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên suy ra đồ thị hàm số $y = f^{3} (x)$ có $2$ điểm cực trị.

Câu 40:

Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số $m$ để phương trình $\log (x^{2} - 4 x + m + 20) > 1$ có tập nghiệm là $ℝ$ ?

A. $6$

B. $13$

C. $5$

D. $14$

Xem đáp án

Chọn C

Ta có $\log (x^{2} - 4 x + m + 20) > 1 \Leftrightarrow x^{2} - 4 x + m + 20 > 10^{1} \Leftrightarrow x^{2} - 4 x + m + 10 > 0$ .

Để tập nghiệm của phương trình là $ℝ$ thì $Δ^{'} = 4 - m - 10 < 0 \Leftrightarrow m > - 6$ .

Do là số nguyên âm nên $m \in \{- 1; - 2; - 3; - 4; - 5\}$ .

Câu 41:

Cho hàm số $f (x)$ có $f (\frac{π}{2}) = - 1$ và $f^{'} (x) = \frac{\sin x + \sin 3 x}{2 \sin^{4} x . \cos x}, \forall x \in (\frac{π}{6}; \frac{5 π}{6})$ . Khi đó $\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{3 π}{4}} f (x) d x$ bằng

A. $2$

B. $4$

C. $- 2$

D. $0$

Xem đáp án

Chọn C

Ta có $f' (x) = \frac{\sin x + \sin 3 x}{2 \sin^{4} x . \cos x}, \forall x \in (\frac{π}{6}; \frac{5 π}{6})$ nên $f (x)$ là một nguyên hàm của $f' (x)$

$\int f^{'} (x) d x = \int \frac{\sin x + \sin 3 x}{2 \sin^{4} x . \cos x} d x = \int \frac{2 \sin 2 x . \cos x}{2 \sin^{4} x . \cos x} d x = \int \frac{2 \sin x . \cos x}{\sin^{4} x} d x = \int \frac{2 \cos x}{\sin^{3} x} d x$ $= \int \frac{2}{\sin^{3} x} d (\sin x) = \frac{- 1}{\sin^{2} x} + C$

Do đó $f (x) = - \frac{1}{\sin^{2} x} + C$ mà $f (\frac{π}{2}) = - 1 \Rightarrow C = 0$ khi đó $f (x) = - \frac{1}{\sin^{2} x}$

Vậy

\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{3 π}{4}} f (x) d x = \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{3 π}{4}} - \frac{1}{\sin^{2} x} d x = {\cot x|}_{\frac{π}{4}}^{\frac{3 π}{4}} = - 2

Câu 42:

Cho số phức $z$ ; biết rằng các điểm biểu diễn hình học của số phức $z$ ; $i z$ và $z + i z$ tạo thành một tam giác có diện tích bằng $18$ . Mô đun của số phức $z$ bằng

A. $2 \sqrt{3}$

B. $3 \sqrt{2}$

C. $9$

D. $6$

Xem đáp án

Gọi $z = x + y i$ , với $x, y \in ℝ; i^{2} = - 1$ $\Rightarrow i z = - y + x i$ và $z + i z = (x - y) + (x + y) i$ . Gọi $A, B, C$ lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức $z$ ; $i z$ và . $z + i z$

Khi đó $A (x; y)$ , $B (- y; x)$ , $C (x - y; x + y)$ .

Ta có: $A B = \sqrt{{(x + y)}^{2} + {(x - y)}^{2}} = \sqrt{2 x^{2} + 2 y^{2}}$ , $A C = B C = \sqrt{x^{2} + y^{2}} = |z|$ .

Vì $A C = B C$ và $A B^{2} = A C^{2} + B C^{2}$ , suy ra $Δ A B C$ là tam giác vuông cân tại $C$ .

Do đó $S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} A C . B C$ $\frac{1}{2} {|z|}^{2} = 18$ $\Leftrightarrow |z| = 6$ . Chọn đáp án D.

Câu 43:

Cho khối chóp

S . A B C D

có đáy là hình bình hành

A B C D

. Gọi

M, N, P, Q

lần lượt là trọng tâm các tam giác

S A B

,

S B C

,

S C D

,

S D A

. Biết thể tích khối chóp

S . M N P Q

là

V

, khi đó thể tích của khối chóp

S . A B C D

là:

A. $\frac{27 V}{4}$

B. ${(\frac{9}{2})}^{2} V$

C. $\frac{9 V}{4}$

D. $\frac{81 V}{8}$

Xem đáp án

Chọn A

Cho khối chóp có đáy là hình bình hành . Gọi lần lượt là trọng tâm các tam giác , , , . Biết thể tích khối chóp là , khi đó thể tích của khối chóp là: (ảnh 1)

Ta có $\frac{d (S, (M N P Q))}{d (S, (A B C D))} = \frac{S M}{S I} = \frac{2}{3}$ .

Mặt khác gọi $S = S_{A B C D}$ ta có $\frac{S_{Δ D E J}}{S_{Δ B D A}} = \frac{1}{4} . \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$ $\Rightarrow S_{Δ D E J} = \frac{1}{16} S$ .

Tương tự ta có $\frac{S_{Δ J A I}}{S_{Δ D A B}} = \frac{1}{4}$ $\Rightarrow S_{Δ J A I} = \frac{1}{8}$ .

Suy ra $S_{H K I J} = [1 - (4. \frac{1}{16} + 2. \frac{1}{8})] S = \frac{1}{2} S$ .

Mà $\frac{S_{M N P Q}}{S_{H K I J}} = {(\frac{2}{3})}^{2} = \frac{4}{9}$ $\Rightarrow S_{M N P Q} = \frac{2}{9} S_{A B C D}$ .

Suy ra $V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} d (S, (A B C D)) . S$ $= \frac{1}{3} . \frac{3}{2} d (S, (M N P Q)) . \frac{9}{2} S = \frac{27}{4} V$ .

Câu 44:

Biết rằng parabol $(P) : y^{2} = 2 x$ chia đường tròn $(C) : x^{2} + y^{2} = 8$ thành hai phần lần lượt có diện tích là $S_{1}$ , $S_{2}$ (như hình vẽ). Khi đó $S_{2} - S_{1} = a π - \frac{b}{c}$ với $a, b, c$ nguyên dương và $\frac{b}{c}$ là phân số tối giản. Tính $S = a + b + c$ .

A. $S = 13$

B. $S = 16$

C. $S = 15$

D. $S = 14$

Xem đáp án

Chọn C

Xét hệ $\{\begin{cases} x^{2} + y^{2} = 8 \\ y^{2} = 2 x \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x^{2} + 2 x - 8 = 0 \\ y^{2} = 2 x \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = - 4 \lor x = 2 \\ y^{2} = 2 x \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 \\ y^{2} = 4 \end{cases}$

$S_{1} = 2 \int_{0}^{2} \sqrt{2 x} d x + 2 \int_{2}^{2 \sqrt{2}} \sqrt{8 - x^{2}} d x$

$I_{1} = 2 \int_{0}^{2} \sqrt{2 x} d x = {(2. \sqrt{2} . \frac{2}{3} \sqrt{x^{3}})|}_{0}^{2} = \frac{16}{3}$

$I_{2} = 2 \int_{2}^{2 \sqrt{2}} \sqrt{8 - x^{2}} d x$ .

Đặt $x = 2 \sqrt{2} \cos t$ $\Rightarrow d x = - 2 \sqrt{2} \sin t d t$

$x = 2 \Rightarrow t = \frac{π}{4}$ , $x = 2 \sqrt{2} \Rightarrow t = 0$ .

.

$I_{2} = 2 \int_{\frac{π}{4}}^{0} \sqrt{8 - 8 \cos^{2} t} (- 2 \sqrt{2} \sin t d t)$ $= 16 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin^{2} t d t$ $= 8 \int_{0}^{\frac{π}{4}} (1 - \cos 2 t) d t$ $= 8 {(t - \frac{1}{2} \sin 2 t)|}_{0}^{\frac{π}{4}}$ $= 2 π - 4$ .

$\Rightarrow S_{1} = I_{1} + I_{2} = 2 π + \frac{4}{3}$

.

$\Rightarrow S_{2} - S_{1} = 4 π - \frac{8}{3}$ .

Vậy $a = 4$ ,b $= 8$ , $c = 3$ $\Rightarrow S = a + b + c = 15$ .

Câu 45:

Trong không gian $O x y z$ , cho hai đường thẳng $d_{1} : \frac{x - 3}{- 1} = \frac{y - 3}{- 2} = \frac{z + 2}{1}$ ; $d_{2} : \frac{x - 5}{- 3} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 2}{1}$ và mặt phẳng $(P) : x + 2 y + 3 z - 5 = 0$ . Đường thẳng vuông góc với $(P)$ , cắt $d_{1}$ và $d_{2}$ lần lượt tại $A, B$ . Độ dài

đoạn là

A. $2 \sqrt{3}$

C.

C. $5$

D. $\sqrt{15}$

Xem đáp án

Chọn B

$d_{1}$ có phương trình tham số là $\{\begin{cases} x = 3 - t \\ y = 3 - 2 t \\ z = - 2 + t \end{cases}$ và $d_{2}$ có phương trình tham số là $\{\begin{cases} x = 5 - 3 k \\ y = - 1 + 2 k \\ z = 2 + k \end{cases}$ . Mặt phẳng $(P)$ có một véctơ pháp tuyến là $\vec{n} = (1; 2; 3)$ .

Vì $A \in d_{1} \Rightarrow A (3 - t; 3 - 2 t; - 2 + t)$ và $B \in d_{2} \Rightarrow B (5 - 3 k; - 1 + 2 k; 2 + k)$

$\Rightarrow \vec{A B} = (2 - 3 k + t; - 4 + 2 k + 2 t; 4 + k - t)$

Mà $d ⊥ (P)$ nên $\vec{A B}$ và $\vec{n}$ cùng phương, suy ra $\frac{2 - 3 k + t}{1} = \frac{- 4 + 2 k + 2 t}{2} = \frac{4 + k - t}{3}$ $\Rightarrow \{\begin{cases} t = 2 \\ k = 1 \end{cases}$ .

Do đó $A (1; - 1; 0), B (2; 1; 3)$ . Vậy $A B = \sqrt{14}$ .

Câu 46:

Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

Gọi $S$ là tập tất cả các giá trị nguyên dương của tham số $m$ để hàm số $y = |f (x - 2018) + m - 2|$ có đúng $5$ điểm cực trị. Số phần tử của $S$ là

A. $3$

B. $1$

C. $2$

D. $4$

Xem đáp án

Chọn A

Dựa vào đồ thị hàm số $y = f (x)$ ta thấy hàm số có $3$ cực trị. Vì vậy phương trình $f^{'} (x) = 0$ có ba nghiệm bội lẻ là $a, b, c (a < b < c)$ .

Xét hàm số $g (x) = f (x - 2018) + m - 2$ .

Đồ thị của hàm số $y = g (x)$ có được bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số $y = f (x)$ qua phải $2018$ đơn vị và lên trên (hoặc xuống dưới) $m - 2$ đơn vị. Từ đó, ta có bảng biến thiên của hàm số $y = g (x)$ như sau

Hàm số $y = | g (x) |$ có đúng $5$ cực trị khi và chỉ khi phương trình $g (x) = 0$ có đúng hai nghiệm bội đơn. Suy ra

$[\begin{array}{l} m - 8 < 0 \leq m - 5 \\ m \leq 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 5 \leq m < 8 \\ m \leq 0. \end{array}$ .

Vì nguyên dương nên $S = \{5; 6; 7\}$ .

Câu 47:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

m

để tồn tại cặp số

(x; y)

thỏa mãn

e^{3 x + 5 y} - e^{x + 3 y + 1} = 1 - 2 x - 2 y

, đồng thời thỏa mãn

\log_{3}^{2} (3 x + 2 y - 1) - (m + 6) \log_{3} x + m^{2} + 9 = 0

.

A. $6$

B. $5$

C. $8$

D. $7$

Xem đáp án

Chọn B

Ta có: $e^{3 x + 5 y} - e^{x + 3 y + 1} = 1 - 2 x - 2 y$ $\Leftrightarrow e^{3 x + 5 y} + (3 x + 5 y) = e^{x + 3 y + 1} + (x + 3 y + 1)$ .

Xét hàm số $f (t) = e^{t} + t$ trên $ℝ$ . Ta có $f^{'} (t) = e^{t} + 1 > 0$ nên hàm số đồng biến trên $ℝ$ .

Do đó phương trình có dạng: $f (3 x + 5 y) = f (x + 3 y + 1)$ $\Leftrightarrow 3 x + 5 y = x + 3 y + 1$ $\Leftrightarrow 2 y = 1 - 2 x$ .

Thế vào phương trình còn lại ta được: $\log_{3}^{2} x - (m + 6) \log_{3} x + m^{2} + 9 = 0$ .

Đặt $t = \log_{3} x$ , phương trình có dạng: $t^{2} - (m + 6) t + m^{2} + 9 = 0$ .

Để phương trình có nghiệm thì $Δ \geq 0 \Leftrightarrow$ $- 3 m^{2} + 12 m \geq 0$ $\Leftrightarrow 0 \leq m \leq 4$ .

Do đó có $5$ số nguyên $m$ thỏa mãn.

Câu 48:

Cho Parabol

(P) : y = x^{2}

và hai điểm

A, B

thuộc

(P)

sao cho

A B = 2

. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi

(P)

và đường thẳng

A B

đạt giá trị lớn nhất bằng?

A. $\frac{2}{3}$

B. $\frac{3}{4}$

C. $\frac{4}{3}$

D. $\frac{3}{2}$

Xem đáp án

Chọn C

Cách 1: Gọi $A (a; a^{2})$ , $B (b; b^{2})$ với $a < b$ . Ta có $A B = 2$ $\Leftrightarrow {(b - a)}^{2} + {(b^{2} - a^{2})}^{2} = 4$

$A B : \frac{x - a}{b - a} = \frac{y - a^{2}}{b^{2} - a^{2}}$ $\Leftrightarrow \frac{x - a}{1} = \frac{y - a^{2}}{b + a}$ $\Leftrightarrow y = (a + b) (x - a) + a^{2}$ $\Leftrightarrow y = (a + b) x - a b$

. $S = \int_{a}^{b} ((a + b) x - a b - x^{2}) d x$ $= \int_{a}^{b} (x - a) (b - x) d x$

Đặt $t = x - a$ . Suy ra $S = \int_{0}^{b - a} t (b - a - t) d t$ $= \int_{0}^{b - a} (t (b - a) - t^{2}) d t$ $= {\frac{(b - a) t^{2}}{2}|}_{0}^{b - a} - {\frac{t^{3}}{3}|}_{0}^{b - a}$ $= \frac{{(b - a)}^{3}}{6}$

Ta có ${(b - a)}^{2} + {(b^{2} - a^{2})}^{2} = 4$ $\Leftrightarrow {(b - a)}^{2} (1 + {(b + a)}^{2}) = 4$ $\Leftrightarrow {(b - a)}^{2} = \frac{4}{1 + {(b + a)}^{2}} \leq 4$

Suy ra $b - a \leq 2$ $\Rightarrow S = \frac{{(b - a)}^{3}}{6} \leq \frac{2^{3}}{6} = \frac{4}{3}$

Dấu bằng xảy ra khi $\{\begin{cases} a + b = 0 \\ b - a = 2 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} b = 1 \\ a = - 1 \end{cases}$ $\Leftrightarrow A (- 1; 1), B (1; 1)$ .

Cách 2: Sử dụng công thức diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(P) : y = a x^{2} + b x + c$ và trục hoành $y = 0$ là $S^{2} = \frac{Δ^{3}}{36 a^{4}}, Δ = b^{2} - 4 a c (1)$ .

Tổng quát với $(P) : y = a x^{2} + b x + c$ và $(d) : y = m x + n$ thì ta lập phương trình hoành độ giao điểm $a x^{2} + b x + c = m x + n$ $\Leftrightarrow a x^{2} + (b - m) x + c - n = 0$ .

Áp dụng

S^{2} = \frac{Δ^{3}}{36 a^{4}}, Δ = {(b - m)}^{2} - 4 a (c - n)

.

Câu 49:

Xét các số phức $z = a + b i$ $(a, b \in ℝ)$ thỏa mãn $|z - 4 - 3 i| = \sqrt{5}$ . Tính $P = a + b$ khi $|z + 1 - 3 i| + |z - 1 + i|$ đạt giá trị lớn nhất.

A. $P = 10$

B. $P = 4$

C. $P = 6$

D. $P = 8$

Xem đáp án

Chọn A

Sử dụng BĐT Bunyakovsky

Từ giả thiết $|z - 4 - 3 i| = \sqrt{5}$ $\Leftrightarrow {(a - 4)}^{2} + {(b - 3)}^{2} = 5$ $\Leftrightarrow a^{2} + b^{2} - 8 a - 6 b + 20 = 0$ $\Leftrightarrow a^{2} + b^{2} = 8 a + 6 b - 20$

Mặt khác $T = |z + 1 - 3 i| + |z - 1 + i|$ $= \sqrt{{(a + 1)}^{2} + {(b - 3)}^{2}} + \sqrt{{(a - 1)}^{2} + {(b + 1)}^{2}}$

Suy ra $T^{2} \leq (1^{2} + 1^{2}) [{(a + 1)}^{2} + {(b - 3)}^{2} + {(a - 1)}^{2} + {(b + 1)}^{2}]$ $= 2 [2 (a^{2} + b^{2}) - 4 b + 12]$ $= 2 [2 (8 a + 6 b - 20) - 4 b + 12]$ $= 8 (4 a + 2 b - 7)$

Dấu = xảy ra khi ${(a + 1)}^{2} + {(b - 3)}^{2} = {(a - 1)}^{2} + {(b + 1)}^{2}$ $\Leftrightarrow a - 2 b = - 2$

Lại có $4 a + 2 b = 4 (a - 4) + 2 (b - 3) + 22 \leq \sqrt{(4^{2} + 2^{2}) [{(a - 4)}^{2} + {(b - 3)}^{2}]} + 22$ $= \sqrt{20.5} + 22 = 32$

Dấu = xảy ra khi $\frac{a - 4}{4} = \frac{b - 3}{2} \Leftrightarrow a - 2 b = - 2$

suy ra $T^{2} \leq 8 (4 a + 2 b - 7) \leq 8 (32 - 7) = 200$

$\Rightarrow T \leq 10 \sqrt{2}$

Vậy $T_{max} = 10 \sqrt{2}$ khi $\{\begin{cases} 4 a + 2 b = 32 \\ a - 2 b = - 2 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 6 \\ b = 4 \end{cases}$ . Vậy $a + b = 10$ .

Câu 50:

Cho mặt cầu $(S) : {(x + 1)}^{2} + {(y - 4)}^{2} + z^{2} = 8$ và các điểm $A (3; 0; 0)$ , $B (4; 2; 1)$ . Gọi $M$ là một điểm bất kỳ thuộc mặt cầu $(S)$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M A + 2 M B$ ?

A. $2 \sqrt{2}$

B. $4 \sqrt{2}$

C. $3 \sqrt{2}$

D. $6 \sqrt{2}$

Xem đáp án

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I (- 1; 4; 0)$ , bán kính $R = 2 \sqrt{2}$ .

$I A = 4 \sqrt{2}$ $= 2 R$ $= 2 I M$ ; $I B = \sqrt{30} > R$ $\Rightarrow B$ nằm ngoài mặt cầu $(S)$ .

Lấy điểm $K$ thuộc tia $I A$ sao cho $\vec{I K} = \frac{1}{4} \vec{I A}$ $\Rightarrow K (0; 3; 0)$ .

$\Rightarrow I K = \frac{1}{2} R$ $= \frac{1}{2} I M$ $\Rightarrow K$ nằm trong mặt cầu $(S)$

Lại có: $Δ I A M ~ Δ I M K (c . g . c)$ $\Rightarrow \frac{M A}{K M} = \frac{I A}{I M}$ $= 2$ $\Leftrightarrow M A = 2 M K$ .

Suy ra: $M A + 2 M B = 2 M K + 2 M B$ $\geq 2 B K$ $= 6 \sqrt{2}$ .

Dấu đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow M = B K \cap (S)$ và $M$ nằm giữa $B, K$ .

Vậy ${(M A + 2 M B)}_{\min} = 6 \sqrt{2}$ .