50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 35 đề minh họa THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 có lời giải

Câu 1:

Trong mặt phẳng Oxy, số phức z = -2+4i được biểu diễn bởi điểm nào trong các điểm ở hình vẽ duới đây?

Trong mặt phẳng Oxy, số phức z = -2+4i được biểu diễn bởi điểm nào trong các điểm ở hình vẽ duới đây? (ảnh 1)

A. Điểm C.

B. Điểm D.

C. Điểm A.

D. Điểm B.

Xem đáp án

Chọn A.

Số phức z = -2+4i được biểu diễn bởi điểm C(-2;4)

Câu 2:

Cho hàm số $f (x)$ liên tục trên $ℝ,$ có đồ thị như hình vẽ.

Cho hàm số f(x) liên tục trên R có đồ thị như hình vẽ. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a để hàm số (ảnh 1)

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a để hàm số $y = |f (\frac{8 x}{x^{2} + 1}) + a - 1|$ có giá trị lớn nhất không vượt quá 20?

A. 41.

B. 31.

C. 35.

D. 29.

Xem đáp án

Chọn B.

Đặt $t = \frac{8 x}{x^{2} + 1} .$

Ta có: $t' = \frac{- 8 x^{2} + 8}{{(x^{2} + 1)}^{2}}; t' = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1.$

Bảng biến thiên:

$\Rightarrow t \in [- 4; 4] .$

Xét hàm số: $h (t) = f (t) + a - 1, t \in [- 4; 4],$ ta có: $h' (t) = f' (t) .$

$h' (t) = 0 \Leftrightarrow f' (t) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = - 4 \in [- 4; 4] \\ t = - 2 \in [- 4; 4] \\ t = 2 \in [- 4; 4] \end{array}$

$\max_{[- 4; 4]} |h (t)| = M a x \{|a + 5|; |a - 5|\} .$

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow \{\begin{cases} |a + 5| \leq 20 \\ |a - 5| \leq 20 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} - 20 \leq a + 5 \leq 20 \\ - 20 \leq a - 5 \leq 20 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} - 25 \leq a \leq 15 \\ - 15 \leq a \leq 25 \end{cases} \Leftrightarrow - 15 \leq a \leq 15$

Vậy có tất cả 31 giá trị nguyên của tham số a thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 3:

Cho hàm số $f (x)$ liên tục trên $ℝ$ và thỏa mãn $\int_{0}^{1} f (x) d x = 2; \int_{1}^{3} f (x) d x = 6.$ Tính $I = \int_{0}^{3} f (x) d x$ .

A. I = 8.

B. I = 12.

C. I = 4.

D. I = 36.

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có $I = \int_{0}^{3} f (x) d x = \int_{0}^{1} f (x) d x + \int_{1}^{3} f (x) d x = 2 + 6 = 8.$

Câu 4:

Khối nón có chiều cao h =4 và đường kính đáy bằng 6. Thể tích khối nón bằng

A. $12 π .$

B. $144 π .$

C. $48 π .$

D. $24 π .$

Xem đáp án

Chọn A.

Khối nón có bán kính bằng 3 nên có thể tích là $V = \frac{1}{3} π r^{2} h = \frac{1}{3} . π {.3}^{3} .4 = 12 π .$

Câu 5:

Cho khối hộp hình chữ nhật có ba kích thước 2; 4; 6. Thể tích của khối hộp đã cho bằng:

A. 8.

B. 16.

C. 48.

D. 12.

Xem đáp án

Chọn C.

Thể tích của khối hộp đã cho bằng 2.4.6 = 48.

Câu 6:

Cho hai số phức $z_{1} = 1 - 2 i$ và $z_{2} = 2 + i .$ Số phức $z_{1} + z_{2}$ bằng:

A. -3 - i.

B. 3 + i.

C. 3 - i.

D. -3 + i

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có $z_{1} + z_{2} = 1 - 2 i + 2 + i = 3 - i .$

Câu 7:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x + 2 y - 6 z + 1 = 0$ . Tọa độ tâm I của mặt cầu là:

A. I(4;-2;6).

B. (2;-1;3).

C. (-4;2;-6).

D. (-2;1;-3)

Xem đáp án

Chọn B.

Từ phương trình mặt cầu suy ra tâm của mặt cầu là I(2;-1;3)

Câu 8:

Cho hàm số $y = f (x)$ có bảng biến thiên như sau:

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như sau: Hàm số nghịch biến trong khoảng nào? (ảnh 1)

Hàm số nghịch biến trong khoảng nào?

A. (0;1).

B. (-1;1).

C. $(4; + \infty) .$

D. $(- \infty; 2) .$

Xem đáp án

Chọn A.

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0;1)

Câu 9:

Nghiệm của phương trình $\log_{2} (x + 9) = 5$ là

A. x = 41.

B. x = 16.

C. x = 23.

D. x = 1.

Xem đáp án

Chọn C.

Điều kiện: x > -9

Ta có: $\log_{2} (x + 9) = 5 \Leftrightarrow x + 9 = 2^{5} \Leftrightarrow x = 23.$

Câu 10:

Cho x, y > 0 và $α, β \in ℝ .$ Khẳng định nào sau đây sai ?

A. ${(x^{α})}^{β} = x^{α β} .$

B. $x^{α} + y^{α} = {(x + y)}^{α} .$

C.

x^{α} . x^{β} = x^{α + β} .

D. ${(x y)}^{α} = x^{α} . y^{α} .$

Xem đáp án

Chọn B.

Theo tính chất của lũy thừa thì đẳng thức $x^{α} + y^{α} = {(x + y)}^{α}$ sai.

Câu 11:

Cho hình trụ có bán kính đáy r = 2 và chiều cao h = 5. Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng

A.

28 π .

B. 20.

C.

10 π .

D. $20 π .$

Xem đáp án

Chọn D.

Theo công thức tính diện tích xung quanh hình trụ $S_{x q} = 2 π r h = 2 π .2.5 = 20 π .$

Câu 12:

Trong không gian Oxyz, cho các điểm $A (1; 0; 2), B (1; 2; 1), C (3; 2; 0)$ và D(1;1;3). Đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (BCD) có phương trình là

A.

\{\begin{cases} x = 1 - t \\ y = 4 t \\ z = 2 + 2 t \end{cases} .

B.

\{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 4 \\ z = 2 + 2 t \end{cases} .

C.

\{\begin{cases} x = 1 - t \\ y = 2 - 4 t \\ z = 2 - 2 t \end{cases} .

D.

\{\begin{cases} x = 2 + t \\ y = 4 + 4 t \\ z = 4 + 2 t \end{cases} .

Xem đáp án

Chọn D.

Đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (BCD) nhận vectơ pháp tuyến của (BCD) là vectơ chỉ phương.

Ta có $\vec{B C} = (2; 0; - 1), \vec{B D} = (0; - 1; 2) .$

$\Rightarrow \vec{u_{d}} = \vec{n} = [\vec{B C}, \vec{B D}] = (- 1; - 4; - 2) .$

Khi đó ta loại phương án A và B

Thay điểm A(1;0;2) vào phương trình ở phương án D ta có $\{\begin{cases} 1 = 2 + t \\ 0 = 4 + 4 t \\ 2 = 4 + 2 t \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} t = - 1 \\ t = - 1 \\ t = - 1 \end{cases} .$

Suy ra đường thẳng có phương trình tham số ở phương án C đi qua điểm A nên D là phương án đúng.

Câu 13:

Rút gọn biểu thức $P = \frac{a^{\sqrt{3} + 1} . a^{2 - \sqrt{3}}}{{(a^{\sqrt{2} - 2})}^{\sqrt{2} + 2}}$ với a > 0

A. P = a⁴.

B. P = a³.

C. P = a⁵.

D. P = a.

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có $P = \frac{a^{\sqrt{3} + 1} . a^{2 - \sqrt{3}}}{{(a^{\sqrt{2} - 2})}^{\sqrt{2} + 2}} = \frac{a^{\sqrt{3} + 1 + 2 - \sqrt{3}}}{a^{(\sqrt{2} - 2) (\sqrt{2} + 2)}} = \frac{a^{3}}{a^{- 2}} = a^{5} .$

Câu 14:

Cho $f (x)$ là hàm đa thức bậc 3 có đồ thị như hình vẽ. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M có hoành độ bằng -2 cắt đồ thị tại điểm thứ hai N(1;1) cắt Ox tại điểm có hoành độ bằng 4. Biết diện tích phần gạch chéo là $\frac{9}{16} .$ Tích phân $\int_{- 1}^{1} f (x) d x$ bằng:

A. $\frac{31}{18} .$

B.

\frac{13}{6} .

C.

\frac{19}{9} .

D. $\frac{7}{3} .$

Xem đáp án

Chọn B.

Dựa vào giả thiết đường thẳng đi qua hai điểm M(-2;2) và P(4;0). Suy ra $d : x + 3 y - 4 = 0 \Rightarrow y = \frac{- 1}{3} x + \frac{4}{3} .$

Từ giả thiết ta có hàm số $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d \Rightarrow f' (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c .$ Chú ý đồ thị hàm số tiếp xúc đường thẳng d tại

x = -2

$\{\begin{cases} 1 = - 8 a + 4 b - 2 c \\ 0 = a + b + c \\ 12 a - 4 b + c = - \frac{1}{3} \\ d = 1 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} a = \frac{1}{12} \\ b = \frac{1}{4} \\ c = - \frac{1}{3} \end{cases} \Rightarrow y = \frac{1}{12} x^{3} + \frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{3} x + 1.$

Từ đó $\int_{- 1}^{1} f (x) d x = \frac{13}{6} .$

Câu 15:

Cho $\int_{0}^{1} f (x) d x = 2$ và $\int_{0}^{1} g (x) d x = 5$ . Tính $\int_{0}^{1} (f (x) - 2 g (x)) d x$ .

A. -8

B. 12.

C. 1.

D. -3

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có $\int_{0}^{1} (f (x) - 2 g (x)) d x = \int_{0}^{1} f (x) d x - 2 \int_{0}^{1} g (x) d x = 2 - 2.5 = - 8.$

Câu 16:

Cho hình chóp S.ABCD có $S A ⊥ (A B C D),$ đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết AD = 2a, SA = a. Khoảng cách từ A đến (SCD) bằng:

A. $\frac{3 a}{\sqrt{7}} .$

B. $\frac{3 a \sqrt{2}}{2} .$

C.

\frac{2 a}{\sqrt{5}} .

D. $\frac{2 a \sqrt{3}}{3} .$

Xem đáp án

Chọn C.

Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với (ABCD), đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết AD = 2a, SA = a. (ảnh 1)

Gọi H là hình chiếu của A lên SD, ta chứng minh được $A H ⊥ (S C D)$ .

$\frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{S A^{2}} + \frac{1}{A D^{2}} \Rightarrow A H = \frac{2 a}{\sqrt{5}} .$

Câu 17:

Tổng tất cả các giá trị của tham số m để phương trình $3^{x^{2} - 2 x + 1 - 2 |x - m|} = \log_{x^{2} - 2 x + 3} (2 |x - m| + 2)$ có đúng ba nghiệm phân biệt là

A. 3

B. 0

C. 2

D. 1

Xem đáp án

Chọn A.

Phương trình tương đương $3^{x^{2} - 2 x + 3 - (2 |x - m| + 2)} = \frac{\ln (2 |x - m| + 2)}{\ln (x^{2} - 2 x + 3)} .$

$\Leftrightarrow 3^{x^{2} - 2 x + 3} . \ln (x^{2} - 2 x + 3) = 3^{2 |x - m| + 2} . \ln (2 |x - m| + 2) (*) .$

Xét hàm đặc trưng $f (t) = 3^{t} . \ln t, t \geq 2$ là hàm số đồng biến nên từ phương trình (*) suy ra

$\Leftrightarrow x^{2} - 2 x + 3 = 2 |x - m| + 2 \Leftrightarrow g (x) = x^{2} - 2 x - 2 |x - m| + 1 = 0.$

Có $g (x) = \{\begin{cases} x^{2} - 4 x + 2 m + 2 khi x \geq m \\ x^{2} - 2 m + 1 khi x \leq m \end{cases} \Rightarrow g' (x) = \{\begin{cases} 2 x - 4 khi x \geq m \\ 2 x khi x \leq m \end{cases}$ .

Và $g' (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 khi x \geq m \\ x = 0 khi x \leq m \end{array}$

Xét các trường hợp sau:

Trường hợp 1: $m \leq 0$ ta có bảng biến thiên của $g (x)$ như sau:

Phương trình chỉ có tối đa 2 nghiệm nên không có m thỏa mãn.

Trường hợp 2: $m \geq 2$ tương tự.

Trường hợp 3: $0 < m < 2,$ bảng biến thiên $g (x)$ như sau:

Phương trình có 3 nghiệm khi $[\begin{array}{l} {(m - 1)}^{2} = 0 \\ - 2 m + 1 = 0 > 2 m - 3 \\ - 2 m + 1 < 0 = 2 m - 3 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 1 \\ m = \frac{1}{2} \\ m = \frac{3}{2} \end{array} .$

Câu 18:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x^{3} + 3 x^{2}$ trên đoạn [-4;-1] bằng:

A. 0.

B. 4.

C. -16.

D. -4.

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có $y' = 3 x^{2} + 6 x; y' = 0 \Rightarrow 3 x^{2} + 6 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \notin [- 4; - 1] \\ x = - 2 \in [- 4; - 1] \end{array} .$

Khi đó $y (- 4) = - 16; y (- 2) = 4; y (- 1) = 2.$

Nên $\min_{[- 4; - 1]} y = - 16.$

Câu 19:

Một em bé có bộ 6 thẻ chữ, trên mỗi thẻ có ghi một chữ cái, trong đó có 3 thẻ chữ T, một thẻ chữ N, một thẻ chữ H và một thẻ chữ P. Em bé đó xếp ngẫu nhiên 6 thẻ đó thành một hàng ngang. Tính xác suất em bé xếp được thành dãy TNTHPT.

A. $\frac{1}{120} .$

B. $\frac{1}{720} .$

C.

\frac{1}{6} .

D. $\frac{1}{20} .$

Xem đáp án

Chọn A.

Xem ba chữ T riêng biệt ta có: $n (Ω) = 6! .$

Gọi A là biến cố “xếp ngẫu nhiên 6 thẻ đó thành dãy TNTHPT”, suy ra $n (A) = 3!$

(số hoán vị của T – T – T và N, H, P cố định).

Vậy xác suất của biến cố $A : P (A) = \frac{3!}{6!} = \frac{1}{120} .$

Câu 20:

Tính $\int (x - \sin 2 x) d x .$

A. $x^{2} + \frac{\cos 2 x}{2} + C .$

B. $\frac{x^{2}}{2} + \frac{\cos 2 x}{2} + C .$

C.

\frac{x^{2}}{2} + \cos 2 x + C .

D.

\frac{x^{2}}{2} + \sin x + C .

Xem đáp án

Chọn B.

Ta có $\int_{}^{} (x - \sin 2 x) d x = \int_{}^{} x d x - \int_{}^{} \sin 2 x d x = \frac{x^{2}}{2} + \frac{\cos 2 x}{2} + C .$

Câu 21:

Cho số phức z thỏa mãn điều kiện $(1 + i) \bar{z} - 1 - 3 i = 0.$ Tìm phần ảo của số phức $w = 1 - i z + \bar{z} .$

A. -1

B. -i

C. 2.

D. -2i

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có $(1 + i) \bar{z} - 1 - 3 i = 0 \Leftrightarrow \bar{z} = \frac{1 + 3 i}{1 + i} \Leftrightarrow \bar{z} = 2 + i \Rightarrow z = 2 - i .$

Do đó $w = 1 - i z + \bar{z} = 1 - i (2 - i) + 2 + i = 2 - i .$

Vậy phần ảo của số phức $w = 1 - i z + \bar{z}$ là -1

Câu 22:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm I(1;1;1) và A(1;2;3). Phương trình mặt cầu có tâm I và đi qua A là:

A. ${(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 29.$

B. ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 25.$

C. ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 5.$

D. ${(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 5.$

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có $R = I A = \sqrt{{(1 - 1)}^{2} + {(2 - 1)}^{2} + {(3 - 1)}^{2}} = \sqrt{5} .$

Vậy phương trình mặt cầu tâm I và đi qua điểm A có phương trình là

${(x - x_{I})}^{2} + {(y - y_{I})}^{2} + {(z - z_{I})}^{2} = R^{2} \Rightarrow {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 5.$

Câu 23:

Số nghiệm nguyên của bất phương trình ${(\frac{1}{3})}^{2 x^{2} - 3 x - 7} > 3^{2 x - 21}$ là:

A. 7.

B. 6.

C. vô số.

D. 8.

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có ${(\frac{1}{3})}^{2 x^{2} - 3 x - 7} > 3^{2 x - 21} \Leftrightarrow 3^{- (2 x^{2} - 3 x - 7)} > 3^{2 x - 21}$

$\Leftrightarrow - (2 x^{2} - 3 x - 7) > 2 x - 21 \Leftrightarrow - 2 x^{2} + 3 x + 7 > 2 x - 21$

$\Leftrightarrow - 2 x^{2} + x + 28 > 0 \Leftrightarrow - \frac{7}{2} < x < 4.$

Do $x \in ℤ$ nên $x \in \{- 3; - 2; - 1; 0; 1; 2; 3\} .$

Vậy bất phương trình đã cho có 7 nghiệm nguyên.

Câu 24:

Hàm số $y = \frac{2}{3 x^{2} + 1}$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (-1;1).

B.

(- \infty; 0) .

C.

(- \infty; + \infty) .

D.

(0; + \infty) .

Xem đáp án

Chọn D.

Tập xác định $D = ℝ .$

$y' = \frac{- 12 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{2}} .$

Ta có $y' < 0 \Leftrightarrow x > 0$ nên hàm số $y = \frac{2}{3 x^{2} + 1}$ nghịch biến trên khoảng $(0; + \infty) .$

Câu 25:

Cho hàm số $f (x) .$ Biết hàm số $f' (x)$ có đồ thị như hình dưới đây. Trên [-4;3], hàm số $g (x) = 2 f (x) + {(1 - x)}^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm nào?

Cho hàm số f(x). Biết hàm số f'(x) có đồ thị như hình dưới đây. Trên [-4;3] (ảnh 1)

A. x = -1.

B. x = 3.

C. x = -4.

D. x = -3.

Xem đáp án

Chọn A.

Xét hàm số $g (x) = 2 f (x) + {(1 - x)}^{2}$ trên [-4;3]

Ta có: $g' (x) = 2. f' (x) - 2 (1 - x) .$

$g' (x) = 0 \Leftrightarrow f' (x) = 1 - x .$ Trên đồ thị hàm số $f' (x)$ ta vẽ thêm đường thẳng $y = 1 - x .$

Từ đồ thị ta thấy $f' (x) = 1 - x \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 4 \\ x = - 1 \\ x = 3 \end{array} .$

Bảng biến thiên của hàm số $g (x)$ như sau:

Vậy $\min_{[- 4; 3]} g (x) = g (- 1) \Leftrightarrow x = - 1.$

Câu 26:

Người ta muốn xây bể chứa nước dạng hình chữ nhật không nắp có thể tích $200 m^{3} .$ Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Giá thuê công nhân xây bể là 300.000 đồng/ $m^{2} .$ Chi phí thuê công nhân thấp nhất là

A. 36 triệu đồng.

B. 51 triệu đồng.

C. 75 triệu đồng.

D. 46 triệu đồng.

Xem đáp án

Chọn B.

Gọi chiều rộng, chiều dài của đáy lần lượt là x và 2x, chiều cao là y

Diện tích các mặt bên và mặt đáy là $S = 6 x y + 2 x^{2}$

Thể tích là $V = 2 x^{2} y = 200 \Rightarrow x y = \frac{100}{x} .$

$S = \frac{600}{x} + 2 x^{2} = \frac{300}{x} + \frac{300}{x} + 2 x^{2} \geq 3 \sqrt[3]{\frac{300}{x} . \frac{300}{x} .2 x^{2}} = 30 \sqrt[3]{180}$

Vậy chi phí thấp nhất là $T = 30 \sqrt[3]{180} .3000000 = 51$ triệu.

Câu 27:

Cho các số phức $z_{1} = 1 + 3 i, z_{2} = - 5 - 3 i$ . Tìm điểm M(x;y) biểu diễn số phức z₃, biết rằng trong mặt phẳng phức điểm M nằm trên đường thẳng $x - 2 y + 1 = 0$ và mô đun số phức $w = 3 z_{3} - z_{2} - 2 z_{1}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

A. $M (\frac{3}{5}; \frac{1}{5})$ .

B. $M (- \frac{3}{5}; - \frac{1}{5})$ .

C. $M (\frac{3}{5}; - \frac{1}{5})$ .

D. $M (- \frac{3}{5}; \frac{1}{5})$ .

Xem đáp án

Chọn D.

Trắc nghiệm: Thay tọa độ điểm M vào vế trái phương trình đường thẳng kết quả bằng 0 thỏa ta được đáp án A.

Tự luận:

Ta có $w = 3 z_{3} - z_{2} - 2 z_{1} = 3 z_{3} + 3 - 3 i = 3 (z_{3} + 1 - i) \to |w| = 3 |z_{3} + 1 - i| = 3 A M$ với A(-1:3)

M(x;y) biểu diễn số phức z₃ nằm trên đường thẳng $d : x - 2 y + 1 = 0$ và $A (- 1; 3) \notin d .$

Khi đó $|w| = 3 |z_{3} + 1 - i| = 3 A M$ đạt giá trị nhỏ nhất khi AM ngắn nhất $\Leftrightarrow A M ⊥ d$

$A M ⊥ d$ nên AM có phương trình: $2 x + y + 1 = 0.$

Khi đó $M = A M \cap d$ nên $M (- \frac{3}{5}; \frac{1}{5}) .$

Câu 28:

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A (2; - 2; 4), B (- 3; 3; - 1), C (- 1; - 1; - 1)$ và mặt phẳng $(P) : 2 x - y + 2 z + 8 = 0.$ Xét điểm M thay đổi thuộc (P), tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T = 2 M A^{2} + M B^{2} - M C^{2} .$

A. 102.

B. 35.

C. 105.

D. 30

Xem đáp án

Chọn A.

Gọi I là điểm thỏa mãn: $2 \vec{I A} + \vec{I B} - \vec{I C} = \vec{0}$

$\Leftrightarrow 2 (\vec{O A} - \vec{O I}) + (\vec{O B} - \vec{O I}) - (\vec{O C} - \vec{O I}) = \vec{0}$

$\Leftrightarrow \vec{O I} = \vec{O A} + \frac{1}{2} \vec{O B} - \frac{1}{2} \vec{O C} = (1; 0; 4)$

$\Leftrightarrow I (1; 0; 4) .$

Khi đó, với mọi điểm $M (x; y; z) \in (P),$ ta luôn có

$T = 2 {(\vec{M I} + \vec{I A})}^{2} + {(\vec{M I} + \vec{I B})}^{2} - {(\vec{M I} + \vec{I C})}^{2}$

$= 2 {\vec{M I}}^{2} + 2 \vec{M I} . (2 \vec{I A} + \vec{I B} - \vec{I C}) + 2 {\vec{I A}}^{2} + {\vec{I B}}^{2} - {\vec{I C}}^{2}$

$= 2 M I^{2} + 2 I A^{2} + I B^{2} - I C^{2} .$

Ta tính được $2 I A^{2} + I B^{2} - I C^{2} = 30.$

Do đó, T đạt GTNN $\Leftrightarrow M I$ đạt GTNN $\Leftrightarrow M I ⊥ (P) .$

Lúc này, $I M = d (I, (P)) = \frac{|2.1 - 0 + 2.4 + 8|}{\sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2} + 2^{2}}} = 6.$

Vậy $T_{\min} = {2.6}^{2} + 30 = 102.$

Câu 29:

Tập hợp M có 12 phần tử. Số tập con gồm 2 phần tử của M là

A. 12².

B. $C_{12}^{2} .$

C. $A_{12}^{10} .$

D. $A_{12}^{2} .$

Xem đáp án

Chọn B.

Số tập con thỏa mãn đề bài chính là số cách chọn 2 phần tử lấy trong tập hợp M có 12 phần tử. Số tập con gồm 2 phần tử của tập hợp M là $C_{12}^{2} .$

Câu 30:

Trong không gian Oxyz, đường thẳng đi qua điểm M(1;2;2) song song với mặt phẳng $(P) : x - y + z + 3 = 0$ đồng thời cắt đường thẳng $d : \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 3}{1}$ có phương trình là:

A. $\{\begin{cases} x = 1 - t \\ y = 2 + t \\ z = 2 \end{cases} .$

B.

\{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 - t \\ z = 2 \end{cases} .

C.

\{\begin{cases} x = 1 - t \\ y = 2 - t \\ z = 2 - t \end{cases} .

D. $\{\begin{cases} x = 1 - t \\ y = 2 - t \\ z = 2 \end{cases} .$

Xem đáp án

Chọn D.

Phương trình tham số của đường thẳng $d : \{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 + t \\ z = 3 + t \end{cases}$

Gọi D là đường thẳng cần tìm. Theo đề bài d cắt D nên gọi $I = Δ \cap d = > I \in d$ suy ra $I (1 + t; 2 + t; 3 + t)$ .

Ta có $\vec{M I} = (t; t; t + 1)$ ; mặt phẳng (P) có VTPT là $\vec{n} = (1; - 1; 1)$

D song song với mặt phẳng (P) nên $\vec{M I} ⊥ \vec{n} < = > \vec{M I} . \vec{n} = 0 < = > 1. t + (- 1) . t + 1. (1 + t) = 0 < = > t = - 1$

$= > \vec{M I} = (- 1; - 1; 0)$ là 1 VTCP của đường thẳng D và D đi qua điểm M(1;2;2)

Vật PTTS của đường thẳng D cần tìm là $\{\begin{cases} x = 1 - t' \\ y = 2 - t' \\ z = 2 \end{cases}$ .

Câu 31:

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ có $u_{4} = - 12$ và $u_{14} = 18.$ Giá trị công sai của cấp số cộng đó là

A. d = 4

B. d = -3

C. d= 3

D. d = -2

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có $u_{14} = u_{1} + 13 d = u_{4} + 10 d = 18 \Rightarrow d = 3.$

Vậy công sai của cấp số cộng là d= 3

Câu 32:

Cho số phức $z = a + b i (a, b \in ℝ)$ thỏa mãn $|z| = 1.$ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A = |z + 2| + 2 |z - 2| .$

A. $10 \sqrt{2} .$

B. 7.

C. 10.

D.

5 \sqrt{2}

.

Xem đáp án

Chọn D.

Ta có:

$\begin{array}{l} | z + 2 |^{2} = {(a + 2)}^{2} + b^{2}; | z - 2 |^{2} = {(a - 2)}^{2} + b^{2} \\ = > | z + 2 |^{2} + | z - 2 |^{2} = 2 (a^{2} + b^{2}) + 8 = 2 | z |^{2} + 8 = 10 \end{array}$

Ta có: $A^{2} = {(| z + 2 | + 2 | z - 2 |)}^{2} \leq (1^{2} + 2^{2}) (| z + 2 |^{2} + | z - 2 |^{2}) = 50$ .

Vì $A \geq 0$ nên từ đó suy ra $A \leq \sqrt{50} = 5 \sqrt{2}$

Vậy giá trị lớn nhất của A là $5 \sqrt{2}$

Câu 33:

Cho hàm số $f (x)$ có đạo hàm $f' (x) = x {(x - 1)}^{2} {(x - 2)}^{5} {(x - 3)}^{7} .$ Số điểm cực trị của hàm số đã cho là:

A. 3.

B. 1.

C. 4.

D. 2.

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có $f' (x) = 0 \Leftrightarrow x {(x - 1)}^{2} {(x - 2)}^{5} {(x - 3)}^{7} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 1 \\ x = 2 \\ x = 3 \end{array} .$

Bảng xét dấu $f' (x)$ như sau:

Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) = x(x-1)^2(x-2)^5(x-3)^7. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là: (ảnh 1)

Từ bảng xét dấu ta thấy $f' (x)$ có 3 lần đổi dấu nên hàm số đã cho có 3 điểm cực trị.

Câu 34:

Cho hàm số $f (x)$ có bảng biến thiên như hình vẽ.

Cho hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ. Điểm cực đại của hàm số đã cho là: (ảnh 1)

Điểm cực đại của hàm số đã cho là:

A. x = -3.

B. x = 3.

C. x = -1.

D. x = 1

Xem đáp án

Chọn D.

Hàm số đạt cực đại tại điểm x mà $f' (x)$ đổi dấu từ dương sang âm.

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = 1

Câu 35:

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x + 1}{x - 1}$ là

A. y = -1.

B. y = 1.

C. $y = \frac{1}{2} .$

D. y = 2.

Xem đáp án

Chọn D.

Ta có $\lim_{x \to \pm \infty} \frac{2 x + 1}{x - 1} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{2 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x}} = 2.$ Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 2

Câu 36:

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên? (ảnh 1)

A. $y = - x^{4} + 2 x^{2} .$

B. $y = x^{2} - 2 x + 1.$

C. $y = x^{3} - 3 x + 1.$

D. $y = - x^{3} + 3 x + 1$

Xem đáp án

Chọn D.

Đường cong có dạng của đồ thị hàm số bậc 3 với hệ số a < 0 nên chỉ có hàm số $y = - x^{3} + 3 x + 1$ thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 37:

Cho hàm số $f (x)$ xác định và có đạo hàm $f' (x)$ liên tục trên đoạn [1;3] và $f (x) \neq 0$ với mọi $x \in [1; 3]$ , đồng thời $f' (x) + {(1 + f (x))}^{2} = {[{(f (x))}^{2} (x - 1)]}^{2}$ và $f (1) = - 1 .$ Biết rằng $\int_{1}^{3} f (x) d x = a \ln 3 + b, a, b \in ℤ .$ Tính tổng $S = a + b^{2} .$

A. S = -1.

B. S = 2.

C. S = 0.

D. S= -4.

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có: $f' (x) {(1 + f (x))}^{2} = {[{(f (x))}^{2} (x - 1)]}^{2} < = > \frac{f' (x) {(1 + f (x))}^{2}}{f^{4} (x)} = {(x - 1)}^{2.}$

Lấy nguyên hàm 2 vế ta được $\int \frac{f' (x) {(1 + f (x))}^{2}}{f^{4} (x)} d x = \int {(x - 1)}^{2} d x$

$\begin{array}{l} < = > \int \frac{(1 + 2 f (x) + f^{2} (x)) f' (x)}{f^{4} (x)} d x = \int {(x - 1)}^{2} d x \\ < = > \int (\frac{1}{f^{4} (x)} + 2 \frac{1}{f^{3} (x)} + \frac{1}{f^{2} (x)}) d (f (x)) = \frac{{(x - 1)}^{3}}{3} + C \\ < = > - \frac{1}{3 f^{3} (x)} - \frac{1}{f^{2} (x)} - \frac{1}{f (x)} = \frac{{(x - 1)}^{3}}{3} + C \\ < = > - \frac{1 + 3 f (x) + 3 f^{2} (x)}{3 f^{3} (x)} = \frac{{(x - 1)}^{3}}{3} + C \end{array}$

Mà $f (1) = - 1 = > - \frac{1 - 3 + 3}{- 3} = C = > C = \frac{1}{3}$

$\begin{array}{l} = > - \frac{1 + 3 f (x) + 3 f^{2} (x)}{3 f^{3} (x)} = \frac{{(x - 1)}^{3}}{3} + \frac{1}{3} \\ < = > \frac{1 + 3 f (x) + 3 f^{2} (x)}{3 f^{3} (x)} + \frac{1}{3} = - \frac{{(x - 1)}^{3}}{3} \\ < = > \frac{{(1 + f (x))}^{3}}{f^{3} (x)} = - {(x - 1)}^{3} \\ < = > {(1 + \frac{1}{f (x)})}^{3} = {(1 - x)}^{3} \\ < = > f (x) = \frac{- 1}{x} . \end{array}$

Vậy $\int_{1}^{3} f (x) d x = \int_{1}^{3} \frac{- 1}{x} d x = - \ln | x | |\begin{array}{l} 3 \\ 1 \end{array} = - \ln 3$ . Suy ra $a = - 1; b = 0$ hay $a + b = - 1$ .

Câu 38:

Cho hàm số bậc bốn $y = f (x)$ có đồ thị là đường cong trong hình bên.

Số nghiệm của phương trình $f (x) = - \frac{1}{2}$ là

A. 2.

B. 3.

C. 4.

D. 1

Xem đáp án

Chọn A.

Số nghiệm của phương trình $f (x) = - \frac{1}{2}$ bằng số nghiệm của đồ thị hàm số $y = f (x)$ và đường thẳng $y = - \frac{1}{2} .$

Dựa vào đồ thị ta thấy: đồ thị hàm số $y = f (x)$ và $y = - \frac{1}{2} .$ đường thẳng cắt nhau tại 2 điểm.

Nên phương trình $f (x) = - \frac{1}{2}$ có 2 nghiệm.

Câu 39:

Cho hai số phức $z_{1} = 5 i$ và $z_{2} = 2020 + i .$ Phần thực của số $z_{1} z_{2}$ bằng

A. -5

B. 5.

C. -10100.

D. 10100.

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có: $z_{1} z_{2} = 5 i (2020 + i) = - 5 + 10100 i \Rightarrow$ Phần thực của số phức $z_{1} z_{2}$ là -5

Câu 40:

$\int_{0}^{1} e^{3 x + 1} d x$ bằng:

A.

e^{3} - e .

B.

\frac{1}{3} (e^{4} + e) .

C.

e^{4} - e .

D.

\frac{1}{3} (e^{4} - e) .

Xem đáp án

Chọn D.

Ta có $\int_{0}^{1} e^{3 x + 1} d x = \frac{1}{3} \int_{0}^{1} e^{3 x + 1} d (3 x + 1) = \frac{1}{3} e^{3 x + 1} |\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} = \frac{1}{3} (e^{4} - e) .$

Câu 41:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $(P) : x - 2 y + z - 5 = 0$ . Điểm nào dưới đây thuộc (P)?

A. M(1;1;6)

B. N(-5;0;0)

C. P(0;0;-5)

D. Q(2;-1;5)

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có $1 - 2.1 + 6 - 5 = 0$ nên M(1;1;6) thuộc mặt phẳng (P)

Câu 42:

Tìm đạo hàm của hàm số $y = \log_{7} x$ với (x>0)

A.

y' = \frac{7}{x} .

B.

y' = \frac{1}{x} .

C.

y' = \frac{1}{x \ln 7} .

D.

y' = \frac{\ln 7}{x} .

Xem đáp án

Chọn C.

Đạo hàm của hàm số $y = \log_{7} x$ là $y' = \frac{1}{x \ln 7} .$

Câu 43:

Cho khối chóp có diện tích đáy B = 6a²và chiều cao h = 2a. Thể tích khối chóp đã cho bằng:

A. 12a³.

B. 2a³.

C. 4a³.

D. 6a³.

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có $V = \frac{1}{3} B . h = \frac{1}{3} 6 a^{2} .2 a = 4 a^{3} .$

Câu 44:

Có bao nhiêu bộ $(x; y)$ với x, y nguyên và $1 \leq x, y \leq 2020$ thỏa mãn $(x y + 2 x + 4 y + 8) \log_{3} (\frac{2 y}{y + 2}) \leq (2 x + 3 y - x y - 6) \log_{2} (\frac{2 x + 1}{x - 3}) ?$

A. 4034.

B. 2.

C. 2017.

D. 2017 x 2020.

Xem đáp án

Chọn A

Điều kiện $\{\begin{cases} x, y \in N * : x, y \leq 2020 \\ \frac{2 x + 1}{x - 3} > 0, \frac{2 y}{y + 2} > 0 \end{cases} < = > \{\begin{cases} x, y \in N * : x, y \leq 2020 \\ x > 3, y > 0 \end{cases} .$

BPT cho có dạng $(x - 3) (y - 2) \log_{2} (\frac{x + 4}{x - 2} + 1) + (x + 4) (y + 2) \log_{3} (\frac{y - 2}{y + 2} + 1) \leq 0 (*) .$

Xét y = 1 thì (*) thành $- (x - 3) \log_{2} (\frac{x + 4}{x - 3} + 1) + 3 (x + 4) \log_{3} \frac{2}{3} \leq 0$ , rõ ràng BPT này nghiệm đúng với mọi x > 3 vì $- (x - 3) < 0; \log_{2} (\frac{x + 4}{x - 3} + 1) > \log_{2} (0 + 1) = 0, 3 (x + 4) > 0, \log_{3} \frac{2}{3} < 0.$

Như vậy trường hợp này cho ta đúng 2017 bộ $(x; y) = (x; 1)$ với $4 \leq x \leq 2020, x \in ℕ .$

Xét y = 2 thì (*) thành $4 (x + 4) \log_{3} 1 \leq 0,$ BPT này cũng luôn đúng với mọi x mà $4 \leq x \leq 2020, x \in ℕ .$

Trường hợp này cho ta 2017 cặp (x;y) nữa.

Với y > 2, x > 3 thì VT(*) > 0 nên (*) không xảy ra

Vậy có đúng 4034 bộ số (x;y) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 45:

Cho hình lăng trụ đều ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng 2a (minh họa như hình vẽ). Cosin của góc hợp bởi (A'BC) và (ABC) bằng

A. $\frac{\sqrt{21}}{3}$ .

B. $\frac{\sqrt{21}}{7}$ .

C. $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

D. $\frac{2}{\sqrt{7}}$ .

Xem đáp án

Chọn B.

Cho hình lăng trụ đều ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng 2a (minh họa như hình vẽ). (ảnh 2)

Gọi I là trung điểm của BC, khi đó $B C ⊥ A I$ và $B C ⊥ A A'$ nên $B C ⊥ (A A' I) \Rightarrow B C ⊥ A' I .$ Vậy góc hợp bởi (A'BC) và (ABC) bằng AIA'.

Ta có $A I = \frac{2 a \sqrt{3}}{2} = a \sqrt{3}, A A' = 2 a \Rightarrow \tan A I A' = \frac{A A'}{A I} = \frac{2 a}{a \sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} .$

Mặt khác: $1 + \tan^{2} A I A' = \frac{1}{\cos^{2} A I A'} \Rightarrow \cos^{2} A I A' = \frac{1}{1 + \tan^{2} A I A'} = \frac{1}{1 + \frac{4}{3}} = \frac{3}{7} \Rightarrow \cos A I A' = \frac{\sqrt{21}}{7} .$

Câu 46:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều, $S A ⊥ (A B C) .$ Mặt phẳng (SBC) cách A một khoảng bằng a và hợp với mặt phẳng (ABC) góc $30^{0}$ . Thể tích của khối chóp S.ABC bằng:

A. $\frac{8 a^{3}}{9}$ .

B. $\frac{\sqrt{3} a^{3}}{12} .$

C. $\frac{4 a^{3}}{9}$ .

D. $\frac{8 a^{3}}{3} .$

Xem đáp án

Chọn A.

Gọi I là trung điểm của BC suy ra góc giữa (SBC)và (ABC) là $S I A = 30^{0} .$

H là hình chiếu vuông góc của A trên SI suy ra $d (A, (S B C)) = A H = a .$

Xét tam giác AHI vuông tại H suy ra $A I = \frac{A H}{\sin 30^{0}} = 2 a .$

Giả sử tam giác đều ABC có cạnh bằng x mà AI là đường cao suy ra $2 a = x \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x = \frac{4 a}{\sqrt{3}} .$

Diện tích tam giác đều ABC là $S_{A B C} = {(\frac{4 a}{\sqrt{3}})}^{2} . \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{4 a^{2} \sqrt{3}}{3} .$

Xét tam giác SAI vuông tại A suy ra $S A = A I . \tan 30^{0} = \frac{2 a}{\sqrt{3}} .$

Vậy $V_{S . A B C} = \frac{1}{3} . S_{A B C} . S A = \frac{1}{3} . \frac{4 a^{2} \sqrt{3}}{3} . \frac{2 a}{\sqrt{3}} = \frac{8 a^{3}}{9} .$

Câu 47:

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. $\int \frac{1}{x} d x = \ln |x| + C .$

B. $\int x^{e} d x = \frac{x^{e + 1}}{e + 1} + C .$

C.

\int e^{x} d x = \frac{e^{x + 1}}{x + 1} + C .

D.

\int \cos 2 x d x = \frac{1}{2} \sin 2 x + C .

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có $\int_{}^{} e^{x} d x = \frac{e^{x + 1}}{x + 1} + C$ sai vì $\int_{}^{} e^{x} d x = e^{x} + C .$

Câu 48:

Trong không gian Oxyz, cho $\vec{a} = (- 2; 2; 0), \vec{b} = (2; 2; 0), \vec{c} = (2; 2; 2) .$ Giá trị của $|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|$ bằng

A. $2 \sqrt{6} .$

B. 11.

C.

2 \sqrt{11} .

D. 6.

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có: $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = (2; 6; 2) .$

Vậy $|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}| = 2 \sqrt{11} .$

Câu 49:

Phương trình $3^{x^{2} - 2 x} = 1$ có nghiệm là

A. x = 0; x = 2

B. x = -1; x = 3

C. x = 0; x = -2

D. x = 1; x = -3

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có $3^{x^{2} - 2 x} = 1 \Leftrightarrow 3^{x^{2} - 2 x} = 3^{0} \Leftrightarrow x^{2} - 2 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 2 \end{array} .$

Câu 50:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d : \frac{x - 3}{2} = \frac{y + 1}{- 2} = \frac{z - 5}{3} .$ Vectơ sau đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d?

A. $\vec{u_{2}} = (1; - 2; 3) .$

B. $\vec{u_{4}} = (- 2; - 4; 6) .$

C.

\vec{u_{3}} = (2; 6; - 4) .

D.

\vec{u_{1}} = (3; - 1; 5) .

Xem đáp án

Chọn A.

Ta thấy đường thẳng d có một vectơ chỉ phương có tọa độ $\vec{u_{2}} = (1; - 2; 3) .$