50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 35 đề minh họa THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 có lời giải (Đề 12)

Câu 1:

Một lớp học có 15 bạn nam và 10 bạn nữ. Số cách bầu ra một lớp trưởng ?

A. 300

B. 25

C. 150

D. 50

Xem đáp án

Chọn B

Câu 2:

Cho cấp số nhân $(u_{n})$ với $u_{4} = 3$ và $u_{5} = 1$ . Công bội của cấp số nhân đã cho bằng

A. -2

B. 2

C. $\frac{1}{3}$

D. 3

Xem đáp án

Chọn C

Câu 3:

Hàm số nào sau đây không có cực trị

A. $y = x^{3} + x^{2} + 1$ .

B.

y = \frac{x + 1}{x - 1}

C.

y = x^{4} + 3 x^{3} + 2

.

D.

y = \frac{x^{2} + x}{x - 1}

.

Xem đáp án

Chọn B

Câu 4:

Cho hàm số $y = f (x)$ có bảng biến thiên như sau

Hàm số $y = f (x)$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(- 1; 0)$ .

B.

(- \infty; - 1)

.

C.

(0; 1)

.

D.

(- 1; 1)

.

Xem đáp án

Chọn A

Câu 5:

Số giao điểm của đường cong và đường thẳng y = 1 - 2x là

A. 1

B. 2

C. 3

D. 0

Xem đáp án

Chọn A

Câu 6:

Nghiệm của phương trình $\log (1 - 2 x) = 1$ là

A. $x = - \frac{9}{2}$ .

B.

x = \frac{9}{2}

.

C.

x = \frac{11}{2}

.

D.

x = - \frac{11}{2}

.

Xem đáp án

Chọn A

Câu 7:

Đồ thị hàm số $y = \frac{2 x + 5}{x - 1}$ có các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là

A. x = 1 và y = 2.

B. x = 2 và y = 1.

C. x = -1 và y = 3.

D. x = -1 và y = -3.

Xem đáp án

Chọn A

Câu 8:

Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên R và có bảng biến thiên:

Khẳng định nào sau đây sai?

A. $M (0; - 3)$ là điểm cực tiểu của hàm số.

B. Đồ thị hàm số có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu.

C. f(2) được gọi là giá trị cực đại của hàm số.

D.

x_{0} = 2

được gọi là điểm cực đại của hàm số.

Xem đáp án

Chọn A

Câu 9:

Đồ thị hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?

A. $y = - x^{4} + 2 x^{2} + 2$ .

B.

y = x^{4} - 2 x^{2} + 2

.

C.

y = x^{4} - 4 x^{2} + 2

.

D.

y = - x^{4} + 4 x^{2} + 2

.

Xem đáp án

Chọn B

Câu 10:

Cho a là số thực dương khác 4. Tính $I = \log_{\frac{a}{4}} (\frac{a^{3}}{64})$

A. $I = 3$ .

B.

I = \frac{1}{3}

.

C.

I = - 3

.

D.

I = \frac{- 1}{3}

.

Xem đáp án

Chọn A

Câu 11:

Tìm tập xác định D của hàm số .

A.

B.

.

C.

.

D.

.

Xem đáp án

Chọn C

Câu 12:

Cho biểu thức $P = \sqrt[5]{x^{3} . \sqrt[3]{x^{2} . \sqrt{x}}}$ , với $x > 0$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A. $P = x^{\frac{31}{10}}$ .

B.

P = x^{\frac{23}{30}}

.

C.

P = x^{\frac{53}{30}}

.

D.

P = x^{\frac{37}{15}}

.

Xem đáp án

Chọn B

Câu 13:

Trong không gian $O x y z$ , cho vectơ $\vec{O M} = \vec{i} - 3 \vec{j} + 4 \vec{k}$ . Gọi $M^{'}$ là hình chiếu vuông góc của M trên mp $O x y$ . Khi đó tọa độ của điểm M' trong hệ tọa độ $O x y z$ là

A. $(1; - 3; 4)$

B.

(1; 4; - 3)

C.

(0; 0; 4)

D.

(1; - 3; 0)

.

Xem đáp án

Chọn D

Câu 14:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $O x y z$ , xác định tọa độ tâm II và bán kính r của mặt cầu (S): $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 6 y - 8 z + 1 = 0.$

A. $I (1; - 3; 4)$ , r = 5.

B.

I (- 1; 3; - 4)

, r = 5.

C.

I (1; - 3; 4)

, r = 25.

D.

I (1; - 3; 4)

, r = 25.

Xem đáp án

Chọn A

Câu 15:

Tính

\int (x - \sin 2 x) d x

.

A. $\frac{x^{2}}{2} + \sin x + C$ .

B.

\frac{x^{2}}{2} + \cos 2 x + C

.

C.

x^{2} + \frac{\cos 2 x}{2} + C

.

D.

\frac{x^{2}}{2} + \frac{\cos 2 x}{2} + C

.

Xem đáp án

Chọn C

Câu 16:

Cho hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn $[1; 5]$ và thỏa $\int_{1}^{5} f (x) d x = 1$ , $\int_{1}^{5} g (x) d x = 2021$ . Khi đó giá trị của $\int_{1}^{5} [2 f (x) + g (x)] d x$ là

A. 4036

B. 4037

C. 2022

D. 2023

Xem đáp án

Chọn D

Câu 17:

Cho hàm số f(x) liên tục trên R và $\int_{0}^{2} (f (x) + 3 x^{2}) d x = 10$ . Tính $\int_{0}^{2} f (x) d x$ .

A. 2

B. -2

C. 18

D. -18

Xem đáp án

Chọn A

Câu 18:

Cho số phức z thỏa mãn $z (1 + 2 i) = 4 - 3 i$ . Tìm số phức liên hợp $\bar{z}$ của z.

A. $\bar{z} = \frac{- 2}{5} - \frac{11}{5} i$ .

B.

= \frac{2}{5} - \frac{11}{5} i

.

C.

= \frac{- 2}{5} + \frac{11}{5} i

.

D.

= \frac{2}{5} + \frac{11}{5} i

.

Xem đáp án

Chọn C

Câu 19:

Cho hai số phức $z_{1} = 2 - i$ và $z_{2} = 1 + i$ . Trên mặt phẳng tọa độ $O x y$ , điểm biểu diễn của số phức $2 z_{1} + z_{2}$ có tọa độ là

A. $(0; 5)$ .

B.

(5; - 1)

.

C.

(- 1; 5)

.

D.

(5; 0)

.

Xem đáp án

Chọn B

Câu 20:

Cho hai số phức $z_{1} = 1 + i$ và $z_{2} = 2 - 3 i$ . Tính môđun của số phức $z_{1} + z_{2}$ .

A. $|z_{1} + z_{2}| = 1$ .

B.

|z_{1} + z_{2}| = \sqrt{5}

.

C.

|z_{1} + z_{2}| = \sqrt{13}

.

D.

|z_{1} + z_{2}| = 5

.

Xem đáp án

Chọn C

Câu 21:

Cho hình chóp

S . A B C

có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và thể tích của khối chóp đó bằng

\frac{a^{3}}{4}

. Tính cạnh bên SA.

A. $\frac{a \sqrt{3}}{2}$

B.

\frac{a \sqrt{3}}{3}

C.

a \sqrt{3}

D.

2 a \sqrt{3}

Xem đáp án

Chọn C

Câu 22:

Thể tích của khối lập phương bằng 27 thì độ dài cạnh của khối lập phương đó bằng:

A. 3

B. $3 \sqrt{3}$

C. 2

D. $\sqrt{3}$

Xem đáp án

Chọn A

Câu 23:

Gọi r,h,l lần lượt là bán kính đáy, chiều cao và đường sinh của một khối nón. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $l^{2} = h^{2} + r^{2}$ .

B.

h^{2} = l^{2} + r^{2}

.

C.

r^{2} = h^{2} + l^{2}

.

D.

l = h + r

.

Xem đáp án

Chọn A

Câu 24:

Cho khối trụ có thể tích bằng $45 π$ $ c m^{3}$ , chiều cao bằng 5 cm. Tính bán kính đáy R của khối trụ đã cho.

A. R = 3 cm.

B. R = 4,5 cm .

C. R = 9 cm.

D. R =

3 \sqrt{3}

cm.

Xem đáp án

Chọn A

Câu 25:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $O x y z$ , cho ba điểm $A (1; 2; 3)$ , $B (- 3; 0; 1)$ , $C (5; - 8; 8)$ .Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC

A. $G (3; - 6; 12)$ .

B.

G (- 1; 2; - 4)

.

C.

G (1; - 2; - 4)

.

D.

G (1; - 2; 4)

Xem đáp án

Chọn D

Câu 26:

Trong không gian với hệ tọa độ $Ox y z$ , cho mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 8 x + 2 y + 1 = 0$ . Tìm tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu (S).

A. $I (- 4; 1; 0), R = 2.$

B.

I (- 4; 1; 0), R = 4.

C.

I (4; - 1; 0), R = 2.

D.

I (4; - 1; 0), R = 4.

Xem đáp án

Chọn D

Câu 27:

Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ , cho mặt phẳng $(P) : 2 x - y + z - 3 = 0$ . Điểm nào trong các phương án dưới đây thuộc mặt phẳng $(P)$

A. $M (2; 1; 0)$ .

B.

M (2; - 1; 0)

.

C.

M (- 1; - 1; 6)

.

D.

M (- 1; - 1; 2)

.

Xem đáp án

Chọn A

Câu 28:

Trong không gian $O x y z$ , vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm $M (2; - 1; 1)$ và điểm $N (1; 2; - 3)$ .

A. ${\vec{u}}_{_{1}} = (1; 3; 4)$ .

B.

{\vec{u}}_{_{2}} = (- 1; - 3; 4)

.

C.

{\vec{u}}_{_{1}} = (1; - 3; - 4)

.

D.

\vec{u_{4}} = (1; - 3; 4)

.

Xem đáp án

Chọn D

Câu 29:

Lấy ngẫu nhiên một thẻ từ một hộp chứa 20 thẻ được đánh số từ 1 đến 20. Xác suất để lấy được thẻ ghi số chia hết cho 3 là

A. $\frac{1}{20}$ .

B.

\frac{3}{10}

C.

\frac{1}{2}

.

D.

\frac{3}{20}

.

Xem đáp án

Chọn B

Câu 30:

Hàm số nào sau đây nghịch biến trên tập số thực R

A. $y = \sin x$ .

B.

y = \sqrt{1 - x}

.

C.

y = \frac{1}{x}

.

D.

y = - 2 x - x^{3}

.

Xem đáp án

Chọn D

Câu 31:

Gọi $M, m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \frac{3 \sin x + 2}{\sin x + 1}$ trên đoạn $[0; \frac{π}{2}]$ . Khi đó giá trị của $M^{2} + m^{2}$ là

A. $\frac{9}{2}$ .

B.

\frac{11}{2}

.

C.

\frac{41}{4}

.

D.

\frac{61}{4}

.

Xem đáp án

Chọn C

Câu 32:

Gọi S là tập các giá trị nguyên thuộc tập nghiệm của bất phương trình $\log_{2} (1 + x) < 2$ . Khi đó, tổng các phần tử thuộc tập S bằng

A. 6

B. 4

C. 5

D. 3

Xem đáp án

Chọn B

Câu 33:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm liên tục trên R và có đồ thị như hình bên. Tính $I = \int_{- 1}^{3} [f' (x) + 2 x] d x$ .

A . I = 6

B. I = 10

C. I = 12

D. I = 9

Xem đáp án

Chọn C

Câu 34:

Cho số phức $z = {(\frac{2 + 6 i}{3 - i})}^{m},$ m nguyên dương. Có bao nhiêu giá trị $m \in [1; 2021]$ để z là số thuần ảo?

A. 1010

B. 2021

C. 1011

D. 2022

Xem đáp án

Chọn C

Câu 35:

Cho hình chóp $S . A B C $ có đáy ABC là tam giác vuông tại C với AB = a. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính góc giữa đường thẳng SC và $(A B C)$ .

A. $60^{o}$ .

B.

30^{o}

.

C.

90^{o}

.

D.

45^{o}

.

Xem đáp án

Chọn A

Câu 36:

Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy ABCD là hình chữ nhật, $A B = 2 a, A D = 4 a$ , $S A ⊥ (A B C D)$ , SC tạo với đáy góc $60 °$ . Gọi M là trung điểm của BC, N là điểm trên cạnh AD sao cho. Khoảng cách giữa MN và SB là

A. $\frac{2 a \sqrt{285}}{19}$ .

B.

\frac{a \sqrt{285}}{19}

.

C.

\frac{2 a \sqrt{95}}{19}

.

D.

\frac{8 a}{\sqrt{19}}

.

Xem đáp án

Chọn A

Câu 37:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $O x y z$ , cho mặt cầu (S) có tâm $I (2; 1; - 4)$ và mặt phẳng $(P) : x + y - 2 z + 1 = 0$ . Biết rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 1. Viết phương trình mặt cầu (S).

A. $(S) : {(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z + 4)}^{2} = 25$ .

B.

(S) : {(x + 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z - 4)}^{2} = 13

.

C.

(S) : {(x + 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z - 4)}^{2} = 25

.

D.

(S) : {(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z + 4)}^{2} = 13

.

Xem đáp án

Chọn B

Câu 38:

Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ , cho tam giác ABC có $A (- 1; 3; 2),$ $B (2; 0; 5),$ $C (0; - 2; 1)$ . Viết phương trình đường trung tuyến AM của tam giác ABC.

A. $A M : \frac{x + 1}{2} = \frac{y - 3}{- 4} = \frac{z - 2}{1}$ .

B.

A M : \frac{x - 2}{1} = \frac{y + 4}{- 1} = \frac{z + 1}{3}

.

C.

A M : \frac{x - 1}{- 2} = \frac{y + 3}{4} = \frac{z + 2}{- 1}

.

D.

A M : \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 3}{- 4} = \frac{z + 2}{1}

.

Xem đáp án

Chọn A

Câu 39:

Cho hàm số f(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình dưới đây:

Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình có nghiệm thuộc nửa khoảng là

A. .

B.

.

C.

.

D.

.

Xem đáp án

Chọn A

Trước hết, xét hàm số

. Cho .

Ta có BBT của t(x) như sau:

.

Câu 40:

Tìm tham số m để tồn tại duy nhất cặp số (x; y) thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau $\log_{2021} (x + y) \leq 0$ và

A. m = 2.

B.

m = \frac{- 1}{3}

.

C.

m = \frac{- 1}{2}

.

D. m= 0.

Xem đáp án

Chọn C

Xét hệ bất phương trình: $\{\begin{cases} \log_{2021} (x + y) \leq 0 (1) \\ x + y + \sqrt{2 x y + m} \geq 1 (2) \end{cases}$

(x; y) là nghiệm hệ bất phương trình thì (y; x) cũng là nghiệm của hệ bất phương trình. Do đó hệ có nghiệm duy nhất $\Rightarrow$ x = y.

Câu 41:

Cho hàm số với a,b là các tham số thực. Biết rằng f(x) có đạo hàm trên R. Tích phân (với ). Giá trị m + 2n bằng:

A. 19

B. $\frac{13}{3}$

C. 16

D. 20

Xem đáp án

Chọn A

Câu 42:

Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ , cho đường thẳng d và mặt phẳng (P) lần lượt có phương trình $\frac{x + 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z - 2}{1}$ và $x + y - 2 z + 8 = 0$ , điểm $A (2; - 1; 3)$ . Phương trình đường thẳng $Δ$ cắt d và (P) lần lượt tại M và N sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng MN là

A. $\frac{x + 1}{3} = \frac{y + 5}{4} = \frac{z - 5}{2}$ .

B.

\frac{x - 2}{6} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 3}{2}

.

C.

\frac{x - 5}{6} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z - 5}{2}

.

D.

\frac{x - 5}{3} = \frac{y - 3}{4} = \frac{z - 5}{2}

.

Xem đáp án

Chọn D

Do $M \in d$ , gọi tọa độ điểm $M (- 1 + 2 t; t; 2 + t)$ .

Do $A (2; - 1; 3)$ là trung điểm MN nên suy ra tọa độ $N (5 - 2 t; - 2 - t; 4 - t)$ .

Do điểm $N \in (P)$ nên ta có: $(5 - 2 t) + (- 2 - t) - 2 (4 - t) + 8 = 0$ . Giải ra ta được t = 3.

Suy ra tọa độ điểm $M (5; 3; 5)$ .

Đường thẳng $Δ$ đi qua hai điểm A, M có phương trình là $\frac{x - 5}{3} = \frac{y - 3}{4} = \frac{z - 5}{2}$ .

Câu 43:

Cho số phức z thỏa mãn $(1 + 2 i) |z| = \frac{6 \sqrt{10}}{z} - 3 + 4 i$ . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. $|z| = 3$ .

B.

|z| = 2 \sqrt{10}

.

C.

|z| = 6

.

D.

|z| = \sqrt{10}

.

Xem đáp án

Chọn A

$(1 + 2 i) |z| = \frac{6 \sqrt{10}}{z} - 3 + 4 i$ $\Leftrightarrow (|z| + 3) + (2 |z| - 4) i = \frac{6 \sqrt{10}}{z}$ $\Rightarrow \sqrt{{(|z| + 3)}^{2} + {(2 |z| - 4)}^{2}} = \frac{6 \sqrt{10}}{|z|}$

$\Rightarrow {|z|}^{2} (5 {|z|}^{2} - 10 |z| + 25) = 360$ $\Leftrightarrow {|z|}^{4} - 2 {|z|}^{3} + 5 {|z|}^{2} - 72 = 0$ $\Leftrightarrow (|z| - 3) ({|z|}^{3} + {|z|}^{2} + 8 |z| + 24 = 0)$

$\Leftrightarrow |z| = 3$ (do ${|z|}^{3} + {|z|}^{2} + 8 |z| + 24 > 0$ )

Vậy $|z| = 3$ .

Câu 44:

Cho hình chóp tứ giác đều SABCD gọi M là trung điểm SB. Tính thể tích của khối chóp SABCD biết tam giác MAC là tam giác đều cạnh 2a

A. $\frac{2 a^{3} \sqrt{11}}{3} \cdot$

B.

\frac{a^{3} \sqrt{2}}{12} \cdot

C.

\frac{a^{3} \sqrt{3}}{6} \cdot

D.

\frac{2 a^{3} \sqrt{33}}{3} \cdot

Xem đáp án

Chọn A

Gọi O là giao điểm của AC và BD, khi đó $S O ⊥ (A B C D)$ .

Tam giác MAC là tam giác đều cạnh 2a nên AC= 2a

Tứ giác ABCD là hình vuông nên $A C = A B \sqrt{2} \Leftrightarrow A B = \frac{2 a}{\sqrt{2}} = a \sqrt{2}$

Diện tích đáy: $S_{ñ} = A B^{2} = 2 a^{2}$

Trong $Δ S B C$ :

$\begin{array}{l} C M^{2} = \frac{C S^{2} + C B^{2}}{2} - \frac{S B^{2}}{4} = \frac{S B^{2} + 2 C B^{2}}{4} \\ \Leftrightarrow S B^{2} = 4 C M^{2} - 2 C B^{2} = 16 a^{2} - 4 a^{2} = 12 a^{2} \\ \Leftrightarrow S B = 2 a \sqrt{3} \end{array}$

$Δ S B O : S O = \sqrt{S B^{2} - B O^{2}} = \sqrt{12 a^{2} - a^{2}} = a \sqrt{11}$

Thể tích của khối chóp $S . A B C D$ là:

$V = \frac{1}{3} S O . S_{ñ} = \frac{1}{3} . a \sqrt{11} .2 a^{2} = \frac{2 a^{3} \sqrt{11}}{3}$ .

Câu 45:

Một chiếc bút chì có dạng khối lăng trụ lục giác đều cạnh đáy bằng 3mm và chiều cao bằng 200 mm. Thân bút chì được làm bằng gỗ và phần lõi làm bằng than chì. Phần lõi có dạng khối trụ có chiều cao bằng chiều dài của bút và đáy là hình tròn có bán kính bằng 1 mm. Giả định $1 m^{3}$ gỗ có giá a (triệu đồng), $1 m^{3}$ than chì có giá 7a (triệu đồng). Khi đó giá nguyên vật liệu làm một bút chì như trên gần với kết quả nào dưới đây?

A. 84,5a (đồng).

B. 90, 07 a (đồng).

C. 8,45 a (đồng).

D. 9,07 a (đồng).

Xem đáp án

Chọn C

(Hình minh họa đáy của bút chì)

Thể tích của khối trụ bằng $V_{1} = π r^{2} h = 200 π (m m^{3})$ .

Thể tích của khối lăng trụ bằng $V = S . h = 6. (\frac{3^{2} \sqrt{3}}{4}) .200 = 2700 \sqrt{3} (m m^{3})$ .

Thể tích của phần gỗ làm bút chì bằng $V_{2} = V - V_{1} = 2700 \sqrt{3} - 200 π (m m^{3})$ .

Vậy giá nguyên vật liệu bằng $V_{1} .7 a + V_{2} . a = (7.200 π + (2700 \sqrt{3} - 200 π)) {.10}^{- 9} . a {.10}^{6} \approx 8,45. a$ (đồng).

Câu 46:

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau

Đồ thị hàm số $y = |f (x - 2018) + 2019|$ có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 5

B. 4

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Chọn D

Xét hàm số $g (x) = f (x - 2018) + 2019$

$g^{'} (x) = {(x - 2018)}^{'} f^{'} (x - 2018) = f^{'} (x - 2018)$

$g^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x - 2018 = - 1 \\ x - 2018 = 3 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2017 \\ x = 2021 \end{array}$

Ta có $g (2017) = f (2017 - 2018) + 2019 = 4038$ ;

$g (2021) = f (2021 - 2018) + 2019 = 0$ ;

Bảng biến thiên hàm g(x)

Khi đó bảng biến thiên $|g (x)|$ là

Vậy hàm số $y = |f (x - 2018) + 2019|$ có ba điểm cực trị.

Câu 47:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của $y \in (- 25; 25)$ sao cho tồn tại số thực x thỏa mãn phương trình $2021^{x} + y = \log_{2021} (x - y)$ ?

A. 24

B. 25

C. 9

D. 26

Xem đáp án

Chọn A

Ta có $2021^{x} + y = \log_{2021} (x - y) \Leftrightarrow 2021^{x} + x = \log_{2021} (x - y) + (x - y)$

$\Leftrightarrow 2021^{x} + x = \log_{2021} (x - y) + 2021^{\log_{2021} (x - y)}$

$\Leftrightarrow x = \log_{2021} (x - y)$ (vì $f (t) = 2021^{t} + t$ đồng biến trên R).

$\Leftrightarrow y = x - 2021^{x}$ (*).

Xét hàm số $g (x) = x - 2021^{x} \Rightarrow g^{'} (x) = 1 - 2012^{x} . \ln 2021 \Rightarrow g^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x = \log_{2021} (\frac{1}{\ln 2021})$ .

Từ bảng biến thiên suy ra phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi $m \leq \log_{2021} (\frac{1}{\ln 2021}) - \frac{1}{\ln 2021} \approx - 0,398$ .

Mà $m \in (- 25; 25)$ và $m \in ℤ$ nên $m \in \{- 24; - 23; ...; - 1\}$ .

Câu 48:

Cho hàm số $y = x^{2}$ xác định trên đoạn $[0; 1]$ . Giả sử t là một số bất kì thuộc đoạn $[0; 1]$ . Gọi $S_{1}$ là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường x = 0, $y = t^{2}$ và $y = x^{2}$ , còn $S_{2}$ là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = x^{2}$ , x = t và y = 1. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $S_{1} + S_{2}$ bằng

A. $\frac{11}{12}$ .

B.

\frac{5}{6}

.

C.

\frac{6}{5}

.

D.

\frac{12}{11}

.

Xem đáp án

Ta có

\begin{array}{l} S_{1} = t^{3} - \int_{0}^{t} x^{2} d x = \frac{2 t^{3}}{3}, \\ S_{2} = \int_{t}^{1} x^{2} d x - t^{2} (t - 1) = \frac{2}{3} t^{3} - t^{2} + \frac{1}{3} . \end{array}

Suy ra

$f (t) = S_{1} + S_{2} = \frac{2}{3} t^{3} - t^{2} + \frac{1}{3} .$

Ta có $f' (t) = 4 t^{2} - 2 t, f' (t) = 0 \Leftrightarrow t = 0 \lor t = \frac{1}{2},$ ta lập bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên, ta tìm được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $S_{1} + S_{2}$ lần lượt là $\frac{1}{4}$ và $\frac{2}{3}$ , do đó tổng của chúng là $\frac{11}{12}$ .

Câu 49:

Xét hai số phức $z_{1}$ , $z_{2}$ thay đổi thỏa mãn $| z_{1} - z_{2} | = | z_{1} + z_{2} - 1 - 2 i | = 4$ . Gọi A, B lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức $| z_{1} |^{2} + | z_{2} |^{2}$ . Giá trị của biểu thức A + B là

A. 37

B. -37

C. $4 \sqrt{5}$

D. $8 \sqrt{5}$

Xem đáp án

Xét hình bình hành $O M P Q$ , ở đó ÔPO là gốc tọa độ, M, Q lần lượt là điểm biểu diễn cho hai số phức $z_{1}$ , $z_{2}$ , từ đó suy ra điểm PPP biểu diễn cho số phức $z_{1} + z_{2}$ . Áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta có

$\begin{array}{l} |z_{1} + z_{2}| - | 1 + 2 i | \leq |z_{1} + z_{2} - 1 - 2 i| \leq |z_{1} + z_{2}| + | 1 + 2 i | \\ \Rightarrow 4 - \sqrt{5} \leq |z_{1} + z_{2}| \leq 4 + \sqrt{5} . \end{array}$

Theo công thức hình bình hành, ta có $O P^{2} + M Q^{2} = 2 (O M^{2} + O Q^{2})$ . Từ đó suy ra

$| z_{1} + z_{2} |^{2} + | z_{1} - z_{2} |^{2} = 2 (| z_{1} |^{2} + | z_{2} |^{2}) \Rightarrow | z_{1} |^{2} + | z_{2} |^{2} = \frac{1}{2} (16 + | z_{1} + z_{2} |^{2}) .$

Theo chứng minh trên, ta có $21 - 8 \sqrt{5} \leq | z_{1} + z_{2} |^{2} \leq 21 + \sqrt{5}$ nên

$\frac{37}{2} - 4 \sqrt{5} = \frac{1}{2} (16 + {(4 - \sqrt{5})}^{2}) \leq {|z_{1} + z_{2}|}^{2} \leq \frac{1}{2} (16 + {(4 - \sqrt{5})}^{2}) = \frac{37}{2} + 4 \sqrt{5} .$

Từ đó suy ra $A = \frac{1}{2} (16 + {(4 - \sqrt{5})}^{2}) = \frac{37}{2} - 4 \sqrt{5}$ và $B = \frac{1}{2} (16 + {(4 + \sqrt{5})}^{2}) = \frac{37}{2} + 4 \sqrt{5}$ .

Vậy A + B = 37.

Câu 50:

Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ , cho mặt cầu (S) có đường kính AB, $I (3; 2; - 2)$ là trung điểm AB. Gọi (P) là mặt phẳng vuông góc với đoạn AB tại H sao cho khối nón đỉnh A và đáy là đường tròn (C) ((C) là giao của (S) và (P)) có thể tích lớn nhất. Biết (C) có bán kính $r = \frac{2 \sqrt{10}}{3}$ , viết phương trình mặt cầu (S).

A. ${(x - 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 40$ .

B.

{(x - 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 5

.

C.

{(x + 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 5

.

D.

{(x - 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = \sqrt{5}

.

Xem đáp án

Mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R, (C) có tâm H, bán kính r. Đặt $A H = x$ $(0 < x < 2 R)$ , ta có

$V_{(N)} = \frac{1}{3} A H \cdot S_{(C)} = \frac{1}{3} A H \cdot π r^{2} .$

Do AB là đường kính nên ta có $r^{2} = A H \cdot H B = x (2 R - x)$ . Khi đó

$V_{(N)} = \frac{π}{3} x^{2} (2 R - x) = \frac{π}{3} (- x^{3} + 2 R x^{2}) = \frac{π}{3} f (x)$ .

Xét hàm số $f (x) = - x^{3} + 2 R x^{2}$ trên $(0; 2 R)$ , $f^{'} (x) = - 3 x^{2} + 4 R x$ , $f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \frac{4}{3} R . \end{array}$

Bảng biến thiên f(x):

Dựa vào bảng biến thiên, ta có $V_{(N)}$ lớn nhất khi $x = \frac{4}{3} R$ hay $A H = \frac{2}{3} A B$ . Mà $A H \cdot H B = r^{2} = \frac{40}{9}$ . Suy ra

$\frac{2}{3} A B \cdot \frac{1}{3} A B = \frac{40}{9} \Rightarrow A B = 2 \sqrt{5} \Rightarrow R = \sqrt{5} .$

Suy ra $(S) : {(x - 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 5$ .