50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia có lời giải (Đề 4)

Câu 1:

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số đạt cực đại tại x=0 và cực tiểu tại x=2

B. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 2 và giá trị nhỏ nhất bằng -2

C. Hàm số có ba điểm cực trị

D. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 2

Xem đáp án

Chọn A.

Quan sát đồ thị của hàm số y=f(x) ta có hàm số đạt cực đại tại x=0 và cực tiểu tại x=2

Câu 2:

Cho hình nón có chiều cao bằng 3 (cm), góc giữa trục và đường sinh bằng $60 °$ Thể tích khối nón bằng

A. $V = 27 π (c m^{3}) .$

B. $V = 9 π (c m^{3}) .$

C. $V = 18 π (c m^{3}) .$

D. $V = 54 π (c m^{3}) .$

Xem đáp án

Chọn A.

Bán kính đáy của hình nón là $r = 3 . \tan 60^{0} = 3 \sqrt{3} .$ Vậy thể tích khối nón đó là

$V = \frac{1}{3} . π . {(3 \sqrt{3})}^{2} . 3 = 27 π (c m^{3}) .$

Câu 3:

Số cách chọn 5 học sinh trong một lớp có 25 học sinh nam và 16 học sinh nữ là

A. $C_{41}^{5}$

B. $C_{25}^{5}$

C. $A_{41}^{5}$

D. $C_{25}^{5} + C_{16}^{5}$

Xem đáp án

Chọn A.

Số cách chọn 5 học sinh trong một lớp có 25 học sinh nam và 16 học sinh nữ là $C_{41}^{5} .$

Câu 4:

Công thức tính thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy là B và chiều cao h là

A. $V = \frac{1}{3} B h .$

B. $V = B h .$

C. $V = \frac{1}{2} B h .$

D. $V = \frac{2}{3} B h .$

Xem đáp án

Chọn B.

Công thức tính thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy là B và chiều cao h là V=Bh

Câu 5:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y = \frac{(m + 1) x - 2}{x - m}$ đồng biến trên từng khoảng xác định của nó?

A. 1

B. 2

C. 0

D. 3

Xem đáp án

Chọn B.

Tập xác định: $D = R \ \{m\} .$

Ta có: $y' = \frac{- m (m + 1) + 2}{{(x - m)}^{2}} = \frac{- m^{2} - m + 2}{{(x - m)}^{2}} .$

Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định

$\Leftrightarrow y' > 0, \forall x \in D \Leftrightarrow - m^{2} - m + 2 > 0 \Leftrightarrow - 2 < m < 1 .$

Do $m \in Z \Rightarrow m = \{- 1; 0\} .$

Câu 6:

Cho hình trụ có bán kính đáy r=5(xm) và khoảng cách giữa hai đáy bằng 7(cm). Diện tích xung quanh của hình trụ là

A. $35 π (c m^{2}) .$

B. $60 π (c m^{2}) .$

C. $70 π (c m^{2}) .$

D. $120 π (c m^{2}) .$

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có $S_{x q} = 2 π r h = 2 π . 5.7 = 70 π (c m^{2}) .$

Câu 7:

Họ nguyên hàm của hàm số $y = x^{2} + x$ là:

A. $\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} .$

B. $x^{3} + x^{2} + C .$

C. $\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + C .$

D. $1 + 2 x + C .$

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có $\int_{}^{} (x^{2} + x) d x = \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + C .$

Câu 8:

Cho các số thực dương a,b thỏa mãn $\log_{2} a = x, \log_{2} b = y .$ Tính $P = \log_{2} (a^{2} b^{3})$

A. $p = x^{2} y^{3} .$

B. $P = x^{2} + y^{3} .$

C. $P = 2 x + 3 y .$

D. $P = 6 x y .$

Xem đáp án

Chọn C.

$P = \log_{2} (a^{2} b^{3}) = \log_{2} a^{2} + \log_{2} b^{3} = 2 \log_{2} a + 3 \log_{2} b = 2 x + 3 y .$

Câu 9:

Tính tổng S của các nghiệm của phương trình $\log_{3} x + \log_{3} (x - 1) + \log_{\frac{1}{3}} 6 = 0$

A. S=3

B. S=5

C. S=-1

D. S=1

Xem đáp án

Chọn A.

Câu 10:

Thể tích V của khối cầu có bán kính R=4 bằng

A. $V = 48 π .$

B. $V = \frac{256}{3} π .$

C. $V = 64 π .$

D. $V = 36 π .$

Xem đáp án

Chọn B.

Thể tích của khối cầu có bán kính R=4 và $V = \frac{4}{3} π R^{3} = \frac{4}{3} π . 4^{3} = \frac{256}{3} π$ (đơn vị thể tích)

Câu 11:

Trong không gian Oxyz cho vectơ $\vec{a}$ biểu diễn của các vectơ đơn vị là $\vec{a} = 2 \vec{i} - 3 \vec{j} + \vec{k} .$ Tọa độ của vectơ $\vec{a}$ là

A. $(1; - 3; 2) .$

B. $(1; 2; - 3) .$

C. $(2; 1; - 3) .$

D. $(2; - 3; 1) .$

Xem đáp án

Chọn D.

Ta có $\vec{i} = (1; 0; 0), \vec{j} = (0; 1; 0), \vec{k} = (0; 0; 1)$

nên $\vec{a} = 2 \vec{i} - 3 \vec{j} + \vec{k} = 2 . (1; 0; 0) - 3 (0; 1; 0) + (0; 0; 1) = (2; - 3; 1) .$

Câu 12:

Một người gửi tiết kiệm với lãi suất 8,4%/năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn. Hỏi sau bao nhiêu năm người đó thu được gấp đôi số tiền ban đầu?

A. 8 năm

B. 7 năm

C. 6 năm

D. 9 năm

Xem đáp án

Chọn D.

Ta có công thức lãi kép $S = A {(1 + r)}^{n}$ với S là số tiền thu được sau n năm, A là số tiền gửi ban đầu và r là lãi suất.

Theo bài ra ta có $2 A = A {(1 + 8, 4 %)}^{n} \Leftrightarrow 2 = {(1 + 8, 4 %)}^{n} \Rightarrow n = \log_{1 + 8, 4 %} 2 \approx 8, 59 .$

Vậy sau 9 năm thì người đó thu được số tiền gấp đôi ban đầu.

Câu 13:

Cho hàm số f(x) có đạo hàm là $f' (x) = x {(x + 1)}^{2} {(x - 2)}^{4}, \forall x \in R .$ Số điểm cực tiểu của hàm số y=f(x) là

A. 3

B. 0

C. 2

D. 1

Xem đáp án

Chọn D.

$f' (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = - 1 \\ x = 2 \end{array} .$

Lập bảng biến thiên ta có:

Vậy hàm số có 1 điểm cực tiểu.

Câu 14:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB=a, BC=2a đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA=3a. Thể tích của khối chóp S.ABCD bằng

A. $3 a^{3} .$

B. $a^{3} .$

C. $6 a^{3} .$

D. $2 a^{3} .$

Xem đáp án

Chọn D.

Ta có $S A ⊥ (A B C D) \Rightarrow S A$ là chiều cao của hình chóp S.ABCD.

Câu 15:

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ với $u_{1} = - 2$ và $u_{3} = 4 .$ Công sai của cấp số cộng đã cho bằng

A. d=2

B. d=6

C. d=-2

D. d=3

Xem đáp án

Chọn D.

Ta có $u_{3} = u_{1} + 2 d \Leftrightarrow 4 = - 2 + 2 d \Leftrightarrow d = 3 .$

Câu 16:

Đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x - 3}{x + 1}$ là

A. x=1 và y=-3

B. x=1 và y=2

C. x=-1 và y=2

D. x=2 và y=1

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có $\lim_{x \to - 1^{+}} \frac{2 x - 3}{x + 1} = - \infty$ và $\lim_{x \to - 1^{-}} \frac{2 x - 3}{x + 1} = + \infty \Rightarrow x = - 1$ là tiệm cận đứng.

Ta có $\lim_{x \to \pm \infty} \frac{2 x - 3}{x + 1} = 2 \Rightarrow y = 2$ là tiệm cận ngang.

Câu 17:

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như hình sau

Số nghiệm của phương trình f(x)=-3 là

A. 0

B. 2

C. 1

D. 3

Xem đáp án

Chọn B.

Số nghiệm của phương trình f(x)=-3 là số giao điểm của hai đồ thị hàm số y=f(x) và y=-3

Từ bảng biến thiên, ta thấy đồ thị hàm số y=f(x) và y=-3 có hai điểm chung là $x_{1} < - 1$ và $x_{2} = - 1 .$ Nên phương trình f(x)=-3 có hai nghiệm.

Câu 18:

Thể tích của khối nón có chiều cao bằng 4 và đường sinh bằng 5 là

A. 48 $π$

B. 12 $π$

C. 16 $π$

D. 36 $π$

Xem đáp án

Chọn B.

Từ giả thiết, ta có bán kính đáy của khối nón tương ứng là $\sqrt{5^{2} - 4^{2}} = 3 .$

Áp dụng công thức thể tích nón, ta được $V = \frac{1}{3} π . r^{2} . h = \frac{1}{3} . π . 3^{2} . 4 = 12 π .$

Câu 19:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt cầu tâm I(2;1;-3) và tiếp xúc với trục Oy có phương trình là

A. ${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z + 3)}^{2} = 13 .$

B. ${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z + 3)}^{2} = 9 .$

C. ${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z + 3)}^{2} = 4 .$

D. ${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z + 3)}^{2} = 10$

Xem đáp án

Chọn A.

Vì mặt cầu cần tìm tiếp xúc với trục Oy nên khoảng cách từ tâm I(2;1;-3) đển Oy là bán kính mặt cầu cần tìm.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên Oy khi đó $H (0; 1; 0) .$

Do đó $R = H I = \sqrt{2^{2} + 0^{2} + {(- 3)}^{2}} = \sqrt{13} .$

Câu 20:

Tính đạo hàm của hàm số $y = 2021^{x}$ ta được đáp án đúng là?

A. $y' = x . 2021^{x - 1} . \ln 2021$

B. $y' = x . 2021^{x - 1}$

C. $y' = \frac{2021^{x}}{\ln 2021} .$

D. $y' = 2021^{x} . \ln 2021$

Xem đáp án

Chọn D.

Áp dụng công thức ${(a^{u})}^{'} = a^{u} . \ln a . u',$ ta có $y = 2021^{x}$ có $y' = 2021^{x} . \ln 2021 .$

Câu 21:

Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương có cạnh bằng a

A. $R = \frac{a \sqrt{3}}{2} .$

B. $R = \frac{a \sqrt{6}}{2} .$

C. $R = a \sqrt{3} .$

D. $R = a \sqrt{2} .$

Xem đáp án

Câu 22:

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như sau

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(- 1; 1) .$

B. Hàm số đồng biến trên khoảng $(- 1; + \infty) .$

C. Hàm số đồng biến trên khoảng $(- \infty; 1) .$

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(- 1; 3) .$

Xem đáp án

Chọn A.

Hàm số nghịch biến trên khoảng (-1;1)

Hàm số đồng biến trên khoảng $(- \infty; - 1)$ và $(1; + \infty) .$

Câu 23:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình $x^{3} - 3 x^{2} - m = 0$ có 3 nghiệm phân biệt?

A. 3

B. 4

C. 1

D. 2

Xem đáp án

Chọn A

Theo bài, $x^{3} - 3 x^{2} - m = 0 \Leftrightarrow x^{3} - 3 x^{2} = m (1)$

Nhận xét: Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của đồ thị hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2}$ và đường thẳng y=m

Xét hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2}$ ta có $y' = 3 x^{2} - 6 x; y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 2 \end{array} .$

Bảng biến thiên

Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow y (2) < m < y (0) \Leftrightarrow - 4 < m < 0 .$

Do $m \in Z \Rightarrow m \in \{- 3; - 2; - 1\} .$

Câu 24:

Trong không gian Oxyz cho điểm A(1;2;3). Tìm tọa độ điểm $A_{1}$ là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng Oxyz

A. $A_{1} (1; 0; 3) .$

B. $A_{1} (1; 2; 0) .$

C. $A_{1} (1; 0; 0) .$

D. $A_{1} (0; 2; 3) .$

Xem đáp án

Chọn D.

Tọa độ điểm $A_{1}$ là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng Oyz là $A_{1} (0; 2; 3) .$

Câu 25:

Bảng biến thiên sau đây là của hàm số nào?

A. $y = - \frac{1}{4} x^{4} + 3 x^{2} - 3 .$

B. $y = - x^{4} + 2 x^{2} - 3 .$

C. $y = x^{4} + 2 x^{2} - 3 .$

D. $y = x^{4} - 2 x^{2} - 3 .$

Xem đáp án

Chọn D.

Dựa vào đồ thị ta có $\lim_{x \to + \infty} = + \infty$ nên a>0. Do đó loại đáp án A và B.

Hàm số có 3 cực trị ab<1 nên do đó loại đáp án C.

Câu 26:

Cho hàm số $f (x) = \log_{2} x,$ với x>0. Tính giá trị biểu thức $P = f (\frac{2}{x}) + f (x) .$

A. P=0

B. P=1

C. $P = \log_{2} (\frac{2 + x^{2}}{x}) .$

D. $P = \log_{2} (\frac{x}{2}) . \log_{2} x .$

Xem đáp án

Câu 27:

Giải bất phương trình $\log_{2} (3 x - 2) > \log_{2} (6 - 5 x)$ được tập nghiệm là (a;b) Tính tích T=a.b

A. $T = \frac{18}{15} .$

B. $T = \frac{28}{15} .$

C. $T = \frac{6}{5} .$

D. $T = \frac{8}{3}$

Xem đáp án

Câu 28:

Cho a là số thực dương khác 1. Tính $I = \log_{2} \sqrt[3]{a} .$

A. I=3

B. $I = \frac{1}{3} .$

C. I=0

D. I=-3

Xem đáp án

Câu 29:

Tập xác định của hàm số $y = \log_{3} (x + 1)$ là

A. $(- 1; + \infty) .$

B. $(1; + \infty) .$

C. $(0; + \infty) .$

D. $[- 1; + \infty) .$

Xem đáp án

Câu 30:

Cho hàm số $y = \frac{x^{2} - 2 x + m^{2} + 1}{x - 1}$ có đồ thị (C). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để (C) có tiệm cận đứng

A. $m \in R$

B. $m \in \emptyset$

C. $m \neq 0 .$

D. m=0

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có $x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1 .$

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x=1 khi $1^{2} - 2.1 + m^{2} + 1 \neq 0 \Leftrightarrow m \neq 0 .$

Câu 31:

Phương trình $3^{2 x + 1} - 4 . 3^{x} + 1 = 0$ có hai nghiệm $x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2}) .$ Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $x_{1} + 2 x_{2} = - 1 .$

B. $x_{1} . x_{2} = \frac{1}{3} .$

C. $x_{1} + x_{2} = \frac{4}{3} .$

D. $2 x_{1} + x_{2} = 0 .$

Xem đáp án

Câu 32:

Một vật chuyển động theo quy luật $s = - \frac{1}{3} t^{3} + 6 t^{2}$ với t (giây) là khoảng thời gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật di chuyển được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 7 giây, kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu?

A. 180m/s

B. 24m/s

C. 144m/s

D. 36m/s

Xem đáp án

Chọn D.

Ta có $v = s' = - t^{2} + 12 t = 36 - (t^{2} - 12 t + 36) = 36 - {(t - 6)}^{2} \leq 36$

Vậy vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng 36m/s tại t=6

Câu 33:

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có thể tích bằng V. Tính thể tích khối đa diện ABCB'C'.

A. $\frac{3 V}{4} .$

B. $\frac{V}{4} .$

C. $\frac{2 V}{3} .$

D. $\frac{V}{2} .$

Xem đáp án

Câu 34:

Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số dưới đây?

A. $y = x^{3} - 3 x^{2} + 1 .$

B. $y = \frac{x + 1}{x - 1} .$

C. $y = - x^{3} + 3 x^{2} - 1 .$

D. $y = x^{4} - x^{2} + 1 .$

Xem đáp án

Chọn A.

Hình vẽ trên là đồ thị của hàm số bậc ba đi qua điểm (0;1) nên hàm số cần tìm là $y = x^{3} - 3 x^{2} + 1 .$

Câu 35:

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $\int_{}^{} \frac{1}{1 - 4 x} d x = - \frac{1}{4} . \ln |8 x - 2| + C .$

B. $\int_{}^{} \frac{1}{1 - 4 x} d x = \ln |1 - 4 x| + C .$

C. $\int_{}^{} \frac{1}{1 - 4 x} d x = - \frac{1}{4} . \ln |1 - 4 x| + C .$

D. $\int_{}^{} \frac{1}{1 - 4 x} d x = - 4 . \ln \frac{1}{|1 - 4 x|} + C .$

Xem đáp án

Câu 36:

Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình $\log_{2} (x^{2} - 3 x + 2 m) = \log_{2} (x + m)$ có nghiệm?

A. 7

B. 9

C. 8

D. 10

Xem đáp án

Câu 37:

Cho a,b là hai số thực dương thỏa mãn $\log_{5} (\frac{4 a + 2 b + 5}{a + b}) = a + 3 b - 4 .$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T = a^{2} + b^{2} .$

A. $\frac{3}{2}$

B. 1

C. $\frac{5}{2}$

D. $\frac{1}{2}$

Xem đáp án

Câu 38:

Cho hàm số f(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ dưới đây

Số nghiệm của phương trình $\frac{f^{3} (x) + 3 f^{2} (x) + 4 f (x) + 2}{\sqrt{3 f (x) + 1}} = 3 f (x) + 2$ là

A. 8

B. 9

C. 6

D. 7

Xem đáp án

Dựa vào hình vẽ ta suy ra phương trình f(x)=0 có 3 nghiệm và phương trình f(x)=1 có 6 nghiệm (các nghiệm này không trùng các nghiệm của phương trình f(x)=0)

Vậy phương trình đã cho có 9 nghiệm.

Câu 39:

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ bên

Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình $f (2 \sin x + 1) = m$ có nghiệm thuộc nửa khoảng $[0; \frac{π}{6})$ là

A. $[- 2; 2) .$

B. $(0; 2]$

C. $(- 2; 0]$

D. $(- 2; 0) .$

Xem đáp án

Chọn C.

Đặt $t = 2 \sin x + 1 .$

Với $x \in [0; \frac{π}{6}) \Rightarrow t \in [1; 2) .$

Phương trình $f (2 \sin x + 1) = m$ có nghiệm khi và chỉ khi phương trình f(t)=m có nghiệm $t \in [1; 2) .$

Từ đồ thị suy ra, $m \in (- 2; 0] .$

Câu 40:

Cho hàm số y=f(x) xác định trên R và hàm số y=f'(x) có đồ thị như hình vẽ.

Tìm số điểm cực trị của hàm số $y = f (x^{2} - 3) .$

A. 5

B. 2

C. 4

D. 3

Xem đáp án

Chọn D.

Trong 5 nghiệm của phương trình y'=0 hai nghiệm x=2 và x=-2 là nghiệm bội chẵn nên khi x qua đó đạo hàm không bị đổi dấu.

Do đó hàm số $y = f (x^{2} - 3)$ có 3 điểm cực trị

Câu 41:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng $60 °$ Thể tích của khối chóp S.ABCD là

A. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{3} .$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{9} .$

C. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{6} .$

D. $a^{3} \sqrt{3} .$

Xem đáp án

Câu 42:

Người ta chế tạo một thiết bị hình trụ như hình vẽ bên. Biết hình trụ nhỏ phía trong và hình trụ lớn phía ngoài có chiều cao bằng nhau và có bán kính lần lượt là $r_{1}, r_{2}$ thỏa mãn $r_{2} = 3 r_{1} .$ Tỉ số thể tích của phần nằm giữa hai hình trụ và hình trụ nhỏ là

A. 6

B. 4

C. 9

D. 8

Xem đáp án

Chọn D.

Thể tích của khối trụ lớn là $V_{2} = π r_{2}^{2} h = 9 π r_{1}^{2} h .$

Thể tích của khối trụ nhỏ là $V_{1} = π r_{1}^{2} h .$

Suy ra thể tích phần nằm giữa hai hình trụ là $V = V_{2} - V_{1} = 8 π r_{1}^{2} h .$

Vậy tỉ số thể tích của phần nằm giữa hai hình trụ và hình trụ nhỏ là $\frac{V}{V_{1}} = \frac{8 π r_{1}^{2} h}{π r_{1}^{2} h} = 8 .$

Câu 43:

Cho hình lập phương ABCD.MNPQ cạnh bằng a. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng(CNQ)

A. $\frac{a \sqrt{2}}{2} .$

B. $\frac{a \sqrt{3}}{2} .$

C. $\frac{2 a \sqrt{3}}{2} .$

D. $\frac{a \sqrt{3}}{4} .$

Xem đáp án

Chọn C.

Gọi $\{O\} = M P \cap N Q, \{H\} = A P \cap C O .$

Nhận xét: Hình chiếu vuông góc của AP lên mặt phẳng (CDQP) là $D P ⊥ C Q$ suy ra $A P ⊥ C Q$ ; hình chiếu vuông góc của AP lên mặt phẳng (MNPQ) là $M P ⊥ N Q$ suy ra $A N ⊥ N Q .$ Vậy

Câu 44:

Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có AA'=2 đáy ABCD là hình thoi với ABC là tam giác đều cạnh 4. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của $B' C', C' D', D D'$ và Q thuộc cạnh BC sao cho QC=3QB. Tính thể tích tứ diện MNPQ

A. $\frac{3 \sqrt{3}}{2} .$

B. $3 \sqrt{3}$

C. $\frac{\sqrt{3}}{4} .$

D. $\frac{\sqrt{3}}{2} .$

Xem đáp án

Chọn D.

Từ Q kẻ $Q I ⊥ B' C',$ từ P kẻ $P H / / Q M$ , kéo dài MN cắt đường thẳng A'D' tại K như hình vẽ.

Theo giả thiết ABC là tam giác đều cạnh 4 suy ra $S_{Δ A B C} = 4 \sqrt{3} .$

Câu 45:

Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B và (SAB), (SAC) cùng vuông góc với (ABC). Biết $S (1; 2; 3), C (3; 0; 1),$ phương trình mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là

A. ${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 3 .$

B. ${(x + 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 9 .$

C. ${(x + 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 3 .$

D. ${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 9 .$

Xem đáp án

Chọn A.

Ta thấy $(S A B), (S A C)$ cùng vuông góc với (ABC) suy ra $S A ⊥ (A B C) \Rightarrow \{\begin{cases} A C ⊥ S A (1) \\ B C ⊥ S A \end{cases} .$ Mặt khác tam giác ABC vuông tại B nên $C B ⊥ S B (2) .$ Từ (1),(2) suy ra hai điểm A,B cùng nhìn đoạn SC dưới góc vuông nên hình chóp S.ABC nội tiếp trong mặt cầu đường kính SC. Mặt cầu này có tâm I(2;1;2) và bán kính $r = \frac{S C}{2} = \sqrt{3}$ nên phương trình là ${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 3 .$

Câu 46:

Cho hàm số $y = \frac{1}{3} x^{3} - (m + 2) x^{2} + (m^{2} + 4 m) x + 5$ với m là tham số thực. Tập hợp các giá trị để hàm số đồng biến trên khoảng (3;8) là

A. $(- \infty; - 1] .$

B. $(- \infty; - 1] \cup [8; + \infty) .$

C. $[3; 4] .$

D. $[8; + \infty) .$

Xem đáp án

Chọn B.

Ta có

$y' = x^{2} - 2 (m + 2) x + (m^{2} + 4 m), \forall x \in R y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = m \\ x = m + 4 \end{array} .$

Do $m < m + 4, \forall m$ nên ta có bảng biến thiên của hàm số đã cho như sau:

Hàm số đồng biến trên khoảng (3;8) khi và chỉ khi $[\begin{array}{l} 8 \leq m \\ m + 4 \leq 3 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 8 \geq m \\ m \leq - 1 \end{array} .$

Câu 47:

Có 60 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 60. Rút ngẫu nhiên 3 thẻ. Tính xác suất để tổng các số ghi trên 3 thẻ chia hết cho 3

A. $\frac{1}{12} .$

B. $\frac{517}{1711}$

C. $\frac{171}{1711} .$

D. $\frac{9}{89} .$

Xem đáp án

Chọn B.

Ta chia 60 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 60 thành 3 tập hợp:

Tập hợp các số chia hết cho 3 số có 20 số.

Tập hợp các số chia 3 dư 1 có 20 số.

Tập hợp các số chia 3 dư 2 có 20 số.

Số cách lấy 3 thẻ trong 60 thẻ là: $n (Ω) = C_{60}^{3}$

Rút 3 thẻ tổng chia hết cho 3 có các trường hợp sau:

TH1: Cả 3 thẻ chia hết cho 3: $C_{20}^{3}$

TH2: Cả 3 thẻ chia 3 dư 1: $C_{20}^{3}$

TH3: Cả 3 thẻ chia 3 dư 2: $C_{20}^{3}$

TH4: 1 thẻ chia hết 3, 1 thẻ chia 3 dư 1, 1 thẻ chia 3 dư 2 ${(C_{20}^{1})}^{3}$

$\Rightarrow n (A) = 3 C_{20}^{3} + {(C_{20}^{1})}^{3} = 11420 \Rightarrow P (A) = \frac{n (A)}{n (Ω)} = \frac{11420}{C_{60}^{3}} = \frac{517}{1711}$

Câu 48:

Tìm m để đồ thị hàm số $y = x^{4} - 2 m x^{2} + m^{2} - 1$ cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt

A. $m \leq - 1 .$

B. $- 1 \leq m \leq 1 .$

C. m>1

D. $[\begin{array}{l} m \leq - 1 \\ m \geq 1 \end{array} .$

Xem đáp án

Chọn C.

Phương trình hoành độ giao điểm: $x^{4} - 2 m x^{2} + m^{2} - 1 = 0 (1)$

Đặt $t = x^{2} \geq 0,$ khi đó (1) trở thành: $t^{2} - 2 m t + m^{2} - 1 = 0 (2) .$

Khi đó yêu cầu bài toán thỏa mãn khi phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} Δ' > 0 \\ S > 0 \\ P > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m^{2} - (m^{2} - 1) > 0 \\ 2 m > 0 \\ m^{2} - 1 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow m > 1 .$

Câu 49:

Cho hàm số $f (x) = 2020^{x} - 2020^{- x} .$ Tìm giá trị nguyên lớn nhất của tham số m để phương trình $f (\log_{2} x - m) + f (\log_{2}^{3} x) = 0$ có nghiệm $x \in (1; 16)$

A. 68

B. 65

C. 67

D. 69

Xem đáp án

Chọn C.

Xét hàm số $f (x) = 2020^{x} - 2020^{- x} .$

Tập xác định: D=R

Ta có:

$\forall x \in D \Rightarrow - x \in D; f (- x) = 2020^{- x} - 2020^{x} = - (2020^{x} - 2020^{- x}) = - f (x)$

Vậy hàm số $f (x) = 2020^{x} - 2020^{- x}$ là hàm số lẻ.

Lại có:

$f' (x) = 2020^{x} . \ln 2020 - 2020^{- x} . \ln 2020 . (- x)' = 2020^{x} . \ln 2020 + 2020^{- x} . \ln 2020 > 0 \forall x \in D$

Do đó hàm số $f (x) = 2020^{x} - 2020^{- x}$ luôn đồng biến trên R

Theo đề bài ta có:

$f (\log_{2} x - m) + f (\log_{2}^{3} x) = 0 \Leftrightarrow f (\log_{2} x - m) = - f (\log_{2}^{3} x) \Leftrightarrow f (\log_{2} x - m) = f (- \log_{2}^{3} x)$

(Do f(x) là hàm số lẻ)

Mặt khác hàm số f(x) luôn đồng biến trên R nên phương trình có nghiệm duy nhất:

$\log_{2} x - m = - \log_{2}^{3} x \Leftrightarrow m = \log_{2}^{3} x + \log_{2} x$

Đặt $\log_{2} x = 1 .$ Với $x \in (1; 16) \Rightarrow t \in (0; 4) .$

Yêu cầu bài toán trở thành, tìm m để phương trình:

$m = t^{3} + t$ có nghiệm $t \in (0; 4) .$

Xét hàm số $f (t) = t^{3} + t$ trên khoảng (0;4)

Ta có: $f' (t) = 3 t^{2} + t > 0 \forall t$ nên hàm số f(t) đồng biến trên (0;4)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy, để phương trình có nghiệm trên khoảng (0;4) thì: 0<m<68

Vậy giá trị nguyên lớn nhất của tham số m để phương trình $f (\log_{2} x - m) + f (\log_{2}^{3} x) = 0$ có nghiệm $x \in (1; 16)$ lầ m=67

Câu 50:

Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên đoạn [-1;5] có đồ thị của y=f'(x) được cho như hình bên dưới

Hàm số $g (x) = - 2 f (x) + x^{2} - 4 x + 4$ đồng biến trên khoảng

A. (0;2)

B. (-1;0)

C. (2;3)

D. (-2;-1)

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có:

$g' (x) = - 2 f' (x) + 2 x - 4 . g' (x) = 0 \Leftrightarrow f' (x) = x - 2 .$

Vẽ đường thẳng y=x-2 và đồ thị y=f'(x) trên cùng hệ trục tọa độ ta được hình sau