50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia có lời giải (Đề 14)

Câu 1:

Cho hàm số $y = a x^{4} + b x^{2} + c (a, b, c \in R)$ có đồ thị như hình vẽ bên

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là?

A. 3

B. 2

C. 1

D. 0

Xem đáp án

Chọn A.

Từ đồ thị ta có hàm số có ba điểm cực trị.

Câu 2:

Hàm số $y = 2^{x^{2} - x}$ có đạo hàm là

A. $2^{x^{2} - x} . \ln 2$

B. $(2 x - 1) . 2^{x^{2} - x} . \ln 2$

C. $(x^{2} - x) . 2^{x^{2} - x - 1}$

D. $(2 x - 1) . 2^{x^{2} - x}$

Xem đáp án

Chọn B.

Do $(a^{u})' = u' . a^{u} \ln a$ nên chọn B.

Câu 3:

Tìm tập xác định D của hàm số $y = \log_{3} (x^{2} - 4 x + 3)$

A. D=(1;3)

B. $D = (- \infty; 1) \cup (3; + \infty)$

C. $D = (- \infty; 2 - \sqrt{2}) \cup (2 + \sqrt{2}; + \infty)$

D. $D = (2 - \sqrt{2}; 1) \cup (3; 2 + \sqrt{2})$

Xem đáp án

Chọn B.

Hàm số xác định $\Leftrightarrow x^{2} - 4 x + 3 > 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x < 1 \\ x > 3 \end{array} .$

Vậy $D = (- \infty; 1) \cup (3; + \infty) .$

Câu 4:

Hình đa diện trong hình vẽ bên có bao nhiêu mặt?

A. 6.

B. 12.

C. 11.

D. 10.

Xem đáp án

Chọn B.

Từ hình vẽ, ta thấy hình đa diện trên có 12 mặt.

Câu 5:

Khối lập phương cạnh 2a có thể tích là:

A. $a^{2}$

B. $8 a^{3}$

C. $6 a^{3}$

D. $4 a^{2}$

Xem đáp án

Chọn B.

Thể tích khối lập phương là $V = {(2 a)}^{3} = 8 a^{3} .$

Câu 6:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y = \log (x^{2} - 2 m x + 4)$ có tập xác định là R

A. $- 2 \leq m \leq 2$

B. m=2

C. $[\begin{array}{l} m > 2 \\ m < - 2 \end{array}$

D. -2<m<2

Xem đáp án

Chọn D.

Hàm số $y = \log (x^{2} - 2 m x + 4)$ có tập xác định là

$R \Leftrightarrow x^{2} - 2 m x + 4 > 0 \forall x \in R . \begin{array}{l} \Leftrightarrow Δ' < 0 \\ \Leftrightarrow m^{2} - 4 < 0 \\ \Leftrightarrow - 2 < m < 2 \end{array}$

Câu 7:

Cho khối chóp có diện tích đáy $B = 6 a^{2}$ và chiều cao h=2a. Thể tích khối chóp đã cho bằng

A. $2 a^{3}$

B. $4 a^{3}$

C. $6 a^{3}$

D. $12 a^{3}$

Xem đáp án

Chọn B.

Thể tích của khối chóp là $V = \frac{1}{3} B . h = \frac{1}{3} . 6 a^{2} . 2 a = 4 a^{3}$

Câu 8:

Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đồng biến trên khoảng nào?

A. (0;1)

B. (-1;0)

C. (-1;1)

D. $(1; + \infty)$

Xem đáp án

Chọn A.

Nhìn vào BBT ta dễ thấy hàm số đồng biến trên khoảng (0,1)

Câu 9:

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{x + 1}{x - 1}$ là

A. x=1

B. y=1

C. y=0

D. y=2

Xem đáp án

Câu 10:

Cho hàm số y=f(x) có bảng xét dấu đạo hàm như sau

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng (-2;0)

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;2)

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(- \infty; 0)$

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(- \infty; - 2)$

Xem đáp án

Chọn B.

Nhìn vào bảng xét dấu đạo hàm ta thấy y'<0 trên khoảng (-2;0) nên hàm số nghịch biến trên khoảng (-2;0). Vậy đáp án B.

Câu 11:

Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau

Số nghiệm thực của phương trình f(x)-1=0 là

A. 2

B. 0

C. 4

D. 3

Xem đáp án

Chọn C.

Phương trình $f (x) - 1 = 0 \Leftrightarrow f (x) = 1 .$

Số nghiệm của phương trình $f (x) - 1 = 0$ chính bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y=f(x) và đường thẳng y=1

Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình f(x)-1=0 có 4 nghiệm thực.

Câu 12:

Số cạnh của một bát diện đều là

A. 10.

B. 8.

C. 6.

D. 12.

Xem đáp án

Chọn D.

Số cạnh của một bát diện đều là: 12.

Câu 13:

Giá trị của m để tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x + 1}{x + m}$ đi qua điểm M(2 ; 3) là

A. – 2

B. 2

C. 3

D. 0

Xem đáp án

Chọn A.

Đồ thị hàm số $y = \frac{2 x + 1}{x + m}$ có đường tiệm cận đứng là x=-m

Đường tiệm cận đứng đi qua điểm $M (2; 3) \Leftrightarrow - m = 2 \Leftrightarrow m = - 2 .$

Câu 14:

Xác định a,b để hàm số $y = \frac{a x - 1}{x + b}$ có đồ thị như hình vẽ bên. Chọn đáp án đúng?

A. a=1, b=-1

B. a=-1, b=1

C. a=1, b=1

D. a=-1, b=-1

Xem đáp án

Chọn C.

Đồ thị hàm số $y = \frac{a x - 1}{x + b}$ có đường tiệm cận đứng là x=-b và đường tiệm cận ngang là y=a

Theo đồ thị, ta có $\{\begin{cases} - b = - 1 \\ a = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 1 \\ b = 1 \end{cases} .$

Câu 15:

Một khối lập phương có độ dài đường chéo bằng $a \sqrt{6}$ . Thể tích khối lập phương đó là:

A. $V = 2 \sqrt{2} a^{3}$

B. $V = 3 \sqrt{3} a^{3}$

C. $V = 6 \sqrt{6} a^{3}$

D. $V = 64 a^{3}$

Xem đáp án

Chọn A.

Gọi cạnh của hình lập phương là x (x>0)

$\Rightarrow A C = \sqrt{x^{2} + x^{2}} = x \sqrt{2} .$

Xét tam giác AA'C là tam giác vuông tại A có:

$A' C = \sqrt{A C^{2} + A' A^{2}} = \sqrt{2 x^{2} + x^{2}} = x \sqrt{3}$

Theo bài ra ta có: $x \sqrt{3} = a \sqrt{6} \Rightarrow x = a \sqrt{2} .$

Thể tích của khối lập phương bằng $V = {(\sqrt{2} a)}^{3} = 2 \sqrt{2} a^{3} .$

Câu 16:

Cho hàm số $f (x) = \frac{2 x + 3}{x - 1}$ . Hàm số nghịch biến trên khoảng nào?

A. $(- \infty; + \infty)$

B. $(- \infty; 1)$

C. $(1; + \infty)$

D. $(- \infty; 1) v à (1; + \infty)$

Xem đáp án

Chọn D.

Tập xác định: D=R\{1}

Ta có: $f' (x) = \frac{2 (- 1) - 3}{{(x - 1)}^{2}} = - \frac{5}{{(x - 1)}^{2}} < 0, \forall x \neq 1 .$

Hàm số nghịch biến trên khoảng $(- \infty; 1)$ và $(1; + \infty) .$

Câu 17:

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như sau

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số có bốn điểm cực trị

B. Hàm số đạt cực tiểu tại x=2

C. Hàm số không có cực đại

D. Hàm số đạt cực tiểu tại x=-5

Xem đáp án

Chọn B.

Xét đáp án A hàm số có một điểm cực tiểu và một điểm cực đại vì vậy có hai điểm cực trị nên đáp án A là đáp án sai.

Xét đáp án B hàm số đạt điểm cực tiểu tại x=2 giá trị cực đại là y=-5 nên đáp án B là đáp án đúng, chọn đáp án B.

Xét đáp án C sai nên loại.

Xét đáp án D sai nên loại.

Câu 18:

Giá trị lớn nhất của hàm số $y = \frac{x + 4}{x - 2}$ trên đoạn [3;5] bằng

A. 3

B. -2

C. 5

D. 7

Xem đáp án

Chọn D.

Ta có: $y' = \frac{- 6}{{(x - 2)}^{2}} < 0$ với mọi $x \neq 2 .$

Hàm số luôn nghịch biến trên đoạn [3;5] và $f (3) = 7, f (5) = 3 .$

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số $y = \frac{x + 4}{x - 2}$ trên đoạn [3;5] là $\underset{[- 1; 2]}{m a x} f (x) = 7$ tại x=3 nên chọn đáp án D.

Câu 19:

Rút gọn biểu thức $a^{\frac{3}{2}} . a^{3}$ ta được

A. $a^{\frac{1}{2}}$

B. $a^{\frac{9}{2}}$

C. $a^{\frac{9}{4}}$

D. $a^{4}$

Xem đáp án

Chọn B.

Ta có $a^{\frac{3}{2}} . a^{3} = a^{\frac{3}{2} + 2} = a^{\frac{9}{2}} .$

Câu 20:

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ bên?

A. $y = x^{3} - 3 x + 1$

B. $y = - x^{3} + 3 x + 1$

C. $y = x^{4} - 2 x^{2} + 1$

D. $y = - x^{4} + 2 x^{2} + 1$

Xem đáp án

Chọn B.

Dựa vào đồ thị hàm số thấy đây là đồ thị của hàm số bậc 3 có hệ số a<0. Do đó chọn đáp án B.

Câu 21:

Cho khối chóp có đáy là hình vuông cạnh a và chiều cao bằng 2a. Thể tích của khối chóp đã cho bằng?

A. $4 a^{3}$

B. $\frac{4}{3} a^{3}$

C. $2 a^{3}$

D. $\frac{2}{3} a^{3}$

Xem đáp án

Chọn D.

Vì đáy là hình vuông cạnh a nên diện tích của đáy là $S = a^{2} .$

Thể tích của khối chóp đã cho là $V = \frac{1}{3} . h . S = \frac{1}{3} . 2 a . a^{2} = \frac{2}{3} a^{3} .$

Câu 22:

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như sau

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng?

A. 2

B. 3.

C. 0

D. -4

Xem đáp án

Chọn D.

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua x=3 do đó hàm số đạt cực tiểu tại x=3 và giá trị cực tiểu là $y_{C T} = y (3) = - 4 .$

Câu 23:

Giá trị lớn nhất của hàm số $f (x) = x^{4} - 4 x^{2} + 5$ trên đoạn [-2;3] bằng

A. 5

B. 50

C. 1

D. 122

Xem đáp án

Chọn B.

Ta có $f' (x) = 4 x^{3} - 8 x = 4 x (x^{2} - 2) .$

Giải $f' (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \in [- 2; 3] \\ x = \sqrt{2} \in [- 2; 3] \\ x = - \sqrt{2} \in [- 2; 3] \end{array}$

Tính $f (0) = 5; f (\sqrt{2}) = 1; f (- \sqrt{2}) = 1; f (- 2) = 5; f (3) = 50 .$

Suy ra $\underset{[- 2; 3]}{m a x} y = 50 = f (3) .$

Câu 24:

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình sau:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(0; + \infty)$

B. $(- \infty; 1)$

C. $(2; + \infty)$

D. (0;1)

Xem đáp án

Chọn C.

Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(- \infty; 0), (1; + \infty) .$

$\Rightarrow$ Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(2; + \infty) .$

Câu 25:

Cho hàm số f(x) có đạo hàm $f' (x) = (x - 1) (x + 2)^{2}, \forall x \in R$ . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

A. 3

B. 1

C. 5

D. 2

Xem đáp án

Chọn B.

Ta có $f' (x) = (x + 1) {(x + 2)}^{2} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = - 2 \end{array} .$ Do ${(x + 1)}^{2} \geq 0, \forall x \in R$ cho nên dấu f'(x) phụ thuộc vào biểu thức x+1 và f'(x) chỉ đổi dấu một lần. Hàm số f(x) có một cực trị.

Câu 26:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB=3a, BC=4a, SA=12a và SA vuông góc với đáy. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD

A. $R = \frac{13 a}{2}$

B. R=6a

C. $R = \frac{5 a}{2}$

D. $R = \frac{17 a}{2}$

Xem đáp án

Chọn A.

* Gọi O là tâm của hình chữ nhật ABCD. Dựng đường thẳng Ox vuông góc mặt phẳng đáy, ta có $O x / / S A \Rightarrow O x \cap S C = I .$ Dễ thấy, I là trung điểm của SC cách đều các đỉnh S,A,C và là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD ta có $R = \frac{S C}{2} .$

* Xét tam giác $A B C : A C = \sqrt{A B^{2} + B C^{2}} = \sqrt{9 a^{2} + 16 a^{2}} = 5 a .$

Xét tam giác $S A C : S C = \sqrt{S A^{2} + A C^{2}} = \sqrt{144 a^{2} + 25 a^{2}} = 13 a .$

Vậy $R = \frac{S C}{2} = \frac{13 a}{2} .$

Câu 27:

Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số $y = \frac{1}{3} x^{3} - m x^{2} + (m^{2} - 4) x + 3$ đạt cực đại tại x=3?

A. m=1

B. m=-1

C. m=-7

D. m=5

Xem đáp án

Chọn B.

Ta có $y' = x^{2} - 2 m x + m^{2} - 4, y'' = 2 x - 2 m .$

Vì x=3 là điểm cực đại của hàm số nên

* Khi m=1 ta có $y'' (3) = 4 > 0 \Rightarrow x = 3$ là điểm cực tiểu, không thỏa mãn.

* Khi m=5 ta có $y'' (3) = 6 - 10 = - 4 < 0 \Rightarrow x = 3$ là điểm cực tiểu, thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Câu 28:

Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{\sqrt{x + 9} - 3}{x^{2} + x}$ là

A. 3

B. 2

C. 0

D. 1

Xem đáp án

Chọn D.

* Xét $x^{2} + x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = - 1 \end{array} .$

* Ta có:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 9} - 3}{x^{2} + x} = \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{x + 9} - 3) (\sqrt{x + 9} + 3)}{(x^{2} + x) (\sqrt{x + 9} + 3)} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x (x + 1) (\sqrt{x + 9} + 3)} \lim_{x \to 0} \frac{1}{(x + 1) (\sqrt{x + 9} + 3)} = \frac{1}{6} .$

Đường thẳng x=0 không phải là tiệm cận đứng.

* Ta có: $\lim_{x \to - 1^{+}} \frac{\sqrt{x + 9} - 3}{x^{2} + x} = + \infty$ và $\lim_{x \to - 1^{-}} \frac{\sqrt{x + 9} - 3}{x^{2} + x} = - \infty$

Đường thẳng x=-1 là tiệm cận đứng.

Vậy đồ thị hàm số trên có một tiệm cận đứng

Câu 29:

Gọi $x_{1}; x_{2}$ là 2 nghiệm của phương trình $4^{x^{2} - x} + 2^{x^{2} - x + 1} = 3$ .Tính $|x_{1} - x_{2}|$

A. 3.

B. 0.

C. 2.

D. 1

Xem đáp án

Chọn D.

Ta có

$4^{x^{2} - x} + 2^{x^{2} - x + 1} = 3 \Leftrightarrow {(2^{x^{2} - x})}^{2} + 2 . 2^{x^{2} - x} - 3 = 0 \Leftrightarrow {(2^{x^{2} - x})}^{2} + 2 . 2^{x^{2} - x} - 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2^{x^{2} - x} = 1 \\ 2^{x^{2} - x} = - 3 (V N) \end{array} \Leftrightarrow x^{2} - x = 0 \Leftrightarrow x = 0; x = 1 \Rightarrow |x_{1} - x_{2}| = 1 .$

Câu 30:

Tồn tại bao nhiêu số nguyên m để hàm số $y = \frac{x - 2}{x - m}$ đồng biến trên khoảng $(- \infty; - 1)$

A. 3

B. 4

C. 2

D.Vô số.

Xem đáp án

Chọn A.

Tập xác định: D=R\{m}

Ta có $y' = \frac{- m + 2}{{(x - m)}^{2}} .$

Hàm số $y = \frac{x - 2}{x - m}$ đồng biến trên khoảng $(- \infty; - 1)$ khi và chỉ khi $\{\begin{cases} y' < 0 \\ m \notin (- \infty; - 1) \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} - m + 2 > 0 \\ m \geq - 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m < 2 \\ m \geq - 1 \end{cases} \Leftrightarrow - 1 \leq m < 2 .$

Mặt khác $m \in Z$ nên $m \in \{- 1; 0; 1\} .$

Câu 31:

Cho hàm số $y = \frac{2 x + 2}{x - 1}$ . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là đúng

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0; + \infty)$

B. Hàm số đồng biến trên khoảng $(- \infty; 2)$

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(2; + \infty)$

D. Hàm số đồng biến trên khoảng $(0; + \infty)$

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có $y' = \frac{- 4}{{(x - 1)}^{2}} < 0 \forall x \in (- \infty; 1) v à (1; + \infty) .$

Câu 32:

Cho hình nón có diện tích xung quanh bằng $3 π a^{2}$ và có bán kính đáy bằng a. Độ dài đường sinh của hình nón đã cho bằng

A. 3a

B. 2a

C. $\frac{3 a}{2}$

D. $2 \sqrt{2} a$

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có $S_{x q} = π R l = 3 π a^{2} .$ Thay R=a

Suy ra l=3a

Câu 33:

Tìm các giá trị của tham số m để phương trình $\log_{3}^{2} x - (m + 2) . \log_{3} x + 3 m - 1 = 0$ có hai nghiệm $x_{1}, x_{2}$ sao cho $x_{1} . x_{2} = 27$

A. $m = \frac{14}{3}$

B. m=25

C. $m = \frac{28}{3}$

D. m=1

Xem đáp án

Chọn D.

Điều kiện: x>0

Đặt $\log_{3} x = t \Rightarrow x = 3^{t}$

Khi đó ta có phương trình: $t^{2} - (m + 2) t + 3 m - 1 = 0 (*)$

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow$ phương trình (*) có hai nghiệm t phân biệt

$\Leftrightarrow Δ > 0 \Leftrightarrow {(m + 2)}^{2} - 4 (3 m - 1) > 0 \Leftrightarrow m^{2} + 4 m + 4 - 12 m + 4 > 0 \Leftrightarrow m^{2} - 8 m + 8 > 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m > 4 + 2 \sqrt{2} \\ m < 4 - 2 \sqrt{2} \end{array}$

Với $[\begin{array}{l} m > 4 + 2 \sqrt{2} \\ m < 4 - 2 \sqrt{2} \end{array}$ có hai nghiệm phân biệt $t_{1}; t_{2}$ thì phương trình đã cho có 2 nghiệm $x_{1}; x_{2}$ với $x_{1} = 3^{t_{2}}, x_{2} = 3^{t_{1}}$

Áp dụng hệ thức Vi-ét với phương trình (*) ta có: $\{\begin{cases} t_{1} + t_{2} = m + 2 \\ t_{1} t_{2} = 3 m - 1 \end{cases}$

Theo đề bài ta có $x_{1} x_{2} = 27 \Leftrightarrow 3^{t_{1}} . 3^{t_{2}} = 3^{t_{1} + t_{2}} = 27 \Leftrightarrow t_{1} + t_{2} = 3 \Leftrightarrow m + 2 = 3 \Leftrightarrow m = 1 (t m) .$

Câu 34:

Cho một hình nón có bán kính đáy bằng a và góc ở đỉnh bằng 60 $°$ . Tính diện tích xung quanh của hình nón đó

A. $S_{x q} = 4 π a^{2}$

B. $S_{x q} = \frac{2 \sqrt{3} π a^{2}}{3}$

C. $S_{x q} = \frac{4 \sqrt{3} π a^{2}}{3}$

D. $S_{x q} = 2 π a^{2}$

Xem đáp án

Chọn D.

Ta có hình vẽ của hình nón đã cho như hình

Gọi H là tâm của đường tròn đáy và là trung điểm của AB

Góc ở đỉnh bằng 60 $°$ nên $\Rightarrow \hat{B S A} = 60^{0} \Rightarrow Δ S A B$ đều $\Rightarrow l = 2 R = 2 a .$

Diện tích xung quanh của hình nón là $S_{x q} = π R l = π a . 2 a = 2 π a^{2} .$

Câu 35:

Cho hàm số y=f(x). Hàm số y=f'(x) có đồ thị như hình bên.

Hàm số y=f(x) có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 2.

B. 3.

C. 0.

D. 1.

Xem đáp án

Chọn B.

Ta có:

$f' (x) = a (x + 1) (x - 1) (x - 4), a > 0 f' (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = 1 \\ x = 4 \end{array}$

là các nghiệm đơn

Mặt khác dựa vào đồ thị f'(x) đổi dấu qua các nghiệm {-1;1;4} nên hàm số đã cho có 3 cực trị.

Câu 36:

Phương trình $\log_{3} (3 x - 1) = 3$ có nghiệm là

A. $x = \frac{25}{3}$

B. x=87

C. $x = \frac{29}{3}$

D. $x = \frac{11}{3}$

Xem đáp án

Chọn C.

Điều kiện: $x > \frac{2}{3}$

Phương trình đã cho tương đương $3 x - 2 = 3^{3} \Leftrightarrow x = \frac{29}{3} .$

Câu 37:

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình sau

Đồ thị hàm số $g (x) = \frac{2020}{2 f (x) + 1}$ có số đường tiệm cận đứng là

A. 2.

B. 3.

C. 4.

D. 5.

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có $2 f (x) + 1 = 0 \Leftrightarrow f (x) = - \frac{1}{2} .$

Từ đồ thị ta có phương trình này có 4 nghiệm $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} .$

Xét giới hạn $\lim_{x \to x_{i}} g (x) = \lim_{x \to x_{i}} \frac{2020}{2 f (x) + 1} = \infty$ do đó $x = x_{i} (i = 1, 2, 3, 4)$ đều là các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = g (x) = \frac{2020}{2 f (x) + 1} .$

Vậy đồ thị hàm số $y = g (x) = \frac{2020}{2 f (x) + 1}$ có 4 đường tiệm cận đứng.

Câu 38:

Biết $4^{x} + 4^{- x} = 23$ tính giá trị của biểu thức $P = 2^{x} + 2^{- x}$

A. 25

B. $\sqrt{27}$

C. $\sqrt{23}$

D. 5

Xem đáp án

Chọn D.

Ta có $P^{2} = {(2^{x} + 2^{- x})}^{2} = 4^{x} + 4^{- x} + 2 . 2^{x} . 2^{- x} = 25$ do đó P=5

Vậy $P = 2^{x} + 2^{- x} = 5 .$

Câu 39:

Cho phương trình $\log_{9} x^{2} - \log_{3} (5 x - 1) = - \log_{3} m$ (Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm?

A. 4.

B. 6.

C. Vô số.

D. 5.

Xem đáp án

Chọn A.

Điều kiện xác định: $\{\begin{cases} x^{2} > 0 \\ 5 x - 1 > 0 \\ m > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \neq 0 \\ x > \frac{1}{5} \\ m > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x > \frac{1}{5} \\ m > 0 \end{cases}$

Ta có:

$\log_{9} x^{2} - \log_{3} (5 x - 1) = - \log_{3} m \Leftrightarrow \frac{1}{2} . 2 . \log_{3} x + \log_{3} m = \log_{3} (5 x - 1) \Leftrightarrow \log_{3} (m x) = \log_{3} (5 x - 1) \Leftrightarrow m x = 5 x - 1 \Leftrightarrow (m - 5) x + 1 = 0$

Xét m=5 phương trình vô nghiệm nên loại m=5

Xét $m \neq 5,$ phương trình có nghiệm $x = \frac{- 1}{m - 5} .$

Dựa vào điều kiện ta được $\frac{- 1}{m - 5} > \frac{1}{5} \Leftrightarrow \frac{- 1}{m - 5} - \frac{1}{5} > 0 \Leftrightarrow \frac{- m}{m - 5} > 0 \Leftrightarrow 0 < m < 5 .$

Khi đó $m \in \{1, 2, 3, 4\} .$

Câu 40:

Thể tích của khối cầu bán kính R bằng

A. $\frac{3}{4} π R^{3}$

B. $\frac{4}{3} π R^{3}$

C. $4 π R^{3}$

D. $2 π R^{3}$

Xem đáp án

Chọn B.

Công thức tính thể tích khối cầu có bán kính R là $\frac{4}{3} π R^{3} .$

Câu 41:

Diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay có bán kính đáy r và độ dài đường sinh l bằng

A. $4 π r l$

B. $2 π r l$

C. $\frac{4}{3} π r l$

D. $π r l$

Xem đáp án

Chọn B.

Câu 42:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy AD=DC=a, AB=2a cạnh SC hợp với đáy một góc $30 °$ .Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a?

A. $\frac{a^{3}}{3}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{6}}{6}$

C. $\frac{a^{3} \sqrt{6}}{3}$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{6}}{9}$

Xem đáp án

Chọn D.

$S A ⊥ (A B C D)$ nên $(\hat{S C; (A B C D)}) = (\hat{S C; A C}) = \hat{S C A} .$

Tam giác ADC vuông tại D có $A C = \sqrt{A D^{2} + D C^{2}} = \sqrt{a^{2} + a^{2}} = a \sqrt{2} .$

Tam giác SAC vuông tại A có $S A = A C . \tan (30^{0}) = a \sqrt{2} . \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{a \sqrt{6}}{3} .$

Diện tích tam giác ABC là $S_{A B C} = \frac{1}{2} A B . d (C, A B) = \frac{1}{2} A B . D A = \frac{1}{2} . 2 a . a = a^{2}$

Thể tích khối chóp S.ABC là $V_{S . A B C} = \frac{1}{3} S A . S_{A B C} = \frac{1}{3} \frac{a \sqrt{6}}{3} . a^{2} = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{9} .$

Câu 43:

Hàm số $y = a x^{4} + b x^{2} + c$ có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. $a < 0, b > 0, c > 0 .$

B. $a < 0, b < 0, c > 0 .$

C. $a < 0, b > 0, c < 0 .$

D. $a < 0, b < 0, c > 0 .$

Xem đáp án

Chọn C.

Dựa vào dáng đồ thị ta có a<0 dựa vào giao điểm của đồ thị với trục tung ta có c<0

$y' = 4 a x^{3} + 2 b x = 2 x (2 a x^{2} + b)$ dựa vào đồ thị ta có y'=0 có 3 nghiệm phân biệt suy ra $- b < 0 \Rightarrow b > 0 .$

Câu 44:

Một hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông, diện tích xung quanh bằng $36 π a^{2}$ . Tính thể tích V của lăng trụ lục giác đều nội tiếp hình trụ

A. $27 \sqrt{3} a^{3}$

B. $24 \sqrt{3} a^{3}$

C. $36 \sqrt{3} a^{3}$

D. $81 \sqrt{3} a^{3}$

Xem đáp án

Chọn D.

Ta có $S_{x q} = 2 π r l = 36 π a^{2} \Rightarrow r l = 18 a^{2}$ mà thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông nên l=2r. Do đó r=3a, l=6a

Gọi S là diện tích lục giác đều nội tiếp đường tròn đáy.

Ta có

$S = 6 . \frac{{(3 a)}^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{27 a^{2} \sqrt{3}}{2} . V = B h = \frac{27 a^{2} \sqrt{3}}{2} . 6 a = 81 a^{3} \sqrt{3} .$

Câu 45:

Một vật chuyển động theo quy luật $S = - t^{3} + 9 t^{2} + t + 10$ , với t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và S (mét) là quảng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 12 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động tại thời điểm t bằng bao nhiêu giây thì vật đạt vận tốc lớn nhất?

A. t=3s

B. t=6s

C. t=5s

D. t=2s

Xem đáp án

a

Câu 46:

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như hình dưới

Số điểm cực trị của hàm số $y = f (x^{2} - 4 x + 1)$ là

A. 1.

B. 5.

C. 3.

D. 2

Xem đáp án

Chọn B.

Xét hàm số:

$y = g (x) = f (x^{2} - 4 x + 1) y' = g' (x) = (2 x - 4) f' (x^{2} - 4 x + 1) g' (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2 x - 4 = 0 \\ f' (x^{2} - 4 x + 1) = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2 x - 4 = 0 \\ x^{2} - 4 x + 1 = - 1 \\ x^{2} - 4 x + 1 = 3 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 \\ x^{2} - 4 x + 2 = 0 \\ x^{2} - 4 x - 2 = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 \\ x = 2 + \sqrt{2} \\ x = 2 - \sqrt{2} \\ x = 2 + \sqrt{6} \\ x = 2 - \sqrt{6} \end{array}$

Suy ra g'(x) bị đổi dấu 5 lần, nên hàm số $y = f' (x^{2} - 4 x + 1)$ có 5 điểm cực trị.

Câu 47:

Cho hàm số $y = - x^{3} - m x^{2} + (4 m + 9) x + 5$ , với là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến R?

A. 6.

B. 4.

C. 7.

D. 5.

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có $y' = - 3 x^{2} - 2 m x + 4 m + 9 .$

Để hàm số đã cho nghịch biến trên R thì $y' \leq 0, \forall x \in R$

$\Leftrightarrow - 3 x^{2} - 2 m x + 4 m + 9 \leq 0, \forall x \in R \Leftrightarrow Δ' \leq 0 \Leftrightarrow m^{2} + 3 (4 m + 9) \leq 0 \Leftrightarrow - 9 \leq m \leq - 3 .$

Vì $m \in Z$ nên $m \in \{- 9; - 8; . . .; - 3\} .$

Vậy có 7 số nguyên m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 48:

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên. Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình $2 |f (x)| - 2 m = 0$ có 4 nghiệm phân biệt

A. 1<m<3

B. Không có giá trị nào của m

C. 0<m<3

D. $1 < m \leq 3$

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có $2 |f (x)| - 2 m = 0 \Leftrightarrow |f (x)| = m .$

Đồ thị của hàm số $y = |f (x)|$

Dựa vào đồ thị, để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt thì đường thẳng y=m cắt đồ thị $y = |f (x)|$ tại 4 điểm phân biệt $\Leftrightarrow 1 < m < 3 .$

Vậy với 1<m<3 thì phương trình $2 |f (x)| - 2 m = 0$ có 4 nghiệm phân biệt.

Câu 49:

Cho hàm số $f (x) = \ln \frac{2018 x}{x + 1}$ . Tính tổng $S = f' (1) + f' (2) + . . . + f' (2018)$

A. ln2018

B. 1

C. 2018

D. $\frac{2018}{2019}$

Xem đáp án

Chọn D.

Ta có $f' (x) = \frac{2018}{{(x + 1)}^{2}} . \frac{x + 1}{2018 x} = \frac{1}{x (x + 1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}$

Ta có

$S = f' (1) + f' (2) + f' (3) + . . . + f' (2018) = (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + . . . + (\frac{1}{2018} - \frac{1}{2019}) = 1 - \frac{1}{2019} = \frac{2018}{2019} .$

Câu 50:

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị của hàm số f'(x) như sau

Trên khoảng (-10;10) có tất cả bao nhiêu số nguyên của m để hàm số $g (x) = f (x) + m x + 2020$ có đúng một cực trị ?

A. 0.

B. 15.

C. 16.

D. 13.

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có: $g' (x) = f' (x) + m$

Cho $g' (x) = 0 \Leftrightarrow f' (x) = - m, (1)$

Hàm số g(x) có đúng một điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình (1) có đúng một nghiệm bội lẻ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} - m \geq 3 \\ - m \leq - 1 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m \leq - 3 \\ m \geq 1 \end{array} .$

Kết hợp điều kiện $\{\begin{cases} m \in (- 10; 10) \\ m \in Z \end{cases} \Rightarrow m \in \{- 9, - 8, - 7, - 6, - 5, - 4, - 3, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$

Suy ra có 16 giá trị m thỏa yêu cầu bài toán.