50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia có lời giải (Đề 12)

Câu 1:

Công thức tính thể tích khối cầu bán kính R là

A. $V = \frac{4}{3} π R^{3} .$

B. $V = 4 π R^{2} .$

C. $V = 4 π R^{3} .$

D. $V = \frac{3}{4} π R^{3} .$

Xem đáp án

Chọn A.

Câu 2:

Cho a là số thực dương và m,n là các số thực tùy ý. Trong các tính chất sau, tính chất nào đúng?

A. $a^{m} + a^{n} = a^{m + n} .$

B. $a^{m} . a^{m} = a^{m . n} .$

C. $a^{m} . a^{n} = a^{m + n} .$

D. $a^{m} + a^{n} = a^{m . n} .$

Xem đáp án

Chọn C.

Theo tính chất lũy thừa với số thực:

Cho a là số thực dương và m,n là các số thực tùy ý ta có $a^{m} . a^{n} = a^{m + n} .$

Câu 3:

Cho số thực dương a. Sau khi rút gọn, biểu thức $P = \sqrt[3]{a \sqrt{a}}$ có dạng

A. $\sqrt{a^{3}} .$

B. $\sqrt[3]{a} .$

C. $\sqrt{a} .$

D. a

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có $\sqrt[3]{a \sqrt{a}} = {(a . a^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{3}} = {(a^{\frac{3}{2}})}^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}$

Câu 4:

Số giao điểm của hai đồ thị y=f(x) và y=g(x) bằng số nghiệm phân biệt của phương trình nào sau đây?

A. $\frac{f (x)}{g (x)} = 0 .$

B. $f (x) + g (x) = 0 .$

C. $f (x) - g (x) = 0 .$

D. $f (x) . g (x) = 0 .$

Xem đáp án

Chọn C.

Số giao điểm của hai đồ thị y=f(x) và y=g(x) bằng số nghiệm phân biệt của phương trình $f (x) = g (x) \Leftrightarrow f (x) - g (x) = 0 .$

Câu 5:

Số điểm chung giữa mặt cầu và mặt phẳng không thể là

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. Vô số.

Xem đáp án

Chọn C.

Mặt cầu và mặt phẳng có 3 vị trí tương đối:

Câu 6:

Đồ thị hàm số nào sau đây luôn nằm dưới trục hoành?

A. $y = - x^{4} - 4 x^{2} + 1 .$

B. $y = - x^{4} + 2 x^{2} - 2 .$

C. $y = - x^{3} - 2 x^{2} + x - 1 .$

D. $y = x^{4} + 3 x^{2} - 1 .$

Xem đáp án

Chọn B.

Ta có $y = - x^{4} + 2 x^{2} - 2 = - {(x^{2} - 1)}^{2} - 1 < 0, \forall x \in R,$ do đó đồ thị hàm số $y = - x^{4} + 2 x^{2} - 2$ nằm dưới trục hoành.

Câu 7:

Cho hàm số $f (x) = \frac{2 x + 1}{x - 3} .$ Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(- \infty; 3) .$

B. Hàm số nghịch biến trên R

C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(- \infty; 3)$ và $(3; + \infty) .$

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(3; + \infty) .$

Xem đáp án

Chọn C.

Tập xác định: D=R\{3}

Ta có $f' (x) = \frac{- 7}{{(x - 3)}^{2}} < 0, \forall x \in D .$

Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng $(- \infty; 3) v à (3; + \infty) .$

Câu 8:

Thể tích khối lăng trụ tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a là

A. $a^{3} .$

B. $\frac{a^{3}}{3} .$

C. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{4} .$

D. $\frac{a^{3}}{2} .$

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có thể tích khối lăng trụ tứ giác đều có cạnh bằng a là $a . a^{2} = a^{3} .$

Câu 9:

Thể tích khối lập phương có cạnh bằng 3a là

A. $27 a^{3}$

B. $3 a^{3}$

C. $a^{3}$

D. $9 a^{3}$

Xem đáp án

Chọn A.

Thể tích khối lập phương có cạnh bằng 3a là $V = {(3 a)}^{2} = 27 a^{3} .$

Câu 10:

Tìm điều kiện của tham số b để hàm số $y = x^{4} + b x^{2} + c$ có 3 điểm cực trị?

A. b=0

B. $b \neq 0 .$

C. b<0

D. b>0

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có:

$y' = 4 x^{3} + 2 b x y' = 0 \Leftrightarrow 2 x (2 x^{2} + b) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x^{2} = - \frac{b}{2} \end{array}$

Hàm số đã cho có 3 điểm cực trị $\Leftrightarrow - \frac{b}{2} > 0 \Leftrightarrow b < 0 .$

Câu 11:

Nếu $a^{\frac{13}{17}} > a^{\frac{15}{18}}$ và $\log_{b} (\sqrt{2} + \sqrt{5}) > \log_{b} (2 + \sqrt{3})$ thì

A. $0 < a < 1, 0 < b < 1 .$

B. $0 < a < 1, b > 1 .$

C. $a > 1, 0 < b < 1 .$

D. $a > 1, b > 1 .$

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có $\frac{13}{17} < \frac{15}{18}$ và $a^{\frac{13}{17}} < a^{\frac{15}{18}}$ nên $a > 1, \sqrt{2} + \sqrt{5} < 2 + \sqrt{3}$ và $\log_{b} (\sqrt{2} + \sqrt{5}) > \log_{b} (2 + \sqrt{3})$ nên 0<b<1

Câu 12:

Công thức tính thể tích khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là

A. $\frac{1}{2} B h$

B. $\frac{1}{6} B h$

C. Bh

D. $\frac{1}{3} B h$

Xem đáp án

Chọn D.

Câu 13:

Bảng biến thiên ở hình dưới là của hàm số nào trong bốn hàm số được liệt kê dưới đây.

A. $y = \frac{- 2 x - 3}{x - 1} .$

B. $y = \frac{- x - 1}{x - 2} .$

C. $y = \frac{2 x - 3}{x + 1}$

D. $y = \frac{2 x + 3}{x + 1} .$

Xem đáp án

Chọn C.

Từ BBT

Tiệm cận ngang là đường thẳng y=2 loại A, B.

$y' > 0, \forall x \neq - 1$ nên chọn C.

Câu 14:

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình vẽ:

Mệnh đề nào sau đây sai?

A. $\underset{[- 2; 2]}{m a x} f (x) = f (2) .$

B. $\underset{[- 2; 2]}{m i n} f (x) = f (1) .$

C. $\underset{[- 2; 2]}{m a x} f (x) = f (- 2) .$

D. $\underset{[- 2; 2]}{m i n} f (x) = f (0) .$

Xem đáp án

Chọn D.

Từ đồ thị

Đáp án SAI nên chọn D.

Câu 15:

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như sau

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (0;2)

B. $(- \infty; - 1) .$

C. (-1;1)

D. (0;4)

Xem đáp án

Chọn C.

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng (-1;1)

Câu 16:

Số cạnh của một hình tứ diện là

A. 9

B. 8

C. 4

D. 6

Xem đáp án

Chọn D.

Số cạnh của một hình tứ diện là 6.

Câu 17:

Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của hàm số nào?

A. $y = - x^{3} + 3 x^{2} + 1 .$

B. $y = x^{3} + 3 x^{2} + 1 .$

C. $y = - x^{3} - 3 x^{2} + 1 .$

D. $y = x^{3} - 3 x^{2} + 1 .$

Xem đáp án

Chọn D.

Ta có $\lim_{x \to + \infty}$ nên a>0 do đó loại đáp án A và C.

Đồ thị hàm số y=f(x) đã cho có một điểm cực đại nằm trên trục tung và một điểm cực tiểu nằm bên phải trục tung. Do đó phương trình y'=0 có một nghiệm $x_{1} = 0$ và một nghiệm $x_{2} > 0 .$

Xét đáp án B: $y' = 0 \Leftrightarrow 3 x^{2} + 6 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = - 2 \end{array} .$ (loại).

Xét đáp án D: $y' = 0 \Leftrightarrow 3 x^{2} - 6 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 2 \end{array}$ (thỏa mãn).

Câu 18:

Cho số thực a>0 và $a \neq 1 .$ Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau

A. $\log_{a} (x . y) = \log_{a} x . \log_{a} y, (\forall x, y > 0) .$

B. $\log_{a} x^{n} = n \log_{a} x, (x > 0, n \neq 0) .$

C. $\log_{a} 1 = a v à \log_{a} a = 0 .$

D. $\log_{a} x$ có nghĩa $\forall x \in R .$

Xem đáp án

Chọn B.

Với số thực a>0 và $a \neq 1,$ ta có.

+) $\log_{a} (x y) = \log_{a} x + \log_{a} y, (\forall x, y > 0) .$

+) $\log_{a} x^{n} = n \log_{a} x, (x > 0, n \neq 0) .$

+) $\log_{a} 1 = 0$ và $\log_{a} a = 1$

+) $\log_{a} x$ có nghĩa với x>0

Vậy mệnh đề đúng là: $\log_{a} x^{n} = n \log_{a} x, (x > 0, n \neq 0) .$

Câu 19:

Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, SA vuông góc với đáy và SA=AB=6a. Tính thể tích khối chóp

A. $18 a^{3} .$

B. $36 a^{3} .$

C. $108 a^{3} .$

D. $72 a^{3} .$

Xem đáp án

Chọn B.

Có ABC vuông cân tại B suy ra AB=BC=6a

Vậy $V_{S . A B C} = \frac{1}{3} S_{A B C} . S A = \frac{1}{3} . \frac{1}{2} A B . B C . S A = \frac{1}{3} . \frac{1}{2} 6 a . 6 a . 6 a = 36 a^{3} .$

Câu 20:

Tìm phương trình của đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{3 x + 2}{x + 1}$

A. y=3

B. y=-1

C. x=3

D. y=2

Xem đáp án

Chọn A.

Có $\lim_{x \to \pm \infty} \frac{3 x + 2}{x + 1} = 3$ suy ra phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là y=3

Câu 21:

Cho hàm số y=f(x) có bảng xét dấu f'(x)

Số điểm cực tiểu của hàm số y=f(x) là

A. 4.

B. 1.

C. 3.

D. 2.

Xem đáp án

Chọn D.

Quan sát bảng xét dấu của f'(x) ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại x=0; x=2 nên số đểm cực tiểu của hàm số y=f(x) là 2.

Câu 22:

Nếu tứ diện có chiều cao giảm 3 lần và cạnh đáy tăng 3 lần thì thể tích của nó

A. Tăng 3 lần.

B. Tăng 6 lần.

C. Giảm 3 lần.

D. Không thay đổi.

Xem đáp án

Chọn A.

Gọi $V, V', S, S', h, h'$ lần lượt là thể tích, diện tích đáy và chiều cao của khối tứ diện trước và sau khi thay đổi.

Theo tính chất của tam giác đồng dạng thì S=9S'

Theo bài ra thì $h' = \frac{1}{3} h .$

Thể tích của khối tứ diện sau khi thay đổi là $V' = \frac{1}{3} S' . h' = \frac{1}{3} . 9 S . \frac{1}{3} h = 3 V .$

Vậy thể tích của khối tứ diện tăng lên 3 lần.

Câu 23:

Biết rằng giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \frac{m x + 5}{x - m}$ trên đoạn [0;1] bằng -7. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $- 1 \leq m \leq 1 .$

B. 0<m<1

C. $0 < m \leq 2 .$

D. -1<m<0

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có TXĐ $D = R \ \{m\}; y' = \frac{- m^{2} - 5}{{(x - m)}^{2}} < 0, \forall x \neq m .$

Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0;1] bằng -7 khi

$\{\begin{cases} m \notin [0; 1] \\ y (1) = - 7 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m \in (- \infty; 0) \cup (1; + \infty) \\ \frac{m + 5}{1 - m} = - 7 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m \in (- \infty; 0) \cup (1; + \infty) \\ m = 2 \end{cases} \Leftrightarrow m = 2$

Câu 24:

Xét khẳng định: “Với mọi số thực a và hai số hữu tỉ r,s, ta có ${(a')}^{2} = a'^{2}$ ”. Với điều kiện nào trong các điều kiện sau thì khẳng định trên đúng

A. a<1

B. a bất kì

C. a>0

D. $a \neq 0 .$

Xem đáp án

Chọn C.

Do $s, r \notin Z$ nên a>0

Câu 25:

Đồ thị của hai hàm số $y = 4 x^{4} - 2 x^{2} + 1$ và $y = x^{2} + x + 1$ có tất cả bao nhiêu điểm chung?

A. 3.

B. 1.

C. 4.

D. 2.

Xem đáp án

Chọn A.

Phương trình hoành độ giao điểm

$4 x^{4} - 2 x^{2} + 1 = x^{2} + x + 1 \Leftrightarrow 4 x^{4} - 3 x^{2} - x = 0 \Leftrightarrow x (4 x^{3} - 3 x - 1) = 0 \Leftrightarrow x (x - 1) (4 x^{2} + 4 x + 1) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x - 1 = 0 \\ 4 x^{2} + 4 x + 1 = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 1 \\ x = - \frac{1}{2} \end{array}$

Số điểm chung của hai đồ thị là 3.

Câu 26:

Cho đường cong (C) có phương trình $y = \frac{x - 1}{x + 1} .$ Gọi M là giao điểm của (C) với trục tung. Tiếp tuyến của (C) tại M có phương trình là

A. y=x-2

B. y=2x+1

C. y=-2x-1

D. y=2x-1

Xem đáp án

Chọn D.

$D = R \ \{- 1\} .$

Ta có $y' = \frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$

Giả sử $(C) \cap (O y) = M (x_{0}; y_{0}) \Rightarrow \{\begin{cases} x_{0} = 0 \\ y_{0} = - 1 \end{cases}$

Ta có y'(0)=2. Phương trình tiếp tuyến tại M(0;-1) là y=2x-1

Câu 27:

Cho a>0 và khác 1, b>0, c>0 và $\log_{a} b = - 2, \log_{a} c = 5 .$ Giá trị của $\log_{a} \frac{a \sqrt{b}}{\sqrt[3]{c}}$ là

A. $- \frac{4}{3}$

B. $- \frac{5}{3}$

C. $- \frac{5}{4}$

D. $- \frac{3}{5}$

Xem đáp án

Chọn B.

Ta có $\log_{a} \frac{a \sqrt{b}}{\sqrt[3]{c}} = \log_{a} \frac{a . b^{\frac{1}{2}}}{c^{\frac{1}{3}}} = \log_{a} a + \frac{1}{2} \log_{a} b - \frac{1}{3} \log_{a} c = 1 - 1 - \frac{5}{3} = - \frac{5}{3} .$

Câu 28:

Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{x}{x^{2} - 1}$ là

A. 1.

B. 3.

C. 2.

D. 4.

Xem đáp án

Chọn B.

Tập xác định D=R\{ $\pm 1$ }

Ta có $\lim_{x \to + \infty} \frac{x}{x^{2} - 1} = \lim_{x \to + \infty} \frac{\frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x^{2}}} = 0 \Rightarrow y = 0$ là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

$\lim_{x \to 1^{+}} \frac{x}{x^{2} - 1} = + \infty \Rightarrow x = 1$ là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\lim_{x \to {(- 1)}^{+}} \frac{x}{x^{2} - 1} = + \infty \Rightarrow x = - 1$ là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận.

Câu 29:

Trung điểm các cạnh của hình tứ diện đều tạo thành

A. Lăng trụ tam giác đều

B. Bát diện đều

C. Hình lục giác đều

D. Hình lập phương

Xem đáp án

Chọn B.

Trung điểm các cạnh của hình tứ diện đều tạo thành một bát diện đều.

Câu 30:

Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số $y = \frac{2 x^{2} + 6 m x + 4}{m x + 2}$ đi qua điểm A(-1;4)

A. m=2

B. m=1

C. m=-1

D. $m = \frac{1}{2}$

Xem đáp án

Chọn C.

Vì đồ thị hàm số đi qua điểm A(-1;4) nên $4 = \frac{2 - 6 m + 4}{- m + 2} \Leftrightarrow m = - 1 .$

Câu 31:

Tìm tất cả các giá trị tực của tham số m để hàm số $y = \frac{x - m}{x + 1}$ đồng biến trên từng khoảng xác định.

A. $m \geq - 1 .$

B. m>1

C. $m \geq 1 .$

D. m>-1

Xem đáp án

Chọn D.

+ Tập xác định của hàm số D=R\{-1}

+ Để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định thì

$y' > 0, \forall x \in D \Leftrightarrow y' = \frac{1 + m}{{(x + 1)}^{2}} > 0 \Leftrightarrow 1 + m > 0 \Leftrightarrow m > - 1 .$

Câu 32:

Cho mặt cầu S(I;R) và điểm A nằm ngoài mặt cầu. Qua A kẻ đường thẳng cắt (S) tại hai điểm phân biệt B,C. Tích AB.AC bằng

A. $I A^{2} - R^{2} .$

B. R.IA

C. $I A^{2} + R^{2} .$

D. 2R.IA

Xem đáp án

Chọn A.

+ Gọi D là điểm đối xứng của C qua I ta suy ra $B D ⊥ A C$

+ Ta có

$A B . A C = \vec{A B} . \vec{A C} = (\vec{A D} + \vec{D B}) \vec{A C} = \vec{A D} . \vec{A C} = (\vec{A I} + \vec{I D}) (\vec{A I} + \vec{I C}) = (\vec{A I} - \vec{I C}) (\vec{A I} + \vec{I C}) = A I^{2} - I C^{2} = A I^{2} - R^{2} .$

Câu 33:

Giả sử các biểu thức chứa logarit đều có nghĩa. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $\log_{a} b > \log_{a} c \Leftrightarrow b > c .$

B. Cả 3 đáp án A, B, C đều đúng

C. $\log_{a} b = \log_{a} c \Leftrightarrow b = c .$

D. $\log_{a} b < \log_{a} c \Leftrightarrow b < c .$

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có $\log_{a} b > \log_{a} c \Leftrightarrow b > c$ khi a>1. Do đó phương án A sai.

Mặt khác $\log_{a} b < \log_{a} c \Leftrightarrow b > c$ khi 0<a<1. Do đó phương án D sai.

Hơn nữa $\log_{a} b = \log_{a} c \Leftrightarrow b = a, \forall a \neq 1, b > 0, c > 0 .$ Do đó chọn C.

Câu 34:

Gọi A là điểm cực đại của đồ thị hàm số $y = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 1$ thì A có tọa độ là

A. (-1;-6)

B. A(0;-1)

C. A(1;-2)

D. A(2;3)

Xem đáp án

Chọn B.

Tập xác định: D=R

Ta có $y' = 6 x^{2} - 6 x, y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 1 \end{array} .$ Ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên điểm A(0;-1) là điểm cực đại của đồ thị hàm số $y = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 1 .$

Câu 35:

Hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có tâm mặt cầu ngoại tiếp là điểm I. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Luôn tồn tại tâm I nhưng vị trí I phụ thuộc vào kích thước của hình hộp

B. I là trung điểm A’C

C. Không tồn tại tâm I

D. I là tâm đáy ABCD

Xem đáp án

Chọn B.

Để xác định mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật, ta xác định tâm đường tròn ngoại tiếp hai đáy (là giao điểm của hai đường chéo).

Khi đó I là trung điểm của đoạn nối 2 tâm và cũng là trung điểm của A’C

Câu 36:

Cho hàm số f(x) có bảng xét dấu đạo hàm như hình bên dưới

Hàm số y=f(1-2x) đồng biến trên khoảng

A. $(- \frac{1}{2}; 1) .$

B. $(- 2; - \frac{1}{2}) .$

C. $(\frac{3}{2}; 3) .$

D. $(0; \frac{3}{2}) .$

Xem đáp án

Chọn D.

$y' \geq 0 \Leftrightarrow - 2 f' (1 - 2 x) \geq 0 \Leftrightarrow f' (1 - 2 x) \leq 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 1 - 2 x \leq - 3 \\ - 2 \leq 1 - 2 x \leq 1 \\ 1 - 2 x \geq 3 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x \geq 2 \\ 0 \leq x \leq \frac{3}{2} \\ x \leq - 1 \end{array}$

Vì hàm số đồng biến trên các khoảng $(- \infty; 1), (0; \frac{3}{2}), (2; + \infty) .$

Câu 37:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số $y = m x^{4} + (m - 3) x^{2} + 3 m - 5$ chỉ có cực tiểu mà không có cực đại.

A. $[\begin{array}{l} m \leq 0 \\ m > 3 \end{array}$

B. $m \leq 0 .$

C. $0 \leq m \leq 3 .$

D. $m \geq 3 .$

Xem đáp án

Chọn D.

Trường hợp 1. Với m=0 ta có

$y = - 3 x^{2} - 5 y' = - 6 x; y' = 0 \Leftrightarrow x = 0$

Bảng biến thiên

$\Rightarrow m = 0$ là giá trị không thỏa mãn

Trường hợp 2. Với $m \neq 0 .$ khi đó hàm số đã cho là hàm trùng phương.

Hàm số đã cho chỉ có cực tiểu mà không có cực đại $\Leftrightarrow \{\begin{cases} m > 0 \\ m (m - 3) \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m > 0 \\ m \geq 3 \end{cases} \Leftrightarrow m \geq 3 .$

Vậy $m \geq 3 .$

Câu 38:

Cho hai số thực a,b thỏa mãn $1 > a \geq b > 0 .$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau $T = \log_{a}^{2} b + \log_{a b} a^{36}$

A. $T_{\min} = \frac{- 2279}{16}$

B. $T_{\min} = 13 .$

C. $T_{\min} = 16 .$

D. $T_{\min} = 19 .$

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có

$T = \log_{a}^{2} b + \log_{a b} a^{36} = \log_{a}^{2} b + 36 . \frac{1}{\log_{a} a b} = \log_{a}^{2} b + \frac{36}{1 + \log_{a} b}$

Đặt $t = \log_{a} b$

Vì $0 < b \leq a < 1$ nên $\log_{a} b \geq \log_{a} a \Rightarrow t \geq 1 .$

Xét hàm $f (t) = t^{2} + \frac{36}{1 + t}$ trên $[1; + \infty)$

$f' (t) = 2 t - \frac{36}{{(t + 1)}^{2}}, f' (t) = 0 \Leftrightarrow t = 2$

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có $T_{\min} = 16$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow t = 2 \Leftrightarrow b = a^{2} .$

Câu 39:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho đồ thị hàm số $y = \frac{\sqrt{x - 1} + 2021}{\sqrt{x^{2} - 2 m x + m + 2}}$ có đúng ba đường tiệm cận

A. $2 < m \leq 3 .$

B. 2<m<3

C. $2 \leq m \leq 3 .$

D. m>2 hoặc m<-1

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có $\exists \lim_{x \to - \infty} y$ và $\lim_{x \to + \infty} y = \lim_{x \to + \infty} \frac{\sqrt{x - 1} + 2021}{\sqrt{x^{2} - 2 m x + m + 2}} = \lim_{x \to + \infty} \frac{\sqrt{\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}} + \frac{2021}{x}}{\sqrt{1 - \frac{2 m}{x} + \frac{m + 2}{x^{2}}}} = 0$

Suy ra đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang có phương trình y=0

Để đồ thị hàm số có đúng ba đường tiệm cận thì phương trình $x^{2} - 2 m x + m + 2 = 0$ có đúng hai nghiệm phân biệt $x_{1} > x_{2} \geq 1$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} Δ' = m^{2} - m - 2 > 0 \\ (x_{1} - 1) (x_{2} - 1) \geq 0 \\ x_{1} - 1 + x_{2} - 1 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} (m + 1) (m - 2) > 0 \\ x_{1} x_{2} - (x_{1} + x_{2}) + 1 \geq 0 \\ x_{1} + x_{2} > 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} (m + 1) (m - 2) > 0 \\ m + 2 - 2 m + 1 \geq 0 \\ 2 m > 2 \end{cases} \Leftrightarrow 2 < m \leq 3 .$

Vậy các giá trị $2 < m \leq 3$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 40:

Cho hàm số y=f(x) xác định, liên tục trên mỗi nửa khoảng $(- \infty; - 2]$ và $[2; + \infty)$ và có bảng biến thiên như dưới đây

Tìm tập hợp các giá trị thực của tham số m để phương trình f(x) có hai nghiệm phân biệt

A. $(\frac{7}{2}; 2] \cup [22; + \infty) .$

B. $[\frac{7}{4}; 2] \cup [22; + \infty) .$

C. $[22; + \infty) .$

D. $(\frac{7}{4}; + \infty) .$

Xem đáp án

Chọn A.

Dựa vào bảng biến thiên phương trình f(x)=m có hai nghiệm phân biệt $[\begin{array}{l} m \geq 2 \\ \frac{7}{4} < m \leq 2 \end{array} .$

Vậy $m \in (\frac{7}{2}; 2] \cup [22; + \infty)$ thì phương trình f(x)=m có hai nghiệm phân biệt.

Câu 41:

Cho tứ diện ABCD có AB=2a, AC=3a, AD=4a, $\hat{B A C} = \hat{C A D} = \hat{D A B} = 60^{0} .$ Thể tích khối tứ diện ABCD bằng

A. $4 \sqrt{2} a^{3} .$

B. $\sqrt{2} a^{3} .$

C. $3 \sqrt{2} a^{3} .$

D. $2 \sqrt{2} a^{3} .$

Xem đáp án

Chọn D.

Trên các cạnh AC,AD lần lượt lấy các điểm E,F sao cho $A E = A F = 2 a \Rightarrow A B E F$ là tứ diện đều cạnh 2a

Gọi H là trọng tâm của $Δ B E F \Rightarrow B H = \frac{2 a \sqrt{3}}{3} \Rightarrow A H = \sqrt{A B^{2} - B H^{2}} = \frac{2 a \sqrt{6}}{3} .$

$\Rightarrow V_{A B E F} = \frac{1}{3} A H . S_{B E F} = \frac{1}{3} . \frac{2 a \sqrt{6}}{3} . a^{2} \sqrt{3} = \frac{2 \sqrt{2} a^{3}}{3} . V ì \frac{V_{A B C D}}{V_{A B E F}} = \frac{A B}{A B} . \frac{A C}{A E} . \frac{A D}{A F} = \frac{3}{2} . A = 3 \Rightarrow V_{A B C D} = 2 \sqrt{2} a^{3} .$

Câu 42:

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp một tứ diện đều cạnh a là

A. $\frac{3 π a^{2}}{2} .$

B. $\frac{12 π a^{2}}{11} .$

C. $\frac{2 π a^{2}}{3} .$

D. $\frac{11 π a^{2}}{12} .$

Xem đáp án

Chọn A.

Xét tứ diện đều S.ABC. Gọi H là trọng tâm của $Δ A B C, M$ là trung điểm của SA, I là giao điểm của SH và mặt phẳng trung trực của $S A \Rightarrow I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC

$A H = \frac{a \sqrt{3}}{3} \Rightarrow S H = \sqrt{S A^{2} - A H^{2}} = \frac{a \sqrt{6}}{3} \Rightarrow R = S I = \frac{S A^{2}}{2 S H} = \frac{3 a}{2 \sqrt{6}} .$

Vậy diện tích mặt cầu là $4 . π . {(\frac{3 a}{2 \sqrt{6}})}^{2} = \frac{3 π a^{2}}{2} .$

Câu 43:

Có bao nhiêu điểm M thuộc đồ thị hàm số $y = \frac{x + 2}{x - 1}$ sao cho khoảng cách từ M đến trục tung bằng hai lần khoảng cách từ M đến trục hoành?

A. 0.

B. 2.

C. 1.

D. 3.

Xem đáp án

Chọn B.

Gọi $M (x; \frac{x + 2}{x - 1}),$ với $x \neq 1 .$

Ta có $\{\begin{cases} d (M; O y) = |x| \\ d (M; O x) = |\frac{x + 2}{x - 1}| \end{cases}$

Theo giả thiết $d (M; O y) = 2 d (M; O x) \Leftrightarrow |x| = 2 |\frac{x + 2}{x - 1}| .$

TH1: $x = 2 . \frac{x + 2}{x - 1} \Rightarrow x^{2} - x = 2 x + 4 \Leftrightarrow x^{2} - 3 x - 4 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = 4 \end{array}$ (thỏa mãn).

Do đó $M (- 1; - \frac{1}{2})$ hoặc M(4;2)

TH2: $- x = 2 . \frac{x + 2}{x - 1} \Rightarrow - x^{2} + x = 2 x + 4 \Leftrightarrow x^{2} + x + 4 = 0$ (vô nghiệm).

Vậy có 2 điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán nên chọn đáp án B.

Câu 44:

Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a cạnh bên bằng 4a và tạo với đáy một góc $30 °$ . Thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' bằng

A. $\frac{1}{2} a^{3} .$

B. $\frac{3}{2} a^{3} .$

C. $\sqrt{3} a^{3} .$

D. $\frac{\sqrt{3}}{2} a^{3} .$

Xem đáp án

Chọn D.

Tam giác A'B'C' là tam giác đều cạnh a nên $S_{Δ A' B' C'} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} .$

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên (A'B'C')

Ta có góc giữa AA' và (A'B'C') là $\hat{A A' H} = 30^{0},$ suy ra $A H = A A' . \sin 30^{0} = 2 a .$

Thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' là $V = A H . S_{A' B' C'} = 2 a . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3} a^{3}}{2}$ nên chọn đáp án D.

Câu 45:

Cho đồ thị $(C_{m}) : y = x^{3} - 2 x^{2} + (1 - m) x + m .$ Khi $m = m_{0}$ thì $(C_{m})$ cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ thỏa mãn $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} = 4 .$ Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $m_{0} \in (- 2; 0) .$

B. $m_{0} \in (0; 2) .$

C. $m_{0} \in (1; 2) .$

D. $m_{0} \in (2; 5) .$

Xem đáp án

Chọn B.

Phương trình hoành độ giao điểm:

$x^{3} - 2 x^{2} + (1 - m) x + m = 0 \Leftrightarrow (x - 1) (x^{2} - x - m) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x^{2} - x - m = 0 (1) \end{array}$

Giả sử $x_{3} = 1$ thì yêu cầu bài toán tương đương với tìm m để (1) có hai nghiệm $x_{1}, x_{2}$ phân biệt khác 1 và thỏa mãn: $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 3 .$

Điều này tương đương với

$\{\begin{cases} Δ > 0 \\ 1 - 1 - m \neq 0 \\ {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{2} x_{2} = 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 1 + 4 m > 0 \\ m \neq 0 \\ 1^{2} + 2 m = 3 \end{cases} \Leftrightarrow m = 1$

Vậy giá trị cần tìm của m là m=1

Câu 46:

Tìm m để phương trình $x^{6} + 6 x^{4} - m^{2} x^{3} + (15 - 3 m^{2}) x^{2} - 6 m x + 10 = 0$ có đúng hai nghiệm phân biệt thuộc $[\frac{1}{2}; 2] ?$

A. $2 < m \leq \frac{5}{2} .$

B. $\frac{11}{5} < m < 4 .$

C. $\frac{7}{5} \leq m < 3 .$

D. $0 < m < \frac{9}{4} .$

Xem đáp án

Chọn A.

Phương trình đã cho tương đương với

$(x^{6} + 6 x^{4} + 12 x^{2} + 8) - (m^{3} x^{3} + 2 m^{2} x^{2} + 3 m x + 1) + (3 x^{2} - 3 m x + 3) = 0 \Leftrightarrow {(x^{2} + 2)}^{3} - {(m x + 1)}^{3} + 3 (x^{2} - m x + 1) = 0 \Leftrightarrow (x^{2} - m x + 1) [{(x^{2} + 2)}^{2} + (x^{2} + 2) (m x + 1) + {(m x + 1)}^{2} + 3] = 0 \Leftrightarrow x^{2} - m x + 1 = 0 (V ì a^{2} + a b + b^{2} = {(a + \frac{1}{2} b)}^{2} + \frac{3}{4} b^{2} \geq 0, \forall a, b) .)$

$\Leftrightarrow x + \frac{1}{x} = m$ (Do x=0 không thỏa mãn phương trình này).

Xét hàm số $f (x) = x + \frac{1}{x}$ trên đoạn $[\frac{1}{2}; 2] .$ Ta có

$f' (x) = 1 - \frac{1}{x^{2}} f' (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \notin (\frac{1}{2}; 2) \\ x = 1 \in (\frac{1}{2}; 2) \end{array}$

Ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên trên suy ra để phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm thỏa mãn $[\frac{1}{2}; 2]$ thì $2 < m \leq \frac{5}{2} .$

Vậy tất cả các giá trị cần tìm của m là $2 < m \leq \frac{5}{2} .$

Câu 47:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Trên các đoạn SA,SB,SC,SD lấy lần lượt các điểm E,F,G,H thỏa mãn $\frac{S E}{S A} = \frac{S G}{S C} = \frac{1}{3}, \frac{S F}{S B} = \frac{S H}{S D} = \frac{2}{3} .$ Tỉ số thể tích khối EFGH với khối S.ABCDA bằng

A. $\frac{2}{27}$

B. $\frac{1}{18}$

C. $\frac{1}{9}$

D. $\frac{2}{9}$

Xem đáp án

Chọn A.

Câu 48:

Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình $\sqrt{2 - x} + \sqrt{1 + x} = \sqrt{m + x - x^{2}}$ có hai nghiệm phân biệt.

A. $m \in (5; \frac{23}{4}) \cup \{6\} .$

B. $m \in [5; \frac{23}{4}) \cup \{6\} .$

C. $m \in [5; 6] .$

D. $m \in [5; \frac{23}{4}] .$

Xem đáp án

Câu 49:

Cho hàm số y=f(x). Hàm số y=f'(x) có đồ thị như hình vẽ bên.

Hàm số $g (x) = f (x + 1) + \frac{x^{3}}{3} - 3 x$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (-2;0)

B. (-1;2)

C. (0;4)

D. (1;5)

Xem đáp án

Câu 50:

Cho hàm số $f (x) = x^{3} + m x^{2} + n x - 1$ với m,n là các tham số thực thỏa mãn m+n>0 và $7 + 2 (2 m + n) < 0 .$ Tìm số điểm cực trị của hàm số $y = |f (|x|)| .$

A. 9.

B. 5.

C. 11.

D. 2.

Xem đáp án

(do f(x) là đa thức bậc ba nên có tối đa 3 nghiệm.)

Như vậy đồ thị của hàm số y=f(x) có 2 điểm cực trị đều nằm bên phải trục tung.

Ta phác họa đồ thị y=f(x) như sau

Từ đó suy ra đồ thị y=f(|x|) như hình bên dưới

Cuối cùng, đồ thị của hàm số y=|f(|x|)| như sau

Kết luận, đồ thị hàm số y=|f(|x|)| có 11 điểm cực trị.