50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 30 đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 có lời giải - Đề 4

Câu 1:

Cho các số thực a,b. Giá trị của biểu thức $M = \log_{2} \frac{1}{2^{a}} + \log_{2} \frac{1}{2^{b}}$ bằng giá trị của biểu thức nào trong các biểu thức sau đây?

A. -a-b

B. ab

C. -ab

D. a+b

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có $M = \log_{2} \frac{1}{2^{a}} + \log_{2} \frac{1}{2^{b}} = \log_{2} 2^{- a} + \log_{2} 2^{- b} = - a - b .$

Câu 2:

Cho hai đường thẳng l và $∆$ song song với nhau một khoảng không đổi. Khi đường thẳng l quay xung quanh $∆$ ta được

A. hình nón.

B. khối nón.

C. mặt nón.

D. mặt trụ.

Xem đáp án

Chọn D.

Ta có mặt tròn xoay sinh bởi l khi quay quanh trục $Δ / / l$ là mặt trụ.

Câu 3:

Đồ thị hàm số $y = x^{3} - 3 x - 2$ cắt trục tung tại điểm có tọa độ là

A. (2;0)

B. (0;2)

C. (0;-2)

D. (-1;0)

Xem đáp án

Chọn C.

Cho x =0 suy ra y = -2. Vậy đồ thị hàm số đã cho cắt trục tung tại điểm (0;-2)

Câu 4:

Cho $\vec{u} = (1; 1; 1)$ và $\vec{v} = (0; 1; m)$ . Để góc giữa hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ có số đo bằng $45^{0}$ thì m bằng

A. $\pm \sqrt{3}$

B. $2 + \pm \sqrt{3}$

C. $\sqrt{3} .$

D. $1 + \sqrt{3} .$

Xem đáp án

Chọn B.

Vì $(\vec{u}, \vec{v}) = 45^{0}$ nên $\cos (\vec{u}, \vec{v}) = \cos 45^{0} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{|1.0 + 1.1 + 1. m|}{\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}} . \sqrt{0^{2} + 1^{2} + m^{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\Leftrightarrow 2 |m + 1| = \sqrt{6 (m^{2} + 1)} \Leftrightarrow 2 m^{2} - 8 m + 2 = 0 \Leftrightarrow m = 2 \pm \sqrt{3} .$

Câu 5:

Họ nguyên hàm của hàm số $y = {(2 x + 1)}^{2020}$ là

A. $\frac{{(2 x + 1)}^{2021}}{2021} + C .$

B. $\frac{{(2 x + 1)}^{2021}}{4040} + C .$

C. $\frac{{(2 x + 1)}^{2021}}{4042} + C .$

D. $\frac{{(2 x + 1)}^{2021}}{4024} + C .$

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có:

\int_{}^{} {(2 x + 1)}^{2020} d x = \frac{1}{2} . \frac{{(2 x + 1)}^{2021}}{2021} + C = \frac{{(2 x + 1)}^{2021}}{4042} + C .

Câu 6:

Điều kiện để phương trình $m \sin x - 3 \cos x = 5$ có nghiệm là:

A. $m \geq 4.$

B. $- 4 \leq m \leq 4.$

C. $m \geq \sqrt{34} .$

D. $[\begin{array}{l} m \leq - 4 \\ m \geq 4 \end{array} .$

Xem đáp án

Chọn D.

Phương trình $m \sin x - 3 \cos x = 5$ có nghiệm khi và chỉ khi

$m^{2} + 3^{2} \geq 5^{2} \Leftrightarrow m^{2} \geq 16 \Leftrightarrow m^{2} - 16 \geq 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m \leq - 4 \\ m \geq 4 \end{array} .$

Câu 7:

Khối lập phương là khối đa diện đều loại

A. {3;4}

B. {4;3}

C. {6;6}

D. {3;3}

Xem đáp án

Chọn B.

Câu 8:

Trong không gian với hệ tọa độ $(O, \vec{i}, \vec{j} . \vec{k}),$ vectơ $\vec{u} = - 4 \vec{i} + 3 \vec{j}$ có tọa độ là

A. $(- 4; 3; 0) .$

B. $(4; - 3; 1) .$

C. $(3; - 4; 0) .$

D. $(- 3; 4; 0) .$

Xem đáp án

Chọn A.

$\vec{u} = - 4 \vec{i} + 3 \vec{j} \Rightarrow \vec{u} = (- 4; 3; 0)$ .

Câu 9:

Kí hiệu $A_{n}^{k}$ là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử $(1 \leq k \leq n) .$ Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $A_{n}^{k} = \frac{n!}{(n + k)!} .$

B. $A_{n}^{k} = \frac{n!}{k! (n - k)!} .$

C. $A_{n}^{k} = \frac{n!}{k! (n + k)!} .$

D. $A_{n}^{k} = \frac{n!}{(n - k)!} .$

Xem đáp án

Chọn D.

$A_{n}^{k}$ là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử $(1 \leq k \leq n)$ có dạng $A_{n}^{k} = \frac{n!}{(n - k)!} .$

Câu 10:

Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ $\vec{a} = (1; - 1; 2), \vec{b} = (3; 0; - 1), \vec{c} = (- 2; 5; 1),$ vectơ $\vec{m} = \vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$ có tọa độ là

A. $(- 6; 6; 0)$

B. $(6; 0; - 6)$

C. $(6; - 6; 0)$

D. $(0; 6; - 6) .$

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có: $\vec{m} = \vec{a} + \vec{b} - \vec{c} = (1 + 3 + 2; - 1 + 0 - 5; 2 - 1 - 1) = (6; - 6; 0) .$

Câu 11:

Cho hình nón có bán kính đáy $r = \sqrt{3}$ và độ dài đường sinh l=4. Diện tích xung quanh $S_{x q}$ của hình nón đã cho là

A. $S_{x q} = 12 π .$

B. $S_{x q} = \sqrt{36} π .$

C. $S_{x q} = 8 \sqrt{3} π .$

D. $S_{x q} = 4 \sqrt{3} π .$

Xem đáp án

Chọn D.

Diện tích xung quanh của hình nón đã cho là $S_{x q} = π r l = 4 \sqrt{3} π .$

Câu 12:

Nghiệm của phương trình $3^{x - 1} = 9$ là

A. $x = 3.$

B. $x = 4$

C. $x = 0$

D. $x = 2$

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có $3^{x - 1} = 9 \Leftrightarrow 3^{x - 1} = 3^{2} \Leftrightarrow x - 1 = 2 \Leftrightarrow x = 3.$

Câu 13:

Khối chóp có diện tích đáy là B và chiều cao bằng h. Thể tích V của khối chóp là:

A. $\frac{1}{2} B . h .$

B. $\frac{1}{3} B . h .$

C. $B . h .$

D. $\frac{1}{6} B . h .$

Xem đáp án

Chọn B.

Áp dụng công thức tính thể tích khối chóp ta được $\frac{1}{3} B . h .$

Câu 14:

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x^{3} - 3 x + 4$ trên đoạn [0;2]

A. $\min_{[0; 2]} y = 4.$

B. $\min_{[0; 2]} y = 0$

C. $\min_{[0; 2]} y = 2 .$

D. $\min_{[0; 2]} y = 1$

Xem đáp án

Chọn C.

$y' = 3 x^{2} - 3.$

$y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \in [0; 2] \\ x = - 1 \notin [0; 2] \end{array} .$

$y (0) = 4, y (1) = 2, y (2) = 6.$

Vậy $\min_{[0; 2]} y = y (1) = 2.$

Câu 15:

Cho hàm số y= f(x) có bảng biến thiên như sau:

Mệnh đề nào sau đây sai?

A. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0;3)

B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(- \infty; 1) .$

C. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (1;2)

D. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng

(2; + \infty)

.

Xem đáp án

Chọn A.

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

Trên khoảng $(- \infty; 1)$ đạo hàm mang dấu dương nên hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(- \infty; 1)$

Trên khoảng (1;2) đạo hàm mang dấu âm nên hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (1;2)

Trên khoảng $(2; + \infty)$ đạo hàm mang dấu dương nên hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(2; + \infty)$

Vậy mệnh đề hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0;3) là sai.

Câu 16:

Tập xác định của hàm số $y = \log_{2} x$ là

A. $[0; + \infty) .$

B. $ℝ \ \{0\} .$

C. $ℝ$ .

D. $(0; + \infty) .$ .

Xem đáp án

Chọn D.

Hàm số $y = \log_{2} x$ xác định $\Leftrightarrow x > 0.$

Vậy $D = (0; + \infty) .$

Câu 17:

Trong các hàm số sau hàm số nào là hàm số chẵn?

A. $y = \tan 5 x .$

B. $y = \sin 2 x .$

C. $y = \cos 3 x .$

D. $y = \cos 4 x .$

Xem đáp án

Chọn C.

Xét hàm số $y = \cos 3 x,$ ta có:

Tập xác định: $D = ℝ$ là tập đối xứng.

Xét $f (- x) = \cos 3 (- x) = \cos 3 x = f (x) .$

Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.

Câu 18:

Cho hàm số bậc bốn y = f(x) có đồ thị như hình vẽ dưới:

Số nghiệm của phương trình $f (x) = 1$ là:

A. 3.

B. 0.

C. 4.

D. 2.

Xem đáp án

Chọn A.

Số nghiệm của phương trình f(x)=1 là số giao điểm của đồ thị hàm số bậc bốn y= f(x) và đường thẳng y=1. Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số y=f(x) và đường thẳng y=1 có 3 điểm chung phân biệt. Vậy phương trình f(x)=1 có 3 nghiệm.

Câu 19:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm $M (2; 1; - 2), N (4; - 5; 1) .$ Độ dài đoạn thẳng MN bằng

A. $\sqrt{41}$ .

B. 7.

C. 49.

D. $\sqrt{7}$

Xem đáp án

Chọn B.

Ta có $M N = \sqrt{{(4 - 2)}^{2} + {(- 5 - 1)}^{2} + {(1 - (- 2))}^{2}} = \sqrt{49} = 7$

Câu 20:

Cho khối lăng trụ đứng có cạnh bên bằng 5, đáy là hình vuông có cạnh bằng 4. Thể tích khối lăng trụ đã cho là:

A. 80.

B. 64.

C. 20.

D. 100.

Xem đáp án

Chọn A.

Thể tích khối lăng trụ đã cho là $V = 4^{2} .5 = 80$ .

Câu 21:

Tập nghiệm của bất phương trình $\log (x^{2} - 4) > \log (3 x)$ là:

A. $(2; + \infty) .$

B. $(- \infty; 2) .$

C. $(- \infty; - 1) \cup (4; + \infty) .$

D. $(4; + \infty) .$

Xem đáp án

Chọn D.

Bất phương trình đã cho tương đương với $\{\begin{cases} 3 x > 0 \\ x^{2} - 4 > 3 x \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x > 0 \\ x^{2} - 3 x - 4 > 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x > 0 \\ [\begin{array}{l} x > 4 \\ x < - 1 \end{array} \end{cases} \Leftrightarrow x > 4 .$

Vậy tập nghiệm của BPT là $(4; + \infty) .$

Câu 22:

Cho các số tự nhiên 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Số các số tự nhiên gồm bốn chữ số khác nhau lấy từ các chữ số trên sao cho chữ số đầu tiên bằng 1 là:

A. 216.

B. 343.

C. $7^{4}$

D. 120.

Xem đáp án

Chọn D.

Kí hiệu $X = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} .$

Số tự nhiên cần tìm có dạng $\bar{1 a b c}, a, b, c$ đôi một khác nhau lấy từ tập $X \ \{1\}$ .

Vậy có $A_{6}^{3} = 120$ số.

Câu 23:

Cho hàm số $y = \frac{x + b}{c x + d}, (b, c, d \in ℝ)$ có đồ thị như hình vẽ bên.

Cho hàm số y= x+b/ cx+d ( b,c,d thuộc R) có đồ thị như hình vẽ bên. (ảnh 1)

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. $b > 0, c > 0, d > 0.$

B. $b < 0, c > 0, d > 0.$

C. $b > 0, c < 0, d < 0.$

D. $b < 0, c > 0, d < 0.$

Xem đáp án

Chọn B.

Ta có: $y' = \frac{d - b c}{{(c x + d)}^{2}} .$

Tiệm cận ngang của đồ thị là: $y = \frac{1}{c} > 0 \Rightarrow c > 0.$

Tiệm cận đứng của đồ thị là: $x = - \frac{d}{c} < 0 \Rightarrow d > 0$ (Vì c > 0).

Giao của đồ thị với trục Oy là $(0; \frac{b}{d}) \Rightarrow \frac{b}{d} < 0 \Rightarrow b < 0.$ (Vì d > 0).

Vậy: $b < 0, c > 0, d > 0.$

Câu 24:

Cho hàm số $y = \frac{x^{3}}{3} + 3 x^{2} - 2$ có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc k= -9.

A. $y + 16 = - 9 (x + 3) .$

B. $y - 16 = - 9 (x + 3) .$

C. $y = - 9 (x + 3) .$

D. $y - 16 = - 9 (x - 3) .$

Xem đáp án

Chọn B.

Ta có: $y' = x^{2} + 6 x$

Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình:

$x^{2} + 6 x = - 9 \Leftrightarrow x^{2} + 6 x + 9 = 0 \Leftrightarrow x = - 3$

Với $x = - 3 \Rightarrow y = 16$

Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc k= -9 là:

$y - 16 = - 9 (x + 3)$

Câu 25:

Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là một cấp số cộng?

A. $u_{n} = 2 n - 3, n \geq 1.$

B. $u_{n} = \sqrt{n + 1}, n \geq 1.$

C. $u_{n} = n^{2} + 1, n \geq 1.$

D. $u_{n} = 2^{n}, n \geq 1.$

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có: $u_{n + 1} - u_{n} = 2 (n + 1) - 3 - 2 n + 3 = 2 \Rightarrow u_{n}$ là một cấp số cộng có d=2

Câu 26:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm $M (2; 3; - 1), N (- 1; 1; 1), P (1; m - 1; 3)$ với giá trị nào của m thì $Δ M N P$ vuông tại N.

A. m=3

B. m = 0

C. m= 2

D. m= 1

Xem đáp án

Chọn D.

Ta có: $\vec{N M} (3; 2; - 2), \vec{N P} (2; m - 2; 2) .$

Để $Δ M N P$ vuông tại N thì $\vec{M N} . \vec{N P} = 0 \Leftrightarrow 3.2 + 2 (m - 2) - 2.2 = 0 \Leftrightarrow m = 1$ .

Câu 27:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, tam giác SAD vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết $A B = a, S A = 2 S D,$ mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng đáy một góc $60^{0}$ . Thể tích khối chóp S.ABCD bằng

A. $\frac{5}{2} a^{3} .$

B. $\frac{3}{2} a^{3} .$

C. $5 a^{3} .$

D. $\frac{15}{2} a^{3} .$

Xem đáp án

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, tam giác SAD vuông tại S (ảnh 1)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, tam giác SAD vuông tại S (ảnh 2)

Câu 28:

Cắt hình nón đỉnh S bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng $a \sqrt{2} .$ Thể tích khối nón theo a là:

A. $\frac{π a^{3} \sqrt{2}}{4} .$

B. $\frac{π a^{3} \sqrt{7}}{3} .$

C. $\frac{π a^{3} \sqrt{2}}{12} .$

D. $\frac{π a^{3}}{4} .$

Xem đáp án

Chọn C.

Cắt hình nón đỉnh S bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền (ảnh 1)

$Δ S A B$ vuông cân tại S có $A B = a \sqrt{2},$ suy ra $S O = \frac{1}{2} A B = \frac{a \sqrt{2}}{2} .$

Do đó hình nón đã cho có $r = \frac{A B}{2} = \frac{a \sqrt{2}}{2}, h = S O = \frac{a \sqrt{2}}{2} .$

Vậy $V = \frac{1}{3} π r^{2} h = \frac{1}{3} π . {(\frac{a \sqrt{2}}{2})}^{2} . \frac{a \sqrt{2}}{2} = \frac{π a^{3} \sqrt{2}}{12} .$

Câu 29:

Đầy mỗi tháng chị Tâm gửi vào ngân hàng 3.000.000 đồng theo hình thức lãi kép với lãi suất là 0,6% một tháng. Biết rằng ngân hàng chi tất toán vào cuối tháng và lãi suất ngân hàng không thay đổi trong thời gian chị Tâm gửi tiền. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng kể từ khi bắt đầu gửi thì chị Tâm có được số tiền cả lãi và gốc không ít hơn 50.000.000 đồng?

A. 16.

B. 18.

C. 17.

D. 15.

Xem đáp án

Chọn A.

Gọi $a = 3.000.000$ là số tiền chị Tâm gửi vào ngân hàng mỗi tháng, $r = 0, 6 %$ là lãi suất mỗi tháng.

+ Cuối tháng thứ nhất, khi ngân hàng đã tính lãi thì số tiền có được là

$S_{1} = a (1 + r) = \frac{a}{r} [{(1 + r)}^{1} - 1] (1 + r)$

+ Đầu tháng thứ hai, khi đã gửi thêm số tiền a đồng thì số tiền là

$T_{1} = a (1 + r) + a = a [(1 + r) + 1] = a \frac{[{(1 + r)}^{2} - 1]}{(1 + r) - 1} = \frac{a}{r} [{(1 + r)}^{2} - 1]$

+ Cuối tháng thứ hai, khi ngân hàng đã tính lãi thì số tiền có được là

$S_{2} = \frac{a}{r} [{(1 + r)}^{2} - 1] (1 + r)$

+ Từ đó ta có số tiền có được sau n tháng là $S_{n} = \frac{a}{r} [{(1 + r)}^{n} - 1] (1 + r)$

+ Theo yêu cầu bài toán ta cần:

$S_{n} = \frac{3.000.000}{0, 006} [{(1, 006)}^{n} - 1] (1, 006) \geq 50.000.000 \Leftrightarrow {(1, 006)}^{n} \geq \frac{553}{503} \Leftrightarrow n \geq \log_{1, 006} (\frac{553}{503}) \approx 15, 84$

Do đó sau 16 tháng thì chị Tâm có được số tiền cả lãi và gốc không ít hơn 50.000.000 đồng.

Câu 30:

Tập nghiệm S của bất phương trình ${(\frac{2}{5})}^{1 - 3 x} \geq \frac{25}{4}$ là:

A. $S = (- \infty; \frac{1}{3}) .$

B. $S = (\frac{1}{3}; + \infty) .$

C. $S = (- \infty; 1] .$

D. $S = [1; + \infty) .$

Xem đáp án

Chọn D.

Ta có ${(\frac{2}{5})}^{1 - 3 x} \geq \frac{25}{4} \Leftrightarrow {(\frac{5}{2})}^{3 x - 1} \geq {(\frac{5}{2})}^{2} \Leftrightarrow 3 x - 1 \geq 2 \Leftrightarrow x \geq 1.$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình $S = [1; + \infty) .$

Câu 31:

Phương trình $\log_{\sqrt{2}} x = \log_{2} (x + 2)$ có bao nhiêu nghiệm?

A. 2.

B. 3.

C. 1.

D. 0.

Xem đáp án

Chọn C.

Điều kiện: $\{\begin{cases} x > 0 \\ x + 2 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x > 0 \\ x > - 2 \end{cases} \Leftrightarrow x > 0.$

$\log_{\sqrt{2}} x = \log_{2} (x + 2) \Leftrightarrow \log_{2} x^{2} = \log_{2} (x + 2) \Leftrightarrow x^{2} = x + 2 \Leftrightarrow x^{2} - x - 2 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 (l) \\ x = 2 (t / m) \end{array} .$

Vậy phương trình có một nghiệm.

Câu 32:

Trong không gian Oxyz cho ba điểm $A (1; 2; 0), B (- 1; 1; 3), C (0; - 2; 5) .$ Để 4 điểm A,B,C,D đồng phẳng thì tọa độ điểm D là

A. $D (1; 2; 3) .$

B. $D (0; 0; 2) .$

C. $D (- 2; 5; 0) .$

D. $D = (1; - 1; 6) .$

Xem đáp án

Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1;2;0), B(-1;1;3),C(0;-2;5) (ảnh 1)

Câu 33:

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên R và có đồ thị như hình bên. Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{1}{f (x) + 1}$ là

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình bên. Số đường tiệm cận (ảnh 1)

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Xem đáp án

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình bên. Số đường tiệm cận (ảnh 2)

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình bên. Số đường tiệm cận (ảnh 3)

Câu 34:

Cho hàm số $(u_{n}) : \{\begin{cases} u_{1} = - 3 \\ u_{n + 1} = u_{n} + \frac{5}{2}, n \geq 1 \end{cases} .$ Tính $S = u_{20} - u_{6}$ .

A. $S = \frac{69}{2} .$

B. 35.

C. 33.

D. $\frac{75}{2} .$

Xem đáp án

Chọn B.

Ta có: $u_{n + 1} - u_{n} = \frac{5}{2} \forall n \geq 1 \Rightarrow$ Dãy số đã cho là một cấp số cộng có $\{\begin{cases} u_{1} = - 3 \\ d = \frac{5}{2} \end{cases}$ .

Khi đó: $u_{20} = u_{1} + 19 d = \frac{89}{2}, u_{6} = u_{1} + 5 d = \frac{19}{2} .$

$\Rightarrow S = u_{20} - u_{6} = 35$ .

Câu 35:

Tập nghiệm của phương trình $2 \log_{2} x = \log_{2} (2 - x)$ là

A. $S = \{- 2\} .$

B. $S = \{1\} .$

C. $S = \{- 2; 1\} .$

D. $S = \emptyset .$

Xem đáp án

Chọn B.

Điều kiện: $0 < x < 2$ .

Phương trình tương đương $x^{2} + x - 2 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 (N) \\ x = - 2 (L) \end{array} .$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \{1\} .$

Câu 36:

Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên R là $f' (x) = (x - 1) (x + 3) .$ Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn $[- 10; 20]$ để hàm số $f (x^{2} + 3 x - m)$ đồng biến trên khoảng (0;2) ?

A. 19.

B. 17.

C. 18.

D. 16.

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có $f' (x) = (x - 1) (x + 3) \Rightarrow f' (x) \geq 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x \geq 1 \\ x \leq - 3 \end{array}$

Xét hàm số $y = f (x^{2} + 3 x - m)$ .

* $y' = (2 x + 3) f' (x^{2} + 3 x - m), \forall x \in (0; 2) .$

* $y' \geq 0 \Leftrightarrow f' (x^{2} + 3 x - m) \geq 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x^{2} + 3 x - m \geq 1 \\ x^{2} + 3 x - m \leq - 3 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m \leq \min_{(0; 2)} (x^{2} + 3 x - 1) \\ m \geq \max_{(0; 2)} (x^{2} + 3 x + 3) \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m \leq - 1 \\ m \geq 13 \end{array}$ mà $m \in ℤ, m \in [- 10; 20]$ nên $m \in \{- 10; - 9; ...; - 1\} \cup \{13; 14; ...; 20\} .$

Vậy có tất cả 18 giá trị của m.

Câu 37:

S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số a thỏa mãn mỗi nghiệm của bất phương trình $\log_{x} (5 x^{2} - 8 x + 3) > 2$ đều là nghiệm của bất phương trình $x^{2} - 2 x - a^{4} + 1 \geq 0.$ Khi đó

A. $S = [- \frac{\sqrt{10}}{5}; \frac{\sqrt{10}}{5}] .$

B. $S = (- \infty; - \frac{\sqrt{10}}{5}] \cup [\frac{\sqrt{10}}{5}; + \infty) .$

C. $S = (- \infty; - \frac{\sqrt{10}}{5}) \cup (\frac{\sqrt{10}}{5}; + \infty) .$

D. $S = (- \frac{\sqrt{10}}{5}; \frac{\sqrt{10}}{5}) .$

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có $\log_{x} (5 x^{2} - 8 x + 3) > 2 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} x > 1 \\ 5 x^{2} - 8 x + 3 > x^{2} \end{cases} \\ \{\begin{cases} 0 < x < 1 \\ 5 x^{2} - 8 x + 3 > 0 \\ 5 x^{2} - 8 x + 3 < x^{2} \end{cases} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} x > 1 \\ x > \frac{3}{2} \lor x < \frac{1}{2} \end{cases} \\ \{\begin{cases} 0 < x < 1 \\ x > 1 \lor x < \frac{3}{5} \\ \frac{1}{2} < x < \frac{3}{2} \end{cases} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x > \frac{3}{2} \\ \frac{1}{2} < x < \frac{3}{5} \end{array}$

Bài toán đưa về tìm a để $x^{2} - 2 x - a^{4} + 1 \geq 0$ đúng với mọi $x \in (\frac{1}{2}; \frac{3}{5}) \cup (\frac{3}{2}; + \infty)$ .

Câu 38:

Gọi S là tập các giá trị dương của tham số m sao cho hàm số $y = x^{3} - 3 m x^{2} + 27 x + 3 m - 2$ đạt cực trị tại $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $|x_{1} - x_{2}| \leq 5.$ Biết $S = (a; b] .$ Tính $T = 2 b - a$ .

A. $T = \sqrt{61} + 3.$

B. $T = \sqrt{51} + 6.$

C. $T = \sqrt{61} - 3.$

D. $T = \sqrt{51} - 6.$

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có $y' = 3 x^{2} - 6 m x + 27, Δ'_{y'} = 9 m^{2} - 81$

Để hàm số $y = x^{3} - 3 m x^{2} + 27 x + 3 m - 2$ đạt cực trị tại $x_{1}, x_{2}$ thì $Δ'_{y'} > 0 \Leftrightarrow 9 m^{2} - 81 > 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m > 3 \\ m < - 3 \end{array} (*)$

Khi đó phương trình $y' = 0$ có hai nghiệm $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 2 m \\ x_{1} . x_{2} = 9 \end{cases} (1)$

Theo bài ra ta có $|x_{1} - x_{2}| \leq 5 \Leftrightarrow {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 4 x_{1} . x_{2} \leq 25 (2)$

Thay (1) vào (2), được: $4 m^{2} - 36 \leq 25 \Leftrightarrow m^{2} \leq \frac{61}{4} \Leftrightarrow - \frac{\sqrt{61}}{2} \leq m \leq \frac{\sqrt{61}}{2}$

Kết hợp điều kiện (*) suy ra tập các giá trị dương của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán là $S = (3; \frac{\sqrt{61}}{2}] .$ Vậy $T = 2. \frac{\sqrt{61}}{2} - 3 = \sqrt{61} - 3.$

Câu 39:

Cho hình nón đỉnh O có thiết diện đi qua trục là một tam giác vuông cân OAB, AB=a Một mặt phẳng (P) đi qua O tạo với mặt phẳng đáy một góc $60^{0}$ và cắt hình nón theo thiết diện là tam giác OMN. Diện tích tam giác OMN bằng

A. $\frac{a^{2} \sqrt{2}}{6} .$

B. $\frac{a^{2} \sqrt{2}}{7} .$

C. $\frac{a^{2} \sqrt{3}}{16} .$

D. $\frac{a^{2} \sqrt{3}}{8} .$

Xem đáp án

Cho hình nón đỉnh O có thiết diện đi qua trục là một tam giác vuông cân OAB (ảnh 1)

Cho hình nón đỉnh O có thiết diện đi qua trục là một tam giác vuông cân OAB (ảnh 2)

Câu 40:

Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A(2;5;1) , B(-2;-6;2), C(1;2;-1) và điểm $M (m; m; m),$ để $|\vec{M B} - 2 \vec{A C}|$ đạt giá trị nhỏ nhất thì m bằng

A. 1.

B. 4.

C. 2.

D. 3.

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có: $\vec{M B} = (- 2 - m; - 6 - m; 2 - m), \vec{A C} = (- 1; - 3; - 2) .$

Suy ra tọa độ $\vec{M B} - 2 \vec{A C} = (- 2 - m + 2; - 6 - m + 6; 2 - m + 4) = (- m; - m; 6 - m) .$

Vậy độ dài $|\vec{M B} - 2 \vec{A C}| = \sqrt{m^{2} + m^{2} + {(6 - m)}^{2}} = \sqrt{3 m^{2} - 12 m + 36} = \sqrt{3 {(m - 2)}^{2} + 24} \geq 2 \sqrt{6}$ .

Suy ra $|\vec{M B} - 2 \vec{A C}|$ đạt giá trị nhỏ nhất $2 \sqrt{6}$ khi m=2

Câu 41:

Cho hàm số y= cos 4x có một nguyên hàm F(x) Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $F (\frac{π}{8}) - F (0) = 1.$

B. $F (\frac{π}{8}) - F (0) = \frac{1}{4} .$

C. $F (\frac{π}{8}) - F (0) = - 1.$

D. $F (\frac{π}{8}) - F (0) = \frac{- 1}{4} .$

Xem đáp án

Chọn B.

Ta có

$\int_{0}^{\frac{π}{8}} \cos 4 x d x = \frac{1}{4} (\sin 4 x) |\begin{array}{l} \frac{π}{8} \\ 0 \end{array} = \frac{1}{4} [(\sin 4. \frac{π}{8}) - (\sin 4.0)] = \frac{1}{4} [(\sin \frac{π}{2}) - (\sin 0)] = \frac{1}{4} (1 - 0) = \frac{1}{4} .$

Câu 42:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ba điểm A(2;3;1), B(-1;2;0), C(1;1;-2). Gọi I(a;b;c) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính giá trị biểu thức $P = 15 a + 30 b + 75 c$ .

A. 52.

B. 50.

C. 46.

D. 48.

Xem đáp án

Chọn B.

Ta có

$\int_{0}^{\frac{π}{8}} \cos 4 x d x = \frac{1}{4} (\sin 4 x) |\begin{array}{l} \frac{π}{8} \\ 0 \end{array} = \frac{1}{4} [(\sin 4. \frac{π}{8}) - (\sin 4.0)] = \frac{1}{4} [(\sin \frac{π}{2}) - (\sin 0)] = \frac{1}{4} (1 - 0) = \frac{1}{4} .$

Câu 43:

Phương trình: $9^{x} + (m - 1) {.3}^{x} + m > 0 (1) .$ Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình (1) nghiệm đúng $\forall x > 1.$

A. $m \geq - \frac{3}{2} .$

B. $m > - \frac{3}{2} .$

C. $m > 3 + 2 \sqrt{2} .$

D. $m \geq 3 + 2 \sqrt{2} .$

Xem đáp án

Phương trình: 9^x+(m-1).3^x+m>0(1) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình (1) (ảnh 1)

Phương trình: 9^x+(m-1).3^x+m>0(1) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình (1) (ảnh 2)

Câu 44:

Số nghiệm của phương trình $2^{\log_{5} (x + 3)} = x$ là

A. 2.

B. 0.

C. 3.

D. 1.

Xem đáp án

Chọn A.

Đặt $3^{x} = t, t > 3.$

(1) thành: $t^{2} + (m - 1) . t + m > 0 \Leftrightarrow m > \frac{- t^{2} + t}{t + 1}$

Xét $f (t) = \frac{- t^{2} + t}{t + 1}$ trên t > 3.

Có $f' (t) = \frac{- t^{2} - 3 t}{{(t + 1)}^{2}} < 0, \forall t > 3.$

Nên $f (t) < f (3) = - \frac{3}{2}, \forall t > 3$

Vậy $m \geq - \frac{3}{2} .$

Câu 45:

Cho hàm số y= f(x) không âm và liên tục trên khoảng $(0; + \infty) .$ Biết f(x) là một nguyên hàm của hàm số $\frac{e^{x} . \sqrt{f^{2} (x) + 1}}{f (x)}$ và $f (\ln 2) = \sqrt{3},$ họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $e^{2 x} . f (x)$ là

A. $\frac{2}{5} \sqrt{{(e^{x} + 1)}^{5}} + \frac{2}{3} \sqrt{{(e^{x} + 1)}^{3}} + C .$

B. $\frac{1}{3} \sqrt{{(e^{2 x} - 1)}^{3}} - \sqrt{e^{2 x} - 1} + C$

C. $\frac{1}{3} \sqrt{{(e^{2 x} - 1)}^{3}} + C .$

D. $\frac{1}{3} \sqrt{{(e^{x} - 1)}^{3}} + C .$

Xem đáp án

Chọn D.

Điều kiện: x > -3

Đặt: $t = \log_{3} (x + 3) \Rightarrow x = 5^{t} - 3$

Phương trình trở thành $2^{t} = 5^{t} - 3 \Leftrightarrow {(\frac{2}{5})}^{t} + 3 {(\frac{1}{5})}^{t} = 1 (1)$

Xét hàm số $f (t) = {(\frac{2}{5})}^{t} + 3 {(\frac{1}{5})}^{t}$ có $f' (t) = {(\frac{2}{5})}^{t} \ln \frac{2}{5} + 3 {(\frac{1}{5})}^{t} \ln \frac{1}{5} < 0, \forall t$ nên hàm số nghịch biến trên $(- \infty; + \infty) .$

Ta lại có f(1) =1 nên phương trình (1) có nghiệm duy nhất t =1

Khi đó phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 2

Câu 46:

Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy là tam giác đều cạnh a Gọi E,F lần lượt là trung điểm của các cạnh SB,SC Biết mặt phẳng (AEF) vuông góc với mặt phẳng (SBC). Tính thể tích khối chóp S.ABC.

A. $\frac{a^{3} \sqrt{5}}{24} .$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{5}}{8} .$

C. $\frac{a^{3} \sqrt{5}}{24} .$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{6} .$

Xem đáp án

Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy là tam giác đều cạnh a Gọi E,F lần lượt là trung điểm (ảnh 1)

Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy là tam giác đều cạnh a Gọi E,F lần lượt là trung điểm (ảnh 2)

Câu 47:

Trong một hộp có chứa các tấm bìa dạng hình chữ nhật có kích thước đôi một khác nhau, các cạnh của hình chữ nhật có kích thước là m và $n (m, n \in ℕ; 1 \leq m, n \leq 20,$ đơn vị là cm). Biết rằng mỗi bộ kích thước (m,n) đều có tấm bìa tương ứng. Ta gọi một tấm bìa là “tốt” nếu tấm bìa đó có thể được lặp ghép từ các miệng bìa dạng hình chữ L gồm 4 ô vuông, mỗi ô có độ dài cạnh là 1cm để tạo thành nó (Xem hình vẽ minh họa một tấm bìa “tốt” bên dưới).

Trong một hộp có chứa các tấm bìa dạng hình chữ nhật có kích thước đôi một khác nhau (ảnh 1)

Rút ngẫu nhiên một tấm bìa từ hộp, tính xác suất để tấm bìa vừa rút được là tấm bìa “tốt”.

A. $\frac{9}{35} .$

B. $\frac{29}{95} .$

C. $\frac{29}{105} .$

D. $\frac{2}{7} .$

Xem đáp án

Trong một hộp có chứa các tấm bìa dạng hình chữ nhật có kích thước đôi một khác nhau (ảnh 2)

Trong một hộp có chứa các tấm bìa dạng hình chữ nhật có kích thước đôi một khác nhau (ảnh 3)

Câu 48:

Có bao nhiêu cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn $2 \leq x \leq 2021$ và $2^{y} - \log_{2} (x + 2^{y - 1}) = 2 x - y$ ?

A. 2020.

B. 10.

C. 9.

D. 2019.

Xem đáp án

Có bao nhiêu cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn2 bé hơn bằng x bé hơn bằng 2021 và log 2 (x+2^y-1)? (ảnh 1)

Câu 49:

Cho hàm số $f (x) = x^{5} + 3 x^{3} - 4 m .$ Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình $f (\sqrt[3]{f (x) + m}) = x^{3} - m$ có nghiệm thuộc [1;2]?

A. 15.

B. 18.

C. 17.

D. 16.

Xem đáp án

Chọn D.

Đặt $u = \sqrt[3]{f (x) + m} \Rightarrow f (x) = u^{3} - m (1) .$

Khi đó $f (\sqrt[3]{f (x) + m}) = x^{3} - m \Leftrightarrow f (u) = x^{3} - m (2) .$

Lấy (1) - (2) ta được $f (u) - f (x) = u^{3} - x^{3} \Leftrightarrow f (u) + u^{3} = f (x) + x^{3} (*) .$

Xét $h (t) = f (t) + t^{3} = t^{5} + 4 t^{3} - 4 m \Rightarrow h' (t) = 5 t^{4} + 12 t^{2} \geq 0 \forall t.$

Kết hợp (*) yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow x = \sqrt[3]{f (x) + m} \Leftrightarrow f (x) = x^{3} - m$ có nghiệm thuộc [1;2]

$\Leftrightarrow x^{5} + 3 x^{3} - 4 m = x^{3} - m \Leftrightarrow g (x) = x^{5} + 2 x^{3} = 3 m$ có nghiệm thuộc [1;2]

Mà $g' (x) = 5 x^{4} + 6 x^{2} \geq 0 \forall x \in [1; 2] \Rightarrow g (1) \leq 3 m \leq g (2) \Leftrightarrow 3 \leq 3 m \leq 48 \Leftrightarrow 1 \leq m \leq 16$ .

Câu 50:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy (ABCD) và góc giữa SC với mặt phẳng (SAB) bằng $30^{0} .$ Gọi M là điểm di động trên cạnh CD và H là hình chiếu vuông góc của S lên đường thẳng BM. Khi M di động trên CD thì thể tích khối chóp S.ABH lớn nhất là

A. $V = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{6} .$

B. $V = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{12} .$

C. $V = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{15} .$

D. $V = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{8} .$

Xem đáp án