50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 30 đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 có lời giải - Đề 17

Câu 1:

Cho cấp số nhân $(u_{n})$ với $u_{1} = 3,$ công bội $q = \frac{1}{2} .$ Số hạng $u_{3}$ của cấp số nhân đã cho bằng

A. $\frac{3}{2} .$

B. $- \frac{3}{4} .$

C. $\frac{3}{4} .$

D. $\frac{3}{8} .$

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có: $u_{3} = u_{1} . q^{2} = 3. {(- \frac{1}{2})}^{2} = \frac{3}{4} .$

Câu 2:

Hàm số $y = 2^{x^{2} - x}$ có đạo hàm là

A. $y' = (2 x - 1) {.2}^{x^{2} - x} . \ln 2.$

B. $y' = 2^{x^{2} - x} . \ln 2.$

C. $y' = (x^{2} - x) {.2}^{x^{2} - x - 1} .$

D.

y' = (2 x - 1) {.2}^{x^{2} - x}

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có: $y = 2^{x^{2} - x} \Rightarrow y' = (2 x - 1) {.2}^{x^{2} - x} . \ln 2$

Câu 3:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và $S A = a \sqrt{2} .$ Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng

A. $45^{0} .$

B. $90^{0} .$

C. $60^{0} .$

D. $30^{0} .$

Xem đáp án

Chọn A.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ảnh 1)

Ta có: $\hat{(S C; (A B C D))} = \hat{(S C; A C)} = \hat{S C A}$

Khi đó: $\tan \hat{S C A} = \frac{S A}{A C} = \frac{a \sqrt{2}}{a \sqrt{2}} = 1 \Rightarrow \hat{S C A} = 45^{0}$

Câu 4:

Cho hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông cạnh a thì bán kính đáy là

A.

r = \frac{2 a}{3} .

B.

r = \frac{a}{4} .

C.

r = \frac{a}{2} .

D. $r = a .$

Xem đáp án

Chọn C.

Cho hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông cạnh a thì bán kính đáy là (ảnh 1)

Khi đó bán kính đáy $r = \frac{a}{2} .$

Câu 5:

Khối đa diện đều có 8 mặt thì có số đỉnh là

A. 4

B. 12.

C. 6.

D. 8.

Xem đáp án

Chọn C.

Khối đa diện đều có 8 mặt là khối bát diện đều có số đỉnh là 6 và số cạnh là 12

Chọn đáp án C.

Câu 6:

Hàm số nào trong bốn hàm số được liệt kê dưới đây không có cực trị?

A. $y = \frac{2 x - 3}{x + 2} .$

B. $y = |x + 2| .$

C. $y = - x^{3} + x .$

D. $y = x^{4} .$

Xem đáp án

Chọn A.

Hàm số $y = \frac{2 x - 3}{x + 2}$ có đạo hàm $y' = \frac{7}{{(x + 2)}^{2}} > 0 \forall x \in ℝ \ \{- 2\} .$

$\Rightarrow$ Hàm số luôn đồng biến trên $(- \infty; - 2)$ và $(- 2; + \infty)$ nên không có cực trị.

Câu 7:

Đường cong hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số nào dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào?

A. $y = \frac{- x + 3}{x + 1} .$

B. $y = \frac{- 2 x + 1}{2 x + 1} .$

C. $y = \frac{- x}{x + 1} .$

D. $y = \frac{- x + 1}{x + 1} .$

Xem đáp án

Đường cong hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số nào dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào? (ảnh 2)

Câu 8:

Cho $x, y > 0$ và $α, β \in ℝ .$ Nhận định nào sau đây sai?

A.

{(x^{α})}^{β} = x^{α . β} .

B.

x^{α} + y^{α} = {(x + y)}^{α} .

C.

{(x y)}^{α} = x^{α} . y^{α} .

D.

x^{α} . x^{β} = x^{α + β} .

Xem đáp án

Cho x,y> 0 và alpha, beta thuộc R. Nhận định nào sau đây sai? (ảnh 1)

Câu 9:

Hàm số nào trong các hàm số dưới đây đồng biến trên $ℝ ?$

A. $y = x^{4} + x^{2} - 1.$

B. $y = x^{3} - x^{2} + 3 x + 11.$

C. $y = \tan x .$

D. $y = \frac{x + 2}{x + 4} .$

Xem đáp án

Chọn B.

Xét hàm số $y = x^{3} - x^{2} + 3 x + 11.$

Ta có $y' = 3 x^{2} - 2 x + 3 = 3 [{(x - \frac{1}{3})}^{2} + \frac{8}{9}] > 0, \forall x \in ℝ$

Như vậy hàm số đồng biến trên $ℝ$

Câu 10:

Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A.

(- 1; 0) .

B.

(0; + \infty) .

C.

(1; + \infty) .

D.

(0; 1) .

Xem đáp án

Chọn D.

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số nghịch biến trên các khoảng $(- \infty; - 1)$ và (0;1).

Câu 11:

Cho khối nón có bán kính đáy r đường sinh l chiều cao h. Gọi $S_{x q}, S_{t p}, V$ lần lượt là diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, diện tích khối nón đó. Mệnh đề nào sau đây sai?

A.

r = \sqrt{l^{2} - h^{2}} .

B.

V = \frac{1}{3} π r^{2} h .

C.

S_{t p} = π r (l + r) .

D.

S_{x q} = π r h .

Xem đáp án

Chọn D.

Diện tích xung quanh của hình nón là $S_{x q} = π r l .$

Câu 12:

Tập nghiệm của phương trình $\log_{2} (x^{2} - x + 2) = 1$ là

A.

\{1\} .

B.

\{- 1; 0\} .

C.

\{0; 1\} .

D.

\{0\} .

Xem đáp án

Tập nghiệm của phương trình log 2( x^2-x+2)=1 là (ảnh 1)

Câu 13:

Khối chóp có diện tích đáy là B chiều cao là h có thể tích là

A.

V = \frac{1}{3} B h .

B. $V = B h .$

C.

V = \frac{1}{6} B h .

D. $V = \frac{1}{2} B h .$

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có khối chóp có thể tích là: $V = \frac{1}{3} B h .$

Câu 14:

Phương trình tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $\frac{4 - 3 x}{4 x + 5}$ là

A.

y = \frac{3}{4} .

B. $x = - \frac{5}{4} .$

C.

y = - \frac{3}{4} .

D. $x = \frac{3}{4} .$

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có: $\begin{array}{l} \lim_{x \to - \infty} y = - \frac{3}{4} \\ \lim_{x \to + \infty} y = - \frac{3}{4} \end{array}\} \Rightarrow$ Phương trình tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là $y = - \frac{3}{4} .$

Câu 15:

Cho hàm số $y = \frac{3 x - 2}{x - 1}$ có đồ thị (C). Tọa độ giao điểm của hai đường tiệm cận của (C) là

A. $I (1; 2) .$

B.

I (3; 1) .

C.

I (1; 3) .

D. $I (\frac{2}{3}; 3) .$

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có đồ thị (C) có tiệm cận ngang là $y = 3$ và tiệm cận đứng là x=1

Suy ra tọa độ giao điểm của hai đường tiệm cận của (C) là $I (1; 3) .$

Câu 16:

Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên R ?

A. $y = {(\frac{2}{5})}^{- x} .$

B.

y = {(\frac{e}{4})}^{x} .

C. $y = \log_{3} x^{2} .$

D. $y = \log (x^{3}) .$

Xem đáp án

Chọn B.

Hàm số $y = {(\frac{e}{4})}^{x}$ có cơ số bằng $\frac{e}{4} < 1,$ suy ra hàm số nghịch biến trên R

Câu 17:

Khối lập phương có tổng diện tích các mặt là 24 thì thể tích bằng

A. 8

B. 9.

C. $6 \sqrt{6} .$

D. $3 \sqrt{3} .$

Xem đáp án

Khối lập phương có tổng diện tích các mặt là 24 thì thể tích bằng (ảnh 1)

Câu 18:

Tập xác định của hàm số $y = \log_{4} x$ là

A. $(- \infty; + \infty) .$

B.

(- \infty; 0) .

C.

(0; + \infty) .

D. $[0; + \infty) .$

Xem đáp án

Chọn C.

Hàm số $y = \log_{4} x$ xác định $\Leftrightarrow x > 0.$

Vậy $D = (0; + \infty) .$

Câu 19:

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho là

A. 4.

B. $- 2$

C. 3.

D. $- 1$

Xem đáp án

Chọn B.

Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 3 \Rightarrow y_{C T} = - 2.$

Câu 20:

Số cách chọn đồng thời ra 3 người từ một nhóm có 12 người là

A. $A_{12}^{3} .$

B. 4.

C. $C_{12}^{3} .$

D. $P_{3} .$

Xem đáp án

Chọn C.

Số cách chọn đồng thời ra 3 người từ một nhóm có 12 người là $C_{12}^{3} .$

Câu 21:

Khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có cạnh bên bằng a đáy là tam giác vuông cân tại A và $B C = 2 a .$ Tính theo a thể tích khối lăng trụ đó.

A. $V = a^{3} .$

B. $\frac{a^{3}}{3} .$

C. $\frac{2 a^{3}}{3} .$

D. $2 a^{3} .$

Xem đáp án

Khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có cạnh bên bằng a đáy là tam giác vuông cân (ảnh 1)

Câu 22:

Mặt cầu đường kính 4a thì có diện tích bằng

A. $16 π a^{2} .$

B. $\frac{64}{3} π a^{2} .$

C.

\frac{16}{3} π a^{2} .

D. $64 π a^{2} .$

Xem đáp án

Chọn A.

Mặt cầu đường kính 4a suy ra bán kính R= 2a

Vậy diện tích mặt cầu là $S = 4 π R^{2} = 4 π . {(2 a)}^{2} = 16 π a^{2} .$

Câu 23:

Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{3} (x^{2} - 2 x) \leq 1$ là

A. $S = [- 1; 0] \cup [2; 3] .$

B. $S = [- 1; 3] .$

C.

S = (- 1; 3) .

D. $S = [- 1; 0) \cup (2; 3] .$

Xem đáp án

Chọn D.

Điều kiện $x^{2} - 2 x > 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x < 0 \\ x > 2 \end{array} .$

Bất phương trình tương đương $x^{2} - 2 x \leq 3 \Leftrightarrow x^{2} - 2 x - 3 \leq 0 \Leftrightarrow - 1 \leq x \leq 3.$

Kết hợp điều kiện ta được tập nghiệm của bất phương trình $S = [- 1; 0) \cup (2; 3] .$

Câu 24:

Cho hàm số y= f(x) xác định trên $ℝ \ \{- 1\},$ liên tục trên các khoảng xác định của nó và có bảng biên thiên như hình vẽ.

$Cho hàm số y= f(x) xác định trên R\ {-1} liên tục trên các khoảng xác định của nó (ảnh 1)$

Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Giá trị lớn nhất của hàm số là 2.

B. Phương trình $f (x) = m$ có ba nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi $m \in (1; 2) .$

C. Hàm số đồng biến trên $(- \infty; 1) .$

D. Đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận.

Xem đáp án

$Cho hàm số y= f(x) xác định trên R\ {-1} liên tục trên các khoảng xác định của nó (ảnh 2)$

Câu 25:

Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = - x^{3} + 6 x^{2} - 9 x + 5$ trên đoạn [-1;2]. Khi đó tổng M+ m bằng

A. 22.

B. 4.

C. 24.

D. 6.

Xem đáp án

Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số (ảnh 1)

Câu 26:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật tâm $O, A B = a, A D = a \sqrt{3},$ biết $S A = S B = S O = a .$ Tính theo a thể tích của khối chóp đó.

A.

V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6} .

B.

V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{3} .

C.

V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{12} .

D.

V = a^{3} \sqrt{2} .

Xem đáp án

Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật tâm O, AB=a, AD= a căn bậc hai 3 (ảnh 1)

Câu 27:

Cho hàm số f(x) có đạo hàm $f' (x) = x {(x - 3)}^{2} (x^{2} - 2 x - 3) .$ Số điểm cực đại của hàm số đã cho là

A. 4.

B. 2.

C. 3.

D. 1.

Xem đáp án

Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x)=x( x-3)^2( x^2-2x-3). Số điểm cực đại (ảnh 1)

Câu 28:

Cho hình chữ nhật ABCD có $A B = a, A D = a \sqrt{3},$ quay hình chữ nhật quanh đường thẳng AB ta được khối tròn xoay có thể tích bằng

A.

V = π a^{3} .

B. $V = \sqrt{3} π a^{3} .$

C. $V = \frac{\sqrt{3}}{3} π a^{3} .$

D. $V = 3 π a^{3} .$

Xem đáp án

Chọn D.

Khi quay hình chữ nhật quanh đường thẳng AB ta được khối trụ tròn xoay có đường cao bằng AB=a bán kính đáy bằng $A D = a \sqrt{3} .$ Thể tích khối trụ là $V = π r^{2} h = 3 π a^{3} .$

Câu 29:

Phương trình $\sin 5 x - \sin x = 0$ có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn $[- 2020 π; 2020 π] ?$

A. 20200.

B. 16161.

C. 16160.

D. 20201.

Xem đáp án

Phương trình sin 5x- sinx =0 có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn [-2020 pi; 2020 pi] ? (ảnh 1)

Câu 30:

Tổng các nghiệm của phương trình $2^{x^{2} + 2 x} = 8^{2 - x}$ bằng:

A. 6

B. -6

C. 5

D. -5

Xem đáp án

Chọn D.

Ta có: $2^{x^{2} + 2 x} = 8^{2 - x} \Leftrightarrow x^{2} + 2 x = 3 (2 - x)$

$\Leftrightarrow x^{2} + 5 x - 6 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = - 6 \end{array}$

Tổng các nghiệm bằng $S = - 5.$

Câu 31:

Số nghiệm của phương trình $\log_{3} (6 + x) + \log_{3} (9 x) - 5 = 0$ là:

A. 0.

B. 2.

C. 1.

D. 3.

Xem đáp án

Số nghiệm của phương trình log 3(6+x)+ log 3(9x) -5=0 là: (ảnh 1)

Câu 32:

Cho hàm số $f (x) = \frac{a x - 1}{b x + c} (a, b, c \in ℝ)$ có bảng biến thiên như sau:

Cho hàm số f(x)=ax-1/ bx+c( a,b,c thuộc R) có bảng biến thiên như sau: (ảnh 1)

Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $0 < b < \frac{2}{3} .$

B. $[\begin{array}{l} b > \frac{2}{3} . \\ b < 0 \end{array}$

C.

[\begin{array}{l} b > \frac{1}{6} . \\ b < 0 \end{array}

D. $0 < b < \frac{1}{6} .$

Xem đáp án

Chọn B.

Dựa vào BBT ta thấy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $x = 3$ và tiệm cận ngang là $y = \frac{1}{2} .$

Do đó: $\{\begin{cases} \frac{a}{b} = \frac{1}{2} \\ - \frac{c}{b} = 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = \frac{1}{2} b \\ c = - 3 b \end{cases}$

Mặt khác $f' (x) = \frac{a c + b}{{(b x + c)}^{2}} < 0 \Rightarrow a c + b < 0 \Leftrightarrow \frac{1}{2} b (- 3 b) + b < 0$

$\Leftrightarrow - \frac{3}{2} b^{2} + b < 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} b > \frac{2}{3} \\ b < 0 \end{array} .$

Câu 33:

Cho a và b là hai số thực dương thỏa mãn $a^{3} b^{2} = 32.$ Giá trị của $P = 3 \log_{2} a + 2 \log_{2} b$ là

A. $P = 4.$

B.

P = 32 .

C. $P = 5 .$

D.

P = 3 .

Xem đáp án

Chọn C.

$P = 3 \log_{2} a + 2 \log_{2} b = \log_{2} a^{3} + \log_{2} b^{2} = \log_{2} a^{3} b^{2} = \log_{2} 32 = 5.$

Câu 34:

Số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton ${(x^{2} + \frac{2}{x})}^{12} (x \neq 0)$ là

A. $2^{8} . C_{12}^{8} .$

B. $2^{4} . C_{12}^{4} .$

C. $C_{12}^{8} .$

D. $2^{4} . C_{12}^{5} .$

Xem đáp án

Số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton (x^2+2/x)^12( x khác 0) là (ảnh 1)

Câu 35:

Cho hàm số $y = - 2 x^{3} + 6 x^{2} - 5$ có đồ thị (C) Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M thuộc (C) và có hoành độ bằng 3 là

A. $y = - 18 x + 49.$

B.

y = - 18 x - 49.

C.

y = 18 x - 49.

D. $y = 18 x + 49.$

Xem đáp án

Cho hàm số y= -2x^3+6x^2-5 có đồ thị (C) Phương trình tiếp tuyến của (C) (ảnh 1)

Câu 36:

Tìm tất cả giá trị của ham số m để phương trình $m {.9}^{x^{2} + 1} + 4^{x^{2}} = 0$ có nghiệm.

A.

0 \leq m \leq 5.

B.

m \leq 9.

C.

0 < m < 5.

D.

0 < m \leq 5.

Xem đáp án

Tìm tất cả giá trị của ham số m để phương trình m.9x^2+1+4^x^2=0 có nghiệm. (ảnh 1)

Câu 37:

Cho hàm số $y = \frac{m x - 18}{x - 2 m} .$ Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số đồng biến trên khoảng $(2; + \infty) .$ Tổng các phần tử của m bằng

A.

- 3.

B.

- 5 .

C. 2.

D.

- 2 .

Xem đáp án

Cho hàm số y=mx-18/ x-2m. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m (ảnh 1)

Câu 38:

Cho hình chóp A.ABCD đáy là hình thoi tâm I cạnh a góc $\hat{B A D} = 60^{0},$ hình chiếu của S trên mặt phẳng đáy là M trung điểm của BI góc giữa SC và mặt phẳng đáy bằng $45^{0} .$ Tính theo a thể tích V của khối chóp đó.

A.

V = \frac{a^{3} \sqrt{39}}{12} .

B.

V = \frac{a^{3} \sqrt{39}}{24} .

C.

V = \frac{a^{3} \sqrt{39}}{48} .

D.

V = \frac{a^{3} \sqrt{39}}{8} .

Xem đáp án

Chọn B.

Cho hình chóp A.ABCD đáy là hình thoi tâm I cạnh a góc BAD= 60 độ (ảnh 1)

ABCD là hình thoi và $\hat{B A D} = 60^{0}$ nên tam giác ABD và $Δ B C D$ là các tam giác đều.

Ta có $B D = a, M I = \frac{B D}{4} = \frac{a}{4} .$ Tam giác BCD đều cạnh a nên $C I = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ suy ra $A C = a \sqrt{3} .$

Khi đó $M C = \sqrt{M I^{2} + I C^{2}} = \sqrt{{(\frac{a}{4})}^{2} + {(\frac{a \sqrt{3}}{2})}^{2}} = \frac{a \sqrt{13}}{4} .$

Ta có $S M ⊥ (A B C D)$ nên MC là hình chiếu của SC lên (ABCD).

Suy ra $(S C, (A B C D)) = (S C, M C) = \hat{S C M} = 45^{0}$

Do đó $Δ S M C$ vuông cân tại M suy ra $S M = M C = \frac{a \sqrt{13}}{4} .$

Vậy thể tích của khối chóp đã cho là $V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} . S_{A B C D} . S M = \frac{1}{3} . \frac{1}{2} a \sqrt{3} . a . \frac{a \sqrt{13}}{4} = \frac{a^{3} \sqrt{39}}{24}$ (đvtt).

Câu 39:

Một khối hộp chứa 5 viên bi đỏ, 6 viên bi xanh và 7 viên bi trắng. Chọn ngẫu nhiên đồng thời 6 viên bi từ hộp. Xác suất để chọn được 6 viên bi có cả 3 màu đồng thời hiệu của số bi xanh và bi đỏ, hiệu của số bi trắng và bi xanh, hiệu của số bi đỏ và trắng theo thứ tự ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng bằng

A. $\frac{35}{422} .$

B.

\frac{40}{221} .

C.

\frac{5}{422} .

D.

\frac{75}{422} .

Xem đáp án

Chọn B.

Gọi A là biến cố: “Chọn được 6 viên bi có cả 3 màu đồng thời hiệu của số bi xanh và bi đỏ, hiệu của số bi trắng và bi xanh, hiệu của số bi đỏ và bi trắng theo thứ tự là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng”

Số phần tử của không gian mẫu là số cách lấy ngẫu nhiên 6 viên bi bất kì trong 18 viên bi nên ta có: $|Ω| = C_{18}^{6} = 18564$

Gọi x,y,z lần lượt là số bi xanh, số bi đỏ, số bi trắng có trong 6 viên bi được chọn ( $x; y; z$ nguyên dương và $x; y; z < 6)$

Theo đề bài ta có: $(x - y) + (y - z) = 2 (z - x) \Leftrightarrow x - z = 2 (z - x) \Leftrightarrow 3 x = 3 z \Leftrightarrow x = z$

Mà $x + y + z = 6; x; y; z$ nguyên dương $\Rightarrow \{\begin{cases} x = z = 1 \\ y = 4 \end{cases}$ hoặc $x = y = z = 2$

* Trường hợp 1: $x = z = 1$ và y = 4 tức là lấy ra 1 viên bi xanh, 4 viên bi đỏ và 1 viên bi trắng. Khi đó, số cách chọn 6 viên bi thỏa mãn yêu cầu là $C_{6}^{1} . C_{5}^{4} . C_{7}^{1} = 210$

* Trường hợp 2: $x = y = z = 2$ tức là lấy ra 2 viên bi mỗi loại. Khi đó, số cách chọn 6 viên bi thỏa mãn yêu cầu là $C_{6}^{2} . C_{5}^{2} . C_{7}^{2} = 3150$

Số phần tử của biến cố A là $|Ω_{A}| = 210 + 3150 = 3360.$

Vậy xác suất của biến cố A là $\frac{|Ω|}{|Ω_{A}|} = \frac{3360}{18564} = \frac{40}{221} .$

Câu 40:

Cho hàm số $y = x^{4} - 2 (1 - m^{2}) x^{2} + m + 1.$ Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số lập thành tam giác có diện tích là lớn nhất.

A. $m = \frac{1}{2} .$

B. $m = - \frac{1}{2} .$

C. $m = 0 .$

D. $m = 1 .$

Xem đáp án

Chọn C.

Hàm số $y = x^{4} - 2 (1 - m^{2}) x^{2} + m + 1 = {(x^{2} - 1 + m^{2})}^{2} - m^{4} + 2 m^{2} + m$

TXĐ: $D = ℝ$

Ta có: $y' = 4 x^{3} - 4 (1 - m^{2}) x = 4 x (x^{2} - 1 + m^{2})$

$y' = 0 \Leftrightarrow 4 x (x^{2} - 1 + m^{2}) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x^{2} = 1 - m^{2} \end{array}$

Hàm số có cực đại, cực tiểu $\Leftrightarrow 1 - m^{2} > 0 \Leftrightarrow m^{2} < 1 \Leftrightarrow - 1 < m < 1$

Khi đó, các điểm cực trị của hàm số là $A (0; m + 1); B (\sqrt{1 - m^{2}}; - m^{4} + 2 m^{2} + m); C (- \sqrt{1 - m^{2}}; - m^{4} + 2 m^{2} + m)$

$\vec{B C} = (- 2 \sqrt{1 - m^{2}}; 0) \Rightarrow B C = 2 \sqrt{1 - m^{2}}$

Phương trình đường thẳng BC là $y = - m^{4} + 2 m^{2} + m$ hay $y + m^{4} - 2 m^{2} - m = 0$

Khoảng cách từ A đến BC là $d (A, B C) = |m^{4} - 2 m^{2} + 1| = |{(m^{2} - 1)}^{2}| = {(m^{2} - 1)}^{2}$

Diện tích $Δ A B C$ là $S_{A B C} = \frac{1}{2} B C . d (A, B C) = \sqrt{1 - m^{2}} . {(m^{2} - 1)}^{2} = \sqrt{{(1 - m^{2})}^{5}} \leq 1$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $m^{2} = 0 \Leftrightarrow m = 0$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy khi m = 0 thì hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số lập thành tam giác có diện tích là lớn nhất.

Câu 41:

Cho hàm số y= f(x) liên tục trên R có đồ thị như hình vẽ.

Phương trình $f (2 - f (x)) = 0$ có tất cả bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?

A. 7

B. 4.

C. 6.

D. 5

Xem đáp án

Chọn D.

Xét phương trình: $f (2 - f (x)) = 0.$ Đặt $u = 2 - f (x) .$

Phương trình trở thành: f(u)=0

Dựa vào đồ thị ta thấy:

$f (u) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} u = a (a \in (- 2; - 1)) \\ u = b (b \in (0; 1)) \\ u = c (c \in (1; 2)) \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} f (x) = 2 - a = m (m \in (3; 4)) \\ f (x) = 2 - b = n (n \in (1; 2)) \\ f (x) = 2 - c = p (p \in (0; 1)) \end{array}$

Cho hàm số y= f(x) liên tục trên R có đồ thị như hình vẽ. Phương trình f(2-f(x))=0 có tất cả (ảnh 2)

Với $f (x) = m (m \in (3; 4))$ phương trình có 1 nghiệm duy nhất.

Với $f (x) = n (n \in (1; 2))$ phương trình có 1 nghiệm duy nhất.

Với $f (x) = p (p \in (0; 1))$ phương trình có 3 nghiệm phân biệt.

Vậy phương trình $f (2 - f (x)) = 0$ có tất cả 5 nghiệm thực phân biệt.

Câu 42:

Người ta thiết kế một thùng chứa hình trụ có thể tích nhất định. Biết rằng giá trị của vật liệu làm mặt đáy và nắp của thùng bằng nhau và đắt gấp 3 lần so với giá vật liệu để làm mặt xung quanh của thùng (chi phí cho mỗi đơn vị điện tích). Gọi chiều cao của thùng là h bán kính đáy là r. Tính tỉ số $\frac{h}{r}$ sao cho chi phí vật liệu sản xuất thùng là nhỏ nhất.

A.

\frac{h}{r} = 3 \sqrt{2} .

B.

\frac{h}{r} = \sqrt{2} .

C.

\frac{h}{r} = 2.

D.

\frac{h}{r} = 6 .

Xem đáp án

Câu 43:

Thiết diện qua trục của một khối nón là tam giác đều cạnh a. Thể tích của khối nón đó là

A. $\frac{π a^{3} \sqrt{3}}{8} .$

B. $\frac{π a^{3} \sqrt{3}}{12} .$

C.

\frac{π a^{3} \sqrt{3}}{16} .

D. $\frac{π a^{3} \sqrt{3}}{24} .$

Xem đáp án

Thiết diện qua trục của một khối nón là tam giác đều cạnh a. Thể tích của khối nón đó là (ảnh 1)

Câu 44:

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) là điểm H trên cạnh AB sao cho HA=2HB. Góc giữa SC mặt phẳng (ABC) bằng $60^{0} .$ Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a.

A.

\frac{a \sqrt{42}}{8} .

B. $\frac{a \sqrt{6}}{8} .$

C. $\frac{a \sqrt{6}}{7} .$

D. $\frac{a \sqrt{42}}{3} .$

Xem đáp án

Chọn A.

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên (ảnh 1)

Qua A kẻ đường thẳng d song song với BC. Gọi I là hình chiếu vuông góc của H lên d

$B C / / (S A I) \Rightarrow d (B C, S A) = d (B C, (S A I)) = d (B, (S A I)) = \frac{3}{2} d (H, (S A I)) .$

Gọi K là hình chiếu vuông góc của H lên SI

$A I ⊥ H I, A I ⊥ S H \Rightarrow A I ⊥ (S H I) \Rightarrow A I ⊥ H K .$

$\Rightarrow H K ⊥ (S A I) \Rightarrow d (H, (S A I)) = H K .$

$\hat{H A I} = 180^{0} - (60^{0} + 60^{0}) = 60^{0} .$

Tam giác AIH vuông tại $I : I H = A H \sin 60^{0} = \frac{a \sqrt{3}}{3} .$

$\hat{(S C, (A B C))} = \hat{(S C, C H)} = \hat{S C H} = 60^{0} .$

$C H^{2} = B C^{2} + B H^{2} - 2 B C . B H . \cos 60^{0} = \frac{7 a^{2}}{9} \Rightarrow C H = \frac{a \sqrt{7}}{3} .$

Tam giác SHC vuông tại $H : S H = H C . \tan 60^{0} = \frac{a \sqrt{21}}{3} .$

Tam giác SHI vuông tại $H : \frac{1}{H K^{2}} = \frac{1}{S H^{2}} + \frac{1}{H I^{2}} \Rightarrow H K = \frac{a \sqrt{42}}{12} .$

$d (B, (S A I)) = \frac{3}{2} H K = \frac{a \sqrt{42}}{8} .$

Vậy $d (S A, B C) = \frac{a \sqrt{42}}{8} .$

Câu 45:

Một sinh viên được gia đình gửi vào sổ tiết kiệm 90 triệu đồng lãi suất $0, 9 %$ /tháng theo hình thức lãi kép. Nếu mỗi tháng sinh viên đó rút ra một số tiền như nhau vào ngày ngân hàng trả lãi thì hàng tháng anh ta rút ra số tiền gần nhất với số nào sau đây để đúng sau 4 năm đại học sẽ vừa hết số tiền cả vốn lẫn lãi?

A. 2.517.000(đồng).

B. 2.217.000(đồng)

C. 2.317.000(đồng)

D. 2.417.000(đồng)

Xem đáp án

Một sinh viên được gia đình gửi vào sổ tiết kiệm 90 triệu đồng lãi suất 0,9 phần trăm/tháng (ảnh 1)

Câu 46:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in [- 2020; 2020]$ để phương trình $2020^{x} + \frac{2 x - 1}{x + 1} + \frac{m x - 2 m - 1}{x - 2} = 0$ có đúng 3 nghiệm phân biệt?

A. 2020

B. 4040.

C. 4039.

D. 2018.

Xem đáp án

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc [-2020;2020] để phương trình (ảnh 1)

Câu 47:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi M,N lần lượt là trung điểm CD,AD. Gọi E là giao điểm của AM và BN mặt bên SCD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $S E C M .$

A.

R = \frac{a \sqrt{2}}{6} .

B. $R = \frac{a \sqrt{2}}{3} .$

C. $R = \frac{a \sqrt{2}}{2} .$

D. $R = \frac{a \sqrt{2}}{4} .$

Xem đáp án

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi M,N lần lượt là trung điểm (ảnh 1)

Câu 48:

Gọi S là tập hợp các giá trị thực của tham số m để phương trình sau có 3 nghiệm thực phân biêt $3^{- |x^{3} - \frac{x^{2}}{2} - m|} l o g_{\sqrt[3]{3}} (x^{2} - 2 x + 5) + 3^{- x^{2} + 2 x} \log \frac{1}{3} (|x^{3} - \frac{x^{2}}{2} - m| + 4) = 0.$ Tích các phần tử của S là

A.

- \frac{61}{36} .

B.

\frac{25}{108} .

C. $\frac{25}{54} .$

D.

\frac{5}{4} .

Xem đáp án

Chọn B.

Ta có

$3^{- |x^{3} - \frac{x^{2}}{2} - m|} \log_{\sqrt[3]{3}} (x^{2} - 2 x + 5) + 3^{- x^{2} + 2 x} \log_{\frac{1}{3}} (|x^{3} - \frac{x^{2}}{2} - m| + 4) = 0$

$\Leftrightarrow \frac{3}{3^{|x^{3} - \frac{x^{2}}{2} - m|}} . \log_{3} (x^{2} - 2 x + 5) = \log_{3} (|x^{3} - \frac{x^{2}}{2} - m| + 4) {.3}^{- x^{2} + 2 x}$

$\Leftrightarrow \log_{3} (x^{2} - 2 x + 1 + 4) {.3}^{x^{2} - 2 x + 1} = \log_{3} (|x^{3} - \frac{x^{2}}{2} - m| + 4) {.3}^{|x^{3} - \frac{x^{2}}{2} - m|}, (*)$

Xét hàm số $f (t) = 3^{t} . \log_{3} (t + 4), \forall t \geq 0$

Ta có $f' (t) = 3^{t} . \ln 3. \log_{3} (t + 4) + \frac{1}{(t + 4) . \ln 3} > 0, \forall t \geq 0.$

Suy ra hàm số f(t) đồng biến trên $(0; + \infty)$

Như vậy $(*) \Rightarrow x^{2} - 2 x + 1 = |x^{3} - \frac{x^{2}}{2} - m| \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} + 2 x - 1, (1) \\ m = x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + 1, (2) \end{array}, (* *)$

Đặt $\{\begin{cases} h (x) = x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} + 2 x - 1 \\ g (x) = x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + 1 \end{cases}$

Gọi S là tập hợp các giá trị thực của tham số m để phương trình (ảnh 1)

Ta có giao điểm của đồ thị h(x) và g(x) là điểm $K (1; \frac{1}{2})$

Ta có $h' (x) = 3 x^{2} - 3 x + 2 > 0, \forall x \in ℝ \Rightarrow h (x)$ đồng biến trên $ℝ$ .

Ta có: $g' (x) = 3 x^{2} + x - 2 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = \frac{2}{3} \end{array}$

Điểm cực đại của đồ thị $H (- 1; \frac{5}{2})$ , điểm cực tiểu của đồ thị $L (\frac{2}{3}; \frac{5}{27})$

Như vậy để phương trình đã cho có đúng 3 nghiệm thì (**) có đúng 3 nghiệm $\Leftrightarrow$ pt (1) có 1 nghiệm và pt (2) có đúng 2 nghiệm phân biệt hoặc pt (1) có 1 nghiệm và pt (2) có đúng 3 nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm chung $x = 1$

$\Leftrightarrow m = \frac{5}{2} \lor m = \frac{5}{27} \lor m = \frac{1}{2}$ suy ra tích các giá trị m thỏa yêu cầu bài toán là $\frac{25}{108} .$

Câu 49:

Cho hàm số f(x) liên tục trên R và có đồ thị y= f'(x) như hình dưới đây. Trên $[- 4; 3],$ hàm số $g (x) = 2 f (x) + {(1 - x)}^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm nào trong các điểm sau đây?

Cho hàm số f(x) liên tục trên R và có đồ thị y= f'(x) như hình dưới đây. (ảnh 1)

A. $x_{0} = - 1.$

B.

x_{0} = - 4 .

C.

x_{0} = 3 .

D. $x_{0} = - 3 .$

Xem đáp án

Cho hàm số f(x) liên tục trên R và có đồ thị y= f'(x) như hình dưới đây. (ảnh 2)

Cho hàm số f(x) liên tục trên R và có đồ thị y= f'(x) như hình dưới đây. (ảnh 3)

Câu 50:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm $O, A B = a, A D = a \sqrt{3},$ tam giác SAD đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm SA,G là trọng tâm tam giác SCD thể tích khối tứ diện $D O G M$ bằng

A. $\frac{\sqrt{3} a^{3}}{12} .$

B.

\frac{\sqrt{3} a^{3}}{8} .

C. $\frac{\sqrt{3} a^{3}}{6} .$

D. $\frac{\sqrt{3} a^{3}}{24} .$

Xem đáp án

Chọn D.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm O,AB=a, AD= a căn bậc hai 3 (ảnh 1)

* Gọi H là trung điểm của AD. Do tam giác SAD đều nên $S H ⊥ A D$

Do $(S A D) ⊥ (A B C D) \Rightarrow S H ⊥ (A B C D) .$

* Gọi N là trung điểm của $S C; I = M N \cap S O .$

Ta thấy I là trung điểm của MN và I là trung điểm của SO

Khi đó $d (O, (D M N)) = d (S; (D M N)) \Rightarrow V_{O . D M G} = V_{S . D M G} .$

* Ta có $\frac{V_{S . M I D}}{V_{S . A O D}} = \frac{S M}{S A} . \frac{S I}{S O} = \frac{1}{2} . \frac{1}{2} = \frac{1}{4}; \frac{V_{S . N I D}}{V_{S . C O D}} = \frac{S N}{S C} . \frac{S I}{S O} = \frac{1}{2} . \frac{1}{2} = \frac{1}{4} .$

Mà $V_{S . A O D} = V_{S . C O D} = \frac{1}{2} . V_{S . A D C} \Rightarrow V_{S . M N D} = V_{S . M I D} + V_{S . N I D} = (\frac{1}{4} + \frac{1}{4}) . \frac{1}{2} . V_{S . A D C} = \frac{1}{8} V_{S . A B C D}$

* Lại có $S_{S . A B C D} = A B . A D = a^{2} \sqrt{3}; S H = a \sqrt{3} . \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3 a}{2} \Rightarrow V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} . S H . S_{A B C D} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{2} .$

Khi ấy ta được $V_{S . M N D} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{16} .$

* Mặt khác $\frac{S_{M D G}}{S_{M D N}} = \frac{D G}{D N} = \frac{2}{3} \Rightarrow V_{S . M D G} = \frac{2}{3} . S_{M I N} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{24} .$ Vậy $V_{O . D M G} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{24} .$