50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 30 đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 có lời giải - Đề 9

Câu 1:

Cho hàm số y =f(x) liên tục trên R và có bảng xét dấu của đạo hàm như hình vẽ

Hàm số đã cho đồng biến trong khoảng nào dưới đây?

A. (2;4)

B. $(- \infty; 0) .$

C. (0;2)

D. $(- 1; 2) .$

Xem đáp án

Chọn C.

Từ bảng xét dấu suy ra hàm số đồng biến trong khoảng (0;2)

Câu 2:

Phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{4 - 3 x}{x + 1}$ là

A. $x = - 3.$

B. $x = - 1 .$

C. $y = - 3.$

D. $y = 4$

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có: $\lim_{x \to - \infty} \frac{4 - 3 x}{x + 1} = - 3, \lim_{x \to + \infty} \frac{4 - 3 x}{x + 1} = - 3.$

Vậy đồ thị hàm số đã cho có đường tiệm cận ngang y = -3

Câu 3:

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang.

B. Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y = 4

C. Đồ thị hàm số không có tiệm cận.

D. Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x = 0

Xem đáp án

Chọn C.

Từ bảng biến thiên suy ra đồ thị hàm số không có tiệm cận.

Câu 4:

Cho hàm số $y = e^{x}$ . Mệnh đề nào sau đây sai?

A. Đồ thị hàm số đi qua điểm A(1;0)

B. Tập xác định của hàm số là $D = ℝ .$

C. Hàm số có đạo hàm $y' = e^{x}, \forall x \in ℝ .$

D. Đồ thị hàm số nhận trục hoành là tiệm cận ngang.

Xem đáp án

Chọn A.

Với $x = 1 \Rightarrow y = e .$ Vậy đồ thị hàm số không đi qua điểm A(1;0) Phương án A sai.

Câu 5:

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D cạnh bằng 2a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB' và CD' bằng

A. 2a

B. a

C. $2 \sqrt{2} a .$

D. $\sqrt{2} a .$

Xem đáp án

Chọn A.

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D cạnh bằng 2a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB' và CD' bằng (ảnh 1)

Ta có $(A B B' A') / / (C D D' C') .$

\{\begin{cases} C D' / / (A B B' A') \\ A B' \subset (A B B' A') \end{cases} \Rightarrow d (C D'; A B') = d (C D'; (A B B' A')) = d (C; (A B B' A')) = C B = 2 a .

Câu 6:

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có $B A = a; B C = 2 a, B B' = 3 a .$ Thể tích V của khối hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' bằng

A. $V = 2 a^{3} .$

B. $V = 3 a^{3} .$

C. $V = 6 a^{3} .$

D. $V = a^{3} .$

Xem đáp án

Chọn C.

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có BA=a,BC= 2a,BB'= 3a. Thể tích V của khối hộp (ảnh 1)

Ta có: $V = B A . B B' . B C = a .2 a .3 a = 6 a^{3} .$

Câu 7:

Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C' có diện tích đáy bằng $2 a^{2},$ đường cao bằng 3a. Thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C' là

A. $a^{3} .$

B. $6 a^{3} .$

C. $12 a^{3} .$

D. $2 a^{3} .$

Xem đáp án

Chọn B.

Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C' có diện tích đáy bằng 2a^2 đường cao bằng 3a. Thể tích của khối (ảnh 1)

Ta có: $V = B . h = 2 a^{2} .3 a = 6 a^{3} .$

Câu 8:

Cho hàm số f(x) xác định trên $ℝ \ \{0\},$ liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau

$Cho hàm số f(x) xác định trên R\{0} liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau (ảnh 1)$

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình $f (x) = m - 1$ có ba nghiệm thực phân biệt.

A. $m \in (2; 4) .$

B. $m \in [2; 4) .$

C. $m \in (1; 3) .$

D. $m \in [1; 3) .$

Xem đáp án

Chọn A.

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình $f (x) = m - 1$ có ba nghiệm phân biệt khi $1 < m - 1 < 3 \Leftrightarrow 2 < m < 4 \Rightarrow m \in (2; 4)$ .

Câu 9:

Thể tích của khối cầu có bán kính R là:

A. $\frac{4 π R^{3}}{3} .$

B. $\frac{4 R^{3}}{3} .$

C. $4 π R^{3} .$

D. $\frac{3 π R^{3}}{4} .$

Xem đáp án

Chọn A.

Theo công thức tính thể tích khối cầu bán kính R ta có: $V = \frac{4 π R^{3}}{3} .$

Câu 10:

Tìm $\int \frac{1}{x} d x .$

A.

\int \frac{1}{x} d x = \ln |x| + C .

B.

\int \frac{1}{x} d x = - \ln |x| + C .

C.

\int \frac{1}{x} d x = \frac{1}{x^{2}} + C .

D.

\int \frac{1}{x} d x = - \frac{1}{x^{2}} + C .

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có: $\int_{}^{} \frac{1}{x} d x = \ln |x| + C .$

Câu 11:

Khối bát diện đều là khối đa diện loại

A.

\{4; 3\} .

B.

\{3; 4\} .

C.

\{3; 3\} .

D.

\{- 3; 3\} .

Xem đáp án

Chọn B.

Khối bát diện đều là khối đa diện loại (ảnh 1)

Khối bát diện đều là khối đa diện loại {3;4}

Câu 12:

Trong không gian Oxyz cho $\vec{u} = 2 \vec{i} - 3 \vec{j} - 2 \vec{k} .$ Tọa độ vectơ $\vec{u}$ là

A.

(2; - 3; 2) .

B.

(2; - 3; - 2) .

C.

(2; 3; 2) .

D.

(- 2; - 3; 2) .

Xem đáp án

Chọn B.

Vectơ $\vec{u} = (2; - 3; - 2) .$

Câu 13:

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có bảng biến thiên như sau:

Mệnh đề nào sau đây sai?

A. Đồ thị hàm số không có tiệm cận.

B. Giá trị cực tiểu của hàm số bằng 1.

C. x = 5 là điểm cực đại của hàm số.

D. Hàm số có ba điểm cực trị.

Xem đáp án

Chọn C.

Từ bảng biến thiên ta thấy x = 5 là điểm cực tiểu của hàm số.

Câu 14:

Biểu thức $a^{\frac{8}{3}} : \sqrt[3]{a^{4}}$ viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ là:

A. $a^{\frac{9}{8}} .$

B. $a^{\frac{3}{4}} .$

C. $a^{4} .$

D. $a^{\frac{4}{3}} .$

Xem đáp án

Chọn D.

Ta có $a^{\frac{8}{3}} : \sqrt[3]{a^{4}} = a^{\frac{8}{3}} : a^{\frac{4}{3}} = a^{\frac{8}{3} - \frac{4}{3}} = a^{\frac{4}{3}} .$

Câu 15:

Tập xác định của hàm số $y = \log_{2021} x$ là:

A. $D = (2021; + \infty) .$

B. $D = (0; + \infty) .$

C. $[0; + \infty) .$

D. $D = (0; + \infty) \ \{1\} .$

Xem đáp án

Chọn A.

Hàm số xác định $\Leftrightarrow x > 0.$

Vậy tập xác định của hàm số là $D = (0; + \infty) .$

Câu 16:

Hàm số nào sau đây đồng biến trên R

A. $y = x^{4} + 2 x^{2} .$

B. $y = \frac{x - 1}{x + 1} .$

C. $y = - x^{3} - 3 x + 1.$

D. $y = 2 x^{3} - 3 x + 1.$

Xem đáp án

Chọn D.

Hàm số $y = 2 x^{3} + 3 x + 1$ có $y' = 6 x^{2} + 3 > 0, \forall x \in ℝ .$

Vậy hàm số $y = 2 x^{3} + 3 x + 1$ đồng biến trên R

Câu 17:

Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = x^{2} ?$

A. $F (x) = 3 x^{3} .$

B. $F (x) = \frac{x^{3}}{3} .$

C. $F (x) = \frac{x^{3}}{2} .$

D. $F (x) = 2 x .$

Xem đáp án

Chọn B.

Ta có $\int_{}^{} f (x) d x = \int_{}^{} x^{2} d x = \frac{x^{3}}{3} + C \Rightarrow F (x) = \frac{x^{3}}{3}$ là một nguyên hàm của f(x)

Câu 18:

Tập nghiệm S của bất phương trình $9^{x + \frac{1}{2}} - {10.3}^{x} + 3 \leq 0$

A. $S = \{- 1; 1\} .$

B. $S = (- 1; 1) .$

C. $S = [- 1; 1] .$

D. $S = (- \infty; - 1] \cup [1; + \infty) .$

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có $9^{x + \frac{1}{2}} - {10.3}^{x} + 3 \leq 0 \Leftrightarrow {3.9}^{x} - {10.3}^{x} + 3 \leq 0 \Leftrightarrow 3. {(3^{x})}^{2} - {10.3}^{x} + 3 \leq 0.$

Đặt $t = 3^{x}, t > 0.$ Khi đó, bất phương trình trở thành:

$3 t^{2} - 10 t + 3 \leq 0 \Leftrightarrow \frac{1}{3} \leq t \leq 3 \Leftrightarrow \frac{1}{3} \leq 3^{x} \leq 3 \Leftrightarrow - 1 \leq x \leq 1.$

Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $S = [- 1; 1] .$

Câu 19:

Trong không gian Oxyz cho các điểm $A (2; 0; 0), B (0; 4; 0), C (0; 0; 6) .$ Tính thể tích V của tứ diện OABC.

A. V= 48 (đvđt).

B. V= 24 (đvđt).

C. V =8 (đvđt).

D. V =6(đvđt).

Xem đáp án

Chọn C.

Thể tích khối tứ diện O.ABC là $V_{O A B C} = \frac{1}{6} .2.4.6 = 8.$

Câu 20:

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ có $u_{3} = - 7$ và $u_{4} = - 4.$ Tìm công sai của cấp số cộng đã cho

A.

d = 3.

B. $d = \frac{4}{7} .$

C. $d = - 11 .$

D. $d = - 3.$

Xem đáp án

Chọn A.

Công sai của cấp số cộng là $d = u_{4} - u_{3} = (- 4) - (- 7) = 3.$

Câu 21:

Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{x + 1}{x^{2} - 3 x + 4}$ l

A. 3

B. 1.

C. 2.

D. 0.

Xem đáp án

Câu 22:

Số cách chọn đồng thời ra 4 người từ một nhóm có 11 người là

A. 44

B.

A_{12}^{4} .

C.15

D.

C_{11}^{4} .

Xem đáp án

Chọn D.

Số cách chọn đồng thời ra 4 người từ một nhóm có 11 người là $C_{11}^{4} .$

Câu 23:

Cho hàm số f(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ bên. Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên $[- 2; 0]$ là

Cho hàm số f(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ bên. Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho (ảnh 1)

A. -1

B. 0

C. 2

D. -2

Xem đáp án

Chọn C.

Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên [-2;0] là 2.

Câu 24:

Cho hàm số f(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ bên. Điểm cực đại của hàm số là

A. $x = 3.$

B. x =1

C. x =0

D. x = -1

Xem đáp án

Chọn D.

Từ đồ thị hàm số suy ra điểm cực đại của hàm số là x = -1

Câu 25:

Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn $[0; 1]$ của hàm số $y = 2 x^{3} - 3 x^{2} + 2020^{2021} .$ Giá trị biểu thức P = M - m bằng

A. -1

B. 1.

C. $2020^{2021} + 1.$

D. $2020^{2021} - 1.$

Xem đáp án

Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0;1] của hàm số (ảnh 1)

Câu 26:

Cho b là số dương tùy ý. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. $\log_{5} (5 b) = 1 + \log_{5} b .$

B. $\log_{5} (\frac{5}{b}) = 1 - \log_{5} b .$

C. $\log_{5} (b^{5}) = 5 \log_{5} b .$

D. $\log_{5} (\sqrt[5]{b}) = 5 \log_{5} b .$

Xem đáp án

Chọn D.

Ta có $\log_{5} (\sqrt[5]{b}) = \log_{5} b^{\frac{1}{5}} = \frac{1}{5} \log_{5} b .$

Câu 27:

Cho hình nón có bán kính r đường sinh l và chiều cao h. Diện tích xung quanh của hình nón đó bằng

A. $2 π r h .$

B. $π r h .$

C. $2 π r l .$

D. $π r l .$

Xem đáp án

Chọn D.

Cho hình nón có bán kính r đường sinh l và chiều cao h. Diện tích xung quanh của (ảnh 1)

Ta có $S_{x q} = π r l .$

Câu 28:

Cho hàm số $f (x) = {(x^{2} - 4)}^{- 2} + \log_{\sqrt{3}} (2 x + 1)$

A. $ℝ \ \{\pm 2\} .$

B. $(- \frac{1}{2}; + \infty) .$

C. $(2; + \infty) .$

D. $(- \frac{1}{2}; + \infty) \ \{2\} .$

Xem đáp án

Chọn D.

Điều kiện $\{\begin{cases} x^{2} - 4 \neq 0 \\ 2 x + 1 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \neq \pm 2 \\ x > - \frac{1}{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \neq 2 \\ x > - \frac{1}{2} \end{cases} .$

Tập xác định: $D = (- \frac{1}{2}; + \infty) \ \{2\} .$

Câu 29:

Phương trình $4^{x - 1} = 16$ có nghiệm là

A. $x = 4.$

B. $x = 2$

C. $x = 5$

D. $x = 3$

Xem đáp án

Chọn D.

Ta có: $4^{x - 1} = 16 \Leftrightarrow 4^{x - 1} = 4^{2} \Leftrightarrow x - 1 = 2 \Leftrightarrow x = 3.$

Câu 30:

Đồ thị hàm số nào dưới đây là đường cong hình bên.

A. $y = \frac{x - 1}{x + 1} .$

B. $y = \frac{x + 1}{x - 1} .$

C. $y = \frac{x}{x - 1} .$

D. $y = \frac{x}{x + 1} .$

Xem đáp án

Chọn B.

Ta có: Tiệm cận đứng: x=1. Tiệm cận ngang: y = 1

Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0;1)

Câu 31:

Trong không gian Oxyz cho $A (1; 0; - 2), B (2; - 3; 1) .$ Tọa độ của vectơ $\vec{B A}$ là

A. $(3; - 3; 1) .$

B. $(- 1; 3; - 3) .$

C. $(1; - 3; - 3) .$

D. $(1; - 3; 3) .$

Xem đáp án

Chọn B.

Ta có $\vec{B A} = (- 1; 3; - 3) .$

Câu 32:

Cắt hình trụ bằng một mặt phẳng qua trục của nó, ta được thiết diện là một hình vuông cạnh bằng 3a. Diện tích xung quanh của hình trụ đó bằng

A. $18 π a^{2} .$

B. $\frac{9 π a^{2}}{2} .$

C. $36 π a^{2} .$

D. $9 π a^{2} .$

Xem đáp án

Chọn D.

Cắt hình trụ bằng một mặt phẳng qua trục của nó, ta được thiết diện là một hình vuông cạnh bằng 3a (ảnh 1)

Thiết diện qua trục là hình vuông

\Rightarrow R = \frac{1}{2} A B = \frac{3 a}{2}, h = 3 a \Rightarrow S = 2 π R h = 9 π a^{2} .

Câu 33:

Trong không gian Oxyz cho $A (1; 2; 0), B (- 1; 3; 5) .$ Gọi I(a;b;c) là điểm thỏa mãn $\vec{I A} + 3 \vec{I B} = \vec{0} .$ Khi đó giá trị của biểu thức $a + 2 b + 2 c$ bằng

A. $\frac{25}{2} .$

B. $- \frac{25}{2} .$

C. 50.

D.

\frac{27}{2} .

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có: $\vec{I A} + 3 \vec{I B} = \vec{0} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 1 - a + 3 (- 1 - a) = 0 \\ 2 - b + 3 (3 - b) = 0 \\ - c + 3 (5 - c) = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = - \frac{1}{2} \\ b = \frac{11}{4} \\ c = \frac{15}{4} \end{cases} \Rightarrow a + 2 b + 2 c = \frac{25}{2} .$

Câu 34:

Cho a,b là các số thực dương và $a > 1, a \neq b$ thỏa mãn $\log_{a} b = 3.$ Giá trị của biểu thức $T = \frac{b^{3}}{a^{9}} + \log_{\frac{a}{b}} \sqrt{a b}$ bằng

A. -3

B. 0.

C. 5.

D. 2.

Xem đáp án

Chọn B.

Ta có $\log_{a} b = 3 \Rightarrow b = a^{3}$ do đó $T = \frac{{(a^{3})}^{3}}{a^{9}} + \log_{\frac{a}{a^{3}}} \sqrt{a a^{3}} = 1 + \log_{a^{- 2}} a^{2} = 1 - 1 = 0.$

Câu 35:

Biết $\int_{}^{} f (u) d u = F (u) + C .$ Với mọi số thực $a \neq 0,$ mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $\int_{}^{} f (a x + b) d x = \frac{1}{a} F (a x + b) + C .$

B. $\int_{}^{} f (a x + b) d x = F (a x + b) + C$

C. $\int_{}^{} f (a x + b) d x = a F (a x + b) + C$

D. $\int_{}^{} f (a x + b) d x = a F (a + b) + C$

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có $I = \int_{}^{} f (a x + b) d x,$ đặt $u = a x + b \Rightarrow d u = a d x \Rightarrow d x = \frac{d u}{a}$ nên

$I = \frac{1}{a} \int_{}^{} f (u) d u = \frac{1}{a} F (u) + C = \frac{1}{a} F (a x + b) + C .$

Câu 36:

Cho hàm số $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d, (a, b, c, d$ là các hệ số thực và $a \neq 0)$ có đồ thị f'(x) như hình bên.

Cho hàm số f(x)= ax^3+bx^2+cx+d,(a,b,c,d là các hệ số thực và a khác 0 có đồ thị f'(x) như hình bên. (ảnh 1)

Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để hàm số $y = f (x^{2} + 2 x) + 2021^{m} (\ln x - \frac{1}{x})$ nghịch biến trên $[1; + \infty) .$

A. 0

B. 1

C. 2020

D. 2021

Xem đáp án

Cho hàm số f(x)= ax^3+bx^2+cx+d,(a,b,c,d là các hệ số thực và a khác 0 có đồ thị f'(x) như hình bên. (ảnh 2)

Câu 37:

Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông tại B với AB= a. Hình chiếu vuông góc của đỉnh A' lên mặt phẳng (ABC) là điểm H trên cạnh AB sao cho HA= 2HB. Biết $A' H = \frac{a \sqrt{2}}{3} .$ Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' và BC theo a.

A. $\frac{a \sqrt{3}}{6} .$

B. $\frac{a \sqrt{3}}{3} .$

C. $\frac{a \sqrt{3}}{2} .$

D. $\frac{2 a \sqrt{3}}{3} .$

Xem đáp án

Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông tại B với AB= a. Hình chiếu vuông góc (ảnh 1)

Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông tại B với AB= a. Hình chiếu vuông góc (ảnh 2)

Câu 38:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB= a. Biết $S A ⊥ (A B C D), S A = a .$ Gọi E là điểm thỏa mãn $\vec{S E} = \vec{B C} .$ Góc giữa hai mặt phẳng (BED) và (SBC) bằng $60^{0} .$ Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SDCE bằng

A. $\frac{a \sqrt{3}}{2} .$

B. $\frac{a \sqrt{2}}{2} .$

C. $a \sqrt{3} .$

D. $a \sqrt{2} .$

Xem đáp án

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB= a. Biết SA vuông góc (ABCD), SA= a. (ảnh 1)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB= a. Biết SA vuông góc (ABCD), SA= a. (ảnh 2)

Câu 39:

Trong không gian Oxyz cho hình chóp S.ABCD có $S (2; 3; 1)$ và $G (- 1; 2; 0)$ là trọng tâm tam giác ABC. Gọi A',B',C' lần lượt là các điểm thuộc các cạnh SA,SB,SC sao cho $\frac{S A'}{S A} = \frac{1}{3}; \frac{S B'}{S B} = \frac{1}{4}; \frac{S C'}{S C} = \frac{1}{5} .$ Mặt phẳng (A'B'C') cắt SG tại G'. Giả sử $G' (a; b; c)$ . Giá trị của biểu thức a+b+c bằng

A. $\frac{19}{4}$

B. $\frac{29}{4}$

C. 1

D. -14

Xem đáp án

Trong không gian Oxyz cho hình chóp S.ABCD có S(2;3;1) và G(-1;2;0) là trọng tâm (ảnh 1)

Trong không gian Oxyz cho hình chóp S.ABCD có S(2;3;1) và G(-1;2;0) là trọng tâm (ảnh 2)

Câu 40:

Gọi S là tập hợp các số tự nhiên gồm 8 chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.$ Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S Tính xác suất để số được chọn có chữ số ở hàng đơn vị chia hết cho 3 và tổng các chữ số của số đó chia hết cho 13.

A. $\frac{1}{18} .$

B. $\frac{1}{36} .$

C. $\frac{1}{9} .$

D. $\frac{1}{72} .$

Xem đáp án

Gọi S là tập hợp các số tự nhiên gồm 8 chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số (ảnh 1)

Câu 41:

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên R và có bảng biến thiên của hàm số f'(x) như sau:

Hỏi hàm số $g (x) = (|\frac{\ln (x^{2} + 1) - 2}{2}|)$ có bao nhiêu điểm cực tiểu?

A. 9.

B. 4.

C. 7.

D. 5.

Xem đáp án

Chọn D.

Đặt $u = \frac{\ln (x^{2} + 1) - 2}{2} \Rightarrow u' = \frac{x}{x^{2} + 1}; u' = 0 \Leftrightarrow x = 0.$

Dựa vào bảng biến thiên đề bài ta có

$f' (|u|) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} |u| = a \in (- \infty; - 1) \\ |u| = b \in (- 1; 0) \\ |u| = c \in (0; 1) \\ |u| = d > 1 \end{array} \Rightarrow [\begin{array}{l} |u| = c \in (0; 1) (1) \\ |u| = d > 1 (2) \end{array}$

Với $|x_{0}| = \sqrt{e^{2} - 1}$ thì $|u|$ có 3 cực trị, trong đó 1 cực đại, 2 cực tiểu. Bảng biến thiên mới theo biến u là

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên R và có bảng biến thiên của hàm số f'(x) như sau: (ảnh 2)

Hai phương trình lần lượt có 4 và 2 nghiệm như sau

Giải $|u| = c \in (0; 1) \Rightarrow [\begin{array}{l} x_{1} < - x_{0} \\ x_{2} \in (- x_{0}; 0) \\ x_{3} \in (0; x_{0}) \\ x_{4} \in (0; + \infty) \end{array}$ và giải $|u| = d > 1 \Rightarrow [\begin{array}{l} x_{5} < x_{1} \\ x_{6} > x_{4} \end{array}$

Chú ý c là điểm cực đại và d là điểm cực tiểu nên từ (1) thu được 2 cực tiểu, từ (2) thu được 1 cực tiểu.

Kết luận tổng cộng 5 điểm cực tiểu.

Câu 42:

Cho hàm số $y = \frac{2 x + m}{x - 4}$ (m là tham số thực) thỏa mãn $\max_{[0; 2]} y = 3.$ Mệnh đề nào dưới đây đúng

A. $m < - 11.$

B. $m = - 12.$

C. $m > - 8.$

D. $m < - 8.$

Xem đáp án

Chọn D.

Đạo hàm $y = \frac{2 x + m}{x - 4} \Rightarrow y' = \frac{- 8 - m}{{(x - 4)}^{2}} .$

Do hàm số đơn điệu trên từng khoảng xác định nên ta xét $f (0) = - \frac{m}{4}; f (2) = \frac{m + 4}{- 2} .$

Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi

$- 8 - m > 0 \Rightarrow m < - 8 \Rightarrow \max_{[0; 2]} y = f (2) \Rightarrow \frac{m + 4}{- 2} = 3 \Rightarrow m = - 10$ (thỏa mãn).

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định khi

$m > - 8 \Rightarrow \max_{[0; 2]} y = f (0) \Rightarrow \frac{m}{- 4} = 3 \Rightarrow m = - 12$ (loại).

Câu 43:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a,SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA= a. Gọi M,K lần lượt là trọng tâm tam giác $S A B, S C D; N$ là trung điểm của BC. Thể tích tứ diện SMNK bằng

A. $\frac{2 a^{3}}{27} .$

B. $\frac{a^{3}}{27} .$

C. $\frac{4 a^{3}}{27} .$

D. $\frac{8 a^{3}}{27} .$

Xem đáp án

Chọn C.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a,SA vuông góc với mặt phẳng (ảnh 1)

Gọi I,J lần lượt là trung điểm của AB,CD. Khi đó $M \in S I : \frac{S M}{S I} = \frac{2}{3}; N \in S J : \frac{S N}{S J} = \frac{2}{3} .$

Ta có $\frac{V_{S . M N K}}{V_{I N J}} = \frac{S M}{S I} . \frac{S K}{S J} = \frac{4}{9} \Rightarrow V_{S . M N K} = \frac{4}{9} V_{S . I N J}$

Mặt khác $V_{S . N I J} = \frac{1}{4} V_{S . A B C D} \Rightarrow V_{S . M N K} = \frac{1}{9} V_{S . A B C D} = \frac{1}{9} . \frac{1}{3} . A B^{2} . S A = \frac{1}{27} . {(2 a)}^{2} . a = \frac{4 a^{3}}{27} .$

Câu 44:

Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số $y = x + 3 - \frac{m}{x - 2}$ đồng biến trên $[5; + \infty) ?$

A. 3.

B. 2.

C. 8.

D. 9.

Xem đáp án

Chọn D.

Ta có $y' = 1 + \frac{m}{{(x - 2)}^{2}} .$

Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì $1 + \frac{m}{{(x - 2)}^{2}} \geq 0 \forall x \in [5; + \infty) \Leftrightarrow m \geq - {(x - 2)}^{2} \forall x \in [5; + \infty)$

Ta có bảng biến thiên của $f (x) = - {(x - 2)}^{2} = - x^{2} + 4 x - 4$ trên $[5; + \infty) .$

Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số y= x+3- m/x-2 (ảnh 1)

Khi đó $m \geq - 9.$ Vậy số giá trị nguyên âm của tham số m là 9.

Câu 45:

Cho hình nón có chiều cao bằng 3a biết rằng khi cắt hình nón đã cho bởi một mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón và cách tâm của đáy hình nón một khoảng bằng a thiết diện thu được là một tam giác vuông. Thể tích của khối nón được giới hạn bởi hình nón đã cho bằng

A. $15 π a^{3} .$

B. $9 π a^{3} .$

C. $\frac{45 π a^{3}}{4} .$

D. $12 π a^{3} .$

Xem đáp án

Chọn C.

Cho hình nón có chiều cao bằng 3a biết rằng khi cắt hình nón đã cho bởi một mặt phẳng (ảnh 1)

Giả sử hình nón có đỉnh S tâm đường tròn đáy là I thiết diện là tam giác SAB,H là hình chiếu vuông góc của I lên

(SAB) (như hình vẽ).

Theo bài ra ta có $I H = a, Δ S A B$ vuông cân tại $S, S I = 3 a .$

$\frac{1}{I T^{2}} = \frac{1}{I H^{2}} - \frac{1}{S I^{2}} = \frac{1}{a^{2}} - \frac{1}{9 a^{2}} = \frac{8}{9 a^{2}} \Rightarrow I T = \frac{3 a \sqrt{2}}{4}$

$Δ S A B$ vuông cân tại S nên $S T = \frac{1}{2} S B = \frac{S I . I T}{I H} = \frac{9 a \sqrt{2}}{4} \Rightarrow A T = \frac{9 a \sqrt{2}}{4}$

$R^{2} = I A^{2} = I T^{2} + A T^{2} = \frac{9 a^{2}}{8} + {(\frac{9 a \sqrt{2}}{4})}^{2} = \frac{45 a^{2}}{4} .$

Thể tích của khối nón là $V = \frac{1}{3} π .3 a . \frac{45 a^{2}}{4} = \frac{45 π a^{3}}{4} .$

Câu 46:

Cho phương trình ${(\log_{3} (\frac{x}{3}))}^{2} + 3 m \log_{3} x + 2 m^{2} - 2 m - 1 = 0.$ Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m lớn hơn -2021 sao cho phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ thỏa $x_{1} + x_{2} > 0$ ?

A. 2020.

B. 2019.

C. 2020.

D. 2021.

Xem đáp án

Cho phương trình (log3(x/3))^2+3mlog 3+x+2m^2-2m-1=0.Có bao nhiêu giá trị nguyên (ảnh 1)

Câu 47:

Cho hàm số

f (x) = \frac{2}{\sin x} .

Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) thỏa mãn

F (\frac{π}{2}) = 0.

Giá trị lớn nhất của hàm số

g (x) = e^{F (x)}

trên đoạn

[\frac{π}{6}; \frac{2 π}{3}]

bằng

A. 3.

B. $\frac{1}{3} .$

C. $7 - 4 \sqrt{3} .$

D. $7 + 4 \sqrt{3} .$

Xem đáp án

Cho hàm số f(x)= 2/ sin x. Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) thỏa mãn (ảnh 1)

Cho hàm số f(x)= 2/ sin x. Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) thỏa mãn (ảnh 2)

Câu 48:

Biết rằng F(x) là một nguyên hàm trên R của hàm số $f (x) = \frac{2021 x}{{(x^{2} + 1)}^{2022}}$ và thỏa mãn $F (0) = - \frac{1}{2} .$ Giá trị nhỏ nhất của hàm số F(x) bằng

A. $\frac{1}{2} .$

B. $- \frac{1}{2} .$

C. $\frac{\sqrt{61}}{6} .$

D.

\frac{\sqrt{61}}{2} .

Xem đáp án

Chọn B.

Ta có $F' (x) = f (x) = \frac{2021 x}{{(x^{2} + 1)}^{2022}} \Rightarrow F' (x) = 0 \Leftrightarrow x = 0.$

Biết rằng F(x) là một nguyên hàm trên R của hàm số f(x)= 2021x/(x^2+1)^2022 và thỏa mãn (ảnh 1)

Từ bảng biến thiên ta thấy giá trị nhỏ nhất của hàm số F(x) bằng $F (0) = - \frac{1}{2} .$

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số F(x) bằng $- \frac{1}{2} .$

Câu 49:

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình dưới đây:

Số nghiệm của phương trình $f (3 \sin x) = 3 |\cos x|$ trên khoảng $(0; \frac{9 π}{2})$ là

A. 16.

B. 17.

C. 15.

D. 18.

Xem đáp án

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình dưới đây: Số nghiệm của phương trình (ảnh 2)

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình dưới đây: Số nghiệm của phương trình (ảnh 3)

Câu 50:

Trong không gian Oxyz cho các điểm $A (- 3; 0; 0), B (0; - 4; 0) .$ Gọi I,J lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp và tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác OAB Tính độ dài đoạn thẳng IJ.

A. $\frac{\sqrt{5}}{2} .$

B. $\frac{5}{4} .$

C. $\frac{\sqrt{61}}{6} .$

D. $\frac{\sqrt{61}}{2} .$

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có $\{\begin{cases} \vec{O A} = (- 3; 0; 0) \\ \vec{O B} = (0; - 4; 0) \end{cases} \Rightarrow \vec{O A} . \vec{O B} = 0 \Rightarrow Δ O A B$ vuông tại $O \Rightarrow J$ là trung điểm của AB

$\Rightarrow J (- \frac{3}{2}; - 2; 0) .$ Ta có $\{\begin{cases} O A = 3 \\ O B = 4 \\ A B = 5 \end{cases} .$

Vì I là tâm đường tròn nội tiếp $Δ O A B$

$\Rightarrow A B . \vec{I O} + B O . \vec{I A} + O A . \vec{I B} = \vec{0} \Rightarrow I (- 1; - 1; 0) \Rightarrow I J = \frac{\sqrt{5}}{2} .$