50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 30 đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 có lời giải - Đề 6

Câu 1:

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ với $u_{1} = - 2$ và công sai d= 3 thì số hạng $21 \times 21$ bằng

A. 7.

B. 10.

C. 5.

D. 6.

Xem đáp án

Chọn B.

Ta có: $u_{5} = u_{1} + 4 d = - 2 + 4.3 = 10.$

Câu 2:

Trong không gian Oxyz, mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 8 x + 4 y + 2 z - 4 = 0$ có bán kính R là

A. $R = \sqrt{5} .$

B. $R = 25.$

C.

R = 5

D.

R = 2

Xem đáp án

Chọn C.

Mặt cầu (S) có tâm $I (4; - 2; - 1)$ và bán kính $R = \sqrt{4^{2} + {(- 2)}^{2} + {(- 1)}^{2} - (- 4)} = 5.$

Câu 3:

Cho hàm số y= f(x) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (0;1)

B. (-1; 0)

C. (-1;1)

D. $(1; + \infty)$

Xem đáp án

Chọn A.

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên $(- \infty; - 1)$ và (0;1)

Câu 4:

Cho $\log a = 10; \log b = 100.$ Khi đó $\log (a . b^{3})$ bằng

A. 30.

B. 290.

C. 310.

D. -290

Xem đáp án

Chọn C.

$\log (a . b^{3}) = \log a + \log (b^{3}) = \log a + 3 \log b = 10 + 3.100 = 310.$

Câu 5:

Đồ thị hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?

A. $y = - x^{4} + 2 x^{2} + 1.$

B. $y = - x^{4} + 2 x^{2} - 1.$

C. $y = - x^{4} + 1.$

D. $y = - x^{4} - 2 x^{2} + 1.$

Xem đáp án

Chọn A.

Quan sát đồ thị hàm số ta thấy khi x= 0 thì hàm số nhận giá trị dương (loại phương án B). Hơn nữa hàm số có ba điểm cực trị nên y'= 0 có ba nghiệm phân biệt (tích hệ số của $x^{4}, x^{2}$ phải nhỏ hơn 0 (loại C, D)). Ta chọn A.

Câu 6:

Tính diện tích toàn phần của hình trụ có đường cao bằng 2 và đường kính đáy bằng 8.

A. $80 π .$

B. $24 π .$

C. $160 π .$

D. $48 π .$

Xem đáp án

Chọn D.

Hình trụ có đường cao bằng h = 2 thì độ dài đường sinh của hình trụ là l=h=2

Bán kính đáy của hình trụ bằng $r = 8 : 2 = 4.$

Diện tích toàn phần của hình trụ là

$S_{t p} = 2 π r l + 2 π r^{2} = 2 π .4.2 + 2 π {.4}^{2} = 48 π .$

Câu 7:

Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA= 2a. Tính thể tích khối chóp S. ABCD

A. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{12} .$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{2} .$

C. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{6} .$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{3} .$

Xem đáp án

Chọn C.

Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA= 2a. (ảnh 1)

Tam giác ABC đều nên $S_{Δ A B C} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} .$

$V_{S . A B C} = \frac{1}{3} . S A . S_{Δ A B C} = \frac{1}{3} .2 a . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6} .$

Câu 8:

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f (x) = e^{2020 x} + 2 x$ là

A. $2020 e^{2020 x} + x^{2} + C .$

B. $\frac{1}{2020} e^{2020 x} + 2 x^{2} + C .$

C. $e^{2020 x} + \frac{1}{2} x^{2} + C .$

D. $\frac{1}{2020} e^{2020 x} + x^{2} + C .$

Xem đáp án

Chọn D.

Ta có: $\int_{}^{} (e^{2020 x} + 2 x) d x = \frac{1}{2020} e^{2020 x} + x^{2} + C .$

Câu 9:

Cho hàm số y= f(x) có bảng biến thiên như sau:

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng

A. 2.

B. -1.

C. 1.

D. -2.

Xem đáp án

Chọn A.

Dựa vào bảng biến thiên ta có giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng 2.

Câu 10:

Trong không gian Oxyz cho điểm M thỏa mãn hệ thức $\vec{O M} = 2 \vec{i} + \vec{j} .$ Tọa độ điểm M là

A.

M (0; 2; 1) .

B.

M (1; 2; 0) .

C.

M (2; 1; 0) .

D.

M (2; 0; 1) .

Xem đáp án

Chọn C.

Theo công thức $\vec{O M} = a \vec{i} + b \vec{j} + c \vec{k} \Leftrightarrow M (a; b; c) .$ Ta có $\vec{O M} = 2 \vec{i} + \vec{j} \Leftrightarrow M (2; 1; 0) .$

Câu 11:

Cho đồ thị y= f(x) như hình vẽ sau đây. Biết rằng $\int_{- 2}^{1} f (x) d x = a$ và $\int_{1}^{2} f (x) d x = b .$ Tính diện tich S của phần hình phẳng được tô đậm.

Cho đồ thị y= f(x) như hình vẽ sau đây. Biết rằng f(x) dx=a và f(x) dx=b (ảnh 1)

A. $S = - a - b .$

B. $S = a + b .$

C. $S = b - a .$

D. $S = a - b .$

Xem đáp án

Chọn C.

Diện tích S của phần hình phẳng được tô đậm bằng tổng diện tích hình $S_{1}$ và $S_{2}$

Cho đồ thị y= f(x) như hình vẽ sau đây. Biết rằng f(x) dx=a và f(x) dx=b (ảnh 2)

Trong đó $S_{1}$ được giới hạn bởi các đường gồm đồ thị của hàm số $y = f (x), O x; x = - 2; x = 1,$ trên đoạn $[- 2; 1]$ hàm số y= f(x) nhận các giá trị không dương nên $S_{1} = - \int_{- 2}^{1} f (x) d x = - a .$

Tương tự $S_{2} = \int_{1}^{2} f (x) d x = b .$ Vậy S= b - a

Câu 12:

Đồ thị hàm số $y = \frac{x - 2}{x^{2} - 4}$ có đường tiệm cận ngang là

A. y = 2

B. y = 0

C. y = 1

D. y = -2

Xem đáp án

Chọn B.

TXĐ: D = R

$\lim_{x \to + \infty} y = \lim_{x \to + \infty} \frac{x - 2}{x^{2} - 4} = \lim_{x \to + \infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}}}{1 - \frac{4}{x^{2}}} = 0; \lim_{x \to - \infty} y = \lim_{x \to - \infty} \frac{x - 2}{x^{2} - 4} = \lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}}}{1 - \frac{4}{x^{2}}} = 0$ ; nên đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận ngang y =0

Câu 13:

Số nghiệm của phương trình $3^{x^{2} - 2 x} = 27$ là

A. 3.

B. 1.

C. 2.

D. 0.

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có: $3^{x^{2} - 2 x} = 27 \Leftrightarrow 3^{x^{2} - 2 x} = 3^{3} \Leftrightarrow x^{2} - 2 x - 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = 3 \end{array} .$

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm.

Câu 14:

Cho khối hộp có thể tích bằng 64 và chiều cao bằng 4. Diện tích của khối hộp đã cho bằng

A. 8.

B. 2.

C. 16.

D. 6.

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có: $V = B h \Rightarrow B = \frac{V}{h} = \frac{64}{4} = 16.$ Vậy diện tích đáy của khối hộp là 16.

Câu 15:

Số nghiệm nguyên của bất phương trình $4^{x - 1} \geq 2^{x^{2} - 3 x + 2}$ là

A. 4.

B. 1.

C. 0.

D. 3.

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có: $4^{x - 1} \geq 2^{x^{2} - 3 x + 2} \Leftrightarrow 2^{2 x - 2} \geq 2^{x^{2} - 3 x + 2} \Leftrightarrow 2 x - 2 \geq x^{2} - 3 x + 2 \Leftrightarrow x^{2} - 5 x + 4 \leq 0 \Leftrightarrow 1 \leq x \leq 4.$

Tập nghiệm của bất phương trình $S = [1; 4] .$

$\Rightarrow$ Các nghiệm nguyên của bất phương trình đã cho là: $x = 1; x = 2; x = 3; x = 4.$

Câu 16:

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Có bao nhiêu giá trị nguyên để phương trình $2 f (x) + 3 m = 0$ có 3 nghiệm phân biệt?

A. Vô số.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Xem đáp án

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau: Có bao nhiêu giá trị nguyên để phương trình (ảnh 2)

Câu 17:

Cho hàm số y= f(x) liên tục trên $[a; b] .$ Hãy chọn đáp án đúng

A. $\int_{a}^{b} f (x) d x + \int_{b}^{a} f (x) d x = 0.$

B. $\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{b}^{a} |f (x)| d x .$

C. $\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{b}^{a} f (x) d x .$

D. $\int_{a}^{b} f (x) d x = \frac{1}{2} \int_{b}^{a} f (x) d x .$

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có $\int_{a}^{b} f (x) d x + \int_{b}^{a} f (x) d x = 0.$

Câu 18:

Tổng diện tích các mặt của hình lập phương bằng 96. Thể tích khối lập phương là

A. 9.

B. 64.

C. 48.

D. 84.

Xem đáp án

Chọn B.

Do 6 mặt của hình lập phương là các hình vuông canh a nên ta có

$6 a^{2} = 96 \Leftrightarrow a^{2} = 16 \Rightarrow a = 4 \Rightarrow V = 4^{3} = 64.$

Câu 19:

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = x . \ln x$ tại điểm có hoành độ bằng e là

A. $y = 2 x - e .$

B. $y = x + e .$

C. $y = e x - 2 e .$

D. $y = 2 x + 3 e .$

Xem đáp án

Chọn A.

Với $x_{0} = e \Rightarrow y_{0} = e .$

Ta có: $y' = \ln x + 1, y' (e) = 2.$

Vậy: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm M(e;e) là

$y - e = 2 (x - e) \Leftrightarrow y = 2 x - e .$

Câu 20:

Cho tứ diện ABCD Hỏi có bao nhiêu vectơ $\vec{0}$ mà mỗi vectơ có điểm đầu, điểm cuối là hai đỉnh của tứ diện ABCD?

A. 4.

B. 8.

C. 12.

D. 10.

Xem đáp án

Chọn C.

Cho tứ diện ABCD Hỏi có bao nhiêu vectơ 0 mà mỗi vectơ có điểm đầu, điểm cuối là hai đỉnh (ảnh 1)

Các vectơ khác vectơ $\vec{0}$ mà mỗi vectơ có điểm đầu, điểm cuối là hai đỉnh của tứ diện ABCD là:

$\vec{A B}, \vec{B A}, \vec{A C}, \vec{C A}, \vec{A D} ., \vec{D A}, \vec{B C}, \vec{C B}, \vec{B D}, \vec{D B}, \vec{C D}, \vec{D C} .$

Câu 21:

Cho hàm số y= f(x) có đạo hàm $f' (x) = (x^{2} + 1) (x - 2), \forall x \in ℝ .$ Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(2; + \infty) .$

B. Hàm số đồng biến trên khoảng $(- \infty; + \infty) .$

C. Hàm số đồng biến trên khoảng

(- 1; 2) .

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng

(- \infty, 2) .

Xem đáp án

Chọn D.

Ta có $f' (x) = 0 \Leftrightarrow x = 2$

Dấu f'(x):

Cho hàm số y= f(x) có đạo hàm f'(x)= (x^2+1)(x-2), với mọi x thuộc R Mệnh đề nào dưới đây đúng? (ảnh 1)

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(- \infty; 2) .$

Câu 22:

Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại C, SA vuông góc với mặt phẳng đáy, biết $A B = 2 a, S B = 3 a .$ Thể tích khối chóp S.ABC là V. Tỷ số $\frac{4 V}{a^{3}}$ có giá trị là

A. $4 \sqrt{5} .$

B. $\frac{4 \sqrt{3}}{3} .$

C. $\frac{4 \sqrt{5}}{3} .$

D. $\frac{\sqrt{5}}{3} .$

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có $Δ A B C$ vuông cân tại $C, A B = 2 a$ nên $C A = C B = a \sqrt{2} .$

$Δ S A B$ vuông tại A nên $S A = \sqrt{S B^{2} - A B^{2}} = a \sqrt{5} .$

$V = \frac{1}{3} S A . S_{Δ A B C} = \frac{1}{3} S A . \frac{1}{2} A C . C B = \frac{1}{6} a \sqrt{5} . a \sqrt{2} . a \sqrt{2} = \frac{a^{3} \sqrt{5}}{3} .$

Vậy $\frac{4 V}{a^{3}} = \frac{4 \sqrt{5}}{3} .$

Câu 23:

Số nghiệm thực của phương trình $4^{x^{2}} - {5.2}^{x^{2}} + 4 = 0$ là

A. 3.

B. 1.

C. 2.

D. 4.

Xem đáp án

Chọn A.

Phương trình $4^{x^{2}} - {5.2}^{x^{2}} + 4 = 0 \Leftrightarrow {(2^{x^{2}})}^{2} - {5.2}^{x^{2}} + 4 = 0.$

Đặt $t = 2^{x^{2}} \geq 2^{0} = 1,$ phương trình trở thành: $t^{2} - 5 t + 4 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 1 \\ t = 4 \end{array} .$

+ Với $t = 1 \Rightarrow 2^{x^{2}} = 1 \Leftrightarrow x^{2} = 0 \Leftrightarrow x = 0.$

+ Với $t = 4 \Rightarrow 2^{x^{2}} = 4 \Leftrightarrow x^{2} = 2 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{2} .$

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm thực phân biệt.

Câu 24:

Tập xác định của hàm số $y = {(x^{2} - 7 x + 10)}^{- 2021}$ là

A. $(2; 5) .$

B. $(- \infty; 2) \cup (5; + \infty) .$

C. $ℝ \ \{2; 5\} .$

D. $(- \infty; 2] \cup [5; + \infty)$

Xem đáp án

Chọn C.

Hàm số $y = {(x^{2} - 7 x + 10)}^{- 2021}$ xác định khi và chỉ khi $x^{2} - 7 x + 10 \neq 0 \Leftrightarrow (x - 2) (x - 5) \neq 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \neq 2 \\ x \neq 5 \end{cases}$

Vậy tập xác định của hàm số là $D = ℝ \ \{2; 5\} .$

Câu 25:

Cho hàm số $y = \sqrt{4 + x} + \sqrt{4 - x} .$ Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 0

B. Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x = 4

C. Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 4.

D. Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 4.

Xem đáp án

Chọn D.

Tập xác định: $D = [- 4; 4] .$

Ta có: $y' = \frac{1}{2 \sqrt{4 + x}} - \frac{1}{2 \sqrt{4 - x}} = \frac{\sqrt{4 - x} - \sqrt{4 + x}}{2 \sqrt{4 + x} . \sqrt{4 - x}} .$

$y' = 0 \Leftrightarrow x = 0 \in (- 4; 4) .$

$y (4) = 2 \sqrt{2}; y (- 4) = 2 \sqrt{2}; y (0) = 4.$

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 4.

Câu 26:

Cho hàm số bậc ba $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ có đồ thị như hình vẽ.

Tính tổng: $T = a - b + c + d$

A. 1.

B. 3.

C. -1

D. 0.

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có: $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d \Rightarrow f' (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c .$

Từ đồ thị ta thấy:

Tại $x = \pm 1 \Rightarrow f' (x) = 0$ và đồ thị hàm số đi qua các điểm: $(1; - 1); (0; 1)$ và $(- 1; 3) .$

Từ đó ta có hệ phương trình:

$\{\begin{cases} y' (1) = 0 \\ y' (- 1) = 0 \\ y (1) = - 1 \\ y (0) = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 1 \\ b = 0 \\ c = - 3 \\ d = 1 \end{cases} .$

Suy ra: $T = a - b + c + d = - 1.$

Câu 27:

Cho mặt cầu (S) đi qua $A (3; 1; 0), B (5; 5; 0)$ và có tâm I thuộc trục $O x, (S)$ có phương trình là:

A. ${(x + 10)}^{2} + y^{2} + z^{2} = 5 \sqrt{2} .$

B. ${(x - 10)}^{2} + y^{2} + z^{2} = 5 \sqrt{2}$

C. ${(x - 10)}^{2} + y^{2} + z^{2} = 50.$

D. ${(x + 10)}^{2} + y^{2} + z^{2} = 50.$

Xem đáp án

Chọn D.

Cho mặt cầu (S) đi qua A(3;1;0), B(5;5;0) và có tâm I thuộc trục Ox,(S) có phương trình là: (ảnh 1)

Mặt bên BB'C'C là hình vuông nên $B C = B B' = h = 2 a .$

Đáy là tam giác vuông tại A, ta có: $A C = \sqrt{B C^{2} - A B^{2}} = \sqrt{4 a^{2} - a^{2}} = a \sqrt{3} .$

Thể tích lăng trụ là: $V = S . h = \frac{1}{2} A C . A B . B B' = \frac{1}{2} a \sqrt{3} . a .2 a = \sqrt{3} a^{3} .$

Câu 28:

Lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại $A, B C = 2 a, A B = a .$ Mặt bên $B B' C C'$ là hình vuông. Khi đó thể tích lăng trụ là

A. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{3} .$

B. $a^{3} \sqrt{2} .$

C. $2 a^{3} \sqrt{3} .$

D. $a^{3} \sqrt{3} .$

Xem đáp án

Chọn B.

Lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A,BC= 2a,AB= a (ảnh 1)

Hình trụ có bán kính $R = \frac{A D}{2} = 1$ và chiều cao $h = A B = 1.$

Ta có: $S_{t p} = 2 π R h + 2 π R^{2} = 4 π .$

Câu 29:

Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD , có $A B = 1, A D = 2.$ Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục MN ta được một hình trụ. Tính diện tích toàn phần $S_{t p}$ của hình trụ đó.

A. $S_{t p} = 10 π .$

B. $S_{t p} = 4 π .$

C. $S_{t p} = 6 π .$

D. $S_{t p} = 2 π .$

Xem đáp án

Chọn B.

Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD , có AB=1,AD=2 Gọi M,N lần lượt là trung điểm (ảnh 1)

Hình trụ có bán kính $R = \frac{A D}{2} = 1$ và chiều cao $h = A B = 1.$

Ta có: $S_{t p} = 2 π R h + 2 π R^{2} = 4 π .$

Câu 30:

Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân, có cạnh góc vuông bằng a. Tính diện tích xung quanh của hình nón.

A. $\frac{2 π a^{2} \sqrt{3}}{3} .$

B. $\frac{π a^{2} \sqrt{2}}{4} .$

C. $π a^{2} \sqrt{2} .$

D. $\frac{π a^{2} \sqrt{2}}{2} .$

Xem đáp án

Chọn D.

Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân, có cạnh góc vuông bằng a. (ảnh 1)

Giả sử cắt hình nón có đỉnh S bởi một mặt phẳng đi qua trục SO ta được thiết diện là $Δ S A B .$

Bán kính đáy hình nón là $R = \frac{A B}{2} = \frac{a \sqrt{2}}{2}$ và $l = S A = a .$

Diện tích xung quanh hình nón là $S_{x q} = π R l = π . \frac{a \sqrt{2}}{2} . a = \frac{π a^{2} \sqrt{2}}{2} .$

Câu 31:

Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $= \frac{x - 3}{\sqrt{9 - x^{2}}}$ là

A. 3.

B. 2.

C. 1.

D. 4.

Xem đáp án

Chọn C.

Tập xác định $D = (- 3; 3) .$

Suy ra không tồn tại $\lim_{x \to + \infty} f (x), \lim_{x \to - \infty} f (x) .$ Do đó đồ thị hàm số không có đường tiệm cận ngang.

Ta có $y = \frac{x - 3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = \frac{- \sqrt{3 - x}}{\sqrt{3 + x}} .$

$\lim_{x \to {(- 3)}^{+}} f (x) = \lim_{x \to {(- 3)}^{+}} \frac{- \sqrt{3 - x}}{\sqrt{3 + x}} = - \infty .$

Suy ra đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng x = -3

Vậy tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là 1.

Câu 32:

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = e^{2 x},$ trục hoành và hai đường thẳng $x = 0, x = 3$ là

A. $\frac{e^{6}}{2} + \frac{1}{2} .$

B. $\frac{e^{6}}{3} + \frac{1}{3} .$

C. $\frac{e^{6}}{2} - \frac{1}{2} .$

D. $\frac{e^{6}}{3} - \frac{1}{3} .$

Xem đáp án

Chọn C.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = e^{2 x},$ trục hoành và hai đường thẳng $x = 0, x = 3$ là

$S = \int_{0}^{3} e^{2 x} d x = \frac{e^{6}}{2} - \frac{1}{2} .$

Câu 33:

Đồ thị hàm số nào trong bốn hàm số liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây, có đúng một cực trị?

A. $y = x^{4} + 2 x^{2} - 5.$

B. $y = x^{3} - 6 x^{2} + x .$

C. $y = \frac{2 x - 7}{x + 1} .$

D. $y = - x^{3} - 4 x + 5.$

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có: $1.2 \geq 0 \Rightarrow$ hàm số có đúng 1 cực trị.

Câu 34:

Biết rằng tích phân $\int_{0}^{1} (2 x + 1) e^{x} d x = a + b . e,$ tích ab bằng

A. -15

B. -1

C. 1.

D. 2.

Xem đáp án

Chọn C.

Đặt $\{\begin{cases} u = 2 x + 1 \\ d v = e^{x} d x \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = 2 d x \\ v = e^{x} \end{cases}$

$\Rightarrow \int_{0}^{1} (2 x + 1) e^{x} d x = (2 x + 1) e^{x} |\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} - \int_{0}^{1} 2 e^{x} d x = 1 + e .$

Vậy ab =1

Câu 35:

Tìm nguyên hàm của hàm số $f (x) = \sin^{3} x . \cos x .$

A. $\int_{}^{} f (x) d x = - \frac{\sin^{4} x}{4} + C .$

B. $\int_{}^{} f (x) d x = \frac{\sin^{4} x}{4} + C .$

C. $\int_{}^{} f (x) d x = \frac{\sin^{2} x}{2} + C .$

D. $\int_{}^{} f (x) d x = - \frac{\sin^{2} x}{2} + C .$

Xem đáp án

Chọn B.

Ta có: $\int_{}^{} f (x) d x = \int_{}^{} \sin^{3} x . \cos x d x = \int_{}^{} \sin^{3} x d (\sin x) = \frac{\sin^{4} x}{4} + C .$

Câu 36:

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên R thỏa mãn $\cos x . f' (x) + \sin x . f (x) = 2 \sin x . \cos^{3} x,$ với mọi $x \in ℝ,$ và $f (\frac{π}{4}) = \frac{9 \sqrt{2}}{4} .$ Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $f (\frac{π}{3}) \in (2; 3) .$

B. $f (\frac{π}{3}) \in (3; 4) .$

C. $f (\frac{π}{3}) \in (4; 6) .$ D.

D. $f (\frac{π}{3}) \in (1; 2) .$

Xem đáp án

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên R thỏa mãn cos x.f'(x)+ sin x. f(x)= 2 sinx . cos^3x (ảnh 1)

Câu 37:

Cho hàm số y = f(x). Đồ thị của hàm số y = f'(x) như hình dưới.

Hàm số $g (x) = f (|x|) + 2021$ có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 5.

B. 7.

C. 3.

D. 2.

Xem đáp án

Cho hàm số y = f(x). Đồ thị của hàm số y = f'(x) như hình dưới. (ảnh 2)

Câu 38:

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên R đồ thị hàm số f'(x) như trong hình vẽ dưới. Hỏi phương trình f(x) = 0 có tất cả bao nhiêu nghiệm biết f(x) > 0?

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên R đồ thị hàm số f'(x) như trong hình vẽ dưới. Hỏi phương trình (ảnh 1)

A. 3.

B. 1.

C. 2.

D. 0.

Xem đáp án

Chọn D.

Dựa vào đồ thị của hàm số f'(x) ta thấy: $f' (x) \geq 0 \Leftrightarrow x \in [a; b] \cup [c; + \infty) .$

Bảng biến thiên:

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên R đồ thị hàm số f'(x) như trong hình vẽ dưới. Hỏi phương trình (ảnh 2)

Ta có: $\int_{a}^{b} f' (x) d x > - \int_{b}^{c} f' (x) d x \Rightarrow \int_{a}^{b} f' (x) d x + \int_{b}^{c} f' (x) d x > 0 \Rightarrow f (x) |\begin{array}{l} b \\ a \end{array} + f (x) |\begin{array}{l} c \\ b \end{array} > 0$

$\Rightarrow f (b) - f (a) + f (c) - f (b) > 0 \Rightarrow f (c) - f (a) > 0 \Rightarrow f (c) > f (a) > 0$

Vậy phương trình f(x) =0 vô nghiệm.

Câu 39:

Cho hàm số y= f(x) có đồ thị của hàm số y= f'(x) như hình vẽ.

Hàm số $y = f (|3 - x|)$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (4;7)

B. $(- \infty; - 1)$

C. (2;3)

D. (-1;2)

Xem đáp án

Cho hàm số y= f(x) có đồ thị của hàm số y= f'(x) như hình vẽ. (ảnh 2)

Cho hàm số y= f(x) có đồ thị của hàm số y= f'(x) như hình vẽ. (ảnh 3)

Câu 40:

Cho bất phương trình: $9^{x} + (m + 1) {.3}^{x} + 2 m > 0 (1) .$ Có bao nhiêu giá trị của tham số m nguyên thuộc $[- 8; 8]$ để bất phương trình (1) nghiệm đúng

A. 11.

B. 9.

C. 8.

D. 10.

Xem đáp án

Chọn A.

Đặt $t = 3^{x},$ với $x > 1 \Rightarrow t > 3.$

Bất phương trình (1) trở thành $t^{2} + (m + 1) t + 2 m > 0$ nghiệm đúng $\forall t > 3$

$\Leftrightarrow \frac{t^{2} + t}{t + 2} > - m, \forall t > 3$

$\Leftrightarrow - m \leq \min_{[3; + \infty)} g (t),$ với $g (t) = \frac{t^{2} + t}{t + 2} .$

Xét hàm số $g (t) = \frac{t^{2} + t}{t + 2},$ có $g' (t) = \frac{t^{2} + 4 t + 2}{{(t + 2)}^{2}} > 0, \forall t > 3$

$\Rightarrow \min_{[3; + \infty)} g (t) = g (3) = \frac{12}{5} \Rightarrow - m \leq \frac{12}{5} \Leftrightarrow m \geq - 2, 4.$

Vì m nguyên thuộc $[- 8; 8]$ nên $m \in \{- 2, - 1, 0, 1, 2, ..., 8\} .$ Vậy có 11 giá trị của m

Câu 41:

Ông M vay ngân hàng 100 triệu đồng với lãi suất 0,4% tháng theo hình thức mỗi tháng trả góp số tiền giống nhau sao cho sau đúng 3 năm thì hết nợ. Hỏi số tiền ông phải trả hàng tháng là bao nhiêu? (làm tròn đến hai chữ số sau dấu phẩy)

A. 2,96 triệu đồng.

B. 2,98 triệu đồng.

C. 2,99 triệu đồng.

D. 2,97 triệu đồng.

Xem đáp án

Chọn C.

Gọi số tiền giống nhau mà ông M trả cho ngân hàng mỗi tháng là a triệu đồng.

Câu 42:

Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng $a \sqrt{2},$ cạnh bên SA= 2a. Côsin góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SAC) bằng

Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a can bậc hai 2 cạnh bên SA= 2a (ảnh 1)

A. $\frac{\sqrt{21}}{14} .$

B. $\frac{\sqrt{21}}{3} .$

C. $\frac{\sqrt{21}}{7} .$

D. $\frac{\sqrt{21}}{2} .$

Xem đáp án

Chọn C.

Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a can bậc hai 2 cạnh bên SA= 2a (ảnh 2)

Gọi I là trung điểm CD do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên dễ thấy $O I ⊥ C D, S I ⊥ C D$ .

Ta có $O D ⊥ A C, O D ⊥ S O \Rightarrow O D ⊥ (S A C) .$ Dựng $O H ⊥ S C \Rightarrow D H ⊥ S C$ (định lý ba đường vuông góc). Do đó, góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SAC) là góc $\hat{D H O} .$

Ta có: $I C = O I = \frac{a \sqrt{2}}{2}, O C = \frac{a \sqrt{2} . \sqrt{2}}{2} = a, S C = 2 a \Rightarrow S I = \sqrt{S C^{2} - I C^{2}} = \sqrt{4 a^{2} - \frac{a^{2}}{2}} = \frac{a \sqrt{14}}{2} .$

Xét tam giác SCD ta có: $S_{Δ S C D} = \frac{C D . S I}{2} = \frac{D H . S C}{2} \Leftrightarrow \frac{a \sqrt{2} . \frac{a \sqrt{14}}{2}}{2} = \frac{D H .2 a}{2} \Leftrightarrow D H = \frac{a \sqrt{7}}{2} .$

Xét tam giác vuông SOC ta có:

$S O = \sqrt{S C^{2} - O C^{2}} = \sqrt{4 a^{2} - a^{2}} = a \sqrt{3}; \frac{1}{S O^{2}} + \frac{1}{C O^{2}} = \frac{1}{O H^{2}} \Leftrightarrow \frac{1}{3 a^{2}} + \frac{1}{a^{2}} = \frac{1}{O H^{2}} \Leftrightarrow O H = \frac{a \sqrt{3}}{2} .$

Xét tam giác vuông DOH ta có: $\cos \hat{D H O} = \frac{O H}{D H} = \frac{\frac{a \sqrt{3}}{2}}{\frac{a \sqrt{7}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{21}}{7} .$

Câu 43:

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có ABC là tam giác vuông cân, $A B = A C = a, A A' = a \sqrt{3} .$ Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $A B', B C' .$

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có ABC là tam giác vuông cân, AB=AC=a, AA'= a căn bậc hai 3 (ảnh 1)

A. $\frac{\sqrt{6} a}{4} .$

B. $\frac{\sqrt{3} a}{4} .$

C. $\frac{\sqrt{3} a}{2} .$

D. $\frac{\sqrt{15} a}{5} .$

Xem đáp án

Chọn B.

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có ABC là tam giác vuông cân, AB=AC=a, AA'= a căn bậc hai 3 (ảnh 2)

- Từ giả thiết ta có chóp C'.A'ABB' có đáy là hình chữ nhật, C'A' vuông góc với đáy.

- Gọi O là tâm đáy $A' A B B', I$ là trung điểm C'A' khi đó ta có $C' B / / (I A B') .$ Suy ra

$d (A B', B C) = d (B C', (I A B')) = d (C', (I A B'))$

- Do I là trung điểm C'A' ta có $d (C', (I A B')) = d (A', (I A B')) = d$

- Ta thấy $A' A, A' I, A' B'$ đôi một vuông góc

Khi đó $\frac{1}{d^{2}} = \frac{1}{A' A^{2}} + \frac{1}{A' B'^{2}} + \frac{1}{A' I^{2}}$

- Ta có $A' A = a \sqrt{3}; A' B = a = A' C' .$ Suy ra $\frac{1}{d^{2}} = \frac{1}{3 a^{2}} + \frac{1}{a^{2}} + \frac{4}{a^{2}} = \frac{16}{3 a^{2}} \Rightarrow d = \frac{a \sqrt{3}}{4}$

Đáp án: B.

Câu 44:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz cho hình vuông MNPQ và $M (10; 10), N (- 10; 10), P (- 10; - 10),$ $Q (10; - 10) .$ Gọi S là tập hợp tất cả các điểm có tọa độ đều là các số nguyên nằm trong hình vuông MNPQ (tính cả các điểm nằm trên các cạnh của hình vuông). Chọn ngẫu nhiên một điểm $A (x; y) \in S,$ khi đó xác suất để chọn được điểm A thỏa mãn $|\vec{O A} . \vec{O M}| \leq 1$ là

A. $\frac{1}{21} .$

B. $\frac{2}{49} .$

C. $\frac{1}{49} .$

D. $\frac{19}{441} .$

Xem đáp án

Chọn A.

- Số điểm có tọa độ nguyên thuộc hình vuông MNPQ kể cả các điểm trên cạnh là: $21 \times 21$ .

Suy ra số phần tử không gian mẫu là: $21 \times 21$

- Ta có $\vec{O M} = (10; 10), \vec{O A} = (x, y), |\vec{O M} . \vec{O A}| = |10 x + 10 y| \leq 1 \Leftrightarrow |x + y| \leq \frac{1}{10}$ với x,y thuộc đoạn $[- 10; 10] .$ Khi đó điểm A nằm trên đường chéo NQ (đường phân giác góc vuông thứ II, IV). Suy ra có 21 điểm A như vậy.

- Xác suất cần tìm là $\frac{21}{21.21} = \frac{1}{21} .$

Câu 45:

Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA=a, tam giác ABC vuông ở C có AB= 2a góc

\hat{C A B} = 30^{0} .

Gọi H là hình chiếu của A trên SC. Gọi B' là điểm đối xứng của B qua mặt phẳng (SAC). Tính thể tích khối chóp

H . A B' B .

A. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{12} .$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{4} .$

C. $\frac{3 a^{3} \sqrt{3}}{4} .$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{6} .$

Xem đáp án

Chọn B.

Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA=a, tam giác ABC vuông ở C có AB= 2a góc (ảnh 1)

$Δ A B C$ vuông tại C có $\{\begin{cases} B C = A B . \sin \hat{C A B} = 2 a . \sin 30^{0} = a \\ A C = \sqrt{A B^{2} - B C^{2}} = \sqrt{{(2 a)}^{2} - a^{2}} = a \sqrt{3} \end{cases} .$

$Δ S A C$ vuông tại A có AH là đường cao nên $\frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{S A^{2}} + \frac{1}{A C^{2}}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{3 a^{2}} \Leftrightarrow A H = \frac{a \sqrt{3}}{2} .$

Ta có $H C = \sqrt{A C^{2} - A H^{2}} = \sqrt{{(a \sqrt{3})}^{2} - {(\frac{2 a \sqrt{21}}{7})}^{2}} = \frac{3 a}{2}$

Suy ra $S_{A H C} = \frac{1}{2} A H . H C = \frac{1}{2} . \frac{a \sqrt{3}}{2} . \frac{3 a}{2} = \frac{3 a^{2} \sqrt{3}}{8} .$

Mà $\{\begin{cases} B C ⊥ A C \\ B C ⊥ S A \end{cases} \Rightarrow B C ⊥ (S A C) \Rightarrow B C ⊥ (H A C) .$

Suy ra $V_{H . A B C} = \frac{1}{3} B C . S_{A H C} = \frac{1}{3} . a . \frac{3 a^{2} \sqrt{3}}{8} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{8} .$

Vì B' đối xứng với B qua mặt phẳng (SAC) nên $V_{H . A B' B} = 2 V_{H . A B C} = 2. \frac{a^{3} \sqrt{3}}{8} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{4}$ (đvtt).

Câu 46:

Xét các số thực dương a,b,x,y thỏa mãn $a > 1, b > 1$ và $a^{2 x} = b^{3 y} = {(a b)}^{6} .$ Biết giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = 3 x y + 2 x + y$ có dạng $m + n \sqrt{30}$ (với m,n là các số tự nhiên). Tính $S = m - 2 n .$

A. S = 34

B. S = 28

C. S = 32

D. S = 24

Xem đáp án

Chọn B.

Ta có $a^{2 x} = b^{3 y} = {(a b)}^{6} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a^{2 x} = a^{6} b^{6} \\ b^{3 y} = a^{6} b^{6} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x = \log_{a} (a^{6} b^{6}) \\ 3 y = \log_{b} (a^{6} b^{6}) \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 3 (1 + \log_{a} b) \\ y = 2 (1 + \log_{b} a) \end{cases} .$

Vì $a > 1, b > 1$ nên $\log_{a} b > 0.$

Do đó $P = 3 x y + 2 x + y = 18 (1 + \log_{a} b) (1 + \log_{b} a) + 6 (1 + \log_{a} b) + 2 (1 + \log_{b} a)$

$= 44 + 24 \log_{a} b + 20 \log_{b} a = 44 + 4 (6 \log_{a} b + 5 \log_{b} a) .$

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương, ta có

$6 \log_{a} b + 5 \log_{b} a \geq 2 \sqrt{6 \log_{a} b .5 \log_{b} a} = 2 \sqrt{30} .$

Khi đó $P \geq 44 + 4.2 \sqrt{30} = 44 + 8 \sqrt{30}$ .

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $6 \log_{a} b = 5 \log_{b} a .$

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là $44 + 8 \sqrt{30}$ .

Suy ra $m = 44, n = 8.$ Vậy $m - 2 n = 28.$

Câu 47:

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R có đồ thị như hình vẽ.

Giá trị của tham số m để phương trình $\frac{4 m^{3} + m}{\sqrt{2 f^{2} (x) + 5}} = f^{2} (x) + 3$ có 3 nghiệm phân biệt là $m = \frac{\sqrt{a}}{b}$ với a,b là hai số nguyên tố. Tính T= a+ b

A. T= 43

B. T = 35

C. T =39

D. T =45

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có $\frac{4 m^{3} + m}{\sqrt{2 f^{2} (x) + 5}} = f^{2} (x) + 3 \Leftrightarrow 8 m^{3} + 2 m = (2 f^{2} (x) + 5) \sqrt{2 f^{2} (x) + 5} + \sqrt{2 f^{2} (x) + 5} . (*)$

Xét hàm số $f (t) = t^{3} + t \Rightarrow f' (t) = 3 t^{2} + 1 > 0, \forall x \in ℝ \Rightarrow f (t)$ đồng biến trên R.

Do đó $(*) \Leftrightarrow 2 m = \sqrt{2 f^{2} (x) + 5} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m > 0 \\ f^{2} (x) = \frac{4 m^{2} - 5}{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m > \frac{\sqrt{5}}{2} \\ |f (x)| = \sqrt{\frac{4 m^{2} - 5}{2}} \end{cases} .$

Dựa vào đồ thị hàm số $y = |f (x)|$ suy ra phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt là $\sqrt{\frac{4 m^{2} - 5}{2}} = 4 \Leftrightarrow 4 m^{2} - 5 = 32 \Leftrightarrow m = \frac{\sqrt{37}}{2} .$

Vậy $a = 37, b = 2 \Rightarrow T = 39.$

Câu 48:

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có diện tích các mặt $A B C D, A B B' A', A D D' A'$ lần lượt bằng 30 $c m^{2}, 40 c m^{2}, 48 c m^{2} .$ Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp bằng

A. $3 \sqrt{10} c m .$

B. $5 \sqrt{10} c m .$

C. $\frac{5 \sqrt{5}}{2} c m .$

D. $\frac{2 \sqrt{5}}{5} c m .$

Xem đáp án

Chọn C.

Đặt $A B = x, A D = y, A A' = z .$ Ta có $\{\begin{cases} x y = 30 \\ x z = 40 \\ y z = 48 \end{cases} \Rightarrow x y z = 240 \Rightarrow \{\begin{cases} z = 8 \\ y = 6 \\ x = 5 \end{cases} .$

Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật cũng chính là tâm O của hình hộp. Do đó bán kính mặt cầu cần tìm là

$R = \frac{1}{2} \sqrt{5^{2} + 6^{2} + 8^{2}} = \frac{5 \sqrt{5}}{2} .$

Câu 49:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật $A B = a, A D = a \sqrt{3} .$ SA vuông góc với đáy và SC tạo với $m p (S A B)$ một góc $30^{0} .$ Tính thể tích khối chóp đã cho.

A. $\frac{2 a^{3} \sqrt{6}}{3} .$

B. $2 \sqrt{6} a^{3} .$

C. $\frac{a^{3} \sqrt{6}}{3} .$

D. $\frac{4 a^{3}}{3} .$

Xem đáp án

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật AB=a , AD= a căn bậc hai 3. SA vuông góc (ảnh 1)

Câu 50:

Gọi S là tập hợp các giá trị thực của tham số m để phương trình sau có 3 nghiệm thực phân biêt $3^{- |x^{3} - \frac{x^{2}}{2} - m|} l o g_{\sqrt[3]{3}} (x^{2} - 2 x + 5) + 3^{- x^{2} + 2 x} \log \frac{1}{3} (|x^{3} - \frac{x^{2}}{2} - m| + 4) = 0.$ Tích các phần tử của S là

A.

- \frac{61}{36} .

B.

\frac{25}{108} .

C. $\frac{25}{54} .$

D.

\frac{5}{4} .

Xem đáp án

Chọn B.

Ta có

$3^{- |x^{3} - \frac{x^{2}}{2} - m|} \log_{\sqrt[3]{3}} (x^{2} - 2 x + 5) + 3^{- x^{2} + 2 x} \log_{\frac{1}{3}} (|x^{3} - \frac{x^{2}}{2} - m| + 4) = 0$

$\Leftrightarrow \frac{3}{3^{|x^{3} - \frac{x^{2}}{2} - m|}} . \log_{3} (x^{2} - 2 x + 5) = \log_{3} (|x^{3} - \frac{x^{2}}{2} - m| + 4) {.3}^{- x^{2} + 2 x}$

$\Leftrightarrow \log_{3} (x^{2} - 2 x + 1 + 4) {.3}^{x^{2} - 2 x + 1} = \log_{3} (|x^{3} - \frac{x^{2}}{2} - m| + 4) {.3}^{|x^{3} - \frac{x^{2}}{2} - m|}, (*)$

Xét hàm số $f (t) = 3^{t} . \log_{3} (t + 4), \forall t \geq 0$

Ta có $f' (t) = 3^{t} . \ln 3. \log_{3} (t + 4) + \frac{1}{(t + 4) . \ln 3} > 0, \forall t \geq 0.$

Suy ra hàm số f(t) đồng biến trên $(0; + \infty)$

Như vậy $(*) \Rightarrow x^{2} - 2 x + 1 = |x^{3} - \frac{x^{2}}{2} - m| \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} + 2 x - 1, (1) \\ m = x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + 1, (2) \end{array}, (* *)$

Đặt $\{\begin{cases} h (x) = x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} + 2 x - 1 \\ g (x) = x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + 1 \end{cases}$