50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 30 đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 có lời giải - Đề 20

Câu 1:

Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng $(0; + \infty)$ ?

A. $y = \log_{\frac{3}{e}} x$ .

B. $y = \log_{\frac{e}{π}} x$ .

C. $y = \log_{\frac{2}{π}} x$ .

D. $y = \log_{\frac{2 \sqrt{2}}{π}} x$ .

Xem đáp án

Chọn A

Ta có $\frac{3}{e} > 1$ nên hàm số $y = \log_{\frac{3}{e}} x$ đồng biến trên $(0; + \infty)$ .

Câu 2:

Với giá trị nào của tham số m thì phương trình $4^{x} - (m + 1) {.2}^{x + 1} + 3 m - 4 = 0$ có hai nghiệm $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $x_{1} + x = 3 ?$

A. $m = 3$ .

B. $m = 4$ .

C. $m = \frac{1}{2}$ .

D. $m = \frac{7}{3}$ .

Xem đáp án

Chọn B

Đặt $t = 2^{x}$ , ĐK t > 0.

Phương trình trở thành $t^{2} - 2 (m + 1) t + 3 m - 4 = 0$ (*), có $Δ' = m^{2} - m + 5 > 0, \forall m$ .

Phương trình (*) có hai nghiệm dương $\{\begin{matrix} t_{1} + t_{2} > 0 \\ t_{1} t_{2} > 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} m + 1 > 0 \\ 3 m - 4 > 0 \end{matrix} \Leftrightarrow m > \frac{3}{4}$ .

Khi đó

$\begin{array}{l} x_{1} = \log_{2} t_{1}, x_{2} = \log_{2} t_{2} \\ \Rightarrow x_{1} + x_{2} = 3 \\ \Leftrightarrow \log_{2} t_{1} + \log_{2} t_{2} = 3 \Leftrightarrow \log_{2} t_{1} t_{2} = 3 \Leftrightarrow t_{1} t_{2} = 2^{3} \\ \Leftrightarrow 3 m - 4 = 8 \Leftrightarrow m = 4 \end{array}$

Câu 3:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, $\hat{A B C} = 60 °$ , $S B = S D = S A$ , H là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SH và AB.

A.

\frac{a \sqrt{7}}{7}

.

B.

\frac{a \sqrt{3}}{7}

.

C.

\frac{a \sqrt{3}}{2}

.

D.

\frac{a \sqrt{3}}{4}

.

Xem đáp án

Chọn C

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, góc ABC= 60 độ, SB= SD= SA (ảnh 1)

Ta có $S B = S D = S A$ nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD bán kính R= AH.

Tam giác ABH cân tại A nên H thuộc AC.

$A H = R = \frac{B D}{2 \sin \hat{B A D}} = \frac{a \sqrt{3}}{2 \sin 120 °} = \frac{a \sqrt{3}}{2 \sin 120 °} = a$ .

Gọi M là hình chiếu vuông góc của H trên AB, vì $S H ⊥ A B$ , suy ra:

d (S H; A B) = H M = A H . \sin \hat{H A B} = a . \sin 60 ° = \frac{a \sqrt{3}}{2}

.

Câu 4:

Tịnh tiến liên tiếp đồ thị hàm số y= $\frac{- 5}{x + 2}$ theo trục Oy lên trên 2 đơn vị và theo Ox sang trái 3 đơn vị ta được đồ thị hàm số $y = g (x)$ . Có bao nhiêu điểm trên đồ thị $y = g (x)$ có các tọa độ đều là số nguyên?

A. 4.

B. 2.

C. 1.

D. 0.

Xem đáp án

Chọn A

Tịnh tiến lên trên 2 đơn vị và sang trái 3 đơn vị ta được hàm số

$y = g (x) = \frac{- 5}{x + 2 + 3} + 2 = \frac{2 x + 5}{x + 5}$ .

Để tìm điểm trên đồ thị có tọa độ nguyên, ta tiếp tục biến đổi

$y = g (x) = \frac{2 x + 5}{x + 5} = 2 - \frac{5}{x + 5}$ .

Do đó những điểm có tọa độ nguyên của đồ thị hàm số $y = g (x)$ là những điểm có hoành độ

nguyên và thỏa mãn x+ 5 là ước của 5. Vì 5 chia hết cho $1; - 1; 5; - 5$ nên ta sẽ có 4 điểm như

thế.

Câu 5:

Tính diện tích xung quanh hình trụ biết hình trụ có đường kính đáy là 2a và đường cao là $a \sqrt{3}$ .

A.

π a^{2} \sqrt{3} .

B.

2 π a^{2} \sqrt{3} .

C.

2 π a^{2} .

D.

4 π a^{2} \sqrt{3} .

Xem đáp án

Chọn B

Hình trụ có đường kính đáy bằng 2a suy ra bán kính đáy bằng a

$S_{s q} = 2 π r l = 2 π a . a \sqrt{3} = 2 π a^{2} \sqrt{3} .$

Câu 6:

Cho mặt cầu có diện tích bằng $16 π (c m^{2}) .$ Đường kính mặt cầu đó là

A.

2 \sqrt{3} c m .

B.

4 \sqrt{3} c m .

C.

4 c m .

D.

2 c m .

Xem đáp án

Chọn C

Diện tích mặt cầu là $4 π R^{2} = 16 π (c m^{2}) \Leftrightarrow R = 2 c m .$

Vậy đường kính của mặt cầu là 4cm.

Câu 7:

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ có số hạng đầu $u_{1} = 2$ , công sai d=3. Tính $u_{3} .$

A. 10.

B. 18.

C. 8.

D. 5.

Xem đáp án

Chọn C

Ta có

$u_{3} = u_{1} + 2 d = 8.$

Câu 8:

Có bao nhiêu số nguyên không âm m để hàm số $f (x) = \frac{x^{2} + 5 x + m + 6}{x + 2}$ đồng biến trên $(1; + \infty)$ ?

A. 10.

B. 9.

C. 1.

D. 5.

Xem đáp án

Chọn A

Hàm số đã cho xác định trên khoảng đã cho, ta có

$f^{'} (x) = \frac{x^{2} + 4 x + 4 - m}{{(x + 2)}^{2}}$ .

Để hàm số đồng biến trên $(1; + \infty)$ thì $x^{2} + 4 x + 4 - m \geq 0, \forall x \geq 1 \Leftrightarrow m \leq min_{x \geq 1} \{x^{2} + 4 x + 4\}$ .

Xét hàm số $g (x) = x^{2} + 4 x + 4, x \geq 1$ .

Đạo hàm $g^{'} (x) = 2 x + 4 > 0, x \geq 1 \Rightarrow \min_{x \geq 1} g (x) = 9$ .

Vậy suy ra $m \leq 9$ , theo yêu cầu bài toán thì có 10 giá trị của tham số cần tìm.

Câu 9:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều, $A B = a, S A = 2 a$ và SA tạo với mặt đáy góc $60^{0} .$ Tính thể tích khối chóp S.ABC .

A.

\frac{a^{3}}{8}

.

B.

\frac{a^{3}}{4}

.

C.

\frac{a^{3} \sqrt{3}}{12}

.

D.

\frac{a^{3}}{16}

.

Xem đáp án

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều, AB=a, SA= 2a (ảnh 1)

Câu 10:

Gọi m,n lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = |x| + 2$ trên $[- 2; - 1] .$ Tính m + n.

A. 8.

B. 5.

C. 7.

D. 6.

Xem đáp án

Gọi m,n lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y= |x| + 2 (ảnh 1)

Câu 11:

Tập xác định của hàm số $y = {(3 x - x^{2})}^{e}$ là

A.

(- \infty; 0) \cup (3; + \infty) .

B.

(0; \frac{1}{3})

.

C.

(0; ​ 3)

.

D.

[0; ​ 3]

.

Xem đáp án

Chọn C

Hàm số xác định $\Leftrightarrow 3 x - x^{2} > 0 \Leftrightarrow 0 < x < 3.$

Vậy tập xác định: $D = (0; 3) .$

Câu 12:

Tìm tổng các nghiệm của phương trình $\log_{12} x + \log_{12} (x - 1) = 1.$

A. 3.

B. -1.

C. 1.

D. 4.

Xem đáp án

Chọn D

ĐKXĐ: x > 1 Khi đó phương trình đã cho tương đương

$\begin{array}{l} \log_{12} [x (x - 1)] = 1 \Leftrightarrow x (x - 1) = 12 \\ \Leftrightarrow x^{2} - x - 12 = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 3 \\ x = 4 \end{array} \end{array}$

Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm x = 4.

Vậy phương trình có tổng các nghiệm là 4

Câu 13:

Với $a > 0, a \neq 1$ , chọn mệnh đề đúng.

A.

{(a^{x})}^{'} = a^{x}

.

B.

{(a^{x})}^{'} = a^{x} \log a

.

C.

{(a^{x})}^{'} = \frac{a^{x}}{\ln a}

.

D.

{(a^{x})}^{'} = a^{x} . \ln a

.

Xem đáp án

Chọn D

Theo bảng công thức đạo hàm, chọn D

Câu 14:

Cho hàm số $y = x^{3} - x$ có đồ thị (C). Gọi M,N là hai điểm phân biệt trên (C) và các tiếp tuyến tại M,N song song với nhau. Tính $x_{M} + x_{N}$ .

A. 1.

B. 2.

C. 0.

D. -2.

Xem đáp án

Cho hàm số y= x^3-x có đồ thị (C). Gọi M,N là hai điểm phân biệt trên (C) (ảnh 1)

Câu 15:

Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số có dạng $y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d (a \neq 0)$

Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số có dạng (ảnh 1)

Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A.

(- 3; 1)

.

B.

(- 1; 1)

.

C.

(1; + \infty)

.

D.

(- 1; + \infty)

.

Xem đáp án

Chọn B

Nhìn vào đồ thị, ta thấy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(- 1; 1)$ .

Câu 16:

Tìm m để hàm số $y = \frac{x - m}{x + 1}$ đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.

A.

m \in (- 1; + \infty)

.

B.

m \in (- \infty; - 1]

.

C.

m \in [- 1; + \infty)

.

D.

m \in (- \infty; - 1)

.

Xem đáp án

Tìm m để hàm số y= x-m/ x+1 đồng biến trên từng khoảng xác định của nó. (ảnh 1)

Câu 17:

Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm $Δ A C D$ và M là điểm trên cạnh AC sao cho $\frac{A M}{A C} = \frac{4}{5}$ .

Tính $\frac{V_{A B M G}^{}}{V_{A B C D}^{}}$ .

A. $\frac{1}{3}$

B. $\frac{2}{5}$

C. $\frac{1}{5}$

D. $\frac{4}{15}$

Xem đáp án

Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giac ADC và M là điểm trên cạnh AC sao cho (ảnh 1)

Câu 18:

Gọi $x_{1}^{}, x_{2}^{}$ là hai điểm cực trị của hàm số $y = \frac{1}{3} x_{}^{3} - \frac{1}{2} x_{}^{2} - 4 x - 10$ . Tính $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} .$

A. 8.

B. 9.

C. 7.

D. 6.

Xem đáp án

Gọi x1,x2 là hai điểm cực trị của hàm số y=1/3x^3-1/2x^2-4x-10. Tính x1^2+ x2^2 (ảnh 1)

Câu 19:

Đồ thị nào dưới đây là đồ thị của hàm số $y = x^{4} + 2 x^{2}$ ?

A. Hình 4.

B. Hình 1.

C. Hình 2.

D. Hình 3.

Xem đáp án

Chọn D

a > 0 nên loại đáp án A và B.

$x = 1 \Rightarrow y = 3$ đồ thị hàm số đi qua điểm (1;3) nên loại đáp án C, chọn D.

Câu 20:

Xếp ngẫu nhiên 6 học sinh nam và 3 học sinh nữ thành một hàng ngang. Tính xác suất để có đúng 2 học sinh nam đứng xen kẽ với 3 học sinh nữ.

A.

\frac{5}{12}

.

B.

\frac{2}{17}

.

C.

\frac{12}{37}

.

D.

\frac{5}{84}

.

Xem đáp án

Chọn D

$n (Ω) = 9!$

Gọi A là biến cố: “Có đúng 2 học sinh nam đứng xen kẽ với 3 học sinh nữ.

Xếp 6 học sinh nam có $6!$ cách. Mỗi cách xếp này tạo ra 7 khoảng trống.

Xếp 3 bạn nữ vào 3 khoảng trống liên tiếp có 5 cách, hoán vị 3 bạn nữ có $3!$ cách.

Xác suất của biến cố

P (A) = \frac{n (A)}{n (Ω)} = \frac{6! 5.3!}{9!} = \frac{5}{84}

.

Câu 21:

Trong các hàm số sau, hàm số nào có giá trị nhỏ nhất trên tập xác định của nó.

A. $y = 1 - \sqrt{x - x^{2}}$ .

B. $y = 1 + x - x^{2}$ .

C. $y = x + \frac{1}{x}$ .

D. $y = x^{3} - 20 x + 21$ .

Xem đáp án

Trong các hàm số sau, hàm số nào có giá trị nhỏ nhất trên tập xác định của nó. (ảnh 1)

Câu 22:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình $\log_{2}^{2} x - (m + 2) \log_{2} x + 3 m - 1 = 0$ có hai nghiệm $x_{1}; x_{2}$ sao cho $x_{1}; x_{2} = 8$ .

A.

m = 6

.

B. $m = 1$ .

C.

m = 3

.

D.

m = \frac{4}{3}

.

Xem đáp án

Chọn B

$\log_{2}^{2} x - (m + 2) \log_{2} x + 3 m - 1 = 0 (1)$ .

Điều kiện x > 0.

Đặt $t = \log_{2} x; t \in ℝ .$ Phương trình (1) trở thành:

$t^{2} - (m + 2) t + 3 m - 1 = 0 (2)$ .

Phương trình (1) có hai nghiệm $x_{1}; x_{2}$ khi và chỉ (2) khi có 2 nghiệm $t_{1}; t_{2}$ .

Khi đó $x_{1} . x_{2} = 8 \Leftrightarrow 2^{t_{1}} {.2}^{t_{2}} = 8 \Leftrightarrow t_{1} + t_{2} = 3$ .

Bài toán trở thành tìm m để phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt $t_{1}; t_{2}$ sao cho $t_{1} + t_{2} = 3$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} Δ \geq 0 \\ S = 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} {(m + 2)}^{2} - 4 (3 m - 1) \geq 0 \\ m + 2 = 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m^{2} - 8 m + 8 \geq 0 \\ m = 1 \end{cases} \Leftrightarrow m = 1$ .

Vậy m=1.

Câu 23:

Cho các hàm số $y = a^{x}; y = \log_{b} x; y = \log_{c} x$ có đồ thị như hình vẽ

Chọn mệnh đề đúng?

A.

b < c < a

.

B.

a < c < b

.

C.

c < b < a

.

D.

c < a < b

.

Xem đáp án

Cho các hàm số y= a^x; y=log bx; y=log cx có đồ thị như hình vẽ (ảnh 2)

Câu 24:

Hàm số $y = \sin x$ đồng biến trên khoảng nào?

A.

(- \frac{π}{2}; 0)

.

B.

(\frac{π}{2}; π)

.

C.

(π; \frac{3 π}{2})

.

D.

(0; π)

.

Xem đáp án

Chọn A

Ta có đồ thị hàm y = sin x

Hàm số y=sin x đồng biến trên khoảng nào? (ảnh 1)

Từ đồ thị hàm số y= sin x ta thấy đồ thị hàm số có đường cong đi lên khi $x \in (- \frac{π}{2}; 0)$ , nên hàm số đồng biến trên khoảng $(- \frac{π}{2}; 0)$ .

Câu 25:

Đồ thị hàm số $f (x) = \frac{x}{x - 2}$ có tiệm cận đứng là đường thẳng

A. $y = 1$ .

B. $x = 2$ .

C. $x = - 2$ .

D. $y = 2$ .

Xem đáp án

Chọn B

Ta có $\{\begin{cases} \underset{x \to 2^{+}}{\lim x} = 2 \\ \lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) = 0 \\ x - 2 > 0 \begin{matrix} (x > 2) \end{matrix} \end{cases}$ nên $\lim_{x \to 2^{+}} \frac{x}{x - 2} = + \infty$ .

Ta có $\{\begin{cases} \underset{x \to 2^{-}}{\lim x} = 2 \\ \lim_{x \to 2^{-}} (x - 2) = 0 \\ x - 2 < 0 \begin{matrix} (x < 2) \end{matrix} \end{cases}$ nên $\lim_{x \to 2^{-}} \frac{x}{x - 2} = - \infty$ .

Vậy tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng x =2 .

Câu 26:

Cho hình nón đỉnh S đáy là đường tròn tâm O bán kính R= 5, góc ở đỉnh bằng

A. $\frac{3 \sqrt{13}}{4}$ .

B.

\frac{15 \sqrt{7}}{14}

.

C.

\frac{15 \sqrt{13}}{26}

.

D.

\frac{15 \sqrt{34}}{34}

.

Xem đáp án

Chọn B

Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi đó $I A = I B = 4$ và $O I ⊥ A B .$

Trong (SOI) kẻ $O H ⊥ S I .$

Ta có $\begin{array}{l} O I ⊥ A B \\ S O ⊥ A B \end{array}\} \Rightarrow A B ⊥ (S O I) \Rightarrow A B ⊥ O H .$

Ta có $\begin{array}{l} O H ⊥ S I \\ O H ⊥ A B \end{array}\} \Rightarrow O H ⊥ (S A B) \Rightarrow d (O H, (S A B)) = O H .$

Trong tam giác vuông SOI với đường cao OH, ta có

$\frac{1}{O H^{2}} = \frac{1}{S O^{2}} + \frac{1}{O I^{2}} \Leftrightarrow O H = \frac{S O . O I}{\sqrt{S O^{2} + O I^{2}}}$

Áp dụng định lý pytago vào tam giác OAI vuông tại I ta có:

$O A^{2} = O I^{2} + I A^{2} \Leftrightarrow O I^{2} = O A^{2} - I A^{2} = 5^{2} - 4^{2} = 9 \Leftrightarrow O I = 3.$

Hình nón có góc ở đỉnh bằng $60^{o}$ nên $\hat{O S A} = 30^{o} .$ Trong $Δ S O A$ vuông tại O ta có:

$\tan 30^{o} = \frac{O A}{S O} \Leftrightarrow S O = \frac{O A}{\tan 30^{o}} = \frac{5}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = 5 \sqrt{3}$ .

Vậy $O H = \frac{5 \sqrt{3} .3}{\sqrt{{(5 \sqrt{3})}^{2} + 3^{2}}} = \frac{15 \sqrt{7}}{14}$ .

Câu 27:

Đồ thị hàm số $f (x) = \frac{x^{2} - 3 x + 1}{x^{2} - 3 x}$ có bao nhiêu đường tiệm cận?

A. 1.

B. 3.

C. 4.

D. 2.

Xem đáp án

Đồ thị hàm số f(x)= x^2-3x+1/ x^2-3x có bao nhiêu đường tiệm cận? (ảnh 1)

Câu 28:

Cho hàm số y= f(x) có đạo hàm trên R và $f^{'} (x) = (x - 19) {(x + 20)}^{2} {(x - 21)}^{3}$ . Hàm số f(x) có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 3.

B. 1.

C. 4.

D. 2.

Xem đáp án

Chọn D

Ta có $f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 19 \\ x = - 20 \\ x = 21 \end{array}$

Bảng biến thiên

Cho hàm số y= f(x) có đạo hàm trên R và f'(x)=(x-19)(x+20)^2( x-21)^3 (ảnh 1)

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số f(x) có hai điểm cực trị.

Câu 29:

Cho đồ thị hàm bậc ba y= f(x) như hình vẽ bên.

Phương trình $f (x) = 3 - 2 \sqrt{2}$ có bao nhiêu nghiệm?

A. 2 nghiệm.

B. 3 nghiệm.

C. 0 nghiệm.

D. 1 nghiệm.

Xem đáp án

Chọn D

Ta có $f (x) = 3 - 2 \sqrt{2} (*)$ .

Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y= f(x) và đường thẳng $y = 3 - 2 \sqrt{2}$ .

Dựa vào hình vẽ, hai đồ thị cắt nhau tại 1 điểm.

Cho đồ thị hàm bậc ba y= f(x) như hình vẽ bên. (ảnh 2)

Vậy phương trình $f (x) = 3 - 2 \sqrt{2}$ có 1 nghiệm.

Câu 30:

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = x^{3} - 2 x + 3$ tại điểm có hoành độ x= 2 là

A.

y = 7 x - 7

.

B.

y = x + 5

.

C.

y = 10 x - 27

.

D.

y = 10 x - 13

.

Xem đáp án

Chọn D

TXĐ: $D = ℝ$ .

Ta có y(2) = 7 và $y^{'} = 3 x^{2} - 2$ . Suy ra $y^{'} (2) = 10$ .

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 2 là

$y = 10 (x - 2) + 7 \Leftrightarrow y = 10 x - 13$ .

Câu 31:

Biết f(x) là tam thức bậc hai có các nghiệm là $2, - 1$ . Tính tổng các nghiệm của $f (x - 2)$ .

A. 3.

B. -3.

C. 5.

D. 1.

Xem đáp án

Chọn C

Ta có: $f (x) = a (x - 2) (x + 1)$

$\Rightarrow f (x - 2) = a (x - 4) (x - 1)$ .

Khi đó $f (x - 2) = 0$ có 2 nghiệm là $x = 4; x = 1$ .

Vậy tổng các nghiệm của $f (x - 2) = 4 + 1 = 5$ .

Câu 32:

Có bao nhiêu mặt phẳng cách đều tất cả các đỉnh của một hình lăng trụ tam giác?

A. 1.

B. 2.

C. 4.

D. 3.

Xem đáp án

Chọn C

Có 4 mặt phẳng cách đều tất cả các đỉnh của một hình lăng trụ tam giác.

Có bao nhiêu mặt phẳng cách đều tất cả các đỉnh của một hình lăng trụ tam giác? (ảnh 1)

Câu 33:

Trong không gian cho hình chữ nhật ABCD có AB=1 và AD=2. Gọi M và N lần lược là trung điểm của AD và BC. Cho hình chữ nhật và phần trong của nó quay quanh trục MN. Tính thể tích khối trụ tạo thành.

A.

\frac{π}{2}

.

B.

2 π

.

C.

\frac{π}{3}

.

D.

π

.

Xem đáp án

Chọn D

Trong không gian cho hình chữ nhật ABCD có AB=1 và AD=2. Gọi M và N lần lượt (ảnh 1)

Khối trụ tạo thành có bán kính $R = N C = 1$ , chiều cao $h = A B = 1$ .

Thể tích khối trụ là $V = π R^{2} . h = π$ .

Câu 34:

Cho khối chóp tứ giác đều nội tiếp trong khối cầu có bán kính bằng R=9. Tính chiều cao h của khối chóp để thể tích khối chóp lớn nhất.

A.

h = 12

.

B.

h = 9

.

C.

h = 10

.

D.

h = 14

.

Xem đáp án

Chọn A

Cho khối chóp tứ giác đều nội tiếp trong khối cầu có bán kính bằng R=9 (ảnh 1)

Đặt $S O = h, A B = y \Rightarrow B O = \frac{y \sqrt{2}}{2} \Rightarrow S B = \sqrt{h^{2} + \frac{y^{2}}{2}}$

Khi đó $R = \frac{S B^{2}}{2 S O} \Leftrightarrow 9 = \frac{h^{2} + \frac{y^{2}}{2}}{2 h} \Leftrightarrow h^{2} + \frac{y^{2}}{2} = 18 h \Leftrightarrow y^{2} = 36 h - 2 h^{2} \Rightarrow 0 < h < 18$

Thể tích khối chóp $V = \frac{1}{3} y^{2} . h = \frac{1}{3} (36 h - 2 h^{2}) . h = \frac{1}{3} (36 h^{2} - 2 h^{3})$

Xét $f (h) = 36 h^{2} - 2 h^{3} \Rightarrow f' (h) = 72 h - 6 h^{2}$

$f' (h) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} h = 0 \\ h = 12 \end{array}$

Bảng xét dấu

Cho khối chóp tứ giác đều nội tiếp trong khối cầu có bán kính bằng R=9 (ảnh 2)

Vậy thể tích lớn nhất khi h = 12.

Câu 35:

Giải bất phương trình $\log_{3} (4 x - 1) < 1$ .

A.

x > \frac{1}{4}

.

B.

x < 1

.

C.

\frac{1}{4} < x < 2

.

D.

\frac{1}{4} < x < 1

.

Xem đáp án

Chọn D

Ta có: $\log_{3} (4 x - 1) < 1 \Leftrightarrow \{\begin{matrix} 4 x - 1 > 0 \\ 4 x - 1 < 3 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} x > \frac{1}{4} \\ x < 1 \end{matrix} \Leftrightarrow \frac{1}{4} < x < 1$ .

Câu 36:

Cho a,b,c là các số dương khác 1. Đẳng thức nào dưới đây là đúng?

A.

a^{\log_{b} c} = c^{\log_{a} b}

.

B.

a^{\log_{b} c} = c^{\log_{b} a}

.

C.

a^{\log_{b} c} = b^{\log_{a} c}

.

D.

a^{\log_{b} c} = b^{\log_{c} a}

.

Xem đáp án

Chọn B

Ta có: $\log_{b} c = \log_{b} a . \log_{a} c \Leftrightarrow \log_{a} a^{\log_{b} c} = \log_{a} c^{\log_{b} a} \Leftrightarrow a^{\log_{b} c} = c^{\log_{b} a}$ .

Câu 37:

Tìm m để phương trình $m \cos x + \sin x = 1 - m$ có nghiệm.

A. $m \geq 0$ .

B. $m \leq 0$ .

C. $m > 0$ .

D. $m < 0$ .

Xem đáp án

Chọn A

Phương trình đã cho có nghiệm $\Leftrightarrow m^{2} + 1^{2} \geq {(1 - m)}^{2} \Leftrightarrow m^{2} + 1^{2} \geq 1 - 2 m + m^{2} \Leftrightarrow m \geq 0$ .

Vậy phương trình đã cho có nghiệm khi $m \geq 0$ .

Câu 38:

Cho tứ diện ABCD có AB,AC,AD đôi một vuông góc và AB= a, $A C = a \sqrt{2}$ , $A D = a \sqrt{3}$ . Khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng (BCD) là

A.

d = \frac{a \sqrt{6}}{3}

.

B.

d = \frac{a \sqrt{3}}{2}

.

C.

d = \frac{a \sqrt{30}}{5}

.

D.

d = \frac{a \sqrt{66}}{11}

.

Xem đáp án

Chọn D

Trong mặt phẳng (ABC) kẻ $A M ⊥ B C$ với $M \in B C$ .

Trong mặt phẳng (ADM) kẻ $A H ⊥ D M (1)$ với $H \in D M$ .

Ta có $\begin{array}{l} A M ⊥ B C \\ A D ⊥ B C \end{array}\} \Rightarrow B C ⊥ (D A M) \Rightarrow B C ⊥ A H (2)$ .

Từ (1) và (2) suy ra $A H ⊥ (B C D)$

Vậy khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng (BCD) là AH.

Trong tam giác $Δ A B C$ vuông tại A ta có:

$\frac{1}{A M^{2}} = \frac{1}{A B^{2}} + \frac{1}{A C^{2}} \Leftrightarrow \frac{1}{A M^{2}} = \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{2 a^{2}} \Leftrightarrow \frac{1}{A M^{2}} = \frac{3}{2 a^{2}} \Leftrightarrow A M = \frac{a \sqrt{6}}{3}$ .

Trong tam giác $Δ A D M$ vuông tại A ta có:

$\frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{A D^{2}} + \frac{9}{A M^{2}} \Leftrightarrow \frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{3 a^{2}} + \frac{9}{6 a^{2}} \Leftrightarrow \frac{1}{A H^{2}} = \frac{11}{6 a^{2}} \Leftrightarrow A H = \frac{a \sqrt{66}}{11}$ .

Câu 39:

Tìm tập nghiệm S của phương trình $9^{x + 1} = 27.$

A.

\{\frac{1}{2}\}

.

B.

\{0\}

.

C.

\{1\}

.

D.

\{2\}

.

Xem đáp án

Chọn A

Ta có: $9^{x + 1} = 27 \Leftrightarrow 3^{2 (x + 1)} = 3^{3} \Leftrightarrow 2 (x + 1) = 3 \Leftrightarrow 2 x + 2 = 3 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2} .$

Câu 40:

Hai xạ thủ bắn mỗi người một viên đạn vào bia một cách độc lập. Biết xác xuất trúng của xạ thủ thứ nhất và xạ thủ thứ hai lần lượt là 0,9 và 0,7 .Xác suất để có ít nhất một xạ thủ bắn trùng bia là

A. 0,26.

B. 0,97.

C. 0,85.

D. 0,72.

Xem đáp án

Chọn C

Gọi A là biến cố: “ có ít nhất một xạ thủ bắn trùng bia.”

$\bar{A}$ là biến cố: “Không có xạ thủ bắn trùng bia.”

$\Rightarrow P (\bar{A}) = (1 - 0, 9) . (1 - 0, 7) = 0, 03.$

Xác suất để có ít nhất một xạ thủ bắn trùng bia là

$\Rightarrow P (A) = 1 - P (\bar{A}) = 1 - 0, 03 = 0, 97$ .

Câu 41:

Hàm số $y = - x^{4} + 2 x^{2} + 1$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A.

(- \infty; 0)

.

B.

(0; + \infty)

.

C.

(1; + \infty)

.

D.

(- \infty; - 1)

.

Xem đáp án

Chọn D

Tập xác định D = R.

$y^{'} = - 4 x^{3} + 4 x$

$y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 1 \\ x = - 1 \end{array}$ .

Bảng biến thiên

Hàm số y= -x^4+2x^2+1 đồng biến trên khoảng nào dưới đây? (ảnh 1)

Dựa vào bảng biến thiên, ta chọn đáp án D.

Câu 42:

Hệ số của số hạng chứa $x^{5}$ trong khai triển của biểu thức ${(x + 1)}^{7}$ là

A. 7.

B. 21.

C. 42.

D. 35.

Xem đáp án

Chọn B

Ta có ${(x + 1)}^{7} = \sum_{k = 0}^{7} C_{7}^{k} x^{7 - k}$ .

Hệ số của số hạng chứa $x^{5}$ trong khai triển trên là $C_{7}^{k}$ , với k thỏa mãn $7 - k = 5 \Leftrightarrow k = 2$ .

Vậy hệ số của số hạng chứa $x^{5}$ trong khai triển trên là $C_{7}^{2} = 21$ .

Câu 43:

Cho tứ diện ABCD có cạnh AD=3 và các cạnh còn lại bằng 2. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. AD và CB vuông góc.

B. Đoạn nối 2 trung điểm 2 cạnh AB và CD là đoạn vuông góc chung của AB, CD.

C. AB và CD vuông góc.

D. AB và BD vuông góc.

Xem đáp án

Chọn C

Cho tứ diện ABCD có cạnh AD=3 và các cạnh còn lại bằng 2. Mệnh đề nào sau đây đúng? (ảnh 1)

Ta có:

$\begin{array}{l} \vec{A B} . \vec{C D} = (\vec{A C} + \vec{C B}) . \vec{C D} = \vec{A C} . \vec{C D} + \vec{C B} . \vec{C D} \\ = A C . C D . c o s 120^{0} + C B . C D . c o s 60^{0} = 0 \\ \Rightarrow \vec{A B} . \vec{C D} = 0 \Rightarrow A B ⊥ C D . \end{array}$

Câu 44:

Gọi l,h,r lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính mặt đáy của hình nón. Diện tích xung quanh $S_{x q}$ của hình nón là:

A.

S_{x q} = π r l

.

B.

S_{x q} = π r h

.

C.

S_{x q} = 2 π r l

.

D.

S_{x q} = \frac{1}{3} π r^{2} h

.

Xem đáp án

Chọn A

Theo công thức tính diện tích xung quanh $S_{x q}$ của hình nón ta có: $S_{x q} = πrl$ .

Câu 45:

Đường thẳng qua 2 điểm cực trị của đồ thị của hàm số $y = \frac{x^{2} - x + 2}{x + 2}$ có phương trình là

A. $y = 2 x - 1$ .

B. $y = 2 x + 1$ .

C. $y = x - 2$ .

D. $y = - 2 x - 1$ .

Xem đáp án

Đường thẳng qua 2 điểm cực trị của đồ thị của hàm số y= x^2-x+2/ x+2 (ảnh 1)

Câu 46:

Cho 2 số thực x,y với $x > 0, 0 < y < 2$ . Biết biểu thức $S = \frac{{(2 y)}^{x}}{{(2^{x} - y^{x})}^{2}} + \frac{2^{x} + 2 y^{x}}{2 y^{x}}$ có giá trị nhỏ nhất là $\frac{a}{b}$ với a,b là các số nguyên dương và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính $P = a + b$ .

A.

P = 11

.

B.

P = 15

.

C.

P = 17

.

D.

P = 13

.

Xem đáp án

Cho 2 số thực x,y với x> 0, 0 < y< 2. Biết biểu thức S= (2y)^x/ (2^x-y^x)^2 (ảnh 1)

Câu 47:

Tìm tất cả các giá trị m để hàm số $y = 8^{\cot x} + (m - 3) 2^{\cot x} + 3 m - 2$ nghịch biến trên $[\frac{π}{4}; π)$

A.

- 9 \leq m < 3

.

B.

m > 3

.

C.

m \geq 3

.

D.

m \leq - 9

.

Xem đáp án

Chọn D

Đặt: $t = \cot x (t \in R)$ .

Với $x \in [\frac{π}{4}; π)$ thì $t \in (0; 2]$ .

Ta được: $y = t^{3} + (m - 3) t + 3 m - 2$ $\Rightarrow y' = 3 t^{2} + m - 3$ .

Để hàm số $y = 8^{\cot x} + (m - 3) 2^{\cot x} + 3 m - 2$ nghịch biến trên $[\frac{π}{4}; π)$ thì hàm số $y = f (t) = t^{3} + (m - 3) t + 3 m - 2$ nghịch biến trên

$(0; 2] \Leftrightarrow f^{'} (t) = 3 t^{2} + m - 3 \leq 0, \forall x \in (0; 2] \Leftrightarrow m \leq - 3 t^{2} + 3 = g (t) \Leftrightarrow m \leq \min_{(0; 2]} g (t)$ .

Ta có: $g^{'} (t) = - 6 t = 0 \Leftrightarrow t = 0$ .

Bảng biến thiên:

Tìm tất cả các giá trị m để hàm số y=86cotx+ (m-3)2^cotx+ 3m-2 nghịch biến trên (ảnh 1)

Giá trị nhỏ nhất của g(t)là: $- 9$ .

Vậy: $m \leq - 9$ .

Câu 48:

Gọi a là số thực, a > 1 sao cho phương trình $a^{x} = \log_{a} x$ có nghiệm duy nhất. Chọn mệnh đề đúng.

A.

a \in (1, 4; 1, 5)

B.

a \in (1, 2; 1, 3)

C.

a \in (1, 3; 1, 4)

D.

a \in (1, 5; 1, 6)

Xem đáp án

Chọn A

Ta có: $a^{x} = \log_{a} x \Leftrightarrow a^{x} + \log_{a} a^{x} = \log_{a} x + x$ .

Xét hàm số:

$\begin{array}{l} f (t) = \log_{a} t + t, t \in (0; + \infty) \\ \Rightarrow f^{'} (t) = \frac{1}{t \ln a} + 1 > 0, t \in (0; + \infty), a > 1. \end{array}$

Suy ra hàm số $f (t) = \log_{a} t + t$ đồng biến trên khoảng $(0; + \infty)$ .

Do đó: $a^{x} + \log_{a} a^{x} = \log_{a} x + x \Leftrightarrow f (a^{x}) = f (x) \Rightarrow a^{x} = x \Leftrightarrow a^{x} - x = 0$ .

Xét hàm số: $g (x) = a^{x} - x$

$g^{'} (x) = a^{x} \ln a - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \log_{a} (\frac{1}{\ln a})$ .

Bảng biến thiên

Gọi a là số thực, a > 1 sao cho phương trình a^x=log ax có nghiệm duy nhất. Chọn mệnh đề đúng. (ảnh 1)

Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình $a^{x} - x = 0$ có nghiệm duy nhất

$\Leftrightarrow g (\log_{a} (\frac{1}{\ln a}) = 0 \Leftrightarrow a^{\log_{a} (\frac{1}{\ln a})} = \log_{a} (\frac{1}{\ln a}) \Leftrightarrow a \approx 1, 445$ (Casio).

Vậy ta có: $a \in (1, 4; 1, 5) .$

Câu 49:

Cho hàm số y= f(x) có đồ thị $y = f^{'} (x - 1)$ như hình vẽ.

Khi đó hàm số

y = e^{f (x) + 2 x}

đạt cực đại tại điểm

x_{0}

. Mệnh đề nào dưới đây là đúng

A. $x_{0} \in (- 1; 0)$ .

B.

x_{0} \in (- 4; - 2)

.

C.

x_{0} \in (0; 1)

.

D.

x_{0} \in (- 2; - 1)

.

Xem đáp án

Chọn B

$y = e^{f (x) + 2 x} \Rightarrow y^{'} = (f^{'} (x) + 2) e^{f (x) + 2 x}$ .

Do đó

$y^{'} = 0 \Leftrightarrow f^{'} (x) + 2 = 0 \Leftrightarrow f^{'} (x) = - 2$ .

Dựa vào đồ thị ta suy ra

$f^{'} (x) = - 2 \Leftrightarrow f^{'} (x + 1 - 1) = - 2 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x + 1 = 0 \\ x + 1 = α < - 1 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = α - 1 < - 2 \end{array}$ .

Câu 50:

Một chiếc hộp hình hộp chữ nhật ABCD.FEGH, mặt trên EFGH không có nắp (xem hình bên).

Có một con kiến ở đỉnh A bên ngoài hộp và một miếng mồi của kiến tại điểm O là tâm đáy ABCD ở bên trong hộp. Tính quãng đường ngắn nhất mà con kiến tìm đến miếng mồi (làm tròn đến một chữ số thập phân).

A. 12.3.

B. 12.4.

C. 12.2

D. 12.8.

Xem đáp án

Chọn C.

Một chiếc hộp hình hộp chữ nhật ABCD.FEGH, mặt trên EFGH không có nắp (xem hình bên). (ảnh 2)

( Hình 1)

Một chiếc hộp hình hộp chữ nhật ABCD.FEGH, mặt trên EFGH không có nắp (xem hình bên). (ảnh 3)

( Hình 2)

Đầu tiên kiến bò đến điểm M trên miệng hộp ( M thuộc đoạn EK với K là trung điểm EF )

( cạnh EF và EH là như nhau – với mỗi điểm M thuộc đoạn EK, có điểm M* thuộc đoạn KF sao cho MO = M*O ). Tiếp tục kiến thực hiện quãng đường ngắn nhất ( bên trong hộp ) từ M đến O- lúc này ta trải hai hình chữ nhật EFBA và ABCD lên mặt phẳng.

Gọi EM =x, 0 $\leq$ x $\leq$ 2 và S là quãng đường ( ngắn nhất) mà kiến thực hiện.

S = AM +MO

Trên hình 1 thì $A M = \sqrt{A E^{2} + E M^{2}}$ , trên hình 2 ( hình khai triển) thì MO = $\sqrt{O K^{2} + K M^{2}}$

Ta có:

$S = \sqrt{A E^{2} + E M^{2}} + \sqrt{O K^{2} + K M^{2}} = \sqrt{5^{2} + x^{2}} + \sqrt{7^{2} + {(2 - x)}^{2}} \geq \sqrt{{(5 + 7)}^{2} + {(x + 2 - x)}^{2}} = 12, 17$

( chú ý $\sqrt{5^{2} + x^{2}} + \sqrt{7^{2} + {(2 - x)}^{2}} \geq \sqrt{{(5 + 7)}^{2} + {(x + 2 - x)}^{2}}$ là bất đẳng thức $| \vec{a} | + | \vec{b} | \geq | \vec{a} + \vec{b} |$

Dấu = xảy ra khi $\frac{5}{7} = \frac{x}{2 - x} \Rightarrow x = \frac{5}{6}$ .