50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 30 đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 có lời giải - Đề 7

Câu 1:

Nghiệm của phương trình $2^{x - 1} = 8$ là

A. $x = 4.$

B. $x = 3$

C. $x = 9$

D. $x = 10$

Xem đáp án

Chọn A.

$2^{x - 1} = 8 \Leftrightarrow x - 1 = \log_{2} 8 \Leftrightarrow x = 4.$

Câu 2:

Hàm số $y = - x^{4} + 2 x^{2} + 1$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(0; + \infty) .$

B.

(- \infty; - 1) .

C. $(1; + \infty) .$

D.

(- \infty; 0) .

Xem đáp án

Chọn B.

$y' = - 4 x^{3} + 4 x . y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = - 1 \\ x = 1 \end{array} .$

Bảng biến thiên:

Hàm số y= -x^4+2x^2+1 đồng biến trên khoảng nào dưới đây? (ảnh 1)

Vậy hàm số đồng biến trên $(- \infty; - 1) .$

Câu 3:

Cho hình trụ có bán kính đáy r =7 và chiều cao h = 2.. Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng

A. $28 π .$

B. $4 \sqrt{53} π .$

C. 28.

D. $14 π .$

Xem đáp án

Chọn A.

$S_{x q} = 2 π r h = 2 π .7.2 = 28 π .$

Câu 4:

Mỗi mặt của một khối đa diện đều loại $\{4; 3\}$ là

A. một tam giác đều.

B. một hình vuông.

C. một lục giác đều.

D. một ngũ giác đều.

Xem đáp án

Chọn B.

Khối đa diện đều loại {4;3} là hình lập phương.

Câu 5:

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{1 - 2 x}{x - 1}$ là:

A. $x = 1.$

B. $y = - 2.$

C. $y = 0 .$

D. $x = - 2 .$

Xem đáp án

Chọn B.

TCN: y = -2

Câu 6:

Số mặt bên của một hình chóp ngũ giác là

A. 6.

B. 7.

C. 8.

D. 5.

Xem đáp án

Chọn A.

Câu 7:

Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{2} x < \log_{2} (12 - 3 x)$ là

A. $(3; + \infty) .$

B. $(- \infty; 3) .$

C. $(0; 6)$ .

D. $(0; 3)$

Xem đáp án

Chọn D.

Ta có:

$\log_{2} x < \log_{2} (12 - 3 x) \Leftrightarrow \{\begin{cases} x < 0 \\ 12 - 3 x > 0 \\ x < 12 - 3 x \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x > 0 \\ x < 4 \\ x < 3 \end{cases} \Leftrightarrow 0 < x < 3.$

Câu 8:

Với a,b là các số thực dương tùy ý và $a \neq 1, \log_{a} b^{2}$ bằng

A. $\frac{1}{2} \log_{a} b .$

B. $2 + \log_{a} b .$

C. $2 \log_{a} b .$

D. $\frac{1}{2} + \log_{a} b .$

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có: $\log_{a} b^{2} = 2 \log_{a} b .$

Câu 9:

Hình vẽ nào sau đây là hình biểu diễn một hình đa diện?

A. Hình 1.

B. Hình 2.

C. Hình 3.

D. Hình 4.

Xem đáp án

Chọn D.

Câu 10:

Một khối chóp có diện tích đáy B = 6 và chiều cao h= 9. Thể tích của khối chóp đã cho bằng?

A. 54.

B. 27.

C. 15.

D. 18.

Xem đáp án

Chọn D.

Ta có: $V = \frac{1}{3} B h = \frac{1}{3} .6.9 = 18.$

Câu 11:

Hàm số $y = {(x^{2} - 4)}^{- 3}$ có tập xác định là

A.

ℝ .

B. (-2;2)

C.

(- \infty; - 2) \cup (2; + \infty) .

D.

ℝ \ \{- 2; 2\} .

Xem đáp án

Chọn D.

Điều kiện xác định là: $x^{2} - 4 \neq 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \neq 2 \\ x \neq - 2 \end{cases} .$ Vậy tập xác định của hàm số là: $D = ℝ \ \{- 2; 2\} .$

Câu 12:

Cho hàm số bậc ba y= f(x) có đồ thị là đường cong như hình vẽ. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Cho hàm số bậc ba y= f(x) có đồ thị là đường cong như hình vẽ. Hàm số đã cho đồng biến trên (ảnh 1)

A. $(- 1; 1) .$

B. $(- \infty; 1) .$

C. $(- 2; - 1) .$

D. $(- 3; + \infty) .$

Xem đáp án

Chọn C.

Dựa vào đồ thị, suy ra hàm số y=f(x) đồng biến trên $(- \infty; - 1)$ và $(1; + \infty)$ .

Câu 13:

Cho hình nón có độ dài đường sinh l = 6 và chiều cao h = 2. Bán kính đáy của hình nón đã cho bằng

A. 4.

B. $4 \sqrt{2} .$

C. $\frac{1}{3} .$

D. $2 \sqrt{10} .$

Xem đáp án

Chọn B.

Bán kính đáy của hình nón là: $r = \sqrt{l^{2} - h^{2}} = \sqrt{6^{2} - 2^{2}} = 4 \sqrt{2} .$

Câu 14:

Cho khối lăng trụ có thể tích V = 20 và diện tích đáy B= 15. Chiều cao của khối trụ đã cho bằng

A. 4.

B. 2.

C. $\frac{4}{3} .$

D. 5.

Xem đáp án

Chọn C.

Thể tích của khối lăng trụ là: $V = B h \Rightarrow h = \frac{V}{B} = \frac{20}{15} = \frac{4}{3} .$

Câu 15:

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?

A. $y = \frac{x - 1}{x + 1} .$

B. $y = \frac{x + 2}{x + 1} .$

C. $y = \frac{2 x + 1}{x - 1} .$

D. $y = \frac{x + 2}{x - 2} .$

Xem đáp án

Chọn D.

Dựa vào đồ thị hàm số, suy ra đường tiệm cận ngang y = 1 và tiệm cận đứng x = 2.

Câu 16:

Với x > 0 đạo hàm của hàm số $y = \log_{2021} x$ là

A. $y' = \frac{1}{x} .$

B. $y' = \frac{1}{x \ln 2021} .$

C. $y' = \frac{\ln 2021}{x} .$

D. $y' = x \ln 2021.$

Xem đáp án

Chọn B.

$y' = \frac{1}{x \ln 2021} .$

Câu 17:

Thể tích của khối cầu có đường kính 6 bằng

A. $36 π .$

B. $288 π .$

C. $12 π .$

D. $144 π .$

Xem đáp án

Chọn A.

Mặt cầu có đường kính bằng 6 nên bán kính R= 3

$V = \frac{4}{3} π R^{3} = \frac{4}{3} π {.3}^{3} = 36 π .$

Câu 18:

Điểm cực tiểu của hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 2$ là

A. x = 7

B. x = 25

C. x = 3

D. x = -1

Xem đáp án

Chọn C.

$y' = 3 x^{2} - 6 x - 9 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 3 \\ x = - 1 \end{array}$

Điểm cực tiểu của hàm số y= x^3- 3x^2-9x+2 là (ảnh 1)

Từ bảng biến thiên ta thấy điểm cực tiểu của hàm số là x = 3

Câu 19:

Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $f (x) = x + \sqrt{4 - x^{2}} .$ Giá trị M - m bằng

A. 4.

B. $2 \sqrt{2} - 2.$

C. $2 + 2 \sqrt{2} .$

D. $2 \sqrt{2} .$

Xem đáp án

Chọn C.

ĐK: $x \in [- 2; 2] .$

$y' = 1 - \frac{x}{\sqrt{4 - x^{2}}} = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt{2} .$

$y (2) = 2; y (\sqrt{2}) = 2 \sqrt{2}; y (- 2) = - 2.$

$\Rightarrow M = \underset{[- 2; 2]}{m a x} y = 2 \sqrt{2}, m = \min_{[- 2; 2]} y = - 2 \Rightarrow M - m = 2 + 2 \sqrt{2} .$

Câu 20:

Biết $S = [a; b]$ là tập nghiệm của bất phương trình ${3.9}^{x} - {28.3}^{x} + 9 \leq 0.$ Giá trị của b - a bằng

A. 1.

B. 3.

C. 0.

D. -1

Xem đáp án

Chọn B.

${3.9}^{x} - {28.3}^{x} + 9 \leq 0 \Leftrightarrow 3. {(3^{x})}^{2} - {28.3}^{x} + 9 \leq 0 \Leftrightarrow \frac{1}{3} \leq 3^{x} \leq 9 \Rightarrow - 1 \leq x \leq 2.$

Do đó $a = - 1; b = 2 \Rightarrow b - a = 3.$

Câu 21:

Cho hai số thực dương a,b thỏa mãn $\log_{2} a + \log_{9} b = 4$ và $\log_{2} a^{3} + \log_{3} b = 11.$ Giá trị $28 a - b - 2021$ bằng

A. $- 1806.$

B. $- 2004 .$

C. $- 1995$

D. $- 1200$

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có $\{\begin{cases} \log_{2} a + \log_{9} b = 4 \\ \log_{2} a^{3} + \log_{3} b = 11 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 \log_{2} a + \log_{3} b = 8 \\ 3 \log_{2} a + \log_{3} b = 11 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \log_{2} a = 3 \\ \log_{3} b = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 8 \\ b = 9 \end{cases} .$

$\Rightarrow 28 a - b - 2021 = 28.8 - 9 - 2021 = - 1806.$

Câu 22:

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có $A B = 2; A D = 4 \sqrt{2}; A A' = 2 \sqrt{3} .$ Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình hộp đã cho bằng

A. $36 π .$

B. $9 π .$

C. $48 π .$

D. $12 π .$

Xem đáp án

Chọn C.

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB= 2; AD= 4 căn bậc hai 2; AA'= 2 căn bậc hai 3 (ảnh 1)

Gọi I là tâm mặt cầu $\Rightarrow I$ là trung điểm của CA'

Ta có $A C = \sqrt{A B^{2} + B C^{2}} = \sqrt{2^{2} + {(4 \sqrt{2})}^{2}} = 6 \Rightarrow A' C = \sqrt{A A'^{2} + A C^{2}} = \sqrt{6^{2} + {(2 \sqrt{3})}^{2}} = 4 \sqrt{3} .$

Bán kính mặt cầu: $R = \frac{A' C}{2} = 2 \sqrt{3} .$ Diện tích mặt cầu bằng: $S = 4 π R^{2} = 4 π . {(2 \sqrt{3})}^{2} = 48 π .$

Câu 23:

Gọi A,B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + 1.$ Phương trình của đường thẳng AB là

A. $y = x + 1.$

B. $y = 2 x + 1.$

C. $y = - x + 1.$

D. $y = - 2 x + 1.$

Xem đáp án

Chọn D.

Ta có $y' = 3 x^{2} - 6 x; y' = 0 \Leftrightarrow 3 x^{2} - 6 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 2 \end{array} \Rightarrow A (0; 1); B (2; - 3) \Rightarrow \vec{A B} = (2; - 4)$ .

Phương trình $A B : \frac{x - 0}{1} = \frac{y - 1}{- 2} \Leftrightarrow y = - 2 x + 1.$

Câu 24:

Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có $B C = 2 a; B B' = a \sqrt{3} .$ Thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C' bằng

A. $a^{3} .$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{4} .$

C. $\frac{3 a^{3}}{4} .$

D. $3 a^{3} .$

Xem đáp án

Chọn C.

Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có BC=2a,BB'= a căn bậc hai 3 Thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C' bằng (ảnh 1)

Ta có $V = B B' . S_{A B C} = a \sqrt{3} . \frac{1}{2} . a . a . \sin 60^{0} = \frac{3 a^{3}}{4} .$

Câu 25:

Cho hàm số y= f(x) có đạo hàm $f' (x) = x^{2} - 2 x, \forall x \in ℝ .$ Hàm số $y = - 2 f (x)$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(0; 2) .$

B. $(- 2; 0) .$

C. $(2; + \infty) .$

D. $(- \infty; - 2) .$

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có: $y' = - 2 f' (x) = 0 \Leftrightarrow x^{2} - 2 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 2 \end{array} .$

Bảng xét dấu y'

Cho hàm số y= f(x) có đạo hàm f'(x)= x^2-2x, với mọi x thuộc R. Hàm số y = 2f(x) đồng biến (ảnh 1)

Từ bảng xét dấu ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng (0;2)

Câu 26:

Cho hình chóp tam giác đều có độ dài cạnh đáy bằng a và độ dài đường cao bằng $\frac{\sqrt{3} a}{3},$ góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy của hình chóp bằng

A. $60^{0} .$

B. $70^{0} .$

C. $30^{0} .$

D. $45^{0} .$

Xem đáp án

Chọn D.

Cho hình chóp tam giác đều có độ dài cạnh đáy bằng a và độ dài đường cao bằng căn bậc hai 3 a/3 (ảnh 1)

Ta có $(S A; (A B C D)) = \hat{S A O}$

Theo đề $A B = a \Rightarrow O A = \frac{a \sqrt{3}}{3} .$

Xét tam giác SAO vuông tại O ta có: $\tan \hat{S A O} = \frac{S O}{A O} = \frac{\frac{a \sqrt{3}}{3}}{\frac{a \sqrt{3}}{3}} = 1 \Rightarrow \hat{S A O} = 45^{0}$

Vậy $(S A; (A B C D)) = 45^{0} .$

Câu 27:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA= 2a Thể tích khối chóp S.ABC bằng

A. $\frac{\sqrt{3} a^{3}}{4} .$

B. $\frac{\sqrt{3} a^{3}}{6} .$

C. $\frac{\sqrt{3} a^{3}}{2} .$

D. $\sqrt{3} a^{3} .$

Xem đáp án

Chọn B.

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với (ảnh 1)

Thể tích khối chóp S.ABCD là $V = \frac{1}{3} . S A . S_{Δ A B C} = \frac{1}{3} .2 a . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6} .$

Câu 28:

Một người gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 6%/ năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu để tính lãi cho năm tiếp theo. Hỏi người đó phải gửi ít nhất bao nhiêu năm để nhận được tổng số tiền cả vốn ban đầu và lãi nhiều hơn 150 triệu đồng, nếu trong khoảng thời gian gửi người đó không rút tiền và lãi suất không thay đổi?

A. 8.

B. 7.

C. 6.

D. 5.

Xem đáp án

Chọn B.

Gọi A là số tiền ban đầu gửi vào ngân hàng (đơn vị triệu đồng)

Gọi n là số năm người đó gửi vào ngân hàng (đơn vị năm)

Gọi P là số tiền cả vốn và lãi (đơn vị triệu đồng)

Theo đề bài ta có $P > 150 \Rightarrow A {(1 + r)}^{n} > 150 \Leftrightarrow 100 {(1 + 6 %)}^{n} > 150 \Leftrightarrow 1, 06^{n} > 1, 5 \Leftrightarrow n > 6, 9$

Suy ra n= 7

Câu 29:

Số cách chọn một ban cán sự gồm lớp trưởng, một lớp phó và một bí thư từ một lớp học có 45 học sinh bằng

A. 85140.

B. 89900.

C. 14190.

D. 91125.

Xem đáp án

Chọn A.

Số cách chọn một ban cán sự gồm một lớp trưởng, một lớp phó và một bí thư từ một lớp học có 45 học sinh là $A_{45}^{3} = 85140.$

Câu 30:

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \frac{x + 2}{x + 1}$ tại giao điểm của đồ thị với trục tung có phương trình là

A. $y = x + 2.$

B. $y = - x .$

C. $y = x .$

D. $y = - x + 2.$

Xem đáp án

Chọn D.

Gọi M là giao điểm của đồ thị với trục tung

Suy ra tọa độ điểm M là (0;2)

Ta có $y' = \frac{- 1}{{(x + 1)}^{2}}$ suy ra $k = y' (0) = \frac{- 1}{{(0 + 1)}^{2}} = - 1$

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M(0;2) là $y = - x + 2.$

Câu 31:

Thể tích của khối bát diện đều cạnh 2a bằng

A. $4 \sqrt{2} a^{3} .$

B. $\frac{4 \sqrt{2} a^{3} .}{3}$

C. $8 \sqrt{2} a^{3} .$

D. $\frac{8 \sqrt{2} a^{3} .}{3}$

Xem đáp án

Chọn D.

Thể tích của khối bát diện đều cạnh 2a bằng (ảnh 1)

Ta có $S O = \sqrt{S A^{2} - A O^{2}} = \sqrt{S A^{2} - {(\frac{A C}{2})}^{2}} = \sqrt{{(2 a)}^{2} - {(\frac{2 a \sqrt{2}}{2})}^{2}} = a \sqrt{2} .$

Thể tích khối bát diện đều là

V = 2 V_{S . A B C D} = 2. \frac{1}{3} S O . S_{A B C D} = \frac{2}{3} . a \sqrt{2} . {(2 a)}^{2} = \frac{8 \sqrt{2} a^{3}}{3} .

Câu 32:

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ có $u_{5} = - 15, u_{20} = 60.$ Tổng của 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho là

A. $S_{20} = 200.$

B. $S_{20} = 250 .$

C. $S_{20} = - 250$

D. $S_{20} = - 200.$

Xem đáp án

Chọn B.

Ta có $\{\begin{cases} u_{5} = - 15 \\ u_{20} = 60 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} u_{1} + 4 d = - 15 \\ u_{1} + 19 d = 60 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} u_{1} = - 35 \\ d = 5 \end{cases} .$

Áp dụng công thức tổng n số hạng đầu của cấp số cộng $S_{n} = \frac{n}{2} . [2 u_{1} + (n - 1) d]$ ta có:

Tổng 20 số hạng đều tiên của cấp số cộng là $S_{20} = \frac{20}{2} . [2. (- 35) + 19.5] = 250.$

Câu 33:

Đồ thị hàm số nào dưới đây có đường tiệm cận ngang

A. $y = \sqrt{x^{2} - 1} .$

B. $y = \frac{\sqrt{x - 3}}{x + 1} .$

C.

y = \frac{\sqrt{9 - x^{2}}}{x} .

D.

y = \frac{3 x^{2} + 1}{x} .

Xem đáp án

Đồ thị hàm số nào dưới đây có đường tiệm cận ngang (ảnh 1)

Câu 34:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in [- 10; 10]$ để hàm số $y = (2 m - 1) x - (3 m + 2) \cos x$ nghịch biến trên $(0; π) ?$

A. 12.

B. 10.

C. 9.

D. 11.

Xem đáp án

Chọn B.

$y' = 2 m - 1 + (3 m + 2) \sin x$

Hàm số $y = (2 m - 1) x - (3 m + 2) \cos x$ nghịch biến trên $(0; π) .$

$\Rightarrow y' \leq 0 \forall x \in (0; π) \Leftrightarrow 2 m - 1 + (3 m + 2) \sin x \leq 0 \forall x \in (0; π)$

$\Leftrightarrow m (2 + 3 \sin x) + 2 \sin x - 1 \leq 0 \forall x \in (0; π) .$

$\Leftrightarrow m \leq \frac{1 - 2 \sin x}{2 + 3 \sin x} \forall x \in (0; π) \Leftrightarrow m \leq \min_{x \in (0; π)} (\frac{1 - 2 \sin}{2 + 3 \sin x}) .$

Xét $f (x) = \frac{1 - 2 t}{2 + 3 t}, \forall t \in (0; 1] .$

$f' (t) = \frac{- 7}{{(2 + 3 t)}^{2}} < 0, \forall t \in (0; 1] \Rightarrow \min_{t \in (0; 1]} f (t) = f (1) = - \frac{1}{5}$

Do đó $m \leq - \frac{1}{5}$

Mà $m \in [- 10; 10] \cap ℤ \Rightarrow m \in \{- 10; ...; - 1\} .$

Câu 35:

Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O) và (O') bán kính đáy r=3 Biết AB là một dây của đường tròn (O) sao cho tam giác O'AB là tam giác đều và (O'AB) tạo với mặt phẳng chứa hình tròn (O) một góc $60^{0} .$ Thể tích của khối trụ đã cho bằng

A. $\frac{27 \sqrt{5} π}{5} .$

B. $\frac{27 \sqrt{7} π}{7} .$

C. $\frac{81 \sqrt{7} π}{7} .$

D. $\frac{81 \sqrt{5} π}{5} .$

Xem đáp án

Chọn B.

Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O) và (O') bán kính đáy r=3 Biết AB là một dây (ảnh 1)

Gọi H là trung điểm của AB. Khi đó góc giữa (O'AB) tạo với mặt phẳng chứa hình tròn (O) bằng góc $\hat{O H O'} = 60^{0} .$

Ta có $O' H = \frac{A B \sqrt{3}}{2}; O H = \cos 60^{0} . O' H = \frac{1}{2} O' H = \frac{A B \sqrt{3}}{4}$

$O A^{2} = O H^{2} + {(\frac{A B}{2})}^{2} \Leftrightarrow 9 = {(\frac{A B \sqrt{3}}{4})}^{2} + {(\frac{A B}{2})}^{2} \Leftrightarrow A B = \frac{12 \sqrt{7}}{7}$

$O' H = \frac{6 \sqrt{21}}{7}$

$O O' = O' H . \sin 60^{0} = \frac{9 \sqrt{7}}{7} .$

Thể tích của khối trụ đã cho bằng $V = \frac{1}{3} π {.3}^{2} . \frac{9 \sqrt{7}}{7} = \frac{27 π \sqrt{7}}{7} .$

Câu 36:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in [- 5; 5]$ để đồ thị hàm số $y = \frac{x}{\sqrt{2 x^{2} - 2 x - m} - x - 1}$ có hai đường tiệm cận đứng

A. 8.

B. 7.

C. 5.

D. 6.

Xem đáp án

Chọn A.

Đồ thị hàm số $y = \frac{x}{\sqrt{2 x^{2} - 2 x - m} - x - 1}$ có hai đường tiệm cận đứng

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x^{2} - 2 x - m \geq 0 \\ \sqrt{2 x^{2} - 2 x - m} - x - 1 = 0 \\ x \neq 0 \end{cases}$ có hai nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x \geq - 1 \\ 2 x^{2} - 2 x - m = x^{2} + 2 x + 1 \\ x \neq 0 \end{cases}$ có hai nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x \geq - 1 \\ x^{2} - 4 x - 1 = m \\ x \neq 0 \end{cases}$ có hai nghiệm phân biệt

$x^{2} - 4 x - 1 = m$ có hai nghiệm phân biệt khác 0 và lớn hơn hoặc bằng $- 1 \Leftrightarrow \{\begin{cases} - 5 < m \leq 4 \\ m \neq 1 \end{cases} (1)$

Mà $m \in [- 5; 5] \cap ℤ (3)$

Từ $(1), (3) \Rightarrow m \in \{- 4; - 3; - 2; 0; 1; 2; 3; 4\} .$

Câu 37:

Cho phương trình $3^{1 + \frac{3}{x}} - {3.3}^{\frac{2}{x} - 2 \sqrt{x} + 1} + (m + 2) {.3}^{1 + \frac{1}{x} - 4 \sqrt{x}} - m {.3}^{1 - 6 \sqrt{x}} = 0.$ Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn

$[- 2020; 2021]$ để phương trình có nghiệm?

A. 1346.

B. 2126.

C. 1420.

D. 1944.

Xem đáp án

Chọn A.

Điều kiện: x > 0

Ta có: $3^{1 + \frac{3}{x}} - {3.3}^{\frac{2}{x} - 2 \sqrt{x + 1}} + (m + 2) {.3}^{1 + \frac{1}{x} - 4 \sqrt{x}} - m {.3}^{1 - 6 \sqrt{x}} = 0$

$\Leftrightarrow 3^{3 (\frac{1}{x} + 2 \sqrt{x})} - {3.3}^{2 (\frac{1}{x} + 2 \sqrt{x})} + (m + 2) {.3}^{\frac{1}{x} + 2 \sqrt{x}} - m = 0 (*)$

Đặt $t = 3^{\frac{1}{x} + 2 \sqrt{x}} = 3^{\frac{1}{x} + \sqrt{x} + \sqrt{x}} \geq 3^{3 \sqrt[3]{\frac{1}{x} . \sqrt{x} . \sqrt{x}}} = 3^{3} = 27.$

Phương trình có dạng: $\Leftrightarrow t^{3} - 3. t^{2} + (m + 2) . t - m = 0 (* *)$

Ta tìm $m \in [- 2020; 2021]$ để phương trình (**) có nghiệm lớn hơn hoặc bằng 27.

Ta có: $(* *) \Leftrightarrow (t - 1) (t^{2} - 2 t + m) = 0$

$\Leftrightarrow t^{2} - 2 t + m = 0$ (Vì $t \geq 27$ )

$\Leftrightarrow {(t - 1)}^{2} = 1 - m$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 1 - m \geq 0 \\ t = 1 \pm \sqrt{1 - m} \end{cases}$

Vậy để phương trình (*) có nghiệm lớn hơn hoặc bằng 27 thì

$\{\begin{cases} 1 - m \geq 0 \\ 1 + \sqrt{1 - m} \geq 27 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m \leq 1 \\ 1 - m \geq 676 \end{cases} \Leftrightarrow m \leq - 675.$

Vì $m \in [- 2020; 2021]$ nên có: $2020 - 675 + 1 = 1346$ giá trị m

Câu 38:

Cho hàm số $y = x^{3} - 3 m x^{2} + 3 (m^{2} - 1) x - m^{3},$ với m là tham số. Gọi (C) là đồ thị của hàm số đã cho. Biết rằng khi m thay đổi, điểm cực tiểu của đồ thị (C) luôn nằm trên đường thẳng cố định. Hệ số góc của đường thẳng d bằng

A.

- \frac{1}{3} .

B. 3.

C.

- 3

D.

\frac{1}{3} .

Xem đáp án

Cho hàm số y= x^3-3mx^2+3(m^2-1)x-m^3 với m là tham số. Gọi (C) là đồ thị của hàm số đã cho (ảnh 1)

Câu 39:

Cho hàm số f(x) liên tục trên R và có đồ thị như đường cong trong hình vẽ bên.

Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f (|3 - 2 \sqrt{6 x - 9 x^{2}}|)$ . Giá trị $3 M - m$ bằng

A. -8

B. 0.

C. 14.

D. 2.

Xem đáp án

Chọn D.

Đặt $t = 3 - 2 \sqrt{6 x - 9 x^{2}}, x \in [0; \frac{3}{2}] .$

Có $t' = - 2. \frac{6 - 18 x}{2 \sqrt{6 x - 9 x^{2}}}, t' = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{3} .$

Ta có $t (0) = 3; t (\frac{1}{3}) = 1; t (\frac{2}{3}) = 3,$ hàm số $t = t (x)$ liên tục trên $[0; \frac{2}{3}],$ nên $t \in [1; 3] .$

Xét hàm số $y = f (t)$ trên $[1; 3] .$

Từ đồ thị hàm số ta có giá trị lớn nhất của hàm số trên $[1; 3] .$ bằng -1 và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên $[1; 3] .$ bằng - 5

Vậy $3 M - m = 3 (- 1) + 5 = 2.$

Câu 40:

Cho hình nón có chiều cao h = 6 và bán kính đường tròn đáy r= 3. Xét hình trụ có một đáy nằm trên hình tròn đáy của hình nón, đường tròn của mặt đáy còn lại nằm trên mặt xung quanh của hình nón sao cho thể tích khối trụ lớn nhất. Khi đó, bán kính đáy của hình trụ bằng

A. $\frac{9}{4} .$

B. 2.

C. 1.

D. $\frac{3}{2} .$

Xem đáp án

Chọn B.

Gọi hình trụ có chiều cao và bán kính đáy lần lượt là: $h_{0}; r_{0} (6 > h_{0} > 0; 3 > r_{0} > 0),$ khi đó thể tích của khối trụ $V = h_{0} π r_{0}^{2} .$

Cho hình nón có chiều cao h = 6 và bán kính đường tròn đáy r= 3. Xét hình trụ có một đáy nằm (ảnh 1)

Cắt khối tròn xoay bởi mặt phẳng qua trục của hình, gọi điểm O là tâm của đường tròn đáy hình nón, tâm I của đường tròn còn lại của hình trụ; IO đường cao của hình trụ nằm trong hình nón; E và F là các điểm nằm trên đường tròn đáy của hình trụ

Ta có $\frac{I E}{O A} = \frac{S I}{S O} \Rightarrow \frac{r_{0}}{3} = \frac{6 - h_{0}}{6} \Leftrightarrow h_{0} = 6 - 2 r_{0}$

$\Rightarrow V = π r_{0}^{2} (6 - 2 r_{0}) \leq π {(\frac{r_{0} + r_{0} + 6 - 2 r_{0}}{3})}^{3} = 8 π .$

Dấu “=” khi $r_{0} = 6 - 2 r_{0} \Leftrightarrow r_{0} = 2.$

Câu 41:

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B và $A' A = A' B = A' C .$ Biết rằng $A B = 2 a, B C = \sqrt{3} a$ và mặt phẳng (A'BC) tạo với mặt đáy một góc $30^{0} .$ Thể tích khối lăng trụ $A B C . A' B' C'$ bằng

A. $\frac{3 a^{3}}{2} .$

B. $a^{3}$

C.

\frac{a^{3}}{3} .

D.

\frac{3 a^{3}}{4} .

Xem đáp án

Chọn B.

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B và A'A=A'B=A'C (ảnh 1)

+ Gọi H là trung điểm của AC, do tam giác ABC vuông tại B nên H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Lại có $A' A = A' B = A' C,$ suy ra $A' H ⊥ (A B C)$ .

+ $V_{A B C . A' B' C'} = A' H . S_{Δ A B C} .$

+ $S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} A B . B C = \frac{1}{2} 2 a \sqrt{3 a} = a^{2} \sqrt{3} .$

+ Gọi J là trung điểm BC,JH vuông góc với BC, do đó dễ dàng lập luận được góc A'JH là góc giữa hai mặt phẳng (A'BC) và (ABC). Từ đó tính được: $A' H = \tan 30^{0} . J H = \frac{1}{\sqrt{3}} a = \frac{a \sqrt{3}}{3} .$

+ Do đó: $V_{A B C . A' B' C'} = \frac{a \sqrt{3}}{3} a^{2} \sqrt{3} = a^{3} .$

Câu 42:

Một cửa hàng kem có bán bốn loại kem: kem sôcôla, kem sữa, kem đậu xanh và kem thập cẩm. Một người vào cửa hàng kem mua 8 cốc kem. Xác suất trong 8 cốc kem đó có đủ cả bốn loại kem bằng

A. $\frac{5}{14} .$

B.

\frac{5}{13} .

C.

\frac{7}{33} .

D.

\frac{5}{12} .

Xem đáp án

Chọn A.

* Xét hai bài toán sau:

+ Bài toán 1: Tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình:

$x_{1} + x_{2} + ... + x_{k} = n, (n, k \in ℕ *; n \geq k) .$

Đáp số: $C_{n - 1}^{k - 1} .$

Đáp số bài toán trên cho ta kết quả bài toán chia n cái kẹo cho k em bé sao cho em nào cũng có ít nhất một cái, hoặc cũng có thể nói số cách phân phối n cái kẹo cho k em bé sao cho em nào cũng có kẹo. Từ đó áp dụng trong các bài toán khác khi cần đếm số cách phân phối đồ vật giống nhau vào trong các hộp sao cho hộp nào cũng có ít nhất một đồ vật hoặc phân phối các đồ vật theo các loại sao cho trong các đồ vật loại nào cũng có.

+ Bài toán 2: Tìm số nghiệm nguyên không âm của phương trình:

$x_{1} + x_{2} + ... + x_{k} = n, (n, k \in ℕ *) .$

Đáp số: $C_{n + k - 1}^{k - 1} .$

Đáp số bài toán trên cho ta kết quả bài toán chia n cái kẹo cho k em bé hoặc cũng có thể nói số cách phân phối n cái kẹo cho k em bé. Từ đó áp dụng trong các bài toàn khác thì cần đếm số cách phân phối đồ vật giống nhau và trong các hộp hoặc phân phối các đồ vật theo các loại.

* Áp dụng trong câu hỏi trên ta có lời giải:

+ Số cách phân phối 8 que kem cho 4 loại là: $|Ω| = C_{11}^{3} .$

+ Số cách phân phối 8 que kém về cho 4 loại sao cho loại nào cũng có: $C_{7}^{3} .$

Do đó xác suất cần tính là:

\frac{C_{7}^{3}}{C_{11}^{3}} = \frac{7}{33} .

Câu 43:

Cho các số nguyên dương x,y,z đôi một nguyên tố cùng nhau và thỏa mãn $x \log_{3200} 5 + y \log_{3200} 2 = z .$ Giá trị biểu thức $29 x - y - 2021 z$ bằng

A. $- 2020.$

B. $- 1970$

C. $- 2019$

D. $- 1968$

Xem đáp án

Chọn B.

$x \log_{3200} 5 + y \log_{3200} 2 = z \Leftrightarrow \log_{3200} (5^{x} {.2}^{y}) = z \Leftrightarrow 5^{x} {.2}^{y} = 3200^{z} \Leftrightarrow 5^{x} {.2}^{y} = 5^{2 z} {.2}^{7 z}$

Do x,y,z nguyên dương suy ra $\{\begin{cases} x = 2 z \\ y = 7 z \end{cases} .$

Do x,y,z đôi một nguyên tố cùng nhau nên ta có $z = 1, x = 2, y = 7.$

Vậy $29 x - y - 2021 z = - 1970.$

Câu 44:

Cho bất phương trình $\log_{3} (x^{2} - x + 2) + 1 \geq \log_{3} (x^{2} + x + m - 3) .$ Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi giá trị của x thuộc đoạn $[0; 6] ?$

A. 6.

B. 5.

C. 4.

D. 3.

Xem đáp án

Cho bất phương trình log 3(x^2-x+2) + 1 lớn hơn bằng log 3(x^2+x+m-3). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số (ảnh 1)

Câu 45:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang có đáy lớn là AD, các đường thẳng SA,AC và CD đôi một vuông góc với nhau

S A = A C = C D = \sqrt{2} a

và AD= 2BC Khoảng cách giữa hai đường thẳng. Khoảng AD= 2BC ng cách giữa hai đường thẳng SB và CD bằng

A. $\frac{a \sqrt{10}}{5} .$

B. $\frac{a \sqrt{10}}{2} .$

C. $\frac{a \sqrt{5}}{2} .$

D. $\frac{a \sqrt{5}}{5} .$

Xem đáp án

Chọn A.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang có đáy lớn là AD, các đường thẳng SA,AC và CD (ảnh 1)

Ta có $\{\begin{cases} S A ⊥ A C \\ S A ⊥ C D \end{cases} \Rightarrow S A ⊥ (A B C D)$ .

Gọi M là trung điểm AD

Do $S A = A C = C D = \sqrt{2} a$ nên tam giác ACD vuông cân tại C suy ra $C M ⊥ A D, A D = \sqrt{2} A C = 2 a,$ $C M = A M = \frac{1}{2} A D = a .$

Từ đó ABCM là hình vuông suy ra $A B ⊥ A D$ .

Lại có $C D / / B M \Rightarrow C D / / (S B M) \Rightarrow d (C D, A B) = d (D, (S B M)) = d (A, (S B M))$

Gọi $O = A C \cap B M$

Trong mặt phẳng (SAO) kẻ $A K ⊥ S O (1)$

Ta có:

$\{\begin{cases} B M ⊥ S A \\ B M ⊥ C A \end{cases}$

$\Rightarrow B M ⊥ (S A O) \Rightarrow B M ⊥ A K (2)$

Từ (1) và $(2) \Rightarrow A K ⊥ (S B M)$

$\Rightarrow d (A, (S B M)) = A K = \frac{S A . A O}{\sqrt{S A^{2} + A O^{2}}} = \frac{a \sqrt{10}}{5} .$

Có thể tính khoảng cách nhanh theo công thức

AB,AM,AS đôi một vuông góc thì

d (A, (S B M)) = \frac{S A . S B . S M}{\sqrt{S A^{2} . S B^{2} + S B^{2} . S M^{2} + S M^{2} . S A^{2}}} = \frac{a \sqrt{10}}{5} .

Câu 46:

Cho tứ diện ABCD có $\hat{D A B} = \hat{C B D} = 90^{0}, A B = 2 a, A C = 2 \sqrt{5} a$ và $\hat{A B C} = 135^{0} .$ Góc giữa hai mặt phẳng (ABD) và (BCD) bằng $30^{0} .$ Thể tích của khối tứ diện ABCD bằng

A. $\frac{4 \sqrt{2} a^{3}}{3} .$

B. $4 \sqrt{2} a^{3} .$

C. $\frac{4 a^{3}}{3} .$

D. $\frac{4 \sqrt{3} a^{3}}{3} .$

Xem đáp án

Chọn C.

Cho tứ diện ABCD có góc DAB= góc CBD= 90 độ, AB= 2a và góc ABC = 135 độ. Góc giữa hai mặt phẳng (ảnh 1)

Gọi H là hình chiếu vuông góc của D trên mặt phẳng ABC

Ta có: $\{\begin{cases} A B ⊥ D H \\ A B ⊥ A D \end{cases} \Rightarrow A B ⊥ A H$

Mặt khác: $\{\begin{cases} C B ⊥ D H \\ C B ⊥ B D \end{cases} \Rightarrow C B ⊥ B H$

Tam giác ABH vuông tại $A, A B = 2 a, \hat{A B H} = 45^{0} \Rightarrow Δ A B H$ vuông cân tại $A \Rightarrow A H = A B = 2 a; B H = 2 a \sqrt{2} .$

Áp dụng định lí cosin, $A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} - 2. A B . B C . \cos \hat{A B C}$

$B C^{2} + A B^{2} - 2. A B . B C . \cos \hat{A B C} - A C^{2} = 0 \Leftrightarrow B C^{2} + 2 a \sqrt{2} B C - 16 a^{2} = 0 \Rightarrow B C = 2 \sqrt{2} a$

$S_{A B C} = \frac{1}{2} . A B . B C . \sin 135^{0} = \frac{1}{2} .2 a .2 \sqrt{2} a . \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 a^{2}$

Dựng $\{\begin{cases} H E ⊥ D A \\ H F ⊥ D B \end{cases} \Rightarrow H E ⊥ (D A B); H F ⊥ (D C B)$

Suy ra $(\hat{(D A B); (D C B)}) = \hat{(H E, H F)} = \hat{E H F} .$ Tam giác EHF vuông tại F.

Đặt DH= x khi đó $E H = \frac{D H . A H}{\sqrt{D H^{2} + A H^{2}}} = \frac{2 a x}{\sqrt{4 a^{2} + x^{2}}}, F H = \frac{2 a \sqrt{2} x}{\sqrt{8 a^{2} + x^{2}}}$

$\cos \hat{E H F} = \frac{E H}{E F} = \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{8 a^{2} + x^{2}}}{\sqrt{2} \sqrt{4 a^{2} + x^{2}}} \Rightarrow 6 (4 a^{2} + x^{2}) = 4 (8 a^{2} + x^{2}) \Rightarrow x = 2 a .$

Vậy thể tích của khối tứ diện $A B C D : V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} . S_{A B C} . D H = \frac{1}{3} .2 a^{2} .2 a = \frac{4 a^{3}}{3} .$

Câu 47:

Cho các số thực x,y thỏa mãn $2021^{x^{3} + \frac{3}{2 x^{2}} - \frac{3}{2}} = \log_{\sqrt[2021]{2020}} [2004 - (y - 11) \sqrt{y + 1}]$ với x>0 và $y \geq - 1.$ Giá trị của biểu thức

$P = 2 x^{2} + y^{2} - 2 x y + 6$ bằng

A. 14.

B. 11.

C. 10.

D. 12.

Xem đáp án

Chọn B.

$2021^{x^{3} + \frac{3}{2 x^{2}} - \frac{3}{2}} = \log_{\sqrt[2021]{2020}} [2004 - (y - 11) \sqrt{y + 1}]$

$\Leftrightarrow 2021^{x^{3} + \frac{3}{2 x^{2}} - \frac{3}{2}} = 2021 \log_{2020} [2004 - (y - 11) \sqrt{y + 1}]$

Ta có: $x^{3} + \frac{3}{2 x^{2}} = \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{1}{2 x^{2}} \overset{c a u c h y}{\geq} \frac{5}{2}, \forall x > 0 \Rightarrow V T \geq 2021^{\frac{5}{2} - \frac{3}{2}} = 2021 (1)$

Ta có: $2004 - (y - 11) \sqrt{y + 1} = 2004 - {(\sqrt{y + 1})}^{3} + 12 \sqrt{y + 1}$

Đặt $t = \sqrt{y + 1} \Rightarrow t \geq 0.$

$f (t) = 2004 - t^{3} + 12 t$

$\Rightarrow f' (t) = - 3 t^{2} + 12$

$f' (t) = 0 \Leftrightarrow t = \pm 2.$

Cho các số thực x,y thỏa mãn 2021^x^3+ 3/2x^2-3/2= log căn bậc 2021 của 2020 [2004-(y-11) căn bậc hai y+1 (ảnh 1)

Dựa vào BBT, ta có $f (t) \leq 2020,$ dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow t = 2.$

$\Rightarrow V P \leq 2021. \log_{2020} 2020 = 2021.1 = 2021 (2)$

Từ (1) và $(2) \Rightarrow$ Dấu “=” xảy ra đồng thời ở (1) và (2)

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} \frac{x^{3}}{2} = \frac{1}{2 x^{2}} \\ \sqrt{y + 1} = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 1 \\ y = 3 \end{cases} \Rightarrow P = 11.$

Câu 48:

Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên R và $f' (x) = (x - 1) (x + 3) .$ Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn $[- 10; 20]$ để hàm số $g (x) = f (x^{2} + 3 x - m)$ đồng biến trên khoảng (0;2)?

A. 16.

B. 20.

C. 17.

D. 18.

Xem đáp án

Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên R và f'(x)= (x-1)(x+3). Có bao nhiêu giá trị nguyên của (ảnh 1)

Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên R và f'(x)= (x-1)(x+3). Có bao nhiêu giá trị nguyên của (ảnh 2)

Câu 49:

Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC vuông tại $A, B C = 4 a, \hat{A B C} = 60^{0} .$ Xét hai tia Bx,Cy cùng hướng và cùng vuông góc với (ABC). Trên Bx lấy điểm $B_{1}$ sao cho mặt cầu đường kính $B B_{1}$ tiếp xúc với Cy. Trên tia Cy lấy điểm $C_{1}$ sao cho mặt cầu đường kính $A C_{1}$ tiếp xúc với $B_{x}$ . Thể tích khối đa diện $A B C C_{1} B_{1}$ bằng.

A. $24 \sqrt{3} a^{3} .$

B. $32 \sqrt{3} a^{3} .$

C. $8 \sqrt{3} a^{3} .$

D. $\frac{8 \sqrt{3}}{3} a^{3} .$

Xem đáp án

Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC vuông tại A,BC= 4a, góc ABC= 60 độ. Xét hai tia Bx,Cy cùng hướng (ảnh 1)

Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC vuông tại A,BC= 4a, góc ABC= 60 độ. Xét hai tia Bx,Cy cùng hướng (ảnh 2)

Câu 50:

Cho hàm số y= f(x) liên tục trên R và hàm số f'(x) có đồ thị như đường cong trong hình bên.

Tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình $x^{2} + 4 x - m \geq \frac{1}{2} f (2 x + 4)$ nghiệm đúng với mọi $x \in [- 3; - 1]$ là.

A. $m \geq - \frac{1}{2} f (- 2) - 3.$

B. $m \leq - \frac{1}{2} f (- 2) - 3.$

C. $m > - \frac{1}{2} f (2) - 3.$

D. $m \leq - \frac{1}{2} f (2) - 3.$

Xem đáp án