50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 30 đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 có lời giải - Đề 32

Câu 1:

Cho hình hộp chữ nhật có chiều dài ba cạnh tương ứng là a,b,c. Thể tích khối hộp chữ nhật là

A.

\frac{1}{6} a b c

B. 3abc

C. abc

D.

\frac{1}{3} a b c

Xem đáp án

Chọn C.

Thể tích khối hộp chữ nhật đã cho là V = abc

Câu 2:

Khối đa diện đều loại {3;5} có bao nhiêu cạnh?

A. 30

B. 60

C. 20

D. 12

Xem đáp án

Chọn A.

Khối đa diện đều loại {3;5} là khối hai mươi mặt đều có tất cả 30 cạnh

Câu 3:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(x_A;y_A;z_A) và B(x_B; y_B; z_B). Độ dài đoạn thẳng AB được tính theo công thức nào dưới đây?

A. $A B = \sqrt{|x_{B} - x_{A}| + |y_{B} - y_{A}| + |z_{B} - z_{A}|}$

B. $A B = {(x_{B} - x_{A})}^{2} + {(y_{B} - y_{A})}^{2} + {(z_{B} - z_{A})}^{2}$

C. $A B = |x_{B} - x_{A}| + |y_{B} - y_{A}| + |z_{B} - z_{A}|$

D. $A B = \sqrt{{(x_{B} - x_{A})}^{2} + {(y_{B} - y_{A})}^{2} + {(z_{B} - z_{A})}^{2}}$

Xem đáp án

Chọn D.

Theo công thức tính độ dài đoạn thẳng, ta có

A B = \sqrt{{(x_{B} - x_{A})}^{2} + {(y_{B} - y_{A})}^{2} + {(z_{B} - z_{A})}^{2}}

.

Câu 4:

Họ nguyên hàm của hàm số f(x)= 3x²+1 là

A. 6x+C

B.

\frac{x^{3}}{3} + x + C

C.

x^{3} + x + C

D. $x^{3} + C$

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có $\int f (x) d x = \int (3 x^{2} + 1) d x = \frac{3 x^{3}}{3} + x + C = x^{3} + x + C$

Câu 5:

Cho hàm bậc ba y=f(x) có đồ thị đạo hàm y=f '(x) như hình sau.

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng

A. (-1;0)

B. (2;3)

C. (3;4)

D. (1;2)

Xem đáp án

Chọn D.

Từ đồ thị ta có bảng xét dấu của đạo hàm y=f '(x)

x	$- \infty$ 0 2 $+ \infty$
f '(x)	+ 0 $-$ 0 +

Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng (1;2)

Câu 6:

Cho hình nón có chiều cao h, đường sinh l và bán kính đường tròn đáy bằng R. Diện tích toàn phần của hình nón bằng

A.

πR (2 l + R)

B.

πR (l + 2 R)

C.

2 πR (l + R)

D.

πR (l + R)

Xem đáp án

Chọn D.

$S_{t p} = S_{x q} + S_{d a y} = π R l + π R^{2} = π R (R + l)$

Câu 7:

Biết $\int f (x) d x = e^{x} + \sin x + C$ Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $f (x) = e^{x} - \sin x$

B. $f (x) = e^{x} - \cos x$

C. $f (x) = e^{x} + \cos x$

D. $f (x) = e^{x} + \sin x$

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có: $\int f (x) d x = e^{x} + \sin x + C \Rightarrow (e^{x} + \sin x + C)' \Rightarrow f (x) = e^{x} + \cos x$

Câu 8:

Hàm số nào sau đây có đồ thị như hình vẽ bên dưới?

A. $y = {(\sqrt{2})}^{x}$

B.

y = {(\sqrt{3})}^{x}

C. $y = {(\frac{1}{2})}^{x}$

D. $y = {(\frac{1}{3})}^{x}$

Xem đáp án

Chọn D.

Dựa vào đồ thị ta thấy đồ thị của hàm số y=a^x và hàm số nghịch biến trên R=>0<a<1

Đồ thị hàm số đi qua điểm $(- 1; 3) \Rightarrow a = \frac{1}{3} \Rightarrow {(\frac{1}{3})}^{x}$

Câu 9:

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên R và dấu của đạo hàm cho bởi bảng sau

Hàm số f(x) có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 1.

B. 3.

C. 2.

D. 5.

Xem đáp án

Chọn C.

Dựa vào bảng biến thiên f '(-3) = f '(-2)= f '(-1) =0

f '(x) đổi dấu qua hai điểm x=-3; x=-2

Nên hàm số f(x) có hai điểm cực trị.

Câu 10:

Số cách chọn ra một nhóm học tập gồm 3 học sinh từ 5 học sinh là:

A. 3!

B.

A_{5}^{3}

C.

C_{5}^{3}

D. 15

Xem đáp án

Chọn C.

Mỗi cách chọn 3 học sinh từ 5 học sinh là một tổ hợp chập 3 của 5 phần tử.

Suy ra số cách chọn là

C_{5}^{3}

Câu 11:

Cho hàm số f(x) có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Cho hàm số f(x) có bảng xét dấu đạo hàm như sau: (ảnh 1)

Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng nào sau đây?

A.

(- 1; + \infty)

B. ( -1;0)

C. (0;1)

D.

(- \infty; - 1)

Xem đáp án

Chọn B.

Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng ( -1;0) và

(1; + \infty)

.

Câu 12:

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (0;1)

B. ( -2;0)

C. ( -1;0)

D.

(0; + \infty)

Xem đáp án

Chọn C.

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (-1;0) và

(1; + \infty)

Câu 13:

Nghiệm của phương trình $\log_{3} (x - 4) = 2$ là

A. x=4

B. x=13

C. x=9

D.

x = \frac{1}{2}

Xem đáp án

Chọn B.

ĐKXĐ: $x - 4 > 0 \Leftrightarrow x > 4$

$\log_{3} (x - 4) = 2 \Leftrightarrow x - 4 = 9 \Leftrightarrow x = 13$ (thỏa mãn ĐKXĐ).

Câu 14:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A( -1;0;0), B(0;-2;0) và C(0;0;3). Mặt phẳng đi qua ba điểm A,B,C có phương trình là

A. $\frac{x}{- 1} + \frac{y}{- 2} + \frac{z}{3} = - 1$

B. $(x + 1) + (y + 2) + (z - 3) = 0$

C. $\frac{x}{- 1} + \frac{y}{- 2} + \frac{z}{3} = 0$

D. $\frac{x}{- 1} + \frac{y}{- 2} + \frac{z}{3} = 1$

Xem đáp án

Chọn D.

Mặt phẳng đi qua ba điểm A( -1;0;0), B(0;-2;0) và C(0;0;3) là mặt phẳng đoạn chắn và có phương trình là $\frac{x}{- 1} + \frac{y}{- 2} + \frac{z}{3} = 1$

Câu 15:

Hàm số y=x³-12x+3 đạt cực đại tại điểm

A. x=19

B. x= -2

C. x=2

D. = -13

Xem đáp án

Chọn B.

TXĐ: $D = R$ .

$y' = 3 x^{2} - 12$

$y' = 0 \Leftrightarrow x = \pm 2$

Bảng biến thiên

Hàm số y=x^3-12x+3 đạt cực đại tại điểm (ảnh 1)

Vậy hàm số đạt cực đại tại x= -2.

Câu 16:

Cho hàm số y=f(x) xác định trên $R \ {- 1}$ liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến như hình sau:

Cho hàm số y=f(x) xác định trên R trừ {-1} liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến như hình sau: (ảnh 1)

Hỏi đồ thị hàm số có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang?

A. 1.

B. 0.

C. 3.

D. 2.

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có:

$\lim_{x \to + \infty} y = - 1, \lim_{x \to - \infty} y = 2$ suy ra đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang y= -1, y=2 .

$\lim_{x \to {(- 1)}^{+}} y = - \infty$ suy ra đồ thị hàm số có một đường tiệm cận đứng x= -1.

Vậy đồ thị hàm số có tất cả 3 đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang

Câu 17:

Trong không gian với trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x-3y+2z+4=0. Vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)?

A.

\vec{v_{4}} (4; 2; - 3)

B. $\vec{v_{2}} (2; - 3; 4)$

C. $\vec{v_{1}} (2; - 3; 2)$

D. $\vec{v_{1}} (- 3; 2; 4)$

Xem đáp án

Chọn C.

Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: $\vec{v_{1}} (2; - 3; 2)$

Câu 18:

Hàm số y = x⁴ - 2x² +1 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. ( -1;1)

B. ( -1;0)

C. $(- \infty; 1)$

D.

(- \infty; - 1)

Xem đáp án

Chọn D

Ta có: $y' = 4 x^{3} - 4 x, y' = 0 \Rightarrow 4 x^{3} - 4 x = 0 \Leftrightarrow$ $[\begin{matrix} x = 0 \\ x = 1 \\ x = - 1 \end{matrix}]$

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng $(- \infty; - 1)$

Câu 19:

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.

\int \sin 3 x d x = - \cos 3 x + C

B.

\int \sin 3 x d x = \frac{\cos 3 x}{3} + C

C.

\int \sin 3 x d x = \frac{- \cos 3 x}{3} + C

D.

\int \sin 3 x d x = 3 \cos 3 x + C

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có: $\int \sin 3 x d x = - \frac{\cos 3 x}{3} + C$

Câu 20:

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình vẽ

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng

A. ( -2; -1 )

B. (0;1)

C. (1;2)

D. ( -1;0 )

Xem đáp án

Chọn D.

Dựa vào hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số y=f(x) đi lên từ trái sang phải trên khoảng ( -1;0 )

Suy ra hàm số y=f(x) đồng biến trên khoảng ( -1;0 ).

Câu 21:

Hàm số y = f(x) có bảng biến thiên ở hình sau:

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng

A. -3.

B. 0.

C. -2.

D. 1.

Xem đáp án

Chọn D.

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số ta có giá trị cực tiểu của hàm số đã cho là 1.

Câu 22:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho vectơ $\vec{v} = (1; - 2; 1), \vec{u} = 2 \vec{v}$ có tọa độ là

A. (2;-4;2)

B. (2;4;2)

C. (2;-2;2)

D. (2;-4;-2)

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có: $\vec{u} = 2 \vec{v} = (2; - 4; 2)$

Câu 23:

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên cả tham số m để phương trình f(x)-3m+5=0 có ba nghiệm phân biệt?

A. 4.

B. 1.

C. 2.

D. 3

Xem đáp án

Câu 24:

Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác đều cạnh có độ dài 2a. Thể tích của khối nón sinh bởi hình nón là

A. 2a³

B.

\frac{{πa}^{3} \sqrt{3}}{3}

C.

2 {πa}^{3}

D.

\frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}

Xem đáp án

Câu 25:

Cho hàm bậc bốn trùng phương y=f(x) có đồ thị như hình vẽ. Số nghiệm của phương trình $f (x) = \frac{3}{4}$ là

Cho hàm bậc bốn trùng phương y=f(x) có đồ thị như hình vẽ. Số nghiệm (ảnh 1)

A. 2.

B. 4.

C. 1.

D. 3.

Xem đáp án

Chọn B.

Vì $\frac{3}{4} \in (0; 1)$ nên suy ra phương trình $f (x) = \frac{3}{4}$ có 4 nghiệm.

Câu 26:

Cho hàm số f(x) thỏa mãn $f' (x) = x^{2} (x - 1), \forall x \in R$ . Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?

A. f(x)đạt cực tiểu tại x=1

B. f(x) không có cực trị.

C. f(x) đạt cực tiểu tại x=0

D. f(x) có hai điểm cực trị.

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có bảng biến thiên:

Nhìn vào bảng biến thiên suy ra f(x) đạt cực tiểu tại x=1

Câu 27:

Hàm số y=x²e^x nghịch biến trên khoảng nào?

A. (-2;0)

B.

(- \infty; - 2)

C. $(- \infty; 1)$

D. $(1; + \infty)$

Xem đáp án

Chọn A.

Tập xác đinh:

$D = R y = x^{2} e^{x} \Rightarrow y' = 2 x e^{x} + x^{2} e^{x} = x e^{x} (2 + x) y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 \\ x = - 2 \end{matrix}]$ $D = R y = x^{2} e^{x} \Rightarrow y' = 2 x e^{x} + x^{2} e^{x} = x e^{x} (2 + x) y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 \\ x = - 2 \end{matrix}]$

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên (-2;0).

Câu 28:

Hàm số nào dưới đây có đồ thị như hình vẽ bên dưới?

A. $y = - x^{3} + 2 x - 2$

B. $y = x^{4} + 2 x^{2} - 2$

C. $y = - x^{4} + 2 x^{2} - 2$

D. $y = - x^{3} + 2 x + 2$

Xem đáp án

Chọn A.

Dựa vào đồ thị ta thấy đây là hàm bậc ba nên loại câu B, C.

Mặt khác giao điểm của đồ thị với trục tung tại điểm có tung độ âm nên loại câu D.

Câu 29:

Thể tích của khối cầu (S) có bán kính $R = \frac{\sqrt{3}}{2}$ bằng

A. $4 \sqrt{3} π$

B. $π$

C. $\frac{\sqrt{3} π}{4}$

D. $\frac{\sqrt{3} π}{2}$

Xem đáp án

Câu 30:

Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{\sqrt{x + 9} - 3}{x^{2} + x}$ là

A. 3.

B. 2.

C. 0.

D. 1.

Xem đáp án

Câu 31:

Một túi đựng 6 bi xanh và 4 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 2 bi, xác suất để cả hai bi đều màu đỏ là

A.

\frac{8}{15}

B.

\frac{2}{15}

C.

\frac{7}{15}

D.

\frac{1}{3}

Xem đáp án

Chọn B.

Gọi T là phép thử ngẫu nhiên lấy ra

2 bi từ túi đựng 6 bi xanh và 4 bi đỏ.

Gọi biến cố A “cả hai viên bi đều màu đỏ”.

Số phần tử của không gian mẫu là $n (Ω) = C_{10}^{2}$

Số phần tử của biến cố A là $n (A) = C_{4}^{2}$

Xác suất của biến cố A là $P (A) = \frac{n (A)}{n (Ω)} = \frac{C_{4}^{2}}{C_{10}^{2}} = \frac{2}{15}$

Câu 32:

Tất cả các giá trị của tham số m để hàm số $y = \frac{- x^{3}}{3} + m x^{2} - 2 m x + 1$ có hai điểm cực trị là

A.

[\begin{matrix} m > 2 \\ m < 0 \end{matrix}

B. 0 < m < 2

C. m > 2

D. m > 0

Xem đáp án

Câu 33:

Nghiệm của bất phương trình $\log_{\frac{1}{2}} (x - 1) \geq - 1$ là

A.

x \geq 3

B.

1 \leq x < 3

C.

1 < x \leq 3

D.

x \leq 3

Xem đáp án

Chọn C.

$\log_{\frac{1}{2}} (x - 1) \geq - 1 \Leftrightarrow \{\begin{array}{l} x - 1 > 0 \\ x - 1 \leq {(\frac{1}{2})}^{- 1} \end{array} \Leftrightarrow \{\begin{array}{l} x > 1 \\ x - 1 \leq 2 \end{array} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x > 1 \\ x \leq 3 \end{cases} \Leftrightarrow 1 < x \leq 3$

Câu 34:

Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC cân tại A, $\hat{B A C} = 120^{0}$ , AB = a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, SA = a Thể tích khối chóp đã cho bằng

A.

\frac{a^{3} \sqrt{3}}{12}

B. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{4}$

C. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{2}$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}$

Xem đáp án

Chọn A

Tam giác ABC cân tại A nên AC = AB = a

$S_{ABC} = \frac{1}{2} . AB . AC . \sin \hat{BAC} = \frac{1}{2} . a . a . \sin 120^{0} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} V_{S . ABC} = \frac{1}{3} . S_{ABC} . SA = \frac{1}{3} . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} . a = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{12}$

Câu 35:

Biết $F (x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = \sin x$ và đồ thị hàm số $y = F (x)$ đi qua điểm M (0;1). Giá trị của $F (\frac{π}{2})$ bằng

A. -1.

B. 0.

C. 2.

D. 1.

Xem đáp án

Chọn C.

Vì $F (x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = \sin x$ nên $F (x) = - \cos x + C$ với C là hằng số. Lại có, đồ thị của hàm số $y = F (x)$ đi qua điểm M ( 0;1) nên $1 = - \cos 0 + C \Leftrightarrow C = 2.$

Do đó $F (x) = - \cos x + 2 \Rightarrow F (\frac{π}{2}) = 2.$

Câu 36:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai vectơ $\vec{a} = (3; - 2; m), \vec{b} = (2; m; - 1)$ với m là tham số nhận giá trị thực. Tìm giá trị của m để hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ vuông góc với nhau

A. m = 1

B. m = 2

C. m = -1

D. m= -2

Xem đáp án

Chọn B.

Ta có $\vec{a} ⊥ \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} . \vec{b} = 0 \Leftrightarrow 3.2 + (- 2) . m + m . (- 1) = 0 \Leftrightarrow m = 2.$

Câu 37:

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục và có bảng biến thiên trên $ℝ$ như hình vẽ bên dưới

Cho hàm số y=f(x) liên tục và có bảng biến thiên trên R như hình vẽ bên dưới (ảnh 1)

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = f (\cos x)$

A. 5.

B. 3.

C. 10.

D. 1.

Xem đáp án

Chọn A.

Đặt $t = \cos x \Rightarrow - 1 \leq t \leq 1 \Rightarrow y = f (t)$ có giá trị lớn nhất bằng 5 trên [-1;1] (suy ra từ bảng biến thiên).

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số $y = f (\cos x)$ bằng 5.

Câu 38:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho bốn điểm $A (1; 1; 4), B (5; - 1; 3), C (3; 1; 5)$ và điểm $D (2; 2; m)$ (với m là tham số). Xác định m để bốn điểm A,B,C và D tạo thành bốn đỉnh của hình tứ diện.

A. $m \neq 6.$

B. $m \neq 4$

C. $m \in ℝ .$

D. $m < 0 .$

Xem đáp án

Chọn A.

Bốn điểm A,B,C,D là bốn đỉnh của tứ diện khi $[\vec{A B}, \vec{A C}] . \vec{A D} \neq 0$

Ta có $\vec{A B} = (4; - 2; - 1), \vec{A C} = (2; 0; 1), \vec{A D} = (1; 1; m - 4)$

$[\vec{A B}, \vec{A C}] = (- 2; - 6; 4) \Rightarrow [\vec{A B}, \vec{A C}] . \vec{A D} = - 2 - 6 + 4 (m - 4) \neq 0 \Rightarrow m \neq 6.$

Câu 39:

Có bao nhiêu số nguyên x thảo mãn $(x^{2} - 99 x - 100) . \ln (x - 1) < 0 ?$

A. 96.

B. 97.

C. 95.

D. 94.

Xem đáp án

Chọn B.

ĐKXĐ: x > 1

Ta có:

$x^{2} - 99 x - 100 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = 100 \end{array}$

$\ln (x - 1) \geq 0 \Leftrightarrow x - 1 \geq 1 \Leftrightarrow x \geq 2.$

BXD:

Có bao nhiêu số nguyên x thảo mãn (x^2-99x-100). ln(x-1)<0? (ảnh 1)

Từ bảng xét dấu suy ra nghiệm của BPT là: 2 < x < 100

Mà $x \in ℤ$ nên $3 \leq x \leq 99 \Rightarrow$ vậy có tất cả $99 - 2 = 97$ số nguyên x thỏa mãn đề bài.

Câu 40:

A, B là hai số tự nhiên liên tiếp thỏa mãn $A < \frac{2^{2021}}{3^{1273}} < B .$ Giá trị A+B là

A. 25.

B. 23.

C. 27.

D. 21.

Xem đáp án

Chọn D.

Ta có:

$A < \frac{2^{2021}}{3^{1273}} < B \Leftrightarrow \log A < 2021. \log 2 - 1273. \log 3 < \log B$

Mà $2021. \log 2 - 1273. \log 3 \approx 1, 006 \Rightarrow \log A < 1, 006 < \log B \Rightarrow A < 10^{1, 006} < B \Rightarrow A < 10, 145 < B$

Do A,B là hai số tự nhiên liên tiếp nên $A = 10, B = 11 \Rightarrow A + B = 21.$

Câu 41:

Tìm tập hợp giá trị thực của tham số m để phương trình

\log^{2} x - 2 (m + 1) \log x + 4 = 0

có 2 nghiệm thực

0 < x_{1} < 10 < x_{2} .

A. $m > 3.$

B. $m < - 3.$

C. $m > - 1$

D. $m > \frac{3}{2} .$

Xem đáp án

Chọn D.

Điều kiện phương trình: x > 0.

Đặt $t = \log x,$ phương trình trở thành $f (t) = t^{2} - 2 (m + 1) t + 4 = 0 (1) .$

Để phương trình đã cho có 2 nghiệm thỏa mãn $0 < x_{1} < 10 < x_{2}$ thì phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn: $t_{1} < 1 < t_{2}$ .

Khi đó: $a . f (1) < 0 \Leftrightarrow 1 - 2 (m + 1) 1 + 4 < 0 \Leftrightarrow - 2 m + 3 < 0 \Leftrightarrow m > \frac{3}{2} .$

Câu 42:

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, $S A = S B = S C = S D, A B = a, A D = 2 a .$ Góc giữa hai mặt phẳng $(S A B)$ và $(S C D)$ là $60^{0}$ . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S. ABCD.

A. $\frac{17 a \sqrt{3}}{6} .$

B. $\frac{17 a \sqrt{3}}{24} .$

C. $\frac{17 a \sqrt{3}}{4} .$

D. $\frac{17 a \sqrt{3}}{8} .$

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA=SB=SC=SD, AB=a; AD= 2a (ảnh 1)

Kẻ $d / / A B / / C D (S \in d) \Rightarrow d = (S A B) \cap (S C D) .$

Gọi P,K lần lượt là trung điểm của AB,CD. Do ABCD là hình chữ nhật nên:

$d / / C D ⊥ (S O K) \Rightarrow d / / C D ⊥ S K (1)$ .

$d / / A B ⊥ (S O P) \Rightarrow d / / A B ⊥ S P (2)$ .

Từ $(1), (2) \Rightarrow S K, S P ⊥ d \Rightarrow \hat{((S A B), (S C D))} = \hat{(S P, S K)} = \hat{P S K} = 60^{0}$ .

Xét tam giác SOK vuông tại O, ta có: $\frac{O K}{S O} = \tan \hat{O S K}$ .

$\Rightarrow S O = \frac{O K}{\tan \hat{O S K}} = \frac{a}{\tan 30^{0}} = a \sqrt{3}$

Xét tam giác SOD vuông tại O, ta có: $S D = \sqrt{S O^{2} + O D^{2}} = \sqrt{3 a^{2} + {(\frac{a \sqrt{5}}{2})}^{2}} = \frac{a \sqrt{17}}{2} .$

Kẻ đường trung trực của SD cắt SO tại I khi đó $Δ S I D$ cân tại I.

$\Rightarrow I S = I D = I A = I B = I C = R$ .

Suy ra tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S. ABCD là I, bán kính mặt cầu R= IS.

Ta có: $R = I S = \frac{S D^{2}}{2 S O} = \frac{\frac{17 a^{2}}{4}}{2. a \sqrt{3}} = \frac{17 a \sqrt{3}}{24} .$

Câu 43:

Cho hình trụ có trục OO' và có bán kính đáy bằng 4. Một mặt phẳng song song với trục OO' và cách OO' một khoảng bằng 2 cắt hình trụ theo thiết diện là một hình vuông. Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng:

A. $16 \sqrt{3} π .$

B. $8 \sqrt{3} π .$

C. $24 \sqrt{3} π .$

D. $32 \sqrt{3} π .$

Xem đáp án

Chọn D.

Cho hình trụ có trục OO' và có bán kính đáy bằng 4. Một mặt phẳng song song với trục OO' (ảnh 1)

Mặt phẳng (ABCD) song song với OO' và cách OO' một khoảng bằng 2.

Kẻ $O H ⊥ C D \Rightarrow d (O O'; (A B C D)) = O H = 2$

Ta có: $D H = H C,$ xét tam giác vuông OHD có: $D H = \sqrt{O D^{2} - O H^{2}} = \sqrt{4^{2} - 2^{2}} = 2 \sqrt{3}$ .

Diện tích xung quanh cần tìm là: $S_{x q} = 2 π R . O O' = 2. π .4.4 \sqrt{3} = 32 \sqrt{3} π .$

Câu 44:

Cho hình nón đỉnh S có chiều cao bằng bán kính đáy và bằng 2a. Mặt phẳng (P) qua (S) cắt đường tròn đáy tại A và B sao cho $A B = 2 \sqrt{3} a .$ Khoảng cách từ tâm của đường tròn đáy hình nón đến (P) bằng:

A. $\frac{a}{\sqrt{5}} .$

B. $\frac{a \sqrt{2}}{2} .$

C. $\frac{2 a}{\sqrt{5}} .$

D. a

Xem đáp án

Chọn C.

Cho hình nón đỉnh S có chiều cao bằng bán kính đáy và bằng 2a. Mặt phẳng (P) qua (S) (ảnh 1)

Ta có: $S O = R = 2 a .$

Kẻ $O H ⊥ A B \Rightarrow A H = H B = \frac{2 \sqrt{3} a}{2} = \sqrt{3} a .$

Xét tam giác vuông OAH ta có: $O H = \sqrt{O A^{2} - A H^{2}} = \sqrt{{(2 a)}^{2} - {(\sqrt{3} a)}^{2}} = a$

Ta có: $\{\begin{cases} O H ⊥ A B \\ S O ⊥ A B \end{cases} \Rightarrow A B ⊥ (S H O)$

Kẻ $O K ⊥ S H \Rightarrow O K ⊥ A B \Rightarrow d (O; (P)) = d (O; (S A B)) = O K$ .

Tam giác vuông SOH vuông tại O ta có:

$\frac{1}{O K^{2}} = \frac{1}{S O^{2}} + \frac{1}{O H^{2}} \Rightarrow O K = \sqrt{\frac{S O^{2} . O H^{2}}{S O^{2} + O K^{2}}} = \frac{2 a \sqrt{5}}{5} .$

Câu 45:

Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh

a, S A ⊥ (A B C),

góc giữa SC và mặt phẳng (ABC) bằng

30^{0}

. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC

A. $\frac{a \sqrt{3}}{13} .$

B. $\frac{2 a}{\sqrt{13}} .$

C. $\frac{a \sqrt{39}}{13} .$

D. $\frac{a \sqrt{39}}{3} .$

Xem đáp án

Chọn C.

Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc (ABC) (ảnh 1)

Do $S A ⊥ (A B C)$ nên góc giữa SC và mặt phẳng (ABC) là góc $\hat{S C A} .$ Suy ra $\hat{S C A} = 30^{0}$ .

Trong tam giác SCA vuông tại A có $\tan \hat{S C A} = \frac{S A}{A C} \Leftrightarrow S A = A C . \tan \hat{S C A} = a . \tan 30^{0} = \frac{a \sqrt{3}}{3} .$

Lấy điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.

Khi đó $d (S B, A C) = d (A C, (S B D)) = d (A, (S B D))$ .

Ta có $A B = B D = A D \Rightarrow Δ A B D$ đều cạnh a.

Gọi M là trung điểm BD Suy ra $A M ⊥ B D$ và $A M = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Trong $Δ S A M$ kẻ $A H ⊥ S M$ với $H \in S M .$

Do $\begin{array}{l} B D ⊥ A M \\ B D ⊥ S A \end{array}\} \Rightarrow B D ⊥ (S A M) \Rightarrow B D ⊥ A H$ .

Suy ra $A H ⊥ (S A M) \Rightarrow d (A, (S B D)) = A H .$

Trong $Δ S A M$ vuông tại A ta có:

$\frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{A M^{2}} + \frac{1}{S A^{2}} \Leftrightarrow \frac{1}{A H^{2}} = \frac{4}{3 a^{2}} + \frac{9}{3 a^{2}} \Leftrightarrow \frac{1}{A H^{2}} = \frac{13}{3 a^{2}} \Leftrightarrow A H = \frac{a \sqrt{3}}{\sqrt{13}}$ .

Vậy $d (S B, A C) = \frac{a \sqrt{3}}{\sqrt{13}} = \frac{a \sqrt{39}}{13} .$

Câu 46:

Cho hàm bậc ba $y = f (x)$ có đồ thị như hình vẽ. Hàm số $h (x) = |f (\sin x) - 1|$ có bao nhiêu điểm cực trị trên đoạn $[0; 2 π] .$

Cho hàm bậc ba y= f(x) có đồ thị như hình vẽ. Hàm số h(x)= |f(sin x)-1| (ảnh 1)

A. 7

B. 8

C. 5

D. 6

Xem đáp án

Chọn D.

Xét hàm số $g (x) = f (\sin x) - 1$ .

$f (\sin x) - 1 = 0 \Leftrightarrow f (\sin x) = 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \sin x = 1 \\ \sin x = α (0 < α < \frac{1}{2}) \end{array}$

Phương trình $\sin x = 1$ cho một nghiệm $x = \frac{π}{2}$ thuộc đoạn $[0; 2 π]$ .

Phương trình $\sin x = α$ cho 2 nghiệm thuộc đoạn $[0; 2 π]$

Ta tìm số cực trị của hàm số $g (x) = f (\sin x) - 1.$

Ta có: $g' (x) = \cos x f' (\sin x), g' (x) = 0 \Leftrightarrow \cos x f' (\sin x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \cos x = 0 \\ f' (\sin x) = 0 \end{array}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} \cos x = 0 \\ \sin x = \frac{1}{2} \\ \sin x = 2 (l) \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{2} + k π \\ x = \frac{π}{6} + k 2 π \\ x = \frac{5 π}{6} + k 2 π \end{array}$

Vì $x \in [0; 2 π]$ , suy ra: $x \in \{\frac{π}{6}; \frac{π}{2}; \frac{5 π}{6}; \frac{3 π}{2}\}$ .

Hàm số $g (x) = f (\sin x) - 1$ có một điểm cực trị $x = \frac{π}{2}$ thuộc trục hoành.

Vậy hàm số $h (x) = |f (\sin x) - 1|$ có 6 điểm cực trị.

Câu 47:

Cho hình chóp S. ABC có $\hat{B A C} = 90^{0}, A B = 3 a, A C = 4 a,$ hình chiếu của đỉnh S là một điểm H nằm trong $Δ A B C .$ Biết khoảng cách giữa các cặp đường thẳng chéo nhau của hình chóp là $d (S A, B C) = \frac{6 a \sqrt{34}}{17}, d (S B, C A) = \frac{12 a}{5}, d (S C, A B) = \frac{12 a \sqrt{13}}{13} .$ Tính thể tích khối chóp S. ABC.

A. $9 a^{3} .$

B. $12 a^{3} .$

C. $18 a^{3} .$

D. $6 a^{3} .$

Xem đáp án

Chọn D.

Cho hình chóp S. ABC có góc BAC= 90 độ, AB=3a, AC= 4a hình chiếu của đỉnh S là (ảnh 1)

$Δ A B C$ vuông tại $A \Rightarrow B C = \sqrt{A B^{2} + A C^{2}} = \sqrt{{(3 a)}^{2} + {(4 a)}^{2}} = \sqrt{25 a^{2}} = 5 a$ .

Vẽ $Δ M N P$ sao cho AB, BC, CA là các đường trung bình của $Δ M N P \Rightarrow A C B N; A B C P$ là các hình bình hành; ABMC là hình chữ nhật và $M P = 6 a; M N = 8 a; N P = 10 a$

Ta có: $B C / / (S N P) \Rightarrow d (S A, B C) = d (B C, (S N P)) = d (B, (S N P))$

Lại có:

$\frac{d (B, (S N P))}{d (M, (S N P))} = \frac{B N}{M N} = \frac{1}{2} \Rightarrow d (M, (S N P)) = 2 d (B, (S N P)) = 2 d (S A, B C) = \frac{12 a \sqrt{34}}{17}$

Tương tự ta tính được:

$d (P, (S M N)) = 2 d (S B, C A) = \frac{24 a}{5}$ và $d (N, (S M P)) = 2 d (S C, A B) = \frac{24 a \sqrt{13}}{13}$

Gọi D,E,F lần lượt là hình chiếu của H lên $N P, M P, M N$ và đặt $h = S H = d (S, (M N P))$

Ta có: $S H ⊥ N P$ và $H D ⊥ N P \Rightarrow N P ⊥ (S H D)$

Chứng minh tương tự: $H E ⊥ (S M P); H F ⊥ (S M N)$

Do đó: $3 V_{S M N P} = d (M, (S N P)) . S_{S N P} = d (N, (S M P)) . S_{S M P}$

$= d (P, (S M N)) . S_{S M N} = d (S, (M N P)) . S_{M N P} = h . S_{M N P}$

Mặt khác: $S_{S N P} = \frac{1}{2} S D . N P = 5 a . S D; S_{S M P} = \frac{1}{2} S E . M P = 3 a . S E;$

$S_{S M N} = \frac{1}{2} S F . M N = 4 a . S F; S_{M N P} = \frac{1}{2} M N . M P = 24 a^{2}$

$\Rightarrow \frac{12 a \sqrt{34}}{17} .5 a . S D = \frac{24 a \sqrt{13}}{13} .3 a . S E = \frac{24 a}{5} .4 a . S F = 24 a^{2} h$

$\Rightarrow S D = \frac{h \sqrt{34}}{5}; S E = \frac{h \sqrt{13}}{3}; S F = \frac{5 h}{4}$

Ta lại có: $H D = \sqrt{S D^{2} - S H^{2}} = \sqrt{\frac{34 h^{2}}{25} - h^{2}} = \sqrt{\frac{9 h^{2}}{25}} = \frac{3 h}{5}$

$H E = \sqrt{S E^{2} - S H^{2}} = \sqrt{\frac{13 h^{2}}{9} - h^{2}} = \sqrt{\frac{4 h^{2}}{9}} = \frac{2 h}{3}$

$H F = \sqrt{S F^{2} - S H^{2}} = \sqrt{\frac{25 h^{2}}{16} - h^{2}} = \sqrt{\frac{9 h^{2}}{16}} = \frac{3 h}{4}$

Mà $S_{M N P} = S_{H N P} + S_{H M P} + S_{H M N} = \frac{1}{2} H D . N P + \frac{1}{2} H E . M P + \frac{1}{2} H F . M N$

$\Rightarrow \frac{1}{2} . \frac{3 h}{5} .10 a + \frac{1}{2} . \frac{2 h}{3} .6 a + \frac{1}{2} . \frac{3 h}{4} .8 a = 24 a^{2} \Rightarrow 8 a h = 24 a^{2} \Rightarrow h = 3 a$

Vậy thể tích khối chóp S. ABC là $V_{S . A B C} = \frac{1}{3} h . S_{A B C} = \frac{1}{3} .3 a . \frac{1}{2} .3 a .4 a = 6 a^{3}$ .

Câu 48:

Cho hàm số f(x) liên tục trên R và có đồ thị hàm số f'(x) như hình vẽ. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số $m \in [- 5; 5]$ để hàm số $y = f (x^{2} - 2 m x + m^{2} + 1)$ nghịch biến trên khoảng $(0; \frac{1}{2} .)$ Tổng giá trị các phần tử của S bằng

Cho hàm số f(x) liên tục trên R và có đồ thị hàm số f'(x) như hình vẽ. Gọi S là tập hợp (ảnh 1)

A. 10.

B. 14.

C. -12.

D. 15.

Xem đáp án

Chọn B.

Cho hàm số f(x) liên tục trên R và có đồ thị hàm số f'(x) như hình vẽ. Gọi S là tập hợp (ảnh 2)

Dựa vào đồ thị của hàm số $f' (x)$ ta thấy $f' (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = 2 \end{array}$ và $f' (x) > 0 \Leftrightarrow x > 2.$

Ta có: $y' = (2 x - 2 m) f' (x^{2} - 2 m x + m^{2} + 1) = 2 (x - m) f' ({(x - m)}^{2} + 1)$

$y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x - m = 0 \\ f' ({(x - m)}^{2} + 1) = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = m \\ {(x - m)}^{2} + 1 = - 1 \\ {(x - m)}^{2} + 1 = 2 \end{array}$

* ${(x - m)}^{2} + 1 = - 1 \Leftrightarrow {(x - m)}^{2} = - 2 \to$ phương trình vô nghiệm.

* ${(x - m)}^{2} + 1 = 2 \Leftrightarrow {(x - m)}^{2} = 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x - m = 1 \\ x - m = - 1 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = m + 1 \\ x = m - 1 \end{array}$

Lại có: $f' ({(x - m)}^{2} + 1) > 0 \Leftrightarrow {(x - m)}^{2} + 1 > 2 \Leftrightarrow {(x - m)}^{2} > 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x - m > 1 \\ x - m < - 1 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x > m + 1 \\ x < m - 1 \end{array}$

Bảng biến thiên:

Do đó, hàm số $y = f (x^{2} - 2 m x + m^{2} + 1)$ nghịch biến trên $(0; \frac{1}{2}) \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m - 1 \geq \frac{1}{2} \\ \{\begin{cases} m \leq 0 \\ m + 1 \geq \frac{1}{2} \end{cases} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m \geq \frac{3}{2} \\ - \frac{1}{2} \leq m \leq 0 \end{array}$

Mà m nguyên và $m \in [- 5; 5] \Rightarrow m \in S = \{0; 2; 3; 4; 5\} .$

Vậy tổng các phần tử của S là $0 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14$ .

Câu 49:

Tìm số các cặp số nguyên (a;b) thỏa mãn $\log_{a} b + 6 \log_{b} a = 5, 2 \leq a \leq 2020; 2 \leq b \leq 2021.$

A. 53.

B. 51.

C. 54.

D. 52.

Xem đáp án

Chọn C.

Đặt $t = \log_{a} b,$ khi đó $\log_{a} b + 6 \log_{b} a = 5$ trở thành

$t + 6 \frac{1}{t} = 5 \Leftrightarrow t^{2} - 5 t + 6 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 2 \\ t = 3 \end{array} .$

Với t = 2 suy ra: $\log_{a} b = 2 \Leftrightarrow b = a^{2} .$

Mặt khác $\{\begin{cases} 2 \leq a \leq 2020 \\ 2 \leq b \leq 2021 \\ b = a^{2} \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} 2 \leq a \leq 2020 \\ 2 \leq a^{2} \leq 2021 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} 2 \leq a \leq 2020 \\ 1, 41 \approx \sqrt{2} \leq a \leq \sqrt{2021} \approx 44.96 \end{cases}$

Suy ra ta có 43 số $a \in \{2; 3; 4; ...; 44\}$ , tương ứng có 43 số $b \in \{a_{i}^{2}, i = \bar{2, 44}\} .$ Trường hợp này có 43 cặp.

Với t= 3, suy ra: $\log_{a} b = 3 \Leftrightarrow b = a^{3}$ .

Mặt khác $\{\begin{cases} a, b \in ℤ \\ 2 \leq a \leq 2020 \\ 2 \leq b \leq 2021 \\ b = a^{3} \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} 2 \leq a \leq 2020 \\ 2 \leq a^{3} \leq 2021 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} 2 \leq a \leq 2020 \\ 1.26 \approx \sqrt[3]{2} \leq a \leq \sqrt[3]{2021} \approx 12.64 \end{cases}$

Suy ra có 11 số $a \in \{2; 3; 4; ...; 12\},$ tương ứng có 11 số $b \in \{a_{i}^{3}, i = \bar{2, 12}\} .$ Trường hợp này có 11 cặp.

Vậy có 43+11= 54 cặp.

Câu 50:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ba điểm $A (3; 0; 0), B (- 3; 0; 0)$ và $C (0; 5; 1)$ . Gọi M là một điểm nằm trên mặt phẳng tọa độ (Oxy) sao cho $M A + M B = 10,$ giá trị nhỏ nhất của MC là

A. $\sqrt{6} .$

B. $\sqrt{3}$

C. $\sqrt{2}$

D. $\sqrt{5}$

Xem đáp án

Chọn A

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ba điểm A(3;0;0), B(-3;0;0) và C(0;5;1). (ảnh 1)

Gọi $C_{1} (0; 5; 0)$ là hình chiếu của C trên mặt phẳng (Oxy). Khi đó ta có:

$M C = \sqrt{C {C_{1}}^{2} + C_{1} M^{2}} = \sqrt{1 + C_{1} M^{2}} (*)$

Vậy MC nhỏ nhất khi và chỉ khi $M C_{1}$ nhỏ nhất.

Xét trên mặt phẳng tọa độ Oxy với $A (3; 0), B (- 3; 0), C_{1} (0; 5)$

Theo giả thiết $M A + M B = 10$ nên tập hợp điểm M là đường elip có phương trình: $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ .

Đặt $\{\begin{cases} x = 5 \cos α \\ y = 4 \sin α \end{cases}, 0 \leq α \leq 2 π .$

$M (5 \cos α; 4 \sin α)$ ,

$M C_{1} = \sqrt{5^{2} \cos^{2} α + {(4 \sin α - 5)}^{2}} = \sqrt{25 - 25 \sin^{2} α + 16 \sin^{2} α - 40 \sin α + 25}$

$= \sqrt{50 - 49 \sin α - 9 \sin^{2} α} = \sqrt{1 + 40 (1 - \sin α) + 9 (1 - \sin^{2} α)} \geq 1$

Suy ra $C_{1} M_{\min} = 1 \Leftrightarrow \sin α = 1,$ suy ra $M (0; 4)$ .

Vậy $C M_{\min} = \sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2}$ với $M (0; 4; 0)$ .