50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề số 9

Câu 1:

2^{x^{2} - x - 4} = \frac{1}{16}

là

A. $ϕ$

B. $\{2; 4\}$

C. $\{- 2; 2\}$

D. $\{0; 1\}$

Xem đáp án

Ta có

2^{x^{2} - x - 4} = \frac{1}{16} \Leftrightarrow 2^{x^{2} - x - 4} = 2^{- 4} \Leftrightarrow x^{2} - x - 4 = - 4 \Leftrightarrow x^{2} - x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 1 \end{array}

Vậy tập nghiệm của phương trình là

\{0; 1\}

Chọn đáp án D

Câu 2:

Cho

\int_{- 2}^{2} f (x) d x = 1

,

\int_{- 2}^{4} f (x) d x = - 4

. Tính

I = \int_{2}^{4} f (x) d x

.

A. $I = 5$

B. $I = - 5$

C. $I = - 3$

D. $I = 3$

Xem đáp án

Ta có:

\int_{- 2}^{4} f (x) d x = \int_{- 2}^{2} f (x) d x + \int_{2}^{4} f (x) d x \Rightarrow \int_{2}^{4} f (x) d x = - 4 - 1 = - 5

Chọn đáp án B

Câu 3:

Tính diện tích xung quanh S của khối trụ có bán kính đáy

r = 4

và chiều cao

h = 3.

A. $S = 12 π$

B. $S = 48 π$

C. $S = 24 π$

D. $S = 96 π$

Xem đáp án

Diện tích xung quanh S của khối trụ đó là:

S = 2 π r h = 2 π .4.3 = 24 π

(đvtt).

Chọn đáp án C

Câu 4:

Trong không gian Oxyz, cho điểm M thỏa mãn hệ thức

\vec{O M} = 2 \vec{i} + \vec{j}

. Tọa độ của điểm M là

A. $M (2; 1; 0) .$

B. $M (2; 0; 1) .$

C. $M (0; 2; 1) .$

D. $M (1; 2; 0) .$

Xem đáp án

$\vec{O M} = 2 \vec{i} + \vec{j} = 2 \vec{i} + \vec{j} + 0. \vec{k} \Leftrightarrow M (2; 1; 0) .$

Chọn đáp án A

Câu 5:

Cho cấp số cộng

(u_{n})

biết

u_{n} = 2 - 3 n

. Công sai d của cấp số cộng là

A. $d = 3$

B. $d = 2$

C. $d = - 3$

D. $d = - 2$

Xem đáp án

Ta có:

u_{n + 1} - u_{n} = 2 - 3 (n + 1) - (2 - 3 n) = - 3, \forall n \in ℕ^{*}

.
Vậy cấp số cộng

(u_{n})

có công sai

d = - 3

.

Câu 6:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu

(S) : {(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 9.

Tìm tọa độ tâm I và tính bán kính R của (S)

A. $I (- 1; 2; 1) v à R = 3$

B. $I (1; - 2; - 1) v à R = 3$

C. $I (- 1; 2; 1) v à R = 9$

D. $I (1; - 2; - 1) v à R = 9$

Xem đáp án

Ta có: Mặt cầu có tâm (S) có tâm

I (- 1; 2; 1)

, bán kính

R = 3.

Chọn đáp án A

Câu 7:

Cho a là một số dương, biểu thức

a^{\frac{2}{3}} \sqrt{a}

viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là

A. $a^{2}$

B. $a^{\frac{7}{6}}$

C. $a^{3}$

D. $a^{\frac{1}{6}}$

Xem đáp án

Ta có

a^{\frac{2}{3}} \sqrt{a} = a^{\frac{2}{3}} . a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{2}{3} + \frac{1}{2}} = a^{\frac{7}{6}}

.

Chọn đáp án B

Câu 8:

Cho hàm số

f (x)

liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Cho hàm số f(x) liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên. (ảnh 1)

A. Hàm số đồng biến trên $(- 1; 0)$ và $(1; + \infty)$ .

B. Hàm số đồng biến trên $(- 1; 0) \cup (1; + \infty)$ .

C. Hàm số đồng biến trên $(- \infty; - 1) \cup (1; + \infty)$ .

D. Hàm số đồng biến trên $(- \infty; 0)$ và $(0; + \infty)$ .

Xem đáp án

Hàm số đồng biến trên

(- 1; 0)

và

(1; + \infty)

.

Chọn đáp án A

Câu 9:

Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?

A. $y = - x^{3} + 3 x^{2} + 1$

B. $y = x^{3} - 3 x - 1$

C. $y = x^{3} - 3 x + 1$

D. $y = - x^{3} - 3 x^{2} - 1$

Xem đáp án

Đồ thị hàm số đi qua điểm

(0; 1)

nên loại phương án B và D.
Đồ thị hàm số đi qua điểm

(1; - 1)

nên loại phương án C.
Vậy, đường cong trong hình vẽ là đồ thị hàm số ở phương án A.

Chọn đáp án C

Câu 10:

Từ một nhóm có 10 học sinh nam và 8 học sinh nữ, có bao nhiêu cách chọn ra 5 học sinh trong đó có 3 học sinh nam và 2 học sinh nữ?

A. $C_{10}^{3} + C_{8}^{2}$

B. $C_{10}^{3} . C_{8}^{2}$

C. $A_{10}^{3} . A_{8}^{2}$

D. $A_{10}^{3} + A_{8}^{2}$

Xem đáp án

Chọn ra 3 học sinh nam trong 10 học sinh nam có

C_{10}^{3}

cách chọn.
Chọn ra 2 học sinh nữ trong 8 học sinh nữ có

C_{8}^{2}

cách chọn.
Áp dụng quy tắc nhân ta có số cách chọn ra 5 học sinh trong đó có 3 học sinh nam và 2 học sinh nữ là:

C_{10}^{3} . C_{8}^{2}

.

Chọn đáp án B

Câu 11:

Đường tiệm cận ngang, đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

y = \frac{2 x - 1}{x - 2}

lần lượt có phương trình là

A. $y = 2, x = \frac{1}{2}$

B. $x = 2, y = 2$

C. $y = 2, x = 2$

D. $y = 2, x = - 2$

Xem đáp án

Ta có:

\lim_{x \to + \infty} \frac{2 x - 1}{x - 2} = 2; \lim_{x \to - \infty} \frac{2 x - 1}{x - 2} = 2

, suy ra đường thẳng

y = 2

là phương trình đường tiệm cận ngang.

\lim_{x \to 2^{+}} \frac{2 x - 1}{x - 2} = + \infty; \lim_{x \to 2^{-}} \frac{2 x - 1}{x - 2} = - \infty

, suy ra đường thẳng

x = 2

là phương trình đường tiệm cận đứng.
Đường tiệm cận ngang, đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số lần lượt là

y = 2, x = 2

Chọn đáp án C

Câu 12:

Điểm nào trong hình vẽ dưới đây là điểm biểu diễn số phức liên hợp của số phức

z = - 3 i + 2

?

Điểm nào trong hình vẽ dưới đây là điểm biểu diễn số phức liên hợp (ảnh 1)

A. M

B. N

C. Q

D. P

Xem đáp án

Số phức liên hợp của số phức

z = - 3 i + 2

là

\bar{z} = 2 + 3 i

. Điểm biểu diễn số phức

\bar{z}

là

N (2; 3)

.
Vậy điểm biểu diễn số phức liên hợp của số phức

z = - 3 i + 2

là N.

Chọn đáp án B

Câu 13:

Đạo hàm của hàm số

y = \ln (x^{2} + 2)

là:

A. $\frac{1}{x^{2} + 2}$

B. $\frac{2 x}{x^{2} + 2}$

C. $\frac{x}{x^{2} + 2}$

D. $\frac{2 x + 2}{x^{2} + 2}$

Xem đáp án

Đạo hàm của hàm số

y = \ln (x^{2} + 2)

là:

y^{'} = \frac{{(x^{2} + 2)}^{'}}{x^{2} + 2} = \frac{2 x}{x^{2} + 2}

.

Chọn đáp án B

Câu 14:

Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. $\int (3^{x} - e^{- x}) d x = \frac{3^{x}}{\ln 3} + e^{- x} + C$

B. $\int \frac{1}{\cos^{2} x} d x = \tan x + C$

C. $\int \frac{1}{x} d x = \ln x + C$

D. $\int \sin x d x = - \cos x + C$

Xem đáp án

Ta có :

\int \frac{1}{x} d x = \ln |x| + C

Vậy D là mệnh đề sai.

Chọn đáp án C

Câu 15:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, vectơ nào trong 4 phương án dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng có phương trình

\frac{x - 1}{3} = \frac{3 y}{2} = \frac{3 - z}{1}

.

A. $\vec{a} = (3; \frac{3}{2}; 1)$

B. $\vec{a} = (9; 2; - 3)$

C. $\vec{a} = (3; 2; 1)$

D. $\vec{a} = (3; \frac{2}{3}; 1)$

Xem đáp án

Đường thẳng

\frac{x - 1}{3} = \frac{3 y}{2} = \frac{3 - z}{1} \Leftrightarrow \frac{x - 1}{3} = \frac{y}{\frac{2}{3}} = \frac{z - 3}{- 1}

có một vectơ chỉ phương là

\vec{b} = (3; \frac{2}{3}; - 1)

suy ra

\vec{a} = 3 \vec{b} = (9; 2; - 3)

cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đã cho

Chọn đáp án B

Câu 16:

Khối nón có độ dài đường sinh bằng 2a, góc giữa đường sinh và đáy bằng

60 °

. Thể tích khối nón đã cho là

A. $V = \frac{π a^{3}}{3}$

B. $V = \frac{π a^{3} \sqrt{2}}{3}$

C. $V = \frac{π a^{3}}{3 \sqrt{3}}$

D. $V = \frac{π a^{3} \sqrt{3}}{3}$

Xem đáp án

Gọi SAB là thiết diện qua trục của hình nón
Ta có

Δ S A B

đều cạnh 2a nên chiều cao

S O = \frac{2 a \sqrt{3}}{2} = a \sqrt{3}

, bán kính

r = \frac{A B}{2} = a

Vậy thể tích khối nón

V = \frac{1}{3} π r^{2} . S O = \frac{a^{3} π \sqrt{3}}{3}

.

Chọn đáp án D

Câu 17:

Cho hàm số

y = f (x)

có bảng biến thiên như sau

\

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng

A. -2

B. 2

C. 1

D. -1

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Câu 18:

Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Thể tích của một khối hộp chữ nhật bằng tích ba kính thước của nó.

B. Thể tích của khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là $V = 3 B h$ .

C. Thể tích của khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là $V = \frac{1}{3} B h$ .

D. Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là $V = B h$ .

Xem đáp án

Theo công thức tính thể tích khối chóp, khối lăng trụ và khối hộp chữ nhật ta thấy các khẳng định đúng là A, B, C; khẳng định sai là D

Chọn đáp án B

Câu 19:

Cho hai số phức

z_{1} = 1 + 2 i

và

z_{2} = 3 - 4 i

. Số phức

2 z_{1} + 3 z_{2} - z_{1} z_{2}

là số phức nào sau đây?

A. $- 10 i$

B. 11+8i

C. 11-10i

D. 10i

Xem đáp án

Ta có:

2 z_{1} + 3 z_{2} - z_{1} z_{2} = 2 (1 + 2 i) + 3 (3 - 4 i) - (1 + 2 i) (3 - 4 i) = - 10 i

.

Chọn đáp án A

Câu 20:

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng

(P) : \frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1

không đi qua điểm nào dưới đây?

A. $M (1; 0; 0)$

B. $Q (0; 0; 3)$

C. $P (0; 2; 0)$

D. $N (1; 2; 3)$

Xem đáp án

Thế tọa độ điểm N vào phương trình mặt phẳng (P) ta có:

\frac{1}{1} + \frac{2}{2} + \frac{3}{3} = 1

.
Vậy mặt phẳng

(P) : \frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1

không đi qua điểm

N (1; 2; 3)

.

Chọn đáp án D

Câu 21:

Chọn ngẫu nhiên 2 viên bi từ một hộp chứa 2 viên bi đỏ và 3 viên bi xanh. Xác suất để chọn được 2 viên bi xanh là

A. $\frac{3}{25}$

B. $\frac{2}{5}$

C. $\frac{3}{10}$

D. $\frac{7}{10}$

Xem đáp án

n (Ω) = C_{5}^{2} = 10

. Chọn hai bi xanh có

C_{3}^{2} = 3

cách.
Gọi A: “Chọn được hai viên bi xanh”

\to n (A) = 3

. Vậy

P (A) = \frac{3}{10}

.

Chọn đáp án C

Câu 22:

Gọi P là tích tất cả các nghiệm của phương trình

\log_{2} (x^{3} + x + 1) = \log_{2} (2 x^{2} + 1)

. Tính P.

A. $P = 1$

B. $P = 3$

C. $P = 6$

D. $P = 0$

Xem đáp án

Ta có:

\log_{2} (x^{3} + x + 1) = \log_{2} (2 x^{2} + 1) \Leftrightarrow x^{3} + x + 1 = 2 x^{2} + 1 (2 x^{2} + 1 > 0 \forall x)

\Leftrightarrow x^{3} - 2 x^{2} + x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = 0 \end{array}

\Rightarrow P = 0

Chọn đáp án D

Câu 23:

Nguyên hàm

F (x)

của hàm số

f (x) = 2 x + \frac{1}{\sin^{2} x}

thỏa mãn

F (\frac{π}{4}) = - 1

là

A. $- \cot x + x^{2} - \frac{π^{2}}{16}$

B. $\cot x - x^{2} + \frac{π^{2}}{16}$

C. $- \cot x + x^{2} - 1$

D. $\cot x + x^{2} - \frac{π^{2}}{16}$

Xem đáp án

Ta có

F (x) = \int (2 x + \frac{1}{\sin^{2} x}) d x = x^{2} - \cot x + C

F (\frac{π}{4}) = - 1 \Leftrightarrow {(\frac{π}{4})}^{2} - \cot \frac{π}{4} + C = - 1 \Leftrightarrow C = - \frac{π^{2}}{16}

Vậy F(x) =

- \cot x + x^{2} - \frac{π^{2}}{16}

Chọn đáp án A

Câu 24:

Cho các số thực a,b thỏa mãn

i [2 (a - 5) - 7 i] = b + (a + 3) i

với i là đơn vị ảo. Tính a - b.

A. 6

B. 3

C. 2

D. 12

Xem đáp án

$i [2 (a - 5) - 7 i] = b + (a + 3) i \Leftrightarrow 7 + 2 (a - 5) i = b + (a + 3) i \Rightarrow \{\begin{cases} b = 7 \\ 2 (a - 5) = (a + 3) \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} a = 13 \\ b = 7 \end{cases}$

$\Rightarrow a - b = 13 - 7 = 6$

Chọn đáp án A

Câu 25:

Cho

\int_{1}^{2} f (x) d x = 100

. Khi đó

\int_{1}^{2} [3 f (x) + 4] d x

bằng

A. 304

B. 700

C. 296

D. 300

Xem đáp án

$\int_{1}^{2} [3 f (x) + 4] d x = 3 \int_{1}^{2} f (x) d x + 4 \int_{1}^{2} d x = 300 + {4 x|}_{1}^{2} = 300 + (4.2 - 4) = 300 + 4 = 304$

Chọn đáp án A

Câu 26:

Tìm số phức z thỏa mãn

(2 - 3 i) z - (9 - 2 i) = (1 + i) z

.

A. -1 - 2i

B. 1 - 2i

C. $\frac{13}{5} + \frac{16}{5} i$

D. $1 + 2 i$

Xem đáp án

Ta có

(2 - 3 i) z - (9 - 2 i) = (1 + i) z \Leftrightarrow (2 - 3 i) z - (1 + i) z = 9 - 2 i \Leftrightarrow (1 - 4 i) z = 9 - 2 i \Leftrightarrow z = \frac{9 - 2 i}{1 - 4 i} \Leftrightarrow z = \frac{(9 - 2 i) (1 + 4 i)}{(1 - 4 i) (1 + 4 i)} \Leftrightarrow z = \frac{17 + 34 i}{17} \Leftrightarrow z = 1 + 2 i

Chọn đáp án D

Câu 27:

Tìm số nghiệm nguyên dương của bất phương trình

2^{3 x + 3} \leq 2^{2019 - 7 x}

A. 200

B. 100

C. 102

D. 201

Xem đáp án

Ta có

2^{3 x + 3} \leq 2^{2019 - 7 x} \Leftrightarrow 3 x + 3 \leq 2019 - 7 x \Leftrightarrow 10 x \leq 2016 \Leftrightarrow x \leq 201, 6

Mà

x \in ℤ^{+}

nên

x \in \{1; 2; 3; ...; 201\}

. Vậy bất phương trình có 201 nghiệm nguyên dương

Chọn đáp án D

Câu 28:

Cho hình lập phương

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

. Góc giữa hai mặt phẳng

(B C D^{'} A^{'})

và

(A B C D)

bằng

A. $60 °$

B. $30 °$

C. $90 °$

D. $45 °$

Xem đáp án

Ta có:

\begin{array}{l} (A B C D) \cap (B C D^{'} A^{'}) = B C \\ B C ⊥ D C \\ B C ⊥ D^{'} C \end{array}\} \Rightarrow

Góc giữa

(B C D^{'} A^{'})

và

(A B C D)

chính là góc

\hat{D C D^{'}}

.
Vì

D C C^{'} D^{'}

là hình vuông nên

\hat{D C D^{'}} = 45 °

.

Chọn đáp án D

Câu 29:

Cho hình chóp

S . A B C D

có đáy

A B C D

là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy

(A B C D) .

Thể tích khối chóp

S . A B C D

là:

A. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{2}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{4}$

C. $a^{3} \sqrt{3}$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}$

Xem đáp án

Gọi H là trung điểm

A B \Rightarrow S H ⊥ (A B C D)

.
Thể tích khối chóp

S . A B C D

là:

V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S_{A B C D} . S H = \frac{1}{3} a^{2} . \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}

.

Chọn đáp án D

Câu 30:

Cho hàm số

y = f (x)

có đạo hàm

f' (x) = {(x - 2)}^{2} (x - 1) x^{3}, \forall x \in ℝ

. Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là

A. 2

B. 1

C. 3

D. 0

Xem đáp án

f' (x) = 0 \Leftrightarrow {(x - 2)}^{2} (x - 1) x^{3} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = 2 \\ x = 0 \end{array}

.
Bảng xét dấu

y'

.

Từ bảng xét dấu y' ta thấy hàm số có môt điểm cực tiểu là

x = 1

.

Chọn đáp án B

Câu 31:

Với các số thực x.y dương bất kì. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A. $\log_{2} (\frac{x}{y}) = \frac{\log_{2} x}{\log_{2} y}$

B. $\log_{2} (\frac{x^{2}}{y}) = 2 \log_{2} x - \log_{2} y$

C. $\log_{2} (x y) = \log_{2} x . \log_{2} y$

D. $\log_{2} (x + y) = \log_{2} x + \log_{2} y$

Xem đáp án

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{y}) = \log_{2} x^{2} - \log_{2} y = 2 \log_{2} x - \log_{2} y$

Chọn đáp án B

Câu 32:

Tìm các số thực a,b thỏa mãn

(a - 2 b) + (a + b + 4) i = (2 a + b) + 2 b i

với i là đơn vị ảo.

A. $a = - 3, b = 1$

B. $a = 3, b = - 1$

C. $a = - 3, b = - 1$

D. $a = 3, b = 1$

Xem đáp án

Ta có:

(a - 2 b) + (a + b + 4) i = (2 a + b) + 2 b i

\Leftrightarrow \{\begin{cases} a - 2 b = 2 a + b \\ a + b + 4 = 2 b \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a + 3 b = 0 \\ a - b = - 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = - 3 \\ b = 1 \end{cases}

Chọn đáp án A

Câu 33:

Trong không gian Oxyz, đường thẳng Oy có phương trình tham số là

A. $\{\begin{cases} x = 0 \\ y = 2 + t \\ z = 0 \end{cases} (t \in ℝ)$

B. $\{\begin{cases} x = 0 \\ y = 0 \\ z = t \end{cases} (t \in ℝ)$

C. $\{\begin{cases} x = t \\ y = 0 \\ z = 0 \end{cases} (t \in ℝ)$

D. $\{\begin{cases} x = t \\ y = t \\ z = t \end{cases} (t \in ℝ) f$

Xem đáp án

Đường thẳng Oy đi qua điểm

A (0; 2; 0)

và nhận vectơ đơn vị

\vec{j} = (0; 1; 0)

làm vectơ chỉ phương nên có phương trình tham số là

\{\begin{cases} x = 0 + 0. t \\ y = 2 + 1. t \\ z = 0 + 0. t \end{cases} (t \in ℝ) \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 0 \\ y = 2 + t \\ z = 0 \end{cases} (t \in ℝ)

.

Chọn đáp án A

Câu 34:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm

I (1; 1; 1)

và

A (1; 2; 3)

. Phương trình của mặt cầu có tâm I và đi qua A là

A. ${(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 5$

B. ${(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 29$

C. ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 5$

D. ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 25$

Xem đáp án

Bán kính của mặt cầu:

r = I A = \sqrt{0^{2} + 1^{2} + 2^{2}} = \sqrt{5}

.
Phương trình mặt cầu:

{(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 5

.

Chọn đáp án C

Câu 35:

Cho hàm số

y = \frac{2^{x}}{\ln 2} - 2 x + 3

.Mệnh đề nào sau đây sai?

A. Hàm số đạt cực trị tại $x = 1$

B. Hàm số đồng biến trên $(0; + \infty)$

C. Hàm số có giá trị cực tiểu là $y = \frac{2}{\ln 2} + 1$

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(- \infty; 0)$

Xem đáp án

$y' = 2^{x} - 2, \forall x \in (0; 1), y' ⟨ 0$ nên hàm số nghịch biến trên (0;1).

Chọn đáp án B

Câu 36:

Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số

y = x^{3} - 3 x + 3

và đường thẳng

y = 3

.

A. 2

B. 3

C. 1

D. 0

Xem đáp án

Số giao điểm là số nghiệm phương trình

x^{3} - 3 x + 3 = 3 \Leftrightarrow x^{3} - 3 x = 0 \Leftrightarrow x (x^{2} - 3) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \pm \sqrt{3} \end{array}

Phương trình có nghiệm suy ra có 3 giao điểm.
Vậy chọn C.

Câu 37:

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

f (x) = - 2 x^{4} + 4 x^{2} + 3

trên đoạn

[0; 2]

lần lượt là:

A. 6 và -12

B. 6 và -13

C. 5 và -13

D. 6 và -31

Xem đáp án

$f' (x) = - 8 x^{3} + 8 x = - 8 x (x^{2} - 1) = - 8 x (x - 1) (x + 1)$

Xét $f (0) = 3, f (1) = 5$ và $f (2) = - 13$

Chọn đáp án C

Câu 38:

Cho hình chóp

S . A B C D

có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a. Cạnh bên

S A = a \sqrt{2}

và vuông góc với đáy (ABCD). Tính khoảng cách d từ điểm B đến mặt phẳng (SCD).

A. $d = \frac{a \sqrt{6}}{3}$

B. $d = a \sqrt{3}$

C. $d = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

D. $d = a$

Xem đáp án

Do

A B ∥ C D

nên

d [B, (S C D)] = d [A, (S C D)]

. Kẻ

A E ⊥ S D

tại E.
Khi đó

d [A, (S C D)] = A E .

Tam giác vuông SAD, có

A E = \frac{S A . A D}{\sqrt{S A^{2} + A D^{2}}} = \frac{a \sqrt{6}}{3} .

Vậy

d [B, (S C D)] = A E = \frac{a \sqrt{6}}{3} .

Chọn đáp án A

Câu 39:

Cho hàm số f(x).Biết

f (0) = 4

và

f^{'} (x) = 2 \cos^{2} x + 3, \forall x \in ℝ

, khi đó

\int_{0}^{\frac{π}{4}} f (x) d x

bằng?

A. $\frac{π^{2} + 2}{8}$

B. $\frac{π^{2} + 8 π + 8}{8}$

C. $\frac{π^{2} + 8 π + 2}{8}$

D. $\frac{π^{2} + 6 π + 8}{8}$

Xem đáp án

Ta có

f (x) = \int f^{^{,}} (x) d x = \int (2 \cos^{2} x + 3) d x = \int (2. \frac{1 + \cos 2 x}{2} + 3) d x

.
=

= \int (\cos 2 x + 4) d x \frac{1}{2} \sin 2 x + 4 x + C

do

f (0) = 4 \Rightarrow C = 4

.
Vậy

f (x) = \frac{1}{2} \sin 2 x + 4 x + 4

nên

\int_{0}^{\frac{π}{4}} f (x) d x = \int_{0}^{\frac{π}{4}} (\frac{1}{2} \sin 2 x + 4 x + 4) d x

.

= {(- \frac{1}{4} \cos 2 x + 2 x^{2} + 4 x)|}_{0}^{\frac{π}{4}} = \frac{π^{2} + 8 π + 2}{8}

.

Chọn đáp án C

Câu 40:

Cho hàm số

y = \frac{1}{2} x^{2}

có đồ thị (P). Xét các điểm A,B thuộc (P) sao cho tiếp tuyến tại A và B vuông góc với nhau. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và đường thẳng AB bằng

\frac{9}{4}

. Gọi

x_{1}^{}, x_{2}^{}

lần lượt là hoành độ của A và B. Giá trị của

{(x_{1}^{} + x_{2}^{})}^{2}

bằng :

A. 5

B. 13

C. 11

D. 7

Xem đáp án

Giả sử phương trình đường thẳng AB là :

y = a x + b

ta có
phương trình hoành độ giao điểm :

\frac{1}{2} x^{2} = a x + b \Leftrightarrow \frac{1}{2} x^{2} - a x - b = 0 (*)

Theo đề bài ta có

x_{1}^{}, x_{2}^{}

là hai nghiệm của (*) nên

\frac{1}{2} x^{2} - a x - b = \frac{1}{2} (x - x_{1}^{}) (x - x_{2}^{})

Giả sử ta có diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và đường thẳng AB là:

S = \int_{x_{1}^{}}^{x_{2}^{}} (ax + b - \frac{1}{2} x^{2}) d x = - \frac{1}{2} \int_{x_{1}^{}}^{x_{2}^{}} (x - x_{1}^{}) (x - x_{2}^{}) d x = \frac{9}{4}

\Leftrightarrow - \frac{{(x_{1}^{} - x_{2}^{})}^{3}}{12} = \frac{9}{4} \Rightarrow x_{1}^{} - x_{2}^{} = - 3 (1)

Ta lại có tiếp tuyến tại A và B vuông góc với nhau nên

x_{1}^{} . x_{2}^{} = - 1 (2)

Từ (1) và (2) suy ra

{(x_{1}^{} + x_{2}^{})}^{2} = {(x_{1}^{} - x_{2}^{})}^{2} + 4 x_{1}^{} . x_{2}^{} = 9 - 4 = 5

Chọn đáp án A

Câu 41:

Cho hàm số

f (x)

có đạo hàm liên tục trên R. Biết

f (3) = 1

và

\int_{0}^{1} x f (3 x) d x = 1

, khi đó

\int_{0}^{3} x^{2} f^{'} (x) d x

bằng

A. -9

B. $\frac{25}{3}$

C. 3

D. 7

Xem đáp án

Đặt

t = 3 x \Rightarrow d t = 3 d x \Rightarrow d x = \frac{1}{3} d t

.
Suy ra

1 = \int_{0}^{1} x f (3 x) d x = \frac{1}{9} \int_{0}^{3} t f (t) d t \Leftrightarrow \int_{0}^{3} t f (t) d t = 9

.
Đặt

\{\begin{matrix} u = f (t) \\ d v = t d t \end{matrix} \Rightarrow \{\begin{matrix} d u = f^{'} (t) d t \\ v = \frac{t^{2}}{2} \end{matrix}

.

\Rightarrow \int_{0}^{3} t f (t) d t = {\frac{t^{2}}{2} f (t)|}_{0}^{3} - \int_{0}^{3} \frac{t^{2}}{2} f^{'} (t) d t = \frac{9}{2} f (3) - \frac{1}{2} \int_{0}^{3} t^{2} f^{'} (t) d t

.

\Leftrightarrow 9 = \frac{9}{2} - \frac{1}{2} \int_{0}^{3} t^{2} f^{'} (t) d t \Leftrightarrow \int_{0}^{3} t^{2} f^{'} (t) d t = - 9

.
Vậy

\int_{0}^{3} x^{2} f^{'} (x) d x = - 9

.

Chọn đáp án A

Câu 42:

Cho hàm số

y = f (x)

có đạo hàm trên R. Biết hàm số

y = f' (x)

có đồ thị như hình vẽ.

Hàm số

g (x) = f (x) + x

đạt cực tiểu tại điểm

A. $x = 0$

B. $x = 2$

C. Không có điểm cực tiểu

D. $x = 1$

Xem đáp án

Xét hàm số

g (x) = f (x) + x

có

g' (x) = f' (x) + 1

Dựa vào đồ thị hàm số

y = f' (x)

có:

g' (x) = 0 \Leftrightarrow f' (x) = - 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 1 \\ x = 2 \end{array}

Bảng biến thiên

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên R . Biết hàm số (ảnh 2)

Từ đó suy ra hàm số

y = g (x)

đạt cực tiểu tại điểm

x = 1

Chọn đáp án D

Câu 43:

Thể tích V của khối hộp chữ nhật

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

biết

A B = a, A D = 2 a, A C^{'} = a \sqrt{14}

là

A. $V = 2 a^{3} .$

B. $V = a^{3} \sqrt{5} .$

C. $V = 6 a^{3} .$

D. $V = \frac{a^{3} \sqrt{14}}{3} .$

Xem đáp án

Xét hình chữ nhật ABCD, ta có

A C^{2} = A B^{2} + A D^{2} = a^{2} + 4 a^{2} = 5 a^{2} .

Xét tam giác vuông

A A^{'} C,

ta có

A {A^{'}}^{2} = A {C^{'}}^{2} - A C^{2} = 14 a^{2} - 5 a^{2} = 9 a^{2} \Rightarrow A A^{'} = 3 a .

Ta có

V_{A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}} = A B . A D . A A^{'} = a .2 a .3 a = 6 a^{3} .

Chọn đáp án C

Câu 44:

Trong không gian với hệ trục Oxyz, đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

d_{1} : \frac{x - 2}{2} = \frac{y - 3}{3} = \frac{z + 4}{- 5}

và

d_{2} : \frac{x + 1}{3} = \frac{y - 4}{- 2} = \frac{z - 4}{- 1}

có phương trình

A. $\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 3}{4}$

B. $\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z - 1}{1}$

C. $\frac{x - 2}{2} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z - 3}{2}$

D. $\frac{x}{2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 3}{- 1}$

Xem đáp án

Giả sử AB là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng

d_{1}

và

d_{2}

với

A \in d_{1}

và

B \in d_{2}

Ta có

A \in d_{1} \Rightarrow A (2 + 2 a; 3 + 3 a; - 4 - 5 a)

và

B \in d_{2} \Rightarrow B (- 1 + 3 b; 4 - 2 b; 4 - b)

.
Ta có

\vec{A B} = (- 3 + 3 b - 2 a; 1 - 2 b - 3 a; 8 - b + 5 a)

.
Đường thẳng

d_{1}

có một VTCP

\vec{u_{1}} = (2; 3; - 5)

;

d_{2}

có một VTCP

\vec{u_{2}} = (3; - 2; - 1)

.
Vì AB là đoạn vuông góc chung của

d_{1}

và

d_{2}

nên ta có

\{\begin{cases} A B ⊥ d_{1} \\ A B ⊥ d_{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \vec{A B} . \vec{u_{1}} = 0 \\ \vec{A B} . \vec{u_{2}} = 0 \end{cases}

\Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 (- 3 + 3 b - 2 a) + 3 (1 - 2 b - 3 a) - 5 (8 - b + 5 a) = 0 \\ 3 (- 3 + 3 b - 2 a) - 2 (1 - 2 b - 3 a) - 1 (8 - b + 5 a) = 0 \end{cases}

\Leftrightarrow \{\begin{cases} - 38 a + 5 b = 43 \\ - 5 a + 14 b = 19 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = - 1 \\ b = 1 \end{cases}

Do đó

A (0; 0; 1)

và

\vec{A B} = (2; 2; 2)

là một VTCP của AB, suy ra AB cũng có một VTCP

\vec{u} = \frac{1}{2} \vec{A B} = (1; 1; 1)

. Đường thẳng AB có phương trình chính tắc là

\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z - 1}{1}

.

Chọn đáp án B

Câu 45:

Số giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình

9^{\sqrt{x^{2} - 3 x + m}} + {2.3}^{\sqrt{x^{2} - 3 x + m} - 2 + x} < 3^{2 x - 3}

có nghiệm là

A. 8

B. 1

C. 6

D. 4

Xem đáp án

Đặt

t = 3^{\sqrt{x^{2} - 3 x + m} - x}

với

t > 0

, bất phương trình đã cho trở thành

t^{2} + \frac{2}{9} t - \frac{1}{27} < 0 \Leftrightarrow - 3 < t < \frac{1}{9}

.
Do đó

0 < t < \frac{1}{9} \Leftrightarrow \sqrt{x^{2} - 3 x + m} - x < - 2 \Leftrightarrow \sqrt{x^{2} - 3 x + m} < x - 2

\Leftrightarrow \{\begin{array}{l} x > 2 \\ x^{2} - 3 x + m \geq 0 \\ x^{2} - 3 x + m < x^{2} - 4 x + 4 \end{array} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x > 2 \\ x^{2} - 3 x + m \geq 0 \\ x < 4 - m \end{cases}

(I)
Để bất phương trình đề bài cho có nghiệm thì hệ bất phương trình (I) có nghiệm ta đặt

\{\begin{matrix} x > 2 \\ x^{2} - 3 x + m \geq 0 \\ x < 4 - m \end{matrix} \begin{matrix} (1) \\ (2) \\ (3) \end{matrix}

Điều kiện cần: Từ (1) và (3) ta có

4 - m > 2 \Leftrightarrow m < 2

.
Do m là số nguyên dương nên

m = 1

.
Điều kiện đủ: Với

m = 1

, hệ bất phương trình (I) trở thành

\{\begin{cases} x > 2 \\ x^{2} - 3 x + 1 \geq 0 \\ x < 3 \end{cases}

\Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 < x < 3 \\ x < \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \lor x > \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \end{cases} \Leftrightarrow \frac{3 + \sqrt{5}}{2} < x < 3

.

Vậy hệ bất phương trình (I) có nghiệm.
Vậy

m = 1

.

Chọn đáp án B

Câu 46:

Bồn hoa của một trường X có dạng hình tròn bán kính bằng 8m. Người ta chia bồn hoa thành các phần như hình vẽ dưới đây và có ý định trồng hoa như sau: Phần diện tích bên trong hình vuông ABCD để trồng hoa. Phần diện tích kéo dài từ 4 cạnh của hình vuông đến đường tròn dùng để trồng cỏ. Ở 4 góc còn lại mỗi góc trồng một cây cọ. Biết AB = 4m, giá trồng hoa là 200.000 đ/m2, giá trồng cỏ là 100.000 đ/m2, mỗi cây cọ giá 150.000đ. hỏi cần bao nhiêu tiền để thực hiện việc trang trí bồn hoa đó

Bồn hoa của một trường X có dạng hình tròn bán kính bằng 8m. (ảnh 1)

A. 14.465.000 đồng

B. 14.865.000 đồng

C. 13.265.000 đồng

D. 12.218.000 đồng

Xem đáp án

Chọn hệ trục tọa độ sao cho gốc tọa độ trùng với tâm hình tròn, suy ra phương trình
đường tròn là:

x^{2} + y^{2} = 64

.
+ Diện tích hình vuông ABCD là:

S_{A B C D} = 4 \times 4 = 16 (m^{2})

.
Số tiền để trồng hoa là:

T_{1} = 16 \times 200.000 = 3.200.000

.
+ Diện tích trồng cỏ là:

S = 4 \int_{- 2}^{2} (\sqrt{64 - x^{2}} - 2) d x \approx 94, 654 (m^{2})

.
Số tiền trồng cỏ là:

T_{2} = 94, 654 \times 100.000 = 9.465.000

.
+ Số tiền trồng 4 cây cọ là:

T_{3} = 150.000 \times 4 = 600.000

.
Vậy tổng số tiền để thực hiện việc trang trí bồn hoa là:

T = T_{1} + T_{2} + T_{3} = 13.265.000

.

Chọn đáp án C

Câu 47:

Cho

z_{1}, z_{2}

là hai trong các số phức thỏa mãn

|z - 3 + \sqrt{3} i| = 2

và

|z_{1} - z_{2}| = 4

. Giá trị lớn nhất của

|z_{1}| + |z_{2}|

bằng

A. $2 + 2 \sqrt{3}$

B. $4 \sqrt{3}$

C. 4

D. 8

Xem đáp án

Gọi M , Nlần lượt là điểm biểu diễn của hai số phức

z_{1}, z_{2}

.
Do

\{\begin{cases} |z_{1} - 3 + \sqrt{3} i| = |z_{2} - 3 + \sqrt{3} i| = 2 \\ |z_{1} - z_{2}| = 4 \end{cases}

nên

\{\begin{cases} M, N \in (C) : {(x - 3)}^{2} + {(y + \sqrt{3})}^{2} = 2^{2} \\ M N = 4 = 2.2 \end{cases}

.
Như vậy MN là đường kính của đường tròn (C) với tâm

I (3; - \sqrt{3})

, bán kính

R = 2

, do đó I là trung điểm MN,

O I = \sqrt{12}

.

Cho z1,z2 là hai trong các số phức thỏa mãn (ảnh 1)

Ta có

|z_{1}| + |z_{2}| = O M + O N \leq \sqrt{(1 + 1) (O M^{2} + O N^{2})} = \sqrt{2 (2 O I^{2} + \frac{M N^{2}}{2})} = 8

.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi

O M = O N \Leftrightarrow M N

là đường kính của (C) vuông góc với OI.

Chọn đáp án D

Câu 48:

Trong không gian Oxyz, cho hình nón có đỉnh I thuộc mặt phẳng

(P) : 2 x - y - 2 z - 7 = 0

và hình tròn đáy nằm trên mặt phẳng

(R) : 2 x - y - 2 z + 8 = 0

. Mặt phẳng (Q) đi qua điểm

A (0; - 2; 0)

và vuông góc với trục của hình nón chia hình nón thành hai phần có thể tích lần lượt là

V_{1}

và

V_{2}

(

V_{1}

là thể tích của hình nón chứa đỉnh I ). Biết bằng biểu thức

S = V_{2} + \frac{78}{V_{1}^{3}}

đạt giá trị nhỏ nhất khi

V_{1} = a

,

V_{2} = b

. Khi đó tổng

a^{2} + b^{2}

bằng

A. $52 \sqrt{3} π^{2}$

B. $377 \sqrt{3}$

C. 2031

D. $2031 π^{2}$

Xem đáp án

Dễ thấy

(P) // (R)

, gọi O là tâm của đường tròn đáy hình nón,

O^{'} = I O \cap (Q)

, từ giả thiết ta có

I O^{'} = d (A, (P)) = \frac{5}{3}

;

O O^{'} = d (A, (R)) = \frac{10}{3}

suy ra

O O^{'} = 2 I O^{'}

.
Gọi M là điểm thuộc đường tròn (O),

M^{'} = I M \cap (Q)

, do

O^{'} M^{'} // O M

nên

\frac{I O^{'}}{I O} = \frac{O^{'} M^{'}}{O M} = \frac{1}{3}

.
Do đó

r_{2} = 3 r_{1}

, (trong đó

r_{1}

và

r_{2}

lần lượt là bán kính của các đường tròn

(O^{'})

và

(O)

). Đặt

I O^{'} = h

, khi đó

\frac{V_{1}}{V} = \frac{\frac{1}{3} π r_{1}^{2} h}{\frac{1}{3} π {(3 r_{1})}^{2} .3 h} = \frac{1}{27} \Rightarrow V = 27 V_{1} \Rightarrow V_{2} = V - V_{1} = 26 V_{1}

.

S = V_{2} + \frac{78}{V_{1}^{3}} = 26 V_{1} + \frac{78}{V_{1}^{3}} = \frac{26}{3} V_{1} + \frac{26}{3} V_{1} + \frac{26}{3} V_{1} + \frac{78}{V_{1}^{3}} \geq 4 \sqrt[4]{\frac{26}{3} V_{1} . \frac{26}{3} V_{1} . \frac{26}{3} V_{1} . \frac{78}{V_{1}^{3}}} = 4 \sqrt[4]{\frac{456976}{9}}

Dấu "=" xảy ra khi

\frac{26}{3} V_{1} = \frac{78}{V_{1}^{3}} \Leftrightarrow V_{1} = \sqrt{3}

. Suy ra

\{\begin{cases} a = \sqrt{3} \\ b = 26 \sqrt{3} \end{cases}

.
Vậy

a^{2} + b^{2} = 3 + 26^{2} .3 = 2031

Chọn đáp án C

Câu 49:

Cho đồ thị hàm số

y = f (x)

như hình vẽ bên

Số điểm cực đại, cực tiểu của hàm số

g (x) = {[f (x)]}^{2}

là

A. 1 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu

B. 3 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu

C. 2 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu

D. 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu.

Xem đáp án

Ta có

g' (x) = 2 f (x) . f' (x)

. Suy ra

g' (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} f (x) = 0 (1) \\ f' (x) = 0 (2) \end{array}

Dựa vào đồ thị của hàm số

y = f (x)

ta suy ra: Pt (1)

\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = α \in (- \infty; - 1) \\ x = β \in (- 1; 0) \end{array}

.
Pt (2)

\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = x_{1} \in (- 1; β) \\ x = x_{2} \in (0; 1) \\ x = x_{3} \in (1; 2) \end{array}

, trong đó x1,x3 là các điểm cực đại và x2 là các điểm cực tiểu.
BBT

Cho đồ thị hàm số y=f như hình vẽ bên (ảnh 2)

Từ BBT trên suy ra hàm số

g (x) = {[f (x)]}^{2}

có 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu.

Chọn đáp án D

Câu 50:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

m \in [- 2019; 2019]

để phương trình

2019^{x} + \frac{2 x - 1}{x + 1} + \frac{m x - 2 m - 1}{x - 2} = 0

có đúng 3 nghiệm thực phân biệt?

A. 4039

B. 4038

C. 2019

D. 2017

Xem đáp án

Ta có phương trình

2019^{x} + \frac{2 x - 1}{x + 1} + \frac{m x - 2 m - 1}{x - 2} = 0 \Leftrightarrow 2019^{x} + \frac{2 x - 1}{x + 1} + \frac{m (x - 2) - 1}{x - 2} = 0

.

\Leftrightarrow 2019^{x} + \frac{2 x - 1}{x + 1} + m - \frac{1}{x - 2} = 0 \Leftrightarrow m = \frac{1}{x - 2} - 2019^{x} - \frac{2 x - 1}{x + 1}

Xét hàm số

y = \frac{1}{x - 2} - 2019^{x} - \frac{2 x - 1}{x + 1} \Rightarrow y' = - \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} - 2019^{x} \ln (2019) - \frac{3}{{(x + 1)}^{2}} < 0; \forall x \in ℝ \ \{- 1; 2\}

.
Ta có bảng biến thiên

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m (ảnh 1)

Vậy để phương trình có 3 nghiệm phân biệt thì

m \in (- \infty; - 2)

mà

m \in [- 2019; 2019]; m \in ℤ

. Vậy ta có 2017 số nguyên m cần tìm.

Chọn đáp án D