50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề số 17

Câu 1:

Cho tập hợp A gồm có 9 phần tử. Số tập con gồm có 4 phần tử của tập hợp A là

A. $A_{9}^{4}$

B. $P_{4}$

C. $C_{9}^{4}$

D. 36

Xem đáp án

Số tập con gồm có 4 phần tử của tập hợp A là

C_{9}^{4}

.

Chọn đáp án C

Câu 2:

Cho cấp số nhân

(u_{n})

có số hạng đầu

u_{1} = 5

và

u_{6} = - 160.

Công sai q của cấp số nhân đã cho là

A. $q = 2.$

B. $q = - 2.$

C. $q = 3.$

D. $q = - 3.$

Xem đáp án

Ta có

u_{n} = u_{1} . q^{n - 1}

Suy ra

u_{6} = u_{1} . q^{5} \Rightarrow q^{5} = \frac{u_{6}}{u_{1}} = \frac{- 160}{5} = - 32 \Rightarrow q = - 2.

Vậy

q = - 2.

Chọn đáp án B

Câu 3:

Cho hàm số

y = f (x)

có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(- \infty; \sqrt{2})$

B. $(1; + \infty)$

C. $(- 1; 1)$

D. $(- \infty; - 2)$

Xem đáp án

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy

f' (x) > 0

trên khoảng

(- \infty; - 1) \Rightarrow

hàm số đồng biến trên

(- \infty; - 1)

nên cũng đồng biến trên

(- \infty; - 2)

.

Chọn đáp án D

Câu 4:

Cho hàm số

y = f (x)

có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đạt cực đại tại điểm

A. $x = 0$

B. $(0; - 3)$

C. $y = - 3$

D. $x = - 3$

Xem đáp án

Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số

y = f (x)

đạt cực đại tại điểm

x = 0

.

Chọn đáp án A

Câu 5:

Cho hàm số

y = f (x)

có đồ thị như hình bên. Tìm số cực trị của hàm số

y = f (x)

A. 3

B. 4

C. 2

D. 1

Xem đáp án

Từ đồ thị hàm số ta thấy hàm số có ba điểm cực trị trong đó có hai điểm cực tiểu và một điểm cực đại.

Chọn đáp án A

Câu 6:

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

y = \frac{x + 1}{- 3 x + 2}

là?

A. $x = \frac{2}{3}$

B. $y = \frac{2}{3}$

C. $x = - \frac{1}{3}$

D. $y = - \frac{1}{3}$

Xem đáp án

Do

\lim_{x \to \pm \infty} y = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x - 1}{- 3 x + 2} = - \frac{1}{3}

nên đường thẳng

y = - \frac{1}{3}

là đường tiệm cận ngang.

Chọn đáp án D

Câu 7:

Cho đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi đó là hàm số nào?

Cho đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số (ảnh 1)

A. $y = \frac{x - 1}{x + 1} .$

B. $y = \frac{- 2 x + 1}{x - 1} .$

C. $y = \frac{x + 1}{x - 1} .$

D. $y = \frac{x + 2}{x + 1} .$

Xem đáp án

Đồ thị hàm số đã cho nhận đường thẳng

x = 1

làm tiệm cận đứng nên phương án A và D sai.
Đồ thị hàm số

y = \frac{- 2 x + 1}{x - 1}

nhận đường thẳng

y = - 2

làm tiệm cận ngang nên phương án B sai.
Vậy phương án C đúng.

Chọn đáp án C

Câu 8:

Đồ thị hàm số

y = x^{4} - x^{2} - 2

cắt trục tung tại điểm có tọa độ là

A. $(2; 0)$

B. $(- 2; 0)$

C. $(0; 2)$

D. $(0; - 2)$

Xem đáp án

Với

x = 0 \Rightarrow y = - 2

. Do đó đồ thị hàm số

y = x^{4} - x^{2} - 2

cắt trục tung tại điểm M có tọa độ là

M (0; - 2) .

Chọn đáp án D

Câu 9:

Với

a, b

là số thực dương, a khác 1 và

m, n

là hai số thực, m khác 0, ta có

\log_{a^{m}} (b^{n})

bằng:

A. $\frac{m}{n} \log_{a} b$

B. $\frac{n}{m} \log_{a} b$

C. $- \frac{m}{n} \log_{a} b$

D. $m . n \log_{a} b$

Xem đáp án

Với

a, b

là số thực dương tùy ý khác 1 và

m, n

là hai số thực ta có:

\log_{a^{m}} (b^{n}) = \frac{n}{m} \log_{a} b .

Chọn đáp án B

Câu 10:

Đạo hàm của hàm số

y = \log_{5} x

là

A. $y^{'} = \frac{\ln 5}{x}$

B. $y^{'} = \frac{x}{\ln 5}$

C. $y^{'} = \frac{1}{x . \ln 5}$

D. $x . \ln 5$

Xem đáp án

Áp dụng công thức

{(\log_{a} x)}^{'} = \frac{1}{x \ln a}

, ta có

{(\log_{5} x)}^{'} = \frac{1}{x \ln 5}

.

Chọn đáp án C

Câu 11:

Cho a là một số dương, biểu thức

a^{\frac{2}{3}} \sqrt{a}

viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là

A. $a^{\frac{4}{3}}$

B. $a^{\frac{5}{6}}$

C. $a^{\frac{7}{6}}$

D. $a^{\frac{6}{7}}$

Xem đáp án

Ta có:

a^{\frac{2}{3}} \sqrt{a} = a^{\frac{2}{3}} . a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{2}{3} + \frac{1}{2}} = a^{\frac{7}{6}}

.

Chọn đáp án C

Câu 12:

Nghiệm của phương trình

9^{2 x + 1} = 81

là

A. $x = \frac{3}{2}$

B. $x = \frac{1}{2}$

C. $x = - \frac{1}{2}$

D. $x = - \frac{3}{2}$

Xem đáp án

Ta có

9^{2 x + 1} = 81 \Leftrightarrow 2 x + 1 = 2 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}

.

Chọn đáp án B

Câu 13:

Giải phương trình

\log_{3} (x - 1) = 2

.

A. $x = 10$

B. $x = 11$

C. $x = 8$

D. $x = 7$

Xem đáp án

Phương trình

\log_{3} (x - 1) = 2 \Leftrightarrow x - 1 = 3^{2} \Leftrightarrow x = 10

.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm

x = 10

.

Chọn đáp án A

Câu 14:

Tìm nguyên hàm của hàm số

f (x) = e^{x} + 2 \sin x

.

A. $\int (e^{x} + 2 \sin x) d x = e^{x} - \cos^{2} x + C$

B. $\int (e^{x} + 2 \sin x) d x = e^{x} + \sin^{2} x + C$

C. $\int (e^{x} + 2 \sin x) d x = e^{x} - 2 \cos x + C$

D. $\int (e^{x} + 2 \sin x) d x = e^{x} + 2 \cos x + C$

Xem đáp án

Ta có :

\int f (x) d x = \int (e^{x} + 2 \sin x) d x = e^{x} - 2 \cos x + C

.

Chọn đáp án C

Câu 15:

Tất cả nguyên hàm của hàm số

f (x) = \frac{1}{2 x + 3}

là

A. $\frac{1}{2} \ln |2 x + 3| + C$

B. $\frac{1}{2} \ln (2 x + 3) + C$

C. $\ln |2 x + 3| + C$

D. $\frac{1}{\ln 2} \ln |2 x + 3| + C$

Xem đáp án

$\int f (x) d x = \int \frac{1}{2 x + 3} d x = \frac{1}{2} \int \frac{1}{2 x + 3} d (2 x + 3) = \frac{1}{2} \ln |2 x + 3| + C$

Chọn đáp án A

Câu 16:

Cho hàm số

f (x)

liên tục trên đoạn

[0; 3]

và

\int_{0}^{2} f (x) d x = 1

,

\int_{2}^{3} f (x) d x = 4

. Tính

I = \int_{0}^{3} f (x) d x

.

A. $I = 5$

B. $I = - 3$

C. $I = 3$

D. $I = 4$

Xem đáp án

Ta có

I = \int_{0}^{3} f (x) d x

=

\int_{0}^{2} f (x) d x + \int_{2}^{3} f (x) d x = 1 + 4 = 5

.

Chọn đáp án A

Câu 17:

Tính tích phân

I = \int_{0}^{1} 8^{x} d x

.

A. $I = 7$

B. $I = \frac{7}{3 \ln 2}$

C. $I = 8$

D. $I = \frac{8}{3 \ln 2}$

Xem đáp án

$I = \int_{0}^{1} 8^{x} d x = (\frac{8^{x}}{\ln 8}) |\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} = \frac{8}{\ln 8} - \frac{1}{\ln 8} = \frac{7}{3 \ln 2}$

Chọn đáp án B

Câu 18:

Số phức liên hợp của số phức

z = 4 - \sqrt{5} i

A. $\bar{z} = - 4 - \sqrt{5} i$

B. $\bar{z} = 4 + \sqrt{5} i$

C. $\bar{z} = - 4 + \sqrt{5} i$

D. $\bar{z} = 4 - \sqrt{5} i$

Xem đáp án

Số phức liên hợp của số phức

z = 2 - \sqrt{5} i

là

\bar{z} = 4 + \sqrt{5} i

.

Chọn đáp án B

Câu 19:

Cho số phức

z = 3 + i

. Phần thực của số phức

2 z + 1 + i

bằng

A. 6

B. 7

C. 3

D. 2

Xem đáp án

Ta có

2 z + 1 + i = 2 (3 + i) + 1 + i = 7 + 3 i

. Vậy phần thực của số phức

2 z + 1 + i

bằng 7.

Chọn đáp án B

Câu 20:

Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức liên hợp của số phức

z = 2 + 2 i

là điểm nào dưới đây?

A. $Q (2; 2)$

B. $P (2; - 2)$

C. $N (- 2; 2)$

D. $M (- 2; - 2)$

Xem đáp án

Ta có

\bar{z} = 2 - 2 i

.
Điểm biểu diễn số phức

\bar{z} = 2 - 2 i

là điểm

P (2; - 2)

.

Chọn đáp án B

Câu 21:

Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy bằng 2 và độ dài chiều cao bằng 3.

A. 6

B. 5

C. 3

D. 2

Xem đáp án

$V = B h = 2.3 = 6$

Chọn đáp án A

Câu 22:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật có cạnh

A B = 2, A D = 4

. Cạnh bên

S A = 2

và vuông góc với đáy (tham khảo hình vẽ). Thể tích V của khối chóp

S . A B C D

bằng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật có cạnh (ảnh 1)

A. $V = 16$

B. $V = \frac{16}{3}$

C. $V = \frac{8}{3}$

D. $V = 8$

Xem đáp án

$V = \frac{1}{3} B h = \frac{1}{3} . S_{A B C D} . S A = \frac{1}{3} . A B . A D . S A = \frac{1}{3} .2.4.2 = \frac{16}{3}$

Chọn đáp án B

Câu 23:

Thể tích khối nón có chiều cao h và bán kính đáy r là

A. $π r^{2} h$

B. $2 π r^{2} h$

C. $\frac{1}{3} π r^{2} h$

D. $\frac{4}{3} π r^{2} h$

Xem đáp án

Thể tích khối nón có chiều cao h và bán kính đáy r là

V = \frac{1}{3} π r^{2} h

.

Chọn đáp án C

Câu 24:

Khối trụ có đường kính đáy và đường cao cùng bằng 2a thì có thể tích bằng

A. $2 π a^{3}$

B. $π a^{3}$

C. $3 π a^{3}$

D. $4 π a^{3}$

Xem đáp án

Bán kính đáy là

R = \frac{2 a}{2} = a \Rightarrow V = π a^{2} .2 a = 2 π a^{3}

Chọn đáp án C

Câu 25:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm

A (1; 1; 0)

,

B (0; 3; 3)

. Khi đó

A. $\vec{A B} = (- 1; 2; 3)$

B. $\vec{A B} = (1; 2; 3)$

C. $\vec{A B} = (- 1; 4; 3)$

D. $\vec{A B} = (0; 3; 0)$

Xem đáp án

$\vec{A B} = (0 - 1; 3 - 1; 3 - 0) \Leftrightarrow \vec{A B} = (- 1; 2; 3)$

Chọn đáp án A

Câu 26:

Cho mặt cầu

(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 4 y + 2 z - 3 = 0

. Tính bán kính R của mặt cầu (S)

A. $R = \sqrt{3}$

B. $R = 3$

C. $R = 9$

D. $R = 3 \sqrt{3}$

Xem đáp án

(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 4 y + 2 z - 3 = 0 \Leftrightarrow {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 9

suy ra bán kính của mặt cầu

R = 3

.

Chọn đáp án B

Câu 27:

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng . Điểm nào dưới đây không thuộc (P)?

A. $M (1; 2; 2)$

B. $N (- 1; 0; 3)$

C. $P (4; 2; - 1)$

D. $Q (- 3; 2; 4)$

Xem đáp án

Lần lượt thay toạ độ các điểm M, N, P, Q vào phương trình (P), ta thấy toạ độ điểm Q không thoả mãn phương trình (P). Do đó điểm Q không thuộc (P).

Chọn đáp án D.

Câu 28:

Trong không gian Oxyz cho đường thẳng

d : \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 1}{- 2} .

Một vec tơ chỉ phương của d là

A. $\vec{u_{1}} (2; 1; - 2)$

B. $\vec{u_{2}} (- 1; - 1; 2)$

C. $\vec{u_{4}} (1; 1; - 2)$

D. $\vec{u_{3}} (2; 1; - 1)$

Xem đáp án

d : \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 1}{- 2}

nên một VTCP của d là:

\vec{u_{1}} (2; 1; - 2) .

Chọn đáp án A

Câu 29:

Một lớp có 20 học sinh nam và 18 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên một học sinh. Tính xác suất chọn được một học sinh nữ.

A. $\frac{1}{38} .$

B. $\frac{10}{19} .$

C. $\frac{9}{19} .$

D. $\frac{19}{9} .$

Xem đáp án

Gọi A là biến cố: “chọn được một học sinh nữ.”
-Không gian mẫu:

n (A) = C_{38}^{1} = 38.

n (A) = C_{18}^{1} = 18.

P (A) = \frac{n (A)}{|Ω|} = \frac{18}{38} = \frac{9}{19} .

Chọn đáp án C

Câu 30:

Trong các hàm số sau hàm số nào đồng biến trên

(1; + \infty)

A. $y = x^{4} - x^{2} + 3$

B. $y = \frac{x - 2}{2 x - 3}$

C. $y = - x^{3} + x - 1$

D. $y = \frac{3 - x}{x + 1}$

Xem đáp án

y^{'} = 4 x^{3} - 2 x

khi đó

y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \end{array}

Bảng biến thiên:

Trong các hàm số sau hàm số nào đồng biến trên (1; dương vô cùng) (ảnh 1)

Đáp án B loại vì tập xác định của hàm số là

(- \infty; \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}; + \infty)

.
Đáp án C loại vì hàm bậc 3 có hệ số

a < 0

nên không thể đồng biến trên

(1; + \infty)

.
Đáp án D loại vì

y^{'} < 0

với mọi x thuộc tập xác định.

Chọn đáp án A

Câu 31:

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

y = f (x) = 2 x^{3} - 6 x^{2} + 1

trên đoạn

[- 1; 1]

lần lượt là

A. 2 và -7

B. 1 và -7

C. -1 và -7

D. 1 và -6

Xem đáp án

Ta có

y^{'} = f^{'} (x) = 6 x^{2} - 12 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 2 \end{array}

.
Mà

f (- 1) = - 7, f (1) = - 3, f (0) = 1

.
Do đó

\max_{[- 1; 1]} f (x) = \max \{f (- 1); f (1); f (0)\} = 1

khi

x = 0

.

\min_{[- 1; 1]} f (x) = \min \{f (- 1); f (1); f (0)\} = - 7

khi

x = - 1

.

Chọn đáp án B

Câu 32:

Số nghiệm nguyên của bất phương trình

\log_{2} (9 - x) \leq 3

là

A. 7

B. 6

C. 8

D. 9

Xem đáp án

Điều kiện:

9 - x > 0 \Leftrightarrow x < 9

.
Ta có:

\log_{2} (9 - x) \leq 3 \Leftrightarrow 9 - x \leq 8 \Leftrightarrow 1 \leq x

.
Đối chiếu điều kiện ta có

1 \leq x < 9

.
Vì

x \in ℤ

nên

x \in \{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8\}

.
Vậy có 8 nghiệm nguyên.

Chọn đáp án C

Câu 33:

Cho

\int_{- 1}^{1} f (x) d x = 2

và

\int_{- 1}^{1} g (x) d x = - 7

, khi đó

\int_{- 1}^{1} [f (x) - \frac{1}{7} g (x)] d x

bằng

A. -3

B.

C. 3

D. 1

Xem đáp án

Ta có:

\int_{- 1}^{1} [f (x) - \frac{1}{7} g (x)] d x = \int_{- 1}^{1} f (x) d x - \frac{1}{7} \int_{- 1}^{1} g (x) d x = 2 - \frac{1}{7} . (- 7) = 3

.

Chọn đáp án C

Câu 34:

Tính môđun số phức nghịch đảo của số phức

z = {(1 - 2 i)}^{2}

.

A. $\frac{1}{\sqrt{5}}$

B. $\sqrt{5}$

C. $\frac{1}{25}$

D. $\frac{1}{5}$

Xem đáp án

z = {(1 - 2 i)}^{2} = - 3 - 4 i \Rightarrow |z| = 5

.
Vậy môđun số phức nghịch đảo của z là

|\frac{1}{z}| = \frac{1}{|z|} = \frac{1}{5}

.

Chọn đáp án D

Câu 35:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, góc ABC bằng

60^{0}

. SA vuông góc với mặt phẳng

(A B C D)

,

S A = \frac{a \sqrt{3}}{3}

(minh họa như hình bên). Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng

(A B C D)

bằng

A. $30^{o}$

B. $45^{o}$

C. $60^{o}$

D. $90^{o}$

Xem đáp án

Ta có:

S C \cap (A B C D) = C

;

S A ⊥ (A B C D)

tại A.
Hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (ABCD) là AC.
Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) là

α = \hat{S C A}

.
Do là hình thoi cạnh a và

\hat{A B C} = 60^{0}

nên tam giác ABC đều cạnh a. Do đó

A C = a

.
Suy ra:

\tan \hat{S C A} = \frac{S A}{A C} = \frac{\sqrt{3}}{3}

Do đó:

α = \hat{S B A} = 30^{o}

Vậy góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng

30^{o}

.

Chọn đáp án A

Câu 36:

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) bằng:

A. $\frac{a \sqrt{3}}{4}$

B. $\frac{a \sqrt{3}}{3}$

C. $\frac{a \sqrt{6}}{3}$

D. $\frac{a \sqrt{6}}{2}$

Xem đáp án

Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Ta có

A G ⊥ (B C D)

tại G nên

d (A, (B C D)) = A G

.
Xét tam giác ABG vuông tại G có

A G = \sqrt{A B^{2} - B G^{2}} = \sqrt{a^{2} - {(\frac{a \sqrt{3}}{3})}^{2}} = \frac{a \sqrt{6}}{3}

.

Chọn đáp án C

Câu 37:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm

A (- 1; 1; 2), M (1; 2; 1)

. Mặt cầu tâm A đi qua M có phương trình là

A. ${(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 1$

B. ${(x - 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 6$

C. ${(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 6$

D. ${(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = \sqrt{6}$

Xem đáp án

Mặt cầu tâm A đi qua M suy ra bán kính:

R = A M = \sqrt{{(1 + 1)}^{2} + {(2 - 1)}^{2} + {(1 - 2)}^{2}} = \sqrt{6}

.
Phương trình mặt cầu là:

{(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 6

.

Chọn đáp án C

Câu 38:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng

d : \{\begin{cases} x = - 2 + t \\ y = 1 + t \\ z = 2 + 2 t \end{cases} (t \in ℝ)

. Phương trình chính tắc của đường thẳng d là:

A. $\frac{x - 2}{1} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 2}{2}$

B. $\frac{x - 2}{1} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z + 2}{2}$

C. $\frac{x + 1}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 4}{2}$

D. $\frac{x - 1}{- 2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 2}{2}$

Xem đáp án

Đường thẳng d đi qua điểm

M (- 2; 1; 2)

và có 1 vectơ chỉ phương là

\vec{u} = (1; 1; 2)

nên loại đáp án D.
Lần lượt thay toạ độ điểm M vào các phương trình trong các đáp án còn lại ta thấy toạ độ M thoả mãn phương trình

\frac{x + 1}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 4}{2}

.

Chọn đáp án C.

Câu 39:

Cho hàm số

f (x)

xác định trên R và có đồ thị

f^{'} (x)

như hình vẽ bên. Đặt

g (x) = f (x) - x

Hàm số

g (x)

đạt cực đại tại điểm thuộc khoảng nào dưới đây?

Cho hàm số f(x) xác định trên R và có đồ thị f'(x) như hình vẽ (ảnh 1)

A. $(\frac{3}{2}; 3)$

B. $(- 2; 0)$

C. $(0; 1)$

D. $(\frac{1}{2}; 2)$

Xem đáp án

Ta có

g^{'} (x) = f^{'} (x) - 1

.

g^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow f^{'} (x) = 1

. Từ đồ thị, ta được

x = - 1, x = 1, x = 2

.
Từ đồ thị, ta cũng có bảng xét dấu của

g^{'} (x)

:

Ta được hàm số

g (x)

đạt cực đại tại

x = - 1

.

Chọn đáp án B

Câu 40:

Tìm tất cả giá trị của tham số m để bất phương trình

\log (2 x^{2} + 3) > \log (x^{2} + m x + 1)

có tập nghiệm là R.

A. $- 2 < m < 2$

B. $m < 2 \sqrt{2}$

C. $- 2 \sqrt{2} < m < 2 \sqrt{2}$

D. $m < 2$

Xem đáp án

Ta có

\log (2 x^{2} + 3) > \log (x^{2} + m x + 1)

\Leftrightarrow \{\begin{cases} x^{2} + m x + 1 > 0 \\ 2 x^{2} + 3 > x^{2} + m x + 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x^{2} + m x + 1 > 0 \\ x^{2} - m x + 2 > 0 \end{cases} (*)

Để bất phương trình

\log (2 x^{2} + 3) > \log (x^{2} + m x + 1)

có tập nghiệm là R thì hệ (*) có tập nghiệm là R

\Leftrightarrow \{\begin{cases} Δ_{1} = m^{2} - 4 < 0 \\ Δ_{2} = m^{2} - 8 < 0 \end{cases} \Leftrightarrow - 2 < m < 2

Chọn đáp án A

Câu 41:

Cho hàm số

y = f (x) = \{\begin{cases} 4 x khi x > 2 \\ - 2 x + 12 khi x \leq 2 \end{cases}

. Tính tích phân

I = \int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{x . f (\sqrt{x^{2} + 1})}{\sqrt{x^{2} + 1}} d x + 4 \int_{\ln 2}^{\ln 3} e^{2 x} . f (1 + e^{2 x}) d x

.

A. $I = 309$

B. $I = 159$

C. $I = \frac{309}{2}$

D. $I = 9 + 150 \ln \frac{3}{2}$

Xem đáp án

+ Xét tích phân:

I_{1} = \int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{x . f (\sqrt{x^{2} + 1})}{\sqrt{x^{2} + 1}} d x

.
Đặt:

t = \sqrt{x^{2} + 1} \Rightarrow d t = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} d x

.
Đổi cận: với

x = 0

thì

t = 1

, với

x = \sqrt{3}

thì

t = 2

.

I_{1} = \int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{x . f (\sqrt{x^{2} + 1})}{\sqrt{x^{2} + 1}} d x = \int_{1}^{2} f (t) d t = \int_{1}^{2} f (x) d x = \int_{1}^{2} (- 2 x + 12) d x = {(- x^{2} + 12 x)|}_{1}^{2} = 9

+ Xét tích phân:

I_{2} = 4 \int_{\ln 2}^{\ln 3} e^{2 x} . f (1 + e^{2 x}) d x

.
Đặt:

t = 1 + e^{2 x} \Rightarrow d t = 2 e^{2 x} d x

.
Đổi cận: với

x = \ln 2

thì

t = 5

, với

x = \ln 3

thì

t = 10

.

I_{2} = 4 \int_{\ln 2}^{\ln 3} e^{2 x} . f (1 + e^{2 x}) d x = 2 \int_{5}^{10} f (t) d t = 2 \int_{5}^{10} f (x) d x = 2 \int_{5}^{10} 4 x d x = {4 x^{2}|}_{5}^{10} = 300

Vậy

I = \int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{x . f (\sqrt{x^{2} + 1})}{\sqrt{x^{2} + 1}} d x + 4 \int_{\ln 2}^{\ln 3} e^{2 x} . f (1 + e^{2 x}) d x = 309

Chọn đáp án A

Câu 42:

Có bao nhiêu số phức z thỏa

|\frac{z + 1}{i - z}| = 1

và

|\frac{z - i}{2 + z}| = 1 ?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Ta có :

\{\begin{cases} |\frac{z + 1}{i - z}| = 1 \\ |\frac{z - i}{2 + z}| = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} |z + 1| = |i - z| \\ |z - i| = |2 + z| \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = - y \\ 4 x + 2 y = - 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = - \frac{3}{2} \\ y = \frac{3}{2} \end{cases} \Rightarrow z = - \frac{3}{2} + \frac{3}{2} i .

Chọn đáp án A

Câu 43:

Cho khối chóp tam giác S.ABC có

S A ⊥ (A B C)

, tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là

A B = 5 a, B C = 8 a, A C = 7 a

, góc giữa SB và

(A B C)

là

45 °

Tính thể tích khối chóp

S . A B C

.

A. $50 \sqrt{3} a^{3}$

B. $\frac{50 \sqrt{3}}{3} a^{3}$

C. $\frac{50}{3} a^{3}$

D. $\frac{50 \sqrt{7}}{3} a^{3}$

Xem đáp án

Ta có nửa chu vi

Δ A B C

là

p = \frac{A B + A C + B C}{2} = 10 a

.
Diện tích

Δ A B C

là

S_{Δ A B C} = \sqrt{10 a .5 a .3 a .2 a} = 10 \sqrt{3} a^{2}

.

S A ⊥ (A B C)

nên

Δ S A B

vuông, cân tại A nên

S A = A B = 5

Thể tích khối chóp

S . A B C

là

V_{S . A B C} = \frac{1}{3} S A . S_{Δ A B C} = \frac{1}{3} 5 a .10 \sqrt{3} a^{2} = \frac{50 \sqrt{3}}{3} a^{3}

.

Chọn đáp án B

Câu 44:

Bạn Dũng xây một bể cá hình tròn tâm O bán kính 10m và chia nó thành 2 phần như hình vẽ sau. Bạn Dũng sẽ thả cá cảnh với mật độ 4 con cá cảnh trên

1 m^{2}

ở phần bể giới hạn bởi đường tròn tâm O và Parabol có trục đối xứng đi qua tâm O và chứa tâm O. Gọi S là phần nguyên của diện tích phần thả cá. Hỏi bạn Dũng thả được bao nhiêu con cá cảnh trên phần bể có diện tích S, biết

A, B \in (O)

và

A B = 12 m

?

Bạn Dũng xây một bể cá hình tròn tâm O bán kính 10m và chia nó thành 2 phần (ảnh 1)

A. 560

B. 650

C. 460

D. 640

Xem đáp án

Xét hệ trục tọa độ Oxy đặt vào bể cá như hình vẽ sau

Bạn Dũng xây một bể cá hình tròn tâm O bán kính 10m và chia nó thành 2 phần (ảnh 2)

Khi đó phương trình của đường tròn tâm O là

x^{2} + y^{2} = 100

.
Khi đó phần nửa cung tròn phía trên trục Ox có phương trình

y = \sqrt{100 - x^{2}} = f (x)

Dựa vào hình vẽ ta suy ra Parabol có đỉnh

I (0; - 10)

đi qua các điểm

A (6; 8), B (- 6; 8)

.
Do đó phương trình

(P) : y = \frac{1}{2} x^{2} - 10

.
Diện tích phần thả cá cảnh là

\int_{- 6}^{6} (\sqrt{100 - x^{2}} - \frac{1}{2} x^{2} + 10) d x ≃ 160, 35 m^{2} \Rightarrow S = 160 m^{2}

.
Do đó bạn Dũng thả được

160 \cdot 4 = 640

con cá cảnh.

Chọn đáp án D

Câu 45:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

d : \frac{x - 3}{1} = \frac{y - 3}{3} = \frac{z}{2}

, mặt phẳng

(α) : x + y - z + 3 = 0

và điểm

A (1; 2; - 1)

. Viết phương trình đường thẳng

Δ

đi qua A cắt d và song song với mặt phẳng

(α)

.

A. $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z + 1}{1}$

B. $\frac{x - 1}{- 1} = \frac{y - 2}{- 2} = \frac{z + 1}{1}$

C. $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{- 2} = \frac{z + 1}{- 1}$

D. $\frac{x - 1}{- 1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z + 1}{- 1}$

Xem đáp án

Gọi giao điểm của

Δ

và d là B nên ta có:

B (3 + t; 3 + 3 t; 2 t) \Rightarrow \vec{A B} = (2 + t; 1 + 3 t; 2 t + 1)

Vì đường thẳng

Δ

song song với mặt phẳng

(α)

nên:

\vec{A B} . \vec{n_{α}} = 0 \Leftrightarrow 2 + t + 1 + 3 t - 2 t - 1 = 0 \Leftrightarrow t = - 1

.
Suy ra:

\vec{A B} = (1; - 2; - 1)

.
Phương trình đường thẳng

Δ

đi qua A và nhận

\vec{A B}

làm vtcp:

\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{- 2} = \frac{z + 1}{- 1}

.

Chọn đáp án C

Câu 46:

Cho hàm số

y = f (x)

có bảng biến thiên như sau.

Đồ thị hàm số

y = |f (x - 2017) + 2018|

có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 4

B. 3

C. 2

D. 5

Xem đáp án

Xét hàm số

g (x) = f (x - 2017) + 2018

g^{'} (x) = {(x - 2017)}^{'} f^{'} (x - 2017) = f^{'} (x - 2017)

g^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x - 2017 = - 1 \\ x - 2017 = 3 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2016 \\ x = 2020 \end{array} .

Ta có

g (2016) = f (2016 - 2017) + 2018 = 4036;

g (2020) = f (2020 - 2017) + 2018 = 0;

Bảng biến thiên hàm

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như sau. (ảnh 2)

Khi đó bảng biến thiên

|g (x)|

là

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như sau. (ảnh 3)

Vậy hàm số

y = |f (x - 2017) + 2018|

có ba cực trị

Chọn đáp án B

Câu 47:

Cho

0 \leq x \leq 2020

và

\log_{2} (2 x + 2) + x - 3 y = 8^{y}

. Có bao nhiêu cặp số

(x; y)

nguyên thỏa mãn các điều kiện trên ?

A. 2019

B. 2018

C. 1

D. 4

Xem đáp án

Do

0 \leq x \leq 2020

nên

\log_{2} (2 x + 2)

luôn có nghĩa .
Ta có

\log_{2} (2 x + 2) + x - 3 y = 8^{y}

\Leftrightarrow \log_{2} (x + 1) + x + 1 = 3 y + 2^{3 y}

\Leftrightarrow \log_{2} (x + 1) + 2^{\log_{2} (x + 1)} = 3 y + 2^{3 y} (1)

\Leftrightarrow \log_{2} (x + 1) + 2^{\log_{2} (x + 1)} = 3 y + 2^{3 y}

Xét hàm số

f (t) = t + 2^{t}

.
Tập xác định

D = ℝ

và

f^{'} (t) = 1 + 2^{t} \ln 2 \Rightarrow f^{'} (t) > 0 \forall t \in ℝ

.
Suy ra hàm số

f (t)

đồng biến trên R . Do đó

(1) \Leftrightarrow \log_{2} (x + 1) = 3 y \Leftrightarrow y = \log_{8} (x + 1)

.
Ta có

0 \leq x \leq 2020

nên

1 \leq x + 1 \leq 2021

suy ra

0 \leq \log_{8} (x + 1) \leq \log_{8} 2021 \Leftrightarrow 0 \leq y \leq \log_{8} 2021

.
Vì

y \in ℤ

nên

y \in \{0; 1; 2; 3\}

.
Vậy có 4 cặp số

(x; y)

nguyên thỏa yêu cầu bài toán là các cặp

(0; 0), (7; 1), (63; 2), (511; 3)

.

Chọn đáp án D

Câu 48:

Cho parabol

(P) : y = x^{2}

và một đường thẳng d thay đổi cắt (P) tại hai điểm A, B sao cho

A B = 2018

. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và đường thẳng d. Tìm giá trị lớn nhất

S_{m a x}

của S

A. $S_{m a x} = \frac{2018^{3} + 1}{6}$

B. $S_{m a x} = \frac{2018^{3}}{3}$

C. $S_{m a x} = \frac{2018^{3} - 1}{6}$

D. $S_{m a x} = \frac{2018^{3}}{3}$

Xem đáp án

Giả sử

A (a; a^{2})

;

B (b; b^{2}) (b > a)

sao cho

A B = 2018

.
Phương trình đường thẳng d là:

y = (a + b) x - a b

. Khi đó

S = \int_{a}^{b} |(a + b) x - a b - x^{2}| d x = \int_{a}^{b} ((a + b) x - a b - x^{2}) d x = \frac{1}{6} {(b - a)}^{3}

.
Vì

A B = 2018 \Leftrightarrow {(b - a)}^{2} + {(b^{2} - a^{2})}^{2} = 2018^{2} \Leftrightarrow {(b - a)}^{2} (1 + {(b + a)}^{2}) = 2018^{2}

.

\Rightarrow {(b - a)}^{2} \leq 2018^{2} \Rightarrow |b - a| = b - a \leq 2018 \Rightarrow S \leq \frac{2018^{3}}{6}

. Vậy

S_{\max} = \frac{2018^{3}}{6}

khi

a = - 1009

và

b = 1009

.

Chọn đáp án D

Câu 49:

Xét các số phức

z_{1} = x - 2 + (y + 2) i; z_{2} = x + y i (x, y \in ℝ, |z_{1}| = 1.

Phần ảo của số phức

z_{2}

có môđun lớn nhất bằng

A. -5

B. $- (2 + \frac{\sqrt{2}}{2})$

C. $2 - \frac{\sqrt{2}}{2} .$

D. 3

Xem đáp án

Xét các số phức z1=x-2+(y+2)i; z2=x+yi(x,y thuộc R, |z1|=1 (ảnh 1)

Gọi

M (x; y)

là điểm biểu diễn cho số phức

z_{2}

Ta có:

|z_{1}| = 1 \Leftrightarrow |x - 2 + (y + 2) i| = 1 \Leftrightarrow {(x - 2)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 1 (T) .

Đường tròn (T) có tâm

I (2; - 2)

, bán kính

R = 1

, có

O I = \sqrt{{(- 2)}^{2} + 2^{2}} = 2 \sqrt{2}

Khi đó tập hợp điểm biểu diễn số phức

z_{2}

là đường tròn (C) có tâm O, bán kính OM.
Bài yêu cầu: Tìm số phức

z_{2}

có:

|z_{2}| = x^{2} + y^{2}

lớn nhất.
Bài toán trở thành: Tìm vị trí điểm

M (x; y) \in (C)

sao cho OM max

\Leftrightarrow O M = O I + R = 2 \sqrt{2} + 1.

\frac{|\vec{O M}|}{|\vec{O I}|} = \frac{2 \sqrt{2} + 1}{2 \sqrt{2}} = 1 + \frac{1}{2 \sqrt{2}}

\Rightarrow \vec{O M} = (1 + \frac{1}{2 \sqrt{2}}) \vec{O I} \Rightarrow \{\begin{cases} x_{M} = (1 + \frac{1}{2 \sqrt{2}}) x_{I} \\ y_{M} = (1 + \frac{1}{2 \sqrt{2}}) y_{I} \end{cases}

\Rightarrow y_{M} = (1 + \frac{1}{2 \sqrt{2}}) (- 2) = - 2 - \frac{\sqrt{2}}{2} = - (2 + \frac{\sqrt{2}}{2})

Chọn đáp án B

Câu 50:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

(S) : {(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 9

và

M (x_{0}; y_{0}; z_{0}) \in (S)

sao cho

A = x_{0} + 2 y_{0} + 2 z_{0}

đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó

x_{0} + y_{0} + z_{0}

bằng

A. 2

B. -1

C. -2

D. 1

Xem đáp án

Tacó: $A = x_{0} + 2 y_{0} + 2 z_{0} \Leftrightarrow x_{0} + 2 y_{0} + 2 z_{0} - A = 0$ nên $M \in (P) : x + 2 y + 2 z - A = 0$ ,
do đó điểm M là điểm chung của mặt cầu (S) với mặt phẳng (P).
Mặt cầu (S) có tâm $I (2; 1; 1)$ và bán kính $R = 3$ .
Tồn tại điểm M khi và chỉ khi $d (I, (P)) \leq R \Leftrightarrow \frac{| 6 - A |}{3} \leq 3 \Leftrightarrow - 3 \leq A \leq 15$
Do đó, với M thuộc mặt cầu (S) thì $A = x_{0} + 2 y_{0} + 2 z_{0} \geq - 3$ .
Dấu đẳng thức xảy ra khi M là tiếp điểm của $(P) : x + 2 y + 2 z + 3 = 0$ với (S) hay M là hình chiếu của I lên (P). Suy ra $M (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ thỏa: $\{\begin{cases} x_{0} + 2 y_{0} + 2 z_{0} + 3 = 0 \\ x_{0} = 2 + t \\ y_{0} = 1 + 2 t \\ z_{0} = 1 + 2 t \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} t = - 1 \\ x_{0} = 1 \\ y_{0} = - 1 \\ z_{0} = - 1 \end{cases}$
Do đó $x_{0} + y_{0} + z_{0} = - 1$ .

Chọn đáp án B