50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề số 11

Câu 1:

2^{2 x - 1} = \frac{1}{8}

là

A. $x = - 1$

B. $x = 2$

C. $x = - 2$

D. $x = 1$

Xem đáp án

Ta có : .

2^{2 x - 1} = \frac{1}{8} \Leftrightarrow 2^{2 x - 1} = 2^{- 3} \Leftrightarrow 2 x - 1 = - 3 \Leftrightarrow x = - 1

Chọn đáp án A

Câu 2:

Cho

\int_{0}^{1} f (x) d x = 2

. Tính

\int_{0}^{1} [f (x) - 2] d x .

A. 2

B. 0

C. -4

D. 4

Xem đáp án

Ta có

\int_{0}^{1} [f (x) - 2] d x = \int_{0}^{1} f (x) d x - 2 . \int_{0}^{1} d x = \int_{0}^{1} f (x) d x - {2 . x|}_{0}^{1} = 2 - 2 = 0 .

Chọn đáp án B

Câu 3:

Họ nguyên hàm của hàm số

f (x) = x - \sin x

là

A. $\frac{x^{2}}{2} + \cos x + C .$

B. $1 - \cos x + C .$

C. $1 + \cos x + C .$

D. $\frac{x^{2}}{2} - \cos x + C .$

Xem đáp án

Ta có

\int f (x) d x = \int (x - \sin x) d x = \frac{x^{2}}{2} + \cos x + C

Chọn đáp án A

Câu 4:

Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức nào dưới đây?

A. $3 + 4 i$

B. $4 - 3 i$

C. $3 - 4 i$

D. 5

Xem đáp án

Điểm

M (3; - 4)

nên M là điểm biểu diễn của số phức

3 - 4 i

.

Chọn đáp án C

Câu 5:

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và thể tích của khối chóp đó bằng

\frac{a^{3}}{4}

. Tính cạnh bên SA

A. $2 a \sqrt{3}$

B. $\frac{a \sqrt{3}}{2}$

C. $\frac{a \sqrt{3}}{3}$

D. $a \sqrt{3}$

Xem đáp án

$V_{S . A B C} = \frac{1}{3} . S_{Δ A B C} . S A \Rightarrow S A = \frac{3 V_{S . A B C}}{S_{Δ A B C}} = \frac{3. \frac{a^{3}}{4}}{\frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}} = a \sqrt{3}$

Chọn đáp án D

Câu 6:

Cho hình trụ có chiều cao bằng 2a, bán kính đáy bằng a. Diên tích xung quanh của hình trụ bằng

A. $4 π a^{2}$

B. $π a^{2}$

C. $2 a^{2}$

D. $2 π a^{2}$

Xem đáp án

Diện tích xung quanh của hình trụ là

S_{x q} = 2 π r h = 2 π . a .2 a = 4 π a^{2}

Chọn đáp án A

Câu 7:

Cho tập hợp có 20 phần tử, số tập con có hai phần tử của A là

A. $2 C_{20}^{2}$

B. $A_{20}^{2}$

C. $C_{20}^{2}$

D. $2 A_{20}^{2}$

Xem đáp án

Mỗi tập con có hai phần tử của A tương ứng với một tổ hợp chập 2 của 20 phần tử
Vậy số tập con có hai phần tử của A là

C_{20}^{2}

Chọn đáp án C

Câu 8:

Đường cong trong hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số nào?

A. $y = - x^{3} - x$

B. $y = - x^{3} + x$

C. $y = \frac{1}{3} x^{3} - x$

D. $y = x^{3} - x + 1$

Xem đáp án

+ Đồ thị hàm số có hệ số

a > 0

nên loại đáp án B và C.
+ Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ nên loại đáp án A.

Chọn đáp án D

Câu 9:

Cho hình nón có bán kính đáy bằng a và độ dài đường sinh bằng 2a. Diện tích xung quanh của hình nón đó bằng

A. $3 π a^{2}$

B. $2 π a^{2}$

C. $2 a^{2}$

D. $4 π a^{2}$

Xem đáp án

Diện tích xung quanh của hình nón:

S_{x q} = π R l = 2 π a^{2}

.

Chọn đáp án B

Câu 10:

Cho

z = 1 + \sqrt{3} i

. Tìm số phức nghịch đảo của số phức z.

A. $\frac{1}{z} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$

B. $\frac{1}{z} = \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4} i$

C. $\frac{1}{z} = \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4} i$

D. $\frac{1}{z} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i$

Xem đáp án

Ta có:

\frac{1}{z} = \frac{1}{1 + \sqrt{3} i} = \frac{1 - \sqrt{3} i}{(1 + \sqrt{3} i) (1 - \sqrt{3} i)} = \frac{1 - \sqrt{3} i}{4} = \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4} i

.
Vậy số phức nghịch đảo của số phức

z = 1 + \sqrt{3} i

là

\frac{1}{z} = \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4} i

.

Chọn đáp án B

Câu 11:

Tính đạo hàm của hàm số

y = 4^{x^{2} + x + 1}

.

A. $y^{'} = 4^{x^{2} + x + 1} . \ln 4$

B. $y^{'} = \frac{(2 x + 1) 4^{x^{2} + x + 1}}{\ln 4}$

C. $y^{'} = (2 x + 1) 4^{x^{2} + x + 1}$

D. $y^{'} = (2 x + 1) 4^{x^{2} + x + 1} . \ln 4$

Xem đáp án

$y^{'} = {(x^{2} + x + 1)}^{'} 4^{x^{2} + x + 1} . \ln 4 = (2 x + 1) 4^{x^{2} + x + 1} . \ln 4$

Chọn đáp án D

Câu 12:

Rút gọn biểu thức

P = x^{\frac{1}{3}} \sqrt[6]{x}

với

x > 0.

A. $P = x^{2} .$

B. $P = x^{\frac{1}{8}} .$

C. $P = x^{\frac{2}{9}} .$

D. $P = \sqrt{x} .$

Xem đáp án

Ta có

P = x^{\frac{1}{3}} \sqrt[6]{x} = x^{\frac{1}{3}} . x^{\frac{1}{6}} = x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{6}} = x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x} .

Chọn đáp án D

Câu 13:

Cho hàm số

f (x)

có bảng biến thiên như sau

Hàm số đạt cực đại tại

x_{0}

bằng

A. 0

B. 1

C. -3

D. -4

Xem đáp án

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đạt cực đại tại

x_{0} = 0

.

Chọn đáp án A

Câu 14:

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng

(α) : x - 2 y + z - 4 = 0

đi qua điểm nào sau đây

A. $Q (1; - 1; 1)$

B. $N (0; 2; 0)$

C. $P (0; 0; - 4)$

D. $M (1; 0; 0)$

Xem đáp án

Thay tọa độ Q vào phương trình mặt phẳng

(α)

ta được:

1 - 2 (- 1) + 1 - 4 = 0

.
Thay tọa độ N vào phương trình mặt phẳng

(α)

ta được: Loại B
Thay tọa độ P vào phương trình mặt phẳng

(α)

ta được: Loại C
Thay tọa độ M vào phương trình mặt phẳng

(α)

ta được: Loại D

Chọn đáp án A

Câu 15:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình là:

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 4 y - 6 z + 9 = 0

. Mặt cầu (S) có tâm I bán kính R là

A. $I (- 1; 2; - 3)$ và R =5

B. I (1;-2;3) và $R = \sqrt{5}$

C. $I (1; - 2; 3)$ và R = 5

D. $I (- 1; 2; - 3)$ và $R = \sqrt{5}$

Xem đáp án

Ta có

\{\begin{matrix} - 2 a = - 2 \\ - 2 b = 4 \\ - 2 c = - 6 \end{matrix} \Rightarrow \{\begin{matrix} a = 1 \\ b = - 2 \\ c = 3 \end{matrix}

Mặt cầu (S) có tâm

I (1; - 2; 3)

và bán kính

R = \sqrt{1^{2} + {(- 2)}^{2} + 3^{2} - 9} = \sqrt{5}

.

Chọn đáp án B

Câu 16:

Trong không gian Oxyz, điểm nào dưới đây thuộc trục Oz?

A. $N (0; - 6; 0)$

B. $M (- 6; - 6; 0)$

C. $Q (0; 0; - 6)$

D. $P (- 6; 0; 0)$

Xem đáp án

Điểm thuộc trục Oz là:

Q (0; 0; - 6)

.

Chọn đáp án C

Câu 17:

Cho hàm số

y = f (x)

có bảng biến thiên như sau

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(- 1; 0)$

B. $(- \infty; 0)$

C. $(1; + \infty)$

D. $(0; 1)$

Xem đáp án

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số

y = f (x)

ta thấy hàm số nghịch biến trên các khoảng

(- \infty; - 1)

và

(0; 1)

.

Chọn đáp án D

Câu 18:

Tìm tọa độ giao điểm của đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

y = \frac{x - 2}{x + 2}

A. (2;1)

B. (-2;2)

C. (-2;-2)

D. (-2;1)

Xem đáp án

Tiệm cận đứng:

x = - 2

Tiệm cận ngang:

y = 1

Vậy giao điểm là

I (- 2; 1)

Chọn đáp án D

Câu 19:

Cho cấp số cộng

(u_{n})

có số hạng đầu

u_{1} = 2

, công sai

d = 5

. Giá trị của

u_{4}

bằng

A. 22

B. 17

C. 12

D. 250

Xem đáp án

Ta có:

u_{4} = u_{1} + 3 d = 2 + 3.5 = 17

.

Chọn đáp án B

Câu 20:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng nào sau đây nhận

\vec{u} = (2; 1; 1)

là một vectơ chỉ phương?

A. $\frac{x - 1}{- 2} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z}{- 1}$

B. $\frac{x + 2}{2} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z + 1}{1}$

C. $\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 1}{3}$

D. $\frac{x}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 2}{- 1}$

Xem đáp án

Xét đường thẳng được cho ở câu C, có một vectơ chỉ phương là

(- 2; - 1; - 1) = - (2; 1; 1)

(thỏa đề bài).

Chọn đáp án A

Câu 21:

Tích phân

\int_{0}^{1} \frac{2}{2 x + 1} d x

bằng

A. ln 3

B. 2 ln 3

C. ln 2

D. 2 ln 2

Xem đáp án

$\int_{0}^{1} \frac{2}{2 x + 1} d x = \int_{0}^{1} \frac{(2 x + 1)'}{2 x + 1} d x = \int_{0}^{1} \frac{d (2 x + 1)}{2 x + 1} = \ln |2 x + 1| |\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} = \ln 3.$

Chọn đáp án A

Câu 22:

Cho hai số thực x, y thỏa mãn

2 x + 1 + (1 - 2 y) i = x + 3 - i

. Khi đó giá trị của

x^{2} + y

bằng

A. 5

B. -3

C. 3

D. -5

Xem đáp án

Ta có:

2 x + 1 + (1 - 2 y) i = x + 3 - i \Rightarrow \{\begin{matrix} 2 x + 1 = x + 3 \\ 1 - 2 y = - 1 \end{matrix} \Rightarrow \{\begin{matrix} x = 2 \\ y = 1 \end{matrix}

Vậy

x^{2} + y = 2^{2} + 1 = 5

Chọn đáp án A

Câu 23:

Cho hàm số

f (x)

xác định, liên tục trên R có bảng xét dấu

f^{'} (x)

như sau:

Hàm số

f (x)

có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 2

B. 3

C. 0

D. 1

Xem đáp án

Dựa vào BBT và áp dụng định lí 1 của SGK, hàm số đạt cực đại tại

x = - 1

, đạt cực tiêu tại

x = 2

. Suy ra hàm số có 2 điểm cực trị

Chọn đáp án A

Câu 24:

Cho số phức z thỏa mãn

z (2 - i) + 13 i = 1

. Tính mođun của số phức z.

A. $|z| = \frac{\sqrt{34}}{3}$

B. $|z| = \sqrt{34}$

C. $|z| = \frac{5 \sqrt{34}}{3}$

D. $|z| = \sqrt{34}$

Xem đáp án

Ta có:

z (2 - i) + 13 i = 1 \Leftrightarrow z = \frac{1 - 13 i}{2 - i} \Leftrightarrow z = \frac{(1 - 13 i) (2 + i)}{(2 - i) (2 + i)} = 3 - 5 i .

Vậy

|z| = \sqrt{3^{2} + {(- 5)}^{2}} = \sqrt{34} .

Chọn đáp án D

Câu 25:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm

A (- 2; 1; 0), B (2; - 1; 2)

. Phương trình của mặt cầu có đường kính AB là

A. $x^{2} + y^{2} + {(z - 1)}^{2} = \sqrt{24}$

B. $x^{2} + y^{2} + {(z - 1)}^{2} = \sqrt{6}$

C. $x^{2} + y^{2} + {(z - 1)}^{2} = 24$

D. $x^{2} + y^{2} + {(z - 1)}^{2} = 6$

Xem đáp án

Gọi I là trung điểm của AB khi đó

\{\begin{cases} x_{I} = \frac{x_{A} + x_{B}}{2} = 0 \\ y_{I} = \frac{y_{A} + y_{B}}{2} = 0 \\ z_{I} = \frac{z_{A} + z_{B}}{2} = 1 \end{cases} \Rightarrow I (0; 0; 1)

.

I A = \sqrt{{(0 + 2)}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {(1 - 0)}^{2}} = \sqrt{6}

.
Mặt cầu đường kính AB nhận điểm

I (0; 0; 1)

làm tâm và bán kính

R = I A = \sqrt{6}

có phương trình là:

x^{2} + y^{2} + {(z - 1)}^{2} = 6

.

Chọn đáp án D

Câu 26:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

(P) : 2 x + y - 2 z + 9 = 0

và đường thẳng

d : \frac{x - 1}{- 1} = \frac{y + 3}{2} = \frac{z - 3}{1}

. Phương trình tham số của đường thẳng

Δ

đi qua

A (0; - 1; 4)

, vuông góc với d và nằm trong (P) là:

A. $Δ : \{\begin{cases} x = 2 t \\ y = t \\ z = 4 - 2 t \end{cases}$

B. $Δ : \{\begin{cases} x = t \\ y = - 1 \\ z = 4 + t \end{cases}$

C. $Δ : \{\begin{cases} x = - t \\ y = - 1 + 2 t \\ z = 4 + t \end{cases}$

D. $Δ : \{\begin{cases} x = 5 t \\ y = - 1 + t \\ z = 4 + 5 t \end{cases}$

Xem đáp án

\{\begin{cases} Δ ⊥ d \\ Δ \subset (P) \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} \vec{u_{Δ}} ⊥ \vec{u_{d}} \\ \vec{u_{Δ}} ⊥ \vec{n_{(P)}} \end{cases}

[\vec{u_{d}}, \vec{n_{(P)}}] = (5; 0; 5)

. Do đó một vectơ chỉ phương của đường thẳng

Δ

là

{\vec{u}}_{Δ} = (1; 0; 1)

\Rightarrow Δ : \{\begin{cases} x = t \\ y = - 1 \\ z = 4 + t \end{cases}

Chọn đáp án B

Câu 27:

Cho hàm số

y = x^{3}

có một nguyên hàm là

F (x)

. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $F (2) - F (0) = 1$

B. $F (2) - F (0) = 8$

C. $F (2) - F (0) = 4$

D. $F (2) - F (0) = 16$

Xem đáp án

Ta có

F (x) = \int x^{3} d x = \frac{x^{4}}{4} + C

.

F (2) - F (0) = (\frac{2^{4}}{4} + C) - (\frac{0^{4}}{4} + C) = 4

.

Chọn đáp án C

Câu 28:

Cho hai đường thẳng song song

d_{1}, d_{2}

. Trên

d_{1}

có 6 điểm phân biệt được tô màu đỏ. Trên

d_{2}

có 4 điểm phân biệt được tô màu xanh. Xét tất cả các tam giác được tạo thành khi nối các điểm đó với nhau. Chọn ngẫu nhiêu một tam giác khi đó xác suất để thu được tam giác có hai đỉnh màu đỏ là.

A. $\frac{3}{8}$

B. $\frac{5}{8}$

C. $\frac{5}{9}$

D. $\frac{2}{9}$

Xem đáp án

Số tam giác có thể tạo thành:

n_{Ω} = C_{6}^{1} . C_{4}^{2} + C_{6}^{2} . C_{4}^{1} = 96

Số tam giác có hai đỉnh màu đỏ là

n_{A} = C_{6}^{2} . C_{4}^{1} = 60

Xác suất để thu được tam giác có hai đỉnh màu đỏ là

P_{A} = \frac{n_{A}}{n_{Ω}} = \frac{60}{96} = \frac{5}{8}

.

Chọn đáp án B

Câu 29:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và có

A B = a

,

B C = a \sqrt{3}

. Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC.

A. $V = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{8}$

B. $V = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{6}$

C. $V = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{12}$

D. $V = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{4}$

Xem đáp án

Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có:

= \sqrt{B C^{2} - A B^{2}} = \sqrt{{(a \sqrt{3})}^{2} - a^{2}} = a \sqrt{2}

.
Diện tích tam giác ABC là:

S_{A B C} = \frac{1}{2} . A B . A C

= \frac{1}{2} . a . a \sqrt{2} = \frac{a^{2} \sqrt{2}}{2}

.
Gọi H là trung điểm đoạn AB thì

S H ⊥ A B

. Vì

(S A B) ⊥ (A B C)

và

(S A B) \cap (A B C) = A B

nên

S H ⊥ (A B C)

. Suy ra SH là chiều cao của khối chóp

S . A B C

.
Tam giác SAH vuông tại H nên

= S A . \sin \hat{S A H} = a . \sin 60 ° = \frac{a \sqrt{3}}{2}

.
Thể tích khối chóp S.ABC là:

V = \frac{1}{3} . S_{A B C} . S H = \frac{1}{3} . \frac{a^{2} \sqrt{2}}{2} . \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{12}

.

Chọn đáp án C

Câu 30:

Cho số phức

z = a + b i, (a, b \in R)

thỏa mãn

z + 3 + i - |z| i = 0

. Tổng

S = a + b

là

A. $S = 1$

B. $S = - 1$

C. $S = - 3$

D. $S = 0$

Xem đáp án

Từ

z + 3 + i - |z| i = 0

, ta có

\begin{array}{l} a + b i + 3 + i - \sqrt{a^{2} + b^{2}} i = 0 \Rightarrow (a + 3) + (b + 1 - \sqrt{a^{2} + b^{2}}) i = 0 \\ \Rightarrow \{\begin{cases} a = - 3 \\ b + 1 - \sqrt{a^{2} + b^{2}} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = - 3 \\ b = 4 \end{cases} \\ S u y r a S = 1 \end{array}

Chọn đáp án A

Câu 31:

Biết rằng đồ thị hàm số

y = 2 x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 2

chỉ cắt đường thẳng

y = - 3 x + 4

tại một điểm

M (a; b)

duy nhất . Tổng

a + b

bằng

A. 6

B. 3

C. -6

D. -3

Xem đáp án

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số

y = 2 x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 2

và đường thẳng

y = - 3 x + 4

là:

2 x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 2 = - 3 x + 4 \Leftrightarrow 2 x^{3} - 5 x^{2} + 6 x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2} \cdot

Thay

x = \frac{1}{2}

vào

y = - 3 x + 4

ta được

y = \frac{5}{2} \cdot

Nên đồ thị hàm số

y = 2 x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 2

cắt đường thẳng

y = - 3 x + 4

tại điểm

M (\frac{1}{2}; \frac{5}{2})

.
Tổng

a + b = 3

.

Chọn đáp án B

Câu 32:

Cho

0 < a \neq 1; b, c > 0

thỏa mãn

\log_{a} b = 3; \log_{a} c = - 2

. Tính

\log_{a} (a^{3} b^{2} \sqrt{c})

.

A. 10

B. 8

C. -18

D. 7

Xem đáp án

$\begin{array}{l} \log_{a} (a^{3} b^{2} \sqrt{c}) = \log_{a} a^{3} + \log_{a} b^{2} + \log_{a} \sqrt{c} \\ = 3 \log_{a} a + 2 \log_{a} b + \frac{1}{2} \log_{a} c = 3 + 2.3 + \frac{1}{2} . (- 2) = 8 \end{array}$

Chọn đáp án B

Câu 33:

Tìm khoảng đồng biến của hàm số

y = - x^{3} + 3 x^{2} - 1

.

A. (0;2)

B. (0;3)

C. (-1;3)

D. (-2;0)

Xem đáp án

Tập xác định:

D = ℝ

.
Ta có:

y^{'} = - 3 x^{2} + 6 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 2 \end{array}

.
Bảng biến thiên

Tìm khoảng đồng biến của hàm số y=-x^3+3x^2-1 (ảnh 1)

Từ bảng trên ta có khoảng đồng biến của hàm số đã cho là (0;2).

Chọn đáp án A

Câu 34:

Cho số thực x thỏa mãn

\log x = \frac{1}{2} \log 3 a - 2 \log b + 3 \log \sqrt{c} (a, b, c

là các số thực dương). Hãy biểu diễn x theo

a, b, c

?

A. $x = \frac{\sqrt{3 a c}}{b^{2}}$

B. $x = \frac{c^{3} \sqrt{3 a}}{b^{2}}$

C. $x = \frac{\sqrt{3 a c^{3}}}{b^{2}}$

D. $x = \frac{\sqrt{3 a}}{b^{2} c^{3}}$

Xem đáp án

Với

a, b, c

là các số thực dương, ta có

\frac{1}{2} \log 3 a - 2 \log b + 3 \log \sqrt{c} = \log \sqrt{3 a} - \log b^{2} + \log \sqrt{c^{3}} = \log \frac{\sqrt{3 a c^{3}}}{b^{2}}

.
Do đó,

\log x = \frac{1}{2} \log 3 a - 2 \log b + 3 \log \sqrt{c} \Leftrightarrow \log x = \log \frac{\sqrt{3 a c^{3}}}{b^{2}} \Leftrightarrow x = \frac{\sqrt{3 a c^{3}}}{b^{2}}

.

Chọn đáp án C

Câu 35:

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

y = 2 \sin^{2} x + 2 \sin x - 1

A. $- \frac{2}{3}$

B. $- \frac{3}{2}$

C. $\frac{2}{3}$

D. $\frac{3}{2}$

Xem đáp án

TXĐ:

D = ℝ

.
Đặt

\sin x = t, (- 1 \leq t \leq 1)

Ta có

f (x) = 2 t^{2} + 2 t - 1

liên tục trên đoạn

[- 1; 1]

f^{'} (x) = 4 t + 2 = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{1}{2}

f (- 1) = - 1; f (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2}; f (1) = 3

Suy ra

\min_{ℝ} y = \min_{[- 1; 1]} f (x) = - \frac{3}{2} \Leftrightarrow t = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin x = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - \frac{π}{6} + k 2 π \\ x = \frac{7 π}{6} + k 2 π \end{array}

,

k \in ℤ

.

Chọn đáp án B

Câu 36:

Cho hàm số

y = e^{x^{2} + 2 x - 3} - 1.

Tập nghiệm của bất phương trình

y' \geq 0

là

A. $(- \infty;-3] \cup [1; + \infty) .$

B. $[- 3; 1] .$

C. $[- 1; + \infty) .$

D. $(- \infty; - 1] .$

Xem đáp án

$y' \geq 0 \Leftrightarrow (2 x + 2) e^{x^{2} + 2 x - 3} \geq 0 \Leftrightarrow 2 x + 2 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq - 1$

Chọn đáp án C

Câu 37:

Cho hình chóp S.ABC có

S A ⊥ (A B C)

và

A B ⊥ B C

, gọi I là trung điểm BC . Góc giữa hai mặt phẳng

(S B C)

và

(A B C)

là góc nào sau đây?

A. $\hat{S I A}$

B. $\hat{S C A}$

C. $\hat{S C B}$

D. $\hat{S B A}$

Xem đáp án

Ta có:

B C ⊥ S A, B C ⊥ A B \Rightarrow B C ⊥ S B

\Rightarrow \{\begin{matrix} (S B C) \cap (A B C) = B C \\ A B ⊥ B C, A B \subset (A B C) \\ S B ⊥ B C, S B \subset (S B C) \end{matrix} \Rightarrow \hat{((S B C), (A B C))} = \hat{S B A}

.

Chọn đáp án D

Câu 38:

Cho hình chóp S.ABC có

S A, S B, S C

đôi một vuông góc và

S A = a, S B = a \sqrt{2}, S C = a \sqrt{3}

. Khoảng cách từ S đến mặt phẳng

(A B C)

bằng

A. $\frac{6 a}{11}$

B. $\frac{a \sqrt{66}}{6}$

C. $\frac{a \sqrt{66}}{11}$

D. $\frac{11 a}{6}$

Xem đáp án

Trong mặt phẳng (SAB), kẻ

S M ⊥ A B

,

M \in A B

suy ra

A B ⊥ (S C M)

Trong mặt phẳng (SCM) kẻ

S H ⊥ C M

(1),

H \in C M

. Từ trên ta có

S H ⊥ A B

(2)
Từ (1) và (2) suy ra

S H ⊥ (A B C)

.
Tam giác SAB vuông tại S suy ra

S M = \frac{S A . S B}{\sqrt{S A^{2} + S B^{2}}} = \frac{a \sqrt{2}}{\sqrt{3}}

.
Tam giác SAB vuông tại S suy ra

S H = \frac{S M . S C}{\sqrt{S M^{2} + S C^{2}}} = \frac{a \sqrt{66}}{11}

.

Chọn đáp án C

Câu 39:

Cho hàm số

y = f (x)

với

f (0) = f (1) = 1.

Biết rằng:

\int_{0}^{1} e^{x} [f (x) + f' (x)] d x = a e + b,

a, b \in ℤ .

Giá trị biểu thức

a^{2019} + b^{2019}

bằng

A. $2^{2018} + 1.$

B. 2

C. 0

D. $2^{2018} - 1.$

Xem đáp án

Ta có

\int_{0}^{1} e^{x} [f (x) + f' (x)] d x = \int_{0}^{1} e^{x} f (x) d x + \int_{0}^{1} e^{x} f' (x) d x (1)

Lại có

\int_{0}^{1} e^{x} f' (x) d x = (e^{x} f (x)) |_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} f (x) d x = e - 1 - \int_{0}^{1} e^{x} f (x) d x (2)

Thế (2) vào (1) ta được

\int_{0}^{1} e^{x} [f (x) + f' (x)] d x = e - 1

. Suy ra

a = 1; b = - 1

nên

a + b = 0

.

Chọn đáp án C

Câu 40:

Trong không gian với hệ trục Oxyz, đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

d_{1} : \frac{x - 2}{2} = \frac{y - 3}{3} = \frac{z + 4}{- 5}

và

d_{2} : \frac{x + 1}{3} = \frac{y - 4}{- 2} = \frac{z - 4}{- 1}

có phương trình

A. $\frac{x - 2}{2} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z - 3}{4}$

B. $\frac{x}{2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 3}{- 1}$

C. $\frac{x - 2}{2} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z - 3}{2}$

D. $\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z - 1}{1}$

Xem đáp án

Gọi

Δ

là đường thẳng cần tìm.
Gọi

A = Δ \cap d_{1}; B = Δ \cap d_{2} \Rightarrow A (2 + 2 t; 3 + 3 t; - 4 - 5 t), B (- 1 + 3 t^{'}; 4 - 2 t^{'}; 4 - t^{'})

Ta có:

\vec{A B} = (3 t^{'} - 2 t - 3; - 2 t^{'} - 3 t + 1; - t^{'} + 5 t + 8)

.
Gọi

\vec{u_{Δ}}, \vec{u_{d_{1}}} = (2; 3; - 5), \vec{u_{d_{2}}} = (3; - 2; - 1)

lần lượt là véc tơ chỉ phương của

Δ, d_{1}, d_{2}

ta có:

\{\begin{cases} \vec{u_{Δ}} ⊥ \vec{u_{d_{1}}} \\ \vec{u_{Δ}} ⊥ \vec{u_{d_{2}}} \end{cases}

.Chọn

\vec{u_{Δ}} = [\vec{u_{d_{1}}}, \vec{u_{d_{2}}}] = (- 13; - 13; - 13) = - 13 (1; 1; 1) = - 13 \vec{u}

.
Vì

\vec{A B}, \vec{u}

đều là véc tơ chỉ phương của

Δ

nên ta có:

\vec{A B} = k \vec{u} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 t^{'} - 2 t - 3 = k \\ - 2 t^{'} - 3 t + 1 = k \\ - t^{'} + 5 t + 8 = k \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 t^{'} - 2 t - k = 3 \\ - 2 t^{'} - 3 t - k = - 1 \\ - t^{'} + 5 t - k = - 8 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} t^{'} = 1 \\ t = - 1 \\ k = 2 \end{cases}

\Rightarrow A (0; 0; 1)

.

\Rightarrow Δ : \frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z - 1}{1}

.

Chọn đáp án D

Câu 41:

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình

9^{x} - {4.6}^{x} + (m - 1) {.4}^{x} \leq 0

có nghiệm?

A. 5

B. 6

C. 4

D. Vô số

Xem đáp án

Ta có:

9^{x} - {4.6}^{x} + (m - 1) {.4}^{x} \leq 0 \Leftrightarrow {(\frac{3}{2})}^{2 x} - 4. {(\frac{3}{2})}^{x} + m - 1 \leq 0

\Leftrightarrow m \leq - {(\frac{3}{2})}^{2 x} + 4. {(\frac{3}{2})}^{x} + 1

.(*)
Đặt

t = {(\frac{3}{2})}^{x}, t > 0

. Bất phương trình (*) trở thành:

m \leq - t^{2} + 4 t + 1, t \in (0; + \infty)

.
Xét hàm số

f (t) = - t^{2} + 4 t + 1, t \in (0; + \infty)

.
Ta có:

f^{'} (t) = - 2 t + 4, f^{'} (t) = 0 \Leftrightarrow t = 2.

(nhận)
Bảng biến thiên

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m (ảnh 1)

Bất phương trình

9^{x} - {4.6}^{x} + (m - 1) {.4}^{x} \leq 0

có nghiệm

\Leftrightarrow m \leq - t^{2} + 4 t + 1

có nghiệm

t \in (0; + \infty) \Leftrightarrow m \leq 5

.
Mà m nguyên dương

\Rightarrow m \in \{1; 2; 3; 4; 5\}

.

Chọn đáp án A

Câu 42:

Cho hình lăng trụ đứng

A B C . A' B' C'

có đáy

A B C

là tam giác vuông tại A,

\hat{A C B} = 30 °

, biết góc giữa

B' C

và mặt phẳng

(A C C' A')

bằng

α

thỏa mãn

\sin α = \frac{1}{2 \sqrt{5}}

. Cho khoảng cách giữa hai đường thẳng

A' B

và

C C'

bằng

a \sqrt{3}

. Tính thể tích V của khối lăng trụ

A B C . A' B' C'

.

A. $V = a^{3} \sqrt{3}$

B. $V = 2 a^{3} \sqrt{3}$

C. $V = a^{3} \sqrt{6}$

D. $V = \frac{3 a^{3} \sqrt{6}}{2}$

Xem đáp án

* Ta có:

C C^{'} // A A^{'} \Rightarrow C C^{'} // (A A^{'} B^{'} B)

Mà

A' B \subset (A A' B' B),

nên

d (C C'; A' B) = d (C C'; (A A' B' B)) = C' A' = a \sqrt{3}

* Ta có:

A C = A' C' = a \sqrt{3}; A B = A' B' = a;

Diện tích đáy là

B = d t (A B C) = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2}

* Dễ thấy

A' B' ⊥ (A C C' A')

Góc giữa

B' C

và mặt phẳng

(A C C' A')

là

\hat{B' C A'} = α

\sin α = \frac{A' B'}{B' C} = \frac{1}{2 \sqrt{5}} \Leftrightarrow B' C = 2 a \sqrt{5}

C C' = \sqrt{B' C^{2} - B' C'^{2}} = \sqrt{20 a^{2} - 4 a^{2}} = 4 a

* Thể tích lăng trụ là

V = B . h

với

h = C C'

V = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} . 4 a = 2 a^{3} \sqrt{3} .

Chọn đáp án B

Câu 43:

Cho hàm số

f (x)

có đạo hàm liên tục trên R. Biết

f (5) = 1

và

\int_{0}^{1} x f (5 x) d x = 1

, khi đó

\int_{0}^{5} x^{2} f^{'} (x) d x

bằng

A. 15

B. 23

C. $\frac{123}{5}$

D. -25

Xem đáp án

+)

I = \int_{0}^{5} x^{2} f^{'} (x) d x = \int_{0}^{5} x^{2} d f (x) = {x^{2} . f (x)|}_{0}^{5} - \int_{0}^{5} f (x) d x^{2}

.

= 25. f (5) - 0. f (x) - \int_{0}^{5} f (x) .2 x d x

.

= 25 - 2 \int_{0}^{5} x f (x) d x

.
+) Ta có:

\int_{0}^{1} x f (5 x) d x = 1

.
Đặt

5 x = t \Rightarrow \int_{0}^{5} \frac{t}{5} f (t) d \frac{t}{5} = 1 \Leftrightarrow \int_{0}^{5} t f (t) d t = 25

.
Vậy

I = 25 - 2 \times 25 = - 25

.

Chọn đáp án D

Câu 44:

Sân chơi cho trẻ em hình chữ nhật có chiều dài 100m và chiều rộng là 60m. Người ta làm một con đường nằm trong sân . Biết viền ngoài và viền trong của con đường là hai đường elip, elip của viền ngoài có trục lớn và trục bé lần lượt song song với các cạnh của hình chữ nhật và chiều rộng của mặt đường là 2m. Kinh phí của mỗi

m^{2}

làm đường là 600.000 đồng. Tính tổng số tiền làm con đường đó

Sân chơi cho trẻ em hình chữ nhật có chiều dài 100m và chiều rộng là 60m (ảnh 1)

A. 283.904.000

B. 293.804.000

C. 294.053.000

D. 293.904.000

Xem đáp án

Gọi

(E_{1}), (E_{2})

lần lượt là viền ngoài và viền trong của con đường;

a_{1}, b_{1}

lần lượt là độ dài bán trục lớn, bán trục nhỏ của

(E_{1})

a_{2}, b_{2}

lần lượt là độ dài bán trục lớn, bán trục nhỏ của

(E_{2}) .

Ta có:

S_{1} = π a_{1} b_{1} = π .50.30 = 1500 π

m^{2}

S_{2} = π a_{2} b_{2} = π .48.28 = 1344 π m^{2}

Diện tích con đường là:

S = S_{1} - S_{2} = 1500 π - 1344 π = 156 π m^{2}

Vậy số tiền làm con đường là

156 π

.600000 = 294.053.000 đồng.

Chọn đáp án C

Câu 45:

Cho hàm số

y = f (x)

có đạo hàm liên tục trên R và đồ thị hàm số

y = f^{'} (x)

là parabol như hình bên dưới.

Hàm số

y = f (x) - 2 x

có bao nhiêu cực trị?

A. 0

B. 1

C. 3

D. 2

Xem đáp án

Ta có

y^{'} = f^{'} (x) - 2

.

y^{'} = 0 \Leftrightarrow f^{'} (x) - 2 = 0 \Leftrightarrow f^{'} (x) = 2 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = x_{1} > 1 \end{array}

.
Dựa vào đồ thị

y = f^{'} (x)

và đường thẳng

y = 2

, ta có bảng biến thiên sau

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên R và đồ thị hàm số (ảnh 3)

Vậy hàm số

y = f (x) - 2 x

có hai điểm cực trị.

Chọn đáp án D

Câu 46:

Cho

(H)

là hình phẳng giới hạn bởi parabol

(P) : y = x^{2}

, tiếp tuyến với (P) tại điểm

M (2; 4)

và trục hoành. Tính diện tích của hình phẳng (H)?

A. $\frac{2}{3} .$

B. $\frac{8}{3} .$

C. $\frac{1}{3} .$

D. $\frac{4}{3} .$

Xem đáp án

Ta có

y^{'} = {(x^{2})}^{'} = 2 x

.
Tiếp tuyến d với (P) tại điểm

M (2; 4)

có phương trình là:

y = f^{'} (2) (x - 2) + 4 \Leftrightarrow y = 4 (x - 2) + 4 \Leftrightarrow y = 4 x - 4.

Giao điểm của d và Ox là

A (1; 0)

Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol (P) y=x^2 , (ảnh 1)

Trên đoạn

[0; 1]

hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số

y = x^{2}

và trục hoành.
Trên đoạn

[1; 2]

hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số

y = x^{2}

và tiếp tuyến d.
Vậy diện tích của hình phẳng (H) được xác định là:

S = \int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{1}^{2} (x^{2} - 4 x + 4) d x = \frac{2}{3} .

Chọn đáp án A

Câu 47:

Cho

z_{1}, z_{2}

là nghiệm phương trình

|6 - 3 i + i z| = |2 z - 6 - 9 i|

và thỏa mãn

|z_{1} - z_{2}| = \frac{8}{5}

. Giá trị lớn nhất của

|z_{1} + z_{2}|

bằng

A. 5

B. $\frac{56}{5}$

C. $\frac{28}{5}$

D. 6

Xem đáp án

Gọi

z_{1} = x_{1} + y_{1} i, z_{2} = x_{2} + y_{2} i

, với

x_{1}, y_{1}, x_{2}, y_{2} \in ℝ

.
Do

|z_{1} - z_{2}| = \frac{8}{5} \Rightarrow |(x_{1} - x_{2}) + (y_{1} - y_{2}) i| = \frac{8}{5} \Rightarrow \sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}} = \frac{8}{5}

Gọi

M_{1} (x_{1}; y_{1})

,

M_{2} (x_{2}; y_{2})

\Rightarrow M_{1} M_{2} = \sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}} = \frac{8}{5}

.
Mà

z_{1}

là nghiệm phương trình

|6 - 3 i + i z| = |2 z - 6 - 9 i|

\Rightarrow |(6 - y_{1}) + (x_{1} - 3) i| = |(2 x_{1} - 6) + (2 y_{1} - 9) i| \Rightarrow \sqrt{{(6 - y_{1})}^{2} + {(x_{1} - 3)}^{2}} = \sqrt{{(2 x_{1} - 6)}^{2} + {(2 y_{1} - 9)}^{2}}

\Leftrightarrow {x_{1}}^{2} + {y_{1}}^{2} - 6 x_{1} - 8 y_{1} + 24 = 0 \Rightarrow M_{1} (x_{1}; y_{1}) \in

đường tròn

(C) : x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 y + 24 = 0

.
Tương tự

M_{2} (x_{2}; y_{2}) \in (C)

.
Đường tròn (C) có tâm

I (3; 4)

, bán kính

R = 1

.
Goị M là trung điểm

M_{1} M_{2}

,

\Rightarrow I M ⊥ M_{1} M_{2}

,

I M = \sqrt{R^{2} - M_{1} M^{2}} = \sqrt{1 - {(\frac{4}{5})}^{2}} = \frac{3}{5}

và

|z_{1} + z_{2}| = 2 O M

.
Mà

O M \leq O I + I M

, dấu bằng xảy ra khi

O, I, M

thẳng hàng. Khi đó

O M ⊥ M_{1} M_{2}

, và

O M = O I + I M = \frac{28}{5}

.

\Leftrightarrow |z_{1} + z_{2}|

đạt giá trị lớn nhất bằng

2 (O I + I M)

, bằng

\frac{56}{5}

.

Cho z1, z2 là nghiệm phương trình |6-3i+iz|=|2z-6-9i| (ảnh 1)

Hoặc đánh giá chọn đáp án như sau:
Gọi

N (- x_{2}; - y_{2}) \Rightarrow N M_{1} = \sqrt{{(x_{1} + x_{2})}^{2} + {(y_{1} + y_{2})}^{2}} = |z_{1} + z_{2}|

Và N đối xứng với

M_{2}

qua gốc tọa độ O,

N \in

đường tròn

(C_{1}) : x^{2} + y^{2} + 6 x + 8 y + 24 = 0

.

(C_{1})

có tâm

I_{1} (- 3; - 4)

, bán kính

R_{1} = 1

,

(C_{1})

đối xứng với (C) qua gốc tọa độ O.
Có

I_{1} I = 10 \Rightarrow I_{1} I - R - R_{1} = 8

.
Nhận xét: với mọi điểm

M_{1} \in (C)

,

N \in (C_{1})

thì

M_{1} N \geq I_{1} I - R - R_{1}

. Loại các đáp án B,C,D

\Leftrightarrow |z_{1} + z_{2}| = M_{1} N

đạt giá trị lớn nhất bằng

\frac{56}{5}

.

Cho z1, z2 là nghiệm phương trình |6-3i+iz|=|2z-6-9i| (ảnh 2)

Chọn đáp án B

Câu 48:

Cho hàm số

f (x) = (m - 1) x^{3} - 5 x^{2} + (m + 3) x + 3

. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số

y = f (|x|)

có đúng 3 điểm cực trị?

A. 5

B. 3

C. 1

D. 4

Xem đáp án

Ta có:

f' (x) = 3 (m - 1) x^{2} - 10 x + m + 3

TH1:

m = 1

f' (x) = - 10 x + 4

f' (x) = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{5} > 0 \Rightarrow

hoành độ của đỉnh là 1 số dương nên

f (|x|)

có 3 điểm cực trị
Vậy thỏa mãn nhận

m = 1

.
TH2:

m \neq 1

f' (x) = 3 (m - 1) x^{2} - 10 x + m + 3

Để hàm số

f (|x|)

có 3 điểm cực trị thì

f' (x) = 0

có 2 nghiệm phân biệt

x_{1}

và

x_{2}

thỏa

x_{1} < 0 < x_{2}

hoặc

0 = x_{1} < x_{2}

.
_

x_{1} < 0 < x_{2} \Leftrightarrow P = \frac{m + 3}{3 (m - 1)} < 0 \Leftrightarrow - 3 < m < 1

.
_

0 = x_{1} < x_{2} \Leftrightarrow \{\begin{cases} P = \frac{m + 3}{3 (m - 1)} = 0 \\ S = \frac{10}{3 (m - 1)} > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m = - 3 \\ m > 1 \end{cases}

.
Kết hợp 2 trường hợp ta được có 4 giá trị nguyên của tham số m.

Chọn đáp án D

Câu 49:

Trong không gian Oxyz, cho các điểm

A (0; 0; 2)

và

B (3; 4; 1)

. Gọi (P) là mặt phẳng chứa đường tròn giao tuyến của hai mặt cầu

(S_{1}) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z + 3)}^{2} = 25

với

(S_{2}) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x - 2 y - 14 = 0

. M, N là hai điểm thuộc (P) sao cho

M N = 1

. Giá trị nhỏ nhất của

A M + B N

là

A. 3

B. $\sqrt{34} - 1$

C. 5

D. $\sqrt{34}$

Xem đáp án

Từ $\{\begin{cases} (S_{1}) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z + 3)}^{2} = 25 (1) \\ (S_{2}) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x - 2 y - 14 = 0 (2) \end{cases}$

Lấy (1) trừ (2) , ta được $6 z = 0$ hay

$(P) : z = 0$ tức là $(P) \equiv (O x y) .$

Dễ thấy A , B nằm khác phía đối với (P) , hình chiếu của A trên (P) là O , hình chiếu của B trên (P) là $H (3; 4; 0) .$

Lấy A' sao cho $\vec{A A^{'}} = \vec{M N} .$

Khi đó $A M + B N = A^{'} N + B N \geq A^{'} B$ và cực trị chỉ xảy ra khi $\vec{M N}$ cùng phương $\vec{O H} .$

Lấy $\vec{M N} = \frac{\vec{O H}}{|\vec{O H}|} = (\frac{3}{5}; \frac{4}{5}; 0) .$

Khi đó vì $\vec{A A^{'}} = \vec{M N}$ nên $A^{'} (\frac{3}{5}; \frac{4}{5}; 0) .$ Do đó $A M + B N = A^{'} N + B N \geq A^{'} B = 5.$

Chọn đáp án C

Câu 50:

Phương trình

2^{x - 2 + \sqrt[3]{m - 3 x}} + (x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + m) 2^{x - 2} = 2^{x + 1} + 1

có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

m \in (a; b)

Tính giá trị biểu thức

T = b^{2} - a^{2}

A. $T = 36$

B. $T = 48$

C. $T = 64$

D. $T = 72$

Xem đáp án

Ta có:

2^{x - 2 + \sqrt[3]{m - 3 x}} + (x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + m) 2^{x - 2} = 2^{x + 1} + 1

\Leftrightarrow 2^{\sqrt[3]{m - 3}} + {(x - 2)}^{3} + 8 + m - 3 x = 2^{3} + 2^{2 - x}

\Leftrightarrow 2^{\sqrt[3]{m - 3 x}} + m - 3 x = 2^{2 - x} + {(2 - x)}^{3}

Xét hàm số

f (t) = 2^{t} + t^{3}

trên R
Ta có:

f' (t) = 2^{t} \ln 2 + 3 t^{2} > 0, \forall t \in R

Suy ra hàm số đồng biến trên R
Mà

f (\sqrt[3]{m - 3 x}) = f (2 - x) \Leftrightarrow \sqrt[3]{m - 3 x} = 2 - x \Leftrightarrow m - 3 x = {(2 - x)}^{3}

\Leftrightarrow m = - x^{3} + 6 x^{2} - 9 x + 8

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm giữa đồ thị hàm số

y = - x^{3} + 6 x^{2} - 9 x + 8

và đường thẳng

y = m

Xét hàm số

g (x) = - x^{3} + 6 x^{2} - 9 x + 8

trên R
Ta có:

g' (x) = - 3 x^{2} + 12 x - 9; g' (x) = 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 1 \\ x = 3 \end{cases}

Bảng biến thiên của hàm số

g (x)

Phương trình 2^x-2+ căn bậc ba m-3x+(x^3-6x^2+9x+m) (ảnh 1)

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số

g (x)

thì phương trình có 3 nghiệm phân biệt khi

4 < m < 8

Suy ra

a = 4; b = 8

.
Vậy

T = b^{2} - a^{2} = 48

Chọn đáp án B