50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề số 16

Câu 1:

y = f (x)

liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Hỏi hàm số đó có bao nhiêu điểm cực trị?

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ bên dưới (ảnh 1)

A. 2

B. 3

C. 1

D. 0

Xem đáp án

Dựa vào đồ thị ta có bảng biến thiên

Ta thấy hàm số có điểm cực trị là $x = 0; x = 1.$

Chọn đáp án A

Câu 2:

Cho 4 điểm

A (- 2; - 1; 3), B (2; 3; 1), C (1; 2; 3), D (- 4; 1; 3)

. Hỏi có bao nhiêu điểm trong bốn điểm đã cho thuộc mặt phẳng

(α) : x + y + 3 z - 6 = 0

?

A. 4

B. 1

C. 3

D. 2

Xem đáp án

Thay lần lượt 4 điểm vào phương trình mặt phẳng ta thấy:

A (- 2; - 1; 3) : - 2 - 1 + 3.3 - 6 = 0 \Rightarrow A

thuộc mặt phẳng

(α)

.

B (2; 3; 1) : 2 + 3 + 3.1 - 6 = 2 \Rightarrow B

không thuộc mặt phẳng

(α)

.

C (1; 2; 3) : 1 + 2 + 3.3 - 6 = 6 \Rightarrow C

không thuộc mặt phẳng

(α)

.

D (- 4; 1; 3) : - 4 + 1 + 3.3 - 6 = 0 \Rightarrow D

thuộc mặt phẳng

(α)

.
Vậy có 2 điểm trong 4 điểm trên thuộc mặt phẳng

(α)

.

Chọn đáp án D

Câu 3:

Thể tích của khối trụ có chu vi đáy bằng

4 π a

và độ dài đường cao bằng a là

A. $\frac{4}{3} π a^{3}$

B. $π a^{2}$

C. $4 π a^{3}$

D. $16 π a^{3}$

Xem đáp án

Ta có chu vi đáy bằng

4 π a

nên bán kính đáy khối trụ bẳng 2a.
Vậy thể tích khối trụ là

V = B . h = π {(2 a)}^{2} . a = 4 π a^{3}

.

Chọn đáp án D

Câu 4:

Nếu

\int_{1}^{3} f (x) d x = 2

thì

\int_{1}^{3} 3 f (x) d x

bằng

A. 6

B. 8

C. 4

D. 2

Xem đáp án

Ta có:

\int_{1}^{3} 3 f (x) d x = 3 \int_{1}^{3} f (x) d x = 6

.

Chọn đáp án A

Câu 5:

Đồ thị sau đây là đồ thị của hàm số nào?

A. $y = - x^{4} + 2 x^{2}$

B. $y = x^{4} - 2 x^{2}$

C. $y = x^{4} - 2 x^{2} + 1$

D. $y = - x^{4} + 2 x^{2} + 1$

Xem đáp án

Dựa vào đồ thị ta thấy

a < 0, c = 0

nên chỉ có đáp án B thỏa mãn.

Chọn đáp án A

Câu 6:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng

d : \{\begin{cases} x = - 2 + t \\ y = 1 + 2 t \\ z = 5 - 3 t \end{cases} (t \in ℝ)

có véc tơ chỉ phương là

A. $\vec{a} (- 2; 1; 5)$

B. $\vec{a} (- 1; - 2; 3)$

C. $\vec{a} (1; 2; 3)$

D. $\vec{a} (2; 4; 6)$

Xem đáp án

Từ pt ta có vtcp

\vec{a} = (1; 2; - 3)

.

Chọn đáp án B

Câu 7:

Cho hàm số

y = f (x)

có đồ thị như hình vẽ bên.

Hàm số đồng biến trên khoảng nào sau đây?

A. (2;4)

B. (0;3)

C. (2;3)

D. (-1;4)

Xem đáp án

Từ hình vẽ ta thấy, đồ thị hàm số

y = f (x)

đi từ dưới lên trên, từ trái sang phải trên khoảng

(2; 3)

. Do đó hàm số đồng biến trên khoảng

(2; 3)

.

Chọn đáp án C

Câu 8:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm

A (1; - 2; 0)

;

B (3; 2; - 8)

. Tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB.

A. $\vec{u} = (- 1; 2; - 4)$

B. $\vec{u} = (1; - 2; - 4)$

C. $\vec{u} = (1; 2; - 4)$

D. $\vec{u} = (2; 4; 8)$

Xem đáp án

Đường thẳng AB có một vectơ chỉ phương là

\vec{A B} = (2; 4; - 8)

, hay đường thẳng AB có một vectơ chỉ phương là

\vec{u} = (1; 2; - 4)

.

Chọn đáp án C

Câu 9:

Cho cấp số cộng

(u_{n})

với

u_{1} = 2

và

u_{2} = 6

. Công sai của cấp số cộng đã cho bằng

A. 3

B. -4

C. 8

D. 4

Xem đáp án

Ta có

u_{2} = 6 \Leftrightarrow 6 = u_{1} + d \Leftrightarrow d = 4

.
Chọn đáp án D

Câu 10:

Cho hai số phức

z_{1} = 2 - 2 i

,

z_{2} = - 3 + 3 i

. Khi đó

z_{1} - z_{2}

bằng

A. $5 - 5 i$

B. $- 5 i$

C. $- 5 + 5 i$

D. $- 1 + i$

Xem đáp án

Ta có

z_{1} - z_{2} = (2 - 2 i) - (- 3 + 3 i) = 5 - 5 i

Chọn đáp án A

Câu 11:

Hàm số nào trong các hàm số sau đây không là nguyên hàm của hàm số

y = x^{2019} ?

A. $\frac{x^{2020}}{2020}$

B. $y = 2019 x^{2018}$

C. $\frac{x^{2020}}{2020} - 1$

D. $\frac{x^{2020}}{2020} + 1$

Xem đáp án

Ta có:

\int x^{2019} d x = \frac{x^{2020}}{2020} + C

. Vậy hàm số

y = 2019 x^{2018}

không là nguyên hàm của hàm số đã cho.

Chọn đáp án B

Câu 12:

Trong mặt phẳng cho tập hợp P gồm 10 điểm phân biệt trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Số tam giác có 3 đỉnh đều thuộc tập hợp P là

A. $A_{10}^{7}$

B. $10^{3}$

C. $A_{10}^{3}$

D. $C_{10}^{3}$

Xem đáp án

Số tam giác có 3 đỉnh đều thuộc tập hợp P là:

C_{10}^{3}

.

Chọn đáp án D

Câu 13:

Đồ thị hàm số

y = \frac{2 x - 1}{x - 3}

có bao nhiêu đường tiệm cận đứng và ngang?

A. 0

B. 1

C. 3

D. 2

Xem đáp án

Hàm số

y = \frac{2 x - 1}{x - 3}

là hàm bậc nhất trên bậc nhất nên nó có hai tiệm cần gồm: Một tiệm cận đứng

x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 3

và một tiệm cận ngang

y = \frac{2}{1} = 2

Chọn đáp án D

Câu 14:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 8 x + 10 y - 6 z + 49 = 0

. Tính bán kính R của mặt cầu (S).

A. $R = \sqrt{99}$

B. $R = 1$

C. $R = 7$

D. $R = \sqrt{151}$

Xem đáp án

Ta có

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 8 x + 10 y - 6 z + 49 = 0 \Leftrightarrow x^{2} - 8 x + 16 + y^{2} + 10 y + 25 + z^{2} - 6 z + 9 = 1

\Leftrightarrow {(x - 4)}^{2} + {(y + 5)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 1

Vậy mặt cầu có bán kính

R = 1

Chọn đáp án B

Câu 15:

Điểm nào trong hình vẽ bên dưới là điểm biểu diễn số phức

z = 1 + 3 i ?

A. Điểm Q

B. Điểm P

C. Điểm M

D. Điểm N

Xem đáp án

Theo Sách Giáo Khoa Giải Tích 12: Điểm

M (a; b)

là điểm biểu diễn của số phức

Z = a + b i

. Vậy điểm

M (1; 3)

là điểm biểu diễn của số phức

z = 1 + 3 i

.

Chọn đáp án C

Câu 16:

Nghiệm của phương trình

2^{x} = 3

.

A. $x = \log_{2} 3$

B. $x = \log_{3} 2$

C. $x = 2^{3}$

D. $x = 3^{2}$

Xem đáp án

Ta có

2^{x} = 3

.

\Leftrightarrow x = \log_{2} 3

.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là

x = \log_{2} 3

.

Chọn đáp án A

Câu 17:

Cho a là số thực dương. Giá trị rút gọn của biểu thức

P = a^{\frac{4}{3}} \sqrt{a}

bằng

A. $a^{\frac{5}{6}}$

B. $a^{\frac{11}{6}}$

C. $a^{\frac{10}{3}}$

D. $a^{\frac{7}{3}}$

Xem đáp án

Ta có:

P = a^{\frac{4}{3}} \sqrt{a} = a^{\frac{4}{3}} . a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{4}{3} + \frac{1}{2}} = a^{\frac{11}{6}}

Chọn đáp án B

Câu 18:

Tính thể tích của khối tứ diện ABCD, biết

A B, A C, A D

đôi một vuông góc và lần lượt có độ dài bằng

2, 3, 4

.

A. 4

B. 3

C. 24

D. 8

Xem đáp án

Ta có:

V_{A B C D} = \frac{1}{6} A B . A C . A D = \frac{1}{6} .2.3.4 = 4

(đvtt).

Chọn đáp án A

Câu 19:

Tính thể tích V của khối nón có chiều cao

h = a

và bán kính đáy

r = a \sqrt{3}

.

A. $V = \frac{π a^{3} \sqrt{3}}{3}$

B. $V = π a^{3}$

C. $V = \frac{π a^{3}}{3}$

D. $V = 3 π a^{3}$

Xem đáp án

Thể tích của khối nón là

V = \frac{π}{3} h r^{2} = π a^{3}

(đvtt).

Chọn đáp án B

Câu 20:

Cho hàm số

f (x) = e^{2 x + 1}

. Ta có

f' (0)

bằng

A. $2 e^{3}$

B. 2

C. 2e

D. e

Xem đáp án

Áp dụng công thức

(e^{u})' = u' . e^{u}

. Ta có

f^{'} (x) = (e^{2 x + 1})' = 2 e^{2 x + 1} \Rightarrow f^{'} (0) = 2 e .

Chọn đáp án C

Câu 21:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm

A (1; 1; 1)

và

I (1; 2; 3) .

Phương trình của mặt cầu tâm I và đi qua A là

A. ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 5.$

B. ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 5.$

C. ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 25.$

D. ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 29.$

Xem đáp án

Mặt cầu tâm

I (1; 2; 3)

và đi qua

A (1; 1; 1)

có bán kính:

R = I A = \sqrt{{(1 - 1)}^{2} + {(1 - 2)}^{2} + {(1 - 3)}^{2}} = \sqrt{5} .

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là

{(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 5.

Chọn đáp án A

Câu 22:

Cho hàm số

f (x)

có đạo hàm

f^{'} (x) = {(x + 1)}^{2} {(x - 2)}^{3} (2 x + 3), \forall x \in ℝ

. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

A. 3

B. 0

C. 1

D. 2

Xem đáp án

Ta có:

f^{'} (x) = {(x + 1)}^{2} {(x - 2)}^{3} (2 x + 3) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = 2 \\ x = \frac{- 3}{2} \end{array}

.
Xét dấu

f^{'} (x)

:

Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x)=(x+1)^2(x-2)^3(2x+3) . (ảnh 1)

Từ bảng xét dấu

f^{'} (x)

suy ra hàm số có 2 điểm cực trị .

Chọn đáp án D

Câu 23:

Cho các số thực dương

a, b

thỏa mãn

3 \log a + 2 \log b = 1

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $3 a + 2 b = 10$

B. $a^{3} b^{2} = 10$

C. $a^{3} + b^{2} = 10$

D. $a^{3} + b^{2} = 1$

Xem đáp án

Ta có

3 \log a + 2 \log b = 1 \Leftrightarrow \log a^{3} + \log b^{2} = 1 \Leftrightarrow \log (a^{3} b^{2}) = 1 \Leftrightarrow a^{3} b^{2} = 10

Chọn đáp án B

Câu 24:

Cho số phức

z = a + b i (a, b \in ℝ)

thỏa mãn

3 z - (4 + 5 i) \bar{z} = - 17 + 11 i .

Tính ab

A. $a b = - 3.$

B. $a b = 3.$

C. $a b = 6.$

D. $a b = - 6.$

Xem đáp án

Theo bài ra ta có

3 z - (4 + 5 i) \bar{z} = - 17 + 11 i \Leftrightarrow 3 (a + b i) - (4 + 5 i) (a - b i) = - 17 + 11 i

\Leftrightarrow 3 a + 3 b i - (4 a - 4 b i + 5 a i + 5 b) = - 17 + 11 i

\Leftrightarrow 3 a + 3 b i - 4 a + 4 b i - 5 a i - 5 b = - 17 + 11 i

\Leftrightarrow - a - 5 b + 7 b i - 5 a i = - 17 + 11 i

\Leftrightarrow (- a - 5 b) + (- 5 a + 7 b) i = - 17 + 11 i \Rightarrow \{\begin{cases} - a - 5 b = - 17 \\ - 5 a + 7 b = 11 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 2 \\ b = 3 \end{cases}

Do đó

a b = 6.

Chọn đáp án C

Câu 25:

Trong không gian Oxyz, đường thẳng Oz có phương trình là

A. $\{\begin{cases} x = t \\ y = 0 \\ z = 0 \end{cases}$

B. $\{\begin{cases} x = 0 \\ y = t \\ z = 0 \end{cases}$

C. $\{\begin{cases} x = 0 \\ y = t \\ z = t \end{cases}$

D. $\{\begin{cases} x = 0 \\ y = 0 \\ z = 1 + t \end{cases}$

Xem đáp án

Chọn điểm

A (0; 0; 1) \in O z

. Vậy đường thẳng Oz đi qua

A (0; 0; 1)

và có vectơ chỉ phương là

\vec{u} = \vec{O A} = (0; 0; 1)

. Suy ra phương trình tham số đường thẳng Oz là

\{\begin{cases} x = 0 \\ y = 0 \\ z = 1 + t \end{cases}

.

Chọn đáp án D

Câu 26:

Tập hợp tất cả các số thực m để phương trình

\log_{2} x = m

có nghiệm là

A. R

B. $[0; + \infty)$

C. $(- \infty; 0)$

D. $(0; + \infty)$

Xem đáp án

Ta có: Phương trình

\log_{2} x = m

(*) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đường, đường cong

(C) : y = \log_{2} x

và đường thẳng

d : y = m

nên số giao điểm của chúng chính là số nghiệm của phương trình (*).
Ta có:

y^{'} = {(\log_{2} x)}^{'} = \frac{1}{x . \ln 2} > 0, \forall x \in (0; + \infty)

\Rightarrow

Hàm số

y = \log_{2} x

đồng biến trên khoảng

(0; + \infty)

.
Bảng biến thiên:

Tập hợp tất cả các số thực m để phương trình log2x=m có nghiệm (ảnh 1)

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số

y = \log_{2} x

, ta thấy đường cong

(C) : y = \log_{2} x

và đường thẳng

d : y = m

luôn cắt nhau

\forall m \in ℝ

.
Vậy tập nghiệm của phương trình

\log_{2} x = m

là R .

Chọn đáp án A

Câu 27:

Tính thể tích V của khối lăng trụ có đáy là một lục giác đều cạnh a và chiều cao của khối lăng trụ 4a.

A. $V = 12 a^{3} \sqrt{3}$

B. $V = 6 a^{3} \sqrt{3}$

C. $V = 2 a^{3} \sqrt{3}$

D. $V = 24 a^{3} \sqrt{3}$

Xem đáp án

Hình lục giác đều cạnh a được tạo bởi 6 tam giác đều cạnh a.
Mỗi tam giác đều cạnh a có diện tích:

S = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}

.
Diện tích của hình lục giác đều là:

S = 6. \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{3}{2} a^{2} \sqrt{3} .

Thể tích của khối lăng trụ là:

V = S . h = \frac{3}{2} a^{2} \sqrt{3} .4 a = 6 \sqrt{3} a^{3}

.

Chọn đáp án B

Câu 28:

Tính tích phân

I = \int_{0}^{2} 2^{2018 x} d x

.

A. $I = \frac{2^{4036} - 1}{\ln 2} .$

B. $I = \frac{2^{4036} - 1}{2018} .$

C. $I = \frac{2^{4036}}{2018 \ln 2} .$

D. $I = \frac{2^{4036} - 1}{2018 \ln 2} .$

Xem đáp án

$I = {\frac{2^{2018 x}}{\ln 2^{2018}}|}_{0}^{2} = \frac{2^{4036} - 1}{\ln 2^{2018}} = \frac{2^{4036} - 1}{2018 \ln 2}$

Chọn đáp án D

Câu 29:

Số nghiệm nguyên của bất phương trình

2^{x^{2} + 3 x} \leq 16

là

A. 3

B. 5

C. 6

D. 4

Xem đáp án

Ta có

2^{x^{2} + 3 x} \leq 16 \Leftrightarrow 2^{x^{2} + 3 x} \leq 2^{4} \Leftrightarrow x^{2} + 3 x \leq 4 \Leftrightarrow x^{2} + 3 x - 4 \leq 0 \Leftrightarrow - 4 \leq x \leq 1

.
Do đó số nghiệm nguyên của bất phương trình đã cho là 6.

Chọn đáp án C

Câu 30:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 1. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (ABCD). Tính khoảng cách d từ A đến (SCD).

A. $d = \sqrt{2}$

B. $d = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

C. $d = \frac{\sqrt{21}}{7}$

D. $d = 1$

Xem đáp án

Gọi H là trung điểm AB, suy ra

S H ⊥ A B .

Do đó

S H ⊥ (A B C D) .

Do

A H ∥ C D

nên

d [A, (S C D)] = d [H, (S C D)] .

Gọi E là trung điểm CD; K là hình chiếu vuông góc của H trên SE.
Khi đó

d [H, (S C D)] = H K = \frac{S H . H E}{\sqrt{S H^{2} + H E^{2}}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} .

Vậy

d [A, (S C D)] = H K = \frac{\sqrt{21}}{7} .

Chọn đáp án C

Câu 31:

Tìm các số thực $x, y$ thỏa mãn $x + 2 y + (2 x - 2 y) i = 7 - 4 i$ .

A. $x = - 1, y = - 3$

B. $x = 1, y = 3$

C. $x = - \frac{11}{3}, y = \frac{1}{3}$

D. $x = \frac{11}{3}, y = \frac{1}{3}$

Xem đáp án

Ta có:

x + 2 y + (2 x - 2 y) i = 7 - 4 i \Leftrightarrow \{\begin{cases} x + 2 y = 7 \\ 2 x - 2 y = - 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 1 \\ y = 3 \end{cases}

.

Chọn đáp án B

Câu 32:

Có 3 bó hoa. Bó thứ nhất có 8 bông hoa hồng, bó thứ hai có 7 bông hoa ly, bó thứ ba có 6 bông hoa huệ. Chọn ngẫu nhiên 7 bông từ ba bó hoa trên để cắm vào lọ. Xác suất để 7 bông hoa được chọn có số hoa hồng bằng số hoa ly là:

A. $\frac{994}{4845}$

B. $\frac{3851}{4845}$

C. $\frac{1}{71}$

D. $\frac{36}{71}$

Xem đáp án

Số phần tử của không gian mẫu là:

n (Ω) = C_{21}^{7} = 116280

Gọi A là biến cố “7 bông hoa được chọn có số hoa hồng bằng số hoa ly”
TH 1: Chọn 1 bông hoa hồng, 1 bông hoa ly, 5 bông hoa huệ là:

C_{8}^{1} . C_{7}^{1} . C_{6}^{5} = 336

(cách).
TH 2: Chọn 2 bông hoa hồng, 2 bông hoa ly, 3 bông hoa huệ là:

C_{8}^{2} . C_{7}^{2} . C_{6}^{3} = 11760

(cách).
TH 3: Chọn 3 bông hoa hồng, 3 bông hoa ly, 1 bông hoa huệ là:

C_{8}^{3} . C_{7}^{3} . C_{6}^{1} = 11760

(cách).
Số phần tử của biến cố A là:

n (A) = 336 + 11760 + 11760 = 23856

.
Xác suất biến cố A là:

P = \frac{n (A)}{n (Ω)} = \frac{23856}{116280} = \frac{994}{4845}

.

Chọn đáp án A

Câu 33:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, tam giác SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) bằng

A. $60 °$

B. $45 °$

C. $30 °$

D. $90 °$

Xem đáp án

Ta có: tam giác SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.
Gọi H là trung điểm của AB
Suy ra:

S H ⊥ (A B C D)

.
Ta có:

\{\begin{cases} A D ⊥ A B \\ A D ⊥ S H \end{cases} \Rightarrow A D ⊥ (S A B) \Rightarrow (S A D) ⊥ (S A B)

.
Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) bằng

90 °

.

Chọn đáp án D

Câu 34:

Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

y = - x^{3} + 3 x + 1

trên đoạn

[0; 2]

bằng

A. 4

B. 2

C. 3

D. 1

Xem đáp án

Ta có

y' = - 3 x^{2} + 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \in [0; 2] \\ x = - 1 \notin [0; 2] \end{array}

y (0) = 1; y (1) = 3; y (2) = - 1

Khi đó

\max_{[0; 2]} y = 3; \min_{[0; 2]} y = - 1

.
Vậy

\max_{[0; 2]} y + \min_{[0; 2]} y = 2

Chọn đáp án B

Câu 35:

Biết đường thẳng

y = 3 x + 1

cắt đồ thị hàm số

y = \frac{2 x^{2} - 2 x + 3}{x - 1}

tại hai điểm phân biệt

A, B

. Tính độ dài đoạn thẳng AB?

A. $A B = 4 \sqrt{2}$

B. $A B = 4 \sqrt{15}$

C. $A B = 4 \sqrt{10}$

D. $A B = 4 \sqrt{6}$

Xem đáp án

Hoành độ giao điểm của đường thẳng

y = 3 x + 1

và đồ thị hàm số

y = \frac{2 x^{2} - 2 x + 3}{x - 1}

là nghiệm của phương trình sau:

\begin{array}{l} \frac{2 x^{2} - 2 x + 3}{x - 1} = 3 x + 1 \\ \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x^{2} - 2 x + 3 = (3 x + 1) (x - 1) \\ x \neq 1 \end{cases} \\ \Leftrightarrow \{\begin{cases} x^{2} = 4 \\ x \neq 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} [\begin{array}{l} x = 2 \\ x = - 2 \end{array} \\ x \neq 1 \end{cases} \Rightarrow [\begin{array}{l} x = 2 \\ x = - 2 \end{array} \end{array}

Suy ra

A = (- 2; - 5); B = (2; 7)

và

A B = 4 \sqrt{10}

.

Chọn đáp án C

Câu 36:

Trong mặt phẳng Oxy, cho hình bình hành ABCD với

A, B, C

lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức

1 - 2 i, 3 - i, 1 + 2 i

Điểm D là điểm biểu diễn của số phức z nào sau đây?

A. $z = 3 + 3 i$

B. $z = 3 - 5 i$

C. $z = - 1 + i$

D. $z = 5 - i$

Xem đáp án

Điểm biểu diễn các số phức

1 - 2 i, 3 - i, 1 + 2 i

lần lượt là

A (1; - 2), B (3; - 1), C (1; 2)

Giả sử

D (x; y)

là điểm biểu diễn của số phức

z = x + y i (x, y \in ℝ)

.
Ta có

\vec{A D} = (x - 1; y + 2), \vec{B C} = (- 2; 3)

.
Do

A B C D

là hình bình hành nên

\vec{A D} = \vec{B C} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x - 1 = - 2 \\ y + 2 = 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = - 1 \\ y = 1 \end{cases}

.
Vậy

z = - 1 + i

.

Chọn đáp án C

Câu 37:

Hàm số

y = x^{3} + 3 x^{2}

nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(- 2; 0)$

B. $(0; + \infty)$

C. $(- \infty; - 2)$

D. $(0; 4)$

Xem đáp án

Tập xác định: $D = ℝ .$
Ta có
$y' = 3 x^{2} + 6 x .$
$y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = - 2 \end{array} .$
Bảng biến thiên:

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(- 2; 0)$ .

Chọn đáp án A

Câu 38:

Họ nguyên hàm của hàm số

f (x) = \frac{1}{2 x - 1}

là

A. $\frac{1}{2} \ln |2 x - 1| + C$

B. $\frac{1}{2} \ln (2 x - 1) + C$

C. $\ln |2 x - 1| + C$

D. $2 \ln |2 x - 1| + C$

Xem đáp án

Áp dụng công thức:

{(\frac{1}{a x + b})}^{'} = \frac{1}{a} \ln |a x + b| + C .

Suy ra:

{(\frac{1}{2 x - 1})}^{'} = \frac{1}{2} \ln |2 x - 1| + C .

Chọn đáp án A

Câu 39:

Cho hàm số

y = \frac{1}{2} x^{2}

có đồ thị (P). Xét các điểm

A, B

thuộc (P) sao cho tiếp tuyến tại A và B vuông góc với nhau. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và đường thẳng AB bằng

\frac{9}{4}

. Gọi

x_{1}^{}, x_{2}^{}

lần lượt là hoành độ của A và B. Giá trị của

{(x_{1}^{} + x_{2}^{})}^{2}

bằng :

A. 11

B. 7

C. 5

D. 13

Xem đáp án

Giả sử phương trình đường thẳng AB là :

y = a x + b

ta có
phương trình hoành độ giao điểm :

\frac{1}{2} x^{2} = a x + b \Leftrightarrow \frac{1}{2} x^{2} - a x - b = 0 (*)

Theo đề bài ta có

x_{1}^{}, x_{2}^{}

là hai nghiệm của (*) nên

\frac{1}{2} x^{2} - a x - b = \frac{1}{2} (x - x_{1}^{}) (x - x_{2}^{})

Giả sử ta có diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và đường thẳng AB là:

S = \int_{x_{1}^{}}^{x_{2}^{}} (ax + b - \frac{1}{2} x^{2}) d x = - \frac{1}{2} \int_{x_{1}^{}}^{x_{2}^{}} (x - x_{1}^{}) (x - x_{2}^{}) d x = \frac{9}{4} \Leftrightarrow - \frac{{(x_{1}^{} - x_{2}^{})}^{3}}{12} = \frac{9}{4} \Rightarrow x_{1}^{} - x_{2}^{} = - 3 (1)

Ta lại có tiếp tuyến tại A và B vuông góc với nhau nên

x_{1}^{} . x_{2}^{} = - 1 (2)

Từ (1) và (2) suy ra

{(x_{1}^{} + x_{2}^{})}^{2} = {(x_{1}^{} - x_{2}^{})}^{2} + 4 x_{1}^{} . x_{2}^{} = 9 - 4 = 5

Chọn đáp án C

Câu 40:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm

A (2; 1; 1)

và hai đường thẳng

d_{1} : \{\begin{cases} x = 3 + t \\ y = 1 \\ z = 2 - t \end{cases}

,

d_{2} : \{\begin{cases} x = 3 + 2 t^{'} \\ y = 3 + t^{'} \\ z = 0 \end{cases}

. Phương trình đường thẳng đi qua A vuông góc với

d_{1}

và cắt

d_{2}

là

A. $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z}{1}$

B. $\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z - 1}{- 1}$

C. $\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 1}{2}$

D. $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z}{2} .$

Xem đáp án

Đường thẳng

d_{1}

có VTCP

\vec{u_{d_{1}}} = (1; 0; - 1)

.
Giả sử (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với

d_{1} \Rightarrow (P) : x - 2 - z + 1 = 0 \Leftrightarrow x - z - 1 = 0

Gọi B là giao điểm của (P) và

d_{2} .

Tọa độ B là nghiệm của hệ phương trình:

\{\begin{cases} x = 3 + 2 t^{'} \\ y = 3 + t^{'} \\ z = 0 \\ x - z - 1 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} t^{'} = - 1 \\ x = 1 \\ y = 2 \\ z = 0 \end{cases} \Rightarrow B (1; 2; 0)

.
Đường thẳng cần tìm là đường thẳng AB
Ta có

\vec{A B} = (- 1; 1; - 1)

hay VTCP của đường thẳng cần tìm là

\vec{u} = (1; - 1; 1)

Đường thẳng cần tìm đi qua

B (1; 2; 0)

và có VTCP là

\vec{u} = (1; - 1; 1)

Suy ra phương trình đường thẳng cần tìm:

\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z}{1}

.
Cách 2: (AD: Nguyễn Văn Thịnh)
Gọi

Δ

là đường thẳng cần tìm.

Δ

cắt

d_{2}

tại B.
Ta có

B \in d_{2} \Rightarrow B (3 + 2 t^{'}; 3 + t^{'}; 0)

.
Đường thẳng

Δ

có vectơ chỉ phương là

\vec{A B} = (1 + 2 t^{'}; 2 + t^{'}; - 1)

,

d_{1}

có vectơ chỉ phương là

\vec{u_{1}} = (1; 0; - 1)

.
Ta có

Δ ⊥ d_{1} \Leftrightarrow \vec{A B} ⊥ \vec{u_{1}} \Leftrightarrow \vec{A B} . \vec{u_{1}} = 0 \Leftrightarrow 1 + 2 t^{'} + 0 + 1 = 0 \Leftrightarrow t^{'} = - 1

. Suy ra

\vec{A B} = (- 1; 1; - 1)

Đường thẳng cần tìm đi qua

B (1; 2; 0)

và có VTCP là

\vec{u} = (1; - 1; 1)

Suy ra phương trình đường thẳng cần tìm:

\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z}{1}

.

Chọn đáp án A

Câu 41:

Bồn hoa của một trường X có dạng hình tròn bán kính bằng 8m. Người ta chia bồn hoa thành các phần như hình vẽ dưới đây và có ý định trồng hoa như sau: Phần diện tích bên trong hình vuông ABCD để trồng hoa. Phần diện tích kéo dài từ 4 cạnh của hình vuông đến đường tròn dùng để trồng cỏ. Ở bốn góc còn lại, mỗi góc trồng một cây cọ. Biết

A B = 4 m

, giá trồng hoa là 200.000đ/

m^{2}

, giá trồng cỏ là 100.000đ/

m^{2}

, mỗi cây cọ giá 150.000đ. Hỏi cần bao nhiêu tiền để thực hiện việc trang trí bồn hoa đó.

Bồn hoa của một trường X có dạng hình tròn bán kính bằng 8m. (ảnh 1)

A. $14.865.000$ đồng

B. $12.218.000$ đồng

C. $14.465.000$ đồng

D. $13.265.000$ đồng

Xem đáp án

Gắn hệ trục như hình vẽ (gốc tọa độ là tâm của hình tròn), kí hiệu các điểm như hình vẽ.

Bồn hoa của một trường X có dạng hình tròn bán kính bằng 8m. (ảnh 2)

Đường tròn có phương trình:

x^{2} + y^{2} = 64

. Suy ra

y = \pm \sqrt{64 - x^{2}}

.
Phương trình

A B : y = 2

.
Diện tích phần trồng cỏ:

S_{1} = 4 \int_{- 2}^{2} (\sqrt{64 - x^{2}} - 2) d x (m^{2})

.
Diện tích phần trồng hoa:

S_{2} = 4.4 = 16 (m^{2})

.
Số tiền phải bỏ ra là:

200 000.16 + 4.150 000 + 100 000.4 \int_{- 2}^{2} (\sqrt{64 - x^{2}} - 2) d x \approx 13 265 000

(đồng).

Chọn đáp án D

Câu 42:

Cho hàm số

f (x)

có đạo hàm trên R. Biết

4 f (x) - {[f^{'} (x)]}^{2} = x^{2} + 2 x

,

\forall x \in ℝ

. Tính

\int_{0}^{1} f (x) d x

A. $\frac{7}{12}$

B. $\frac{11}{12}$

C. $\frac{13}{12}$

D. $\frac{9}{12}$

Xem đáp án

Dựa vào giả thiết ta xét

f (x)

là hàm bậc hai.
Giả sử

f (x) = a x^{2} + b x + c, x \in ℝ

\Rightarrow 4 f (x) = 4 a x^{2} + 4 b x + 4 c

.
Có

f^{'} (x) = 2 a x + b \Rightarrow {[f^{'} (x)]}^{2} = {(2 a x + b)}^{2} = 4 a^{2} x^{2} + 4 a b x + b^{2}

.

4 f (x) - {[f^{'} (x)]}^{2} = 4 a (1 - a) x^{2} + 4 b (1 - a) x + 4 c - b^{2}

.
Theo giả thiết

4 f (x) - {[f^{'} (x)]}^{2} = x^{2} + 2 x \Rightarrow \{\begin{cases} 4 a (1 - a) = 1 \\ 4 b (1 - a) = 2 \\ 4 c - b^{2} = 0 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} a = \frac{1}{2} \\ b = 1 \\ c = \frac{1}{4} \end{cases}

.
Như vậy hàm số

f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + x + \frac{1}{4}

thỏa mãn điều kiện bài toán.
Ta có:

\int_{0}^{1} f (x) d x = \int_{0}^{1} (\frac{x^{2}}{2} + x + \frac{1}{4}) d x = {(\frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{4} x)|}_{0}^{1} = \frac{11}{12}

.

Chọn đáp án B

Câu 43:

Thể tích V của khối hộp chữ nhật

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

biết

A B = a, A D = 2 a, A C^{'} = a \sqrt{14}

là

A. $V = a^{3} \sqrt{5} .$

B. $V = \frac{a^{3} \sqrt{14}}{3} .$

C. $V = 2 a^{3} .$

D. $V = 6 a^{3} .$

Xem đáp án

Thể tích V của khối hộp chữ nhật ABCDA'B'C'D' biết (ảnh 1)

Xét hình chữ nhật ABCD, ta có

A C^{2} = A B^{2} + A D^{2} = a^{2} + 4 a^{2} = 5 a^{2} .

Xét tam giác vuông

A A^{'} C,

ta có

A {A^{'}}^{2} = A {C^{'}}^{2} - A C^{2} = 14 a^{2} - 5 a^{2} = 9 a^{2} \Rightarrow A A^{'} = 3 a .

Ta có

V_{A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}} = A B . A D . A A^{'} = a .2 a .3 a = 6 a^{3} .

Chọn đáp án D

Câu 44:

Cho

\int_{0}^{1} \frac{x^{2} + 2 x}{{(x + 3)}^{2}} d x = \frac{a}{4} - 4 \ln \frac{4}{b}

với

a, b

là các số nguyên dương. Giá trị của

a + b

bằng

A. 7

B. 5

C. 6

D. 8

Xem đáp án

\int_{0}^{1} \frac{x^{2} + 2 x}{{(x + 3)}^{2}} d x = \int_{0}^{1} \frac{(x^{2} + 6 x + 9) - 4 (x + 3) - 9 + 12}{{(x + 3)}^{2}} d x = \int_{0}^{1} [1 - \frac{4}{x + 3} + \frac{3}{{(x + 3)}^{2}}] d x

= 1 - 4 \ln |x + 3| |_{0}^{1} - \frac{3}{x + 3} |_{0}^{1} = 1 - 4 \ln \frac{4}{3} - \frac{3}{4} + 1 = \frac{5}{4} - 4 \ln \frac{4}{3}

Theo giả thiết

\Rightarrow a = 5, b = 3

nên

a + b = 8

.

Chọn đáp án D

Câu 45:

S là tập tất cả các số nguyên dương của tham số m sao cho bất phương trình

4^{x} - m 2^{x} - m + 15 > 0

có nghiệm đúng với mọi

x \in [1; 2]

. Tính số phần tử của S

A. 9

B. 6

C. 7

D. 4

Xem đáp án

Đặt

t = 2^{x}

với

x \in [1; 2]

thì

t \in [2; 4]

Bài toán trở thành tìm m để bất phương trình

t^{2} - m t - m + 15 > 0

có nghiệm với mọi

t \in [2; 4]

t^{2} - m t - m + 15 > 0 \forall t \in [2; 4]

\Leftrightarrow m < \frac{t^{2} + 15}{t + 1} \forall t \in [2; 4]

Đặt

f (t) = \frac{t^{2} + 15}{t + 1}

Do đó:

m < \underset{t \in [2; 4]}{max f (t)} = \frac{19}{3}

Vì m nguyên dương nên

m \in \{1; 2; 3; 4; 5; 6\}

Chọn đáp án B

Câu 46:

Cho hàm số

y = f (x)

có đạo hàm trên R và không có cực trị, đồ thị của hàm số

y = f (x)

là đường cong của hình vẽ bên. Xét hàm số

h (x) = \frac{1}{2} {[f (x)]}^{2} - 2 x . f (x) + 2 x^{2}

. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Đồ thị hàm số $y = h (x)$ có điểm cực đại là $N (1; 2)$ .

B. Đồ thị hàm số $y = h (x)$ có điểm cực đại là $M (1; 0)$

C. Đồ thị của hàm số $y = h (x)$ có điểm cực tiểu là $M (1; 0)$

D. Hàm số $y = h (x)$ không có cực trị

Xem đáp án

Theo bài ra ta có

h^{'} (x) = f' (x) . f (x) - 2 f (x) + 2 x . f^{'} (x) + 4 x = f^{'} (x) (f (x) - 2 x) - 2 (f (x) - 2 x)

= (f^{'} (x) - 2) (f (x) - 2 x)

Từ đồ thị ta thấy

y = f (x)

nghịch biến nên

f' (x) < 0

suy ra

f^{'} (x) - 2 < 0

.
Suy ra

h^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow f (x) - 2 x = 0

.
Từ đồ thị dưới ta thấy

f (x) - 2 x = 0 \Leftrightarrow x = 1

.

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên R và không có cực trị, (ảnh 2)

Ta có bảng biến thiên:

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên R và không có cực trị, (ảnh 3)

Suy ra đồ thị của hàm số

y = h (x)

có điểm cực tiểu là

M (1; 0)

.

Chọn đáp án C

Câu 47:

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số

m \in ℤ

và phương trình

\log_{m x - 5} (x^{2} - 6 x + 12) = \log_{\sqrt{m x - 5}} \sqrt{x + 2}

có nghiệm duy nhất. Tìm số phần tử của S.

A. 1

B. 2

C. 0

D. 3

Xem đáp án

Điều kiện

\{\begin{cases} x^{2} - 6 x + 12 > 0 \\ x + 2 > 0 \\ m x - 5 > 0 \\ m x - 5 \neq 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x > - 2 \\ m x > 5 \\ m x \neq 6 \end{cases} (I)

Giải phương trình

\begin{array}{l} \log_{m x - 5} (x^{2} - 6 x + 12) = \log_{\sqrt{m x - 5}} \sqrt{x + 2} p t (1) \\ \Leftrightarrow \log_{m x - 5} (x^{2} - 6 x + 12) = \log_{m x - 5} (x + 2) \\ \Leftrightarrow x^{2} - 6 x + 12 = x + 2 \\ \Leftrightarrow x^{2} - 7 x + 10 = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 \\ x = 5 \end{array} \end{array}

Khi

m < 0 \Rightarrow x < \frac{5}{m} < 0

Suy ra phương trình (1) vô nghiệm
Khi

m = 0 \Rightarrow 0 x > 5

không có x thỏa điều kiện.
Khi

m > 0 \Rightarrow x > \frac{5}{m} > 0

khi đó

(I) \Leftrightarrow \{\begin{cases} x > \frac{5}{m} \\ x \neq \frac{6}{m} \end{cases}

TH1. Phương trình (1)có nghiệm duy nhất

x = 2

khi đó

\{\begin{cases} 2 > \frac{5}{m} \\ 5 = \frac{6}{m} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \frac{2 m - 5}{m} \\ m = \frac{6}{5} \end{cases} > 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} m > \frac{5}{2} \\ m = \frac{6}{5} \end{cases} \Leftrightarrow m \in \emptyset

TH2. Phương trình (1) có nghiệm duy nhất

x = 5

khi đó

[\begin{array}{l} \{\begin{cases} 5 > \frac{5}{m} \\ 2 < \frac{5}{m} \end{cases} \\ \{\begin{cases} 2 > \frac{5}{m} \\ 2 = \frac{6}{m} \end{cases} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} \frac{5 m - 5}{m} > 0 \\ \frac{2 m - 5}{m} < 0 \end{cases} \\ \{\begin{cases} 2 > \frac{5}{m} \\ m = 3 \end{cases} \end{array} [\begin{array}{l} \{\begin{cases} m > 1 \\ 0 < m < \frac{5}{2} \end{cases} \\ m = 3 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 1 < m < \frac{5}{2} \\ m = 3 \end{array}

Vậy các giá trị m thỏa mãn điều kiện đề bài là

m = 3 \lor 1 < m < \frac{5}{2}

Vậy

S = \{2; 3\}

.

Chọn đáp án B

Câu 48:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm thuộc mặt phẳng

(P) : x + 2 y + z - 7 = 0

và đi qua hai điểm

A (1; 2; 1), B (2; 5; 3)

. Bán kính nhỏ nhất của mặt cầu (S) bằng

A. $\frac{\sqrt{546}}{3}$

B. $\frac{\sqrt{763}}{3}$

C. $\frac{\sqrt{345}}{3}$

D. $\frac{\sqrt{470}}{3}$

Xem đáp án

Gọi

I (x; y; z)

là tâm của mặt cầu (S).
Vì

I \in (P)

nên

x + 2 y + z = 7 (1)

.
Mặt khác, (S) đi qua A và B nên

I A = I B (= R)

\Leftrightarrow {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = {(x - 2)}^{2} + {(y - 5)}^{2} + {(z - 3)}^{2}

\Leftrightarrow x + 3 y + 2 z = 16 (2)

.
Từ và suy ra nằm trên đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng: \

\{\begin{cases} (P) : x + 2 y + z = 7 \\ (Q) : x + 3 y + 2 z = 16 \end{cases} (I)

.

\Rightarrow d

có một VTCP

\vec{u} = [\vec{n_{(P)}}; \vec{n_{(Q)}}] = (1; - 1; 1)

, với

\vec{n_{(P)}} = (1; 2; 1)

và

\vec{n_{(Q)}} = (1; 3; 2)

.
Mặt khác, cho

z = 0

thì (I) trở thành:

\{\begin{cases} x + 2 y = 7 \\ x + 3 y = 16 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = - 11 \\ y = 9 \end{cases}

.

\Rightarrow d

đi qua điểm

B (- 11; 9; 0)

.
Do đó, d có phương trình tham số:

\{\begin{cases} x = - 11 + t \\ y = 9 - t \\ z = t \end{cases} (t \in ℝ)

.

\Rightarrow I (- 11 + t; 9 - t; t)

.

\Rightarrow R = I A = \sqrt{{(t - 12)}^{2} + {(7 - t)}^{2} + {(t - 1)}^{2}} = \sqrt{3 t^{2} - 40 t + 194}

.
Đặt

f (t) = 3 t^{2} - 40 t + 194

,

t \in ℝ

.
Vì

f (t)

là hàm số bậc hai nên

\min_{ℝ} f (t) = f (\frac{20}{3}) = \frac{182}{3}

.
Vậy

R_{\min} = \sqrt{\frac{182}{3}} = \frac{\sqrt{546}}{3}

Chọn đáp án A

Câu 49:

Cho hàm số

y = f (x)

có bảng biến thiên như sau.

Đồ thị hàm số

y = |f (x - 2017) + 2018|

có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 2

B. 5

C. 4

D. 3

Xem đáp án

Xét hàm số

g (x) = f (x - 2017) + 2018

g^{'} (x) = {(x - 2017)}^{'} f^{'} (x - 2017) = f^{'} (x - 2017)

g^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} x - 2017 = - 1 \\ x - 2017 = 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2016 \\ x = 2020 \end{cases}

Ta có

g (2016) = f (2016 - 2017) + 2018 = 4036;

g (2020) = f (2020 - 2017) + 2018 = 0;

Bảng biến thiên hàm

g (x)

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như sau (ảnh 2)

Khi đó bảng biến thiên

|g (x)|

là

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như sau (ảnh 3)

Vậy hàm số

y = |f (x - 2017) + 2018|

có ba cực trị

Chọn đáp án D

Câu 50:

Giả sử

z_{1}, z_{2}

là hai trong các số phức thỏa mãn

(z - 6) (8 + \bar{z i})

là số thực. Biết rằng

|z_{1} - z_{2}| = 4

, giá trị nhỏ nhất của

|z_{1} + 3 z_{2}|

bằng

A. $20 - 4 \sqrt{21}$

B. $20 - 4 \sqrt{22}$

C. $5 - \sqrt{22}$

D. $5 - \sqrt{21}$

Xem đáp án

Giả sử

z = x + y i

,

x, y \in ℝ

.Gọi

A, B

lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức

z_{1}, z_{2}

. Suy ra

A B = |z_{1} - z_{2}| = 4

.
* Ta có

(z - 6) (8 + \bar{z i}) = [(x - 6) + y i] . [(8 - y) - x i] = (8 x + 6 y - 48) - (x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 y) i

. Theo giả thiết

(z - 6) (8 + \bar{z i})

là số thực nên ta suy ra

x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 y = 0

. Tức là các điểm

A, B

thuộc đường tròn

(C)

tâm

I (3; 4)

, bán kính

R = 5

.
* Xét điểm M thuộc đoạn AB thỏa

\vec{M A} + 3 \vec{M B} = \vec{0} \Leftrightarrow \vec{O A} + 3 \vec{O B} = 4 \vec{O M}

.
Gọi H là trung điểm AB.
Ta có

H A = H B = \frac{A B}{2} = 2

và

M A = \frac{3}{4} A B = 3 \Rightarrow H M = M A - H A = 1

.
Từ đó

H I^{2} = R^{2} - H B^{2} = 21

,

I M = \sqrt{H I^{2} + H M^{2}} = \sqrt{22}

, suy ra điểm M thuộc đường tròn

(C^{'})

tâm

I (3; 4)

, bán kính

r = \sqrt{22}

.
* Ta có

|z_{1} + 3 z_{2}| = |\vec{O A} + 3 \vec{O B}| = |4 \vec{O M}| = 4 O M

, do đó

|z_{1} + 3 z_{2}|

nhỏ nhất khi OM nhỏ nhất.
Ta có

O M_{\min} = O M_{0} = |O I - r| = 5 - \sqrt{22}

.
Vậy

{|z_{1} + 3 z_{2}|}_{\min} = 4 O M_{0} = 20 - 4 \sqrt{22}

.

Chọn đáp án B