50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề số 14

$z = \frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{2 - 2 i}{1 + 2 i} = \frac{(2 - 2 i) (1 - 2 i)}{(1 + 2 i) (1 - 2 i)} = \frac{- 2 - 6 i}{5} = - \frac{2}{5} - \frac{6}{5} i$

Chọn đáp án A

Câu 13:

Đạo hàm của hàm số

f (x) = 6^{1 - 3 x}

là:

A. $f^{'} (x) = - {3.6}^{1 - 3 x} . \ln 6$

B. $f^{'} (x) = - 6^{1 - 3 x} . \ln 6$

C. $f^{'} (x) = - x {.6}^{1 - 3 x} . \ln 6$

D. $f^{'} (x) = (1 - 3 x) {.6}^{- 3 x}$

Xem đáp án

$f (x) = 6^{1 - 3 x} \Rightarrow f^{'} (x) = {(1 - 3 x)}^{'} {.6}^{1 - 3 x} . \ln 6 = - {3.6}^{1 - 3 x} . \ln 6$

Chọn đáp án A

Câu 14:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm

A (2; - 4; 3)

và

B (2; 2; 7)

. Trung điểm của đoạn AB có tọa độ là

A. $(2; - 1; 5)$

B. $(4; - 2; 10)$

C. $(1; 3; 2)$

D. $(2; 6; 4)$

Xem đáp án

Tọa độ trung điểm của AB là:

(\frac{2 + 2}{2}; \frac{- 4 + 2}{2}; \frac{3 + 7}{2}) = (2; - 1; 5)

.

Chọn đáp án A

Câu 15:

Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

y = \frac{- 2 x + 3}{- x + 1}

là đường thẳng

A. $x = 1$

B. $y = 2$

C. $x = 2$

D. $y = - 2$

Xem đáp án

Ta có

\lim_{x \to + \infty} y = 2

nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là

y = 2

.

Chọn đáp án B

Câu 16:

Một khối trụ có bán kính đường tròn đáy bằng r và chiều cao bằng h thì có thể tích bằng

A. $\frac{1}{3} π r^{2} h$

B. $π r^{2} h$

C. $\frac{1}{3} r^{2} h$

D. $r^{2} h$

Xem đáp án

Theo công thức tính thể tích khối trụ có bán kính đáy r và đường cao h là

V = π r^{2} h

.

Chọn đáp án B

Câu 17:

Cho hình nón có chiều cao bằng 8cm bán kính đáy bằng 6cm Diện tích toàn phần của hình nón đã cho bằng

A. $116 π c m^{2}$

B. $84 π c m^{2}$

C. $96 π c m^{2}$

D. $132 π c m^{2}$

Xem đáp án

Gọi

h; l; r

lần lượt là chiều cao, đường sinh và bán kính đáy của hình nón.
Ta có

l = A C = \sqrt{A H^{2} + H C^{2}} = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = 10

cm
Mà

S_{t o a ø n p h a à n} = S_{x u n g q u a n h} + S_{ñ a ù y} = π r l + π r^{2} = π .6.10 + π {.6}^{2} = 96 π (c m^{2}) .

Chọn đáp án C

Câu 18:

Họ nguyên hàm của hàm số

f (x) = \cos x

là

A. $- \cos x + C$

B. $- s i n x + C$

C. $s i n x + C$

D. $\cos x + C$

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Câu 19:

Trong không gian Oxyz, điểm

M (3; 4; - 2)

thuộc mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau?

A. $(P) : z - 2 = 0$

B. $(S) : x + y + z + 5 = 0$

C. $(Q) : x - 1 = 0$

D. $(R) : x + y - 7 = 0$

Xem đáp án

Thay tọa độ điểm M vào vế trái của các mặt phẳng ta được:
A.

3 + 4 - 7 = 0 \Rightarrow M \in (R)

.
B.

3 + 4 - 2 + 5 = 10 \neq 0 \Rightarrow M \notin (S)

.
C.

3 - 1 = 2 \neq 0 \Rightarrow M \notin (Q)

.
D.

- 2 - 2 = - 4 \neq 0 \Rightarrow M \notin (P)

.

Chọn đáp án D

Câu 20:

Cho hàm số

y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d (a, b, c, d \in ℝ)

có đồ thị như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

Cho hàm số y=ax^3+bx^2+cx+d có đồ thị như (ảnh 1)

A. 1

B. 2

C. 0

D. 3

Xem đáp án

Dựa vào đồ thị trên, suy ra số điểm cực trị của hàm số là 2.

Chọn đáp án B

Câu 21:

Cho hàm số

y = f (x)

liên tục trên R, có đạo hàm

f^{'} (x) = x^{3} {(x - 1)}^{2} (x + 2)

. Hỏi hàm số

y = f (x)

có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 2

B. 0

C. 1

D. 3

Xem đáp án

Hàm số

y = f (x)

có đạo hàm trên R và

f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 1 \\ x = - 2 \end{array}

, trong đó

x = 1

là nghiệm kép.
Vậy hàm số

y = f (x)

có 2 điểm cực trị.

Chọn đáp án A

Câu 22:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng

d : \frac{x}{2} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z - 2}{- 3}

và mặt phẳng

(P) : x - y + 2 z - 6 = 0

. Đường thẳng nằm trong (P) cắt và vuông góc với d có phương trình là?

A. $\frac{x + 2}{1} = \frac{y - 2}{7} = \frac{z - 5}{3} .$

B. $\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 4}{7} = \frac{z + 1}{3} .$

C. $\frac{x + 2}{1} = \frac{y + 4}{7} = \frac{z - 1}{3} .$

D. $\frac{x - 2}{1} = \frac{y + 2}{7} = \frac{z + 5}{3} .$

Xem đáp án

\vec{n_{P}} = (1; - 1; 2), \vec{u_{d}} = (2; 1; - 3)

, Gọi

I = d \cap (P), I \in d \Rightarrow I (2 t; 3 + t; 2 - 3 t)

,

I \in (P) \Rightarrow 2 t - (3 + t) + 2 (2 - 3 t) - 6 = 0 \Leftrightarrow t = - 1 \Rightarrow I (- 2; 2; 5)

Gọi

Δ

là đường thẳng cần tìm.
Theo giả thiết

\{\begin{cases} \vec{u_{Δ}} ⊥ \vec{u_{d}} \\ \vec{u_{Δ}} ⊥ \vec{n_{P}} \end{cases} \Rightarrow \vec{u_{Δ}} = [\vec{n_{P}}, \vec{u_{d}}] = (1; 7; 3)

Và đường thẳng

Δ

đi qua điểm I. Vậy

Δ : \frac{x + 2}{1} = \frac{y - 2}{7} = \frac{z - 5}{3} .

Chọn đáp án A

Câu 23:

Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy,

S A = 2 a

. Tính theo a thể tích khối chóp

S . A B C D

.

A. $V = \frac{a^{3} \sqrt{15}}{12}$

B. $V = \frac{a^{3} \sqrt{15}}{6}$

C. $V = \frac{2 a^{3}}{3}$

D. $V = 2 a^{3}$

Xem đáp án

Gọi H là trung điểm AB.
Theo đề, tam giác SAB cân tại S nên suy ra

S H ⊥ A B

.
Mặt khác, tam giác SAB nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy nên suy ra

S H ⊥ (A B C D)

.
Xét tam giác SHA vuông tại H.

S H = \sqrt{S A^{2} - A H^{2}} = \sqrt{{(2 a)}^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2}} = \frac{a \sqrt{15}}{2}

Diện tích hình vuông là

S_{A B C D} = a^{2}

.
Vậy thể tích khối chóp

S . A B C D

là

V = \frac{1}{3} . S H . S_{A B C D} = \frac{a^{3} \sqrt{15}}{6}

.

Chọn đáp án B

Câu 24:

Từ một hộp đựng 5 quả cầu màu đỏ, 8 quả cầu màu xanh và 7 quả cầu màu trắng, chọn ngẫu nhiên 4 quả cầu. Tính xác suất để 4 quả cầu được chọn có đúng 2 quả cầu màu đỏ.

A. $\frac{253}{323}$

B. $\frac{70}{323}$

C. $\frac{112}{969}$

D. $\frac{857}{969}$

Xem đáp án

Chọn 4 quả cầu trong 20 quả cầu có

C_{20}^{4}

.
Chọn 2 quả cầu đỏ trong 5 quả cầu có

C_{5}^{2}

.
Chọn 2 quả cầu trong 15 quả cầu (gồm 8 quả cầu màu xanh và 7 quả cầu màu trắng) có

C_{15}^{2}

.
Số cách chọn 4 quả cầu có đúng 2 quả cầu màu đỏ là

C_{5}^{2} C_{15}^{2}

.
Xác suất để 4 quả cầu được chọn có đúng 2 quả cầu màu đỏ là

\frac{C_{5}^{2} C_{15}^{2}}{C_{20}^{4}} = \frac{70}{323}

.

Chọn đáp án B

Câu 25:

Cho biết

\int_{0}^{\frac{π}{2}} (4 - \sin x) d x = a π + b

với

a, b

là các số nguyên. Giá trị của biểu thức

a + b

bằng

A. 1

B. -4

C. 6

D. 3

Xem đáp án

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} (4 - \sin x) d x = (4 x + \cos x) |\begin{array}{l} \frac{π}{2} \\ 0 \end{array} = (2 π + \cos \frac{π}{2}) - (0 + \cos 0) = 2 π - 1 \Rightarrow a π + b = 2 π - 1 \Rightarrow \{\begin{cases} a = 2 \\ b = - 1 \end{cases} \Rightarrow a + b = 1$

Chọn đáp án A

Câu 26:

Biết

F (x)

là một nguyên hàm của hàm số

f (x) = e^{- x} + \sin x

thỏa mãn

F (0) = 0

. Tìm

F (x)

A. $F (x) = - e^{- x} + \cos x$

B. $F (x) = e^{- x} + \cos x - 2$

C. $F (x) = - e^{- x} - \cos x + 2$

D. $F (x) = - e^{- x} + \cos x + 2$

Xem đáp án

F (x) = \int f (x) d x = \int (e^{- x} + \sin x) d x = - \int e^{- x} d (- x) + \int \sin x d x = - e^{- x} - \cos x + C

F (0) = 0 \Leftrightarrow - 1 - 1 + C = 0 \Leftrightarrow C = 2

.
Vậy

F (x) = - e^{- x} - \cos x + 2

.

Chọn đáp án C

Câu 27:

Tập nghiệm của bất phương trình

\log_{3} (x^{2} - 8 x) < 2

là

A. $(- \infty; - 1)$

B. $(- 1; 0) \cup (8; 9)$

C. $(- 1; 9)$

D. $(- \infty; - 1) \cup (9; + \infty)$

Xem đáp án

Bất phương trình

\Leftrightarrow \{\begin{cases} x^{2} - 8 x > 0 \\ x^{2} - 8 x < 3^{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x^{2} - 8 x > 0 \\ x^{2} - 8 x - 9 < 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} [\begin{array}{l} x > 8 \\ x < 0 \end{array} \\ - 1 < x < 9 \end{cases} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} - 1 < x < 0 \\ 8 < x < 9 \end{array}

Vậy tập nghiệm:

S = (- 1; 0) \cup (8; 9)

.

Chọn đáp án B

Câu 28:

Tìm nghiệm của phương trình

\log_{3} (x - 9) = 3

.

A. $x = 27$

B. $x = 36$

C. $x = 9$

D. $x = 18$

Xem đáp án

Điều kiện:

x > 9

.
Ta có

\log_{3} (x - 9) = 3 \Leftrightarrow x - 9 = 27 \Leftrightarrow x = 36

.

Chọn đáp án B

Câu 29:

Trong không gian Oxyz, cho điểm

I (1; - 2; 3)

. Phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với trục Oy là

A. ${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = \sqrt{10}$

B. ${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 10$

C. ${(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 3)}^{2} = \sqrt{10}$

D. ${(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 3)}^{2} = 10$

Xem đáp án

Giả sử: H là hình chiếu vuông góc của I lên trục

O y \Rightarrow H (0; - 2; 0)

.
R là bán kính mặt cầu tâm I và tiếp xúc với trục

O y \Rightarrow R = I H = \sqrt{10}

.

\Rightarrow

Phương trình mặt cầu là:

{(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 10

Chọn đáp án B

Câu 30:

Tìm phần thực của số phức z thỏa mãn:

(5 - i) z = 7 - 17 i

A. -3

B. 2

C. -2

D. 3

Xem đáp án

(5 - i) z = 7 - 17 i \Rightarrow z = \frac{7 - 17 i}{5 - i} = 2 - 3 i

. Vậy phần thực của số phức z bằng 2.

Chọn đáp án B

Câu 31:

Hàm số

y = \frac{x + 1}{x - 1}

nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(1; 2)$

B. $(- \infty; + \infty)$

C. $(- \infty; 2)$

D. $(- 1; + \infty)$

Xem đáp án

Hàm số có tập xác định

D = ℝ \ \{1\}

.
Ta có

y = \frac{x + 1}{x - 1} \Rightarrow y^{'} = \frac{- 2}{{(x - 1)}^{2}} < 0

,

\forall x \in ℝ

.
Suy ra hàm số nghịch biến trên các khoảng

(- \infty; 1)

và

(1; + \infty)

.
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng

(1; 2)

.

Chọn đáp án A

Câu 32:

Cho hình hộp

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

có đáy

A B C D

là hình chữ nhật với

A B = a

,

A D = a \sqrt{3}

. Hình chiếu vuông góc của A' lên

(A B C D)

trùng với giao điểm của

A C

và

B D

. Khoảng cách từ B' đến mặt phẳng

(A^{'} B D)

là

A. $\frac{a}{2}$

B. $a \sqrt{3}$

C. $\frac{a \sqrt{3}}{6}$

D. $\frac{a \sqrt{3}}{2}$

Xem đáp án

Gọi I là giao điểm của AC và BD.
Dựng

A H ⊥ B D

.
Ta có:

A^{'} I ⊥ (A B C D)

mà

A H \subset (A B C D)

nên

A^{'} I ⊥ A H

.
Từ đó ta được

A H ⊥ (A^{'} B D)

.
Suy ra

d (B^{'}, (A^{'} B D)) = d (A, (A^{'} B D)) = A H

.
Xét

Δ A B D

vuông tại A:

\frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{A B^{2}} + \frac{1}{A D^{2}} \Rightarrow A H = \sqrt{\frac{A B^{2} . A D^{2}}{A B^{2} + A D^{2}}} = \frac{a \sqrt{3}}{2}

Vậy

d (B^{'}, (A^{'} B D)) = A H = \frac{a \sqrt{3}}{2}

.

Chọn đáp án D

Câu 33:

Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thoi tâm O và

S O ⊥ (A B C D)

,

S O = \frac{a \sqrt{6}}{3}

,

B C = S B = a

.Số đo góc giữa hai mặt phẳng

(S B C)

và

(S C D)

là:

A. $30^{0}$

B. $45^{0}$

C. $90^{0}$

D. $60^{0}$

Xem đáp án

Theo bài ra ta có

O B = \sqrt{S B^{2} - S O^{2}} = \sqrt{a^{2} - \frac{6 a^{2}}{9}} = \frac{\sqrt{3} a}{3}

và

O A = \sqrt{A B^{2} - O B^{2}} = \sqrt{a^{2} - \frac{3 a^{2}}{9}} = \frac{a \sqrt{6}}{3}

.

Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thoi tâm O và SO vuông góc với ABCD (ảnh 1)

Chọn hệ trục Oxyz, với

O (0; 0; 0)

,

A (\frac{a \sqrt{6}}{3}; 0; 0),

B (0; \frac{a \sqrt{3}}{3}; 0)

,

S (0; 0; \frac{a \sqrt{6}}{3})

,

C (- \frac{a \sqrt{6}}{3}; 0; 0)

,

D (0; - \frac{a \sqrt{3}}{3}; 0)

.
Phương trình mặt phẳng

(S B C)

có vectơ pháp tuyến là

\vec{n} = (- 1; \sqrt{2}; 1)

và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

(S C D)

là

\vec{n}' = (- 1; - \sqrt{2}; 1)

.
Gọi là góc giữa hai mặt phẳng

(S B C)

và

(S C D)

ta có:

c o s φ = |c o s (\vec{n}, \vec{n'})| = \frac{|1 - 2 + 1|}{\sqrt{{(- 1)}^{2} + {(\sqrt{2})}^{2} + 1^{1}} . \sqrt{{(- 1)}^{2} + {(- \sqrt{2})}^{2} + 1^{1}}} = 0

Suy ra góc

φ = 90^{0}

Vậy góc giữa hai mặt phẳng

(S B C)

và

(S C D)

là

90^{0}

Chọn đáp án C

Câu 34:

Tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số

y = \frac{2 x - 3}{1 - x}

với trục tung là

A. $(\frac{3}{2}; 0)$

B. $(0; - 3)$

C. $(0; \frac{3}{2})$

D. $(- 3; 0)$

Xem đáp án

Cho

x = 0 \Rightarrow y = - 3

.
Vậy tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là

(0; - 3)

.

Chọn đáp án B

Câu 35:

Cho hàm số

y = f (x)

liên tục trên đoạn

[- 2; 6]

, có đồ thị như hình vẽ. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của

f (x)

trên miền

[- 2; 6]

. Tính giá trị của biểu thức

T = 2 M + 3 m

.

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [-2;6] , có đồ thị như hình vẽ (ảnh 1)

A. -2

B. 16

C. 0

D. 7

Xem đáp án

Nhìn vào đồ thị ta thấy:

f (x)

đạt giá trị lớn nhất trên miền

[- 2; 6]

là

M = 6

,

f (x)

đạt giá trị lớn nhất trên miền

[- 2; 6]

là

m = - 4

.
Do đó,

T = 2 M + 3 m = 2.6 + 3. (- 4) = 0

.

Chọn đáp án C

Câu 36:

Cho số phức

z = a + b i

(

a, b \in R

) thỏa mãn

2 z - 3 i . \bar{z} + 6 + i = 0

. Tính

S = a - b .

A. $S = 7$

B. $S = 1$

C. $S = - 1$

D. $S = - 4$

Xem đáp án

Có

z = a + b i \Rightarrow \bar{z} = a - b i

(

a, b \in R

).
Từ

2 z - 3 i . \bar{z} + 6 + i = 0

suy ra:

2 (a + b i) - 3 i (a - b i) + 6 + i = 0

\Leftrightarrow 2 a + 2 b i - 3 a i - 3 b + 6 + i = 0 \Leftrightarrow 2 a - 3 b + 6 + (2 b - 3 a + 1) i = 0

\Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 a - 3 b = - 6 \\ 3 a - 2 b = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 3 \\ b = 4 \end{cases}

.
Vậy

S = a - b = - 1

.

Chọn đáp án C

Câu 37:

Cho

\log_{5} 7 = a

và

\log_{5} 4 = b .

Biểu diễn

\log_{5} 560

dưới dạng

\log_{5} 560 = m . a + n . b + p,

với

m, n, p

là các số nguyên. Tính

S = m + n . p .

A. $S = 5.$

B. $S = 4.$

C. $S = 2.$

D. $S = 3$

Xem đáp án

Ta có

\log_{5} 560 = \log_{5} {7.4}^{2} .5 = \log_{5} 7 + 2 \log_{5} 4 + 1 = a + 2 b + 1

m = 1, n = 2, p = 1 \Rightarrow S = 3

Chọn đáp án D

Câu 38:

Cho hai số thực

x, y

thỏa mãn

2 x + 1 + (1 - 2 y) i = 2 (2 - i) + y i - x

với i là đơn vị ảo. Khi đó giá trị của

x^{2} - 3 x y - y

bằng

A. -1

B. -3

C. 1

D. -2

Xem đáp án

Ta có

2 x + 1 + (1 - 2 y) i = 2 (2 - i) + y i - x \Leftrightarrow 2 x + 1 + (1 - 2 y) i = 4 - x + (y - 2) i

\Leftrightarrow \{\begin{matrix} 2 x + 1 = 4 - x \\ 1 - 2 y = y - 2 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} x = 1 \\ y = 1 \end{matrix}

.
Thay

\{\begin{matrix} x = 1 \\ y = 1 \end{matrix}

vào ta có

x^{2} - 3 x y - y = - 3

.

Chọn đáp án B

Câu 39:

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để tập nghiệm của bất phương trình

(3^{x + 2} - \sqrt{3}) (3^{x} - 2 m) < 0

chứa không quá 9 số nguyên?

A. 3279

B. 3281

C. 3283

D. 3280

Xem đáp án

Do m là số nguyên dương nên 2m >1 =>

\log_{3} 2 m > 0

.

3^{x + 2} - \sqrt{3} = 0 \Leftrightarrow 3^{x + 2} = 3^{\frac{1}{2}} \Leftrightarrow x = - \frac{3}{2}

3^{x} - 2 m = 0 \Leftrightarrow x = \log_{3} 2 m

.
Lập bảng biến thiên, ta kết luận: tập nghiệm bất phương trình này là

(- \frac{3}{2}; \log_{3} 2 m)

Suy ra,

\log_{3} 2 m \leq 8 \Leftrightarrow 2 m \leq 3^{8} \Leftrightarrow m \leq \frac{6561}{2} = 3280.5

Chọn đáp án D

Câu 40:

Cho S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) của hàm số

y = x \sqrt{1 + x^{2}}

, trục hoành, trục tung và đường thẳng

x = 1

. Biết

S = a \sqrt{2} + b (a, b \in ℚ) .

Tính

a + b .

A. $a + b = \frac{1}{3}$

B. $a + b = 0$

C. $a + b = \frac{1}{6}$

D. $a + b = \frac{1}{2}$

Xem đáp án

Ta có trục tung có phương trình là:

x = 0

.
Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) của hàm số

y = x \sqrt{1 + x^{2}}

, trục hoành, trục tung và đường thẳng

x = 1

là

S = \int_{0}^{1} x \sqrt{1 + x^{2}} d x

.
Mặt khác

S = \int_{0}^{1} x \sqrt{1 + x^{2}} d x = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \sqrt{1 + x^{2}} d (1 + x^{2}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} |\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} = \frac{1}{3} \cdot (1 + x^{2}) \sqrt{1 + x^{2}} |\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} = \frac{2 \sqrt{2}}{3} - \frac{1}{3} \cdot

Biết

S = a \sqrt{2} + b (a, b \in ℚ)

nên

a = \frac{2}{3}

và

b = - \frac{1}{3} \cdot

Vậy

a + b = \frac{1}{3} \cdot

Chọn đáp án A

Câu 41:

Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng

d_{1}, d_{2}

và mặt phẳng

(α)

có phương trình

d_{1} : \{\begin{cases} x = 1 + 3 t \\ y = 2 + t \\ z = - 1 + 2 t \end{cases}, d_{2} : \frac{x - 2}{- 3} = \frac{y}{2} = \frac{z - 4}{- 2}, (α) : x + y - z - 2 = 0

Phương trình đường thẳng

Δ

nằm trong mặt phẳng

(α)

, cắt cả hai đường thẳng

d_{1}

và

d_{2}

là

A. $\frac{x - 2}{- 8} = \frac{y + 1}{7} = \frac{z - 3}{1}$

B. $\frac{x - 2}{- 8} = \frac{y + 1}{7} = \frac{z - 3}{- 1}$

C. $\frac{x + 2}{8} = \frac{y - 1}{7} = \frac{z + 3}{- 1}$

D. $\frac{x + 2}{8} = \frac{y - 1}{- 7} = \frac{z + 3}{1}$

Xem đáp án

Gọi

A = d_{1} \cap (α) \Rightarrow A (- 2; 1; - 3), B = d_{2} \cap (α) \Rightarrow B (- 10; 8; - 4)

.
Do đường thẳng

Δ

nằm trong mặt phẳng

(α)

, cắt cả hai đường thẳng

d_{1}

và

d_{2}

nên

Δ

đi qua A và B. Khi đó

\vec{A B} = (- 8; 7; - 1) = - (8; - 7; 1)

.
Vậy

Δ : \frac{x + 2}{8} = \frac{y - 1}{- 7} = \frac{z + 3}{1}

.

Chọn đáp án D

Câu 42:

Cho hàm số

f (x) = x^{4}

. Hàm số

g (x) = f' (x) - 3 x^{2} - 6 x + 1

đạt cực tiểu, cực đại lần lượt tại . Tính

m = g (x_{1}) g (x_{2})

A. $m = - 11$

B. $m = \frac{- 371}{16}$

C. $m = \frac{1}{16}$

D. $m = 0$

Xem đáp án

Theo bài ra ta có

f' (x) = 4 x^{3}

.
Suy ra

g (x) = 4 x^{3} - 3 x^{2} - 6 x + 1

.
Suy ra

g' (x) = 12 x^{2} - 6 x - 6 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x_{1} = 1 \\ x_{2} = - \frac{1}{2} \end{array}

Đồ thị hàm số lên - xuống – lên.
Hàm số

g (x) = f' (x) - 3 x^{2} - 6 x + 1

đạt cực tiểu, cực đại lần lượt tại

x_{1} = 1, x_{2} = - \frac{1}{2}

Suy ra

m = g (1) . g (2) = (4 - 3 - 6 + 1) [4. {(\frac{- 1}{2})}^{3} - 3. {(\frac{- 1}{2})}^{2} - 6. (\frac{- 1}{2}) + 1] = - 11

.

Chọn đáp án A

Câu 43:

Cho lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a cạnh bên bằng b. Thể tích của khối cầu đi qua các đỉnh của lăng trụ bằng

A. $\frac{π}{18 \sqrt{3}} \sqrt{{(4 a^{2} + b^{2})}^{3}}$

B. $\frac{π}{18 \sqrt{2}} \sqrt{{(4 a^{2} + 3 b^{2})}^{3}}$

C. $\frac{π}{18 \sqrt{3}} \sqrt{{(4 a^{2} + 3 b^{2})}^{3}} .$

D. $\frac{1}{18 \sqrt{3}} \sqrt{{(4 a^{2} + 3 b^{2})}^{3}}$

Xem đáp án

Xét lăng trụ tam giác đều

A B C . A' B' C'

. Gọi

E, E'

lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác

A B C, A' B' C'

, M là trung điểm BC và I là trung điểm

E E'

. Do hình lăng trụ đều nên

E E'

là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác

A B C, A' B' C'

\Rightarrow I

là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ, IA là bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ.

A E = \frac{a \sqrt{3}}{3}, I E = \frac{b}{2} \Rightarrow R = I A = \sqrt{A E^{2} + I E^{2}} = \sqrt{\frac{4 a^{2} + 3 b^{2}}{12}} .

Thể tích khối cầu là

V = \frac{4}{3} π R^{3} = \frac{4}{3} π {(\sqrt{\frac{4 a^{2} + 3 b^{2}}{12}})}^{3} = \frac{π}{18 \sqrt{3}} \sqrt{{(4 a^{2} + 3 b^{2})}^{3}} .

Chọn đáp án C

Câu 44:

Cho hàm số

f (x)

thỏa mãn

f (1) = 3

và

x (4 - f' (x)) = f (x) - 1

với mọi

x > 0

. Tính

f (2)

.

A. 5

B. 2

C. 3

D. 6

Xem đáp án

Từ giả thiết

x (4 - f' (x)) = f (x) - 1 \Rightarrow x . f^{'} (x) + f (x) = 4 x + 1 \Leftrightarrow {[x f (x)]}^{'} = 4 x + 1

.

\Rightarrow \int_{1}^{2} {[x f (x)]}^{'} d x = \int_{1}^{2} (4 x + 1) d x \Leftrightarrow {x f (x)|}_{1}^{2} = {(2 x^{2} + x)|}_{1}^{2}

.

\Leftrightarrow 2 f (2) - f (1) = 7 \Rightarrow f (2) = \frac{7 + f (1)}{2} = \frac{7 + 3}{2} = 5

.

Chọn đáp án A

Câu 45:

Ông An có một khu vườn giới hạn bởi đường parabol và đường thẳng. Nếu đặt trong hệ tọa độ Oxy như hình vẽ thì parabol có phương trình

y = x^{2}

và đường thẳng là

y = 25

. Ông An dự định dung một mảnh vườn nhỏ được chia từ khu vườn bởi đường thẳng đi qua điểm O và M trên parabol để trồng một loại hoa. Hãy giúp ông An xác định điểm M bằng cách tính độ dài OM để diện tích mảnh vườn nhỏ bằng

\frac{9}{2}

.

Ông An có một khu vườn giới hạn bởi đường parabol và đường thẳng (ảnh 1)

A. $O M = 10$

B. $O M = 2 \sqrt{5}$

C. $O M = 15$

D. $O M = 3 \sqrt{10}$

Xem đáp án

Do parabol có tính đối xứng qua trục tung nên ta có thể giả sử

M (a; a^{2}) (0 < a < 5)

.
Suy ra pt đường thẳng

y = a x

.
Từ đồ thị, ta có diện tích mảnh vườn trồng hoa:

S = \int_{0}^{a} (a x - x^{2}) d x

{(\frac{a x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{3})|}_{0}^{a} = \frac{9}{2} \Leftrightarrow \frac{a^{3}}{6} = \frac{9}{2} \Leftrightarrow a = 3 \Rightarrow M (3; 9)

\Rightarrow O M = \sqrt{M H^{2} + O H^{2}} = \sqrt{3^{2} + 9^{2}} = 3 \sqrt{10}

Chọn đáp án D

Câu 46:

Cho hàm số

f (x)

. Biết

f (0) = 4

và

f^{'} (x) = 2 \sin^{2} x + 1, \forall x \in ℝ

, khi đó

\int_{0}^{\frac{π}{4}} f (x) d x

bằng

A. $\frac{π^{2} - 4}{16} .$

B. $\frac{π^{2} + 15 π}{16} .$

C. $\frac{π^{2} + 16 π - 16}{16} .$

D. $\frac{π^{2} + 16 π - 4}{16} .$

Xem đáp án

Ta có

\int f^{'} (x) d x = \int (2 \sin^{2} x + 1) d x = \int (2 - \cos 2 x) d x = 2 x - \frac{1}{2} \sin 2 x + C .

Suy ra

f (x) = 2 x - \frac{1}{2} \sin 2 x + C .

Vì

f (0) = 4 \Rightarrow C = 4

hay

f (x) = 2 x - \frac{1}{2} \sin 2 x + 4.

Khi đó:

\int_{0}^{\frac{π}{4}} f (x) d x = \int_{0}^{\frac{π}{4}} (2 x - \frac{1}{2} \sin 2 x + 4) d x

= (x^{2} + \frac{1}{4} \cos 2 x + 4 x) |\begin{array}{l} \frac{π}{4} \\ 0 \end{array} = \frac{π^{2}}{16} + π - \frac{1}{4} = \frac{π^{2} + 16 π - 4}{16} .

Chọn đáp án D

Câu 47:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

(S_{m}) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - m)}^{2} = \frac{m^{2}}{4}

và hai điểm

A (2; 3; 5)

,

B (1; 2; 4)

. Tìm giá trị nhỏ nhất của m để trên

(S_{m})

tồn tại điểm M sao cho

M A^{2} - M B^{2} = 9

.

A. $m = 8 - 4 \sqrt{3}$

B. $m = \frac{4 - \sqrt{3}}{2}$

C. $m = 1$

D. $m = 3 - \sqrt{3}$

Xem đáp án

Gọi

M (x; y; z)

, suy ra

M A^{2} - M B^{2} = 9 \Leftrightarrow {(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} + {(z - 5)}^{2} - [{(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 4)}^{2}] = 9

\Leftrightarrow x + y + z - 4 = 0

Suy ra: Tập các điểm

M (x; y; z)

thỏa mãn

M A^{2} - M B^{2} = 9

là mặt phẳng

(P) : x + y + z - 4 = 0

Trên

(S_{m})

tồn tại điểm M sao cho

M A^{2} - M B^{2} = 9

khi và chỉ khi

(S_{m})

và (P) có điểm chung

\Leftrightarrow d (I; (P)) \leq R \Leftrightarrow \frac{|1 + 1 + m - 4|}{\sqrt{1 + 1 + 1}} \leq \frac{|m|}{2} \Leftrightarrow 2 |m - 2| \leq \sqrt{3} |m|

\Leftrightarrow m^{2} - 16 m + 16 \leq 0 \Leftrightarrow 8 - 4 \sqrt{3} \leq m \leq 8 + 4 \sqrt{3}

Vậy giá trị nhỏ nhất của m là

8 - 4 \sqrt{3}

.

Chọn đáp án A

Câu 48:

Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình

3^{x - 3 + \sqrt[3]{m - 3 x}} + (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x + m) {.3}^{x - 3} = 3^{x} + 1

có nghiệm phân biệt bằng:

A. 38

B. 34

C. 27

D. 45

Xem đáp án

Ta có

3^{x - 3 + \sqrt[3]{m - 3 x}} + (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x + m) {.3}^{x - 3} = 3^{x} + 1 \Leftrightarrow 3^{\sqrt[3]{m - 3 x}} + (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x + m) = \frac{3^{x} + 1}{3^{x - 3}}

\Leftrightarrow 3^{\sqrt[3]{m - 3 x}} + {(x - 3)}^{3} + m - 3 x = 3^{3 - x} \Leftrightarrow 3^{\sqrt[3]{m - 3 x}} + (m - 3 x) = 3^{3 - x} + {(3 - x)}^{3}

(1).
Xét hàm số

f (t) = 3^{t} + t^{3}

với

t \in ℝ

, ta có:

f' (t) = 3^{t} \ln 3 + 3 t^{2} > 0, \forall t \in ℝ

.
Suy ra hàm số luôn đồng biến trên R.
Khi đó (1)

\Leftrightarrow f (\sqrt[3]{m - 3 x}) = f (3 - x) \Leftrightarrow \sqrt[3]{m - 3 x} = 3 - x \Leftrightarrow m = - x^{3} + 9 x^{2} - 24 x + 27

.
Pt đã cho có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi pt (2) có 3 nghiệm phân biệt.
Xét hàm số

y = - x^{3} + 9 x^{2} - 24 x + 27

có

y' = - 3 x^{2} + 18 x - 24 \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 \\ x = 4 \end{array}

.
BBT

Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m (ảnh 1)

Từ bbt suy ra pt(2) có 3 nghiệm phân biệt khi

7 < m < 11

. Vì

m \in ℤ

nên

m \in \{8, 9, 10\}

Suy ra :

\sum m = 27

.

Chọn đáp án C

Câu 49:

Cho hai số phức

z_{1}, z_{2}

thỏa mãn

|z_{1} + 6| = 5, |z_{2} + 2 - 3 i| = |z_{2} - 2 - 6 i|

. Giá trị nhỏ nhất của

|z_{1} - z_{2}|

bằng

A. $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

B. $\frac{3}{2}$

C. $\frac{7 \sqrt{2}}{2}$

D. $\frac{5}{2}$

Xem đáp án

Gọi

z_{1} = x_{1} + y_{1} i, z_{2} = x_{2} + y_{2} i

, với

x_{1}, y_{1}, x_{2}, y_{2} \in ℝ

.
Do

|z_{1} + 6| = 5 \Rightarrow |x_{1} + 6 + y_{1} i| = 5 \Rightarrow \sqrt{{(x_{1} + 6)}^{2} + {y_{1}}^{2}} = 5 \Leftrightarrow {(x_{1} + 6)}^{2} + {y_{1}}^{2} = 25

Điểm

M_{1} (x_{1}; y_{1})

biểu diễn số phức

z_{1}

thuộc đường tròn

(C) : {(x + 6)}^{2} + y^{2} = 25

.
Do

|z_{2} + 2 - 3 i| = |z_{2} - 2 - 6 i| \Rightarrow |x_{2} + 2 + (y_{2} - 3) i| = |x_{2} - 2 + (y_{2} - 6) i|

\Leftrightarrow \sqrt{{(x_{2} + 2)}^{2} + {(y_{2} - 3)}^{2}} = \sqrt{{(x_{2} - 2)}^{2} + {(y_{2} - 6)}^{2}}

\Leftrightarrow {(x_{2} + 2)}^{2} + {(y_{2} - 3)}^{2} = {(x_{2} - 2)}^{2} + {(y_{2} - 6)}^{2}

\Leftrightarrow 8 x_{2} + 6 y_{2} - 27 = 0

Điểm

M_{2} (x_{2}; y_{2})

biểu diễn số phức

z_{2}

thuộc đường thẳng

d : 8 x + 6 y - 27 = 0

\Rightarrow |z_{1} - z_{2}| = |x_{1} - x_{2} + (y_{1} - y_{2}) i| = \sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}} = |\vec{M_{2} M_{1}}| = M_{1} M_{2}

Đường tròn (C) có tâm

I (- 6; 0)

, bán kính

R = 5

. Ta có

d (I, d) = \frac{|8. (- 6) + 6.0 - 27|}{\sqrt{8^{2} + 6^{2}}} = \frac{15}{2}

\Rightarrow

d và (C) không có điểm chung.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên d, A là giao điểm của đoạn IH và (C)

\Rightarrow A H = I H - R = d (I, d) - R = \frac{5}{2}

(hình vẽ).

Cho hai số phức z1,z2 thỏa mãn |z1+6|=5, |z2+2-3i|=|z2-2-6i| . (ảnh 1)

Nhận xét: với mọi điểm

M_{1} \in (C)

,

M_{2} \in d

thì

M_{1} M_{2} \geq A H

.

\Rightarrow |z_{1} - z_{2}| = M_{1} M_{2}

đạt giá trị nhỏ nhất bằng

\frac{5}{2}

(bằng AH khi

M_{1} \equiv A, M_{2} \equiv H

).

Chọn đáp án D

Câu 50:

Cho hàm số

y = f (x)

có bảng biến thiên như sau

Hỏi đồ thị hàm số

g (x) = |f (x - 2018) + 2019|

có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 2

B. 5

C. 4

D. 3

Xem đáp án

Ta có bảng biến thiên của các hàm số

f (x - 2018), f (x - 2018) + 2019, |f (x - 2018) + 2019|

như sau:

Dựa vào bảng biến thiên, đồ thị hàm số

y = |f (x - 2018) + 2019|

có 5 điểm cực trị.

Chọn đáp án B