50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề số 4

Câu 1:

Trong một hộp bút gồm có 8 cây bút bi, 6 cây bút chì và 10 cây bút màu. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một cây bút từ hộp bút đó?

A. 48

B. 60

C. 480

D. 24

Xem đáp án

Áp dụng quy tắc cộng:

Số cách chọn ra một cây bút từ hộp bút đó là 8+6+10+24

Chọn đáp án D

Câu 2:

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ với $u_{9} = 5 u_{2}$ và $u_{13} = 2 u_{6} + 5.$ Khi đó số hạng đầu $u_{1}$ và công sai d bằng

A. $u_{1} = 4 v à d = 5$

B. $u_{1} = 3 v à d = 4$

C. $u_{1} = 4 v à d = 3$

D. $u_{1} = 3 v à d = 5$

Xem đáp án

Ta có

\{\begin{cases} u_{9} = 5 u_{2} \\ u_{13} = 2 u_{6} + 5 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} u_{1} + 8 d = 5 (u_{1} + d) \\ u_{1} + 12 d = 2 (u_{1} + 5 d) + 5 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 4 u_{1} - 3 d = 0 \\ u_{1} - 2 d = - 5 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} u_{1} = 3 \\ d = 4 \end{cases}

\

Chọn đáp án B

Câu 3:

Cho hàm số $y = f (x)$ có bảng biến thiên như sau

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (0;1)

B. (-1;0)

C. (-1;1)

D. $(1; + \infty)$

Xem đáp án

Theo bảng biến thiên

Chọn đáp án A

Câu 4:

Cho hàm số $y = f (x)$ có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm

A. $x = - 2$

B. $x = 2$

C. $x = 1$

D. $x = - 1$

Xem đáp án

Dựa vào bảng biến thiên chọn B

Câu 5:

Cho hàm số f(x), bảng xét dấu của f '(x) như sau:

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

A. 1

B. 3

C. 2

D. 4

Xem đáp án

Dựa vào bảng xét dấu f '(x) ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại x = -1; x = 1 và đạt cực đại

tại x = 0

Vậy hàm số có 3 cực trị

Chọn đáp án B

Câu 6:

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

y = \frac{3 x + 2}{x - 1}

là

A. $y = - 2$

B. $y = 3$

C. $x = - 2$

D. $x = 3$

Xem đáp án

Ta có TCN:

y = \frac{a}{c} = 3

chọn B

Câu 7:

Hàm số nào dưới đây có đồ thị như hình vẽ bên dưới?

A. $y = - x^{3} + 2 x - 2$

B. $y = x^{4} + 2 x^{2} - 2$

C. $y = - x^{4} + 2 x^{2} - 2$

D. $y = - x^{3} + 2 x + 2$

Xem đáp án

Dựa vào đồ thị ta thấy đây là hàm bậc ba nên loại câu B,C

Mặt khác giao điểm của đồ thị với trục tung tại điểm có tung độ âm nên loại câu D.

Câu 8:

Cho hàm số bậc bốn

y = f (x)

có đồ thị như hình vẽ

Số nghiệm của phương trình $f (x) = - 1$ là:

A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

Xem đáp án

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hai hàm số:

y= f(x) và y= -1. Suy ra số nghiệm là 4

Chọn đáp án A

Câu 9:

Cho a, b là hai số dương bất kì. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. $\ln a^{b} = b \ln a$

B. $\ln (a b) = \ln a . \ln b$

C. $\ln (a + b) = \ln a + \ln b$

D. $\ln \frac{a}{b} = \frac{\ln a}{\ln b}$

Xem đáp án

Áp dụng công thức logarit của lũy thừa

\ln a^{α} = α \ln a .

Chọn đáp án A

Câu 10:

Cho hàm số

y = 3^{x + 1}

. Đẳng thức nào sau đây đúng?

A. $y^{'} (1) = \frac{9}{\ln 3}$

B. $y^{'} (1) = 3 \ln 3$

C. $y^{'} (1) = 9 \ln 3$

D. $y^{'} (1) = \frac{3}{\ln 3}$

Xem đáp án

Ta có

y^{'} = 3^{x + 1} \ln 3

nên

y^{'} (1) = 9 \ln 3

Chọn đáp án C

Câu 11:

Với a là số thực dương tùy ý,

\sqrt{a^{5}}

bằng

A. $a^{5}$

B. $a^{\frac{5}{2}}$

C. $a^{\frac{2}{5}}$

D. $a^{\frac{1}{10}}$

Xem đáp án

$\sqrt[n]{a^{m}} = a^{\frac{m}{n}}$ nên $\sqrt{a^{5}} = a^{\frac{5}{2}}$

Chọn đáp án B

Câu 12:

Tìm nghiệm của phương trình

\log_{25} (x + 1) = \frac{1}{2}

A. $x = 4$

B. $x = 6$

C. $x = 24$

D. $x = 0$

Xem đáp án

Điều kiện x > -1. Có

\log_{25} (x + 1) = \frac{1}{2} \Rightarrow x + 1 = 5 \Leftrightarrow x = 4.

Thỏa mãn điều kiện

Chọn đáp án A

Câu 13:

Nghiệm của phương trình

\log_{3} (x - 4) = 2

A. $x = 4$

B. $x = 13$

C. $x = 9$

D. $x = \frac{1}{2}$

Xem đáp án

ĐKXĐ:

x - 4 > 0 \Leftrightarrow x > 4

\log_{3} (x - 4) = 2 \Leftrightarrow x - 4 = 9 \Leftrightarrow x = 13

(thỏa mãn ĐKXĐ).

Chọn đáp án B

Câu 14:

Họ nguyên hàm của hàm số

f (x) = 3 x^{2} + 1

là

A. $6 x + C$

B. $\frac{x^{3}}{3} + x + C$

C. $x^{3} + x + C$

D. $x^{3} + C$

Xem đáp án

Ta có

\int f (x) d x = \int (3 x^{2} + 1) d x = \frac{3 x^{3}}{3} + x + C = x^{3} + x + C

Chọn đáp án C

Câu 15:

Biết $\int f (x) d x = e^{x} + \sin x + C$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $f (x) = e^{x} - \sin x$

B. $f (x) = e^{x} - \cos x$

C. $f (x) = e^{x} + \cos x$

D. $f (x) = e^{x} + \sin x$

Xem đáp án

Ta có:

\int f (x) d x = e^{x} + \sin x + C

\Rightarrow f (x) = {(e^{x} + \sin x + C)}^{'}

\Rightarrow f (x) = e^{x} + \cos x

Chọn đáp án C

Câu 16:

Cho hàm số

f (x)

liên tục trên

ℝ

và có

\int_{0}^{2} f (x) d x = 9; \int_{2}^{4} f (x) d x = 4

. Tính

I = \int_{0}^{4} f (x) d x

?

A. $I = \frac{9}{4}$

B. $I = 36$

C. $I = 13$

D. $I = 5$

Xem đáp án

Ta có

\int_{0}^{4} f (x) d x = \int_{0}^{2} f (x) d x + \int_{2}^{4} f (x) d x = 9 + 4 = 13

Chọn đáp án C

Câu 17:

Tích phân

\int_{0}^{3} (2 x + 1) d x

bằng

A. 6

B. 9

C. 12

D. 3

Xem đáp án

Ta có $\int_{0}^{3} (2 x + 1) d x = {(x^{2} + x)|}_{0}^{3} = 12$

Chọn đáp án C

Câu 18:

Cho $z_{1} = 4 - 2 i$ . Hãy tìm phần ảo của số phức $z_{2} = {(1 - 2 i)}^{2} + \bar{z_{1}}$

A. $- 6 i$

B. $- 2 i$

C. -2

D. -6

Xem đáp án

Ta có $z_{2} = {(1 - 2 i)}^{2} + \bar{z_{1}}$ $= - 3 - 4 i + 4 + 2 i$ $= 1 - 2 i$

Vậy phần ảo của số phức

z_{2}

là -2

Chọn đáp án C

Câu 19:

Cho hai số phức $z_{1} = 4 - 3 i$ và $z_{2} = 7 + 3 i$ . Tìm số phức $z = z_{1} - z_{2}$ .

A. $z = 11$

B. $z = 3 + 6 i$

C. $z = - 1 - 10 i$

D. z = $- 3 - 6 i$

Xem đáp án

$z = z_{1} - z_{2} = (4 - 3 i) - (7 + 3 i) = (4 - 7) + (- 3 i - 3 i) = - 3 - 6 i .$

Chọn đáp án D

Câu 20:

Cho số phức $z = x + y i (x, y \in ℝ)$ có phần thực khác 0. Biết số phức $w = i z^{2} + 2 \bar{z}$ là số

thuần ảo. Tập hợp các điểm biểu diễn của $z$ là một đường thẳng đi qua điểm nào dưới đây?

A. $M (0; 1)$

B. $N (2; - 1)$

C. $P (1; 3)$

D. $Q (1; 1)$

Xem đáp án

Ta có

z = x + y i (x, y \in ℝ; x \neq 0)

Mặt khác

w = i z^{2} + 2 \bar{z} = i {(x + y i)}^{2} + 2 (x - y i) = 2 (x - x y) + (x^{2} - y^{2} - 2 y) i

Vì

w

là số thuần ảo nên

x - x y = 0

\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ y - 1 = 0 \end{array}

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức

z

là đường thẳng có phương trình

y - 1 = 0

(trừ điểm

M (0; 1)

), do đó đường thẳng này đi qua điểm

Q (1; 1)

.

Chọn đáp án D

Câu 21:

Cho khối chóp có diện tích đáy B = 5 và chiều cao h = 6. Thể tích của khối chóp đã cho bằng

A. 10

B. 15

C. 30

D. 11

Xem đáp án

Thể tích của khối chóp đã cho là

Chọn đáp án A

Câu 22:

Tính thể tích khối hộp chữ nhật có các kích thước a,2a,3a.

A. $2 a^{3}$

B. $a^{3}$

C. $3 a^{3}$

D. $6 a^{3}$

Xem đáp án

Ta có V = a.2a.3a = $6 a^{3}$

Câu 23:

Cho khối nón có chiều cao h, bán kính đáy r. Thể tích khối nón đã cho bằng

A. $\frac{h π r^{2}}{3}$

B. $2 h π r^{2}$

C. $h π r^{2}$

D. $\frac{4 h π r^{2}}{3}$

Xem đáp án

Theo lý thuyết, thể tích khối nón là V =

\frac{h π r^{2}}{3}

Chọn đáp án A

Câu 24:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm $A (- 1; 0; 0)$ , $B (0; - 2; 0)$ và $C (0; 0; 3)$ . Mặt phẳng đi qua ba điểm $A, B, C$ có phương trình là

A. $\frac{x}{- 1} + \frac{y}{- 2} + \frac{z}{3} = - 1$

B. $(x + 1) + (y + 3) + (z - 3) = 0$

C. $\frac{x}{- 1} + \frac{y}{- 2} + \frac{z}{3} = 0$

D. $\frac{x}{- 1} + \frac{y}{- 2} + \frac{z}{3} = 1$

Xem đáp án

Mặt phẳng đi qua ba điểm

A (- 1; 0; 0)

,

B (0; - 2; 0)

và

C (0; 0; 3)

là mặt phẳng đoạn chắn

có phương trình là

\frac{x}{- 1} + \frac{y}{- 2} + \frac{z}{3} = 1

Câu 25:

Cho hình trụ có độ dài đường sinh bằng 4, bán kính đáy bằng 3. Diện xung quanh của hình trụ đã cho bằng

A. 36 $π$

B. 12 $π$

C. 48 $π$

D. 24 $π$

Xem đáp án

Diện xung quanh của hình trụ là Sxq =

2 π r l = 2 π .3.4 = 24 π

Chọn đáp án D

Câu 26:

Thể tích của khối cầu

(S)

có bán kính

R = \frac{\sqrt{3}}{2}

bằng

A. $4 \sqrt{3} π$

B. $π$

C. $\frac{\sqrt{3} π}{4}$

D. $\frac{\sqrt{3} π}{2}$

Xem đáp án

Ta có: thể tích khối cầu:

V = \frac{4}{3} π R^{3} = \frac{4}{3} π {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{3} = \frac{\sqrt{3} π}{2} .

Chọn đáp án D

Câu 27:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

(P) : x - 2 y + z - 5 = 0

. Điểm nào dưới đây thuộc (P)?

A. $Q (2; - 1; - 5)$

B. $P (0; 0; - 5)$

C. $N (- 5; 0; 0)$

D. $M (1; 1; 6)$

Xem đáp án

Đặt

f (x; y; z) = x - 2 y + z - 5.

Với phương án A: Ta có

$f (2; - 1; 5) = 2 - 2 (- 1) + 5 - 5 \neq 0$ nên điểm Q không thuộc mặt phẳng (P).

Với phương án B:

$f (0; 0; - 5) \neq 0$ nên điểm P (0;0;-5) không thuộc mặt phẳng (P).

Với phương án C:

$f (- 5; 0; 0) \neq 0$ nên điểm N (-5;0;0) không thuộc mặt phẳng (P)

Chọn đáp án D.

Câu 28:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng $(P) : 2 x + y - z - 1 = 0$ và $(Q) : x - 2 y - 5 = 0$ . Khi đó giao tuyến của $(P)$ và $(Q)$ có một vectơ chỉ phương là

A. $\vec{u} = (1; 3; 5)$

B. $\vec{u} = (- 1; 3; - 5)$

C. $\vec{u} = (2; 1; - 1)$

D. $\vec{u}$ = (1;-2;1)

Xem đáp án

Cách 1: Giao tuyến của (P) và (Q) là nghiệm của hệ phương trình:

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} 2 x + y - z - 1 = 0 \\ x - 2 y + z - 5 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x + y = z + 1 \\ x - 2 y = - z + 5 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{2 (z + 1) + (- z + 5)}{5} = \frac{z + 7}{5} \\ y = \frac{(z + 1) - 2 (- z + 5)}{5} = \frac{3 z - 9}{5} \end{cases} \\ \Rightarrow \frac{x - 2}{1} = \frac{y}{3} = \frac{z - 3}{5} \end{array}$

Do đó, đáp án đúng là A

Cách 2: $\vec{u_{d}} = [\vec{u_{p}}, \vec{u_{Q}}] = (1; 3; 5)$

Câu 29:

Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm 2 chữ số khác nhau lập từ {0;1;2;3;4;5;6} . Chọn ngẫu nhiên 2 số từ tập S . Xác suất để tích hai số chọn được là một số chẵn

A. $\frac{41}{42}$

B. $\frac{1}{42}$

C. $\frac{1}{6}$

D. $\frac{5}{6}$

Xem đáp án

Ta có điều kiện chủ chốt “tích hai số được chọn là một số chẵn” => Tồn tại ít nhất một trong hai số được chọn là chẵn.

Gọi $\vec{a b}$ là số tự nhiên có hai chữ số khác nhau được lập từ các số đã cho

Số cách chọn a : 6 cách; Số cách chọn b : 6 cách => Số các số có hai chữ số khác nhau tạo được là 6.6 = 36 số => có 36 phần tử.

Số cách lấy ngẫu nhiên 2 số từ tập S : $C_{36}^{2}$ = 630 cách

Gọi biến cố A: “Tích hai số được chọn là một số chẵn”

Gọi biến cố $\bar{A}$ : “Tích hai số được chọn là một số lẻ”

Số các số lẻ trong S : 3.5 = 15 ( cách chọn chữ số hàng đơn vị là lẻ, 5 cách chọn chữ số hang chục khác 0 ).

Số cách lấy ngẫu nhiên 2 số lẻ trong 15 số lẻ: $C_{15}^{2}$ = 105 cách

$P (\bar{A}) = \frac{| Ω_{\bar{A}} |}{| Ω |} = \frac{105}{630} = \frac{1}{6}$

Vậy (A)= 1 $- P (\bar{A}) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$

Chọn đáp án D

Câu 30:

Đồ thị sau đây là của hàm số nào ?

A. $\frac{2 x + 1}{x + 1}$

B. $\frac{x - 1}{x + 1}$

C. $\frac{x + 2}{x + 1}$

D. $\frac{x + 3}{1 - x}$

Xem đáp án

Nhận xét: Hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định

Ta loại phương án C

Tìm các tiệm cận thích hợp: x = -1, y = 2, do đó ta chọn

$y = \frac{2 x + 1}{x + 1}$

Chọn đáp án A

Câu 31:

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

y = f (x) = - x^{4} + 2 x^{2} - 3

trên đoạn [-2;0] là

A. $\underset{[- 2; 0]}{m a x} f (x) = - 2$ tại $x = - 1$

$\min_{[- 2; 0]} f (x) = - 11$ tại $x = - 2$

B. $\underset{[- 2; 0]}{m a x} f (x) = - 2$ tại $x = - 2$

$\min_{[- 2; 0]} f (x) = - 11$ tại $x = - 1$

C. $\underset{[- 2; 0]}{m a x} f (x) = - 2$ tại $x = - 1$

$\min_{[- 2; 0]} f (x) = - 3$ tại $x = 0$

D. $\underset{[- 2; 0]}{m a x} f (x) = - 3$ tại $x = 0$

$\min_{[- 2; 0]} f (x) = - 11$ tại $x = - 2$

Xem đáp án

Ta có $y' = - 4 x^{3} + 4 x, y' = 0$ có 3 nghiệm phân biệt $x = 0, x = 1, x = - 1$

$y (0) = - 3, y (- 1) = - 2, y (- 1) = - 2, y (- 2) = - 11$

So sánh ta chọn đáp án A

Câu 32:

Nghiệm của bất phương trình

3^{2 x + 1} > 3^{3 - x}

là

A. $x > \frac{3}{2}$

B. $x < \frac{2}{3}$

C. $x > - \frac{2}{3}$

D. $x > \frac{2}{3}$

Xem đáp án

$3^{2 x + 1} > 3^{3 - x} \Leftrightarrow 2 x + 1 > 3 - x \Leftrightarrow x > \frac{2}{3}$

Chọn đáp án D

Câu 33:

Nếu

\int_{1}^{3} f (x) d x = 8

thì

\int_{1}^{3} [\frac{1}{2} f (x) + 1] d x

bằng

A. 18

B. 6

C. 2

D. 8

Xem đáp án

$\int_{1}^{3} [\frac{1}{2} f (x) + 1] d x = \frac{1}{2} \int_{1}^{3} f (x) d x + \int_{1}^{3} d x = \frac{1}{2} .8 + 2 = 6$

Chọn đáp án B

Câu 34:

Cho hai số phức $z_{1} = 2 - 3 i,^{} z_{2} = 1 + i .$ Tìm số phức $z = z_{1} + z_{2}$ .

A. $z = 3 + 3 i$

B. $z = 3 + 2 i$

C. $z = 2 - 2 i$

D. $z = 3 - 2 i$

Xem đáp án

Ta có

z = z_{1} + z_{2} = (2 - 3 i) + (1 + i) = (2 + 1) + (- 3 + 1) i = 3 - 2 i .

Chọn đáp án D

Câu 35:

Cho hình chóp $S . A B C$ có đáy $A B C$ là tam giác vuông tại $B$ , $B C = a \sqrt{3}$ , $A C = 2 a$ .Cạnh bên $S A$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $S A = a \sqrt{3}$ . Góc giữa đường thẳng $S B$ và mặt phẳng đáy bằng

A. $45 °$

B. $30 °$

C. $60 °$

D. $90 °$

Xem đáp án

+ Ta có

(S B, (A B C)) = (S B, B A) = \hat{S B A} = φ

(Vì AB là hình chiếu của SB lên mặt phẳng (ABC))

+ Tính:

\tan φ = \frac{S A}{A B}

+ Tính:

A B = \sqrt{A C^{2} - B C^{2}} = \sqrt{{(2 a)}^{2} - {(a \sqrt{3})}^{2}} = \sqrt{a^{2}} = a

Suy ra:

\tan φ = \frac{S A}{A B} = \frac{a \sqrt{3}}{a} = \sqrt{3} \Rightarrow φ = 60^{°}

Vậy góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy bằng $60 °$ .

Chọn đáp án C

Câu 36:

Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng

(A B C),

S A = 2 a,

tam giác ABC vuông tại B,

A B = a \sqrt{3}

và

B C = a

(minh họa như hình vẽ bên). Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng

(A B C)

bằng

A. $90 ° .$

B. $45 ° .$

C. $30 ° .$

D. $60 ° .$

Xem đáp án

Ta có

S A ⊥ (A B C)

nên AC là hình chiếu của SC lên mặt phẳng (ABC).

Do đó

(S C, (A B C)) = (S C, A C) = \overset{⏜}{S C A}

. Tam giác ABC vuông tại B $A B = a \sqrt{3}$

và BC = a nên $A C = \sqrt{A B^{2} + B C^{2}} = \sqrt{4 a^{2}} = 2 a$

Do đó tam giác SAC vuông cân tại A nên

\overset{⏜}{S C A} = 45 °

Vậy (SC,(ABC))= $45 °$

Chọn đáp án B

Câu 37:

Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu $(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + z^{2} = 9$ Bán kính của mặt cầu đã cho bằng

A. 3

B. 9

C. $\sqrt{15}$

D. $\sqrt{7}$

Xem đáp án

Ta có

R^{2} = 9

nên R = 3

Chọn đáp án A

Câu 38:

Trong không gian $O x y z$ , cho hai điểm $A (2; 3; 1)$ và $B (5; 2; - 3)$ . Đường thẳng $A B$ có phương trình tham số là:

A. $\{\begin{cases} x = 5 + 3 t \\ y = 2 + t \\ z = - 3 + 4 t \end{cases}$

B. $\{\begin{cases} x = 2 + 3 t \\ y = 3 + t \\ z = 1 + 4 t \end{cases}$

C. $\{\begin{cases} x = 5 + 3 t \\ y = 2 - t \\ z = 3 - 4 t \end{cases}$

D. $\{\begin{cases} x = 2 + 3 t \\ y = 3 - t \\ z = 1 - 4 t \end{cases}$

Xem đáp án

Ta có

\vec{A B} = (3; - 1; - 4)

Đường thẳng AB có 1 vectơ chỉ phương là

\vec{u} = \vec{A B} = (3; - 1; - 4)

và đi qua điểm

A (2; 3; 1)

nên có phương trình tham số là

\{\begin{cases} x = 2 + 3 t \\ y = 3 - t \\ z = 1 - 4 t \end{cases}

Chọn đáp án D

Câu 39:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đồ thị như hình bên.

Giá trị lớn nhất của hàm số này trên đoạn [-2;3] bằng:

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

Xem đáp án

Nhận thấy trên đoạn [-2;3] đồ thị hàm số có điểm cao nhất có tọa độ (3;4)

\to

giá trị lớn nhất của hàm số này trên đoạn [-2;3] bằng 4

Chọn đáp án C

Câu 40:

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của $x$ thỏa mãn bất phương trình $8^{x} {.2}^{1 - x^{2}} > {(\sqrt{2})}^{2 x}$ ?

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

Xem đáp án

Bất phương trình

8^{x} {.2}^{1 - x^{2}} > {(\sqrt{2})}^{2 x} \Leftrightarrow 2^{3 x} {.2}^{1 - x^{2}} > 2^{x} \Leftrightarrow 2^{3 x + 1 - x^{2}} > 2^{x}

\Leftrightarrow 3 x + 1 - x^{2} > x \Leftrightarrow x^{2} - 2 x - 1 < 0 \Leftrightarrow 1 - \sqrt{2} < x < 1 + \sqrt{2}

Suy ra các giá trị nguyên dương thuộc S là {1;2}

Chọn đáp án A

Câu 41:

Cho hàm số

y = f (x)

liên tục và thoả mãn

f (x) + 2 f (\frac{1}{x}) = 3 x

với

x \in [\frac{1}{2}; 2]

. Tính

\int_{\frac{1}{2}}^{2} \frac{f (x)}{x} d x

.

A. $\frac{3}{2}$

B. $- \frac{3}{2}$

C. $\frac{9}{2}$

D. $- \frac{9}{2}$

Xem đáp án

Đặt

I = \int_{\frac{1}{2}}^{2} \frac{f (x)}{x} d x

với

x \in [\frac{1}{2}; 2]

f (x) + 2 f (\frac{1}{x}) = 3 x

\Leftrightarrow \frac{f (x)}{x} + 2 \frac{f (\frac{1}{x})}{x} = 3

\Rightarrow \int_{\frac{1}{2}}^{2} \frac{f (x)}{x} d x + 2 \int_{\frac{1}{2}}^{2} \frac{f (\frac{1}{x})}{x} d x = \int_{\frac{1}{2}}^{2} 3 d x (1)

Đặt

t = \frac{1}{x} \Rightarrow d t = - \frac{1}{x^{2}} d x

\Rightarrow - \frac{1}{t} d t = \frac{1}{x} d x

2 \int_{\frac{1}{2}}^{2} \frac{f (\frac{1}{x})}{x} d x = 2 \int_{\frac{1}{2}}^{2} \frac{f (t)}{t} d t = 2 I

(1) \Rightarrow 3 I = \int_{\frac{1}{2}}^{2} 3 d x \Rightarrow I = \frac{3}{2} .

Chọn đáp án A

Câu 42:

Cho số phức z thỏa mãn $|z| = 1$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A = |1 + \frac{5 i}{2}|$

A. 5

B. 4

C. 6

D. 8

Xem đáp án

Cách 1: Ta đặt

z = x + y, (x, y \in ℝ)

Lúc này

x^{2} + y^{2} = 1 \Rightarrow y^{2} \leq 1 \Leftrightarrow - 1 \leq y \leq 1

Ta có

A = |1 + \frac{5 i}{z}| = |1 + \frac{5 i}{x + y i}|

= |1 + \frac{5 i (x - y i)}{x^{2} + y^{2}}| = |1 + 5 i x - 5 y i^{2}|

= |1 + 5 y + 5 x i|

\Leftrightarrow A^{2} = 25 x^{2} + {(5 y + 1)}^{2} = 25 + 10 y + 1 \leq 36

(do

y \leq 1

)

Dấu bằng xảy ra khi

y = 1; x = 0

Cách 2: Ta có:

A = |1 + \frac{5 i}{z}| \leq |1| + |\frac{5 i}{z}| = 1 + \frac{5}{|z|} = 6

Khi

z = i \Rightarrow A = 6

Chọn đáp án C

Câu 43:

Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC cân tại A, $\hat{B A C} = 120 ° A C$ , $A B = a$ . Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, $S A = a$ . Thể tích khối chóp đã cho bằng

A. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{12}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{4}$

C. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{2}$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}$

Xem đáp án

Tam giác $A B C$ cân tại $A$ nên $A C = A B = a$ .

$S_{△ A B C} = \frac{1}{2} . A B . A C . \sin \hat{B A C}$ $= \frac{1}{2} . a . a . \sin 120 °$ $= \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$

$V_{S . A B C} = \frac{1}{3} . S_{△ A B C} . S A$ $= \frac{1}{3} . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} . a$ $= \frac{a^{3} \sqrt{3}}{12}$

Chọn đáp án A

Câu 44:

Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc $v_{1} (t) = 7 t (m/s)$ . Đi được 5 (s) , người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc $a = - 70 ({m/s}^{2})$ . Tính quãng đường $S (m)$ đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn.

A. $S = 87, 50 (m)$

B. $S = 94, 00 (m)$

C. $S = 95, 70 (m)$

D. $S = 96, 25 (m)$

Xem đáp án

Vận tốc ô tô tại thời điểm bắt đầu phanh là

v_{1} (5) = 35 (m / s)

Vận tốc của chuyển động sau khi phanh là

v_{2} (t) = - 70 t + C

Do

v_{2} (0) = 35

\Rightarrow C = 35

\Rightarrow v_{2} (t) = - 70 t + 35

Khi xe dừng hẳn tức là

v_{2} (t) = 0 \Rightarrow - 70 t + 35 = 0

\Rightarrow t = \frac{1}{2}

Quãng đường

S (m)

đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn là:

S (m) = \int_{0}^{5} 7 t . d t + \int_{0}^{\frac{1}{2}} (- 70 t + 35) d t

= 96, 25 (m)

Chọn đáp án D

Câu 45:

Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng

d : \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z + 1}{3}

và đồng thời vuông góc với mặt phẳng

(Q) : 2 x + y - z = 0

là

A. $x + 2 y - 1 = 0$

B. $x - 2 y + z = 0$

C. $x - 2 y - 1 = 0$

D. $x + 2 y + z = 0$

Xem đáp án

Ta có véc tơ chỉ phương ${\vec{u}}_{d} = (2; 1; 3)$ véc tơ pháp tuyến $\vec{n_{(Q)}} = (2; 1; - 1)$

Ta có điểm A=(1;0;-1) $\in d \Rightarrow A = (1; 0; - 1) \in (P)$

Mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1;0;-1) và có véc tơ pháp tuyến

\vec{n_{(P)}} = [\vec{u_{(d)}}, {\vec{n}}_{(Q)}] = (- 4; 8; 0)

Phương trình mặt phẳng

(P) : - 4 (x - 1) + 8 (y - 0) + 0 (z + 1) = 0 \Leftrightarrow x - 2 y - 1 = 0

Chọn đáp án C

Câu 46:

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục và có bảng biến thiên trên $ℝ$ như hình vẽ bên dưới

Cho hàm số y=f(x) liên tục và có bảng biến thiên trên R (ảnh 1)

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số

y = f (\cos x)

A. 5

B. 3

C. 10

D. 1

Xem đáp án

Đặt $t = \cos x \Rightarrow - 1 \leq t \leq 1 \Rightarrow y = f (t)$ có giá trị lớn nhất bằng 5 trên [-1;1](suy ra từ bảng biến thiên).

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số $y = f (\cos x)$ bằng 5.

Chọn đáp án A

Câu 47:

Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình $4^{\sin x} + 2^{1 + \sin x} - m = 0$ có nghiệm.

A. $\frac{5}{4} \leq m \leq 8.$

B. $\frac{5}{4} \leq m \leq 9.$

C. $\frac{5}{4} \leq m \leq 7.$

D. $\frac{5}{3} \leq m \leq 8.$

Xem đáp án

Đặt $t = 2^{\sin x}$ điều kiện $\frac{1}{2} \leq t \leq 2.$

Phương trình trở thành

t^{2} + 2 t - m = 0 \Leftrightarrow t^{2} + 2 t = m

Xét hàm

f (t) = t^{2} + 2 t

trên đoạn

[\frac{1}{2}; 2]

, ta có

f' (t) = 2 t + 2 > 0, \forall t \in (\frac{1}{2}; 2) .

Do đó phương trình có nghiệm khi và chỉ khi

\min_{[\frac{1}{2}; 2]} f (t) \leq m \leq \max_{[\frac{1}{2}; 2]} f (t)

\Leftrightarrow f (\frac{1}{2}) \leq m \leq f (2) \Leftrightarrow \frac{5}{4} \leq m \leq 8.

Chọn đáp án A

Câu 48:

Ông An muốn làm cửa rào sắt có hình dạng và kích thước như hình vẽ bên, biết đường cong phía trên là một Parabol. Giá $1 m^{2}$ của rào sắt là 700.000 đồng. Hỏi ông An phải trả bao nhiêu tiền để làm cái cửa sắt như vậy (làm tròn đến hàng phần nghìn).

Ông An muốn làm cửa rào sắt có hình dạng và kích thước như hình vẽ bên, (ảnh 1)

A. 6.520.000 đồng

B. 6.320.000 đồng

C. 6.417.000 đồng

D. 6.620.000 đồng

Xem đáp án

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Trong đó A(-2,5;1,5), B(2.5;1,5), C(0;2)

Giả sử đường cong trên là một Parabol có dạng

y = a x^{2} + b x + c

với

a; b; c \in R

Do Parabol đi qua các điểm A(-2,5;1,5), B(2.5;1,5), C(0;2) nên ta có hệ phương trình

\{\begin{cases} a {(- 2, 5)}^{2} + b (- 2, 5) + c = 1, 5 \\ a {(- 2, 5)}^{2} + b (2, 5) + c = 1, 5 \\ c = 2 \end{cases} \Leftrightarrow

\{\begin{cases} a = - \frac{2}{25} \\ b = 0 \\ c = 2 \end{cases}

Khi đó phương trình Parabol là

y = - \frac{2}{25} x^{2} + 2

Diện tích S của cửa rào sắt là diện tích phần hình phẳng giới bởi đồ thị hàm số

y = - \frac{2}{25} x^{2} + 2

, trục hoành và hai đường thẳng x =-2,5, x = 2,5

Ta có

S = \int_{- 2, 5}^{2, 5} (- \frac{2}{25} x^{2} + 2) d x = \frac{55}{6}

Vậy ông An phải trả số tiền để làm cái cửa sắt là S.(700.000)=

\frac{55}{6} .7000000 \approx 6.417.000

(đồng).

Chọn đáp án C

Câu 49:

Biết số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện

|z - 3 - 4 i| = \sqrt{5}

và biểu thức

M = {|z + 2|}^{2} - {|z - i|}^{2}

đạt giá trị lớn nhất. Tính môđun của số phức

z + i

.

A. $|z + i| = \sqrt{61}$

B. $|z + i| = 3 \sqrt{5}$

C. $|z + i| = 5 \sqrt{2}$

D. $|z + i| = \sqrt{41}$

Xem đáp án

Gọi

z = x + y i, (x \in ℝ, y \in ℝ)

Ta có

|z - 3 - 4 i| = \sqrt{5} \Leftrightarrow (C) : {(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 5

tâm

I (3; 4)

và

R = \sqrt{5}

Mặt khác:

M = {|z + 2|}^{2} - {|z - i|}^{2} = {(x + 2)}^{2} + y^{2} - [(x^{2}) + {(y - 1)}^{2}]

= 4 x + 2 y + 3 \Leftrightarrow d : 4 x + 2 y + 3 - M = 0

Do số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện nên d và (C) có điểm chung

$\Leftrightarrow d (I; d) \leq R \Leftrightarrow \frac{|23 - M|}{2 \sqrt{5}} \leq \sqrt{5}$

$\Leftrightarrow |23 - M| \leq 10 \Leftrightarrow 13 \leq M \leq 33$

$\Rightarrow M_{\max} = 33 \Leftrightarrow \{\begin{cases} 4 x + 2 y - 30 = 0 \\ {(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 5 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 5 \\ y = 5 \end{cases} \Rightarrow z + i = 5 + 6 i \Rightarrow |z + i| = \sqrt{61}$

Chọn đáp án A

Câu 50:

Trong không gian Oxyz, cho các mặt phẳng $(P) : x - y + 2 z + 1 = 0$ , $(Q) : 2 x + y + z - 1 = 0$ . Gọi (S) là mặt cầu có tâm thuộc trục hoành, đồng thời (S) cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính 2 và (S) cắt mặt phẳng (Q) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính r . Xác định r sao cho chỉ có đúng một mặt cầu (S) thỏa mãn yêu cầu.

A. $r = \sqrt{3}$

B. $r = \sqrt{2}$

C. $r = \sqrt{\frac{3}{2}}$

D. $r = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Xem đáp án

Gọi I là tâm của mặt cầu (S) . Do $I \in O x$ nên ta có $I (a; 0; 0)$

Do (S) cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính 2 nên ta có:

4 = R^{2} - {[d (I; (P))]}^{2} \Leftrightarrow 4 = R^{2} - \frac{{(a + 1)}^{2}}{6} \Rightarrow R^{2} = 4 + \frac{{(a + 1)}^{2}}{6} (1)

Do (S) cắt mặt phẳng (Q) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính r nên ta có:

r^{2} = R^{2} - {[d (I; (P))]}^{2} \Leftrightarrow r^{2} = R^{2} - \frac{{(2 a - 1)}^{2}}{6} (2)

Từ (1) và (2) ta có:

r^{2} = 4 + \frac{{(a + 1)}^{2}}{6} - \frac{{(2 a - 1)}^{2}}{6} \Leftrightarrow - 3 a^{2} + 6 a + 24 - 6 r^{2} = 0 \Leftrightarrow - a^{2} + 2 a + 8 - 2 r^{2} = 0 (3)

Để có duy nhất một mặt cầu (S) thỏa mãn yêu cầu điều kiện là phương trình (3) có duy nhất một nghiệm a với r > 0 nên điều kiện là:

Δ^{'} = 9 - 2 r^{2} = 0 \Leftrightarrow r = \frac{3 \sqrt{2}}{2}

Chọn đáp án D