50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề số 7

Câu 1:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Giá trị cực đại của hàm số bằng

A. 0

B. -1

C. 1

D. -2

Xem đáp án

Dựa vào đồ thị hàm số ta suy ra giá trị cực đại bằng -1

Chọn đáp án B

Câu 2:

Cho hai hàm số $f (x), g (x)$ có đạo hàm liên tục trên R. Xét các mệnh đề sau

1) $k . \int f (x) d x = \int k . f (x) d x$ , với k là hằng số thực bất kì.

2) $\int [f (x) + g (x)] d x = \int f (x) d x + \int g (x) d x$ .

3) $\int [f (x) g (x)] d x = \int f (x) d x . \int g (x) d x .$

4) $\int f^{'} (x) g (x) d x + \int f (x) g^{'} (x) d x = f (x) g (x)$

Tổng số mệnh đề đúng là:

A. 2

B. 1

C. 4

D. 3

Xem đáp án

Mệnh đề đúng là mệnh đề 2

Thật vậy ta có ${(\int f (x) d x + \int g (x) d x)}^{'} = {(\int f (x) d x)}^{'} + {(\int g (x) d x)}^{'} = f (x) + g (x)$

Mệnh đề 1 sai

Nếu $k = 0$ ta có $V T = 0$ ; $V P = \int 0 d x = C \neq V P$

Mệnh đề 3 sai

Phản ví dụ chọn $f (x) = 1$ ; $g (x) = 0$

suy ra $V T = \int [f (x) g (x)] d x = \int 0 d x = C; V P = \int f (x) d x . \int g (x) d x = \int d x . \int 0 d x = (x + C_{1}) . C 2$

Mệnh đề 4 sai vì

$V T = \int [f^{'} (x) g (x) + f (x) g^{'} (x)] d x = \int {[f (x) g (x)]}^{'} d x = f (x) g (x) + C \neq V P$ .

Chọn đáp án B

Câu 3:

Cho a là số thực dương tùy ý, $\sqrt[4]{a^{3}}$ bằng

A. $a^{\frac{3}{4}}$

B. $a^{- \frac{3}{4}}$

C. $a^{\frac{4}{3}}$

D. $a^{- \frac{4}{3}}$

Xem đáp án

Ta có: $\sqrt[4]{a^{3}} = a^{\frac{3}{4}}$ .

Chọn đáp án A

Câu 4:

Cho khối nón có chiều cao bằng 2a và bán kính đáy bằng a. Thể tích của khối nón đã cho bằng

A. $2 π a^{3}$

B. $\frac{2 π a^{3}}{3}$

C. $4 π a^{3}$

D. $\frac{4 π a^{3}}{3}$

Xem đáp án

Thể tích của khối nón đã cho là: $V = \frac{1}{3} . h . π R^{2} = \frac{1}{3} .2 a . π . a^{2} = \frac{2 π a^{3}}{3} .$

Chọn đáp án B

Câu 5:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho

A (- 1; 2; - 3)

và

B (- 3; - 1; 1)

. Tọa độ của

\vec{A B}

là

A.

\vec{A B} = (- 4; 1; - 2)

B.

\vec{A B} = (2; 3; - 4)

C. $\vec{A B} = (- 2; - 3; 4)$

D. $\vec{A B} = (4; - 3; 4)$

Xem đáp án

Ta có

\vec{A B} = (- 3 + 1; - 1 - 2; 1 + 3) = (- 2; - 3; 4)

Câu 6:

Cho hàm số $y = \frac{x + 1}{2 x - 2}$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là $y = - \frac{1}{2}$ .

B. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $x = 2$

C. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là $y = \frac{1}{2}$

D. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $x = \frac{1}{2}$

Xem đáp án

Vì $\lim_{x \to + \infty} y = \frac{1}{2}$ ; $\lim_{x \to - \infty} y = \frac{1}{2}$ nên hàm số có tiệm cận ngang $y = \frac{1}{2}$ .

$\lim_{x \to 1^{+}} y = + \infty$ ; $\lim_{x \to 1^{-}} y = - \infty$ nên hàm số có tiệm cận đứng $x = 1$ .

Chọn đáp án C

Câu 7:

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ có số hạng đầu $u_{1} = 2$ và công sai $d = 5$ . Giá trị của $u_{5}$ bằng

A. 27

B. 1250

C. 12

D. 22

Xem đáp án

Ta có : $u_{5} = u_{1} + 4 d = 2 + 4.5 = 22$ .

Chọn đáp án D

Câu 8:

Biết rằng đồ thị cho ở hình vẽ dưới đây là đồ thị của một trong 4 hàm số cho trong 4 phương án A,B,C,D. Đó là đồ thị hàm số nào?

A. $y = x^{3} - 5 x^{2} + 4 x + 3$

B. $y = 2 x^{3} - 6 x^{2} + 4 x + 3$

C. $y = x^{3} - 4 x^{2} + 3 x + 3$

D. $y = 2 x^{3} + 9 x^{2} - 11 x + 3$

Xem đáp án

Đồ thị đã cho đi qua các điểm $M (1; 3)$ , $N (2; 1)$ và $P (0; 3)$ .

Xét phương án A: Điểm $N (2; 1)$ không thuộc vào đồ thị hàm số $y = x^{3} - 5 x^{2} + 4 x + 3$ .

Xét phương án B: Điểm $N (2; 1)$ không thuộc vào đồ thị hàm số $y = 2 x^{3} - 6 x^{2} + 4 x + 3$ .

Xét phương án D: Điểm $N (2; 1)$ không thuộc vào đồ thị hàm số $y = 2 x^{3} + 9 x^{2} - 11 x + 3$ .

Xét phương án C: Ta có cả ba điểm $M (1; 3)$ , $N (2; 1)$ và $P (0; 3)$ đều thuộc vào đồ thị hàm số $y = x^{3} - 4 x^{2} + 3 x + 3$ .

Chọn đáp án C

Câu 9:

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng $(P) : x + 2 y - 6 z - 1 = 0$ đi qua điểm nào dưới đây?

A. $B (- 3; 2; 0)$

B. $D (1; 2; - 6)$

C. $A (- 1; - 4; 1)$

D. $C (- 1; - 2; 1)$

Xem đáp án

Thay tọa độ điểm B ta có: $- 3 + 2.2 - 6.0 - 1 = 0$ .

Phương án A được chọn.

Câu 10:

Trong không gian Oxyz cho đường thẳng $d : \frac{x - 3}{1} = \frac{y + 1}{- 2} = \frac{z - 5}{3}$ . Vectơ nào sau đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d?

A. $\vec{u_{2}} = (1; - 2; 3)$

B. $\vec{u_{3}} = (2; 6; - 4)$

C. $\vec{u_{4}} = (- 2; - 4; 6)$

D. $\vec{u_{1}} = (3; - 1; 5)$

Xem đáp án

Ta thấy đường thẳng d có một vectơ chỉ phương có tọa độ $\vec{u_{2}} = (1; - 2; 3)$ .

Chọn đáp án A

Câu 11:

Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = 3^{2 x}$

A. $F (x) = {2.3}^{2 x} . \ln 3$

B. $F (x) = \frac{3^{2 x}}{2. \ln 3} + 2$

C. $F (x) = \frac{3^{2 x}}{3. \ln 2}$

D. $F (x) = \frac{3^{2 x}}{3. \ln 3} - 1$

Xem đáp án

Ta có: $\int 3^{2 x} d x = \frac{1}{2} \int 3^{2 x} .2 d x = \frac{1}{2} \int 3^{2 x} d (2 x) = \frac{1}{2} . \frac{3^{2 x}}{\ln 3} + C$ .

Cho hằng số $C = 2$

Chọn đáp án B

Câu 12:

Cho số phức $z_{1} = 2 + 3 i,$ $z_{2} = - 4 - 5 i$ . Tính $z = z_{1} + z_{2}$ .

A. $z = - 2 + 2 i$

B. $z = 2 - 2 i$

C. $z = - 2 - 2 i$

D. $z = 2 + 2 i$

Xem đáp án

Ta có: $z_{1} + z_{2} = (2 + 3 i) + (- 4 - 5 i) = 2 - 4 + 3 i - 5 i = - 2 - 2 i$

Vậy $z = - 2 - 2 i$ .

Chọn đáp án C

Câu 13:

Trong mặt phẳng Oxy, điểm nào sau đây biểu diễn số phức $z = 2 + i$ ?

A. $P (2; - 1)$

B. $Q (1; 2)$

C. $M (2; 0)$

D. $N (2; 1)$

Xem đáp án

Số phức

z = a + b i

có điểm biểu diễn

(a; b)

nên số phức

z = 2 + i

có điểm biểu diễn là

N (2; 1)

Câu 14:

Nghiệm của phương trình $2^{1 - x} = 4$ là

A. $x = 3$

B. $x = - 3$

C. $x = - 1$

D. $x = 1$

Xem đáp án

Ta có $2^{1 - x} = 4 \Leftrightarrow 2^{1 - x} = 2^{2} \Leftrightarrow 1 - x = 2 \Leftrightarrow x = - 1$ .

Chọn đáp án C

Câu 15:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $(S) : {(x - 3)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 8$ . Khi đó tâm I và bán kính R của mặt cầu là

A. $I (3; - 1; - 2), R = 4$

B. $I (3; - 1; - 2), R = 2 \sqrt{2}$

C. $I (- 3; 1; 2), R = 2 \sqrt{2}$

D. $I (- 3; 1; 2), R = 4$

Xem đáp án

Mặt cầu (S) có tâm $I (3; - 1; - 2)$ và bán kính $R = 2 \sqrt{2}$ .

Chọn đáp án B

Câu 16:

Quay hình vuông ABCD cạnh a xung quanh một cạnh. Thể tích của khối trụ được tạo thành là:

A. $3 π a^{3} .$

B. $\frac{1}{3} π a^{3} .$

C. $2 π a^{3} .$

D. $π a^{3} .$

Xem đáp án

Quay hình vuông ABCD cạnh a xung quanh một cạnh ta được khối trụ có chiều cao bằng a và diện tích đáy là $π a^{2} .$

Vậy thể tích của khối trụ là $π a^{3} .$

Chọn đáp án D

Câu 17:

Hàm số $y = f (x)$ có bảng biến thiên dưới đây, nghịch biến trên khoảng nào?

A. $(0; 3) .$

B. $(3; + \infty) .$

C. $(- 3; 3) .$

D. $(- \infty; - 2) .$

Xem đáp án

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số ta thấy hàm số trên nghịch biến trên các khoảng $(- \infty; - 3)$ và $(0; 3)$ .

Chọn đáp án A

Câu 18:

Thể tích của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a là

A. $V = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{3}$

B. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{4}$

C. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{2}$

D. $V = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{4}$

Xem đáp án

Ta có

S_{A B C} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}

Vậy

V = a . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{4}

Chọn đáp án B

Câu 19:

Cho tập A có 26 phần tử. HỏiA có bao nhiêu tập con gồm 6 phần tử?

A. $A_{26}^{6}$

B. 26

C. $P_{6}$

D. $C_{26}^{6}$

Xem đáp án

Số tập con gồm 6 phần tử của A bằng số tổ hợp chập 6 của 26 phần tử. Vậy số tập con là $C_{26}^{6}$ .

Câu 20:

Hàm số $f (x) = e^{\sqrt{x^{2} + 1}}$ có đạo hàm là

A. $f^{'} (x) = \frac{2 x}{\sqrt{x^{2} + 1}} . e^{\sqrt{x^{2} + 1}}$

B. $f^{'} (x) = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} . e^{\sqrt{x^{2} + 1}} . \ln 2$

C. $f^{'} (x) = \frac{x}{2 \sqrt{x^{2} + 1}} . e^{\sqrt{x^{2} + 1}}$

D. $f^{'} (x) = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} . e^{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Xem đáp án

$f^{'} (x) = {(\sqrt{x^{2} + 1})}^{'} . e^{\sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{2 x}{2 \sqrt{x^{2} + 1}} . e^{\sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} . e^{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Chọn đáp án D

Câu 21:

Cho số phức z có phần thực là số nguyên và thỏa mãn $|z| - 2 \bar{z} = - 7 + 3 i + z$ . Tính mô-đun của số phức $w = 1 - z + z^{2}$

A. $|w| = \sqrt{445}$

B. $|w| = \sqrt{37}$

C. $|w| = \sqrt{457}$

D. $|w| = \sqrt{425}$

Xem đáp án

Gọi $z = a + b i$ ; $a, b \in ℝ; i^{2} = - 1$ ; a là số nguyên. Theo đề ta có

$| z | - 2 \bar{z} = - 7 + 3 i + z$

$\Leftrightarrow \sqrt{a^{2} + b^{2}} - 2 a + 2 b i = - 7 + 3 i + a + b i$

$\Leftrightarrow (\sqrt{a^{2} + b^{2}} - 2 a) + 2 b i = (- 7 + a) + (3 + b) i$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} \sqrt{a^{2} + b^{2}} - 2 a = - 7 + a \\ 2 b = 3 + b \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \sqrt{a^{2} + 9} = 3 a - 7 \\ b = 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \{\begin{cases} a \geq \frac{7}{3} \\ 8 a^{2} - 42 a + 40 = 0 \end{cases} \\ b = 3 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} a \geq \frac{7}{3} \\ [\begin{array}{l} a = 4 \\ a = \frac{5}{4} \end{array} \\ b = 3 \end{cases}$

Khi đó $z = 4 + 3 i$

Vậy $w = 1 - z + z^{2} = 4 + 21 i \Rightarrow |w| = \sqrt{457}$ .

Câu 22:

Tìm tập nghiệm S của bất phương trình ${(\frac{1}{2})}^{x} > 8.$

A. $S = (- \infty; - 3)$

B. $S = (3; + \infty)$

C. $S = (- 3; + \infty)$

D. $S = (- \infty; 3)$

Xem đáp án

Ta có: ${(\frac{1}{2})}^{x} > 8 \Leftrightarrow 2^{- x} > 2^{3} \Leftrightarrow - x > 3 \Leftrightarrow x < - 3.$

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là

S = (- 3; + \infty) .

Chọn đáp án A

Câu 23:

Cho khối chóp $S . A B C$ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, biết AB =a, $A C = 2 a$ . Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tích khối chóp $S . A B C$

A. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{2}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}$

C. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{4}$

Xem đáp án

$Δ A B C$ vuông tại A

$S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} A B . A C = \frac{1}{2} . a .2 a = a^{2}$

Gọi H là trung điểm AB $\Rightarrow S H = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

Ta có: $Δ S A B$ đều $\Rightarrow S H ⊥ A B$

$\Rightarrow S H ⊥ (A B C)$ (vì $(S A B) ⊥ (A B C)$ ).

$\Rightarrow V_{S . A B C} = \frac{1}{3} S H . S_{Δ A B C} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}$

Chọn đáp án C

Câu 24:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \sqrt{x - 1} + \sqrt{2 - x} + 2019$ bằng

A. 2025

B. 2020

C. 2023

D. 2021

Xem đáp án

Tập xác định của hàm số là $D = [1; 2]$ , hàm số $y = \sqrt{x - 1} + \sqrt{2 - x} + 2019$ liên tục trên đoạn $[1; 2]$ .

Ta có $y^{'} = \frac{1}{2 \sqrt{x - 1}} - \frac{1}{2 \sqrt{2 - x}} = 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} \sqrt{x - 1} = \sqrt{2 - x} \\ x \neq 1, x \neq 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x - 1 = 2 - x \\ x \neq 1, x \neq 2 \end{cases} \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}$ .

$y (1) = 2020$ ; $y (2) = 2020$ ; $y (\frac{3}{2}) = 2019 + \sqrt{2}$ .

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \sqrt{x - 1} + \sqrt{2 - x} + 2019$ là 2020.

Chọn đáp án B

Câu 25:

Trong các hàm số sau, hàm số nào luôn đồng biến trên khoảng $(- \infty; + \infty)$ ?

A. $y = \sin x$

B. $y = x^{4} + 1$

C. $y = \ln x$

D. $y = x^{5} + 5 x$

Xem đáp án

Ta có: $y^{'} = 5 x^{4} + 5 > 0, \forall x \in (- \infty; + \infty)$

Do đó hàm số $y = x^{5} + 5 x$ luôn đồng biến trên khoảng $(- \infty; + \infty)$

Chọn đáp án D

Câu 26:

Cho hình chóp $S . A B C$ có đáy $A B C$ là tam giác vuông tại A, $A B = a$ , $A C = a \sqrt{3}$ . Tam giác $S B C$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông với đáy. Tính khoảng cách d từ B đến mặt phẳng $(S A C)$ .

A. $d = a$

B. $d = \frac{2 a \sqrt{39}}{13}$

C. $d = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

D. $d = \frac{a \sqrt{39}}{13}$

Xem đáp án

Gọi H là trung điểm của BC, suy ra $S H ⊥ B C \Rightarrow S H ⊥ (A B C)$ .

Gọi K là trung điểm AC, suy ra $H K ⊥ A C$ .

Kẻ $H E ⊥ S K$ $(E \in S K) .$

Khi đó $d [B, (S A C)] = 2 d [H, (S A C)]$ $= 2 H E = 2. \frac{S H . H K}{\sqrt{S H^{2} + H K^{2}}} = \frac{2 a \sqrt{39}}{13} .$

Chọn đáp án B

Câu 27:

Có 13 học sinh của một trường THPT đạt danh hiệu học sinh xuất sắc trong đó khối 12 có 8 học sinh nam và 3 học sinh nữ, khối 11 có 2 học sinh nam. Chọn ngẫu nhiên học sinh bất kỳ để trao thưởng, tính xác suất để 3 học sinh được chọn có cả nam và nữ đồng thời có cả khối 11 và khối 12.

A. $\frac{229}{286} .$

B. $\frac{24}{143} .$

C. $\frac{27}{143} .$

D. $\frac{57}{286} .$

Xem đáp án

Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 3 học sinh từ 13 học sinh.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là $|Ω| = C_{13}^{3} = 286$ .

Gọi A là biến cố "3 học sinh được chọn có cả nam và nữ đồng thời có cả khối 11 và khối 12. Ta có các trường hợp thuận lợi cho biến cố A là:

● TH1: Chọn 1 học sinh khối 11; 1 học sinh nam khối 12 và 1 học sinh nữ khối 12 nên có $C_{2}^{1} C_{8}^{1} C_{3}^{1} = 48$ cách.

● TH2: Chọn 1 học sinh khối 11; 2 học sinh nữ khối 12 có $C_{2}^{1} C_{3}^{2} = 6$ cách.

● TH3: Chọn 2 học sinh khối 11; 1 học sinh nữ khối 12 có $C_{2}^{2} C_{3}^{1} = 3$ cách.

Suy ra số phần tử của biến cố A là $|Ω_{A}| = 48 + 6 + 3 = 57$ .

Vậy xác suất cần tính $P (A) = \frac{|Ω_{A}|}{|Ω|} = \frac{57}{286} .$

Chọn đáp án D

Câu 28:

Hàm số nào trong các hàm số sau đây có một nguyên hàm bằng $y = \cos^{2} x$ ?

A. $y = \frac{- \cos^{3} x}{3} + C (C \in ℝ)$

B. $y = - \sin 2 x$

C. $y = \sin 2 x + C (C \in ℝ)$

D. $y = \frac{\cos^{3} x}{3}$

Xem đáp án

Ta có ${(\cos^{2} x)}^{'} = 2 \cos x . (- \sin x) = - \sin 2 x$ .

Vậy hàm số $y = - \sin 2 x$ có một nguyên hàm là $y = \cos^{2} x$ .

Chọn đáp án B

Câu 29:

Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a. Tính cosin của góc giữa một mặt bên và mặt đáy

A. $\frac{1}{3}$

B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

C. $\frac{1}{2}$

D. $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Xem đáp án

Gọi tứ diện đều là $S . A B C D$ , gọi $O = A C \cap B D \Rightarrow S O ⊥ (A B C D)$ .

Gọi là I trung điểm của BC. Khi đó ta có $\{\begin{cases} B C ⊥ S O \\ B C ⊥ O I \end{cases} \Rightarrow B C ⊥ (S O I) \Rightarrow B C ⊥ S I$ .

Do đó $(\hat{(S B C), (A B C D)}) = (\hat{S I, O I}) = \hat{S I O}$ .

Ta có $O I = \frac{a}{2}, S I = \sqrt{S B^{2} - B I^{2}} = \sqrt{a^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2}} = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Tam giác $S O I$ vuông tại O $\Rightarrow \cos \hat{S I O} = \frac{O I}{S I} = \frac{\frac{a}{2}}{\frac{a \sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Chọn đáp án D

Câu 30:

Tổng các lập phương các nghiệm của phương trình $\log_{2} x . \log_{3} (2 x - 1) = 2 \log_{2} x$ bằng:

A. 26

B. 216

C. 126

D. 6

Xem đáp án

Điều kiện:

\{\begin{cases} x > 0 \\ 2 x - 1 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow x > \frac{1}{2} .

Phương trình đã cho tương đương

\begin{array}{l} \log_{2} x . \log_{3} (2 x - 1) - 2 \log_{2} x = 0 \\ \Leftrightarrow \log_{2} x [\log_{3} (2 x - 1) - 2] = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \log_{2} x = 0 \\ \log_{3} (2 x - 1) - 2 = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ 2 x - 1 = 9 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = 5 \end{array} \end{array}

Tổng lập phương các nghiệm là :

1^{3} + 5^{3} = 126.

Chọn đáp án C

Câu 31:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm

A (4; - 1; 3)

,

B (0; 1; - 5)

. Phương trình mặt cầu đường kính AB là

A. ${(x - 2)}^{2} + y^{2} + {(z + 1)}^{2} = 21$

B. ${(x - 2)}^{2} + y^{2} + {(z - 1)}^{2} = 17$

C. ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + z^{2} = 27$

D. ${(x + 2)}^{2} + y^{2} + {(z - 1)}^{2} = 21$

Xem đáp án

Gọi I là trung điểm của đoạn AB suy ra $I (2; 0; - 1)$ là tâm của mặt cầu.

$\vec{I A} = (2; - 1; 4)$ nên $R = I A = \sqrt{21}$ là bán kính mặt cầu.

Vậy phương trình mặt cầu là: ${(x - 2)}^{2} + y^{2} + {(z + 1)}^{2} = 21$ .

Chọn đáp án A

Câu 32:

Đặt $\log_{5} 3 = a$ , khi đó $\log_{9} 1125$ bằng

A. $1 + \frac{3}{a}$

B. $2 + \frac{3}{a}$

C. $2 + \frac{3}{2 a}$

D. $1 + \frac{3}{2 a}$

Xem đáp án

Ta có:

\log_{9} 1125 = \log_{3^{2}} 5^{3} {.3}^{2} = \log_{3^{2}} 5^{3} + \log_{3^{2}} 3^{2} = \frac{3}{2} \log_{3} 5 + 1 = \frac{3}{2} \frac{1}{\log_{5} 3} + 1 = 1 + \frac{3}{2 a}

Chọn đáp án D

Câu 33:

Biết đường thẳng $y = x + 2$ cắt đồ thị hàm số $y = \frac{x + 8}{x - 2}$ tại hai điểm A, B phân biệt. Tọa độ trung diểm I của AB là

A. $I (\frac{7}{2}; \frac{7}{2})$

B. $I (7; 7)$

C. $I (\frac{1}{2}; \frac{5}{2})$

D. $I (1; 5)$

Xem đáp án

Điều kiện: $x \neq 2$

Phương trình hoành độ giao điểm $x + 2 = \frac{x + 8}{x - 2} \Leftrightarrow (x + 2) (x - 2) = x + 8$

$\Leftrightarrow x^{2} - x - 12 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x_{A} = - 3 \Rightarrow y_{A} = - 1 \\ x_{B} = 4 \Rightarrow y_{B} = 6 \end{array}$

Vậy tọa độ trung điểm I của AB là: $\{\begin{cases} x_{I} = \frac{x_{A} + x_{B}}{2} = \frac{1}{2} \\ y_{I} = \frac{y_{A} + y_{B}}{2} = \frac{5}{2} \end{cases}$

Chọn đáp án C

Câu 34:

Cho số phức

z = a + (a - 5) i

với

a \in ℝ

. Tìm a để điểm biểu diễn của số phức nằm trên đường phân giác của góc phần tư thứ hai và thứ tư

A. $a = \frac{3}{2}$

B. $a = - \frac{1}{2}$

C. $a = \frac{5}{2}$

D. $a = 0$

Xem đáp án

Đường phân giác của góc phần tư thứ hai và thứ tư là đường thẳng $y = - x$ .

Do đó $a - 5 = - a$ . Suy ra $a = \frac{5}{2}$ .

Chọn đáp án C

Câu 35:

Cho hàm số $f (x)$ có đạo hàm $f' (x) = x^{2019} {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{3}$ . Số điểm cực đại của hàm số $f (x)$ là

A. 2

B. 1

C. 3

D. 0

Xem đáp án

Ta có $f' (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = - 1 \\ x = 1 \end{array}$ .

Xét dấu:

Dựa vào bảng xét dấu của

f' (x)

thấy hàm số

f (x)

có 1 điểm cực đại.

Chọn đáp án B

Câu 36:

Tìm hai số thực x, y thỏa mãn

(3 x + 2 y i) + (3 - i) = 4 x - 3 i

với i là đơn vị ảo

A. $x = 3; y = - 1$

B. $x = \frac{2}{3}; y = - 1$

C. $x = 3; y = - 3$

D. $x = - 3; y = - 1$

Xem đáp án

$(3 x + 2 y i) + (3 - i) = 4 x - 3 i \Leftrightarrow (3 x + 3) + (2 y - 1) i = 4 x - 3 i \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 x + 3 = 4 x \\ 2 y - 1 = - 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 3 \\ y = - 1 \end{cases}$

Chọn đáp án A

Câu 37:

Cho $F (x)$ là một nguyên hàm của $f (x) = \frac{2}{x + 2}$ . Biết $F (- 1) = 0$ . Tính $F (2)$ kết quả là.

A. $2 \ln 4$

B. $4 \ln 2 + 1$

C. $2 \ln 3 + 2$

D. $\ln 8 + 1$

Xem đáp án

Ta có: $\int_{- 1}^{2} f (x) d x = F (2) - F (- 1)$ .

$\int_{- 1}^{2} \frac{2}{x + 2} = {2 \ln |x + 2||}_{- 1}^{2} = 2 \ln 4 - 2 \ln 1 = 2 \ln 4$ .

$\Leftrightarrow F (2) - F (- 1) = 2 \ln 4$ .

$\Leftrightarrow F (2) = 2 \ln 4$ (do $F (- 1) = 0$ ).

Chọn đáp án A

Câu 38:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $(P) : 2 x - y + z + 3 = 0$ và điểm $A (1; - 2; 1)$ . Phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P) là

A. $Δ : \{\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = - 2 - 4 t \\ z = 1 + 3 t \end{cases}$

B. $Δ \{\begin{cases} x = 2 + t \\ y = - 1 - 2 t \\ z = 1 + t \end{cases}$

C. $Δ : \{\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = - 2 - t \\ z = 1 + t \end{cases}$

D. $Δ : \{\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = - 2 - 2 t \\ z = 1 + 2 t \end{cases}$

Xem đáp án

Đường thẳng $Δ$ vuông góc với mặt phẳng (P) nên nhận $\vec{n} = (2; - 1; 1)$ là một vecto chỉ phương.

Phương trình đường thẳng $Δ$ đi qua điểm $A (1; - 2; 1)$ là: $\{\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = - 2 - t \\ z = 1 + t \end{cases}$ .

Chọn đáp án C

Câu 39:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình $4^{x - 1} - m (2^{x} + 1) > 0$ nghiệm đúng với mọi $x \in ℝ$ .

A. $m \in (0; 1)$

B. $m \in (- \infty; 0) \cup (1; + \infty)$

C. $m \in (- \infty; 0]$

D. $m \in (0; + \infty)$

Xem đáp án

Đặt $t = 2^{x}$ , $t > 0 \Rightarrow t + 1 > 0$ .

Bài toán đã cho trở thành:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình: $\frac{t^{2}}{4 (t + 1)} > m, \forall t > 0 (1)$ .

Đặt $f (t) = \frac{t^{2}}{4 (t + 1)}, (t > 0) \Rightarrow f^{'} (t) = \frac{t^{2} + 2 t}{4 {(t + 1)}^{2}} \Rightarrow f^{'} (t) = 0 \Leftrightarrow t = 0 (l) \lor t = - 2 (l)$ .

Bảng biến thiên:

Nhìn vào bảng biến thiên ta có

m \in (- \infty; 0]

thỏa yêu cầu bài toán.

Chọn đáp án C

Câu 40:

Cho hàm số

y = f (x)

xác định trên R và hàm số

y = f' (x)

có đồ thị như hình bên. Biết rằng

f' (x) < 0

với mọi

x \in (- \infty; - 3, 4) \cup (9; + \infty) .

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số

g (x) = f (x) - m x + 5

có đúng hai điểm cực trị.

Cho hàm số y=f(x) xác định trên R và hàm số y=f'(x) (ảnh 1)

A. 8

B. 6

C. 5

D. 7

Xem đáp án

g' (x) = f' (x) - m

Số điểm cực trị của hàm số $g (x)$ bằng số nghiệm đơn (bội lẻ) của phương trình $f' (x) = m .$

Dựa và đồ thị ta có điều kiện $[\begin{array}{l} 0 < m \leq 5 \\ 10 \leq m < 13 \end{array}$ .

Vậy có 8 giá trị nguyên dương của m thỏa mãn.

Chọn đáp án A

Câu 41:

Cho hàm số $f (x)$ nhận giá trị dương và thỏa mãn $f (0) = 1$ , ${(f^{'} (x))}^{3} = e^{x} {(f (x))}^{2}, \forall x \in ℝ$ .Tính A. $f (3)$

A. $f (3) = e^{2}$

B. $f (3) = e^{3}$

C. $f (3) = e$

D. $f (3) = 1$

Xem đáp án

Ta có: ${(f^{'} (x))}^{3} = e^{x} {(f (x))}^{2}, \forall x \in ℝ \Leftrightarrow f^{'} (x) = \sqrt[3]{e^{x}} . \sqrt[3]{{(f (x))}^{2}} \Leftrightarrow \frac{f^{'} (x)}{\sqrt[3]{{(f (x))}^{2}}} = \sqrt[3]{e^{x}}$ .

$\Rightarrow \int_{0}^{3} \frac{f^{'} (x)}{\sqrt[3]{{(f (x))}^{2}}} d x = \int_{0}^{3} \sqrt[3]{e^{x}} d x \Leftrightarrow \int_{0}^{3} \frac{1}{\sqrt[3]{{(f (x))}^{2}}} d f (x) = \int_{0}^{3} e^{\frac{x}{3}} d x \Leftrightarrow {3 \sqrt[3]{f (x)}|}_{0}^{3} = {3 e^{\frac{x}{3}}|}_{0}^{3}$

$\sqrt[3]{f (3)} - \sqrt[3]{f (0)} = e - 1 \Leftrightarrow \sqrt[3]{f (3)} - 1 = e - 1 \Leftrightarrow f (3) = e^{3}$

Chọn đáp án B

Câu 42:

Bạn An cần mua một chiếc gương có đường viền là đường Parabol bậc 2. Biết rằng khoảng cách đoạn $A B = 60 cm$ , $O H = 30 cm$ . Diện tích của chiếc gương bạn An mua là

A. $1200 ({cm}^{2})$

B. $1400 ({cm}^{2})$

C. $900 ({cm}^{2})$

D. $1000 ({cm}^{2})$

Xem đáp án

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Đường viền chiếc gương là đường Parabol $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ có đỉnh $H (0; 30)$ và đi qua điểm $B (30; 0)$ .

Bạn An cần mua một chiếc gương có đường viền là đường Parabol bậc 2 (ảnh 2)

Ta có: . $\{\begin{cases} c = 30 \\ - \frac{b}{2 a} = 0 \\ 900 a + 30 b + c = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} c = 30 \\ b = 0 \\ a = - \frac{1}{30} \end{cases}$

Diện tích chiếc gương là diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol

y = - \frac{1}{30} x^{2} + 30

và trục hoành. Diện tích chiếc gương là:

S = \int_{- 30}^{30} |- \frac{1}{30} x^{2} + 30| d x = 2 |\int_{0}^{30} (- \frac{1}{30} x^{2} + 30) d x| = 2 |{(- \frac{1}{90} x^{3} + 30 x)|}_{0}^{30}| = 1200 ({cm}^{2})

.

Chọn đáp án A

Câu 43:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm $A (1; - 1; 3)$ và hai đường thẳng $d_{1} : \frac{x - 4}{1} = \frac{y + 2}{4} = \frac{z - 1}{- 2}$ ; $d_{2} : \frac{x - 2}{1} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z - 1}{1} \cdot$

Phương trình đường thẳng qua A vuông góc với $d_{1}$ và cắt $d_{2}$ .

A. $\frac{x - 1}{4} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 3}{4}$

B. $\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z - 3}{- 1}$

C. $\frac{x - 1}{- 1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 3}{3}$

D. $\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 3}{3}$

Xem đáp án

Phương trình tham số của đường thẳng $d_{1} : \{\begin{cases} x = 4 + t \\ y = - 2 + 4 t \\ z = 1 - 2 t \end{cases}$ và $d_{2} : \{\begin{cases} x = 2 + t \\ y = - 1 - t \\ z = 1 + t \end{cases}$ .

Phương trình mặt phẳng (P) qua A vuông góc với $d_{1}$ là: $x + 4 y - 2 z + 9 = 0$

Gọi H là giao điểm của (P) và đường thẳng $d_{2}$ .

$H \in d_{2} \Rightarrow H (2 + t; - 1 - t; 1 + t)$

$H \in (P) \Rightarrow 2 + t + 4 (- 1 - t) - 2 (1 + t) + 9 = 0 \Leftrightarrow t = 1.$

Nên giao điểm $H (3; - 2; 2)$ .

Phương trình đường thẳng qua A vuông góc với $d_{1}$ và cắt $d_{2}$ là phương trình đường thẳng AH qua $A (1; - 1; 3)$ và nhận $\vec{A H} = (- 2; 1; 1)$ làm véctơ chỉ phương.

Chọn đáp án A

Câu 44:

Cho hình lăng trụ đứng

A B C . A' B' C'

có đáy ABC là tam giác vuông tại A,

\hat{A C B} = 30 °

, biết góc giữa

B' C

và mặt phẳng

(A C C' A')

bằng

α

thỏa mãn

\sin α = \frac{1}{2 \sqrt{5}}

. Cho khoảng cách giữa hai đường thẳng

A' B

và

C C'

bằng

a \sqrt{3}

. Tính thể tích V của khối lăng trụ

A B C . A' B' C'

.

A. $V = 2 a^{3} \sqrt{3}$

B. $V = \frac{3 a^{3} \sqrt{6}}{2}$

C. $V = a^{3} \sqrt{3}$

D. $V = a^{3} \sqrt{6}$

Xem đáp án

* Ta có: $C C^{'} // A A^{'} \Rightarrow C C^{'} // (A A^{'} B^{'} B)$

Mà $A' B \subset (A A' B' B),$ nên

d (C C'; A' B) = d (C C'; (A A' B' B)) = C' A' = a \sqrt{3}

* Ta có: $A C = A' C' = a \sqrt{3}; A B = A' B' = a;$

Diện tích đáy là $B = d t (A B C) = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2}$

* Dễ thấy $A' B'$ ^ $(A C C' A')$

Góc giữa B'C và mặt phẳng $(A C C' A')$ là $\hat{B' C A'} = α$

\sin α = \frac{A' B'}{B' C} = \frac{1}{2 \sqrt{5}} \Leftrightarrow B' C = 2 a \sqrt{5}

C C' = \sqrt{B' C^{2} - B' C'^{2}} = \sqrt{20 a^{2} - 4 a^{2}} = 4 a

* Thể tích lăng trụ là

V = B . h

với

h = C C'

V = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} . 4 a = 2 a^{3} \sqrt{3} .

Chọn đáp án A

Câu 45:

Cho Parabol

(P) : y = x^{2}

và đường tròn (C) có tâm

A (0; 3)

, bán kính

\sqrt{5}

như hình vẽ. Diện tích phần được tô đậm giữa (C) và (P) gần nhất với số nào dưới đây?

Cho Parabol (P) y=x^2 và đường tròn (C) có tâm A(0;3) , (ảnh 1)

A. 1,77

B. 3,44

C. 1,51

D. 3,54

Xem đáp án

Phương trình (C): $x^{2} + {(y - 3)}^{2} = 5$ .

Tọa độ giao điểm của (P) và (C) là nghiệm của hệ phương trình:

$\{\begin{cases} x^{2} + {(y - 3)}^{2} = 5 \\ y = x^{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} y + {(y - 3)}^{2} = 5 \\ y = x^{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} [\begin{array}{l} y = 1 \\ y = 4 \end{array} \\ y = x^{2} \end{cases}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} x = 1 \\ y = 1 \end{cases} \\ \{\begin{cases} x = - 1 \\ y = 1 \end{cases} \\ \{\begin{cases} x = - 2 \\ y = 4 \end{cases} \\ \{\begin{cases} x = - 2 \\ y = 4 \end{cases} \end{array}$ . Vậy tọa độ các giao điểm là (1;1), (-1;1), (-2;4), (2;4).

Ta có: $S = 2 (S_{1} + S_{2})$ .

Tính $S_{1}$ : $x^{2} + {(y - 3)}^{2} = 5 (C) \Rightarrow y = 3 - \sqrt{5 - x^{2}}$ $\Rightarrow S_{1} = \int_{0}^{1} [(3 - \sqrt{5 - x^{2}}) - x^{2}] d x \approx 0, 5075$ .

Tính $S_{2}$ : $\{\begin{cases} x^{2} + {(y - 3)}^{2} = 5 (C) \Rightarrow x = \sqrt{5 - {(y - 3)}^{2}} \\ y = x^{2} \Rightarrow x = \sqrt{y} \end{cases}$ $\Rightarrow S_{2} = \int_{1}^{4} [\sqrt{5 - {(y - 3)}^{2}} - \sqrt{y}] d y \approx 1, 26$ .

Vậy $S = 2 (S_{1} + S_{2}) \approx 3, 54$ .

Chọn đáp án D

Câu 46:

Cho hàm số $f (x)$ liên tục trên R và thỏa $\int_{- 2}^{2} f (\sqrt{x^{2} + 5} - x) d x = 1,$ $\int_{1}^{5} \frac{f (x)}{x^{2}} d x = 3.$ Tính $\int_{1}^{5} f (x) d x .$

A. 0

B. -15

C. -2

D. -13

Xem đáp án

Đặt: $t = \sqrt{x^{2} + 5} - x \Rightarrow x = \frac{5 - t^{2}}{2 t} \Rightarrow d x = - (\frac{1}{2} + \frac{5}{2 t^{2}}) d t$

Ta có: $1 = \int_{1}^{5} f (t) (\frac{1}{2} + \frac{5}{2 t^{2}}) d t = \frac{1}{2} \int_{1}^{5} f (t) d t + \frac{5}{2} \int_{1}^{5} \frac{f (t)}{t^{2}} d t$

$\Rightarrow \frac{1}{2} \int_{1}^{5} f (t) d t = 1 - \frac{5}{2} \int_{1}^{5} \frac{f (t)}{t^{2}} d t = 1 - \frac{5}{2} .3 = - \frac{13}{2}$

$\Rightarrow \int_{1}^{5} f (t) d t = - 13$

Chọn đáp án D

Câu 47:

Cho $z$ , $w \in ℂ$ thỏa $|z + 2| = |\bar{z}|, |z + i| = |z - i|, |w - 2 - 3 i| \leq 2 \sqrt{2},$ $|\bar{w} - 5 + 6 i| \leq 2 \sqrt{2}$ . Giá trị lớn nhất $|z - w|$ bằng

A. $5 \sqrt{2}$

B. $4 \sqrt{2}$

C. $3 \sqrt{2}$

D. $6 \sqrt{2}$

Xem đáp án

Giả sử $z = x + y i, (x, y \in ℝ)$ . Gọi $M (x; y)$ là điểm biểu diễn của z trên $m p (O x y)$ .

Ta có:

+) $|z + 2| = |\bar{z}| \Leftrightarrow {(x + 2)}^{2} + y^{2} = x^{2} + y^{2} \Leftrightarrow x + 1 = 0 (d_{1})$

+) $|z + i| = |z - i| \Leftrightarrow x^{2} + {(y + 1)}^{2} = x^{2} + {(y - 1)}^{2} \Leftrightarrow y = 0 (d_{2})$

Khi đó $M = (d_{1}) \cap (d_{2}) \Rightarrow M (- 1; 0)$ .

Giả sử $w = a + b i, (a, b \in ℝ)$ . Gọi $N (a; b)$ là điểm biểu diễn của w trên $m p (O x y)$ .

Ta có:

+) $|w - 2 - 3 i| \leq 2 \sqrt{2} \Leftrightarrow {(a - 2)}^{2} + {(b - 3)}^{2} \leq 8 (C_{1})$

+) $|\bar{w} - 5 + 6 i| \leq 2 \sqrt{2} \Leftrightarrow {(a - 5)}^{2} + {(b - 6)}^{2} \leq 8 (C_{2})$

Với $(C_{1})$ là hình tròn tâm $I (2; 3)$ , bán kính $R_{1} = 2 \sqrt{2}$ ;

$(C_{2})$ là hình tròn tâm $J (5; 6)$ , bán kính $R_{2} = 2 \sqrt{2}$

Khi đó N thuộc miền chung của hai hình tròn $(C_{1})$ và $(C_{2})$ ( hình vẽ).

Ta có: $|z - w| = M N$

Ta có: $\vec{M I} = (3; 3); \vec{I J} = (3; 3) \Rightarrow \vec{M I} = \vec{I J}$ .

Như vậy ba điểm M,I,J thẳng hàng.

Do đó: MN lớn nhất khi và chỉ khi $N = M J \cap (C_{1}) \Rightarrow M N_{\max} = M I + I N = 3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} = 5 \sqrt{2}$ .

Chọn đáp án A

Câu 48:

Cho phương trình $3^{x} (3^{2 x} + 1) - (3^{x} + m + 2) \sqrt{3^{x} + m + 3} = 2 \sqrt{3^{x} + m + 3}$ , với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của m để phương trình có nghiệm thực?

A. 3

B. 6

C. 4

D. 5

Xem đáp án

$3^{x} (3^{2 x} + 1) - (3^{x} + m + 2) \sqrt{3^{x} + m + 3} = 2 \sqrt{3^{x} + m + 3}$
$\Leftrightarrow 3^{x} (3^{2 x} + 1) = (3^{x} + m + 2) \sqrt{3^{x} + m + 3} + 2 \sqrt{3^{x} + m + 3}$
$\Leftrightarrow 3^{3 x} + 3^{x} = (3^{x} + m + 3) \sqrt{3^{x} + m + 3} + \sqrt{3^{x} + m + 3}$

$\Leftrightarrow 3^{3 x} + 3^{x} = {(\sqrt{3^{x} + m + 3})}^{3} + \sqrt{3^{x} + m + 3}$

Xét hàm đặc trưng $f (t) = t^{3} + t$ có $f^{'} (t) = 3 t^{2} + 1 > 0, \forall t \in ℝ$ .

Vậy $\Leftrightarrow 3^{3 x} + 3^{x} = {(\sqrt{3^{x} + m + 3})}^{3} + \sqrt{3^{x} + m + 3} \Leftrightarrow f (3^{x}) = f (\sqrt{3^{x} + m + 3})$

$\Leftrightarrow 3^{x} = \sqrt{3^{x} + m + 3} \Leftrightarrow 3^{2 x} - 3^{x} - 3 = m$ . (*)

Đặt $u = 3^{x}$ , với điều kiện $u > 0$ và đặt $g (u) = u^{2} - u - 3$

Phương trình (*) $\Leftrightarrow g (u) = m$ .

$g^{'} (u) = 2 u - 1$ , $g^{'} (u) = 0 \Leftrightarrow u = \frac{1}{2}$ ta có bảng biến thiên của $g (u)$ :

Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình đã cho có nghiệm thực khi và chỉ khi $m > - \frac{13}{4}$ .

Vậy có tất cả 3 giá trị nguyên âm của m để phương trình có nghiệm thực là: -3; -2; -1.

Chọn đáp án A

Câu 49:

Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho điểm và mặt phẳng Oxyz, cho điểm $A (2; 1; 3)$ và mặt phẳng $(P) : x + m y + (2 m + 1) z - m - 2 = 0$ , m là tham số thực. Gọi $H (a; b; c)$ là hình chiếu vuông góc của điểm A trên (P). Khi khoảng cách từ điểm A đến (P) lớn nhất, tính $a + b$ .

A. 2

B. $\frac{1}{2}$

C. $\frac{3}{2}$

D. 0

Xem đáp án

Ta có $d (A, (P)) = \frac{|2 + m + 3 (2 m + 1) - m - 2|}{\sqrt{1^{2} + m^{2} + {(2 m + 1)}^{2}}} = \frac{3 |2 m + 1|}{\sqrt{1 + m^{2} + {(2 m + 1)}^{2}}}$ .

Vì $1 + m^{2} \geq \frac{1}{5} {(2 m + 1)}^{2}$ , $\forall m \in ℝ$ nên $d (A, (P)) \leq \frac{3 |2 m + 1|}{\sqrt{\frac{1}{5} {(2 m + 1)}^{2} + {(2 m + 1)}^{2}}} = \frac{\sqrt{30}}{2}$ .

Suy ra, khoảng cách từ điểm A đến (P) là lớn nhất khi và chỉ khi $m = 2$ .

Khi đó: $(P) : x + 2 y + 5 z - 4 = 0$ ; $A H : \{\begin{cases} x = 2 + t \\ y = 1 + 2 t \\ z = 3 + 5 t \end{cases}$ .

$H = d \cap (P)$ $\Rightarrow$ $2 + t + 2 (1 + 2 t) + 5 (3 + 5 t) - 4 = 0$

$\Leftrightarrow$ $t = - \frac{1}{2}$ $\Rightarrow$ $H (\frac{3}{2}; 0; \frac{1}{2})$

Vậy $a = \frac{3}{2}$ , $b = 0$ $\Rightarrow$ $a + b = \frac{3}{2}$ .

Chọn đáp án C

Câu 50:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm $f^{'} (x) = {(x + 1)}^{2} (x + 3) (x^{2} + 2 m x + 5)$ với mọi $x \in ℝ$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số $g (x) = f (|x|)$ có đúng một điểm cực trị

A. 3

B. 5

C. 4

D. 2

Xem đáp án

$f^{'} (x) = {(x + 1)}^{2} (x + 3) (x^{2} + 2 m x + 5) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = - 3 \\ x^{2} + 2 m x + 5 = 0 (1) \end{array}$

Ta có: $g (x) = \{\begin{cases} f (x) k h i x \geq 0 \\ \begin{matrix} f (- x) & k h i x < 0 \end{matrix} \end{cases}$ .

Để hàm số $y = g (x)$ có đúng 1 điểm cực trị

Suy ra khi hàm số $y = f (x)$ không có điểm cực trị nào thuộc khoảng $(0; + \infty)$ .

Trường hợp 1: Phương trình (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép

$\Leftrightarrow m^{2} - 5 \leq 0 \Leftrightarrow - \sqrt{5} \leq m \leq \sqrt{5}$ (*)

Trường hợp 2: Phương trình (1) có hai nghiệm $x_{1}, x_{2}$ phân biệt thoả mãn

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} m^{2} - 5 > 0 \\ - 2 m < 0 \\ 5 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow m > \sqrt{5}$ (**).

Từ (*) và (**) suy ra $m \geq - \sqrt{5}$ . Vì m là số nguyên âm nên: $m = \{- 2; - 1\}$

Chọn đáp án D