Đề minh họa THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 chọn lọc, có lời giải (30 đề)
Đề số 13
-
2405 lượt thi
-
50 câu hỏi
-
90 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 1:
Gọi là một nguyên hàm của hàm số . Tìm khẳng định đúng.
Xem đáp án
Áp dụng công thức: và nguyên hàm của hàm số lượng giác, nên .
Chọn đáp án D
Câu 2:
Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào sau đây?
Xem đáp án
Đồ thị đã cho có hình dạng của đồ thị hàm số bậc ba nên loại phương án B và C
Dựa vào đồ thị, ta có nên loại phương án D
Dựa vào đồ thị, ta có nên loại phương án D
Chọn đáp án A
Câu 4:
Điểm A trong hình bên dưới là điểm biểu diễn số phức z.
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Xem đáp án
Từ hình vẽ ta có biểu diễn số phức , số phức z có phần thực là 3 và phần ảo là 2
Chọn đáp án C
Câu 5:
Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh a. Biết và . Thể tích của khối chóp là:
Xem đáp án
Khối chóp có chiều cao và diện tích đáy .
Nên có thể tích .
Nên có thể tích .
Chọn đáp án A
Câu 6:
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, đường thẳng có một véctơ chỉ phương là
Xem đáp án
Một véctơ chỉ phương của đường thẳng d là
Chọn đáp án A
Câu 7:
Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào sau đây?
Xem đáp án
Từ đồ thị ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng (0;1).
Chọn đáp án D
Câu 8:
Diện tích xung quanh của hình trụ có bán kính đáy và đường sinh bằng:
Xem đáp án
Diện tích xung quanh của hình trụ .
Chọn đáp án A
Câu 9:
Cho cấp số cộng có số hạng đầu và công sai . Giá trị của bằng
Xem đáp án
Ta có :
Chọn đáp án D
Câu 10:
Nghiệm của phương trình là
Xem đáp án
Phương trình đã cho tương đương với
Vậy phương trình có nghiệm .
Vậy phương trình có nghiệm .
Chọn đáp án D
Câu 11:
Cho hàm số .Khẳng định nào sau đây đúng?
Xem đáp án
Vì nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang .
Chọn đáp án D
Câu 12:
Trong không gian Oxyz, cho điểm . Hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (Oxy) là điểm:
Xem đáp án
Hình chiếu của điểm lên trục Oxy là điểm
Nên chọn đáp án D
Câu 13:
Cho hàm số liên tục trên R và có bảng xét dấu của đạo hàm như hình vẽ sau
Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị?
Xem đáp án
+ Vì liên tục trên R nên liên tục tại .
+ Từ bảng biến thiên ta thấy đổi dấu khi x qua
Suy ra hàm số đạt cực trị tại .
Vậy hàm số có 4 cực trị.
+ Từ bảng biến thiên ta thấy đổi dấu khi x qua
Suy ra hàm số đạt cực trị tại .
Vậy hàm số có 4 cực trị.
Chọn đáp án C
Câu 14:
Cho n và k là hai số nguyên dương tùy ý thỏa mãn mệnh đề nào dưới đây đúng?
Xem đáp án
Dựa vào định nghĩa và công thức tính số tổ hợp, chỉnh hợp ta thấy:
, nên các đáp án A, C, B sai.
Ta có .
, nên các đáp án A, C, B sai.
Ta có .
Chọn đáp án D
Câu 17:
Trong không gian Oxyz, mặt cầu có tọa độ tâm I và bán kính R lần lượt là
Xem đáp án
Ta có:
• .
có tâm và bán kính .
• .
có tâm và bán kính .
Chọn đáp án C
Câu 18:
Cho hình nón có bán kính đáy bằng a và độ dài đường sinh bằng 2a. Diện tích xung quanh của hình nón đó bằng
Xem đáp án
Diện tích xung quanh của hình nón: .
Chọn đáp án B
Câu 20:
Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng . Điểm nào dưới đây thuộc (P)?
Xem đáp án
Nhận thấy nên thuộc (P).
Chọn đáp án D
Câu 21:
Có bao nhiêu số nguyên dương n để là một số nguyên dương?
Xem đáp án
là số nguyên dương
.
Vậy có 4 số nguyên dương.
.
Vậy có 4 số nguyên dương.
Chọn đáp án A
Câu 23:
Cho số phức . Tính mô đun của số phức .
Xem đáp án
Ta có:
Vậy mô đun của số phức bằng
Chọn đáp án B
Câu 24:
Tổng các nghiệm của phương trình bằng
Xem đáp án
Phương trình tương đương với , tổng các nghiệm của phương trình này là 5 (theo định lý Vi-et).
Chọn đáp án D
Câu 25:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là ABCD hình vuông tâm O, . Gọi I là trung điểm của SC. Khoảng cách từ I đến mặt phẳng bằng độ dài đoạn thẳng nào?
Xem đáp án
Từ giả thiết suy ra OI là đường trung bình của , do đó .
Ta có .
Vậy .
Ta có .
Vậy .
Chọn đáp án A
Câu 26:
Cho hàm số liên tục trên R và có một nguyên hàm là . Biết , giá trị được tính bằng công thức
Xem đáp án
Ta có:
Chọn đáp án C
Câu 27:
Cho khối chóp có đáy là hình vuông cạnh a, tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, . Tính theo a thể tích khối chóp .
Xem đáp án
Gọi H là trung điểm AB.
Theo đề, tam giác SAB cân tại S nên suy ra .
Mặt khác, tam giác SAB nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy nên suy ra .
Xét tam giác SHA vuông tại H.
Diện tích hình vuông là .
Vậy thể tích khối chóp là.
Theo đề, tam giác SAB cân tại S nên suy ra .
Mặt khác, tam giác SAB nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy nên suy ra .
Xét tam giác SHA vuông tại H.
Diện tích hình vuông là .
Vậy thể tích khối chóp là.
Chọn đáp án C
Câu 28:
Biết hai đồ thị hàm số và cắt nhau tại ba điểm phân biệt . Khi đó diện tích tam giác ABC bằng
Xem đáp án
Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình:
Khi đó suy ra
Áp dụng công thức hê rông ta có
Khi đó suy ra
Áp dụng công thức hê rông ta có
Chọn đáp án B
Câu 29:
Cho hàm số liên tục trên R và có đạo hàm . Hàm số đạt cực tiểu tại
Xem đáp án
Ta có bảng xét dấu
Do đó hàm số đạt cực tiểu tại .
Do đó hàm số đạt cực tiểu tại .
Chọn đáp án A
Câu 30:
Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn bằng
Xem đáp án
Ta có . Xét trên đoạn .
.
Ta có
Vậy .
.
Ta có
Vậy .
Chọn đáp án C
Câu 31:
Cho hàm số . Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
Xem đáp án
Tập xác định:
Ta có: Hàm số đồng biến trên từng khoảng của miền xác định.
Ta có: Hàm số đồng biến trên từng khoảng của miền xác định.
Chọn đáp án D
Câu 32:
Trong không gian Oxyz cho điểm và mặt phẳng Đường thẳng đi qua M và vuông góc với (P) có phương trình là
Xem đáp án
Ta có mặt phẳng
Mặt phẳng (P) có véc tơ pháp tuyến là
Gọi đường thẳng cần tìm là . Vì đường thẳng vuông góc với (P) nên véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là véc tơ chỉ phương của đường thẳng .
Vậy phương trình đường thẳng đi qua và có véc tơ chỉ phương là:
Mặt phẳng (P) có véc tơ pháp tuyến là
Gọi đường thẳng cần tìm là . Vì đường thẳng vuông góc với (P) nên véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là véc tơ chỉ phương của đường thẳng .
Vậy phương trình đường thẳng đi qua và có véc tơ chỉ phương là:
Chọn đáp án D
Câu 33:
Có bao nhiêu số phức z có phần thực bằng 2 và ?
Xem đáp án
Gọi số phức z có dạng:
Ta có:
.
Vậy có một số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán:
Ta có:
.
Vậy có một số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán:
Chọn đáp án B
Câu 36:
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm , . Mặt cầu đường kính MN có phương trình là:
Xem đáp án
Tâm I của mặt cầu là trung điểm đoạn .
Bán kính mặt cầu .
Vậy phương trình mặt cầu là .
Bán kính mặt cầu .
Vậy phương trình mặt cầu là .
Chọn đáp án B
Câu 37:
Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên bằng 3a. Gọi là góc giữa mặt bên và mặt đáy, mệnh đề nào dưới đây đúng?
Xem đáp án
Gọi O là giao điểm của AC và BD, N là trung điểm của BC.
Xét vuông tại O:
Xét vuông tại O:
Xét vuông tại O:
Xét vuông tại O:
Xét vuông tại O:
Xét vuông tại O:
Chọn đáp án C
Câu 38:
Có 6 bi gồm 2 bi đỏ, 2 bi vàng, 2 bi xanh. Xếp ngẫu nhiên các viên bi thành một hàng ngang. Tính xác suất để hai viên bi vàng không xếp cạnh nhau?
Xem đáp án
Số phần tử của không gian mẫu: .
Gọi A là biến cố “hai bi vàng không xếp cạnh nhau”. Do đó là biến cố hai bi vàng xếp cạnh nhau.
•Xếp 2 bi vàng cạnh nhau vào 6 vị trí có: 5 cách.
•Xếp 4 bi còn lại vào 4 vị trí còn lại có: cách.
Do đó .
Vậy .
Gọi A là biến cố “hai bi vàng không xếp cạnh nhau”. Do đó là biến cố hai bi vàng xếp cạnh nhau.
•Xếp 2 bi vàng cạnh nhau vào 6 vị trí có: 5 cách.
•Xếp 4 bi còn lại vào 4 vị trí còn lại có: cách.
Do đó .
Vậy .
Chọn đáp án B
Câu 39:
Có mấy giá trị nguyên dương của m để bất phương trình có nghiệm?
Xem đáp án
Từ giả thiết, ta chỉ xét
Ta có:
Có .
Do đó nếu có là nghiệm của bất phương trình
thì cũng là nghiệm của .
Ta xét các giá trị làm cho bất phương trình có nghiệm.
Vì ,
, với .
Vậy với thì bất phương trình (2) có nghiệm tương ứng là .
Suy ra có vô số giá trị làm cho bất phương trình (1) có nghiệm.
Ta có:
Có .
Do đó nếu có là nghiệm của bất phương trình
thì cũng là nghiệm của .
Ta xét các giá trị làm cho bất phương trình có nghiệm.
Vì ,
, với .
Vậy với thì bất phương trình (2) có nghiệm tương ứng là .
Suy ra có vô số giá trị làm cho bất phương trình (1) có nghiệm.
Chọn đáp án C
Câu 40:
Một biển quảng cáo có dạng Elip với bốn đỉnh . như hình vẽ. Người ta chia Elip bởi parapol có đỉnh ,trục đối xứng và đi qua các điểm .Sau đó sơn phần tô đậm với giá 200.000 đồng/ và trang trí đèn led phần còn lại với giá 500.000 đồng/ .Hỏi kinh phí sử dụng gần nhất với giá trị nào dưới đây? Biết .
Xem đáp án
Phương trình (E)có dạng:
Diện tích (E) là: .
Vì nên .
Vì Parabol có đỉnh và đi qua nên (P) có phương trình:
Diện tích phần tô đậm giới hạn bởi và là:
Vậy kinh phí cần sử dụng là: đồng.
Chọn đáp án C
Câu 41:
Cho hàm số xác định và có đạo hàm liên tục trên , với mọi , đồng thời và . Biết rằng , tính tổng .
Xem đáp án
Với ta có: .
Suy ra: (lấy nguyên hàm hai vế).
Ta lại có: .
Dẫn đến: .
Vì hàm số nghịch biến trên R nên .
Hàm số này thỏa các giả thiết của bài toán.
Do đó . Vậy .
Suy ra: (lấy nguyên hàm hai vế).
Ta lại có: .
Dẫn đến: .
Vì hàm số nghịch biến trên R nên .
Hàm số này thỏa các giả thiết của bài toán.
Do đó . Vậy .
Chọn đáp án C
Câu 42:
Cho hình lăng trụ đứng có đáy ABC là tam giác vuông tại C biết , . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
Xem đáp án
Tam giác ABC vuông tại C nên .
Tam giác vuông tại C nên .
Thể tích của khối lăng trụ là .
Tam giác vuông tại C nên .
Thể tích của khối lăng trụ là .
Chọn đáp án D
Câu 43:
Hình vuông có cạnh bằng 4 được chia thành hai phần bởi đường cong có phương trình . Gọi lần lượt là diện tích của phần không bị gạch và bị gạch như hình vẽ bên dưới. Tỉ số bằng
Xem đáp án
Ta có diện tích hình vuông OABC là 16 và bằng .
Chọn đáp án B
Câu 44:
Cho hàm số . Hàm số đạt cực tiểu, cực đại lần lượt tại . Tính .
Xem đáp án
Theo bài ra ta có .
Suy ra .
Suy ra
Đồ thị hàm số lên - xuống – lên.
Hàm số đạt cực tiểu, cực đại lần lượt tại .
Suy ra .
Suy ra .
Suy ra
Đồ thị hàm số lên - xuống – lên.
Hàm số đạt cực tiểu, cực đại lần lượt tại .
Suy ra .
Chọn đáp án B
Câu 45:
Cho hàm số liên tục trên và thỏa điều kiện . Tính .
Xem đáp án
Xét , ta có
.
Thay x bằng ta được
.
Nhân hai vế đẳng thức (2) cho 2 rồi trừ cho đẳng thức (1) vế theo vế ta có
.
Suy ra .
.
Thay x bằng ta được
.
Nhân hai vế đẳng thức (2) cho 2 rồi trừ cho đẳng thức (1) vế theo vế ta có
.
Suy ra .
Chọn đáp án A
Câu 46:
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng và mặt phẳng . Gọi d' là đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P), cắt và vuông góc với d. Đường thẳng d' có phương trình là
Xem đáp án
Phương trình tham số của .
Tọa độ giao điểm của d và (P) là nghiệm của hệ:
.
Vì d' nằm trong mặt phẳng (P), cắt và vuông góc với d nên d' đi qua M và có véc tơ chỉ
phương hay d' nhận véc tơ làm véc tơ chỉ phương.
Phương trình của : .
Tọa độ giao điểm của d và (P) là nghiệm của hệ:
.
Vì d' nằm trong mặt phẳng (P), cắt và vuông góc với d nên d' đi qua M và có véc tơ chỉ
phương hay d' nhận véc tơ làm véc tơ chỉ phương.
Phương trình của : .
Chọn đáp án B
Câu 47:
Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm . Gọi là mặt phẳng đi qua D sao cho ba điểm A, B, C nằm cùng phía đối với và tổng khoảng cách từ các điểm A, B, C đến mặt phẳng là lớn nhất. Giả sử phương trình có dạng: . Khi đó, bằng:
Xem đáp án
Vì mặt phẳng đi qua nên phương trình có dạng:
(với )
Đặt .
Theo giả thiết A, B, C, nằm cùng phía đối với nên không mất tính tổng quát, ta giả sử:
.
Khi đó, .
Áp dụng bất đẳng thức B.C.S cho hai bộ số và , ta được:
.
.
Đẳng thức xảy ra . Ta chọn .
hay .
Vậy .
(với )
Đặt .
Theo giả thiết A, B, C, nằm cùng phía đối với nên không mất tính tổng quát, ta giả sử:
.
Khi đó, .
Áp dụng bất đẳng thức B.C.S cho hai bộ số và , ta được:
.
.
Đẳng thức xảy ra . Ta chọn .
hay .
Vậy .
Chọn đáp án A
Câu 48:
Cho hàm số có đạo hàm với mọi . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số có 3 điểm cực trị?
Xem đáp án
Do hàm số có đạo hàm với mọi nên liên tục trên R, do đó hàm số liên tục trên R. Suy ra là một số hữu hạn.
Xét trên khoảng :
- TH1: thì . Khi đó là nghiệm bội lẻ của nên đổi dấu một lần qua suy ra hàm số có duy nhất một điểm cực trị là .
- TH2: thì vô nghiệm, suy ra với mọi
Hàm số đồng biến trên khoảng
Cả hai trường hợp trên đều có: hàm số có duy nhất một điểm cực trị là .
- TH 3: thì là nghiệm bội lẻ của
Bảng biến thiên của hàm số
- Lại có và m nguyên nên .
Vậy có 5 giá trị nguyên của m.
Xét trên khoảng :
- TH1: thì . Khi đó là nghiệm bội lẻ của nên đổi dấu một lần qua suy ra hàm số có duy nhất một điểm cực trị là .
- TH2: thì vô nghiệm, suy ra với mọi
Hàm số đồng biến trên khoảng
Cả hai trường hợp trên đều có: hàm số có duy nhất một điểm cực trị là .
- TH 3: thì là nghiệm bội lẻ của
Bảng biến thiên của hàm số
- Lại có và m nguyên nên .
Vậy có 5 giá trị nguyên của m.
Chọn đáp án A
Câu 49:
Cho số phức z thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của .
Xem đáp án
Gọi .
Ta có, số phức z thỏa mãn .
Suy ra, tập hợp tất cả các số phức thỏa mãn thỏa mãn là một đường tròn có tâm và bán kính .
Gọi .
, với .
Ta có, . Suy ra cùng phương và 3 điểm thẳng hàng.
Ta lại có, I là trung điểm của và . Suy ra các điểm nằm ngoài đường tròn .
Ta có, hình biểu diễn tập hợp các điểm M.
Mặt khác: , với .
Ta có, .
Vậy, giá trị lớn nhất của bằng khi và chỉ khi cân tại M.
Ta có, số phức z thỏa mãn .
Suy ra, tập hợp tất cả các số phức thỏa mãn thỏa mãn là một đường tròn có tâm và bán kính .
Gọi .
, với .
Ta có, . Suy ra cùng phương và 3 điểm thẳng hàng.
Ta lại có, I là trung điểm của và . Suy ra các điểm nằm ngoài đường tròn .
Ta có, hình biểu diễn tập hợp các điểm M.
Mặt khác: , với .
Ta có, .
Vậy, giá trị lớn nhất của bằng khi và chỉ khi cân tại M.
Chọn đáp án A
Câu 50:
Tìm tập hợp tất cả các giá trị tham số m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt.
Xem đáp án
Xét phương trình:
Đặt . Do đó, ta có . Điều kiện
Ta có phương trình: (1) trở thành:
Ta nhận thấy mỗi giá trị cho hai giá trị x tương ứng. Như vậy phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có 2 nghiệm thỏa: .
.
Nhận xét: , không là nghiệm phương trình.
Xét . Xét hàm trên
;
Dựa vào bảng biến thiên, ta cần .
Đặt . Do đó, ta có . Điều kiện
Ta có phương trình: (1) trở thành:
Ta nhận thấy mỗi giá trị cho hai giá trị x tương ứng. Như vậy phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có 2 nghiệm thỏa: .
.
Nhận xét: , không là nghiệm phương trình.
Xét . Xét hàm trên
;
Dựa vào bảng biến thiên, ta cần .
Chọn đáp án B