50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề số 18

Câu 1:

Số cách chọn 5 học sinh trong 10 học sinh của một lớp đi tham quan di tích Ngã Ba Đồng Lộc là

A. 5

B. $C_{10}^{5}$

C. $P_{5}$

D. $A_{10}^{5}$

Mỗi cách chọn 5 học sinh trong số 10 học sinh là một tổ hợp chập 5 của 10.
Vậy số cách chọn 5 học sinh trong 10 học sinh của một lớp đi tham quan di tích Ngã Ba Đồng Lộc là

C_{10}^{5}

.

Chọn đáp án B

Câu 2:

Cho cấp số cộng

(u_{n})

với

u_{1} = 3

và

u_{2} = 9.

Công sai của cấp số cộng đã cho là

A. 6

B. 3

C. 12

D. -6

Xem đáp án

Gọi công sai của cấp số cộng là d
Áp dụng công thức

u_{n} = u_{1} + (n - 1) d

, khi đó

u_{2} = u_{1} + d \Rightarrow d = u_{2} - u_{1} = 9 - 3 = 6

Vậy công sai

d = 6.

Câu 3:

Cho hàm số

y = f (x)

có bảng biến thiên sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(- 2; + \infty)$

B. $(0; + \infty)$

C. $(- \infty; - 2)$

D. $(- \frac{3}{2}; + \infty)$

Xem đáp án

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy

f' (x) > 0

trên các khoảng

(- \infty; - 3)

và

(- 1; + \infty)

Hàm số đồng biến trên

(- \infty; - 3)

và

(- 1; + \infty) \Rightarrow

hàm số đồng biến trên

(0; + \infty)

.

Chọn đáp án B

Câu 4:

Cho hàm số

f (x)

có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đạt cực đại tại

A. $x = - 2$

B. $x = 2$

C. $x = 1$

D. $x = 0$

Xem đáp án

Theo BBT

Chọn đáp án D

Câu 5:

Cho hàm số

y = f (x)

xác định trên R và có bảng xét dấu của đạo hàm như sau.

Khi đó số cực trị của hàm số

y = f (x)

là

A. 3

B. 2

C. 4

D. 1

Xem đáp án

Do hàm số xác định trên R và có biểu thức đạo hàm đổi dấu ba lần tại x1; x2; x3 nên hàm số

y = f (x)

có ba cực trị.

Chọn đáp án A

Câu 6:

Đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

y = \frac{1 - x}{- x + 2}

có phương trình lần lượt là

A. $x = 1; y = 2$

B. $x = 2; y = 1$

C. $x = 2; y = \frac{1}{2}$

D. $x = 2; y = - 1$

Xem đáp án

Ta có:

\lim_{x \to 2^{+}} y = + \infty; \lim_{x \to 2^{-}} y = - \infty \Rightarrow

Tiệm cận đứng là

x = 2

.

\lim_{x \to \pm \infty} y = 1 \Rightarrow

Tiệm cận ngang là

y = 1

Chọn đáp án B

Câu 7:

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?

A. $y = x^{3} - 3 x$

B. $y = - x^{3} + 3 x$

C. $y = x^{4} - 2 x^{2}$

D. $y = - x^{4} + 2 x^{2}$

Xem đáp án

Nhìn vào đồ thị ta thấy đây không thể là đồ thị của hàm số trùng phương suy ra Loại C, D
Khi

x \to + \infty

thì

y \to + \infty

suy ra Loại B
Vậy chọn đáp án A

Câu 8:

Số giao điểm của đồ thị hàm số

y = \frac{x + 1}{x - 1}

và đường thẳng

y = 2

là

A. 1

B. 2

C. 4

D. 6

Xem đáp án

Xét hàm số

y = \frac{x + 1}{x - 1}

:

D = ℝ \ \{1\}

y' = \frac{- 2}{{(x - 1)}^{2}}; \forall x \in D

Ta có bảng biến thiên của hàm số

y = \frac{x + 1}{x - 1}

Số giao điểm của đồ thị hàm số y=x+1/x-1 và đường thẳng y=2 là (ảnh 1)

Từ đó ta có số giao điểm của

y = \frac{x + 1}{x - 1}

và

y = 2

là 1 giao điểm.\

Chọn đáp án A

Câu 9:

Với a là số thực dương tùy ý,

\log_{2} (a^{3})

bằng:

A. $\frac{3}{2} \log_{2} a .$

B. $\frac{1}{3} \log_{2} a .$

C. $3 + \log_{2} a .$

D. $3 \log_{2} a .$

Xem đáp án

Ta có:

\log_{2} (a^{3}) = 3 \log_{2} a .

Chọn đáp án D

Câu 10:

Đẳng thức nào sau đây đúng với mọi số dương x?

A. ${(\log x)}^{'} = x \ln 10$

B. ${(\log x)}^{'} = \frac{x}{\ln 10}$

C. ${(\log x)}^{'} = \frac{1}{x \ln 10}$

D. ${(\log x)}^{'} = \frac{\ln 10}{x}$

Xem đáp án

${(\log x)}^{'} = \frac{1}{x \ln 10}$

Chọn đáp án C

Câu 11:

Rút gọn biểu thức

P = x^{\frac{1}{2}} . \sqrt[8]{x}

(với

x > 0

).

A. $x^{4}$

B. $x^{\frac{5}{16}}$

C. $x^{\frac{5}{8}}$

D. $x^{\frac{1}{16}}$

Xem đáp án

Ta có $P = x^{\frac{1}{2}} . \sqrt[8]{x} = x^{\frac{1}{2}} . x^{\frac{1}{8}} = {x^{\frac{1}{2} +}}^{\frac{1}{8}} = x^{\frac{5}{8}}$ .

Chọn đáp án C

Câu 12:

Phương trình

5^{2 x + 1} = 125

có nghiệm là

A. $x = \frac{5}{2}$

B. $x = 1$

C. $x = 3$

D. $x = \frac{3}{2}$

Xem đáp án

Ta có:

5^{2 x + 1} = 125 \Leftrightarrow 5^{2 x + 1} = 5^{3} \Leftrightarrow 2 x + 1 = 3 \Leftrightarrow x = 1

.

Chọn đáp án B

Câu 13:

Tổng bình phương các nghiệm của phương trình

\log_{\frac{1}{2}} (x^{2} - 5 x + 7) = 0

bằng

A. 6

B. 5

C. 13

D. 25

Xem đáp án

Điều kiện:

x \in ℝ

vì

x^{2} - 5 x + 7 > 0, \forall x \in ℝ

\log_{\frac{1}{2}} (x^{2} - 5 x + 7) = 0 \Leftrightarrow x^{2} - 5 x + 7 = 1 \Leftrightarrow x^{2} - 5 x + 6 = 0 \Leftrightarrow x_{1} = 2 \lor x_{2} = 3 \Rightarrow x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 13

Chọn đáp án C

Câu 14:

Họ các nguyên hàm của hàm số

f (x) = x^{3} + 3 x + 2

là

A. $F (x) = 3 x^{2} + 3 x + C$

B. $F (x) = \frac{x^{4}}{4} + \frac{3 x^{2}}{2} + 2 x + C$

C. $F (x) = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{2}}{2} + 2 x + C$

D. $F (x) = \frac{x^{4}}{3} + 3 x^{2} + 2 x + C$

Xem đáp án

Ta có:

\int (x^{3} + 3 x + 2) dx = \frac{x^{4}}{4} + \frac{3 x^{2}}{2} + 2 x + C

.

Chọn đáp án B

Câu 15:

Tìm nguyên hàm của hàm số

f (x) = \cos 6 x .

A. $\int \cos 6 x d x = 6 \sin 6 x + C$

B. $\int \cos 6 x d x = \frac{1}{6} \sin 6 x + C$

C. $\int \cos 6 x d x = - \frac{1}{6} \sin 6 x + C .$

D. $\int \cos 6 x d x = \sin 6 x + C$

Xem đáp án

Ta có:

\int \cos 6 x d x = \frac{1}{6} \int \cos 6 x d (6 x) = \frac{1}{6} \sin 6 x + C

.

Chọn đáp án B

Câu 16:

Cho

\int_{- 2}^{2} f (x) d x = 1, \int_{- 2}^{4} f (t) d t = - 4

. Tính

I = \int_{2}^{4} f (y) d y

.

A. $I = 5$

B. $I = 3$

C. $I = - 3$

D. $I = - 5$

Xem đáp án

Do tích phân không phụ thuộc vào biến số nên

\int_{- 2}^{4} f (t) d t = \int_{- 2}^{4} f (x) d x = - 4

.
Ta có

I = \int_{2}^{4} f (y) d y = \int_{2}^{4} f (x) d x = \int_{- 2}^{4} f (x) d x - \int_{- 2}^{2} f (x) d x = - 4 - 1 = - 5

.

Chọn đáp án D

Câu 17:

Số phức liên hợp của số phức

z = 2020 - 2021 i

A. $\bar{z} = 2020 + 2021 i$

B. $\bar{z} = - 2020 - 2021 i$

C. $\bar{z} = - 2020 + 2021 i$

D. $\bar{z} = 2020 - 2021 i$

Xem đáp án

Số phức liên hợp của số phức

z = 2020 - 2021 i

là

\bar{z} = 2020 + 2021 i

.

Chọn đáp án A

Câu 18:

Tính tích phân

I = \int_{0}^{2} (2 x + 1) d x

A. $I = 5$

B. $I = 6$

C. $I = 2$

D. $I = 4$

Xem đáp án

Ta có

I = \int_{0}^{2} (2 x + 1) d x = {(x^{2} + x)|}_{0}^{2} = 4 + 2 = 6

.

Chọn đáp án B

Câu 19:

Cho hai số phức

z_{1} = 2 + 3 i, z_{2} = - 4 - 5 i

. Số phức

z = z_{1} + z_{2}

là

A. $z = 2 + 2 i$

B. $z = - 2 - 2 i$

C. $z = 2 - 2 i$

D. $z = - 2 + 2 i$

Xem đáp án

$z = z_{1} + z_{2} = 2 + 3 i - 4 - 5 i = - 2 - 2 i$

Chọn đáp án B

Câu 20:

Cho số phức

z = 4 - 5 i

. Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn của số phức

\bar{z}

là điểm nào?

A. $M (- 5; 4)$

B. $N (4; 5)$

C. $P (4; - 5)$

D. $Q (- 4; 5)$

Xem đáp án

Ta có

\bar{z} = 4 + 5 i

. Điểm biểu diễn số phức

\bar{z}

là

N (4; 5)

.

Chọn đáp án B

Câu 21:

Một khối lăng trụ có chiều cao bằng 2a và diện tích đáy bằng

2 a^{2}

. Tính thể tích khối lăng trụ

A. $V = 4 a^{3}$

B. $V = \frac{4 a^{2}}{3}$

C. $V = \frac{4 a^{3}}{3}$

D. $V = \frac{2 a^{3}}{3}$

Xem đáp án

Thể tích khối lăng trụ đã cho là:

V = S_{® ¸ y} . h

= 2 a^{2} .2 a = 4 a^{3}

.

Chọn đáp án A

Câu 22:

Cho khối chóp có diện tích đáy bằng

6 c m^{2}

và có chiều cao là

2 c m

. Thể tích của khối chóp đó là :

A. $6 c m^{3}$

B. $4 c m^{3}$

C. $3 c m^{3}$

D. $12 c m^{3}$

Xem đáp án

Thể tích của khối chóp là:

V = \frac{1}{3} h . S_{d a y} = \frac{1}{3} .2.6 = 4 (c m^{3})

.

Chọn đáp án B

Câu 23:

Gọi

l, h, r

, lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của một hình nón. Thể tích của khối nón tương ứng bằng

A. $V = \frac{1}{3} π r^{2} l .$

B. $V = \frac{1}{3} π r^{2} h .$

C. $V = 2 π r l .$

D. $V = π r l .$

Xem đáp án

Thể tích khối nón có chiều cao h, bán kính đáy r là

V = \frac{1}{3} π r^{2} h

.

Chọn đáp án B

Câu 24:

Tính theo a thể tích của một khối trụ có bán kính đáy là a, chiều cao bằng 2a.

A. $2 π a^{3}$

B. $\frac{2 π a^{3}}{3}$

C. $\frac{π a^{3}}{3}$

D. $π a^{3}$

Xem đáp án

Thể tích của khối trụ là:

V = π R^{2} . h = π . a^{2} .2 a = 2 π a^{3}

.

Chọn đáp án A

Câu 25:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm

A (2; 3; - 1)

và

B (- 4; 1; 9)

. Trung điểm I của đoạn thẳng AB có tọa độ là

A. $(- 1; 2; 4)$

B. $(- 2; 4; 8)$

C. $(- 6; - 2; 10)$

D. $(1; - 2; - 4)$

Xem đáp án

Công thức tọa độ trung điểm:

\{\begin{cases} x_{I} = \frac{x_{A} + x_{B}}{2} = \frac{2 - 4}{2} = - 1 \\ y_{I} = \frac{y_{A} + y_{B}}{2} = \frac{3 + 1}{2} = 2 \\ z_{I} = \frac{z_{A} + z_{B}}{2} = \frac{- 1 + 9}{2} = 4 \end{cases} \Rightarrow I (- 1; 2; 4)

.

Chọn đáp án A

Câu 26:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu có phương trình

{(x + 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} + z^{2} = 5

là :

A. $I (2; 3; 0), R = \sqrt{5}$

B. $I (- 2; 3; 0), R = \sqrt{5}$

C. $I (2; 3; 1), R = 5$

D. $I (2; - 2; 0), R = 5$

Xem đáp án

Mặt cầu có tâm

I (- 2; 3; 0)

và bán kính là

R = \sqrt{5}

.

Chọn đáp án B

Câu 27:

Trong không gian Oxyz, điểm nào dưới đây nằm trên mặt phẳng

(P) : 2 x - y + z - 2 = 0

A. $Q (1; - 2; 2)$

B. $P (2; - 1; - 1)$

C. $M (1; 1; - 1)$

D. $N (1; - 1; - 1)$

Xem đáp án

+ Thay toạ độ điểm Q vào phương trình mặt phẳng (P) ta được

2.1 - (- 2) + 2 - 2 = 4 \neq 0

nên

Q \notin (P)

.
+ Thay toạ độ điểm P vào phương trình mặt phẳng (P) ta được

2.2 - (- 1) + (- 1) - 2 = 2 \neq 0

nên

P \notin (P)

.
+ Thay toạ độ điểm M vào phương trình mặt phẳng (P) ta được

2.1 - 1 + (- 1) - 2 = - 2 \neq 0

nên

M \notin (P)

.
+ Thay toạ độ điểm N vào phương trình mặt phẳng (P) ta được

2.1 - (- 1) + (- 1) - 2 = 0

nên

N \in (P)

.

Chọn đáp án D

Câu 28:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :

\frac{x + 1}{1} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z}{- 2}

, vectơ nào dưới đây là vtcp của đường thẳng d ?

A. $\vec{u} = (- 1; - 3; 2)$

B. $\vec{u} = (1; 3; 2)$

C. $\vec{u} = (1; - 3; - 2)$

D. $\vec{u} = (- 1; 3; - 2)$

Xem đáp án

d có vtcp

\vec{u} = (- 1; - 3; 2)

.

Chọn đáp án A

Câu 29:

Gieo mọt con súc sắc ba lần. Xác suất để được mặt số hai xuất hiện cả ba lần là.

A. $\frac{1}{172}$

B. $\frac{1}{18}$

C. $\frac{1}{20}$

D. $\frac{1}{216}$

Xem đáp án

Số phần tử của không gian mẫu là:

|Ω| = 6^{3} = 216

.
Số phần tử của không gian thuận lợi là:

|Ω_{A}| = 1

.
Xác suất biến cố A là:

P (A) = \frac{1}{216}

.

Chọn đáp án D

Câu 30:

Tìm các khoảng đồng biến của hàm số

y = x^{3} + 3 x^{2} + 1

.

A. $(- \infty; - 2) \cup (0; + \infty)$

B. $(- \infty; - 2)$ và $(0; + \infty)$

C. $(- 2; 0)$

D. $(- \infty; - 3)$ và $(0; + \infty)$

Xem đáp án

y^{'} = 3 x^{2} + 6 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = - 2 \end{array}

.

Tìm các khoảng đồng biến của hàm số y=x^3+3x^2+1 . (ảnh 1)

Vậy hàm số đồng biến trên

(- \infty; - 2)

và

(0; + \infty)

.

Chọn đáp án B

Câu 31:

Cho hàm số

y = x^{3} + 3 x^{2} - 9 x + 1

. Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số trên đoạn [0;4] là

A. $M = 77; m = - 4$

B. $M = 28; m = 1$

C. $M = 77; m = 1$

D. $M = 28; m = - 4$

Xem đáp án

Đặt

f (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 9 x + 1

.
Ta có:

y^{'} = 3 x^{2} + 6 x - 9

.

y^{'} = 0 \Leftrightarrow 3 x^{2} + 6 x - 9 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \in (0; 4) \\ x = - 3 \notin (0; 4) \end{array}

Có:

f (0) = 1; f (1) = - 4; f (4) = 77

.
Suy ra:

M = 77

;

m = - 4

.

Chọn đáp án A

Câu 32:

Tập nghiệm của bất phương trình

\log_{3} (2 x - 1) < 3

là

A. $(- \infty; 14)$

B. $(\frac{1}{2}; 5)$

C. $[\frac{1}{2}; 14)$

D. $(\frac{1}{2}; 14)$

Xem đáp án

\log_{3} (2 x - 1) < 3 \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x - 1 > 0 \\ 2 x - 1 < 27 \end{cases} \Leftrightarrow \frac{1}{2} < x < 14

.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là

(\frac{1}{2}; 14)

.

Chọn đáp án D

Câu 33:

Cho

\int_{0}^{1} f (x) d x = 2

và

\int_{0}^{1} g (x) d x = 5

, khi đó

\int_{0}^{1} [f (x) - 2 g (x)] d x

bằng

A. -3

B. 12

C. -8

D. 1

Xem đáp án

Ta có:

\int_{0}^{1} [f (x) - 2 g (x)] d x = \int_{0}^{1} f (x) d x - 2 \int_{0}^{1} g (x) d x = 2 - 2.5 = - 8

.

Chọn đáp án C

Câu 34:

Cho hai số phức

z_{1} = 3 - i

và

z_{2} = - 1 + i

. Phần ảo của số phức

z_{1} z_{2}

bằng

A. 4

B. 4i

C. -1

D. -i

Xem đáp án

Ta có

z_{1} z_{2} = (3 - i) (- 1 + i) = - 2 + 4 i

.
Vậy phần ảo của số phức

z_{1} z_{2}

bằng 4.

Chọn đáp án A

Câu 35:

Cho hình chóp S.ABC có

S A = S B = C B = C A

, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm I của cạnh AB. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng.

Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=CB=CA , hình chiếu vuông góc của (ảnh 1)

A. $45^{0}$

B. $90^{0}$

C. $60^{0}$

D. $30^{0}$

Xem đáp án

Vì

S I ⊥ (A B C)

suy ra IC là hình chiếu của SC lên mặt phẳng (ABC).
Khi đó góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) là góc giữa SC và IC hay góc

\hat{S C I}

.
Lại có,

Δ S A B = Δ C A B

suy ra

C I = S I

, nên tam giác SIC vuông cân tại I.
Khi đó

\hat{S C I} = 45^{0}

Vậy góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng

45^{0}

Chọn đáp án A

Câu 36:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi M là trung điểm của SD. Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SAC) bằng

A. $\frac{a \sqrt{2}}{2}$

B. $\frac{a \sqrt{2}}{4}$

C. $\frac{a}{2}$

D. $\frac{a}{4}$

Xem đáp án

$d (M, (S A C)) = \frac{1}{2} d (D, (S A C)) = \frac{1}{2} D O = \frac{1}{4} B D = \frac{a \sqrt{2}}{4}$

Chọn đáp án B

Câu 37:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt cầu (S) có tâm

I ((1; - 2; 3)

và (S) đi qua điểm

A (3; 0; 2)

.

A. ${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 3$

B. ${(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 3)}^{2} = 9$

C. ${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 9$

D. ${(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 3)}^{2} = 3$

Xem đáp án

Ta có bán kính mặt cầu là

R = I A = \sqrt{{(3 - 1)}^{2} + {(0 + 2)}^{2} + {(2 - 3)}^{2}} = 3

.
Vậy phương trình mặt cầu (S) là

{(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 9

,

Chọn C.

Câu 38:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz viết phương trình tham số của đường thẳng

Δ : \frac{x - 4}{1} = \frac{y + 3}{2} = \frac{z - 2}{- 1} .

A. $Δ : \{\begin{cases} x = 1 - 4 t \\ y = 2 + 3 t \\ z = - 1 - 2 t \end{cases} .$

B. $Δ : \{\begin{cases} x = - 4 + t \\ y = 3 + 2 t \\ z = - 2 - t \end{cases} .$

C. $Δ : \{\begin{cases} x = 4 + t \\ y = - 3 + 2 t \\ z = 2 - t \end{cases} .$

D. $Δ : \{\begin{cases} x = 1 + 4 t \\ y = 2 - 3 t \\ z = - 1 + 2 t \end{cases} .$

Xem đáp án

Ta có

Δ

đi qua điểm

A (4; - 3; 2)

có véctơ chỉ phương

\vec{u} = (1; 2; - 1)

.
Do đó phương trình tham số là

Δ : \{\begin{cases} x = 4 + t \\ y = - 3 + 2 t \\ z = 2 - t \end{cases}

.

Chọn đáp án C

Câu 39:

Cho đồ thị hàm số

y = f (x)

có dạng hình vẽ bên. Tính tổng tất cả giá trị nguyên của m để hàm số

y = | f (x) - 2 m + 5 |

có 7 điểm cực trị.

Cho đồ thị hàm số y=f(x) có dạng hình vẽ bên. Tính tổng tất cả giá trị (ảnh 1)

A. 6

B. 3

C. 5

D. 2

Xem đáp án

Để đồ thị hàm số

y = | f (x) - 2 m + 5 |

có điểm cực trị thì đồ thị hàm số

y = f (x)

tịnh tiến lên trên hoặc xuống không quá 2 đơn vị. Vậy

- 2 < 5 - 2 m < 2 \Leftrightarrow \frac{3}{2} < m < \frac{7}{2} \Rightarrow m \in \{2; 3\}

Vậy tổng tất cả các số nguyên của m là 5.

Chọn đáp án C

Câu 40:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình sau

\log_{\frac{1}{2}} (x - 1) > \log_{\frac{1}{2}} (x^{3} + x - m)

có nghiệm

A. $ m \in ℝ$

B. $m < 2$

C. $m \leq 2$

D. Không tồn tại m.

Xem đáp án

Yêu cầu bài toán

\Leftrightarrow \{\begin{cases} x - 1 > 0 \\ x - 1 < x^{3} + x - m \end{cases}

có nghiệm

\Leftrightarrow \{\begin{cases} x > 1 \\ m < x^{3} + 1 = f (x) \end{cases}

có nghiệm.
Khảo sát hàm

y = f (x)

trên khoảng

(1; ​ + \infty)

, ta có

f^{'} (x) = 3 x^{2} > 0; \forall x > 1

.
Bảng biến thiên sau:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương (ảnh 1)

Từ BBT ta thấy để hệ có nghiệm ta có

\forall m \in ℝ

.

Chọn đáp án A

Câu 41:

Cho

\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sqrt{2 + 3 \tan x}}{1 + \cos 2 x} d x = a \sqrt{5} + b \sqrt{2},

với

a, b \in ℝ .

Tính giá trị biểu thức

A = a + b .

A. $\frac{1}{3}$

B. $\frac{7}{12}$

C. $\frac{2}{3}$

D. $\frac{4}{3}$

Xem đáp án

Ta có

I = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sqrt{2 + 3 \tan x}}{1 + \cos 2 x} d x = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sqrt{2 + 3 \tan x}}{2 \cos^{2} x} d x

Đặt

u = \sqrt{2 + 3 \tan x} \Rightarrow u^{2} = 2 + 3 \tan x \Rightarrow 2 u d u = \frac{3}{\cos^{2} x} d x

Đổi cận

x = 0 \Rightarrow u = \sqrt{2}

x = \frac{π}{4} \Rightarrow u = \sqrt{5}

.
Khi đó

I = \frac{1}{3} \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{5}} u^{2} d u = \frac{1}{9} {u^{3}|}_{\sqrt{2}}^{\sqrt{5}} = \frac{5 \sqrt{5}}{9} - \frac{2 \sqrt{2}}{9}

.
Do đó

a = \frac{5}{9}, b = - \frac{2}{9}, \Rightarrow a + b = \frac{1}{3}

.

Chọn đáp án A

Câu 42:

Cho số phức

z = a + b i (a, b \in ℝ, a > 0)

thỏa

z . \bar{z} - 12 |z| + (z - \bar{z}) = 13 - 10 i

. Tính

S = a + b

.

A. $S = - 17$

B. $S = 5$

C. $S = 7$

D. $S = 17$

Xem đáp án

Ta có:

z . \bar{z} - 12 |z| + (z - \bar{z}) = 13 - 10 i \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} - 12 \sqrt{a^{2} + b^{2}} + 2 b i = 13 - 10 i \Leftrightarrow \{\begin{cases} a^{2} + b^{2} - 12 \sqrt{a^{2} + b^{2}} = 13 \\ 2 b = - 10 \end{cases}

\Leftrightarrow \{\begin{cases} a^{2} + 25 - 12 \sqrt{a^{2} + 25} = 13 \\ b = - 5 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} [\begin{array}{l} \sqrt{a^{2} + 25} = 13 \\ \sqrt{a^{2} + 25} = - 1 (V N) \end{array} \\ b = - 5 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = \pm 12 \\ b = - 5 \end{cases}

\Rightarrow \{\begin{cases} a = 12 \\ b = - 5 \end{cases}

vì

a > 0

.
Vậy

S = a + b = 7

.

Chọn đáp án C

Câu 43:

Cho hình chóp S.ABC có mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABC), SAB là tam giác đều cạnh

a \sqrt{3}, B C = a \sqrt{3}

, đường thẳng SC tạo với mặt phẳng (ABC) góc

60 °

. Thể tích của khối chóp

S . A B C

bằng

A. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{6}}{2}$

C. $\frac{a^{3} \sqrt{6}}{6}$

D. $2 a^{3} \sqrt{6}$

Xem đáp án

Cho hình chóp S.ABC có mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) (ảnh 1)

Ta thấy tam giác ABC cân tại B, gọi H là trung điểm của AB suy ra

B H ⊥ A C .

Do

(S A C) ⊥ (A B C)

nên

B H ⊥ (S A C)

.
Ta lại có

B A = B C = B S

nên B thuộc trục đường tròn ngoại tiếp tam giác

A B C \Rightarrow H

là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

S A C \Rightarrow S A ⊥ S C

.
Do AC là hình chiếu của SC lên mặt phẳng

(A B C) \Rightarrow \hat{S C A} = 60^{0}

.
Ta có

S C = S A . \cot 60^{0} = a, A C = \frac{S A}{\sin 60^{0}} = 2 a \Rightarrow H C = a \Rightarrow B H = \sqrt{B C^{2} - H C^{2}} = a \sqrt{2},

.

V_{S . A B C} = \frac{1}{3} B H . S_{S A C} = \frac{1}{6} B H . S A . S C = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{6}

.

Chọn đáp án C

Câu 44:

Cổng trường Đại học Bách Khoa Hà Nội có hình dạng Parabol, chiều rộng 8m, chiều cao 12,5m. Diện tích của cổng là:

A. $100 (m^{2})$

B. $200 (m^{2})$

C. $\frac{100}{3} (m^{2})$

D. $\frac{200}{3} (m^{2})$

Xem đáp án

Cách 1:

Cổng trường Đại học Bách Khoa Hà Nội có hình dạng Parabol, chiều rộng 8m , (ảnh 1)

Xét hệ trục tọa độ như hình vẽ mà trục đối xứng của Parabol trùng với trục tung, trục hoành trùng với đường tiếp đất của cổng.
Khi đó Parabol có phương trình dạng .
Vì (P) đi qua đỉnh

I (0; 12, 5)

nên ta có

c = 12, 5

.
(P) cắt trục hoành tại hai điểm

A (- 4; 0)

và

B (4; 0)

nên ta có

0 = 16 a + c \Rightarrow a = \frac{- c}{16} = - \frac{25}{32}

. Do đó

(P) : y = - \frac{25}{32} x^{2} + 12, 5

.
Diện tích của cổng là:

S = \int_{- 4}^{4} (- \frac{25}{32} x^{2} + 12, 5) d x = \frac{200}{3} (m^{2})

.
Cách 2:

Cổng trường Đại học Bách Khoa Hà Nội có hình dạng Parabol, chiều rộng 8m , (ảnh 2)

Ta có parabol đã cho có chiều cao là

h = 12, 5 m

và bán kính đáy

O D = O E = 4 m

Do đó diện tích parabol đã cho là:

S = \frac{4}{3} r h = \frac{200}{3} (m^{2})

Chọn đáp án D

Câu 45:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng

(d) : \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z}{3}

và mặt phẳng

(P) : x + 3 y + z = 0

. Đường thẳng

(Δ)

đi qua

M (1; 1; 2)

, song song với mặt phẳng (P) đồng thời cắt đường thẳng (d )có phương trình là

A. $\frac{x - 3}{1} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z - 9}{2}$

B. $\frac{x + 2}{1} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z - 6}{2}$

C. $\frac{x - 1}{- 1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 2}{1}$

D. $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z - 2}{2}$

Xem đáp án

Phương trình tham số của

(d) : \{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 1 - t \\ z = 3 t \end{cases}, t \in ℝ

.
Mặt phẳng (P) có véc tơ pháp tuyến

\vec{n} = (1; 3; 1)

.
Giả sử

Δ \cap d = A (1 + t; 1 - t; 3 t)

.

\Rightarrow \vec{M A} = (t; - t; 3 t - 2)

là véc tơ chỉ phương của

Δ \Rightarrow \vec{M A} . \vec{n} = 0 \Leftrightarrow t - 3 t + 3 t - 2 = 0 \Leftrightarrow t = 2

.

\Rightarrow \vec{M A} = (2; - 2; 4) = 2 (1; - 1; 2)

. Vậy phương trình đường thẳng

Δ : \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z - 2}{2}

.

Chọn đáp án D

Câu 46:

Hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số $y = f (x)$

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số $y = |f (x + 1) + m|$ có 5 điểm cực trị?

A. 0

B. 3

C. 2

D. 1

Xem đáp án

Đồ thị của hàm số

y = |f (x + 1) + m|

được suy ra từ đồ thị (C) ban đầu như sau:
+ Tịnh tiến (C) sang trái một đơn vị, sau đó tịnh tiến lên trên (hay xuống dưới) m đơn vị. Ta được đồ thị

(C^{'}) : y = f (x + 1) + m

.
+ Phần đồ thị

(C^{'})

nằm dưới trục hoành, lấy đối xứng qua trục Ox ta được đồ thị của hàm số

y = |f (x + 1) + m|

.
Ta được bảng biến thiên của của hàm số

y = |f (x + 1) + m|

như sau.

Hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số y=f(x) . (ảnh 2)

Để hàm số

y = |f (x + 1) + m|

có 5 điểm cực trị thì đồ thị của hàm số

(C^{'}) : y = f (x + 1) + m

phải cắt trục Ox tại 2 hoặc 3 giao điểm.
+ TH1: Tịnh tiến đồ thị

(C^{'}) : y = f (x + 1) + m

lên trên. Khi đó

\{\begin{cases} m > 0 \\ - 3 + m \geq 0 \\ - 6 + m < 0 \end{cases} \Leftrightarrow 3 \leq m < 6

.
+ TH2: Tịnh tiến đồ thị

(C^{'}) : y = f (x + 1) + m

xuống dưới. Khi đó

\{\begin{cases} m < 0 \\ 2 + m \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow m \leq - 2

.
Vậy có ba giá trị nguyên dương của m là

3; 4; 5

.

Chọn đáp án B

Câu 47:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

m \in [- 20; 20]

để tồn tại các số thực x, y thỏa mãn đồng thời

e^{3 x + 5 y - 10} - e^{x + 3 y - 9} = 1 - 2 x - 2 y

và

\log_{5}^{2} (3 x + 2 y + 4) - (m + 6) \log_{2} (x + 5) + m^{2} + 9 = 0

.

A. 22

B. 23

C. 19

D. 31

Xem đáp án

Ta có

e^{3 x + 5 y - 10} - e^{x + 3 y - 9} = 1 - 2 x - 2 y

\Leftrightarrow e^{3 x + 5 y - 10} - e^{x + 3 y - 9} = (x + 3 y - 9) - (3 x + 5 y - 10)

\Leftrightarrow e^{3 x + 5 y - 10} + 3 x + 5 y - 10 = e^{x + 3 y - 9} + x + 3 y - 9

Xét hàm số

f (t) = e^{t} + t, t \in ℝ

.
Ta có:

f^{'} (t) = e^{t} + 1 > 0, \forall t \in ℝ .

Suy ra hàm số

f (t)

luôn đồng biến trên R

\Rightarrow 3 x + 5 y - 10 = x + 3 y - 9 \Leftrightarrow 2 y = 1 - 2 x

.
Thay vào phương trình thứ 2, ta được

\begin{array}{l} \log_{5}^{2} (3 x + 2 y + 4) - (m + 6) \log_{2} (x + 5) + m^{2} + 9 = 0 \\ \Leftrightarrow \log_{5}^{2} (x + 5) - (m + 6) \log_{2} (x + 5) + m^{2} + 9 = 0 \\ \Leftrightarrow \log_{5}^{2} (x + 5) - (m + 6) \log_{2} 5. \log_{5} (x + 5) + m^{2} + 9 = 0 (1) . \end{array}

Đặt

\log_{5} (x + 5) = t (t \in ℝ, x > - 5)

. Khi đó phương trình (1) trở thành

t^{2} - \log_{2} 5. (m + 6) t + m^{2} + 9 = 0

(2).
Tồn tại x, y thỏa mãn yêu cầu bài toán khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm nên

Δ = {(m + 6)}^{2} . \log_{2}^{2} 5 - 4 (m^{2} + 9) \geq 0 \Leftrightarrow (\log_{2}^{2} 5 - 4) m^{2} + 12. \log_{2}^{2} 5. m - 36 (1 - \log_{2}^{2} 5) \geq 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m \leq m_{1} \\ m \geq m_{2} \end{array}

.
với

m_{1} \approx - 43.91

và

m_{2} \approx - 2.58

Do

m \in [- 20; 20]

và

m \in ℤ

nên

m \in \{- 2; - 1; 0; ...; 19; 20\}

.
Vậy có 23 giá trị của thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn đáp án B

Câu 48:

Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số:

y = x^{2} - 4 x + 4

, trục tung và trục hoành. Xác định k để đường thẳng (d) đi qua điểm

A (0; 4)

có hệ số góc k chia (H) thành hai phần có diện tích bằng nhau.

A. $k = - 4$

B. $k = - 8$

C. $k = - 6$

D. $k = - 2$

Xem đáp án

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số

y = x^{2} - 4 x + 4

và trục hoành là:

x^{2} - 4 x + 4 = 0 \Leftrightarrow x = 2

.
Diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số:

y = x^{2} - 4 x + 4

, trục tung và trục hoành là:

S = \int_{0}^{2} |x^{2} - 4 x + 4| d x = \int_{0}^{2} (x^{2} - 4 x + 4) d x = {(\frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2} + 4 x)|}_{0}^{2} = \frac{8}{3}

.
Phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm

A (0; 4)

có hệ số góc k có dạng:

y = k x + 4

.
Gọi B là giao điểm của (d) và trục hoành. Khi đó

B (\frac{- 4}{k}; 0)

.
Đường thẳng (d) chia (H) thành hai phần có diện tích
bằng nhau khi

B \in O I

và

S_{Δ O A B} = \frac{1}{2} S = \frac{4}{3}

.

\Leftrightarrow \{\begin{cases} 0 < \frac{- 4}{k} < 2 \\ S_{Δ O A B} = \frac{1}{2} O A . O B = \frac{1}{2} .4. \frac{- 4}{k} = \frac{4}{3} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} k < - 2 \\ k = - 6 \end{cases} \Leftrightarrow k = - 6

Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số: y=x^2-4x+4 , trục tung (ảnh 1)

Chọn đáp án C

Câu 49:

Cho số phức z và w thỏa mãn

z + w = 3 + 4 i

và

|z - w| = 9

. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

T = |z| + |w|

.

A. $\max T = \sqrt{176}$

B. $\max T = 14$

C. $\max T = 4$

D. $\max T = \sqrt{106}$

Xem đáp án

Đặt

z = x + y i (x, y \in ℝ)

. Do

z + w = 3 + 4 i

nên

w = (3 - x) + (4 - y) i

.
Mặt khác

|z - w| = 9

nên

|z - w| = \sqrt{{(2 x - 3)}^{2} + {(2 y - 4)}^{2}} = \sqrt{4 x^{2} + 4 y^{2} - 12 x - 16 y + 25} = 9

2 x^{2} + 2 y^{2} - 6 x - 8 y = 28 (1)

. Suy ra

T = |z| + |w| = \sqrt{x^{2} + y^{2}} + \sqrt{{(3 - x)}^{2} + {(4 - y)}^{2}}

.
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta có

T^{2} \leq 2 (2 x^{2} + 2 y^{2} - 6 x - 8 y + 25)

.
Dấu "=" xảy ra khi

\sqrt{x^{2} + y^{2}} = \sqrt{{(3 - x)}^{2} + {(4 - y)}^{2}}

.
Từ (1) và (2) ta có

T^{2} \leq 2. (28 + 25) \Leftrightarrow - \sqrt{106} \leq T \leq \sqrt{106}

. Vậy

M a x T = \sqrt{106}

.

Chọn đáp án D

Câu 50:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x - 4 y - 2 z = 0

và điểm

M (0; 1; 0)

. Mặt phẳng (P) đi qua M và cắt (S) theo đường tròn (C) có chu vi nhỏ nhất. Gọi

N (x_{0}; y_{0}; z_{0})

là điểm thuộc đường tròn (C) sao cho

O N = \sqrt{6}

. Tính

y_{0}

.

A. -2

B. 2

C. -1

D. 3

Xem đáp án

Mặt cầu (S) có tâm

I (- 1; 2; 1)

, bán kính

R = \sqrt{6}

.
Bán kính đường tròn

(C) r = \sqrt{R^{2} - d^{2}} = \sqrt{6 - d^{2}}

với

d = d (I, (P))

Chu vi (C) nhỏ nhất khi và chỉ khi r nhỏ nhất

\Leftrightarrow d

lớn nhất
Ta có

d \leq I M \Rightarrow d_{\max} = I M \Leftrightarrow (P)

đi qua M và vuông góc IM
(P) đi qua

M (0; 1; 0)

, và nhận

\vec{I M} = (1; - 1; - 1)

làm VTPT

\Rightarrow (P) : x - (y - 1) - z = 0 \Leftrightarrow x - y - z + 1 = 0

Ta có tọa độ N thỏa hệ

\{\begin{cases} x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x - 4 y - 2 z = 0 \\ x - y - z + 1 = 0 \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 6 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x - 4 y - 2 z = - 6 \\ x - y - z + 1 = 0 \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 6 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} y = 2 \\ x = y + z - 1 \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 6 \end{cases} \Rightarrow y = 2

Chọn đáp án B