50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề số 12

Câu 1:

2^{x} = - 1

là

A. $\emptyset$

B. {1}

C. {2}

D. {0}

Xem đáp án

Ta có

2^{x} > 0

nên phương trình

2^{x} = - 1

vô nghiệm.

Chọn đáp án A

Câu 2:

Đường cong trong hình vẽ bên là của hàm số nào dưới đây?

A. $y = - x^{4} + 3 x^{2} - 1$

B. $y = - x^{3} + 3 x^{2} - 1$

C. $y = x^{4} - 3 x^{2} - 1$

D. $y = x^{3} - 3 x^{2} - 1$

Xem đáp án

Dựa vào đồ thị và đáp án, hàm số cần tìm có dạng

y = a x^{4} + b x^{2} + c

với

a < 0

.

Chọn đáp án A

Câu 3:

Cho hàm số

y = f (x)

có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây đúng?

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ bên. (ảnh 1)

A. Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định

B. Hàm số có một điểm cực trị

C. Giá trị lớn nhất của hàm số là 3

D. Hàm số có hai điểm cực trị

Xem đáp án

A sai vì hàm số chỉ đạt cực trị tại

x = 2

B sai vì trên

(0; 2)

hàm số đồng biến.
C đúng vì hàm số chỉ đạt cực trị tại

x = 2

.
D sai vì

\lim_{x \to - \infty} y = + \infty

nên hàm số không có giá trị lớn nhất.

Chọn đáp án B

Câu 4:

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân tại A,

A B = A C = a

,

\hat{B A C} = 120 °

. Tam giác SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC .

A. $V = \frac{a^{3}}{2}$

B. $V = 2 a^{3}$

C. $V = \frac{a^{3}}{8}$

D. $V = a^{3}$

Xem đáp án

Gọi H là trung điểm đoạn

A B \Rightarrow S H ⊥ A B

( vì tam giác SAB là tam giác đều).

\{\begin{cases} (S A B) ⊥ (A B C) \\ (S A B) \cap (A B C) = A B \\ S H \subset (S A B); S H ⊥ A B \end{cases} \Rightarrow S H ⊥ (A B C)

Chọn đáp án A

Câu 5:

Cấp số cộng

(u_{n})

có số hạng đầu

u_{1} = 3

, công sai

d = 5

, số hạng thứ tư là

A. $u_{4} = 18$

B. $u_{4} = 8$

C. $u_{4} = 14$

D. $u_{4} = 23$

Xem đáp án

$u_{4} = u_{1} + 3 d = 3 + 5.3 = 18$

Chọn đáp án A

Câu 6:

Đạo hàm của hàm số

y = \log_{5} x

là

A. $y' = \frac{x}{\ln 5}$

B. $y' = \frac{1}{x \ln 5}$

C. $y' = x \ln 5$

D. $y' = \frac{\ln 5}{x}$

Xem đáp án

Ta có

{(\log_{a} x)}^{'} = \frac{1}{x \ln a}

. Do đó

{(\log_{5} x)}^{'} = \frac{1}{x \ln 5}

.

Chọn đáp án B

Câu 7:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, điểm

M (- 2; 1; - 1)

thuộc mặt phẳng nào sau đây?

A. $- 2 x + y - z = 0$

B. $x + 2 y - z - 1 = 0$

C. $2 x - y - z + 6 = 0$

D. $- 2 x + y - z - 4 = 0$

Xem đáp án

Xét đáp án A, thay tọa độ điểm M vào phương trình ta được 6 = 0 (vô lý).
Xét đáp án B, thay tọa độ điểm M vào phương trình ta được 0 = 0 (đúng).
Xét đáp án C, thay tọa độ điểm M vào phương trình ta được -2 = 0 (vô lý).
Xét đáp án D, thay tọa độ điểm M vào phương trình ta được 2 = 0 (vô lý).

Chọn đáp án B

Câu 8:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào sau đây không phải là phương tình mặt cầu?

A. $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 3 x + 7 y + 5 z - 1 = 0$

B. $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 3 x - 4 y + \sqrt{3} z + 7 = 0$

C. $2 x^{2} + 2 y^{2} + 2 z^{2} + 2 x - 4 y + 6 z + 5 = 0$

D. $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + y - z = 0$

Xem đáp án

Phương trình dạng tổng quát của mặt cầu:

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 a x - 2 b y - 2 c z + d = 0

với

a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0 (*)

.
Xét từng đáp án, với đáp án D ta thấy:

a = - \frac{3}{2}, b = 2, c = - \frac{\sqrt{3}}{2}, d = 7 \Rightarrow a^{2} + b^{2} + c^{2} - d = - 2 < 0

nên không thỏa điều kiện (*).

Chọn đáp án B

Câu 9:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng

d : \frac{x - 2}{- 1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z}{1}

. Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là

A. $\vec{u_{2}} = (2; 1; 0) .$

B. $\vec{u_{3}} = (2; 1; 1) .$

C. $\vec{u_{4}} = (- 1; 2; 0) .$

D. $\vec{u_{1}} = (- 1; 2; 1) .$

Xem đáp án

Phương trình chính tắc của đường thẳng qua

M (x_{0}; y_{0}; z_{0})

và có vec tơ chỉ phương

\vec{u} = (a; b; c)

có dạng

\frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b} = \frac{z - z_{0}}{c}

với

a b c \neq 0

nên vec tơ chỉ phương của đường thẳng d là

\vec{u_{1}} = (- 1; 2; 1) .

Chọn đáp án D

Câu 10:

Diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay có bán kính đáy bằng 3 và chiều cao bằng 4 là

A. $24 π$

B. $36 π$

C. $42 π$

D. $12 π$

Xem đáp án

Diện tích xung quanh của hình trụ đó là

S_{x q}^{} = 2 π r l = 2 π .3.4 = 24 π

.

Chọn đáp án A

Câu 11:

Từ một nhóm có 10 học sinh nam và 8 học sinh nữ, có bao nhiêu cách chọn ra 5 học sinh trong đó có 3 học sinh nam và 2 học sinh nữ ?

A. $C_{10}^{3} . C_{8}^{2}$

B. $A_{10}^{3} . A_{8}^{2}$

C. $A_{10}^{3} + A_{8}^{2}$

D. $C_{10}^{3} + C_{8}^{2}$

Xem đáp án

Chọn ra 3 học sinh nam trong học sinh nam có

C_{10}^{3}

cách chọn.
Chọn ra 2 học sinh nữ trong học sinh nữ có

C_{8}^{2}

cách chọn.
Áp dụng quy tắc nhân ta có số cách chọn ra 5 học sinh trong đó có 3 học sinh nam và 2 học sinh nữ là:

C_{10}^{3} . C_{8}^{2}

.

Chọn đáp án A

Câu 12:

Cho khối nón có chiều cao bằng h và bán kính đáy bằng r. Thể tích của khối nón đã cho bằng

A. $2 π r h$

B. $\frac{4}{3} π r^{2} h$

C. $\frac{1}{3} π r^{2} h$

D. $π r^{2} h$

Xem đáp án

Thể tích của khối nón là

V = \frac{1}{3} π r^{2} h

.

Chọn đáp án C

Câu 13:

Cho hai số phức

z_{1} = 1 - 2 i, z_{2} = - 2 + i

. Khi đó

z_{1} z_{2}

bằng

A. -5i

B. 4-5i

C. 5i

D. -4+5i

Xem đáp án

Ta có

z_{1} z_{2} = (1 - 2 i) (- 2 + i) = 5 i

.
Vậy

z_{1} z_{2} = 5 i

.

Chọn đáp án C

Câu 14:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm

A (1; 1; 0)

,

B (0; 3; 3)

. Khi đó

A. $\vec{A B} = (0; 3; 0)$

B. $\vec{A B} = (- 1; 2; 3)$

C. $\vec{A B} = (1; 2; 3)$

D. $\vec{A B} = (- 1; 4; 3)$

Xem đáp án

Ta có: $\vec{A B} = (0 - 1; 3 - 1; 3 - 0) \Leftrightarrow \vec{A B} = (- 1; 2; 3)$ .

Chọn đáp án B

Câu 15:

Cho các hàm số

f (x)

và

g (x)

liên tục trên R. Tìm mệnh đề sai.

A. $\int_{a}^{b} f (x) d x = - \int_{b}^{a} f (x) d x$

B. $\int_{a}^{b} f (x) . g (x) d x = \int_{a}^{b} f (x) d x . \int_{a}^{b} g (x) d x$

C. $\int_{a}^{b} [f (x) - g (x)] d x = \int_{a}^{b} f (x) d x - \int_{a}^{b} g (x) d x$

D. $\int_{a}^{c} f (x) d x + \int_{c}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{b} f (x) d x$

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Câu 16:

Cho a là số thực dương tùy ý,

\sqrt[4]{a^{3}}

bằng

A. $a^{\frac{3}{4}}$

B. $a^{- \frac{3}{4}}$

C. $a^{\frac{4}{3}}$

D. $a^{- \frac{4}{3}}$

Xem đáp án

Ta có:

\sqrt[4]{a^{3}} = a^{\frac{3}{4}}

.

Chọn đáp án A

Câu 17:

Phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

y = \frac{3 - 2 x}{x + 1}

là

A. $x = - 1$

B. $y = - 2$

C. $y = 3$

D. $x = - 2$

Xem đáp án

Ta có:

\lim_{x \to \pm \infty} y = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{3 - 2 x}{x + 1} = - 2

.
Suy ra phương trình đường tiệm cận ngang cần tìm là:

y = - 2

Chọn đáp án B

Câu 18:

Nguyên hàm

\int e^{- 2 x + 1} d x

bằng:

A. $e^{- 2 x + 1} + c$

B. $- 2 e^{- 2 x + 1} + c$

C. $\frac{1}{2} e^{- 2 x + 1} + c$

D. $- \frac{1}{2} e^{- 2 x + 1} + c$

Xem đáp án

$\int e^{- 2 x + 1} d x = - \frac{1}{2} e^{- 2 x + 1} + c$

Chọn đáp án D

Câu 19:

Điểm M trong hình vẽ là điểm biểu diễn số phức nào dưới đây?

A. $z = 1 - 2 i$

B. $z = 2 - i$

C. $z = 2 + i$

D. $z = 1 + 2 i$

Xem đáp án

Điểm M trên hình vẽ biểu diễn số phức

z = 1 + 2 i

.

Chọn đáp án D

Câu 20:

Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC cân tại A,

\hat{B A C} = 120^{0}, A B = a

. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy,

S A = a

. Thể tích của khối chóp đã cho bằng

A. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{4}$

C. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{12}$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{2}$

Xem đáp án

Ta có

S_{A B C} = \frac{1}{2} A B . A C . \sin \hat{B A C} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}

, do đó thể tích khối chóp

S . A B C

là:

V_{S . A B C} = \frac{1}{3} . S A . S_{A B C} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{12}

.

Chọn đáp án C

Câu 21:

Cho số phức z thỏa mãn

\bar{z} + 2 z = 3 + i

. Giá trị của biểu thức

z + \frac{1}{z}

bằng

A. $\frac{1}{2} - \frac{1}{2} i$

B. $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} i$

C. $\frac{3}{2} - \frac{1}{2} i$

D. $\frac{3}{2} + \frac{1}{2} i$

Xem đáp án

Đặt

z = a + b i

với

a, b \in ℝ

.
Ta có

\bar{z} + 2 z = 3 + i \Leftrightarrow a - b i + 2 (a + b i) = 3 + i \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 a = 3 \\ b = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 1 \\ b = 1 \end{cases} \Leftrightarrow z = 1 + i

.
Khi đó

z + \frac{1}{z} = 1 + i + \frac{1}{1 + i} = 1 + i + \frac{1 - i}{2} = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i

.

Chọn đáp án D

Câu 22:

Trong không gian Oxyz, cho điểm

A (2; 0; - 1)

và mặt phẳng

(P) : x + y - 1 = 0

. Đường thẳng đi qua A đồng thời song song với (P) và mặt phẳng (Oxyz) có phương trình là

A. $\{\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = - 1 \\ z = - t \end{cases}$

B. $\{\begin{cases} x = 3 + t \\ y = 1 + 2 t \\ z = - t \end{cases}$

C. $\{\begin{cases} x = 3 + t \\ y = 2 t \\ z = 1 - t \end{cases}$

D. $\{\begin{cases} x = 2 + t \\ y = - t \\ z = - 1 \end{cases}$

Xem đáp án

Ta có:

{\vec{n}}_{(O x y)} = (1; 1; 0)

,

{\vec{n}}_{(O x y)} = (0; 0; 1)

.
Gọi d là đường thẳng đi qua A đồng thời song song với (P) và mặt phẳng (Oxy). Khi đó:

\{\begin{matrix} {\vec{u}}_{d} ⊥ {\vec{n}}_{(P)} \\ {\vec{u}}_{d} ⊥ {\vec{n}}_{(O x y)} \end{matrix} \Rightarrow {\vec{u}}_{d} = [{\vec{n}}_{(P)}, {\vec{n}}_{(O x y)}] = (1; - 1; 0)

. Vậy

d : \{\begin{cases} x = 2 + t \\ y = - t \\ z = - 1 \end{cases}

.

Chọn đáp án D

Câu 23:

Cho hàm số

f (x) = {(1 - x^{2})}^{2019} .

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên R

B. Hàm số đồng biến trên R

C. Hàm số đồng biến trên $(- \infty; 0)$

D. Hàm số nghịch biến trên $(- \infty; 0)$

Xem đáp án

Tập xác định của hàm số là R.

y^{'} = 2019 {(1 - x^{2})}^{2018} (- 2 x)

.

y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \pm 1 \end{array}

.

Dựa vào bảng xét dấu y' ta có hàm số đồng biến trên

(- \infty; 0)

và nghịch biến trên

(0; + \infty)

.

Chọn đáp án C

Câu 24:

Cho đa giác 30 đỉnh nội tiếp đường tròn, gọi là tập hợp tất cả các đường thẳng đi qua 2 trong số 30 đỉnh đã cho. Chọn hai đường thẳng bất kì thuộc tập. Tính xác suất để chọn được hai đường thẳng mà giao điểm của chúng nằm bên trong đường tròn.

A. $\frac{7}{25} .$

B. $\frac{2}{5} .$

C. $\frac{5}{14} .$

D. $\frac{9}{31} .$

Xem đáp án

Số đường thẳng tạo ra được từ 30 đỉnh của đa giác là:

C_{30}^{2} = 435

\Rightarrow

Số cách chọn 2 đường thẳng là:

Ω = C_{435}^{2}

Cứ 1 tứ giác nội tiếp đường tròn sẽ có 2 đường chéo cắt nhau tại 1 điểm nằm trong đường tròn.

\Rightarrow

Số cách chọn được 2 đường thẳng cắt nhau tại 1 điểm nằm trong đường tròn bằng số cách chọn 1 tứ giác nội tiếp đường tròn và bằng:

C_{30}^{4}

\Rightarrow

Xác suất để chọn được 2 đường thẳng thỏa mãn là:

P = \frac{C_{30}^{4}}{C_{435}^{2}} = \frac{9}{31} .

Chọn đáp án D

Câu 25:

Cho số phức

z = 2 - i + \frac{- 1 + i}{1 - 3 i} .

Giá trị

|z|

bằng

A. 2

B. $\sqrt{2}$

C. $\sqrt{10}$

D. $2 \sqrt{3}$

Xem đáp án

Ta có

z = 2 - i + \frac{- 1 + i}{1 - 3 i} = 2 - i + (- \frac{2}{5} - \frac{1}{5} i) = \frac{8}{5} - \frac{6}{5} i .

Vậy

|z| = \sqrt{{(\frac{8}{5})}^{2} + {(- \frac{6}{5})}^{2}} = 2.

Chọn đáp án A

Câu 26:

Tập nghiệm của bất phương trình

\log_{\frac{1}{2}} (2 x + 1) > 0

là

A. $(- \frac{1}{2}; 0)$

B. $(0; + \infty)$

C. $(- \frac{1}{2}; + \infty)$

D. $(- \frac{1}{4}; 0)$

Xem đáp án

Ta có:

\log_{\frac{1}{2}} (2 x + 1) > 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x + 1 > 0 \\ 2 x + 1 < 1 \end{cases} \Leftrightarrow - \frac{1}{2} < x < 0

.

Chọn đáp án A

Câu 27:

Biết

\int_{2}^{3} f (x) d x = 5.

Khi đó

\int_{2}^{3} [3 - 5 f (x)] d x

bằng:

A. -26

B. -15

C. -22

D. -28

Xem đáp án

$\int_{2}^{3} [3 - 5 f (x)] d x = \int_{2}^{3} 3 d x - 5 \int_{2}^{3} f (x) d x = 3 - 5.5 = - 22.$

Chọn đáp án C

Câu 28:

Cho hình chóp

S . A B C D

có SA vuông góc với mặt đáy và đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết

A B = 4 a, A D = 3 a, S B = 5 a

. Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SBD).

A. $\frac{12 \sqrt{61} a}{61}$

B. $\frac{\sqrt{61} a}{12}$

C. $\frac{12 \sqrt{41} a}{41}$

D. $\frac{\sqrt{41} a}{12}$

Xem đáp án

Ta có:

S A = \sqrt{S B^{2} - A B^{2}} = \sqrt{{(5 a)}^{2} - {(4 a)}^{2}} = 3 a

Cách 1:
Ta có

d (C, (S B D)) = d (A, (S B D)) = h

.
Tứ diện

A S B D

có các cạnh

A B, A D, A S

đôi một vuông góc với nhau và

A B = 4 a, A D = 3 a, A S = 3 a

nên ta có

\frac{1}{h^{2}} = \frac{1}{A B^{2}} + \frac{1}{A D^{2}} + \frac{1}{A S^{2}} = \frac{1}{16 a^{2}} + \frac{1}{9 a^{2}} + \frac{1}{9 a^{2}} = \frac{41}{144 a^{2}} \Rightarrow h = \frac{12 a \sqrt{41}}{41}

Vậy

d (C, (S B D)) = \frac{12 a \sqrt{41}}{41}

.
Cách 2:
Đặt hình chóp

S . A B C D

vào một hệ trục tọa độ Oxyz sao cho

A \equiv O

, AB nằm trên tia Ox, AD nằm trên tia Oy, AS nằm trên tia Oz. Các đỉnh của hình chóp có tọa độ là:

A (0; 0; 0), B (4 a; 0; 0), C (4 a; 3 a; 0), D (0; 3 a; 0), S (0; 0; 3 a)

Sử dụng phương trình mặt phẳng đoạn chắn, ta có phương trình mặt phẳng

(S B D)

là:

\frac{x}{4 a} + \frac{y}{3 a} + \frac{z}{3 a} = 1 \Leftrightarrow 3 x + 4 y + 4 z - 12 a = 0

Sử dụng công thức khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SBD) ta có:

d (C; (S B D)) = \frac{|12 a + 12 a - 12 a|}{\sqrt{4^{2} + 3^{2} + 4^{2}}} = \frac{12 a}{\sqrt{41}} = \frac{12 \sqrt{41} a}{41}

.

Chọn đáp án C

Câu 29:

Biết rằng đường thẳng $y = 2 x - 3$ cắt đồ thị hàm số $y = x^{3} + x^{2} + 2 x - 3$ tại hai điểm phân biệt A và B biết điểm B có hoành độ âm. Hoành độ của điểm B bằng

A. -2

B. -1

C. 0

D. -5

Xem đáp án

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số

y = x^{3} + x^{2} + 2 x - 3

và đường thẳng

y = 2 x - 3

là:

x^{3} + x^{2} + 2 x - 3 = 2 x - 3 \Leftrightarrow x^{3} + x^{2} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = - 1 \end{array}

.
Vì điểm B có hoành độ âm suy ra hoành độ của điểm B bằng -1.

Chọn đáp án B

Câu 30:

Cho hình lăng trụ

A B C . A' B' C'

đều có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên bằng a. Tính góc giữa hai mặt phẳng

(A B' C')

và

(A' B' C')

.

A. $30 °$

B. $60 °$

C. $45 °$

D. $90 °$

Xem đáp án

Gọi M là trung điểm B'C'. Do lăng trụ đều nên ta có:

A' M ⊥ B' C'

,

A M ⊥ B' C'

.
Do đó góc giữa hai mặt phẳng

(A B' C')

và

(A' B' C')

là góc

\hat{A M A'}

.
Lại có tam giác đều

A' B' C'

nên

A' M = 2 a \frac{\sqrt{3}}{2} = a \sqrt{3}

.
Từ đó:

tan \hat{A M A'} = \frac{A A'}{A' M} = \frac{a}{a \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}

Vậy góc giữa hai mặt phẳng

(A B' C')

và

(A' B' C')

bằng

30 °

.

Chọn đáp án A

Câu 31:

Nguyên hàm của hàm số

f (x) = x + \frac{1}{x}

trên khoảng

(0; + \infty)

là

A. $\frac{x^{2}}{2} + \ln x + C .$

B. $1 + \ln x + C .$

C. $x^{2} - \frac{1}{x^{2}} + C .$

D. $1 - \frac{1}{x^{2}} + C .$

Xem đáp án

Ta có

\int f (x) dx = \int (x + \frac{1}{x}) dx = \frac{x^{2}}{2} + \ln x + C .

Chọn đáp án A

Câu 32:

Trong không gian Oxyz, mặt cầu tâm

I (- 1; 2; - 3)

và đi qua điểm

A (2; 0; 0)

có phương trình là:

A. ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 22$

B. ${(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 3)}^{2} = 11$

C. ${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 22$

D. ${(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 3)}^{2} = 22$

Xem đáp án

Bán kính mặt cầu là

R = |A I| = \sqrt{3^{2} + 2^{2} + 3^{2}} = \sqrt{22}

.
Phương trình mặt cầu tâm

I (- 1; 2; - 3)

, có

R = \sqrt{22}

:

{(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 3)}^{2} = 22

Chọn đáp án D

Câu 33:

Cho hàm số f (x) có đạo hàm

f^{'} (x) = x (x - 1) {(x + 2)}^{3}, \forall x \in ℝ

. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

A. 2

B. 3

C. 5

D. 1

Xem đáp án

Ta có:

f^{'} (x) = x (x - 1) {(x + 2)}^{3}, \forall x \in ℝ

.

\Rightarrow f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 1 \\ x = - 2 \end{array}

.
Bảng xét dấu

f^{'} (x)

Nhìn bảng xét dấu, hàm số có ba điểm cực trị.

Chọn đáp án B

Câu 34:

Số nghiệm của phương trình

\log_{2} (x^{2} - 4 x) = 2

bằng

A. 3

B. 1

C. 2

D. 4

Xem đáp án

Phương trình

\log_{2} (x^{2} - 4 x) = 2 \Leftrightarrow x^{2} - 4 x = 4 \Leftrightarrow x^{2} - 4 x - 4 = 0

.
Phương trình này có

a . c < 0

. Vậy phương trình có hai nghiệm.

Chọn đáp án C

Câu 35:

Tìm tất cả giá trị thực x, y sao cho

2 x - (3 - y) i = y + 4 + (x + 2 y - 2) i

, trong đó i là đơn vị ảo.

A. $x = 1, y = - 2$

B. $x = - 1, y = 2$

C. $x = \frac{17}{7}, y = \frac{6}{7}$

D. $x = - \frac{17}{7}, y = - \frac{6}{7}$

Xem đáp án

Ta có

2 x - (3 - y) i = y + 4 + (x + 2 y - 2) i \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 = y + 4 \\ - (3 - y) = x + 2 y - 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} y = - 2 \\ x = 1 \end{cases}

.
Vậy

x = 1, y = - 2

.

Chọn đáp án A

Câu 36:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy

(A B C D)

. Thể tích khối chóp

S . A B C D

là

A. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{2}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{4}$

C. $a^{3} \sqrt{3}$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}$

Xem đáp án

Gọi H là trung điểm cạnh AB . Vì $S H ⊥ A B \Rightarrow S H ⊥ (A B C D)$ .

$S_{A B C D} = a^{2}$ và $S H = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Thể tích khối chóp $S . A B C D$ là $V = \frac{1}{3} S_{A B C D} . S H = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}$ .

Chọn đáp án D

Câu 37:

Đặt

\log_{2} a = x, \log_{2} b = y

. Biết

\log_{\sqrt{8}} \sqrt[3]{a b^{2}} = m x + n y

. Tìm

T = m + n

A. $T = \frac{2}{9}$

B. $T = \frac{8}{9}$

C. $T = \frac{3}{2}$

D. $T = \frac{2}{3}$

Xem đáp án

Ta có

\log_{\sqrt{8}} \sqrt[3]{a b^{2}} = \log_{2^{\frac{3}{2}}} {(a b^{2})}^{\frac{1}{3}} = \frac{2}{3} (\frac{1}{3} \log_{2} a + \frac{2}{3} \log_{2} b) = \frac{2}{3} \log_{2} a + \frac{4}{9} \log_{2} b

.
Với

\log_{2} a = x, \log_{2} b = y

ta suy ra

m = \frac{2}{9}; n = \frac{4}{9}

.
Vậy

T = \frac{2}{9} + \frac{4}{9} = \frac{2}{3}

.

Chọn đáp án D

Câu 38:

Giá trị lớn nhất của hàm số

y = \frac{x + 1}{x - 2}

trên đoạn

[- 1; 0]

là

A. 0

B. $- \frac{2}{3}$

C. 2

D. $- \frac{1}{2}$

Xem đáp án

Hàm số

y = f (x) = \frac{x + 1}{x - 2}

xác định và liên tục trên đoạn

[- 1; 0]

.

f' (x) = \frac{- 3}{{(x - 2)}^{2}} < 0, \forall x \in [- 1; 0]

.

f (- 1) = 0

;

f (0) = - \frac{1}{2}

.
Vậy

max_{[- 1; 0]} y = 0

khi

x = - 1

.

Chọn đáp án A

Câu 39:

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng

d : \frac{x - 3}{- 2} = \frac{y - 6}{2} = \frac{z - 1}{1}

;

d' : x = t; y = - t; z = 2

. Đường thẳng đi qua

A (0; 1; 1)

cắt d' và vuông góc với d có phương trình là

A. $\frac{x}{- 1} = \frac{y - 1}{3} = \frac{z - 1}{4} .$

B. $\frac{x}{- 1} = \frac{y - 1}{- 3} = \frac{z - 1}{4} .$

C. $\frac{x}{1} = \frac{y - 1}{- 3} = \frac{z - 1}{4} .$

D. $\frac{x - 1}{- 1} = \frac{y}{- 3} = \frac{z - 1}{4} .$

Xem đáp án

Giả sử

d_{1}

là đường thẳng cần dựng và cắt d' tại

B (t; - t; 2)

Suy ra

\vec{A B} = (t; - t - 1; 1)

.
Véc tơ chỉ phương của d là

\vec{u_{d}} = (- 2; 2; 1)

Ta có

d_{1} ⊥ d \Leftrightarrow \vec{A B} . \vec{u_{d}} = 0 \Leftrightarrow - 2 t + 2 (- t - 1) + 1 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{- 1}{4}

\Rightarrow \vec{A B} = (\frac{- 1}{4}; \frac{- 3}{4}; 1)

suy ra

\vec{u} = (- 1; - 3; 4)

cùng phương với

\vec{A B}

Vậy phương trình chính tắc của đường thẳng

d_{1}

qua

A (0; 1; 1)

nhận

\vec{u} = (- 1; - 3; 4)

làm véc tơ chỉ phương là:

\frac{x}{- 1} = \frac{y - 1}{- 3} = \frac{z - 1}{4}

Chọn đáp án B

Câu 40:

Cho hàm số

y = f (x)

có đạo hàm trên R và không có cực trị, đồ thị của hàm số

y = f (x)

là đường cong của hình vẽ bên. Xét hàm số

h (x) = \frac{1}{2} {[f (x)]}^{2} - 2 x . f (x) + 2 x^{2}

. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Đồ thị của hàm số $y = h (x)$ có điểm cực tiểu là $M (1; 0)$ .

B. Hàm số $y = h (x)$ không có cực trị.

C. Đồ thị hàm số $y = h (x)$ có điểm cực đại là $N (1; 2)$ .

D. Đồ thị hàm số $y = h (x)$ có điểm cực đại là $M (1; 0)$ .

Xem đáp án

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên R và không có cực trị (ảnh 1)

Theo bài ra ta có

h^{'} (x) = f' (x) . f (x) - 2 f (x) + 2 x . f^{'} (x) + 4 x = f^{'} (x) (f (x) - 2 x) - 2 (f (x) - 2 x)

= (f^{'} (x) - 2) (f (x) - 2 x)

Từ đồ thị ta thấy

y = f (x)

nghịch biến nên

f' (x) < 0

suy ra

f^{'} (x) - 2 < 0

.
Suy ra

h^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow f (x) - 2 x = 0

.
Từ đồ thị dưới ta thấy

f (x) - 2 x = 0 \Leftrightarrow x = 1

.

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên R và không có cực trị (ảnh 2)

Ta có bảng biến thiên:

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên R và không có cực trị (ảnh 3)

Suy ra đồ thị của hàm số

y = h (x)

có điểm cực tiểu là

M (1; 0)

.

Chọn đáp án A

Câu 41:

Cho hàm số

y = f (x)

liên tục, có đạo hàm trên

[- 1; 0]

. Biết

f' (x) = (3 x^{2} + 2 x) . e^{- f (x)} \forall x \in [- 1; 0]

. Tính giá trị biểu thức

A = f (0) - f (- 1)

.

A. $A = 1.$

B. $A = 0.$

C. $A = \frac{1}{e} .$

D. $A = - 1.$

Xem đáp án

$\begin{array}{l} f' (x) = (3 x^{2} + 2 x) . e^{- f (x)} \Leftrightarrow \frac{f' (x)}{e^{- f (x)}} = 3 x^{2} + 2 x \Leftrightarrow f' (x) . e^{f (x)} = 3 x^{2} + 2 x \\ \Rightarrow \int_{- 1}^{0} f' (x) . e^{f (x)} d x = \int_{- 1}^{0} (3 x^{2} + 2 x) d x \\ \Leftrightarrow {e^{f (x)}|}_{- 1}^{0} = {(x^{3} + x^{2})|}_{- 1}^{0} = 0 \Leftrightarrow e^{f (0)} - e^{f (- 1)} = 0 \Leftrightarrow e^{f (0)} = e^{f (- 1)} \end{array}$

Vì

y = e^{x}

là hàm số đồng biến

e^{f (0)} = e^{f (- 1)} \Leftrightarrow f (0) = f (- 1) \Leftrightarrow A = f (0) - f (- 1) = 0

Chọn đáp án B

Câu 42:

Tất cả giá trị của tham số thực m sao cho bất phương trình

9^{x} - 2 (m + 1) {.3}^{x} - 3 - 2 m > 0

có nghiệm đúng với mọi số thực x là

A. $m \in \emptyset$

B. $m \leq - \frac{3}{2}$

C. $m \neq 2$

D. $m < - \frac{3}{2}$

Xem đáp án

Ta có:

9^{x} - 2 (m + 1) {.3}^{x} - 3 - 2 m > 0

\Leftrightarrow {(3^{x})}^{2} - {2.3}^{x} - 3 > (3^{x} + 1) .2 m

\Leftrightarrow (3^{x} + 1) (3^{x} - 3) > (3^{x} + 1) .2 m

\Leftrightarrow 3^{x} - 3 > 2 m \Leftrightarrow 3^{x} > 3 + 2 m

Vậy, để

9^{x} - 2 (m + 1) {.3}^{x} - 3 - 2 m > 0, \forall x \in ℝ

khi

3 + 2 m \leq 0 \Leftrightarrow m \leq - \frac{3}{2}

.

Chọn đáp án B

Câu 43:

Cho hàm số

y = f (x)

liên tục trên R và

f (2) = 16, \int_{0}^{2} f (x) d x = 4

. Tính

I = \int_{0}^{4} x f^{/} (\frac{x}{2}) d x

.

A. I = 12

B. I = 28

C. I = 112

D. I = 144

Xem đáp án

Đặt

t = \frac{x}{2} \Rightarrow x = 2 t \Rightarrow d x = 2 d t

Đổi cận: x = 0

\Rightarrow

t = 0
x = 4

\Rightarrow

t = 2

\Rightarrow I = \int_{0}^{2} 4 t f^{/} (t) d t = \int_{0}^{2} 4 x f^{/} (x) d x

.
Đặt

\{\begin{cases} u = 4 x \\ d v = f^{/} (x) d x \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = 4 d x \\ v = f (x) \end{cases}

Suy ra

I = [4 x . f (x)] |_{0}^{2} - 4 \int_{0}^{2} f (x) d x

= 4.2.f - 0 - 4.4 = 112.

Chọn đáp án C

Câu 44:

Một mảnh vườn hoa có dạng hình tròn bán kính bằng 5m. Phần đất trồng hoa là phần tô trong hình vẽ bên. Kinh phí để trồng hoa là 50.000 đồng/

m^{2} .

Hỏi số tiền cần để trồng hoa trên diện tích phần đất đó là bao nhiêu, biết hai hình chữ nhật ABCD và

M N P Q

có

A B = M Q = 5 m ?

Một mảnh vườn hoa có dạng hình tròn bán kính bằng 5m (ảnh 1)

A. $3.533.058$ đồng

B. $3.641.528$ đồng

C. $3.641.529$ đồng

D. $3.533.057$ đồng

Xem đáp án

Đặt hệ trục Oxy như hình vẽ, mảnh vườn sẽ có phương trình

(C) : x^{2} + y^{2} = 25

.
Diện tích hình phẳng giới hạn vởi (C), AD, BC là:

S_{1} = 4 \int_{0}^{5 / 2} \sqrt{25 - x^{2}} d x = \frac{25 π}{3} + \frac{25 \sqrt{3}}{2}

.
Diện tích hình phẳng giới hạn vởi (C), MN, QP là:

S_{2} = S_{1}

(do tính đối xứng)
Diện tích phần đất trồng hoa (phần tô trong hình vẽ) là:

S = S_{1} + S_{2} - S_{I J L K L} = 2 (\frac{25 π}{3} + \frac{25 \sqrt{3}}{2}) - 25

Số tiền cần để trồng hoa trên diện tích phần đất đó là:

S .50000 \approx 3.533.057

đồng.

Chọn đáp án D

Câu 45:

Gọi

S_{m}

là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol

y = x^{2}

và đường thẳng

y = m x + 1

. Giá trị nhỏ nhất của

S_{m}

là

A. $\frac{1}{3}$

B. 1

C. $\frac{2}{3}$

D. $\frac{4}{3}$

Xem đáp án

Phương trình hoành hoành độ giao điểm của parabol

y = x^{2}

và đường thẳng

y = m x + 1

là:

x^{2} = m x + 1 \Leftrightarrow x^{2} - m x - 1 = 0

. (*)
Ta có:

Δ_{(*)} = m^{2} + 4 > 0, \forall m \in ℝ \Rightarrow

Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt

x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})

.
Theo hệ thức Vi-et, ta có:

x_{1} + x_{2} = m, x_{1} x_{2} = - 1

và

|x_{2} - x_{1}| = \frac{\sqrt{Δ}}{|a|} = \sqrt{m^{2} + 4}

.
Ta có:

S_{m} = \int_{x_{1}}^{x_{2}} |x^{2} - m x - 1| d x = |\int_{x_{1}}^{x_{2}} (x^{2} - m x - 1) d x| = |{\frac{x^{3}}{3}|}_{x_{1}}^{x_{2}} - {\frac{m x^{2}}{2}|}_{x_{1}}^{x_{2}} - {x|}_{x_{1}}^{x_{2}}|

= |\frac{1}{3} (x_{2}^{3} - x_{1}^{3}) - \frac{m}{2} . (x_{2}^{2} - x_{1}^{2}) - (x_{2} - x_{1})| = |x_{2} - x_{1}| . |\frac{1}{3} (x_{2}^{2} + x_{1} x_{2} + x_{1}^{2}) - \frac{m}{2} . (x_{1} + x_{2}) - 1|

= \sqrt{m^{2} + 4} . |\frac{1}{3} [{(x_{1} + x_{2})}^{2} - x_{1} x_{2}] - \frac{m}{2} . (x_{1} + x_{2}) - 1| = \sqrt{m^{2} + 4} . |\frac{1}{3} (m^{2} + 1) - \frac{m}{2} . m - 1|

= \sqrt{m^{2} + 4} . |- \frac{m^{2} + 4}{6}| = \frac{1}{6} \sqrt{m^{2} + 4} . (m^{2} + 4) \geq \frac{1}{6} .2.4 = \frac{4}{3}

.
Vậy

S_{m}

nhỏ nhất bằng

\frac{4}{3}

khi

m = 0

.
Chọn đáp án D

Câu 46:

Cho lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a cạnh bên bằng b. Thể tích của khối cầu đi qua các đỉnh của lăng trụ bằng

A. $\frac{1}{18 \sqrt{3}} \sqrt{{(4 a^{2} + 3 b^{2})}^{3}}$

B. $\frac{π}{18 \sqrt{3}} \sqrt{{(4 a^{2} + b^{2})}^{3}}$

C. $\frac{π}{18 \sqrt{2}} \sqrt{{(4 a^{2} + 3 b^{2})}^{3}}$

D. $\frac{π}{18 \sqrt{3}} \sqrt{{(4 a^{2} + 3 b^{2})}^{3}} .$

Xem đáp án

Xét lăng trụ tam giác đều

A B C . A' B' C'

. Gọi

E, E'

lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác

A B C, A' B' C'

, M là trung điểm BC và I là trung điểm

E E'

. Do hình lăng trụ đều nên

E E'

là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác

A B C, A' B' C' \Rightarrow I

là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ, IA là bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ.

A E = \frac{a \sqrt{3}}{3}, I E = \frac{b}{2} \Rightarrow R = I A = \sqrt{A E^{2} + I E^{2}} = \sqrt{\frac{4 a^{2} + 3 b^{2}}{12}} .

Thể tích khối cầu là

V = \frac{4}{3} π R^{3} = \frac{4}{3} π {(\sqrt{\frac{4 a^{2} + 3 b^{2}}{12}})}^{3} = \frac{π}{18 \sqrt{3}} \sqrt{{(4 a^{2} + 3 b^{2})}^{3}} .

Chọn đáp án D

Câu 47:

Cho đồ thị hàm số

y = f (x)

như hình vẽ bên

Số điểm cực đại, cực tiểu của hàm số

g (x) = {[f (x)]}^{2}

là

A. 2 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu

B. 1 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu

C. 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu.

D. 3 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu.

Xem đáp án

Ta có

g' (x) = 2 f (x) . f' (x)

. Suy ra

g' (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} f (x) = 0 (1) \\ f' (x) = 0 (2) \end{array}

Dựa vào đồ thị của hàm số

y = f (x)

ta suy ra: Pt (1)

\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = α \in (- \infty; - 1) \\ x = β \in (- 1; 0) \end{array}

.
Pt (2)

\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = x_{1} \in (- 1; β) \\ x = x_{2} \in (0; 1) \\ x = x_{3} \in (1; 2) \end{array}

, trong đó x1,x3 là các điểm cực đại và x2 là các điểm cực tiểu.
BBT

Cho đồ thị hàm số y=f(x) như hình vẽ bên (ảnh 2)

Từ BBT trên suy ra hàm số

g (x) = {[f (x)]}^{2}

có 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu.

Chọn đáp án C

Câu 48:

Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình

3^{x - 3 + \sqrt[3]{m - 3 x}} + (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x + m) {.3}^{x - 3} = 3^{x} + 1

có 3 nghiệm phân biệt bằng:

A. 38

B. 34

C. 27

D. 45

Xem đáp án

Ta có

3^{x - 3 + \sqrt[3]{m - 3 x}} + (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x + m) {.3}^{x - 3} = 3^{x} + 1 \Leftrightarrow 3^{\sqrt[3]{m - 3 x}} + (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x + m) = \frac{3^{x} + 1}{3^{x - 3}}

\Leftrightarrow 3^{\sqrt[3]{m - 3 x}} + {(x - 3)}^{3} + m - 3 x = 3^{3 - x} \Leftrightarrow 3^{\sqrt[3]{m - 3 x}} + (m - 3 x) = 3^{3 - x} + {(3 - x)}^{3}

(1).
Xét hàm số

f (t) = 3^{t} + t^{3}

với

t \in ℝ

, ta có:

f' (t) = 3^{t} \ln 3 + 3 t^{2} > 0, \forall t \in ℝ

.
Suy ra hàm số luôn đồng biến trên R.
Khi đó (1)

\Leftrightarrow f (\sqrt[3]{m - 3 x}) = f (3 - x) \Leftrightarrow \sqrt[3]{m - 3 x} = 3 - x \Leftrightarrow m = - x^{3} + 9 x^{2} - 24 x + 27

. (2)
Pt đã cho có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi pt (2) có 3 nghiệm phân biệt.
Xét hàm số

y = - x^{3} + 9 x^{2} - 24 x + 27

có

y' = - 3 x^{2} + 18 x - 24 \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 \\ x = 4 \end{array}

BBT

Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m (ảnh 1)

Từ bbt suy ra pt(2) có 3 nghiệm phân biệt khi

7 < m < 11

. Vì

m \in ℤ

nên

m \in \{8, 9, 10\}

Suy ra :

\sum m = 27

.

Chọn đáp án C

Câu 49:

Cho số phức z thay đổi thỏa mãn

|z + 1 - i| = 3

. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

A = 2 |z - 4 + 5 i| + |z + 1 - 7 i|

bằng

a \sqrt{b}

. Tính

S = a + b

?

A. 20

B. 18

C. 24

D. 17

Xem đáp án

Gọi

z = x + y i, (x, y \in ℝ)

.
Ta có:

|z + 1 - i| = 3 \Leftrightarrow {(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 9 (C)

;
Suy ra, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn (C), có tâm là

I (- 1; 1)

và bán kính

R = 3

.
Ta có:

A = 2 |z - 4 + 5 i| + |z + 1 - 7 i| = 2 \sqrt{{(x - 4)}^{2} + {(y + 5)}^{2}} + \sqrt{{(x + 1)}^{2} + {(y - 7)}^{2}}

= 2 \sqrt{{(x - 4)}^{2} + {(y + 5)}^{2}} + \sqrt{{(x + 1)}^{2} + {(y - 7)}^{2} + 3 ({(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} - 9)}

= 2 \sqrt{{(x - 4)}^{2} + {(y + 5)}^{2}} + \sqrt{4 x^{2} + 8 x + 4 y^{2} - 20 y + 29}

= 2 \sqrt{{(x - 4)}^{2} + {(y + 5)}^{2}} + 2 \sqrt{x^{2} + 2 x + y^{2} - 10 y + \frac{29}{4}}

= 2 (\sqrt{{(x - 4)}^{2} + {(y + 5)}^{2}} + \sqrt{{(x + 1)}^{2} + {(y - \frac{5}{2})}^{2}})

.

Cho số phức z thay đổi thỏa mãn |z+1-i|=3 . Giá trị nhỏ nhất (ảnh 1)

Gọi

M (x; y) \in (C)

.

\Rightarrow A = 2 |z - 4 + 5 i| + |z + 1 - 7 i| = 2 M A + M B, A (4; - 5); B (- 1; 7)

.

\Rightarrow A = 2 M A + M B = 2 (M A + M C), C (- 1; \frac{5}{2})

.
Ta có:

\vec{I C} = (0; \frac{3}{2}) \Rightarrow |\vec{I C}| = \frac{3}{2} < R_{(C)}

.
Suy ra, điểm C nằm trong đường tròn (C).
Vậy, đường thẳng AC cắt đường tròn (C) tại hai điểm.
Do đó, để

A = 2 (M A + M C)

đạt giá trị nhỏ nhất thì M phải nằm giữa hai điểm A và C.

\Rightarrow A = 2 (M A + M C) \geq 2 A C, A C = \frac{5 \sqrt{13}}{2}

.

\Rightarrow A \geq 5 \sqrt{13} = a \sqrt{b}

.
Vậy,

a + b = 18

.

Chọn đáp án B

Câu 50:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm

A (3; 1; - 3)

,

B (0; - 2; 3)

và mặt cầu

(S) : {(x + 1)}^{2} + y^{2} + {(z - 3)}^{2} = 1

. Xét điểm M thay đổi luôn thuộc mặt cầu (S), giá trị lớn nhất của

M A^{2} + 2 M B^{2}

bằng

A. 102

B. 78

C. 84

D. 52

Xem đáp án

Gọi I là điểm thỏa mãn hệ thức

\vec{I A} + 2 \vec{I B} = \vec{0} \Rightarrow I (1; - 1; 1)

.
Ta có

T = M A^{2} + 2 M B^{2} = {\vec{M A}}^{2} + 2 {\vec{M B}}^{2} = {(\vec{M I} + \vec{I A})}^{2} + 2 {(\vec{M I} + \vec{I B})}^{2}

= 3 M I^{2} + I A^{2} + 2 I B^{2} = 3 M I^{2} + 36

Mặt cầu (S) có tâm

J (- 1; 0; 3)

, bán kính

R = 1

.
Ta có:

I J > R \Rightarrow I

nằm ngoài mặt cầu (S).

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(3;1;-3) , (ảnh 1)

Ta có: T lớn nhất

\Leftrightarrow I M

lớn nhất.
Mà

I M_{\max} = I J + R = 3 + 1 = 4

.
Do đó:

T_{\max} = {3.4}^{2} + 36 = 84.

Chọn đáp án C