50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề số 5

Câu 1:

Diện tích mặt cầu (S) tâm I đường kính bằng a là

A. $π a^{2}$

B. $4 π a^{2}$

C. $2 π a^{2}$

D. $\frac{π a^{2}}{4}$

Xem đáp án

Bán kính mặt cầu (S) là

R = \frac{a}{2}

Diện tích mặt cầu (S) là

S = 4 π R^{2} = 4 π {(\frac{a}{2})}^{2} = π a^{2}

Chọn đáp án A

Câu 2:

Câu 1. Nghiệm của phương trình $2^{2 x + 1} = 32$ bằng

A. $x = 2$

B. $x = 3$

C. $x = \frac{3}{2}$

D. $x = \frac{5}{2}$

Xem đáp án

Ta có

2^{2 x + 1} = 32

\Leftrightarrow 2^{2 x + 1} = 2^{5}

\Leftrightarrow 2 x + 1 = 5

\Leftrightarrow x = 2

Với

a > 0

ta có

\log_{2} (2 a) = \log_{2} 2 + \log_{2} a = 1 + \log_{2} a

Chọn đáp án A

Câu 3:

Cho hàm số

y = f (x)

có bảng biến thiên như sau

Hàm số đạt cực đại tại điểm

A. $x = 1.$

B. $x = 0.$

C. $x = 5.$

D. $x = 2.$

Xem đáp án

Qua bảng biến thiên ta có hàm số đại cực đại tại điểm

x = 2.

Chọn đáp án D

Câu 4:

Cho cấp số cộng

(u_{n})

có

u_{3} = - 7; u_{4} = 8

. Hãy chọn mệnh đề đúng

A. $d = - 15$

B. $d = - 3$

C. $d = 15$

D. $d = 1$

Xem đáp án

$d = u_{4} - u_{3} = 15$

Chọn đáp án C

Câu 5:

Cho tập hợp $M$ có 10 phần tử. Số tập con gồm 2 phần tử của $M$ là

A. $A_{10}^{8} .$

B. $A_{10}^{2} .$

C. $C_{10}^{2} .$

D. $10^{2} .$

Xem đáp án

Số tập con gồm 2 phần tử $M$ của là số cách chọn 2 phần tử bất kì trong 10 phần tử của $M$ . Do đó số tập con gồm 2 phần tử của $M$ là $C_{10}^{2} .$

Chọn đáp án C

Câu 6:

Phần ảo của số phức $z = 2 - 3 i$ là

A. -3i

B. 3

C. -3

D. 3i

Xem đáp án

Phần ảo của số phức

z = 2 - 3 i

là -3

Chọn đáp án C

Câu 7:

Cho hàm số $y = f (x)$ có bảng biến thiên như hình sau

Hàm số $y = f (x)$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (-2;0)

B. $(- 2; + \infty)$

C. $(0; 2)$

D. $(- \infty; 0)$

Xem đáp án

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số ta có hàm số đồng biến trên các khoảng

(- \infty; - 2)

và

(0; 2)

Chọn đáp án C

Câu 8:

Cho khối lăng trụ có đáy là hình vuông cạnh a và chiều cao bằng 2a. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

A. $2 a^{3}$

B. $\frac{2 a^{3}}{3}$

C. $4 a^{3}$

D. $\frac{4 a^{3}}{3}$

Xem đáp án

Thể tích khối lăng trụ:

V = S . h = a^{2} .2 a = 2 a^{3}

Chọn đáp án A

Câu 9:

Số phức $z = a + b i (a, b \in ℝ)$ có điểm biểu diễn như hình vẽ bên dưới. Tìm a và b

Số phức z=a+bi có điểm biểu diễn như hình vẽ bên dưới. Tìm a và b . (ảnh 1)

A. $a = - 4, b = 3$

B. $a = 3, b = 4$

C. $a = 3, b = - 4$

D. $a = - 4, b = - 3$

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Câu 10:

Cho hàm số $f (x)$ có đạo hàm trên $ℝ$ , $f (- 1) = - 2$ và $f (3) = 2$ . Tính $I = \int_{- 1}^{3} f^{'} (x) d x$ .

A. $I = 4$

B. $I = 3$

C. $I = 0$

D. $I = - 4$

Xem đáp án

Có $I = \int_{- 1}^{3} f^{'} (x) d x = f (x) |\begin{array}{l} 3 \\ - 1 \end{array} = f (3) - f (- 1) = 4$

Chọn đáp án A

Câu 11:

Tìm số phức liên hợp của số phức

z = (2 - i) (1 + 2 i)

A. $\bar{z} = 4 - 3 i$

B. $\bar{z} = - 4 - 5 i$

C. $\bar{z} = 4 + 3 i$

D. $\bar{z} = 5 i$

Xem đáp án

Ta có:

z = (2 - i) (1 + 2 i) = 2 + 4 i - i + 2 = 4 + 3 i \Rightarrow \bar{z} = 4 - 3 i

Chọn đáp án A

Câu 12:

Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số $f (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ trên $[- 3; - 1]$ . Khi đó M.m bằng

A. 0

B. $\frac{1}{2}$

C. 2

D. -4

Xem đáp án

Trên [-3;-1] ta có

f^{'} (x) = \frac{- 2}{{(x - 1)}^{2}}

\Rightarrow f^{'} (x) < 0, \forall x \in [- 3; - 1]

Suy ra hàm số nghịch biến trên [-3;-1].

Do đó

M = f (- 3) = \frac{1}{2}

và

m = f (- 1) = 0

Vậy M.m = 0

Chọn đáp án A

Câu 13:

Đồ thị hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào?

Đồ thị hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào? (ảnh 1)

A. $y = - x^{4} + 2 x^{2} + 3$

B. $y = - x^{4} - 2 x^{2} + 3$

C. $y = - x^{4} + 2 x^{2} - 3$

D. $y = x^{4} - 2 x^{2} + 3$

Xem đáp án

Nhìn dạng đồ thì

a < 0

nên loại đáp án D

Khi

x = 0 \Rightarrow y = 3

nên loại đáp án C

Khi

x = 1 \Rightarrow y = 4

nên loại đáp án B

Chọn đáp án A

Câu 14:

Hàm số nào dưới đây đồng biến trên tập $ℝ$ ?

A. $y = 2 x - 1$

B. $y = - x^{2} + 1$

C. $y = x^{2} + 1$

D. $y = - 2 x + 1$

Xem đáp án

Hàm số bậc nhất

a > 0

nên có đạo hàm

y^{'} = f^{'} (x) > 0

Chọn đáp án A

Câu 15:

Rút gọn biểu thức

P = x^{\frac{1}{5}} . \sqrt[3]{x}

với

x > 0.

A. $P = x^{\frac{16}{15}}$

B. $P = x^{\frac{3}{5}}$

C. $P = x^{\frac{8}{15}}$

D. $P = x^{\frac{1}{15}}$

Xem đáp án

$P = x^{\frac{1}{5}} . \sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{5}} . x^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{1}{5} + \frac{1}{3}} = x^{\frac{8}{15}}$

Chọn đáp án C

Câu 16:

Tính tích phân

\int_{2}^{6} \frac{1}{x} d x

bằng

A. $\frac{2}{9}$

B. $\ln 3$

C. $\ln 4$

D. $- \frac{5}{18}$

Xem đáp án

$I = \int_{2}^{6} \frac{1}{x} d x = \ln {|x|}_{2}^{6} = \ln 6 - \ln 2 = \ln (\frac{6}{2}) = \ln 3$

Chọn đáp án B

Câu 17:

Cho $I = \int_{0}^{2} f (x) d x = 3.$ Khi đó $J = \int_{0}^{2} [4 f (x) - 3] d x$ bằng:

A. 2

B. 6

C. 8

D. 4

Xem đáp án

Ta có:

\int_{0}^{2} [4 f (x) - 3] d x = 4 \int_{0}^{2} f (x) d x - 3 \int_{0}^{2} d x = 6.

Chọn đáp án B

Câu 18:

Cho hàm số

y = f (x)

xác định, liên tục trên đoạn [-1;3] và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Tập hợp T tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f (x) = m có 3 nghiệm phân biệt thuộc đoạn [-1;3] là:

Cho hàm số y=f(x) xác định, liên tục trên đoạn [-1;3] (ảnh 1)

A. $T = [- 4; 1]$

B. $T = (- 4; 1)$

C. $T = [- 3; 0]$

D. $T = (- 3; 0)$

Xem đáp án

Số nghiệm của phương trình $f (x) = m$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $y = f (x)$ và đường thẳng $y = m$ trên đoạn [-1;3]

Do đó để phương trình

f (x) = m

có 3 nghiệm phân biệt thì đường thẳng

y = m

phải cắt đồ thì hàm số

y = f (x)

tại 3 điểm trên đoạn [-1;3]

Cho hàm số y=f(x) xác định, liên tục trên đoạn [-1;3] (ảnh 2)

Suy ra

- 3 < m < 0

.

Vậy

T = (- 3; 0)

Chọn đáp án D

Câu 19:

Một khối trụ có thể tích bằng $6 π$ . Nếu giữ nguyên chiều cao và tăng bán kính đáy của khối trụ đó gấp 3 lần thì thể tích của khối trụ mới bằng bao nhiêu?

A. $18 π$

B. $54 π$

C. $27 π$

D. $162 π$

Xem đáp án

Gọi $V_{1}$ là thể tích khối trụ ban đầu, ta có

V_{1} = h π R_{1}^{2} = 6 π

Ta có

V_{2} = h π {(3 R_{1})}^{2} = 9 h π R_{1}^{2} = 9.6 π = 54 π

Chọn đáp án B

Câu 20:

Họ nguyên hàm của hàm số

f (x) = x + \sin 2 x

là

A. $\frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cos 2 x + C$

B. $\frac{x^{2}}{2} - \cos 2 x + C$

C. $x^{2} - \frac{1}{2} \cos 2 x + C$

D. $\frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cos 2 x + C$

Xem đáp án

Ta có:

\int (x + \sin 2 x) d x = \int x d x + \int \sin 2 x d x = \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cos 2 x + C

Chọn đáp án A

Câu 21:

Đạo hàm của hàm số

y = \log x

là

$y^{'} = \frac{1}{x} .$

B. $y^{'} = \frac{\ln 10}{x} .$

C. $y^{'} = \frac{1}{x \ln 10} .$

D. $y^{'} = \frac{1}{10 \ln x} .$

Xem đáp án

Ta có:

\log x = \frac{1}{x \ln 10} .

Chọn đáp án C

Câu 22:

Gọi V là thể tích khối lập phương ABCD.A'B'C'D', V' là thể tích khối tứ diện A'.ABD. Hệ thức nào dưới đây là đúng

A. V = 4V'

B. V = 8V'

C. V = 6V'

D. V = 2V'

Xem đáp án

Ta có:

\frac{V'}{V} = \frac{\frac{1}{6} A B . A D . A A'}{A B^{3}} = \frac{1}{6} \Rightarrow V = 6 V'

Chọn đáp án C

Câu 23:

Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $(S) : {(x - 5)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 9$ . Bán kính R của (S) là

A. R = 3

B. R = 18

C. R = 9

D. R = 6

Xem đáp án

Phương trình mặt cầu tổng quát:

{(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} + {(z - c)}^{2} = R^{2} \Rightarrow R = 3

Chọn đáp án A

Câu 24:

Nghiệm của bất phương trình

\log_{2} (3 x - 1) > 3

là

A. $x > 3.$

B. $\frac{1}{3} < x < 3.$

C. $x < 3.$

D. $x > \frac{10}{3} .$

Xem đáp án

$\log_{2} (3 x - 1) > 3.$ Điều kiện $3 x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{1}{3} .$

Phương trình $\Leftrightarrow 3 x - 1 > 2^{3} \Leftrightarrow 3 x > 9 \Leftrightarrow x > 3.$

Chọn đáp án A

Câu 25:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vectơ $\vec{a} = (2; 1; 0)$ và $\vec{b} = (- 1; 0; - 2)$ . Khi $\cos (\vec{a}, \vec{b})$ đó bằng

A. $\cos (\vec{a}, \vec{b}) = - \frac{2}{25} .$

B. $\cos (\vec{a}, \vec{b}) = - \frac{2}{5} .$

C. $\cos (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{2}{25} .$

D. $\cos (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{2}{5} .$

Xem đáp án

Ta có:

\cos (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{|\vec{a}| . |\vec{b}|} = \frac{- 2}{\sqrt{5} . \sqrt{5}} = - \frac{2}{5} .

Chọn đáp án B

Câu 26:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d : \frac{x + 1}{1} = \frac{y}{- 3} = \frac{z - 5}{- 1}$ và mặt phẳng $(P) : 3 x - 3 y + 2 z + 6 = 0$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. d cắt và không vuông góc với (P)

B. d vuông góc với (P)

C. d vuông góc với (P)

D. d vuông góc với (P)

Xem đáp án

Ta có đường thẳng d đi qua $M (- 1; 0; 5)$ có vtcp $\vec{u} = (1; - 3; - 1)$ và mặt phẳng (P) có vtpt

$\vec{n} = (3; - 3; 2)$

$M \notin (P) \Rightarrow$ loại đáp án D

\vec{n}, \vec{u}

không cùng phương suy ra loại đáp án B

\vec{n} . \vec{u} = 10 \Rightarrow \vec{n}, \vec{u}

không vuông góc suy ra loại đáp án C

Chọn đáp án A

Câu 27:

Tập nghiệm của phương trình

\log (x^{2} - 1) = \log (2 x - 1)

A. $\{2\}$

B. {0}

C. {0;2}

D. {3}

Xem đáp án

Điều kiện

\{\begin{cases} 2 x - 1 > 0 \\ x^{2} - 1 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow x > 1

Phương trình ban đầu

\Rightarrow x^{2} - 1 = 2 x - 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 2 (t m d k) \end{array} \Leftrightarrow x = 2

Vậy tập nghiệm của phương trình là

S = \{2\}

Chọn đáp án A

Câu 28:

Trong không gian Oxyz, cho điểm $A (1; 2; 3)$ và đường thẳng $d : \frac{x - 3}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 7}{- 2}$ . Đường thẳng đi qua A và song song với đường thẳng d có phương trình là:

A. $\{\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = 2 + t \\ z = 3 - 2 t \end{cases}$

B. $\{\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = 2 + t \\ z = 3 + 2 t \end{cases}$

C. $\{\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = 3 + t \\ z = 2 - 2 t \end{cases}$

D. $\{\begin{cases} x = 2 + 2 t \\ y = 1 + t \\ z = 3 - 2 t \end{cases}$

Xem đáp án

Đường thẳng đi qua A và song song với d nên có một vectơ chỉ phương là

\vec{u} = (2; 1; - 2)

Phương trình đường thẳng cần tìm:

\{\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = 2 + t \\ z = 3 - 2 t \end{cases}

Chọn đáp án A

Câu 29:

Cho hình lập phương $A B C D . A' B' C' D'$ (hình vẽ bên dưới). Góc giữa hai đường thẳng AC và A'D bằng

Cho hình lập phương (hình vẽ bên dưới) A 45 độ (ảnh 1)

A. $45 °$

B. $30 °$

C. $60 °$

D. $90 ° .$

Xem đáp án

Do $A B C D . A' B' C' D'$ là hình lập phương nên $A' D$ song song với $B' C$ .

$Δ A C B'$ đều $\Rightarrow \hat{A C B'} = 60 °$ .

Suy ra $(A C, A' D) = (A C, C B') = \hat{A C B'} = 60 °$ .

Chọn đáp án C

Câu 30:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu có tâm $I (1; 2; - 1)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(P) : x - 2 y - 2 z - 8 = 0$ ?

A. ${(x + 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 3$

B. ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 3$

C. ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 9$

D. ${(x + 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 9$

Xem đáp án

Gọi mặt cầu cần tìm là (S)

Ta có (S) là mặt cầu có tâm $I (1; 2; - 1)$ và bán kính R

Vì (S) tiếp xúc với mặt phẳng nên $(P) : x - 2 y - 2 z - 8 = 0$ nên

$R = d (I; (P)) = \frac{|1 - 2.2 - 2. (- 1) - 8|}{\sqrt{1^{2} + {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{2}}} = 3$

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 9$

Chọn đáp án C

Câu 31:

Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy là hình vuông cạnh a, hai mặt $(S A B); (S A D)$ cùng vuông góc với mặt phẳng $(A B C D)$ ; góc giữa đường thẳng $S C$ và mặt phẳng $(A B C D)$ bằng $60^{0}$ . Tính theo a thể tích của khối chóp $S . A B C D$ .

A. $3 a^{3}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{6}}{9}$

C. $3 \sqrt{2} a^{3}$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{6}}{3}$

Xem đáp án

Ta có $A C = a \sqrt{2}$

Vì $(S A B) ⊥ (A B C D); (S A D) ⊥ (A B C D)$ nên $S A ⊥ (A B C D)$

Suy ra góc giữa đường thẳng $S C$ và mặt phẳng $(A B C D)$ là góc giữa $S C$ và $A C$ .

Suy ra $\hat{S C A} = 60^{0}$ $\Rightarrow S A = a \sqrt{2} . \tan 60^{0} = a \sqrt{6}$

Vậy thể tích khối chóp là $V = \frac{1}{3} . a^{2} . a \sqrt{6} = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{3}$

Chọn đáp án D

Câu 32:

Một vật chuyển động với vận tốc $v (t) (m / s)$ có gia tốc $a (t) = 3 t^{2} + t (m / s^{2})$ . Vận tốc ban đầu của vật là $2 (m / s)$ . Hỏi vận tốc của vật sau 2s

A. 10 m/s

B. 12 m/s

C. 16 m/s

D. 8 m/s

Xem đáp án

Ta có $v (t) = \int_{}^{} a (t) d t = \int_{}^{} (3 t^{2} + t) d t = t^{3} + \frac{t^{2}}{2} + C$

Vận tốc ban đầu của vật là $2 m / s \Rightarrow v (0) = 2 \Rightarrow C = 2$

Vậy vận tốc của vận sau 2s là: $v (2) = 12$

Câu 33:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm $f' (x) = (e^{x} + 1) (e^{x} - 12) (x + 1) {(x - 1)}^{2}$ trên R. Hỏi hàm số $y = f (x)$ có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Các điểm $x = x_{0}$ được gọi là điểm cực trị của hàm số $y = f (x) \Leftrightarrow x = x_{0}$ là nghiệm bội lẻ của phương trình $y' = 0$

Ta có: $f' (x) = 0 \Leftrightarrow (e^{x} + 1) (e^{x} - 12) (x + 1) {(x - 1)}^{2} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} e^{x} + 1 = 0 \\ e^{x} - 12 = 0 \\ x = - 1 \\ x = 1 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \ln 12 \\ x = - 1 \\ x = 1 \end{array}$

Trong đó ta thấy $x = 1$ là nghiệm bội hai của phương trình suy ra $x = 1$ không là điểm cực trị của hàm số.

Vậy hàm số có 2 điểm cực trị.

Chọn đáp án B

Câu 34:

Đồ thị (C) của hàm số $y = \frac{(a + 1) x + 2}{x - b + 1}$ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng thì tổng $a + b$ là

A. 0

B. 1

C. 2

D. -1

Xem đáp án

(C) có tiệm cận đứng là $x = b - 1$ ; tiệm cận ngang là $y = a + 1$

Tâm đối xứng của (C) là giao điểm của hai đường tiệm cận $I (b - 1; a + 1)$

O là tâm đối xứng của $(C) \Leftrightarrow I \equiv O b = 1; a = - 1 \Rightarrow a + b = 0$

Chọn đáp án A

Câu 35:

Một nhóm học sinh gồm 6 bạn nam và 4 bạn nữ đứng ngẫu nhiên thành 1 hàng. Xác suất để có đúng 2 trong 4 bạn nữ đứng cạnh nhau là

A. $\frac{1}{4}$

B. $\frac{1}{3}$

C. $\frac{2}{3}$

D. $\frac{1}{2}$

Xem đáp án

Chọn 2 bạn nữ trong 4 bạn thì có $C_{4}^{2}$ cách. Ta “buộc” hai bạn này vào nhau coi như một bạn nữ thông thường. Có 2 cách để “buộc” như thế ( vì có thể là ab hoặc ba). Lúc này nhóm học sinh gồm có 6 bạn nam và 3 bạn nữ ( trong đó có 1 bạn nữ “đặc biệt”). Ta xếp vị trí cho các bạn nam trước thì có 6! Cách. Giữa các bạn nam có 5 vị trí xen kẽ với 2 vị trí đầu hàng và cuối hàng bây giờ ta xếp 3 bạn nữ vào 3 trong 7 vị trí kia thì có $A_{7}^{3}$ cách. Vậy xác xuất cần tìm bằng $\frac{2 C_{6}^{4} 6! A_{7}^{3}}{10!} = \frac{1}{2} .$

Chọn đáp án D

Câu 36:

Tìm số phức z thỏa mãn

z + 2 - 3 i = 2 \bar{z} .

A. $z = 2 + i .$

B. $z = 2 - i .$

C. $z = 3 - 2 i .$

D. $z = 3 + i .$

Xem đáp án

Đặt $z = x + y i (x, y \in ℝ),$ suy ra $\bar{z} = x - y i .$

Ta có $z + 2 - 3 i = 2 \bar{z} \Leftrightarrow (x + 2) + (y - 3) i = 2 x - 2 y i .$

Đồng nhất hệ số ta có $\{\begin{cases} x + 2 = 2 x \\ y - 3 = - 2 y \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 \\ y = 1 \end{cases} .$

Vậy số phức $z = 2 + i .$

Câu 37:

Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình $9^{x} - {2.3}^{x + 1} + m = 0$ có hai nghiệm thực $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $x_{1} + x_{2} = 1$ .

A. $m = 3$

B. $m = 1$

C. $m = 6$

D. $m = - 3$

Xem đáp án

Ta có $9^{x} - {2.3}^{x + 1} + m = 0$ $\Leftrightarrow 3^{2 x} - {6.3}^{x} + m = 0$ .

Phương trình có hai nghiệm thực $x_{1}$ , $x_{2}$ thỏa mãn $x_{1} + x_{2} = 1$ $\Rightarrow \{\begin{cases} Δ^{'} = 9 - m > 0 \\ 3^{x_{1}} + 3^{x_{2}} = 6 > 0 \\ 3^{x_{1} + x_{2}} = 3 = m \end{cases} \Leftrightarrow m = 3$ .

Chọn đáp án A

Câu 38:

Cho hình chóp tứ giác $S . A B C D$ có đáy là hình thang vuông tại A, D, AB=AD=a, CD=2a. Cạnh bên SD vuông góc với đáy (ABCD) và SD=a. Tính khoảng cách từ A đến (SBC).

A. $\frac{a \sqrt{6}}{3}$

B. $\frac{a \sqrt{6}}{6}$

C. $\frac{a \sqrt{6}}{12}$

D. $\frac{a \sqrt{6}}{2}$

Xem đáp án

Gọi AI là trung điểm CD, suy ra ABID là hình vuông

$\Rightarrow B I = C I = D I \Rightarrow B D ⊥ B C$ $\Rightarrow (S B C) ⊥ (S D B)$

Mà $S D ⊥ (A B C D) \Rightarrow S D ⊥ B C$ nên $B C ⊥ (S D B)$ .

Ta có $(S B C) \cap (S D B) = S B$ , kẻ $D H ⊥ S B (H \in S B) \Rightarrow D H ⊥ (S B C)$ $\Rightarrow D H = d (D, (S B C))$ .

Trong tam giác vuông SDB: $\frac{1}{D H^{2}} = \frac{1}{S D^{2}} + \frac{1}{D B^{2}} = \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{{(a \sqrt{2})}^{2}} = \frac{3}{2 a^{2}}$ .

$\Rightarrow D H = \frac{a \sqrt{6}}{3}$

Vậy $d (D, (S B C)) =$ $\frac{a \sqrt{6}}{3}$ .

Vì $D I \cap (S B C) = C$ $\Rightarrow \frac{d (I, (S B C))}{d (D, (S B C))} = \frac{I C}{D C} = \frac{1}{2}$ .

Do AI song song với BC nên AI song song với mặt phẳng (SBC)

$\Rightarrow d (A, (S B C)) = d (I, (S B C)) = \frac{1}{2} d (D, (S B C)) = \frac{a \sqrt{6}}{6}$ .

Vậy $d (A, (S B C)) = \frac{a \sqrt{6}}{6}$ .

Chọn đáp án B

Câu 39:

Tất cả các giá trị của tham số m để hàm số $y = (m - 1) x^{4}$ đạt cực đại tại $x = 0$ là:

A. m < 1

B. m > 1

C. Không tồn tại m

D. m = 1

Xem đáp án

TH 1: Nếu m = 1 $\Rightarrow$ y = 0 suy ra hàm số không có cực trị.

Vậy m = 1 không thỏa mãn.

TH 2: nếu m ≠ 1

Ta có: $y' = 4 (m - 1) x^{3}$

$y' = 0 \Leftrightarrow x = 0$

Để hàm số đạt cực đại tại x = 0 thì y' phải đổi dấu từ + sang - qua x = 0.

Khi đó $4 (m - 1) < 0 \Leftrightarrow m < 1$ .

Vậy m < 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn đáp án A

Câu 40:

Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P) tiếp tuyến với (P) tại điểm

A (1; - 1)

và đường thẳng

x = 2

(như hình vẽ). Tính S

A. $S = \frac{4}{3} .$

B. $S = 1.$

C. $S = \frac{1}{3} .$

D. $S = \frac{2}{3} .$

Xem đáp án

Phương trình $(P) : y = a x^{2},$

$(P)$ qua $A (1; - 1) \Rightarrow a = - 1$

Phương trình tiếp tuyến $Δ$ của (P) tại A là $y = f^{'} (1) (x - 1) - 1 = - 2 (x - 1) - 1 = - 2 x + 1$

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị: là $\{\begin{cases} (P) : y = - x^{2} \\ Δ : y = - 2 x + 1 \end{cases}$

là $S = \int_{1}^{2} (- 2 x + 1 + x^{2}) d x = \frac{1}{3} .$

Chọn đáp án C

Câu 41:

Cho hai số phức $z_{1}, z_{2}$ thỏa mãn $|z_{1}| = 2, |z_{2}| = \sqrt{3}$ . Gọi M, N lần lượt là điểm biểu diễn cho $z_{1}$ và $i z_{2}$ . Biết $\hat{M O N} = 30^{0}$ . Tính $S = |z_{1}^{2} + 4 z_{2}^{2}|$

A. $5 \sqrt{2}$

B. $3 \sqrt{3}$

C. $4 \sqrt{7}$

D. $\sqrt{5}$

Xem đáp án

Ta có

S = |z_{1}^{2} + 4 z_{2}^{2}| = |z_{1}^{2} - {(2 i z_{2})}^{2}| = |z_{1} - 2 i z_{2}| . |z_{1} + 2 i z_{2}|

Gọi P là điểm biểu diễn của số phức

2 i z_{2}

.

Khi đó ta có

|z_{1} - 2 i z_{2}| . |z_{1} + 2 i z_{2}| = |\vec{O M} - \vec{O P}| . |\vec{O M} + \vec{O P}|

|\vec{P M}| . |2 \vec{O I}| = 2 P M . O I

Do $\hat{M O N} = 30 °$ nên áp dụng định lí cosin ta tính ra được MN = 1. Khi đó $Δ O M P$ có MN đồng thời là đường cao và đường trung tuyến, suy ra $Δ O M P$ cân tại $M \Rightarrow P M = O M = 2$

Áp dụng định lí đường trung tuyến cho $Δ O M P$ ta có

$O I^{2} = \frac{O M^{2} + O P^{2}}{2} - \frac{M P^{2}}{4} = 7$

Vậy $S = 2 P M . O I = 2.2 \sqrt{7} = 4 \sqrt{7}$

Chọn đáp án C

Câu 42:

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng và đường thẳng $(P) : x + y + z - 3 = 0$ và đường thẳng $d : \frac{x}{1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 2}{- 1} .$ Hình chiếu vuông góc của d trên (P) có phương trình là

A. $\frac{x + 1}{- 1} = \frac{y + 1}{- 4} = \frac{z + 1}{5} .$

B. $\frac{x - 1}{3} = \frac{y - 1}{- 2} = \frac{z - 1}{- 1} .$

C. $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{4} = \frac{z - 1}{- 5} .$

D. $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 4}{1} = \frac{z + 5}{1} .$

Xem đáp án

Phương trình của tham số của đường thẳng d là: $\{\begin{matrix} x = t \\ y = - 1 + 2 t \\ z = 2 - t \end{matrix} .$

Gọi A là giao điểm của (P) và d. Khi đó tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình: $\{\begin{matrix} x = t \\ y = - 1 + 2 t \\ z = 2 - t \\ x + y + z - 3 = 0 \end{matrix}$ Suy ra $A (1; 1; 1)$ . Đường thẳng d có vec-tơ chỉ phương là $\vec{u_{d}} = (1; 2; - 1)$ , mặt phẳng có vec-tơ pháp tuyến là $\vec{n_{(P)}} = (1; 1; 1)$ . Gọi (Q) là mặt phẳng chứa đường thẳng d và vuông góc với (P). Khi đó (Q) có vec-tơ pháp tuyến $\vec{n_{Q}} = [\vec{u_{d}}, \vec{n_{(P)}}] = (3; - 2; - 1)$ . Đường thẳng $Δ$ là hình chiếu vuông góc của d lên (P) chính là giao tuyến của (P) và (Q). Suy ra vec-tơ chỉ phương của $Δ$ là $\vec{u} = [\vec{n_{(P)}}, \vec{n_{(Q)}}] = (1; 4; - 5) .$

Vậy hình chiếu vuông góc của d trên (P) có phương trình là $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{4} = \frac{z - 1}{- 5} .$

Chọn đáp án C

Câu 43:

Cho hàm số $y = f (x) = \{\begin{cases} x^{2} + 3 k h i x \geq 1 \\ 5 - x k h i x < 1 \end{cases}$

Tính $I = 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (\sin x) \cos x d x + 3 \int_{0}^{1} f (3 - 2 x) d x$

A. $I = \frac{32}{2}$

B. $I = 31$

C. $I = \frac{71}{6}$

D. $I = 32$

Xem đáp án

+ Tính $\int_{0}^{\frac{π}{2}} f (\sin x) \cos x d x$ . Đặt $\sin x = t \Rightarrow \cos x d x = d t$ . Đổi cận $\{\begin{cases} x = 0 \Rightarrow t = 0 \\ x = \frac{π}{2} \Rightarrow t = 1 \end{cases}$

Do đó $\int_{0}^{\frac{π}{2}} f (\sin x) \cos x d x = \int_{0}^{1} f (t) d t = \int_{0}^{1} (5 - t) d t = (5 t - \frac{t^{2}}{2}) |\begin{array}{l} ^{1} \\ _{0} \end{array} = \frac{9}{2}$

+ Tính $\int_{0}^{1} f (3 - 2 x) d x$ . Đặt $t = 3 - 2 x \Rightarrow d t = - 2 d x \Rightarrow d x = \frac{- d t}{2}$

Đổi cận $\{\begin{cases} x = 0 \Rightarrow t = 3 \\ x = 1 \Rightarrow t = 1 \end{cases}$

Do đó $\int_{0}^{1} f (3 - 2 x) d x = \int_{3}^{1} f (t) . \frac{- d t}{2} = \frac{1}{2} \int_{1}^{3} f (t) d t = \frac{1}{2} \int_{1}^{3} (x^{2} + 3) d t = \frac{1}{2} (\frac{x^{3}}{3} + 3 x) |\begin{array}{l} ^{3} \\ _{1} \end{array} = \frac{22}{3}$

Vậy $I = 2. \frac{9}{2} + 3. \frac{22}{3} = 31$

Chọn đáp án B

Câu 44:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm trên R và f (1)=1. Đồ thị hàm số như hình bên.

Có bao nhiêu số nguyên dương a để hàm số $y = |4 f (\sin x) + \cos 2 x - a|$ nghịch biến trên $(0; \frac{π}{2})$ ?

A. 2

B. 3

C. Vô số

D. 5

Xem đáp án

Xét hàm số $y = 4 f (\sin x) + \cos 2 x - a$

$y^{'} = \cos x [4 f^{'} (\sin x) - 4 \sin x]$ .

Ta thấy $\cos x > 0$ , $\forall x \in (0; \frac{π}{2})$ ,

Đồ thị của hàm số $y = f^{'} (x)$ và $y = x$ vẽ trên cùng hệ trục tọa độ như sau:

Từ đồ thị ta có $f^{'} (x) < x, \forall x \in (0; 1)$ $\Rightarrow f^{'} (\sin x) < \sin x, \forall x \in (0; \frac{π}{2})$

Suy ra $y^{'} < 0, \forall x \in (0; \frac{π}{2})$ .

Ta có bảng biến thiên

Cho hàm số y=f() có đạo hàm trên R và f(1)=1. (ảnh 3)

Dựa vào bảng biến thiên thì ycbt $\Leftrightarrow 4 f (1) - 1 - a \geq 0$ $\Leftrightarrow a \leq 4 f (1) - 1 = 3$ .

Vì a là số nguyên dương nên $a \in \{1; 2; 3\}$ .

Chọn đáp án B

Câu 45:

CCó một khối gỗ là khối lăng trụ đứng

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

có

A B = 30 cm

,

B C = 40 cm

,

C A = 50 cm

và chiều cao

A A^{'} = 100 cm

. Từ khối gỗ này người ta tiện để thu được một khối trụ có cùng chiều cao với khối gỗ ban đầu. Thể tích lớn nhất của khối trụ gần nhất với giá trị nào dưới đây?

A. $62500 {cm}^{3}$

B. $60000 {cm}^{3}$

C. $31416 {cm}^{3}$

D. $6702 {cm}^{3}$

Xem đáp án

Khi ta tiện khối lăng trụ đứng tam giác $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ để được một khối trụ có cùng chiều cao với khối lăng trụ thì khối trụ đó có hai đáy là đường tròn nội tiếp hai tam giác $A B C$ và $A^{'} B^{'} C^{'}$ .

Gọi p, r lần lượt là nửa chu vi và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $A B C$ .

Ta có $p = \frac{A B + B C + C A}{2} = 60 cm$

$S_{Δ A B C} = \sqrt{p (p - A B) (p - B C) (p - A C)} = \sqrt{60.30.20.10} = 600 {cm}^{2}$

Mà $S_{Δ A B C} = p r \Rightarrow r = \frac{S_{Δ A B C}}{p} = \frac{600 \sqrt{2}}{60} = 10 cm$ .

Thể tích khối trụ là $V = π r^{2} h = π {.10}^{2} .100 = 10000 π \approx 31416 {cm}^{3}$

Chọn đáp án C

Câu 46:

Có bao nhiêu cặp số nguyên

(x; y)

thỏa mãn

0 \leq x \leq 3000

và

3 (9^{y} + 2 y) = x + \log_{3} {(x + 1)}^{3} - 2

?

A. 3

B. 2

C. 4

D. 5

Xem đáp án

Đặt $\log_{3} (x + 1) = t \Rightarrow x = 3^{t} - 1$ .

Phương trình trở thành:

$3 (3^{2 y} + 2 y) = 3^{t} - 1 + 3 t - 2 \Leftrightarrow 3^{2 y} + 2 y = 3^{t - 1} + (t - 1)$ .

Xét hàm số $f (u) = 3^{u} + u \Rightarrow f^{'} (u) = 3^{u} . \ln 3 + 1 > 0$ nên hàm số luôn đồng biến.

Vậy để $f (2 y) = f (t - 1) \Leftrightarrow 2 y = t - 1 \Leftrightarrow 2 y + 1 = t = \log_{3} (x + 1)$

$\Rightarrow 0 \leq 2 y + 1 \leq \log_{3} 3001 \Rightarrow 0 \leq 2 y + 1 \leq 6 \Rightarrow y = \{0; 1; 2\}$

Với mỗi nghiệm y ta tìm được một nghiệm x tương ứng.

Chọn đáp án A

Câu 47:

Cho hàm số

y = f (x)

có đạo hàm trên

[- 4; 4]

, có các điểm cực trị trên

(- 4; 4)

là -3;

- \frac{4}{3}

; 0; 2 và có đồ thị như hình vẽ. Đặt hàm số

y = g (x) = f (x^{3} + 3 x) + m

với m là tham số. Gọi

m_{1}

là giá trị của m để

\max_{[0; 1]} g (x) = 4

,

m_{2}

là giá trị của m để

\min_{[- 1; 0]} g (x) = - 2

. Giá trị của

m_{1} + m_{2}

bằng.

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên [-4;4], có các điểm cực trị trên (ảnh 1)

A. -2

B. 0

C. 2

D. -1

Xem đáp án

Ta có $y = g (x) = f (x^{3} + 3 x) + m$ .

$g' (x) = (3 x^{2} + 3) f' (x^{3} + 3 x)$ .

$g' (x) = 0 \Leftrightarrow f' (x^{3} + 3 x) = 0$ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x^{3} + 3 x = - 3 (1) \\ x^{3} + 3 x = - \frac{4}{3} (2) \\ x^{3} + 3 x = 0 (3) \\ x^{3} + 3 x = 2 (4) \end{array}$ .

Ta có bảng biến thiên của hàm số

y = x^{3} + 3 x

như sau:

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên [-4;4], có các điểm cực trị trên (ảnh 2)

Từ bảng biến thiên trên, ta có:

Phương trình (1) có nghiệm duy nhất $x_{1} \in (- 1; 0)$

Phương trình (2) có nghiệm duy nhất $x_{2} \in (- 1; 0)$ , $(x_{2} > x_{1})$ .

Phương trình (3) có nghiệm duy nhất $x = 0.$

Phương trình (4) có nghiệm duy nhất $x_{3} \in (0; 1)$ .

Bảng biến thiên hàm số :

$\max_{[0; 1]} g (x) = 3 + m = 4 \Leftrightarrow m = 1$ suy ra $m_{1} = 1$

$\min_{[- 1; 0]} g (x) = - 1 + m = - 2 \Leftrightarrow m = - 1.$ suy ra $m_{2} = - 1$

Vậy $m_{1} + m_{2} = 0$

Chọn đáp án B

Câu 48:

Có bao nhiêu số nguyên dương y để tập nghiệm của bất phương trình

(\log_{2} x - \sqrt{2}) (\log_{2} x - y) < 0

chứa tối đa 1000 số nguyên

A. 9

B. 10

C. 8

D. 11

Xem đáp án

TH1. Nếu $y = \sqrt{2} \notin ℤ$

TH2. Nếu $y > \sqrt{2}$ $\Rightarrow (\log_{2} x - \sqrt{2}) (\log_{2} x - y) \Leftrightarrow 2^{\sqrt{2}} < x < 2^{y}$ . Tập nghiệm của BPT chứa tối đa 1000 số nguyên $\{3; 4; ...; 1002\}$ $\Leftrightarrow 2^{y} \leq 1003 \Leftrightarrow y \leq \log_{2} 1003 \approx 9, 97 \Rightarrow y \in \{2; ...; 9\}$

TH3. Nếu $y < \sqrt{2}$ $\Rightarrow y = 1 \Rightarrow (\log_{2} x - \sqrt{2}) (\log_{2} x - y) < 0 \Leftrightarrow 1 < \log_{2} x < \sqrt{2} \Leftrightarrow 2 < x < 2^{\sqrt{2}}$ . Tập nghiệm không chứa số nguyên nào

Chọn đáp án A

Câu 49:

Cho hàm số

y = f (x)

nhận giá trị dương và có đạo hàm

f^{'} (x)

liên tục trên R thỏa mãn

\int_{0}^{x} [f^{2} (t) + {(f^{'} (t))}^{2}] d t = {(f (x))}^{2} - 2018

. Tính

f (1)

A. $2018 e$

B. $\sqrt{2018}$

C. 2018

D. $\sqrt{2018} e$

Xem đáp án

Lấy đạo hàm hai vế ta được

$2 f (x) . f^{'} (x) = f^{2} (x) + {(f^{'} (x))}^{2} \Rightarrow {(f^{'} (x) - f (x))}^{2} = 0 \Rightarrow f^{'} (x) = f (x)$

$\Rightarrow f (x) = k . e^{x}$

Thử lại vào đẳng thức đã cho suy ra

$k^{2} e^{2 x} = \int_{0}^{x} 2 k^{2} e^{2 x} d x + 2018 \Rightarrow k = \sqrt{2018} \Rightarrow f (x) = \sqrt{2018} e^{x}$

Vậy $f (1) = \sqrt{2018} e$

Chọn đáp án D

Câu 50:

Trong hệ tọa độ Oxyz, cho điểm $A (2; 1; 3)$ , mặt phẳng $(α) : 2 x + 2 y - z - 3 = 0$ và mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6 x - 4 y - 10 z + 2 = 0$ . Gọi $Δ$ là đường thẳng đi qua A, nằm trong mặt phẳng $(α)$ và cắt (S) tại hai điểm M,N . Độ dài đoạn nhỏ nhất là:

A. $2 \sqrt{30}$

B. $\sqrt{30}$

C. $\frac{\sqrt{30}}{2}$

D. $\frac{3 \sqrt{30}}{2}$

Xem đáp án

+ Mặt cầu (S) có tâm $I (3; 2; 5)$ và bán kính $R = 6$ .

Ta có: $A \in (α),$ $I A = \sqrt{6} < R$ nên $(S) \cap (α) = (C)$ và A nằm trong mặt cầu (S).

Suy ra: Mọi đường thẳng $Δ$ đi qua A, nằm trong mặt phẳng $(α)$ đều cắt (S) tại hai điểm $M, N$ . ( cũng chính là giao điểm của $Δ$ và ).

+ Vì $d (I, Δ) \leq I A$ nên ta có: $M N = 2 \sqrt{R^{2} - d^{2} (I, Δ)} \geq 2 \sqrt{R^{2} - I A^{2}} = 2 \sqrt{30}$ .

Dấu "=" xảy ra khi A là điểm chính giữa dây cung MN.

Vậy độ dài đoạn MN nhỏ nhất là bằng $2 \sqrt{30}$ .

Chọn đáp án A