50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề số 15

Câu 1:

Trong không gian tọa độ Oxyz đường thẳng

(d) : \frac{x + 5}{2} = \frac{y - 7}{- 8} = \frac{z + 13}{9}

có một véc tơ chỉ phương là

A. $\vec{u_{1}} = (2; - 8; 9) .$

B. $\vec{u_{2}} = (2; 8; 9) .$

C. $\vec{u_{3}} = (- 5; 7; - 13) .$

D. $\vec{u_{4}} = (5; - 7; - 13) .$

Xem đáp án

Đường thẳng

(d) : \frac{x + 5}{2} = \frac{y - 7}{- 8} = \frac{z + 13}{9}

có véc tơ chỉ phương là

\vec{u} = (2; - 8; 9) .

Nên

\vec{u_{1}} = (2; - 8; 9)

là véc tơ chỉ phương của

(d) .

Chọn đáp án A

Câu 2:

Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào?

A. $y = x^{3} - 4 x$

B. $y = x^{4} - 4 x^{2}$

C. $y = - x^{4} + 4 x^{2}$

D. $y = - x^{3} + 4 x$

Xem đáp án

Đồ thị đã cho là đồ thị của hàm số bậc 4 trùng phương, nên loại đáp án A và B.
Ta có suy ra nên loại C.

Chọn đáp án C

Câu 3:

Trong không gian Oxyz,mặt phẳng

(α) : x - y + 2 z - 3 = 0

đi qua điểm nào dưới đây?

A. $M (1; 1; \frac{3}{2})$

B. $N (1; - 1; - \frac{3}{2})$

C. $P (1; 6; 1)$

D. $Q (0; 3; 0)$

Xem đáp án

Xét điểm

M (1; 1; \frac{3}{2})

,ta có:

1 - 1 + 2. \frac{3}{2} - 3 = 0

đúng nên

M \in (α)

nên A đúng.
Xét điểm

N (1; - 1; - \frac{3}{2})

,ta có:

1 + 1 + 2. (- \frac{3}{2}) - 3 = 0

sai nên

N \notin (α)

nên B sai.
Xét điểm

P (1; 6; 1)

,ta có:

1 - 6 + 2.1 - 3 = 0

sai nên

P \notin (α)

nên C sai.
Xét điểm

Q (0; 3; 0)

,ta có:

0 - 3 + 2.0 - 3 = 0

sai nên

Q \notin (α)

nên D sai.

Chọn đáp án A

Câu 4:

Với

α

là một số thực bất kỳ, mệnh đề nào sau đây sai?

A. ${(10^{α})}^{2} = 10^{α^{2}}$

B. ${(10^{α})}^{2} = {(100)}^{α}$

C. $\sqrt{10^{α}} = {(\sqrt{10})}^{α}$

D. $\sqrt{10^{α}} = 10^{\frac{α}{2}}$

Xem đáp án

+) Có

\sqrt{10^{α}} = 10^{\frac{α}{2}}

với mọi

α

, nên A đúng.
+) Có

{(10^{α})}^{2} = {(100)}^{α}

với mọi

α

, nên B đúng.
+) Có

\sqrt{10^{α}} = {(\sqrt{10})}^{α}

với mọi

α

, nên C đúng.
+) Có

{(10^{α})}^{2} = 10^{α^{2}}

(*), dấu đẳng thức xảy ra khi

α = 0

hoặc

α = 2

.
Lấy

α = 1

thì (*) sai, vậy D sai.

Chọn đáp án D

Câu 5:

Tính diện tích xung quanh S của khối trụ có bán kính đáy

r = 4

và chiều cao

h = 3.

A. $S = 96 π$

B. $S = 12 π$

C. $S = 48 π$

D. $S = 24 π$

Xem đáp án

Diện tích xung quanh S của khối trụ đó là:

S = 2 π r h = 2 π .4.3 = 24 π

(đvtt).

Chọn đáp án D

Câu 6:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 4 y - 4 z - 25 = 0

. Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S).

A. $I (- 1; - 2; 2); R = 6$

B. $I (1; - 2; 2); R = \sqrt{34}$

C. $I (- 1; 2; - 2); R = 5$

D. $I (- 2; 4; - 4); R = \sqrt{29}$

Xem đáp án

Ta có:

(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 4 y - 4 z - 25 = 0 \Leftrightarrow {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 34

Vậy

I (1; - 2; 2)

;

R = \sqrt{34}

.

Chọn đáp án B

Câu 7:

Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm

A (3; 2; - 4)

lên mặt phẳng

(O x y)

có tọa độ là

A. $(3; 0 - 4)$

B. $(0; 0 - 4)$

C. $(0; 2 - 4)$

D. $(3; 2; 0)$

Xem đáp án

Gọi

A^{'}

là hình chiếu vuông góc của điểm

A (3; 2; - 4)

lên mặt phẳng

(O x y)

, ta có

A^{'} (3; 2; 0)

Chọn đáp án D

Câu 8:

Cho dãy số

\frac{1}{2}; 0; - \frac{1}{2}; - 1; - \frac{3}{2}; .....

là cấp số cộng với

A. Số hạng đầu tiên là 0, công sai là $- \frac{1}{2} .$

B. Số hạng đầu tiên là $\frac{1}{2}$ , công sai là $\frac{1}{2}$

C. Số hạng đầu tiên là $\frac{1}{2}$ , công sai là $- \frac{1}{2} .$

D. Số hạng đầu tiên là 0, công sai là $\frac{1}{2}$

Xem đáp án

Nếu dãy số

(u_{n})

là một cấp số cộng thị công sai d của nó là hiệu của một cặp số hạng liên tiếp bất kì (số hạng sau trừ cho số hạng trước) của dãy số đó.
Ta có

\frac{1}{2}; 0; - \frac{1}{2}; - 1; - \frac{3}{2}; .....

là cấp số cộng

\underset{}{\to} \{\begin{cases} u_{1} = \frac{1}{2} \\ u_{2} - u_{1} = - \frac{1}{2} = d \end{cases}

Chọn đáp án C

Câu 9:

Đạo hàm của hàm số

y = π^{x}

là

A. $y^{'} = \frac{π^{x}}{\ln π}$

B. $y^{'} = π^{x} . \ln π$

C. $y^{'} = x . π^{x - 1}$

D. $y^{'} = x π^{x - 1} \ln π$

Xem đáp án

Ta có:

y^{'} = π^{x} . \ln π

.

Chọn đáp án B

Câu 10:

Cho tập hợp A gồm có 9 phần tử. Số tập con gồm có 4 phần tử của tập hợp A là

A. $4 \times 9$

B. $A_{9}^{4}$

C. $P_{4}$

D. $C_{9}^{4}$

Xem đáp án

Số tập con gồm có 4 phần tử của tập hợp A là

C_{9}^{4}

.

Chọn đáp án D

Câu 11:

Cho hàm số

y = f (x)

có đạo hàm trên R và có bảng xét dấu

f^{'} (x)

như sau

Mệnh đề nào sau đây sai?

A. Hàm số $y = f (x)$ có hai điểm cực trị

B. Hàm số $y = f (x)$ đạt cực đại tại $x = 1$ .

C. Hàm số $y = f (x)$ đạt cực tiểu tại $x = - 1$ .

D. Hàm số $y = f (x)$ đạt cực trị tại $x = - 2$ .

Xem đáp án

Cách 1:
Dựa vào bảng xét dấu

f^{'} (x)

ta nhận thấy hàm số không đạt cực đại tại

x_{0} = - 2

vì

f^{'} (x)

không đổi dấu khi x đi qua điểm

x_{0} = - 2

.
Cách 2:
Bảng biến thiên của hàm số có dạng:

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên R và có bảng xét dấu f'(x) như sau (ảnh 2)

Dựa vào bảng trên ta có hàm số không đạt cực trị tại

x_{0} = - 2

.

Chọn đáp án D

Câu 12:

Cho đồ thị hàm số

y = f (x)

có đồ thị như hình vẽ bên dưới

Hàm số

y = f (x)

đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(2; + \infty)$

B. $(0; 2)$

C. $(- \infty; 0)$

D. $(- 2; 2)$

Xem đáp án

Dựa vào đồ thị hàm số

y = f (x)

ta có hàm số đồng biến (đồ thị đi lên) trên khoảng

(0; 2)

.

Chọn đáp án B

Câu 13:

Cho hàm

f (x)

có đạo hàm liên tục trên

[2; 3]

đồng thời

f (2) = 2, f (3) = 5

. Khi đó

\int_{2}^{3} f^{'} (x) d x

bằng

A. 3

B. 10

C. -3

D. 7

Xem đáp án

$\int_{2}^{3} f^{'} (x) d x = f (3) - f (2) = 5 - 2 = 3$

Chọn đáp án A

Câu 14:

Cho số phức

z = - 1 + 2 i, w = 2 - i

. Điểm nào trong hình bên biểu diễn số phức

z + w

?

Cho số phức z=-1+2i, w=2-i . Điểm nào trong hình (ảnh 1)

A. P

B. Q

C. M

D. N

Xem đáp án

z + w = 1 + i

.
Do đó điểm biểu diễn của số phức

z + w

là

P (1; 1)

.

Chọn đáp án A

Câu 15:

Cho khối chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc và

S A = a, S B = b, S C = c

. Tính thể tích V của khối chóp đó theo a, b, c.

A. $V = a b c$

B. $V = \frac{a b c}{6}$

C. $V = \frac{a b c}{3}$

D. $V = \frac{a b c}{2}$

Xem đáp án

Áp dụng công thức thể tích khối tứ diện vuông

V = \frac{S A . S B . S C}{6} = \frac{a b c}{6}

.

Chọn đáp án B

Câu 16:

Cho số phức

z_{1} = 1 + i

và

z_{2} = 2 - 3 i

. Tìm số phức liên hợp của số phức

w = z_{1} + z_{2}

?

A. $\bar{w} = 3 + 2 i$

B. $\bar{w} = 1 - 4 i$

C. $\bar{w} = - 1 + 4 i$

D. $\bar{w} = 3 - 2 i$

Xem đáp án

Ta có:

w = z_{1} + z_{2} = 1 + i + 2 - 3 i \Rightarrow w = 3 - 2 i \Rightarrow \bar{w} = 3 + 2 i

.

Chọn đáp án A

Câu 17:

Cho hàm số

f (x) = 2^{x} + x + 1

. Tìm

\int f (x) d x

A. $\int f (x) d x = 2^{x} + x^{2} + x + C$

B. $\int f (x) d x = \frac{1}{\ln 2} 2^{x} + \frac{1}{2} x^{2} + x + C$

C. $\int f (x) d x = 2^{x} + \frac{1}{2} x^{2} + x + C$

D. $\int f (x) d x = \frac{1}{x + 1} 2^{x} + \frac{1}{2} x^{2} + x + C$

Xem đáp án

Ta có:

\int (2^{x} + x + 1) d x = \frac{1}{\ln 2} 2^{x} + \frac{1}{2} x^{2} + x + C

.

Chọn đáp án B

Câu 18:

Đường tiệm cận ngang, đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

y = \frac{2 x - 1}{x - 2}

lần lượt có phương trình là

A. $y = 2, x = 2$

B. $y = 2, x = \frac{1}{2}$

C. $x = 2, y = 2$

D. $y = 2, x = - 2$

Xem đáp án

Ta có:

\lim_{x \to + \infty} \frac{2 x - 1}{x - 2} = 2; \lim_{x \to - \infty} \frac{2 x - 1}{x - 2} = 2

, suy ra đường thẳng

y = 2

là phương trình đường tiệm cận ngang.

\lim_{x \to 2^{+}} \frac{2 x - 1}{x - 2} = + \infty; \lim_{x \to 2^{-}} \frac{2 x - 1}{x - 2} = - \infty

, suy ra đường thẳng

x = 2

là phương trình đường tiệm cận đứng.
Đường tiệm cận ngang, đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số lần lượt là

y = 2, x = 2

Chọn đáp án A

Câu 19:

Nghiệm của bất phương trình

3^{x + 2} \geq \frac{1}{9}

là

A. $x < 0$

B. $x \geq - 4$

C. $x \geq 0$

D. $x < 4$

Xem đáp án

Ta có

3^{x + 2} \geq \frac{1}{9} \Leftrightarrow 3^{x + 2} \geq 3^{- 2} \Leftrightarrow x + 2 \geq - 2 \Leftrightarrow x \geq - 4

Chọn đáp án B

Câu 20:

Cho hình nón có bán kính đáy

r = \sqrt{3}

và độ dài đường sinh

l = 4

. Tính diện tích xung quanh

S_{x q}

của hình nón đã cho.

A. $S_{x q} = 12 π$

B. $S_{x q} = 4 \sqrt{3} π$

C. $S_{x q} = \sqrt{39} π$

D. $S_{x q} = 8 \sqrt{3} π$

Xem đáp án

Ta có diện tích xung quanh của hình nón là

S_{x q} = π r l

, với

r = \sqrt{3}, l = 4

.
Suy ra

S_{x q} = 4 \sqrt{3} π

.
Vậy hình nón có bán kính đáy

r = \sqrt{3}

và độ dài đường sinh

l = 4

có diện tích xung quanh là

S_{x q} = 4 \sqrt{3} π

.

Chọn đáp án B

Câu 21:

Cho tứ diện ABCD có

A C = A D

và

B C = B D

. Gọi I là trung điểm của CD. Khẳng định nào sau đây sai?

A. Góc giữa 2 mặt phẳng $(A C D)$ và $(B C D)$ là góc $\hat{(A I; B I)}$ .

B. $(B C D) ⊥ (A I B)$

C. Góc giữa 2 mặt phẳng $(A B C)$ và $(A B D)$ là góc $\hat{C B D}$ .

D. $(A C D) ⊥ (A I B)$

Xem đáp án

Nếu AB không vuông góc với

(B C D)

nên góc giữa 2 mặt phẳng (ABC) và (ABD) không thể là góc

\hat{C B D}

.
Xét đáp án B có:

\begin{array}{l} C D ⊥ A I \\ C D ⊥ B I \end{array}\} \Rightarrow C D ⊥ (A I B)

;

C D \subset (B C D)

nên

(B C D) ⊥ (A I B)

. B đúng.
Chứng minh tương tự

(A C D) ⊥ (A I B)

. D đúng.
Xét đáp án A:

\begin{array}{l} C D ⊥ A I \\ C D ⊥ B I \\ C D = (A C D) \cap (B C D) \end{array}\} \Rightarrow

Góc giữa 2 mặt phẳng (ACD) và (BCD) là góc giữa

\hat{(A I; B I)}

.

Chọn đáp án C

Câu 22:

Biết rằng có duy nhất một cặp số thực

(x; y)

thỏa mãn

(x + y) + (x - y) i = 5 + 3 i

. Tính

S = x + 2 y .

A. $S = 5$

B. $S = 3$

C. $S = 4$

D. $S = 6$

Xem đáp án

Ta có:

(x + y) + (x - y) i = 5 + 3 i \Leftrightarrow \{\begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 4 \\ y = 1 \end{cases} \Rightarrow S = 6.

.

Chọn đáp án D

Câu 23:

Giá trị lớn nhất của hàm số

f (x) = \frac{x^{2} - 8 x}{x + 1}

trên đoạn

[1; 3]

bằng

A. -3

B. -4

C. $- \frac{15}{4}$

D. $- \frac{7}{2}$

Xem đáp án

Tập xác định:

D = ℝ \ \{- 1\}

.
Đạo hàm:

f^{'} (x) = \frac{x^{2} + 2 x - 8}{{(x + 1)}^{2}}

.
Xét

f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x^{2} + 2 x - 8 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 \in [1; 3] \\ x = - 4 \notin [1; 3] \end{array}

.
Ta thấy hàm số đã cho liên tục và có đạo hàm trên đoạn

[1; 3]

.
Ta có:

f (1) = - \frac{7}{2}; f (3) = - \frac{15}{4}; f (2) = - 4

.
Vậy

\max_{[1; 3]} f (x) = f (1) = - \frac{7}{2}

.

Chọn đáp án D

Câu 24:

Số nghiệm của phương trình

\log_{2} (x^{2} - x + 2) = 1

là

A. 0

B. 3

C. 1

D. 2

Xem đáp án

Theo giả thiết ta có:

\log_{2} (x^{2} - x + 2) = 1 \Leftrightarrow x^{2} - x + 2 = 2^{1} \Leftrightarrow x^{2} - x + 2 - 2 = 0

\Leftrightarrow x^{2} - x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 1 \end{array}

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt .

Chọn đáp án D

Câu 25:

Nguyên hàm của hàm số

f (x) = \sqrt{3 x + 2}

là

A. $\frac{3}{2} \frac{1}{\sqrt{3 x + 2}} + C$

B. $\frac{2}{3} (3 x + 2) \sqrt{3 x + 2} + C$

C. $\frac{1}{3} (3 x + 2) \sqrt{3 x + 2} + C$

D. $\frac{2}{9} (3 x + 2) \sqrt{3 x + 2} + C$

Xem đáp án

Cách 1:
+ Đặt:

t = \sqrt{3 x + 2} \to t^{2} = 3 x + 2

\to \frac{2 t dt}{3} = d x

+ Khi đó:

\int (\sqrt{3 x + 2}) d x = \int t . \frac{2tdt}{3} = \frac{2}{3} \int t^{2} dt = \frac{2}{9} t^{3} + C

.
Vậy

\int (\sqrt{3 x + 2}) d x = \frac{2}{9} (3 x + 2) \sqrt{3 x + 2} + C

.
Cách 2:
+

\int (\sqrt{3 x + 2}) d x = \int {(3 x + 2)}^{\frac{1}{2}} d x = \frac{2}{9} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{9} (3 x + 2) \sqrt{3 x + 2} + C

Chọn đáp án D.

Câu 26:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng

Δ

đi qua điểm

A (- 2; 4; 3)

và vuông góc với mặt phẳng

(α) : 2 x - 3 y + 6 z + 19 = 0

có phương trình là

A. $\frac{x - 2}{- 2} = \frac{y + 3}{4} = \frac{z - 6}{3}$

B. $\frac{x + 2}{2} = \frac{y - 4}{- 3} = \frac{z - 3}{6}$

C. $\frac{x + 2}{- 2} = \frac{y - 3}{4} = \frac{z + 6}{3}$

D. $\frac{x - 2}{2} = \frac{y + 4}{- 3} = \frac{z + 3}{6}$

Xem đáp án

Mặt phẳng

(α) : 2 x - 3 y + 6 z + 19 = 0

có vectơ pháp tuyến là

\vec{n} = (2; - 3; 6)

.
Đường thẳng

Δ

đi qua điểm

A (- 2; 4; 3)

và vuông góc với mặt phẳng

(α)

nhận

\vec{n} = (2; - 3; 6)

làm vectơ chỉ phương, khi đó phương trình đường thẳng

Δ

là:

\frac{x + 2}{2} = \frac{y - 4}{- 3} = \frac{z - 3}{6} .

Chọn đáp án B

Câu 27:

Cho hàm số

f (x)

có đạo hàm

f^{'} (x) = x^{3} (x - 1) (x - 2), \forall x \in ℝ .

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

A. 5

B. 2

C. 1

D. 3

Xem đáp án

Xét

f^{'} (x) = x^{3} (x - 1) (x - 2) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 1 \\ x = 2 \end{array}

, ta có bảng biến thiên như sau:

Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x)=x^3(x-1)(x-2) (ảnh 1)

Dựa vào bảng biến thiên ta kết luận hàm số đã cho có 3 điểm cực trị.

Chọn đáp án D

Câu 28:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB nằm trong mặt phẳng vuông góc với

(A B C D)

,

\hat{S A B} = 30^{0}

,

S A = 2 a

. Tính thể tích V của khối chóp

S . A B C D .

A. $V = \frac{a^{3}}{9} .$

B. $V = \frac{a^{3}}{3} .$

C. $V = \frac{\sqrt{3} a^{3}}{6} .$

D. $V = a^{3} .$

Xem đáp án

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên cạnh AB.
Do

(S A B) ⊥ (A B C D)

và

(S A B) \cap (A B C D) = A B

nên

S H ⊥ (A B C D) .

Xét tam giác SAH vuông tại H ta có:

\sin \hat{S A B} = \frac{S H}{S A} \Rightarrow S H = \sin 30^{0} . S A = a .

Mặt khác:

S_{A B C D} = A D^{2} = a^{2} .

Nên

V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} \cdot S_{A B C D} . a = \frac{1}{3} \cdot a^{2} . a = \frac{a^{3}}{3} \cdot

Chọn đáp án B

Câu 29:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O,

S A ⊥ (A B C D)

. Gọi I là trung điểm của SC. Khoảng cách từ I đến mặt phẳng

(A B C D)

bằng độ dài đoạn thẳng nào?

A. IB

B. IC

C. IA

D. IO

Xem đáp án

Từ giả thiết suy ra OI là đường trung bình của

Δ S A C

, do đó

O I ∥ S A

.
Ta có

\{\begin{cases} I O ∥ S A \\ S A ⊥ (A B C D) \end{cases} \Rightarrow I O ⊥ (A B C D)

.
Vậy

d (I, (A B C D)) = O I

.

Chọn đáp án D

Câu 30:

Với hai số thực dương

a, b

thỏa mãn

\frac{\log_{3} 5 \log_{5} a}{1 + \log_{3} 2} - \log_{6} b = 2

. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?

A. $a = b \log_{6} 3$

B. $a = b \log_{6} 2$

C. $a = 36 b$

D. $2 a + 3 b = 0$

Xem đáp án

Ta có:

\frac{\log_{3} 5. \log_{5} a}{1 + \log_{3} 2} - \log_{6} b = 2 \Leftrightarrow \frac{\log_{3} a}{\log_{3} 6} - \log_{6} b = 2 \Leftrightarrow \log_{6} a - \log_{6} b = 2 \Leftrightarrow \log_{6} \frac{a}{b} = 2

\Leftrightarrow \frac{a}{b} = 36 \Leftrightarrow a = 36 b

.

Chọn đáp án C

Câu 31:

Bất phương trình

4^{x - 15} < 32

có bao nhiêu nghiệm nguyên dương?

A. 22

B. 18

C. 17

D. 23

Xem đáp án

$4^{x - 15} < 32 \Leftrightarrow 2^{2 x - 30} < 2^{5} \begin{array}{l} \Leftrightarrow 2 x - 30 < 5 \\ \Leftrightarrow x < \frac{35}{2} \end{array}$

Nghiệm của bất phương trình là

x < \frac{35}{2}

Các nghiệm nguyên dương của bất phương trình là:

x = 1; 2; 3; ......15; 16; 17

. Có 17 nghiệm nguyên dương.

Chọn đáp án C

Câu 32:

Giá trị của tích phân

I = \int_{0}^{1} \frac{x}{x + 1} d x

là

A. $I = 1 + \ln 2$

B. $I = 2 - \ln 2$

C. $I = 1 - \ln 2$

D. $I = 2 + \ln 2$

Xem đáp án

$I = \int_{0}^{1} \frac{x}{x + 1} d x = \int_{0}^{1} (1 - \frac{1}{x + 1}) d x = \int_{0}^{1} d x - \int_{0}^{1} \frac{1}{x + 1} d (x + 1)$

$= {x|}_{0}^{1} - {\ln |x + 1||}_{0}^{1} = 1 - \ln 2$

Chọn đáp án C

Câu 33:

Hàm số

y = \sqrt{2018 x - x^{2}}

nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?

A. $(1; 2018)$

B. $(1010; 2018)$

C. $(2018; + \infty)$

D. $(0; 1009)$

Xem đáp án

Tập xác định:

D = [0; 2018]; y^{'} = \frac{2018 - 2 x}{2 \sqrt{2018 x - x^{2}}}; y^{'} = 0 \Rightarrow x = 1009

.
Bảng biến thiên:

Hàm số y=căn bậc hai 2018-x^2 nghịch biến trên khoảng nào trong (ảnh 1)

Hàm số nghịch biến trên khoảng

(1009; 2018)

. Do đó hàm số nghịch biến trên

(1010; 2018)

.

Chọn đáp án B

Câu 34:

Tìm số phức z thỏa mãn

(2 - 3 i) z - (9 - 2 i) = (1 + i) z .

A. $1 + 2 i$

B. $1 - 2 i$

C. $\frac{13}{5} + \frac{16}{5} i$

D. $- 1 - 2 i$

Xem đáp án

$(2 - 3 i) z - (9 - 2 i) = (1 + i) z \Leftrightarrow [(2 - 3 i) - (1 + i)] z = 9 - 2 i \Leftrightarrow z = \frac{9 - 2 i}{1 - 4 i} = 1 + 2 i .$

Chọn đáp án A

Câu 35:

Tổ lớp A có 6 nam và 7 nữ; tổ 2 có 5 nam và 8 nữ. Chọn ngẫu nhiên mỗi tổ một học sinh. Xác suất để 2 học sinh được chọn đều là nữ là

A. $\frac{28}{39}$

B. $\frac{15}{169}$

C. $\frac{56}{169}$

D. $\frac{30}{169}$

Xem đáp án

Số cách chọn ngẫu nhiên mỗi tổ một học sinh:

C_{13}^{1} . C_{13}^{1} = 169

.
Số phần tử của không gian mẫu:

n (Ω) = 169

.
Gọi A là biến cố: “ 2 học sinh được chọn đều là nữ”.
Số cách chọn ra 2 học sinh đều là nữ:

C_{7}^{1} . C_{8}^{1} = 56

Số kết quả thuận lợi cho biến cố A:

n (A) = 56

Xác suất để học sinh được chọn đều là nữ là

P (A) = \frac{n (A)}{n (Ω)} = \frac{56}{169}

.

Chọn đáp án C

Câu 36:

Trong hình vẽ bên, điểm A biểu diễn số phức

z_{1}

, điểm B biểu diễn số phức

z_{2}

sao cho điểm B đối xứng với điểm A qua gốc tọa độ O. Tìm

|z|

biết số phức

z = z_{1} + 3 z_{2}

.

A. $\sqrt{17}$

B. 4

C. $2 \sqrt{5}$

D. 5

Xem đáp án

Trong hình trên, ta thấy: Điểm A biểu diễn số phức

z_{1} = - 1 + 2 i

.
Số phức

z_{2} = x_{B} + y_{B} i (x_{B}, y_{B} \in ℝ)

. Do điểm B biểu diễn số phức

z_{2}

và B đối xứng với A qua O, suy ra :

\{\begin{cases} x_{B} = - x_{A} = - (- 1) = 1 \\ y_{B} = - y_{A} = - 2 \end{cases} \Rightarrow z_{2} = 1 - 2 i

Số phức

z = z_{1} + 3 z_{2} = (- 1 + 2 i) + 3. (1 - 2 i) = (- 1 + 3) + (2 - 3.2) i = 2 - 4 i

.

\Rightarrow |z| = \sqrt{2^{2} + {(- 4)}^{2}} = 2 \sqrt{5}

.

Chọn đáp án C

Câu 37:

Một đường thẳng cắt đồ thị hàm số

y = x^{4} - 2 x^{2}

tại 4 điểm phân biệt có hoành độ là 0, 1, m và n. Tính

S = m^{2} + n^{2}

.

A. $S = 1$

B. $S = 2$

C. $S = 3$

D. $S = 0$

Xem đáp án

Khi

x = 0

thì

y = 0

;

x = 1

thì

y = - 1

.
Suy ra đường thẳng đi qua hai điểm

O (0; 0)

và

A (1; - 1)

. Véctơ chỉ phương của đường thẳng là

\vec{O A} = (1; - 1)

, từ đó véctơ pháp tuyến là

\vec{n} = (1; 1)

.
Vì thế đường thẳng có phương trình

1. (x - 1) + 1. (y - 0) = 0 \Leftrightarrow x + y = 0 \Leftrightarrow y = - x

.
Phương trình hoành độ giao điểm giữa đồ thị hàm số

y = x^{4} - 2 x^{2}

và đường thẳng

y = - x

là:

x^{4} - 2 x^{2} = - x \Leftrightarrow x (x^{3} - 2 x + 1) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x^{3} - 2 x + 1 = 0 \end{array}

\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ (x - 1) (x^{2} + x - 1) = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 1 \\ x = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2} \\ x = \frac{- 1 - \sqrt{5}}{2} \end{array}

.
Vì thế

m = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}

,

n = \frac{- 1 - \sqrt{5}}{2}

hoặc

m = \frac{- 1 - \sqrt{5}}{2}

,

n = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}

.
Vậy

S = m^{2} + n^{2} = {(\frac{- 1 + \sqrt{5}}{2})}^{2} + {(\frac{- 1 - \sqrt{5}}{2})}^{2} = 3

.

Chọn đáp án C

Câu 38:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm

A (2; 3; - 5)

,

B (- 4; 1; 3)

. Viết phương trình mặt cầu đường kính AB.

A. ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 26$

B. ${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 26$

C. ${(x + 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 26$

D. ${(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 26$

Xem đáp án

Gọi I là trung điểm của AB nên tọa độ của điểm I là:

I (- 1; 2; - 1)

.
Vì mặt cầu (S) có đường kính là AB nên bán kính mặt cầu (S) là:

R = \frac{A B}{2} = \frac{\sqrt{{(- 4 - 2)}^{2} + {(1 - 3)}^{2} + {(3 + 5)}^{2}}}{2} = \sqrt{26}

.
Vậy mặt cầu (S) có tâm

I (- 1; 2; - 1)

và bán kính

R = \sqrt{26}

có phương trình:

{(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 26

.

Chọn đáp án D

Câu 39:

Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

y = f (x)

và trục hoành gồm 2 phần, phần nằm phía trên trục hoành có diện tích

S_{1} = \frac{8}{3}

và phần nằm phía dưới trục hoành có diện tích

S_{2} = \frac{5}{12}

. Tính

I = \int_{- 1}^{0} f (3 x + 1) d x

.

Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x) và trục hoành gồm 2 phần (ảnh 1)

A. $I = \frac{27}{4}$

B. $I = \frac{5}{3}$

C. $I = \frac{3}{4}$

D. $I = \frac{37}{36}$

Xem đáp án

Ta có

\frac{8}{3} = S_{1} = \int_{- 2}^{0} f (x) d x; \frac{12}{5} = S_{2} = - \int_{0}^{1} f (x) d x \Rightarrow \int_{0}^{1} f (x) d x = - \frac{12}{5} .

Tính

I = \int_{- 1}^{0} f (3 x + 1) d x

Đặt

t = 3 x + 1 \Rightarrow d x = \frac{1}{3} d t

.
Đổi cận:

x = - 1 \Rightarrow t = - 2, x = 0 \Rightarrow t = 1

.

\Rightarrow I = \frac{1}{3} \int_{- 2}^{1} f (t) d t = \frac{1}{3} (\int_{- 2}^{0} f (t) d t + \int_{0}^{1} f (t) d t) = \frac{1}{3} (\frac{8}{3} - \frac{5}{12}) = \frac{3}{4} .

Chọn đáp án C

Câu 40:

Trong không gian Oxyz cho điểm

M (1; 0; 1)

và đường thẳng

d : \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z - 3}{3} .

Đường thẳng đi qua M vuông góc với d và cắt Oz có phương trình là

A. $\{\begin{cases} x = 1 - 3 t \\ y = 0 \\ z = 1 + t \end{cases}$

B. $\{\begin{cases} x = 1 - 3 t \\ y = 0 \\ z = 1 - t \end{cases}$

C. $\{\begin{cases} x = 1 - 3 t \\ y = t \\ z = 1 + t \end{cases}$

D. $\{\begin{cases} x = 1 + 3 t \\ y = 0 \\ z = 1 + t \end{cases}$

Xem đáp án

Gọi

Δ

là đường thẳng cần tìm và

N = Δ \cap O z .

Ta có

N (0; 0; c) .

Vì

Δ

qua

M, N

và

M \notin O z

nên

\vec{M N} (- 1; 0; c - 1)

là VTCP của

Δ

d có 1 VTCP

\vec{u} (1; 2; 3)

và

Δ ⊥ d

nên

\vec{M N} \cdot \vec{u} = 0 \Leftrightarrow - 1 + 3 (c - 1) = 0 \Leftrightarrow c = \frac{4}{3} \Rightarrow \vec{M N} (- 1; 0; \frac{1}{3}) .

Chọn

\vec{v} (- 3; 0; 1)

là 1 VTCP của

Δ

, phương trình tham số của đường thẳng

Δ

là

\{\begin{cases} x = 1 - 3 t \\ y = 0 \\ z = 1 + t \end{cases}

.

Chọn đáp án A

Câu 41:

Cho hàm số

y = f (x)

có đạo hàm tại

\forall x \in ℝ

, hàm số

f^{'} (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c

Có đồ thị

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm tại mọi x thuộc R , hàm số (ảnh 1)

Số điểm cực trị của hàm số

y = f [f^{'} (x)]

là

A. 7

B. 11

C. 9

D. 8

Xem đáp án

Quan sát đồ thị, nhận thấy đồ thị hàm số

f^{'} (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c

đi qua các điểm

O (0; 0); A (- 1; 0); B (1; 0)

. Khi đó ta có hệ phương trình:

\{\begin{cases} c = 0 \\ a + b = - 1 \\ a - b = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 0 \\ b = - 1 \\ c = 0 \end{cases} \Rightarrow f^{'} (x) = x^{3} - x \Rightarrow f^{''} (x) = 3 x^{2} - 1

.
Đặt:

g (x) = f (f^{'} (x))

Ta có:

g^{'} (x) = {(f [f^{'} (x)])}^{'} = f^{'} [f^{'} (x)] . f^{''} (x) = [{(x^{3} - x)}^{3} - (x^{3} - x)] (3 x^{2} - 1)

= x (x - 1) (x + 1) (x^{3} - x - 1) (x^{3} - x + 1) (3 x^{2} - 1)

g^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 1 \\ x = - 1 \\ x^{3} - x - 1 = 0 \\ x^{3} - x + 1 = 0 \\ 3 x^{2} - 1 = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 1 \\ x = - 1 \\ x = a (\approx 0, 76) \\ x = b (b \approx - 1, 32) \\ x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \end{array}

Ta có bảng biến thiên:

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm tại mọi x thuộc R , hàm số (ảnh 2)

* Cách xét dấu

g^{'} (x)

: chọn

x = 2 \in (1; + \infty)

ta có:

g^{'} (2) > 0 \Rightarrow g^{'} (x) > 0 \forall x \in (1; + \infty)

, từ đó suy ra dấu của

g^{'} (x)

trên các khoảng còn lại.
Dựa vào BBT suy ra hàm số có 7 điểm cực trị.
* Trắc nghiệm: Số điểm cực trị bằng số nghiệm đơn ( nghiệm bội lẻ) của phương trình đa thức

g^{'} (x) = 0

. PT

g^{'} (x) = 0

có 7 nghiệm phân biệt nên hàm số đã cho có 7 điểm cực trị.

Chọn đáp án A

Câu 42:

S là tập tất cả các số nguyên dương của tham số m sao cho bất phương trình

4^{x} - m 2^{x} - m + 15 > 0

có nghiệm đúng với mọi

x \in [1; 2]

. Tính số phần tử của S

A. 6

B. 4

C. 9

D. 7

Xem đáp án

Đặt

t = 2^{x}

với

x \in [1; 2]

thì

t \in [2; 4]

Bài toán trở thành tìm m để bất phương trình

t^{2} - m t - m + 15 > 0

có nghiệm với mọi

t \in [2; 4]

t^{2} - m t - m + 15 > 0 \forall t \in [2; 4]

\Leftrightarrow m < \frac{t^{2} + 15}{t + 1} \forall t \in [2; 4]

Đặt

f (t) = \frac{t^{2} + 15}{t + 1}

Do đó:

m < \underset{t \in [2; 4]}{max f (t)} = \frac{19}{3}

Vì m nguyên dương nên

m \in \{1; 2; 3; 4; 5; 6\}

Chọn đáp án A

Câu 43:

Cho hình lăng trụ đứng

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a và

(A^{'} B C)

hợp với mặt đáy

A B C

một góc

30 °

. Tính thể tích V của khối lăng trụ

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

.

A. $\frac{3 a^{3}}{8}$

B. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{8}$

C. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{12}$

D. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{24}$

Xem đáp án

Gọi M là trung điểm của BC. Ta có

\{\begin{matrix} B C ⊥ A A^{'} \\ B C ⊥ A M \end{matrix} \Rightarrow B C ⊥ (A^{'} M A) \Rightarrow B C ⊥ A^{'} M

.

\Rightarrow \hat{((A^{'} B C), (A B C))} = \hat{A^{'} M A} = 30 °

. Vì

A B = a \Rightarrow A M = \frac{a \sqrt{3}}{2} \Rightarrow \tan \hat{A^{'} M A} = \frac{A A^{'}}{A M} \Rightarrow A A^{'} = \tan \hat{A^{'} B A} . A M = \tan 30 ° . \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{a}{2}

. . Vậy thể tích của

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

là:

V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} = A A^{'} . S_{A^{'} B^{'} C^{'}} = \frac{a}{2} . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{8}

.

Chọn đáp án B

Câu 44:

Một hoa văn trang trí được tạo ra từ một miếng bìa mỏng hình vuông cạnh 20cm bằng cách khoét đi bốn phần bằng nhau có hình dạng một nửa elip như hình bên. Biết một nửa trục lớn

A B = 6 c m

, trục bé

C D = 8 c m

. Diện tích bề mặt hoa văn đó bằng

Một hoa văn trang trí được tạo ra từ một miếng bìa mỏng hình vuông cạnh 20cm (ảnh 1)

A. $400 - 48 π (c m^{2})$

B. $400 - 96 π (c m^{2})$

C. $400 - 24 π (c m^{2})$

D. $400 - 36 π (c m^{2})$

Xem đáp án

Một hoa văn trang trí được tạo ra từ một miếng bìa mỏng hình vuông cạnh 20cm (ảnh 2)

Chứng minh: Công thức tính diện tích elip

(E) : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

(trục lớn 2a, độ dài trục bé 2b).
Gọi

S_{1}

là diện tích của elip nằm ở góc phần tư thứ nhất

S_{1} = \int_{0}^{a} b \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{a^{2}}} d x

(đvdt).
Đặt

\frac{x}{a} = \sin t d x = a \cos t d t

; Đổi cận

x = 0 \Rightarrow t = 0, x = a \Rightarrow t = \frac{π}{2}

Suy ra

S_{1} = b \int_{0}^{\frac{π}{2}} a \sqrt{1 - \sin^{2} t} \cos t d t = a b \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} t d t = \frac{a b}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 + \cos 2 t) d t = \frac{a b}{2} {(t + \frac{1}{2} \sin 2 t)|}_{0}^{\frac{π}{2}} = \frac{π a b}{4}

.
Vậy

S_{e l i p} = 4 S_{1} = π a b

.
Áp dụng: Diện tích của nửa elip có độ dài một nửa trục lớn

A B = 6 c m

, trục bé

C D = 8 c m

là

\frac{1}{2} π .6.4 = 12 π

(c m^{2})

.
Diện tích bề mặt hoa văn đó là

S = S_{h i n h_v u o n g} - 4 S_{n u a_e l i p} = 20^{2} - 4.12 π = 400 - 48 π (c m^{2})

.

Chọn đáp án A

Câu 45:

Trên một cánh đồng có 2 con bò được cột vào 2 cây cọc khác nhau. Biết khoảng cách giữa 2 cọc là 4 mét còn 2 sợi dây cột 2 con bò dài 3 mét và 2 mét. Tính phần diện tích mặt cỏ lớn nhất mà 2 con bò có thể ăn chung.

A. $2, 824 m^{2}$

B. $1, 989 m^{2}$

C. $1, 034 m^{2}$

D. $1, 574 m^{2}$

Xem đáp án

Gọi

(C_{1}) : x^{2} + y^{2} = 9 \lor (C_{2}) : {(x - 4)}^{2} + y^{2} = 4

là phương trình hai đường tròn biểu diễn phần ăn cỏ của 2 con bò.
Xét phần phía trên Ox

\begin{array}{l} (C_{1}) : x^{2} + y^{2} = 9 \Rightarrow y = \sqrt{9 - x^{2}} \\ (C_{2}) : {(x - 4)}^{2} + y^{2} = 4 \Rightarrow y = \sqrt{- x^{2} + 8 x - 12} \end{array}

Phương trình hoành độ giao điểm

\sqrt{9 - x^{2}} = \sqrt{- x^{2} + 8 x - 12} \Leftrightarrow x = \frac{21}{8}

Vậy

S = 2 [\int_{2}^{\frac{21}{8}} \sqrt{4 - {(x - 4)}^{2}} d x + \int_{\frac{21}{8}}^{3} \sqrt{9 - x^{2}} d x]

I = \int_{\frac{21}{8}}^{3} \sqrt{9 - x^{2}} d x \overset{x = 3 \sin t}{=} \int_{\arcsin \frac{7}{8}}^{\frac{π}{6}} 9 \cos^{2} t d t = 9. \int_{\arcsin \frac{7}{8}}^{\frac{π}{6}} \frac{\cos 2 t + 1}{2} d t = {9 (\frac{1}{4} \sin 2 t + \frac{t}{2})|}_{\arcsin \frac{7}{8}}^{\frac{π}{6}} \approx 0, 3679

J = \int_{2}^{\frac{21}{8}} \sqrt{4 - {(x - 4)}^{2}} d x \overset{x - 4 = 2 \sin t}{=} \int_{- \frac{π}{2}}^{\arcsin (- \frac{11}{16})} 4 \cos^{2} t d t = 4. \int_{- \frac{π}{2}}^{\arcsin (- \frac{11}{16})} \frac{\cos 2 t + 1}{2} d t = {4 (\frac{1}{4} \sin 2 t + \frac{t}{2})|}_{- \frac{π}{2}}^{\arcsin (- \frac{11}{16})} \approx 0, 627

\Rightarrow S \approx 1, 9898

.

Chọn đáp án B

Câu 46:

Cho hàm số

f (x)

liên tục trên R và thỏa

\int_{0}^{3} f (\sqrt{x^{2} + 16} + x) d x = 2019, \int_{4}^{8} \frac{f (x)}{x^{2}} d x = 1.

Tính

\int_{4}^{8} f (x) d x .

A. 2019

B. 4022

C. 2020

D. 4038

Xem đáp án

Xét

I_{1} = \int_{0}^{3} f (\sqrt{x^{2} + 16} + x) d x = 2019

.
Đặt

u = \sqrt{x^{2} + 16} + x \Leftrightarrow u - x = \sqrt{x^{2} + 16} \Rightarrow x = \frac{u^{2} - 16}{2 u} \Rightarrow d x = \frac{u^{2} + 16}{2 u^{2}} d u .

Khi

x = 0 \Rightarrow u = 4.

Khi

x = 3 \Rightarrow u = 8.

I_{1} = \frac{1}{2} \int_{4}^{8} \frac{u^{2} + 16}{u^{2}} f (u) d u = 2019 \Rightarrow \int_{4}^{8} \frac{x^{2} + 16}{x^{2}} f (x) d x = \int_{4}^{8} \frac{u^{2} + 16}{u^{2}} f (u) d u = 4038.

\Rightarrow \int_{4}^{8} \frac{x^{2} + 16}{x^{2}} f (x) d x = 4038 \Leftrightarrow \int_{4}^{8} f (x) d x + 16 \int_{4}^{8} \frac{f (x)}{x^{2}} d x = 4038 \Leftrightarrow \int_{4}^{8} f (x) d x = 4038 - 16 = 4022.

Do

\int_{4}^{8} \frac{f (x)}{x^{2}} d x = 1 .

Kết luận:

\int_{4}^{8} f (x) d x = 4022.

Chọn đáp án B

Câu 47:

Cho hàm số

f (x) = \frac{1}{4} x^{4} - m x^{3} + \frac{3}{2} (m^{2} - 1) x^{2} + (1 - m^{2}) x + 2019

với m là tham số thực. Biết rằng hàm số

y = f (|x|)

có số điểm cực trị lớn hơn 5 khi

a < m^{2} < b + 2 \sqrt{c} (a, b, c \in ℝ)

. Tích

a b c

bằng

A. 8

B. 6

C. 16

D. 18

Xem đáp án

\begin{array}{l} f (x) = \frac{1}{4} x^{4} - m x^{3} + \frac{3}{2} (m^{2} - 1) x^{2} + (1 - m^{2}) x + 2019. \\ \Rightarrow f' (x) = x^{3} - 3 m x^{2} + 3 (m^{2} - 1) x + (1 - m^{2}) = g (x) . \end{array}

\Rightarrow g' (x) = 3 x^{2} - 6 m x + 3 (m^{2} - 1) .

g' (x) = 0.

\Leftrightarrow x^{2} - 2 m x + (m^{2} - 1) = 0.

\Leftrightarrow {(x - m)}^{2} - 1 = 0.

\Rightarrow [\begin{matrix} x = m + 1. \\ x = m - 1. \end{matrix}

Hàm số

y = f (|x|)

có số điểm cực trị lớn hơn 5.
Hàm số

y = f (x)

có 3 điểm cực trị dương.
Phương trình

g (x) = 0

có 3 nghiệm dương phân biệt.

\Leftrightarrow \{\begin{matrix} m + 1 \neq m - 1 \\ \begin{matrix} m + 1 > 0 \\ m - 1 > 0 \\ g (m + 1) . g (m - 1) < 0 \end{matrix} \\ g (0) < 0 \end{matrix}

\Leftrightarrow \{\begin{matrix} m > 1 \\ (m^{3} - m^{2} - 3 m - 1) \\ 1 - m^{2} < 0 \end{matrix} (m^{3} - m^{2} - 3 m + 3) < 0

\Leftrightarrow \{\begin{matrix} m > 1 \\ \begin{matrix} m^{3} - m^{2} - 3 m - 1 < 0 \\ m^{3} - m^{2} - 3 m + 3 > 0 \end{matrix} \\ 1 - m^{2} < 0 \end{matrix}

\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt{3} < m < 1 + \sqrt{2} . \\ \Rightarrow 3 < m^{2} < 3 + 2 \sqrt{2} . \end{array} \begin{array}{l} \Rightarrow a = b = 3, c = 2. \\ \Rightarrow a b c = 18 . \end{array}

Chọn đáp án D

Câu 48:

Cho phương trình:

2^{x^{3} + x^{2} - 2 x + m} - 2^{x^{2} + x} + x^{3} - 3 x + m = 0

. Tập các giá trị để bất phương trình có ba nghiệm phân biệt có dạng

(a; b)

. Tổng

a + 2 b

bằng:

A. 2

B. -4

C. 0

D. 1

Xem đáp án

Ta có:

2^{x^{3} + x^{2} - 2 x + m} - 2^{x^{2} + x} + x^{3} - 3 x + m = 0 \Leftrightarrow 2^{x^{3} + x^{2} - 2 x + m} + x^{3} + x^{2} - 2 x + m = 2^{x^{2} + x} + x^{2} + x (*)

.
Xét hàm số

f (t) = 2^{t} + t

trên R.
Ta có:

f^{'} (t) = 2^{t} \ln 2 + 1 > 0, \forall t \in ℝ \Rightarrow

Hàm số

f (t)

đồng biến trên R.
Mà

(*) \Leftrightarrow f (x^{3} + x^{2} - 2 x + m) = f (x^{2} + x) \Leftrightarrow x^{3} + x^{2} - 2 x + m = x^{2} + x

\Leftrightarrow x^{3} - 3 x + m = 0 \Leftrightarrow m = - x^{3} + 3 x (* *)

.
Xét hàm số

g (x) = - x^{3} + 3 x

trên R.
Ta có:

g^{'} (x) = - 3 x^{2} + 3

.

g^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1

.
Bảng biến thiên:

Phương trình

2^{x^{3} + x^{2} - 2 x + m} - 2^{x^{2} + x} + x^{3} - 3 x + m = 0

có 3 nghiệm phân biệt

\Leftrightarrow

phương trình (**) có 3 nghiệm phân biệt

\Leftrightarrow - 2 < m < 2 \Rightarrow \{\begin{cases} a = - 2 \\ b = 2 \end{cases} \Rightarrow a + 2 b = 2

.

Chọn đáp án A

Câu 49:

Cho số phức z thỏa mãn

|z| = 2

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = |z - 4| + 2 |z - 3 + 2 i|

.

A. $P = 2 \sqrt{5}$

B. $P = \sqrt{3}$

C. $P = 4 \sqrt{2}$

D. $P = \sqrt{2}$

Xem đáp án

Cho số phức z thỏa mãn |z|=2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức (ảnh 1)

Gọi

M (x; y)

là điểm biểu diễn cho số phức z, ta có

|z| = 2 \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} = 4

.
Gọi

A (4; 0), B (3; - 2)

, khi đó

P = |z - 4| + 2 |z - 3 + 2 i| = M A + 2 M B

.
Ta có

M A = \sqrt{{(x - 4)}^{2} + y^{2}} = \sqrt{x^{2} + y^{2} - 8 x + 16} = \sqrt{x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 + 3 (x^{2} + y^{2})} = \sqrt{4 x^{2} + 4 y^{2} - 8 x + 4}

= 2 \sqrt{{(x - 1)}^{2} + y^{2}} = 2 M E

với

E (1; 0)

.
Thấy E nằm trong và B nằm ngoài đường tròn (C):

x^{2} + y^{2} = 4

.
Ta được

P = M A + 2 M B = 2 M E + 2 M B \geq 2 E B

. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi E, M, B thẳng hàng. Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng

2 E B = 2 \sqrt{4 + 4} = 4 \sqrt{2}

.

Chọn đáp án C

Câu 50:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai mặt cầu

(S_{1}), (S_{2})

lần lượt có phương trình là

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x - 2 y - 2 z - 22 = 0

,

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6 x + 4 y + 2 z + 5 = 0

. Xét các mặt phẳng

(P)

thay đổi nhưng luôn tiếp xúc với cả hai mặt cầu đã cho. Gọi

M (a; b; c)

là điểm mà tất cả các

m p (P)

đi qua. Tính tổng

S = a + b + c .

A. $S = - \frac{5}{2}$

B. $S = \frac{5}{2}$

C. $S = - \frac{9}{2}$

D. $S = \frac{9}{2}$

Xem đáp án

Mặt cầu

(S_{1})

có tâm

I_{1} = (1; 1; 1)

, bán kính

R_{1} = 5

. Mặt cầu

(S_{2})

có tâm

I_{2} = (3; - 2; - 1)

, bán kính

R_{2} = 3

. Ta có

|R_{1} - R_{2}| < I_{1} I_{2} = \sqrt{17} < R_{1} + R_{2}

nên hai mặt cầu này cắt nhau. Do đó mặt phẳng

(P)

tiếp xúc ngoài hai mặt cầu.
Giả sử mặt phẳng

(P)

tiếp xúc

(S_{1}), (S_{2})

theo thứ tự tại điểm

H_{1}, H_{2}

. Gọi

M = I_{1} I_{2} \cap (P)

theo định lý Talet ta có

\frac{M I_{2}}{M I_{1}} = \frac{I_{2} H_{2}}{I_{1} H_{1}} = \frac{R_{2}}{R_{1}} = \frac{3}{5} \Rightarrow \vec{M I_{2}} = \frac{3}{5} \vec{M I_{1}} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 - a = \frac{3}{5} (1 - a) \\ - 2 - b = \frac{3}{5} (1 - b) \\ - 1 - c = \frac{3}{5} (1 - c) \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 6 \\ b = - \frac{13}{2} \\ c = - 4 \end{cases}

. Vậy các mặt phẳng

(P)

luôn đi qua điểm

M (6; \frac{- 13}{2}; - 4)

và

S = a + b + c = - \frac{9}{2}

.

Chọn đáp án C