50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề số 10

Câu 1:

Khối trụ có bán kính đáy bằng a và chiều cao bằng 2a có thể tích là

A. $2 a^{3}$

B. $2 π a^{3}$

C. $\frac{1}{3} π a^{3}$

D. $π a^{3}$

Xem đáp án

Thể tích của khối trụ cần tìm là:

V = π R^{2} h = π a^{2} .2 a = 2 π a^{3}

Chọn đáp án B

Câu 2:

Rút gọn biểu thức

P = x^{\frac{3}{2}} . \sqrt[5]{x}

A. $x^{\frac{13}{2}}$

B. $x^{\frac{4}{7}}$

C. $x^{\frac{3}{10}}$

D. $x^{\frac{17}{10}}$

Xem đáp án

Ta có

P = x^{\frac{3}{2}} . \sqrt[5]{x} = x^{\frac{3}{2}} . x^{\frac{1}{5}} = x^{\frac{3}{2} + \frac{1}{5}} = x^{\frac{17}{10}}

.

Chọn đáp án D

Câu 3:

Đường cong trong hình bên là của đồ thị hàm số nào?

A. $y = \frac{x - 1}{x - 2}$

B. $y = \frac{2 x - 1}{x - 1}$

C. $y = \frac{2 x - 1}{x + 1}$

D. $y = \frac{2 x + 1}{x + 1}$

Xem đáp án

Vì đồ thị có tiệm cận ngang

y = 2

, tiệm cận đứng

x = - 1

, cắt trục Oy tại

(0; - 1)

.
Đáp án A sai vì đồ thị

y = \frac{2 x + 1}{x + 1}

cắt

O y

tại

(0; 1)

.
Đáp án B sai vì đồ thị

y = \frac{x - 1}{x - 2}

có tiệm cận ngang

y = 1

Đáp án C sai vì đồ thị

y = \frac{2 x - 1}{x - 1}

có tiệm cận đứng

x = 1

\

Chọn đáp án D

Câu 4:

Đạo hàm của hàm số

y = 4^{2 x}

là

A. $y^{'} = 4^{2 x} \ln 4$

B. $y^{'} = {2.4}^{2 x} \ln 2$

C. $y^{'} = {4.4}^{2 x} \ln 2$

D. $y^{'} = 4^{2 x} . \ln 2$

Xem đáp án

Áp dụng công thức

{(a^{u})}^{'} = a^{u} . u^{'} . \ln a

, ta có

{(4^{2 x})}^{'} = 4^{2 x} . {(2 x)}^{'} . \ln 4 = 2. \ln {4.4}^{2 x} = {2.4}^{2 x} . \ln (2^{2}) = {4.4}^{2 x} . \ln 2

.

Chọn đáp án C

Câu 5:

Cho véc tơ

\vec{u} = (1; 3; 4)

, tìm véc tơ cùng phương với véc tơ

\vec{u}

.

A. $\vec{b} = (- 2; - 6; - 8)$

B. $\vec{a} = (2; - 6; - 8)$

C. $\vec{d} = (- 2; 6; 8)$

D. $\vec{c} = (- 2; - 6; 8)$

Xem đáp án

Ta có:

\vec{b} = (- 2; - 6; - 8), \vec{u} = (1; 3; 4)

nên

\vec{b} = - 2 \vec{u}

. Vậy

\vec{u}

cùng phương với

\vec{b}

Chọn đáp án A

Câu 6:

Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

y = \frac{- 2 x + 3}{- x + 1}

là đường thẳng

A. $y = 2$

B. $x = 2$

C. $y = - 2$

D. $x = 1$

Xem đáp án

Ta có

\lim_{x \to + \infty} y = 2

nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là

y = 2

.

Chọn đáp án A

Câu 7:

Nếu

\int f (x) d x = \frac{x^{3}}{3} + e^{x} + C

thì

f (x)

bằng

A. $3 x^{2} + e^{x}$

B. $x^{2} + e^{x}$

C. $\frac{x^{4}}{12} + e^{x}$

D. $\frac{x^{4}}{3} + e^{x}$

Xem đáp án

Xét

(\frac{x^{3}}{3} + e^{x} + c)' = x^{2} + e^{x}

.

Chọn đáp án B

Câu 8:

Cho

\int_{0}^{1} f (x) d x = 2018

và

\int_{0}^{1} g (x) d x = 2019

, khi đó

\int_{0}^{1} (f (x) - 3 g (x)) d x

bằng

A. -1

B. -4037

C. -4039

D. -2019

Xem đáp án

Ta có

\int_{0}^{1} (f (x) - 3 g (x)) d x = \int_{0}^{1} f (x) d x - 3 \int_{0}^{1} g (x) d x = - 4039

Chọn đáp án C

Câu 9:

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng

(P) : 2 x - 3 y + z - 2 = 0

. Véctơ nào sau đây là một véctơ pháp tuyến của (P)

A. ${\vec{n}}_{2} = (2; - 3; - 2)$

B. ${\vec{n}}_{1} = (2; - 3; 1)$

C. ${\vec{n}}_{4} = (2; 1; - 2)$

D. ${\vec{n}}_{3} = (- 3; 1; - 2)$

Xem đáp án

$(P) : 2 x - 3 y + z - 2 = 0$ . Véctơ ${\vec{n}}_{1} = (2; - 3; 1)$ là một véctơ pháp tuyến của (P).

Chọn đáp án B

Câu 10:

Cho hàm số

y = f (x)

có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Mệnh đề nào sau đây đúng về hàm số đó?

A. Đồng biến trên khoảng (0;1)

B. Nghịch biến trên khoảng $(- \infty; 0)$

C. Nghịch biến trên khoảng $(- 1; 1)$

D. Đồng biến trên khoảng $(0; + \infty)$

Xem đáp án

Dựa vào đồ thị ta thấy chỉ có phương án C là đúng.

Chọn đáp án C

Câu 11:

Cho cấp số cộng

(u_{n})

có số hạng đầu

u_{1} = 2

và công sai

d = 5

. Giá trị của

u_{5}

bằng

A. 22

B. 27

C. 1250

D. 12

Xem đáp án

Ta có :

u_{5} = u_{1} + 4 d = 2 + 4.5 = 22

Chọn đáp án A

Câu 12:

Biết rằng phương trình

8^{x^{2} + 6 x - 3} = 4096

có hai nghiệm

x_{1}, x_{2}

. Tính

P = x_{1} . x_{2}

.

A. $P = - 9$

B. $P = - 7$

C. $P = 7$

D. $P = 9$

Xem đáp án

Ta có:

8^{x^{2} + 6 x - 3} = 4096 \Leftrightarrow 2^{3 x^{2} + 18 x - 9} = 2^{12} \Leftrightarrow 3 x^{2} + 18 x - 9 = 12

\Leftrightarrow 3 x^{2} + 18 x - 21 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x_{1} = 1 \\ x_{2} = - 7 \end{array}

.
Vậy

P = - 7

.

Chọn đáp án B

Câu 13:

Trong không gian Oxyz, mặt cầu

(S) : {(x + 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 9

có tâm và bán kính lần lượt là

A. $I (1; - 3; - 2), R = 9$

B. $I (1; 3; 2), R = 3$

C. $I (- 1; 3; 2), R = 9$

D. $I (- 1; 3; 2), R = 3$

Xem đáp án

Mặt cầu

(S) : {(x + 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 9

có tâm

I (- 1; 3; 2)

và bán kính

R = 3

.

Chọn đáp án D

Câu 14:

Cho n và k là hai số nguyên dương tùy ý thỏa mãn

k \leq n

, mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $A_{n}^{k} = \frac{n!}{k! (n - k)!}$

B. $C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 1}^{k} = C_{n}^{k} (1 \leq k \leq n)$

C. $C_{n}^{k - 1} = C_{n}^{k} (1 \leq k \leq n)$

D. $C_{n}^{k} = \frac{n!}{(n - k)!}$

Xem đáp án

Ta có $A_{n}^{k} = \frac{n!}{(n - k)!}$ nên khẳng định A sai.

$C_{n}^{k} = \frac{n!}{k! (n - k)!}$ nên khẳng định D sai.

Với $n = 4$ và $k = 2$ , ta có $C_{4}^{1} = 4$ , $C_{4}^{2} = 6$ $\Rightarrow$ khẳng định C sai.

C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 1}^{k} = \frac{(n - 1)!}{(k - 1)! . [(n - 1) - (k - 1)]!} + \frac{(n - 1)!}{k! . [(n - 1) - k]!}

= \frac{(n - 1)!}{(k - 1)! . (n - k)!} + \frac{(n - 1)!}{k! . [(n - k) - 1]!} = \frac{(n - 1)!}{(k - 1)! (n - k - 1)!} \cdot [\frac{1}{n - k} + \frac{1}{k}]

= \frac{(n - 1)! . n}{(k - 1)! . k . (n - k - 1)! . (n - k)} = \frac{n!}{k! . (n - k)!} = C_{n}^{k}

Vậy khẳng định B đúng

Chọn đáp án B

Câu 15:

Một khối nón có bán kính đáy bằng 3cm và đường sinh độ dài 5cm. Thể tích của khối nón đã cho bằng

A. $12 c m^{3}$

B. $12 π c m^{3}$

C. $64 π c m^{3}$

D. $48 π c m^{3}$

Xem đáp án

Ta có :

r = 3, l = 5

. Vậy chiều cao của khối nón là:

h = \sqrt{l^{2} - r^{2}} = 4

Suy ra thể tích khối nón là:

V = \frac{1}{3} . h . π . r^{2} = \frac{1}{3} . 4 . π . 3^{2} = 12 π c m^{3}

.

Chọn đáp án B

Câu 16:

Cho hàm số

y = f (x)

có bảng biến thiên như sau

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm

A. $x = 2.$

B. $x = 1.$

C. $x = - 1.$

D. $x = 0.$

Xem đáp án

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại

x = 0

.

Chọn đáp án D

Câu 17:

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng

(P) : x - 2 y + z - 5 = 0

. Điểm nào dưới đây thuộc (P)?

A. $Q (2; - 1; 5)$

B. $P (0; 0; - 5)$

C. $M (1; 1; 6)$

D. $N (- 5; 0; 0)$

Xem đáp án

Lần lượt thế tọa độ mỗi điểm vào phương trình của mặt phẳng

(P) : x - 2 y + z - 5 = 0

, ta được:
+ Với

Q (2; - 1; 5)

:

2 - 2. (- 1) + 5 - 5 = 4 \neq 0 \Rightarrow Q \notin (P)

.
+ Với

P (0; 0; - 5)

:

0 - 2. (0) - 5 - 5 = - 10 \neq 0 \Rightarrow P \notin (P)

.
+ Với

M (1; 1; 6)

:

1 - 2. (1) + 6 - 5 = 0 \Rightarrow M \in (P)

.
+ Với

N (- 5; 0; 0)

:

- 5 - 2. (0) + 0 - 5 = - 10 \neq 0 \Rightarrow N \notin (P)

.

Chọn đáp án C

Câu 18:

Cho hai số phức

z_{1} = 4 + 3 i, z_{2} = - 4 + 3 i, z_{3} = z_{1} . z_{2} .

Lựa chọn phương án đúng?

A. $|z_{3}| = 25$

B. $z_{3} = {|z_{1}|}^{2}$

C. $\bar{z_{1} + z_{2}} = z_{1} + z_{2}$

D. $z_{1} = z_{2}$

Xem đáp án

Ta có

z_{3} = z_{1} . z_{2} = - 25.

Do đó

|z_{3}| = 25 \Rightarrow

A đúng.

{|z_{1}|}^{2} = 25 \neq z_{3} \Rightarrow

B sai.

\bar{z_{1} + z_{2}} = - 6 i \neq z_{1} + z_{2} = 6 i \Rightarrow

C sai.

z_{1} = 4 + 3 i \neq z_{2} = - 4 + 3 i \Rightarrow

D sai.

Chọn đáp án A

Câu 19:

Điểm

M (- 2; 1)

là điểm biểu diễn số phức

A. $z = 1 - 2 i$

B. $z = 1 + 2 i$

C. $z = 2 + i$

D. $z = - 2 + i$

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Câu 20:

Cho hình chóp

S . A B C D

có đáy

A B C D

là hình vuông cạnh bằng a. Biết cạnh bên

S A = 2 a

và vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích của khối chóp

S . A B C D

.

A. $\frac{4 a^{3}}{3}$

B. $2 a^{3}$

C. $\frac{a^{3}}{3}$

D. $\frac{2 a^{3}}{3}$

Xem đáp án

Ta có

V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S_{A B C D} . S A = \frac{1}{3} a^{2} .2 a = \frac{2 a^{3}}{3}

.

Chọn đáp án D

Câu 21:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,

S A = \frac{a \sqrt{2}}{2}

, tam giác SAC vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với

(A B C D)

. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD.

A. $V = \frac{\sqrt{2} a^{3}}{6}$

B. $V = \frac{\sqrt{6} a^{3}}{12}$

C. $V = \frac{\sqrt{6} a^{3}}{3}$

D. $V = \frac{\sqrt{6} a^{3}}{4}$

Xem đáp án

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên AC.
Ta có

S O = \frac{1}{2} A C = \frac{a \sqrt{2}}{2}

suy ra

Δ S A O

là tam giác đều.

\Rightarrow S H = \frac{a \sqrt{6}}{4}

.
Vậy

V = \frac{1}{3} . \frac{a \sqrt{6}}{4} . a^{2} = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{12}

.

Chọn đáp án B

Câu 22:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh $a, S A = a \sqrt{3}, S A ⊥ (A B C D) .$ Góc giữa hai mặt phẳng

(S B C)

và

(A B C D)

bằng

A. $30 °$

B. $60 ° .$

C. $90 ° .$

D. $45 °$

Xem đáp án

Ta có

(S B C) \cap (A B C D) = B C

,mà

\{\begin{matrix} (A B C D) \supset A B ⊥ B C \\ (S B C) \supset S B ⊥ B C \end{matrix}

\Rightarrow (\hat{(S B C), (A B C D)}) = \hat{(S B, B A) .}

Tam giác

S A B

vuông tại A nên góc

\hat{S B A}

nhọn nên

\hat{(S B, B A)} = \hat{S B A}

.
Trong tam giác vuông

S A B

:

\tan \hat{S B A} = \frac{S A}{B A} = \frac{a \sqrt{3}}{a} = \sqrt{3} \Rightarrow \hat{S B A} = 60^{0} .

Chọn đáp án B

Câu 23:

Ba số

a + \log_{2} 3; a + \log_{4} 3;; a + \log_{8} 3

theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Công bội của cấp số nhân này bằng

A. $\frac{1}{2}$

B. $\frac{1}{3}$

C. 1

D. $\frac{1}{4}$

Xem đáp án

Ba số

a + \log_{2} 3; a + \log_{4} 3;; a + \log_{8} 3

theo thứ tự lập thành một cấp số nhân nên

{(a + \log_{4} 3)}^{2} = (a + \log_{8} 3) (a + \log_{2} 3) \Leftrightarrow a = - \frac{1}{4} \log_{2} 3

.
Ba số đó lần lượt là

\frac{3}{4} \log_{2} 3

;

\frac{1}{4} \log_{2} 3

;

\frac{1}{12} \log_{2} 3

. Công bội của cấp số nhân này bằng

\frac{1}{3}

.

Chọn đáp án B

Câu 24:

Tìm tập nghiệm S của bất phương trình

{(\frac{1}{2})}^{x} > 8.

A. $S = (- \infty; 3)$

B. $S = (- \infty; - 3)$

C. $S = (3; + \infty)$

D. $S = (- 3; + \infty)$

Xem đáp án

Ta có:

{(\frac{1}{2})}^{x} > 8 \Leftrightarrow 2^{- x} > 2^{3} \Leftrightarrow - x > 3 \Leftrightarrow x < - 3.

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là

S = (- 3; + \infty) .

Chọn đáp án B

Câu 25:

Gọi

x_{1}

,

x_{2}

,

x_{3}

lượt là hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số

f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 2 x + 2

và

g (x) = 3 x - 1

. Tính

S = f (x_{1}) + g (x_{2}) + f (x_{3})

.

A. 3

B. 14

C. 1

D. 6

Xem đáp án

Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số:

\begin{array}{l} x^{3} - 3 x^{2} + 2 x + 2 = 3 x - 2 \Leftrightarrow x^{3} - 3 x^{2} - x + 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = 1 \\ x = 3 \end{array} \end{array}

+ Ta có:

x_{1} + x_{2} + x_{3} = 3

+

S = f (x_{1}) + g (x_{2}) + f (x_{3}) = g (x_{1}) + g (x_{2}) + g (x_{3}) = 3 (x_{1} + x_{2} + x_{3}) - 3 = 6

Chọn đáp án D

Câu 26:

Một bình đựng 5 viên bi xanh và 4 viên bi đỏ. Chọn ngẫu nhiên 2 viên bi. Tính xác suất để chọn được 2 viên bi cùng màu.

A. $\frac{4}{9}$

B. $\frac{5}{9}$

C. $\frac{2}{3}$

D. $\frac{3}{4}$

Xem đáp án

Gọi A là biến cố “Chọn được 2 viên bi cùng màu”, B là biến cố “Chọn được 2 viên bi màu xanh”, C là biến cố “Chọn được 2 viên bi màu đỏ”, khi đó

A = B \cup C

và hai biến cố B và C xung khắc.
Ta có:

P (A) = P (B) + P (C) = \frac{C_{5}^{2}}{C_{9}^{2}} + \frac{C_{4}^{2}}{C_{9}^{2}} = \frac{10}{36} + \frac{6}{36} = \frac{4}{9}

.

Chọn đáp án A

Câu 27:

Hàm số

f (x)

có đạo hàm

f' (x) = x^{5} {(2 x + 2019)}^{4} (x - 1) .

Số điểm cực trị của hàm số

f (x)

là

A. 2

B. 0

C. 1

D. 3

Xem đáp án

$f' (x) = x^{5} {(2 x + 2019)}^{4} (x - 1) \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 1 \\ x = - \frac{2019}{2} \end{array}$

Dấu của

f' (x)

Hàm số f(x) có đạo hàm f'(x)=x^5(2x+2019)^4(x-1) (ảnh 1)

Từ kết quả xét dấu

f' (x)

suy ra hàm số chỉ có 2 điểm cực trị là

x = 0; x = 1

.

Chọn đáp án A

Câu 28:

Cho hàm số

y = x^{3}

có một nguyên hàm là

F (x)

. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $F (2) - F (0) = 16$

B. $F (2) - F (0) = 1$

C. $F (2) - F (0) = 8$

D. $F (2) - F (0) = 4$

Xem đáp án

Ta có

F (x) = \int x^{3} d x = \frac{x^{4}}{4} + C

.

F (2) - F (0) = (\frac{2^{4}}{4} + C) - (\frac{0^{4}}{4} + C) = 4

.

Chọn đáp án D

Câu 29:

Cho hàm số

y = f (x)

có

f^{'} (x) = (x + 2) (x + 1) (x^{2} - 1)

. Hàm số

y = f (x)

đồng biến trên khoảng nào sau đây?

A. (-2;-1)

B. (-1;1)

C. $(0; + \infty)$

D. $(- \infty; - 2)$

Xem đáp án

f^{'} (x) = (x + 2) (x + 1) (x^{2} - 1) = (x + 2) (x - 1) {(x + 1)}^{2}

.

f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 2 \\ x = - 1 \\ x = 1 \end{array}

.
Bảng biến thiên

Cho hàm số y=f(x) có f'(x)=(x+2)(x+1)(x^2-1) (ảnh 1)

Từ bảng biến thiên ta chọn đáp án C

Câu 30:

Cho số phức

z = a + b i (a, b \in ℝ)

thỏa mãn

a + (b - 1) i = \frac{1 + 3 i}{1 - 2 i}

. Giá trị nào dưới đây là môđun của z?

A. $\sqrt{10}$

B. $\sqrt{5}$

C. 5

D. 1

Xem đáp án

Ta có:

a + (b - 1) i = \frac{1 + 3 i}{1 - 2 i} \Leftrightarrow a + (b - 1) i = \frac{(1 + 3 i) (1 + 2 i)}{(1 - 2 i) (1 + 2 i)} = - 1 + i

\Rightarrow \{\begin{cases} a = - 1 \\ b = 2 \end{cases} \Rightarrow |z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = \sqrt{5}

.

Chọn đáp án B

Câu 31:

Trong không gian Oxyz, cho các điểm

I (1; 0; - 1)

,

A (2; 2; - 3)

. Mặt cầu (S) tâm I và đi qua điểm A có phương trình là:

A. ${(x - 1)}^{2} + y^{2} + {(z + 1)}^{2} = 9$

B. ${(x + 1)}^{2} + y^{2} + {(z - 1)}^{2} = 9$

C. ${(x - 1)}^{2} + y^{2} + {(z + 1)}^{2} = 3$

D. ${(x + 1)}^{2} + y^{2} + {(z - 1)}^{2} = 3$

Xem đáp án

Mặt cầu (S) tâm I và đi qua điểm A có bán kính

R = I A = \sqrt{1^{2} + 2^{2} + {(- 2)}^{2}} = 3

.

\Rightarrow

Phương trình mặt cầu (S):

{(x - 1)}^{2} + y^{2} + {(z + 1)}^{2} = 9

.

Chọn đáp án A

Câu 32:

Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số

y = x^{4} - x^{2} + 13

trên đoạn

[- 2; 3]

.

A. $m = \frac{51}{4}$

B. $m = 13$

C. $m = \frac{49}{4}$

D. $m = \frac{51}{2}$

Xem đáp án

Hàm số

y = f (x) = x^{4} - x^{2} + 13

xác định và liên tục trên đoạn

[- 2; 3]

.

f^{'} (x) = 4 x^{3} - 2 x

;

f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow 4 x^{3} - 2 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \end{array}

.

f (- 3) = 25; f (0) = 13; f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{51}{4}; f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{51}{4}; f (3) = 85

Vậy giá trị nhỏ nhất

m = \min_{[- 2; 3]} f (x) = f (\pm \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{51}{4}

.

Chọn đáp án A

Câu 33:

Tìm số phức z thỏa mãn

(3 + 4 i) z + 1 - 2 i = i

.

A. $\frac{9}{25} - \frac{13}{25} i$

B. $\frac{9}{25} + \frac{13}{25} i$

C. $- \frac{9}{25} + \frac{13}{25} i$

D. $- \frac{9}{25} - \frac{13}{25} i$

Xem đáp án

$(3 + 4 i) z + 1 - 2 i = i \Leftrightarrow (3 + 4 i) z = 3 i - 1 \Leftrightarrow z = \frac{3 i - 1}{3 + 4 i} = \frac{9}{25} + \frac{13}{25} i$

Chọn đáp án B

Câu 34:

Cho số phức

z = a + (a - 5) i

với

a \in ℝ

. Tìm a để điểm biểu diễn của số phức nằm trên đường phân giác của góc phần tư thứ hai và thứ tư.

A. $a = 0$

B. $a = \frac{3}{2}$

C. $a = - \frac{1}{2}$

D. $a = \frac{5}{2}$

Xem đáp án

Đường phân giác của góc phần tư thứ hai và thứ tư là đường thẳng

y = - x

.
Do đó

a - 5 = - a

. Suy ra

a = \frac{5}{2}

.

Chọn đáp án D

Câu 35:

Tính tích phân

I = \int_{0}^{2019} e^{2 x} d x

.

A. $I = e^{4038} - 1$

B. $I = \frac{1}{2} (e^{4038} - 1)$

C. $I = \frac{1}{2} e^{4038} - 1$

D. $I = e^{4038}$

Xem đáp án

$I = \int_{0}^{2019} e^{2 x} d x = \frac{1}{2} \int_{0}^{2019} e^{2 x} d (2 x) = \frac{1}{2} {e^{2 x}|}_{0}^{2019} = \frac{1}{2} (e^{4038} - 1)$

Chọn đáp án B

Câu 36:

Tập nghiệm của phương trình

\log_{2} (x^{2} - 1) = \log_{2} (2 x)

là

A. $S = \{1 + \sqrt{2}; 1 - \sqrt{2}\}$

B. $S = \{2; 4\}$

C. $S = \{\frac{1 + \sqrt{2}}{2}\}$

D. $S = \{1 + \sqrt{2}\}$

Xem đáp án

$\log_{2} (x^{2} - 1) = \log_{2} (2 x) \Leftrightarrow \{\begin{cases} x^{2} - 1 = 2 x \\ x ⟩ 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x^{2} - 2 x - 1 = 0 \\ x ⟩ 0 \end{cases} \Leftrightarrow x = 1 + \sqrt{2}$

Chọn đáp án D

Câu 37:

Trong không gian Oxyz cho điểm

A (1; - 2; 3)

và hai đường thẳng

d_{1} : \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{- 1} = \frac{z + 3}{1}; d_{2} : x = 1 - t, y = 2 t, z = 1

. Viết phương trình đường thẳng

Δ

đi qua A, vuông góc với cả

d_{1}

và

d_{2}

.

A. $\{\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = - 2 + t \\ z = 3 - 3 t \end{cases}$

B. $\{\begin{cases} x = - 2 + t \\ y = - 1 - 2 t \\ z = 3 + 3 t \end{cases}$

C. $\{\begin{cases} x = 1 - t \\ y = - 2 - t \\ z = 3 + t \end{cases}$

D. $\{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = - 2 - t \\ z = 3 - t \end{cases}$

Xem đáp án

Đường thẳng

d_{1}

có véctơ chỉ phương

\vec{u_{1}} = (2; - 1; 1)

;

d_{2}

có véctơ chỉ phương

\vec{u_{2}} = (- 1; 2; 0)

.
Ta có:

\vec{u} = [\vec{u_{2}}; \vec{u_{1}}] = (2; 1; - 3)

.
Vì đường thẳng

Δ

đi qua A, vuông góc với cả

d_{1}

và

d_{2}

nên

Δ

nhận

\vec{u} = (2; 1; - 3)

làm véctơ chỉ phương, do đó

Δ

có phương trình là

\{\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = - 2 + t \\ z = 3 - 3 t \end{cases}

.

Chọn đáp án A

Câu 38:

Cho hình chóp S.ABC có tam giác là tam giác ABC vuông tại A,

A C = a \sqrt{3}

,

\hat{A B C} = 30^{°}

. Góc giữa SC và mặt phẳng ABC bằng

60^{°}

. Cạnh bên SA vuông góc với đáy. Khoảng cách từ A đến

(S B C)

bằng bao nhiêu?

A. $\frac{a \sqrt{3}}{\sqrt{35}}$

B. $\frac{2 a \sqrt{3}}{\sqrt{35}}$

C. $\frac{3 a}{\sqrt{5}}$

D. $\frac{a \sqrt{6}}{\sqrt{35}}$

Xem đáp án

Dựng

A M ⊥ B C

;

A H ⊥ S M

Ta có:

\begin{array}{l} A M ⊥ B C \\ S A ⊥ B C \end{array}\} \Rightarrow B C ⊥ (S A M)

\Rightarrow A H ⊥ B C

và

A H ⊥ S M \Rightarrow A H ⊥ (S B C)

\Rightarrow d (A; S B C) = A H

Tam giác SAC vuông tại A

\Rightarrow S A = A C . \tan 60^{°}

=

a \sqrt{3} . \sqrt{3} = 3 a

Δ S A C = Δ B A C (g - c - g) \Rightarrow S A = B A = 3 a

Tam giác ABC vuông tại A

\Rightarrow \frac{1}{A M^{2}} = \frac{1}{A B^{2}} + \frac{1}{A C^{2}} = \frac{1}{9 a^{2}} + \frac{1}{3 a^{2}} = \frac{4}{9 a^{2}}

Tam giác SAM vuông tại A

\Rightarrow \frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{S A^{2}} + \frac{1}{A M^{2}} \Rightarrow \frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{9 a^{2}} + \frac{4}{9 a^{2}} = \frac{5}{9 a^{2}} \Rightarrow A H = \frac{3 a}{\sqrt{5}}

Chọn đáp án C

Câu 39:

Thể tích V của khối hộp chữ nhật

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

biết

A B = a, A D = 2 a, A C^{'} = a \sqrt{14}

là

A. $V = 2 a^{3} .$

B. $V = a^{3} \sqrt{5} .$

C. $V = 6 a^{3} .$

D. $V = \frac{a^{3} \sqrt{14}}{3} .$

Xem đáp án

Xét hình chữ nhật ABCD, ta có

A C^{2} = A B^{2} + A D^{2} = a^{2} + 4 a^{2} = 5 a^{2} .

Xét tam giác vuông

A A^{'} C,

ta có

A {A^{'}}^{2} = A {C^{'}}^{2} - A C^{2} = 14 a^{2} - 5 a^{2} = 9 a^{2} \Rightarrow A A^{'} = 3 a .

Ta có

V_{A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}} = A B . A D . A A^{'} = a .2 a .3 a = 6 a^{3} .

Chọn đáp án C

Câu 40:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm

A (2; 1; 1)

và hai đường thẳng

d_{1} : \{\begin{cases} x = 3 + t \\ y = 1 \\ z = 2 - t \end{cases}

,

d_{2} : \{\begin{cases} x = 3 + 2 t^{'} \\ y = 3 + t^{'} \\ z = 0 \end{cases}

. Phương trình đường thẳng đi qua A vuông góc với

d_{1}

và cắt

d_{2}

là

A. $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z}{2} .$

B. $\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z - 1}{- 1}$

C. $\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 1}{2}$

D. $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z}{1}$

Xem đáp án

Đường thẳng

d_{1}

có VTCP

\vec{u_{d_{1}}} = (1; 0; - 1)

.
Giả sử (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với

d_{1} \Rightarrow (P) : x - 2 - z + 1 = 0 \Leftrightarrow x - z - 1 = 0

Gọi B là giao điểm của (P) và

d_{2} .

Tọa độ B là nghiệm của hệ phương trình:

\{\begin{cases} x = 3 + 2 t^{'} \\ y = 3 + t^{'} \\ z = 0 \\ x - z - 1 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} t^{'} = - 1 \\ x = 1 \\ y = 2 \\ z = 0 \end{cases} \Rightarrow B (1; 2; 0)

.
Đường thẳng cần tìm là đường thẳng AB
Ta có

\vec{A B} = (- 1; 1; - 1)

hay VTCP của đường thẳng cần tìm là

\vec{u} = (1; - 1; 1)

Đường thẳng cần tìm đi qua

B (1; 2; 0)

và có VTCP là

\vec{u} = (1; - 1; 1)

Suy ra phương trình đường thẳng cần tìm:

\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z}{1}

.
Cách 2: (AD: Nguyễn Văn Thịnh)
Gọi

Δ

là đường thẳng cần tìm.

Δ

cắt

d_{2}

tại B.
Ta có

B \in d_{2} \Rightarrow B (3 + 2 t^{'}; 3 + t^{'}; 0)

.
Đường thẳng

Δ

có vectơ chỉ phương là

\vec{A B} = (1 + 2 t^{'}; 2 + t^{'}; - 1)

,

d_{1}

có vectơ chỉ phương là

\vec{u_{1}} = (1; 0; - 1)

.
Ta có

Δ ⊥ d_{1} \Leftrightarrow \vec{A B} ⊥ \vec{u_{1}} \Leftrightarrow \vec{A B} . \vec{u_{1}} = 0 \Leftrightarrow 1 + 2 t^{'} + 0 + 1 = 0 \Leftrightarrow t^{'} = - 1

. Suy ra

\vec{A B} = (- 1; 1; - 1)

Đường thẳng cần tìm đi qua

B (1; 2; 0)

và có VTCP là

\vec{u} = (1; - 1; 1)

Suy ra phương trình đường thẳng cần tìm:

\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z}{1}

.

Chọn đáp án D

Câu 41:

Bồn hoa của một trường X có dạng hình tròn bán kính bằng 8m. Người ta chia bồn hoa thành các phần như hình vẽ dưới đây và có ý định trồng hoa như sau: Phần diện tích bên trong hình vuông ABCD để trồng hoa. Phần diện tích kéo dài từ 4 cạnh của hình vuông đến đường tròn dùng để trồng cỏ. Ở 4 góc còn lại mỗi góc trồng một cây cọ. Biết

A B = 4 m

, giá trồng hoa là 200.000 đ/m2, giá trồng cỏ là 100.000 đ/m2, mỗi cây cọ giá 150.000đ. hỏi cần bao nhiêu tiền để thực hiện việc trang trí bồn hoa đó

Bồn hoa của một trường X có dạng hình tròn bán kính bằng 8m . (ảnh 1)

A. $13.265.000$ đồng

B. $12.218.000$ đồng

C. $14.465.000$ đồng

D. $14.865.000$ đồng

Xem đáp án

Chọn hệ trục tọa độ sao cho gốc tọa độ trùng với tâm hình tròn, suy ra phương trình
đường tròn là:

x^{2} + y^{2} = 64

.
+ Diện tích hình vuông ABCD là:

S_{A B C D} = 4 \times 4 = 16 (m^{2})

.
Số tiền để trồng hoa là:

T_{1} = 16 \times 200.000 = 3.200.000

.
+ Diện tích trồng cỏ là:

S = 4 \int_{- 2}^{2} (\sqrt{64 - x^{2}} - 2) d x \approx 94, 654 (m^{2})

.
Số tiền trồng cỏ là:

T_{2} = 94, 654 \times 100.000 = 9.465.000

.
+ Số tiền trồng 4 cây cọ là:

T_{3} = 150.000 \times 4 = 600.000

.
Vậy tổng số tiền để thực hiện việc trang trí bồn hoa là:

T = T_{1} + T_{2} + T_{3} = 13.265.000

.

Chọn đáp án A

Câu 42:

Giả sử hàm số

f (x)

có đạo hàm cấp 2 trên R thỏa mãn

f (1) = f^{'} (1) = 1

và

f (1 - x) + x^{2} . {f^{'}}^{'} (x) = 2 x

với mọi

x \in ℝ

. Tính tích phân

I = \int_{0}^{1} x f^{'} (x) d x

.

A. $I = \frac{1}{3}$

B. $I = \frac{2}{3}$

C. $I = 1$

D. $I = 2$

Xem đáp án

Đặt

\{\begin{cases} u = f^{'} (x) \\ d v = x d x \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = {f^{'}}^{'} (x) d x \\ v = \frac{x^{2}}{2} \end{cases}

.
Suy ra

I = \int_{0}^{1} x f^{'} (x) d x = \frac{x^{2}}{2} f^{'} (x) |\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} - \int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{2} {f^{'}}^{'} (x) d x = \frac{1}{2} - \int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{2} {f^{'}}^{'} (x) d x

.
Do

f (1 - x) + x^{2} . {f^{'}}^{'} (x) = 2 x \Rightarrow \frac{x^{2}}{2} . {f^{'}}^{'} (x) = x - \frac{1}{2} f (1 - x)

.
Vậy

I = \frac{1}{2} - \int_{0}^{1} [x - \frac{1}{2} f (1 - x)] d x = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} f (1 - x) d x

.
Đặt

t = 1 - x

suy ra

I = - \frac{1}{2} \int_{1}^{0} f (t) d t = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} f (t) d t = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} f (x) d x

.
Đặt

\{\begin{cases} u = f (x) \\ d v = d x \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = f^{'} (x) d x \\ v = x \end{cases}

Suy ra

I = \frac{1}{2} [x f (x) |\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} - \int_{0}^{1} x f^{'} (x) d x] \Leftrightarrow I = \frac{1}{2} (1 - I) \Leftrightarrow I = \frac{1}{3}

.

Chọn đáp án A

Câu 43:

Cho hàm số

f (x)

có đồ thị

f^{'} (x)

như hình vẽ dưới. Hàm số

g (x) = f (x) - \frac{x^{3}}{3} + 2 x^{2} - 5 x + 2001

có bao nhiêu điểm cực trị?

Cho hàm số f(x) có đồ thị f'(x) như hình vẽ dưới. (ảnh 1)

A. 3

B. 1

C. 2

D. 0

Xem đáp án

Có

g^{'} (x) = f^{'} (x) - x^{2} + 4 x - 5 \Rightarrow g^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow f^{'} (x) = x^{2} - 4 x + 5

Ta có đồ thị hàm số

y = x^{2} - 4 x + 5

và đồ thị hàm

y = f^{'} (x)

như hình vẽ dưới

Quan sát hình vẽ ta thấy

g^{'} (x) = 0

có 3 nghiệm phân biệt trong đó chỉ có 1 nghiệm bội chẵn
Vậy hàm số

g (x)

có 2 điểm cực trị.

Chọn đáp án C

Câu 44:

Cho hàm số

y = f (x)

liên tục trên đoạn

[e; e^{2}]

. Biết

x^{2} f^{'} (x) \cdot \ln x - x f (x) + \ln^{2} x = 0, \forall x \in [e; e^{2}]

và

f (e) = \frac{1}{e}

. Tính tích phân

I = \int_{e}^{e^{2}} f (x) d x

.

A. $I = \ln 2$

B. $I = 2$

C. $I = \frac{3}{2}$

D. $I = 3$

Xem đáp án

Ta có:

x^{2} f^{'} (x) \cdot \ln x - x f (x) + \ln^{2} x = 0, \forall x \in [e; e^{2}]

\Leftrightarrow \frac{f^{'} (x) \cdot \ln x - \frac{1}{x} . f (x)}{\ln^{2} x} = - \frac{1}{x^{2}} \Leftrightarrow {(\frac{f (x)}{\ln x})}^{'} = - \frac{1}{x^{2}}

Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

\frac{f (x)}{\ln x} = \frac{1}{x} + C

theo đề bài ta có

f (e) = \frac{1}{e} \Rightarrow C = 0

suy ra

f (x) = \frac{\ln x}{x} \Rightarrow I = \int_{e}^{e^{2}} f (x) d x = I = \int_{e}^{e^{2}} \frac{\ln x}{x} d x = \frac{3}{2}

.

Chọn đáp án C

Câu 45:

Bất phương trình

4^{x} - (m + 1) 2^{x + 1} + m \geq 0

nghiệm đúng với mọi

x \geq 0

. Tập tất cả cá giá trị của m là

A. $(- 1; 16]$

B. $(- \infty; 12)$

C. $(- \infty; - 1]$

D. $(- \infty; 0]$

Xem đáp án

Bất phương trình

4^{x} - (m + 1) 2^{x + 1} + m \geq 0 (1) \Leftrightarrow 4^{x} - 2 (m + 1) 2^{x} + m \geq 0

.
Đặt

2^{x} = t

bất phương trình trở thành

t^{2} - 2 (m + 1) t + m \geq 0 (2)

.
Bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi

x \geq 0

khi và chỉ khi bất phương trình (2) nghiệm đúng với mọi

t \geq 1

.

(2) \Leftrightarrow (2 t - 1) m \leq t^{2} - 2 t \Leftrightarrow m \leq \frac{t^{2} - 2 t}{2 t - 1}

(do

t \geq 1

).
Đặt

f (t) = \frac{t^{2} - 2 t}{2 t - 1}

với

t \geq 1

.

\Rightarrow f' (t) = \frac{2 t^{2} - 2 t + 2}{{(2 t - 1)}^{2}} > 0 \forall t \geq 1

.
Bảng biến thiên

Bất phương trình 4^x-(m+1)2^x+1 nghiệm đúng với mọi (ảnh 1)

Từ bảng biến thiên ta có

f (t) \geq m \forall t \in [1; + \infty)

\Leftrightarrow m \leq - 1

.

Vậy chọn C

Câu 46:

Cho hàm số

y = f (x)

có đạo hàm

[- 1; 2]

liên tục trên . Đồ thị của hàm số

y = f^{'} (x)

được cho như hình vẽ. Diện tích hình phẳng

(K), (H)

lần lượt là

\frac{5}{12}

và

\frac{8}{3}

. Biết

f (- 1) = \frac{19}{12}

. Tính

f (2)

.

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên [-1;2] . Đồ thị của hàm (ảnh 1)

A. $f (2) = \frac{11}{6}$

B. $f (2) = \frac{23}{6}$

C. $f (2) = - \frac{2}{3}$

D. $f (2) = \frac{2}{3}$

Xem đáp án

Từ hình vẽ ta có:

\frac{5}{12} = \int_{- 1}^{0} f^{'} (x) d x = {f (x)|}_{- 1}^{0} = f (0) - f (- 1)

, suy ra

f (0) = f (- 1) + \frac{5}{12} = 2

Ta cũng có:

\frac{8}{3} = - \int_{0}^{2} f^{'} (x) d x = - {f (x)|}_{0}^{2} = - f (2) + f (0)

, suy ra

f (2) = f (0) - \frac{8}{3} = \frac{- 2}{3}

.

Chọn đáp án C

Câu 47:

Cho số phức z thỏa mãn

|(1 + i) z + 1 - 3 i| = 3 \sqrt{2}

. Giá trị lớn nhất của biểu thức

P = |z + 2 + i| + \sqrt{6} |z - 2 - 3 i|

bằng

A. $5 \sqrt{6}$

B. $\sqrt{15} (1 + \sqrt{6})$

C. $6 \sqrt{5}$

D. $\sqrt{10} + 3 \sqrt{15}$

Xem đáp án

Cách 1

|(1 + i) z + 1 - 3 i| = 3 \sqrt{2} \Leftrightarrow |1 + i| |z + \frac{1 - 3 i}{1 + i}| = 3 \sqrt{2} \Leftrightarrow |z - (1 + 2 i)| = 3 (1)

.
Gọi

\vec{O M} = (x; y), \vec{O I} = (1; 2)

là vec-tơ biểu diễn cho các số phức

z = x + i y, w = 1 + 2 i

, .
Từ (1) có

|\vec{O M} - \vec{O I}| = 3 \Leftrightarrow M I = 3

.
Suy ra M thuộc đường tròn (C) tâm

I (1; 2)

bán kính

R = 3

,

(C) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{3} = 9

Gọi

\vec{O A} = (- 2; - 1)

,

\vec{O B} = (2; 3)

lần lượt là vec-tơ biểu diễn cho số phức

a = - 2 - i

,

b = 2 + 3 i

.
Có

\vec{I A} = (- 3; - 3)

,

\vec{I B} = (1; 1)

. Suy ra

\vec{I A} = - 3 \vec{I B} \Leftrightarrow \vec{I A} + 3 \vec{I B} = \vec{0}

.
Lúc đó

P = M A + \sqrt{6} M B = M A + \sqrt{2} . \sqrt{3} M B

\leq \sqrt{3 (M A^{2} + 3 M B^{2})}

.
Có

M A^{2} + 3 M B^{2} = {(\vec{I A} - \vec{I M})}^{2} + 3 {(\vec{I B} - \vec{I M})}^{2} = 4 I M^{2} + I A^{2} + 3 I B^{2}

.
Có

I M^{2} = 9

,

I A^{2} = 18

,

I B^{2} = 2

, nên

M A^{2} + 3 M B^{2} = 60

.
Suy ra

P \leq \sqrt{3.60} = 6 \sqrt{5}

.
Có

P = 6 \sqrt{5} \Leftrightarrow \frac{M A}{1} = \frac{\sqrt{3} M B}{\sqrt{2}}

.
Vậy giá trị lớn nhất của P là

P = 6 \sqrt{5}

.

Cách 2.
Giả sử

M (x; y)

là điểm biểu diễn của số phức z khi đó

|(1 + i) z + 1 - 3 i| = 3 \sqrt{2} \Leftrightarrow |x - y + 1 + (x + y - 3) i| = 3 \sqrt{2} \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y - 4 = 0

\Leftrightarrow {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 9

. Do đó M thuộc đường tròn tâm I (1;2), bán kính R = 3.
Đặt

\{\begin{cases} a = x - 1 \\ b = y - 2 \end{cases}

Ta có

a^{2} + b^{2} = 9

. Gọi

A = (- 2; - 1), B = (2; 3)

P = |z + 2 + i| + \sqrt{6} |z - 2 - 3 i| = M A + \sqrt{6} M B = \sqrt{{(x + 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2}} + \sqrt{6 [{(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2}]}

= \sqrt{{(a + 3)}^{2} + {(b + 3)}^{2}} + \sqrt{6 [{(a - 1)}^{2} + {(b - 1)}^{2}]} = \sqrt{6 (a + b) + 27} + \sqrt{6} \sqrt{(- 2) (a + b) + 11}

= \sqrt{6 (a + b) + 27} + \sqrt{2} \sqrt{(- 6) (a + b) + 33} \leq \sqrt{(1 + 2) (27 + 33)} = 6 \sqrt{5}

.

Chọn đáp án C

Câu 48:

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm

A (2; - 2; 4)

,

B (- 3; 3; - 1)

,

C (- 1; - 1; - 1)

và mặt phẳng

(P) : 2 x - y + 2 z + 8 = 0

. Xét điểm M thay đổi thuộc (P), tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

T = 2 M A^{2} + M B^{2} - M C^{2}

.

A. 30

B. 35

C. 102

D. 105

Xem đáp án

Gọi I là điểm thỏa mãn: $2 \vec{I A} + \vec{I B} - \vec{I C} = \vec{0}$

$\Leftrightarrow 2 (\vec{O A} - \vec{O I}) + (\vec{O B} - \vec{O I}) - (\vec{O C} - \vec{O I}) = \vec{0}$

$\Leftrightarrow \vec{O I} = \vec{O A} + \frac{1}{2} \vec{O B} - \frac{1}{2} \vec{O C} = (1; 0; 4)$ $\Leftrightarrow I (1; 0; 4)$

Khi đó, với mọi điểm $M (x; y; z) \in (P)$ , ta luôn có:

$T = 2 {(\vec{M I} + \vec{I A})}^{2} + {(\vec{M I} + \vec{I B})}^{2} - {(\vec{M I} + \vec{I C})}^{2}$ .

$= 2 {\vec{M I}}^{2} + 2 \vec{M I} . (2 \vec{I A} + \vec{I B} - \vec{I C}) + 2 {\vec{I A}}^{2} + {\vec{I B}}^{2} - {\vec{I C}}^{2}$

$= 2 M I^{2} + 2 I A^{2} + I B^{2} - I C^{2}$

Ta tính được $2 I A^{2} + I B^{2} - I C^{2} = 30$ .

Do đó, T đạt GTNN $\Leftrightarrow M I$ đạt GTNN $\Leftrightarrow M I ⊥ (P)$ .

Lúc này, $I M = d (I, (P)) = \frac{|2.1 - 0 + 2.4 + 8|}{\sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2} + 2^{2}}} = 6$ .

Vậy $T_{\min} = {2.6}^{2} + 30 = 102$ .

Chọn đáp án C

Câu 49:

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số

m \in ℤ

và phương trình

\log_{m x - 5} (x^{2} - 6 x + 12) = \log_{\sqrt{m x - 5}} \sqrt{x + 2}

có nghiệm duy nhất. Tìm số phần tử của S.

A. 1

B. 0

C. 3

D. 2

Xem đáp án

Điều kiện

\{\begin{cases} x^{2} - 6 x + 12 > 0 \\ x + 2 > 0 \\ m x - 5 > 0 \\ m x - 5 \neq 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x > - 2 \\ m x > 5 \\ m x \neq 6 \end{cases} (I)

Giải phương trình

\begin{array}{l} \log_{m x - 5} (x^{2} - 6 x + 12) = \log_{\sqrt{m x - 5}} \sqrt{x + 2} p t (1) \\ \Leftrightarrow \log_{m x - 5} (x^{2} - 6 x + 12) = \log_{m x - 5} (x + 2) \\ \Leftrightarrow x^{2} - 6 x + 12 = x + 2 \\ \Leftrightarrow x^{2} - 7 x + 10 = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 \\ x = 5 \end{array} \end{array}

Khi

m < 0 \Rightarrow x < \frac{5}{m} < 0

Suy ra phương trình (1) vô nghiệm
Khi

m = 0 \Rightarrow 0 x > 5

không có x thỏa điều kiện.
Khi

m > 0 \Rightarrow x > \frac{5}{m} > 0

khi đó

(I) \Leftrightarrow \{\begin{cases} x > \frac{5}{m} \\ x \neq \frac{6}{m} \end{cases}

TH1. Phương trình (1) có nghiệm duy nhất

x = 2

khi đó

\{\begin{cases} 2 > \frac{5}{m} \\ 5 = \frac{6}{m} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \frac{2 m - 5}{m} \\ m = \frac{6}{5} \end{cases} > 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} m > \frac{5}{2} \\ m = \frac{6}{5} \end{cases} \Leftrightarrow m \in \emptyset

TH2. Phương trình (1) có nghiệm duy nhất

x = 5

khi đó

[\begin{array}{l} \{\begin{cases} 5 > \frac{5}{m} \\ 2 < \frac{5}{m} \end{cases} \\ \{\begin{cases} 2 > \frac{5}{m} \\ 2 = \frac{6}{m} \end{cases} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} \frac{5 m - 5}{m} > 0 \\ \frac{2 m - 5}{m} < 0 \end{cases} \\ \{\begin{cases} 2 > \frac{5}{m} \\ m = 3 \end{cases} \end{array} [\begin{array}{l} \{\begin{cases} m > 1 \\ 0 < m < \frac{5}{2} \end{cases} \\ m = 3 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 1 < m < \frac{5}{2} \\ m = 3 \end{array}

Vậy các giá trị m thỏa mãn điều kiện đề bài là

m = 3 \lor 1 < m < \frac{5}{2}

Vậy

S = \{2; 3\}

.

Chọn đáp án D

Câu 50:

Cho hàm số

y = f (x)

có đồ thị

y = f^{'} (x)

như hình vẽ sau

Đồ thị hàm số

g (x) = |2 f (x) - x^{2}|

có tối đa bao nhiêu điểm cực trị?

A. 7

B. 5

C. 6

D. 3

Xem đáp án

Xét hàm số

h (x) = 2 f (x) - x^{2} \Rightarrow h' (x) = 2 f' (x) - 2 x

Từ đồ thị ta thấy

h' (x) = 0 \Leftrightarrow f' (x) = x \Leftrightarrow x = - 2 \lor x = 2 \lor x = 4

\begin{array}{l} \int_{- 2}^{2} (2 f' (x) - 2 x) d x > \int_{2}^{4} (2 x - 2 f' (x)) d x > 0 \\ \Leftrightarrow {h (x)|}_{- 2}^{2} > {- h (x)|}_{2}^{4} \Leftrightarrow h (2) - h (- 2) > - (h (4) - h (2)) \Leftrightarrow h (4) > h (- 2) \end{array}

Bảng biến thiên

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị y=f'(x) như hình vẽ sau (ảnh 3)

Vậy

g (x) = |2 f (x) - x^{2}|

có tối đa 7 cực trị.

Chọn đáp án A