49 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề thi thử THPTQG môn Toán cực hay có lời giải chi tiết (Đề 21)

Câu 1:

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây:

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng $(- \infty; 1)$

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(- 1; 0)$ .

C. Hàm số nghịch biến trên $(- 1; 0) \cup (1; + \infty)$ .

D. Hàm số đồng biến trên $(- \infty; - 1) \cup (0; 1)$ .

Xem đáp án

Chọn đáp án B.

Câu 2:

Trong không gian Oxyz, mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y - 6 z - 2 = 0$ có:

A. Tâm $I (1; - 2; 3)$ và bán kính $R = 4$ .

B. Tâm $I (- 1; 2; - 3)$ và bán kính $R = 16$ .

C. Tâm $I (- 1; 2; - 3)$ và bán kính $R = 4$ .

D. Tâm $I (1; - 2; 3)$ và bán kính $R = 16$ .

Xem đáp án

Chọn đáp án A.

FOR REVIEW

Câu 3:

$\underset{x \to + \infty}{l i m} \frac{3 x - 1}{x + 2}$ bằng

A. $- \frac{1}{2}$

B. $\frac{3}{2}$

C. -2

D. 3

Xem đáp án

Chọn đáp án D.

Câu 4:

Với a và b là các số thực dương bất kỳ, mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $\log (a b) = \log a . \log b$

B. $\log (a + b) = \log a + \log b$

C. $\log \frac{a}{b} = \log a - \log b$

D. $\log \frac{a}{b} = \frac{\log a}{\log b}$

Xem đáp án

Chọn đáp án C.

Câu 5:

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng $(α) : 2 x - 3 z + 1 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là

A. $\vec{n_{1}} = (2; 0; - 3)$

B. $\vec{n_{1}} = (2; - 3; 1)$

C. $\vec{n_{1}} = (2; - 3; 0)$

D. $\vec{n_{1}} = (2; 0; 3)$

Xem đáp án

Chọn đáp án A.

(nhớ thứ tự là hệ số của x, hệ số của y và hệ số của z; trong trường hợp khuyết biến nào thì hệ số ứng với biến đó là bằng 0).

Câu 6:

Cho tập hợp M gồm 15 điểm phân biệt. Số vectơ khác $\vec{0}$ , có điểm đầu và điểm cuối là các điểm thuộc M là

A. $C_{15}^{2}$

B. $15^{2}$

C. $A_{15}^{2}$

D. $A_{15}^{13}$

Xem đáp án

Chọn đáp án C.

Câu 7:

Cho hai số phức $z_{1} = 4 - 2 i$ và $z_{2} = 1 + 5 i$ . Tìm số phức $z = z_{1} + z_{2}$

A. z = 3 - 7i

B. z = -2 + 6i

C. z = 5 - 7i

D. z = 5 + 3i

Xem đáp án

Chọn đáp án D.

Câu 8:

Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?

A. $y = - x^{3} + 3 x - 1$

B. $y = - \frac{1}{3} x^{3} + x - 1$

C. $y = x^{4} - 2 x^{2} - 3$

D. $y = \frac{1}{3} x^{3} - x - 1$

Xem đáp án

Chọn đáp án D.

Câu 9:

Khẳng định nào dưới đây là sai về tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật $A B C D . A' B' C' D'$ ?

A. Là giao điểm của hai đường thẳng AC' và A'C.

B. Là tâm của hình chữ nhật BDD'B'.

C. Là trung điểm của đoạn thẳng nối hai tâm của hai đáy.

D. Là giao điểm của hai đường thẳng AD' và CB'.

Xem đáp án

Chọn đáp án D.

DISCOVERY

Từ việc xác định được tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật trong câu hỏi này chúng ta dễ dàng suy ra những kết quả như ở bên.

1. Mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật $A B C D . A' B' C' D'$ có bán kính được xác định bởi công thức

2. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A. Khi đó mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ có tâm là giao điểm của BC' và B'C (tức là tâm của hình chữ nhật ) và bán kính được xác định bởi công thức

3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và cạnh bên SA vuông góc với đáy. Khi đó mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có tâm là trung điểm của cạnh SC và bán kính được tính theo công thức

4. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và cạnh bên SA vuông góc với đáy. Khi đó mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có tâm là trung điểm của cạnh SE, với E là đỉnh còn lại của hình chữ nhật ABEC và bán kính được tính theo công thức

5. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và cạnh bên SA vuông góc với đáy. Khi đó mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có tâm là trung điểm của cạnh SC và bán kính được tính theo công thức

6. Cho hình tứ diện gần đều ABCD. Khi đó mặt cầu ngoại tiếp tứ diện có tâm là trung điểm của đoạn nối trung điểm của hai cạnh AB, CD và bán kính được tính theo công thức

Câu 10:

Tính đạo hàm của hàm số $y = (2 x - 1) \sqrt{4 x + 3}$

A. $y' = \frac{12 x + 4}{\sqrt{4 x + 3}}$

B. $y' = \frac{4}{\sqrt{4 x + 3}}$

C. $y' = \frac{2 (\sqrt{4 x + 3} + 1)}{\sqrt{4 x + 3}}$

D. $y' = \frac{18 x + 2}{\sqrt{4 x + 3}}$

Xem đáp án

Chọn đáp án A.

Câu 11:

Cắt một vật thể $(T)$ bởi hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ vuông góc với trục Ox lần lượt tại $x = a, x = b (a < b)$ . Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm $x (a \leq x \leq b)$ cắt $(T)$ theo thiết diện có diện tích là $S (x)$ . Giả sử $S (x)$ liên tục trên đoạn $[a; b]$ . Thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ được cho bởi công thức nào dưới đây?

A. $V = π \int_{a}^{b} S^{2} (x) dx$

B. $V = \int_{a}^{b} S (x) dx$

C. $V = π \int_{a}^{b} S (x) dx$

D. $V = π^{2} \int_{a}^{b} S (x) dx$

Xem đáp án

Chọn đáp án B.

Câu 12:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và $S A = 3 a$ . Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho A trung với O, điểm B thuộc tia Ox, điểm D thuộc tia Oy và điểm S thuộc tia Oz. Gọi G là trọng tâm của tam giác SBD. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. $G (\frac{a}{2}; \frac{a}{2}; \frac{3 a}{2})$

B. $G (\frac{a}{3}; a; \frac{a}{3})$

C. G(a;a;3a)

D. $G (\frac{a}{3}; \frac{a}{3}; a)$

Xem đáp án

Chọn đáp án D.

Câu 13:

Biết rằng $\int_{}^{} f (x) d x = F (x) + C$ . Tính $I = \int_{}^{} f (4 x + 1) d x$ .

A. $I = 4 F (4 x + 1) + C$

B. $I = \frac{1}{4} F (4 x + 1) + C$

C. $I = F (4 x + 1) + C$

D. $I = \frac{1}{4} F (x) + C$

Xem đáp án

Chọn đáp án B.

Câu 14:

Tìm tập xác định D của hàm số $y = {(x^{2} - 5 x - 6)}^{\frac{1}{5}}$

A. $D = (- \infty; - 1) \cup (6; + \infty)$

B. $D = ℝ$

C. $D = (- \infty; - 6) \cup (1; + \infty)$

D. $D = (- \infty; - 3) \cup (2; + \infty)$

Xem đáp án

Chọn đáp án A.

Câu 15:

Biết rằng tập nghiệm của bất phương trình $\log_{3} (x^{2} - 3 x + 5) < 2$ là khoảng $(a; b)$ . Giá trị của biểu thức $a^{2} + b^{2}$ bằng

A. 11

B. 15

C. 17

D. 7

Xem đáp án

Chọn đáp án C.

Câu 16:

Cho các số dương a, b, c thỏa mãn $2^{a} = 6^{b} = 12^{c}$ . Khi đó biểu thức $T = \frac{b}{c} - \frac{b}{a}$ có giá trị là

A. $\frac{3}{2}$

B. 1

C. 2

D. $\frac{1}{2}$

Xem đáp án

Chọn đáp án B.

DISCOVERY

Một cách tổng quát chúng ta có các kết quả sau:

1) Cho các số thực dương m, n, p khác 1 và thỏa mãn m.p = $n^{α}$

Nếu tồn tại các số thực a, b, c thỏa mãn hệ thức

2) Cho các số thực dương m, n, p khác 1 và thỏa mãn

Nếu tồn tại các số thực a, b, c thỏa mãn hệ thức

Câu 17:

Cho các số thực x và y thỏa mãn các điều kiện $2^{2 x + 7 y} = 256$ và $\log_{\sqrt{3}} (6 y + 11 x) = 2$ . Tính trung bình cộng của x và y.

A. $\frac{11}{26}$

B. $- \frac{58}{5}$

C. $\frac{11}{13}$

D. $- \frac{29}{5}$

Xem đáp án

Chọn đáp án A.

Từ giả thiết ta có:

Câu 18:

Cho $\int_{0}^{3} f (x) d x = 5; \int_{0}^{2} f (t) d t = 2;$ $\int_{2}^{3} g (x) d x = 11$ . Tính $I = \int_{2}^{3} [2 f (x) + 6 g (x)] d x$

A. I = 60

B. I = 63

C. I = 80

D. I = 72

Xem đáp án

Chọn đáp án D.

Câu 19:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d : \frac{x - 2}{1} = \frac{y + 1}{- 2} = \frac{z - 3}{2}$ . Đường thẳng d không đi qua điểm nào trong các điểm dưới đây?

A. $P_{1} (- 2; 7; 9)$

B. $P_{2} (3; - 3; 5)$

C. $P_{3} (0; 3; - 1)$

D. $P_{4} (- 1; 5; - 3)$

Xem đáp án

Chọn đáp án A.

Câu 20:

Trong một cuộc khảo sát, 607 bác sĩ phẫu thuật chỉnh hình và tổng quát về các hoạt động chuyên môn chính của họ. Kết quả được cho bởi bảng sau:

Chọn ngẫu nhiên một bác sĩ phẫu thuật, số nào dưới đây gần với xác suất để bác sĩ được chọn là một bác sĩ tổng quát có hoạt động chuyên môn chính là giảng dạy?

A. 0,62.

B. 0,43.

C. 0,68.

D. 0,28.

Xem đáp án

Chọn đáp án B.

Số bác sĩ tổng quát có hoạt động chuyên môn chính là giảng dạy bằng 258. Suy ra xác suất để chọn được một bác sĩ tổng quát có hoạt động chuyên môn chính là giảng dạy từ trong 607 bác sĩ phẫu thuật là

Câu 21:

Một người gửi tiết kiệm 200 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 6,8%/năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn để tính lãi cho năm tiếp theo. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm số tiền lãi người đó thu được so với tiền gốc ban đầu có thể dùng để mua được một chiếc xe máy giá 47 990 000 đồng, giả định trong khoảng thời gian này lãi suất không thay đổi và người đó không rút tiền ra?

A. 5 năm

B. 6 năm.

C. 3 năm.

D. 4 năm.

Xem đáp án

Chọn đáp án D.

Gọi $M_{n}$ là số tiền cả gốc và lãi thu được sau n năm gửi tiết kiệm.

Để dùng tiền lãi mua được chiếc xe máy giá 47 990 000 đồng thì

Câu 22:

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 12 x + 10$ trên đoạn $[- 3; 3]$ là

A. $\underset{[- 3; 3]}{m a x} f (x) = 1; \underset{[- 3; 3]}{m i n} f (x) = - 35$

B. $\underset{[- 3; 3]}{m a x} f (x) = 17; \underset{[- 3; 3]}{m i n} f (x) = - 10$

C. $\underset{[- 3; 3]}{m a x} f (x) = 17; \underset{[- 3; 3]}{m i n} f (x) = - 35$

D. $\underset{[- 3; 3]}{m a x} f (x) = 1; \underset{[- 3; 3]}{m i n} f (x) = - 10$

Xem đáp án

Chọn đáp án C.

Ta có hàm số liên tục trên đoạn [-3;3]

Câu 23:

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin 3 x d x$ bằng

A. $\frac{\sqrt{2} - 2}{6}$

B. $\frac{\sqrt{2} + 2}{6}$

C. $\frac{2 - \sqrt{2}}{6}$

D. $\frac{\sqrt{2}}{6}$

Xem đáp án

Chọn đáp án B.

Câu 24:

Nghiệm của phương trình $z^{2} + 6 z + 15$ là

A. $3 \pm \sqrt{6} i$

B. $- 6 \pm 2 \sqrt{6} i$

C. $- 3 \pm \sqrt{6} i$

D. $6 \pm 2 \sqrt{6} i$

Xem đáp án

Chọn đáp án C.

Câu 25:

Cho n là số nguyên dương thỏa mãn $2 C_{n}^{1} + C_{n}^{2} = 65$ . Tìm số hạng không chứa x của khai triển biểu thức ${(2 x^{3} + \frac{1}{x^{2}})}^{n}$ , với $x \neq 0$ .

A. 210

B. 13440

C. 420

D. 3360

Xem đáp án

Chọn đáp án D.

Số hạng này không chứa x khi và chỉ khi

Suy ra số hạng không chứa x trong khai triển trên là

Câu 26:

Trong không gian Oxyz, đường thẳng d đi qua điểm $A (3; - 1; 2)$ , song song với hai mặt phẳng $(P) : 2 x - 3 y + z - 5 = 0$ và $(Q) : x + y - 2 z + 10 = 0$ có phương trình là

A. $\frac{x - 4}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z - 3}{1}$

B. $\frac{x - 3}{1} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z - 2}{1}$

C. $\frac{x + 4}{1} = \frac{y}{- 1} = \frac{z + 3}{1}$

D. $\frac{x + 3}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 2}{1}$

Xem đáp án

Chọn đáp án A.

Câu 27:

Cho hình hộp chữ nhật $A B C D . A' B' C' D'$ có $A B = a, A D = a \sqrt{3}$ và $C C' = 2 a$ . Khối trụ ngoại tiếp hình hộp chữ nhật đã cho có thể tích bằng

A. $8 {πa}^{3}$

B. $\frac{2}{3} {πa}^{3}$

C. $2 {πa}^{3}$

D. $4 {πa}^{3}$

Xem đáp án

Chọn đáp án C.

Bán kính đáy của khối trụ ngoại tiếp hình hộp chữ nhật đã cho là

Câu 28:

Cho hàm số $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d (a, b, c, d \in ℝ)$ . Đồ thị của hàm số $y = f (x)$ như hình vẽ bên. Có bao nhiêu số nguyên m thuộc khoảng $(- 20; 20)$ để phương trình $(2 m - 1) f (x) - 3 = 0$ có đúng ba nghiệm phân biệt?

A. 39

B. 38

C. 37

D. 36

Xem đáp án

Chọn đáp án C.

có đúng ba nghiệm phân biệt

Vì m nguyên và thuộc khoảng (-20;20) nên chỉ có 37 giá trị.

Câu 29:

Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau và $S A = 3 a, S B = 4 a$ và $A C = 3 \sqrt{17}$ . Thể tích của khối chóp S.ABC bằng

A. $24 a^{3}$

B. $6 \sqrt{17} a^{3}$

C. $48 a^{3}$

D. $72 a^{3}$

Xem đáp án

Chọn đáp án A.

Câu 30:

Biết rằng $\int_{0}^{1} (a x + b) e^{x} d x = 4 - 3 e$ , với a, b là các số hữu tỷ. Tính giá trị của $S = a^{3} + b^{3}$

A. S = -26

B. $S = - \frac{511}{8}$

C. S = -124

D. S = 28

Xem đáp án

Chọn đáp án A.

Sử dụng đồng nhất thức với chú ý e là số vô tỷ, ta có b = -3 và a = 1

Câu 31:

Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(2;2) và các đường thẳng $d_{1} : x + y - 2 = 0, d_{2} : x + y - 8 = 0$ . Biết rằng tồn tại điểm $B (b_{1}; b_{2})$ thuộc đường thẳng $d_{1}$ và điểm $C (c_{1}; c_{2})$ thuộc đường thẳng $d_{2}$ sao cho tam giác ABC vuông cân tại A. Tính giá trị của biểu thức $T = b_{1} c_{2} - b_{2} c_{1}$ , biết điểm B có hoành độ không âm.

A. T = -14

B. T = 18

C. T = 11

D. T = 14

Xem đáp án

Chọn đáp án D.

Cách 2: Vì tam giác ABC vuông cân tại A nên phép quay tâm A với góc quay

Câu 32:

Trong không gian Oxyz, coh đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng $(P) : x + y + z = 3$ và $(P) : x - y + z = 5$ . Mặt phẳng $(α)$ chứa đường thẳng d và đi qua gốc tọa độ có phương trình là

A. $x + 4 y + z = 0$

B. $5 x + 4 y + z = 0$

C. $x - 4 y + z = 0$

D. $5 x - 4 y + z = 0$

Xem đáp án

Chọn đáp án A.

Cách 1: Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là

Cách 2: Vì mặt phẳng $(α)$ chứa đường thẳng d nên $(α)$ có phương trình

Câu 33:

Cho hai số phức $z_{1}, z_{2}$ thỏa mãn điều kiện $|z_{1}| = |z_{2}| = 1$ và $|z_{1} + z_{2}| = \sqrt{3}$ . Biết rằng , trong đó m, n, p là các số nguyên dương và phân số $\frac{m}{p}$ tối giản. Tính $S = 15 m + 12 n + 2019 p$ .

A. 2087

B. 4159

C. 6093

D. 4087

Xem đáp án

Chọn đáp án D.

nên kết hợp với các đẳng thức ở trên, ta được

Tổng quát bài toán chúng ta có kết quả sau:

trong đó m, n, p là độ dài ba cạnh của một tam giác thì

Câu 34:

Cho $f (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 9 x + 2$ . Tìm số nghiệm thực của phương trình $\sqrt{f (f (x) + 2) + 7} = f (x) + 5 (x \in ℝ)$

A. 7

B. 2

C. 6

D. 3

Xem đáp án

Chọn đáp án C.

Bằng cách lập bảng biến thiên của hàm số

Do đó phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt.

Câu 35:

Khi sản xuất vỏ lon sữa bò có hình trụ với thể tích bằng V, nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon sữa bò là ít nhất, tức là diện tích toàn phần của hình trụ là nhỏ nhất. Muốn thể tích khối trụ đó bằng V và diện tích toàn phần hình trụ là nhỏ nhất thì chiều cao h của lon sữa bò bằng bao nhiêu?

A. $h = \sqrt[3]{\frac{4 V}{π}}$

B. $h = \sqrt[3]{\frac{V}{π^{3}}}$

C. $h = \sqrt[3]{\frac{V}{4 π}}$

D. $h = \sqrt[3]{\frac{4 V}{π^{5}}}$

Xem đáp án

Chọn đáp án A.

Gọi r, h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của lon sữa bò cần thiết kế.

Câu 36:

Trong các cặp số (x,y) thỏa mãn $\log_{x^{2} + y^{2}} (x + y) \geq 1$ , hãy tìm giá trị lớn nhất của $T = x + 2 y$ .

A. $\frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

B. $\frac{3 + 2 \sqrt{5}}{2}$

C. $\frac{3 + \sqrt{10}}{2}$

D. $\frac{2 + \sqrt{10}}{2}$

Xem đáp án

Chọn đáp án C.

Câu 37:

Gọi A là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y = \frac{x + 1}{2 x + m}$ đồng biến trên khoảng . Số tập hợp con của tập hợp A gồm 3 phần tử bằng

A. 816.

B. 364.

B. 286.

C. 455.

Xem đáp án

Chọn đáp án B.

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(- \infty; - 8)$

Do đó, số tập con gồm 3 phần tử của tập hợp A là $C_{14}^{3} = 364$

Câu 38:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $[a; b]$ và đồ thị là $(C)$ . Để tính độ dài l đường cong $(C)$ thì người ta sử dụng công thức $l = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (x))}^{2}} d x$ . Hãy tính độ dài đường cong có phương trình $y = \frac{1}{8} x^{2} - \ln x$ trên đoạn $[1; 2]$ .

A. $\frac{3}{8} - \ln 2$

B. $\frac{31}{24} - 2 \ln 2$

C. $\frac{3}{8} + \ln 2$

D. $\frac{31}{24} + 2 \ln 2$

Xem đáp án

Chọn đáp án C.

Câu 39:

Cho khối hộp $A B C D . A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ . Gọi M là trung điểm của AB. Mặt phẳng $(M A_{1} C_{1})$ chia khối hộp đã cho thành hai phần. Gọi $V_{1}$ là thể tích khối đa diện có chứa $B B_{1}$ và $V_{2}$ là thể tích phần còn lại. Tính tỉ số $\frac{V_{1}}{V_{2}}$ .

A. $\frac{7}{24}$

B. $\frac{1}{3}$

C. $\frac{17}{7}$

D. $\frac{1}{4}$

Xem đáp án

Chọn đáp án C.

là đường thẳng đi qua M, song song với AC và cắt BC tại trung điểm N của cạnh BC.

Gọi h là độ dài chiều cao của hình hộp đã cho. Khi đó:

Câu 40:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d : \{\begin{cases} x = 1 + 3 t \\ y = 1 + 4 t \\ z = 1 \end{cases}$ . Gọi Δ là đường thẳng đi qua điểm $A (1; 1; 1)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (1; - 2; 2)$ . Đường phân giác của góc nhọn tạo bởi d và Δ có phương trình là

A. $\{\begin{cases} x = 1 + 7 t \\ y = 1 + t \\ z = 1 + 5 t \end{cases}$

B. $\{\begin{cases} x = - 1 + 2 t \\ y = - 10 + 11 t \\ z = - 6 - 5 t \end{cases}$

C. $\{\begin{cases} x = - 1 + 2 t \\ y = - 10 + 11 t \\ z = 6 - 5 t \end{cases}$

D. $\{\begin{cases} x = 1 + 3 t \\ y = 1 + 4 t \\ z = 1 - 5 t \end{cases}$

Xem đáp án

Chọn đáp án C.

nên một vectơ chỉ phương của đường phân giác của góc nhọn tạo bởi d và Δ là

Nhận thấy tọa độ điểm A thỏa mãn phương trình ở phương án C nên phương án đúng là C.

Cách 2: Đường thẳng d và đường thẳng Δ có vectơ chỉ phương lần lượt là

của đường phân giác của góc nhọn tạo bởi d và Δ thì

Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án đúng.

Tọa độ của điểm A không thỏa mãn phương trình ở phương án B nên loại phương án này.

- Phương án A: Đường thẳng có vectơ chỉ phương

Câu 41:

Cho 10 cái thẻ, mỗi thẻ được viết một số nguyên dương thuộc đoạn $[1; 10]$ sao cho hai thẻ khác nhau được viết hai số khác nhau. Chọn ngẫu nhiên 3 thẻ và tính tích của ba số được ghi trên 3 thẻ. Tính xác suất để tích của ba số trên 3 thẻ được chọn là một số chia hết cho 3.

A. $\frac{17}{24}$

B. $\frac{7}{24}$

C. $\frac{13}{20}$

D. $\frac{7}{20}$

Xem đáp án

Chọn đáp án A.

Số phần tử của không gian mẫu là

Tích ba số không chia hết cho 3 khi và chỉ khi cả ba số đó đều không chia hết cho 3. Các thẻ được viết số không chia hết cho 3 bao gồm 7 thẻ mang số 1; 2; 4; 5; 7; 8; 10. Số cách lấy được 3 thẻ mà tích ba số viết trên ba thẻ không chia hết cho 3 là $C_{7}^{3} = 35$

Suy ra, số cách lấy được 3 thẻ mà tích ba số viết trên ba thẻ chia hết cho 3 là

Câu 42:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc với mặt phẳng $(A B C D)$ , góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng $(A B C D)$ bằng $60 °$ . Biết rằng thể tích khối chóp S.ABCD bằng $3 a^{3} \sqrt{2}$ , tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng SB và AC.

A. $d = \frac{3 a \sqrt{2}}{13}$

B. $\frac{a \sqrt{30}}{5}$

C. $\frac{3 a \sqrt{26}}{13}$

D. $\frac{a \sqrt{15}}{5}$

Xem đáp án

Chọn đáp án C.

Dựng hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' thì

Câu 43:

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục và có đạo hàm trên đoạn $[0; 4]$ và hàm số $y = f' (x)$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $f (0) < f (2) < f (4)$

B. $f (0) < f (4) < f (2)$

C. $f (4) < f (0) < f (2)$

D. $f (4) = f (2) < f (0)$

Xem đáp án

Chọn đáp án B.

+ Từ đồ thị, ta có diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = f' (x)$ và x = 0, x = 2 lớn hơn diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = f' (x)$ , y = 0 và x = 2, x = 4

STUDY TIP

1) Trong không gian, cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Khi đó, tồn tại đúng hai điểm

Câu 44:

Trong không gian Oxyz, cho các điểm $A (1; 0; 0), B (0; 2; 0), C (0; 0; - 1)$ . Biết rằng tồn tại duy nhất điểm $S (a; b; c)$ khác gốc tọa độ để SA, SB, SC đôi một vuông góc. Tính tổng bình phương giá trị của a, b và c.

A. $\frac{16}{9}$

B. $\frac{4}{81}$

C. $\frac{4}{9}$

D. $\frac{16}{81}$

Xem đáp án

Chọn đáp án A.

Gọi O' là điểm đối xứng với O qua mặt phẳng (ABC) thì O' chính là điểm S. Khi đó, dễ dàng tính được

Câu 45:

Xét các hình chóp S.ABCD thỏa mãn các điều kiện: đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với đáy và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng $(S B C)$ bằng a. Biết rằng thể tích khối chóp S.ABCD đạt giá trị nhỏ nhất $V_{0}$ khi cosin góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng $(A B C D)$ bằng , trong đó p, q là các số nguyên dương và phân số $\frac{p}{q}$ là tối giản. Tính $T = (p + q) V_{0}$ .

A. $T = 3 \sqrt{3} a^{3}$

B. $T = \sqrt{6} a^{3}$

C. $T = 2 \sqrt{3} a^{3}$

D. $T = \frac{5 \sqrt{3}}{2} a^{3}$

Xem đáp án

Chọn đáp án C.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB.

Câu 46:

Biết rằng tồn tại các số nguyên a, b sao cho hàm số $y = \frac{a x + b}{x^{2} + 1}$ đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất đều là các số nguyên và tập giá trị của hàm số đã cho chỉ có đúng 6 số nguyên. Giá trị của $a^{2} + 2 b^{2}$ bằng

A. 36

B. 34

C. 41

D. 25

Xem đáp án

Chọn đáp án B.

Bằng cách sử dụng điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình, chúng ta có: Khi a = 0 thì hàm số chỉ đạt giá trị lớn nhất (khi b < 0) hoặc chỉ đạt giá trị nhỏ nhất (khi b > 0). Còn khi

nên tập giá trị của hàm số đã cho chỉ có đúng 6 số nguyên khi và chỉ khi

Câu 47:

Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số a để đồ thị hàm số $y = x^{4} - 2 {(a^{2} - 2 a - 3)}^{2} x^{2} + 1$ có ba điểm cực trị và ba điểm cực trị đó tạo thành một tam giác có chu vi bằng $2 \sqrt{2} + 2$ . Số tập hợp con của tập hợp S là

A. 2

B. 8

C. 16

D. 4

Xem đáp án

Chọn đáp án C.

Tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là

Câu 48:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x - 2 y - 2 z = 0$ và điểm $A (2; 2; 0)$ . Viết phương trình mặt phẳng $(O A B)$ , biết rằng điểm B thuộc mặt cầu $(S)$ , có hoành độ dương và tam giác OAB đều.

A. $x - y + 2 z = 0$

B. $x - y - 2 z = 0$

C. $x - y - z = 0$

D. $x - y + z = 0$

Xem đáp án

Chọn đáp án C.

Câu 49:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm liên tục trên $ℝ$ , thỏa mãn các điều kiện $f (x) > 0, \forall x \in ℝ, f' (x) + 3 x (x - 2) f (x) = 0 \forall x \in ℝ$ , và $f (0) = 5$ . Giá trị của $f (2)$ bằng

A. $5 e^{4}$

B. $5 e^{- 12}$

C. $5 e^{6}$

D. $5 e^{16}$

Xem đáp án

Chọn đáp án A.