22 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Tích có hướng và ứng dụng

Câu 1:

Tích có hướng của hai véc tơ là:

A.một véc tơ

B.một số thực

C.một véc tơ khác $\vec 0$

D.một số thực khác 0

Xem đáp án

Tích có hướng của hai véc tơ là một véc tơ vuông góc với cả hai véc tơ.

Đáp án cần chọn là: A

Câu 2:

Cho hai véc tơ $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)$ và $\overrightarrow {{u_2}} = \left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)$ . Kí hiệu $\overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right],$ khi đó:

A. $\vec u = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{l}}{{y_2}}\\{{y_1}}\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{l}}{{z_2}}\\{{z_1}}\end{array}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{l}}{{z_2}}\\{{z_1}}\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{l}}{{x_2}}\\{{x_1}}\end{array}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{l}}{{x_2}}\\{{x_1}}\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{l}}{{y_2}}\\{{y_1}}\end{array}}\end{array}} \right|} \right)$

B. $\vec u = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1}}\\{{x_2}}\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{l}}{{y_1}}\\{{y_2}}\end{array}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{l}}{{y_1}}\\{{y_2}}\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{l}}{{z_1}}\\{{z_2}}\end{array}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{l}}{{z_1}}\\{{z_2}}\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1}}\\{{x_2}}\end{array}}\end{array}} \right|} \right)$

C. $\vec u = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{l}}{{y_1}}\\{{y_2}}\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{l}}{{z_1}}\\{{z_2}}\end{array}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{l}}{{z_1}}\\{{z_2}}\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1}}\\{{x_2}}\end{array}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1}}\\{{x_2}}\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{l}}{{y_1}}\\{{y_2}}\end{array}}\end{array}} \right|} \right)$

D. $\vec u = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{l}}{{z_1}}\\{{z_2}}\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1}}\\{{x_2}}\end{array}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1}}\\{{x_2}}\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{l}}{{y_1}}\\{{y_2}}\end{array}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{l}}{{y_1}}\\{{y_2}}\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{l}}{{z_1}}\\{{z_2}}\end{array}}\end{array}} \right|} \right)$

Xem đáp án

Công thức xác định tọa độ tích có hướng

$\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{l}}{{y_1}}\\{{y_2}}\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{l}}{{z_1}}\\{{z_2}}\end{array}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{l}}{{z_1}}\\{{z_2}}\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1}}\\{{x_2}}\end{array}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1}}\\{{x_2}}\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{l}}{{y_1}}\\{{y_2}}\end{array}}\end{array}} \right|} \right)$

$= \left( {{y_1}{z_2} - {y_2}{z_1};{z_1}{x_2} - {z_2}{x_1};{x_1}{y_2} - {x_2}{y_1}} \right)$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 3:

Tính tích có hướng của hai véc tơ $\vec u\left( {0;1; - 1} \right),\vec v\left( {1; - 1; - 1} \right)$

A. $\vec 0$

B. $\left( { - 2; - 1; - 1} \right)$

C. $\left( {2;1;1} \right)$

D. $\left( { - 1; - 2; - 1} \right)$

Xem đáp án

Ta có:

$\left[ {\vec u,\vec v} \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{l}}1\\{ - 1}\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{l}}{ - 1}\\{ - 1}\end{array}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{l}}{ - 1}\\{ - 1}\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{l}}0\\1\end{array}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{l}}0\\1\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{l}}1\\{ - 1}\end{array}}\end{array}} \right|} \right)$

$= \left( { - 1 - 1; - 1 - 0;0 - 1} \right) = \left( { - 2; - 1; - 1} \right)$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 4:

Cho hai véc tơ $\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}}$ khi đó:

A. $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left[ {\overrightarrow {{u_2}} ,\overrightarrow {{u_1}} } \right]$

B. $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = - \left[ {\overrightarrow {{u_2}} ,\overrightarrow {{u_1}} } \right]$

C. $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] - \left[ {\overrightarrow {{u_2}} ,\overrightarrow {{u_1}} } \right] = \vec 0$

D. $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] + \left[ {\overrightarrow {{u_2}} ,\overrightarrow {{u_1}} } \right] = 0$

Xem đáp án

Ta có:

$\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = - \left[ {\overrightarrow {{u_2}} ;\overrightarrow {{u_1}} } \right]$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 5:

Điều kiện để hai véc tơ $\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}}$ cùng phương là:

A. $\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} = 0$

B. $\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} = \vec 0$

C. $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \vec 0$

D. $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = 0$

Xem đáp án

Ta có:

$\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \vec 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {{u_1}}$ cùng phương

$\overrightarrow {{u_2}}$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 6:

Cho hai véc tơ $\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}}$ khác $\overrightarrow 0$ cùng phương. Điều kiện nào sau đây “không” đúng?

A. $\overrightarrow {{u_1}} = k\overrightarrow {{u_2}}$

B. $\overrightarrow {{u_2}} = k\overrightarrow {{u_1}}$

C. $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \vec 0$

D. $\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} = \vec 0$

Xem đáp án

Ta có: $\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}}$ cùng phương, khi đó $\overrightarrow {{u_1}} = k\overrightarrow {{u_2}}$ hoặc $\overrightarrow {{u_2}} = k\overrightarrow {{u_1}}$ hoặc $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \vec 0$

Tích vô hướng của hai vecto cùng phương là một số thực khác 0 nên đáp án D sai.

Do đó các đáp án A, B, C đúng.

Đáp án cần chọn là: D

Câu 7:

Hai véc tơ $\vec u = \left( {a;1;b} \right),\vec v = \left( { - 2;2;c} \right)$ cùng phương thì:

A.b=2c

B.c=2b

C.b=−2c

D.b=c

Xem đáp án

Ta có: $\overrightarrow u = k\overrightarrow v \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = - 2k}\\{1 = 2k}\\{b = kc}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{k = \frac{1}{2}}\\{a = - 1}\\{b = \frac{1}{2}c}\end{array} \Rightarrow c = 2b} \right.$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 8:

Cho hai véc tơ $\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}}$ chọn kết luận sai:

A. $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{u_1}} = 0$

B. $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{u_2}} = \vec 0$

C. $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{u_2}} = 0$

D. $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] \bot \overrightarrow {{u_1}}$

Xem đáp án

Vì tích có hướng của hai véc tơ vuông góc với cả hai véc tơ đó nên:

$\begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] \bot \overrightarrow {{u_1}} \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{u_1}} = 0}\\{\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] \bot \overrightarrow {{u_2}} \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{u_2}} = 0}\end{array}$

Do đó các đáp án A, C, D đúng.

Đáp án cần chọn là: B

Câu 9:

Cho ba véc tơ $\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} ,\overrightarrow {{u_3}}$ thỏa mãn $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{u_3}} = 0$ . Khi đó ba véc tơ đó:

A.đồng phẳng

B.đôi một vuông góc

C.cùng phương

D.cùng hướng

Xem đáp án

$\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{u_3}} = 0 \Leftrightarrow$ ba véc tơ $\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} ,\overrightarrow {{u_3}}$ đồng phẳng.

Đáp án cần chọn là: A

Câu 10:

Cho hai véc tơ $\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}}$ kí hiệu $\left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right)$ là góc hợp bởi hai véc tơ. Chọn mệnh đề đúng:

A. $\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right| = \left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|\sin \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right)$

B. $\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right| = \left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right)$

C. $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|\sin \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right)$

D. $\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right| = \left| {\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} } \right|\sin \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right)$

Xem đáp án

Ta có:

$\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right| = \left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|\sin \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right)$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 11:

Sin của góc giữa hai véc tơ $\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}}$ là:

A. $\sin \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}$

B. $\sin \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right) = \frac{{\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right]}}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}$

C. $\sin \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right) = \frac{{\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} }}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}$

D. $\sin \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}$

Xem đáp án

Ta có:

$\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right| = \left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|\sin \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right) \Rightarrow \sin \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 12:

Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(0;−2;3),B(1;0;−1). Tính sin góc hợp bởi hai véc tơ $\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB}$

A.1

B. $\sqrt {\frac{{19}}{{26}}}$

C. $\sqrt {\frac{1}{2}}$

D. $\sqrt {\frac{{17}}{{26}}}$

Xem đáp án

Ta có:

$\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {OA} = \left( {0; - 2;3} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {OA} } \right| = \sqrt {{0^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {3^2}} = \sqrt {13} }\\{\overrightarrow {OB} = \left( {1;0; - 1} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {OB} } \right| = \sqrt {{1^2} + {0^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} = \sqrt 2 }\end{array}$

Suy ra

$\left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{l}}{ - 2}\\0\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{l}}3\\{ - 1}\end{array}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{l}}3\\{ - 1}\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{l}}0\\1\end{array}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{l}}0\\1\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{l}}{ - 2}\\0\end{array}}\end{array}} \right|} \right) = \left( {2;3;2} \right)$

$\Rightarrow \left| {\left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right]} \right| = \sqrt {{2^2} + {3^2} + {2^2}} = \sqrt {17}$

Do đó

$\sin \left( {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {OA} } \right|.\left| {\overrightarrow {OB} } \right|}} = \frac{{\sqrt {17} }}{{\sqrt {13} .\sqrt 2 }} = \sqrt {\frac{{17}}{{26}}}$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 13:

Cho A,B,C là ba đỉnh của tam giác. Công thức tính diện tích tam giác ABC là:

A. ${S_{ABC}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right|$

B. ${S_{ABC}} = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right|$

C. ${S_{ABC}} = \frac{1}{4}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right|$

D. ${S_{ABC}} = \frac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right|$

Xem đáp án

Tam giác ABC có

${S_{ABC}} = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right|$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 14:

Diện tích tam giác OBC biết B(1;0;2),C(−2;0;0) là:

A. $\sqrt 5$

B.4

C. $2\sqrt 5$

D.2

Xem đáp án

Ta có: $\overrightarrow {OB} = \left( {1;0;2} \right),\overrightarrow {OC} = \left( { - 2;0;0} \right)$

$\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {OB} ,\overrightarrow {OC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{l}}0\\0\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{l}}2\\0\end{array}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{l}}2\\0\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{l}}1\\{ - 2}\end{array}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{l}}1\\{ - 2}\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{l}}0\\0\end{array}}\end{array}} \right|} \right) = \left( {0; - 4;0} \right)$

Do đó ${S_{OBC}} = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {OB} ,\overrightarrow {OC} } \right]} \right| = \frac{1}{2}\sqrt {0 + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {0^2}} = 2$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 15:

Công thức nào sau đây không sử dụng để tính diện tích hình bình hành ABCD?

A. ${S_{ABCD}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right]} \right|$

B. ${S_{ABCD}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right|$

C. ${S_{ABCD}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right]} \right|$

D. ${S_{ABCD}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } \right]} \right|$

Xem đáp án

Diện tích hình bình hành ${S_{ABCD}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right]} \right| = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right| = \left| {\left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right]} \right|$

Hai công thức sau có được từ việc suy luận diện tích hình bình hành ABCD bằng hai lần diện tích tam giác ABC hoặc tam giác DCB.

Chỉ có đáp án D là công thức sai.

Đáp án cần chọn là: D

Câu 16:

Diện tích hình bình hành ABCD có các điểm A(1;0;0),B(0;1;2),C(−1;0;0) là:

A. $\sqrt 5$

B. $2\sqrt 5$

C. $2\sqrt 6$

D. $2\sqrt 2$

Xem đáp án

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;1;2} \right),\overrightarrow {AC} = \left( { - 2;0;0} \right)$

$\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{l}}1\\0\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{l}}2\\0\end{array}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{l}}2\\0\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{l}}{ - 1}\\{ - 2}\end{array}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{l}}{ - 1}\\{ - 2}\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{l}}1\\0\end{array}}\end{array}} \right|} \right) = \left( {0; - 4;2} \right)$

Do đó diện tích hình bình hành ${S_{ABCD}}$ là:

${S_{ABCD}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right| = \sqrt {{0^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {2^2}} = 2\sqrt 5$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 17:

Thể tích khối tứ diện được tính theo công thức:

A. ${V_{ABCD}} = \frac{1}{3}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right|$

B. ${V_{ABCD}} = \frac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right].\overrightarrow {AD} } \right|$

C. ${V_{ABCD}} = \frac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right|$

D. ${V_{ABCD}} = \frac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right].\overrightarrow {AB} } \right|$

Xem đáp án

Công thức tính thể tích tứ diện ABCD là

${V_{ABCD}} = \frac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right|$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 18:

Trong không gian tọa độ Oxyz, tính thể tích khối tứ diện OBCD biết B(2;0;0),C(0;1;0),D(0;0;−3).

A.1

B.6

C.3

D.2

Xem đáp án

Ta có $\overrightarrow {OB} = \left( {2;0;0} \right),\overrightarrow {OC} = \left( {0;1;0} \right),\overrightarrow {OD} = \left( {0;0; - 3} \right)$

Do đó $\left[ {\overrightarrow {OB} ,\overrightarrow {OC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{l}}0\\1\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{l}}0\\0\end{array}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{l}}0\\0\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{l}}2\\0\end{array}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{l}}2\\0\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{l}}0\\1\end{array}}\end{array}} \right|} \right) = \left( {0;0;2} \right)$

Suy ra ${V_{OBCD}} = \frac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {OB} ,\overrightarrow {OC} } \right].\overrightarrow {OD} } \right| = \frac{1}{6}\left| {0.0 + 0.0 + 2.\left( { - 3} \right)} \right| = 1$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 19:

Công thức tính thể tích khối hộp $ABCD.A'B'C'D'$ là:

A. ${V_{ABCD.A'B'C'D'}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right].\overrightarrow {AA'}$

B. ${V_{ABCD.A'B'C'D'}} = \frac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right].\overrightarrow {AA'} } \right|$

C. ${V_{ABCD.A'B'C'D'}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right].\overrightarrow {AA'} } \right|$

D. ${V_{ABCD.A'B'C'D'}} = \frac{1}{3}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right].\overrightarrow {AA'} } \right|$ Trả lời:

Xem đáp án

Khối hộp

$ABCD.A'B'C'D'$ có thể tích

${V_{ABCD.A'B'C'D'}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right].\overrightarrow {AA'} } \right|$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 20:

Trong không gian Oxyz cho các điểm A(1;−1;0), B(−1;0;2), D(−2;1;1), A′(0;0;0). Thể tích khối hộp ABCD.A′B′C′D′ là:

A.4

B.2

C.1

D. $\frac{1}{6}$

Xem đáp án

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;1;2} \right),\overrightarrow {AD} = \left( { - 3;2;1} \right),\overrightarrow {AA'} = \left( { - 1;1;0} \right)$

Suy ra

$\begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{l}}1\\2\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{l}}2\\1\end{array}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{l}}2\\1\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{l}}{ - 2}\\{ - 3}\end{array}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{l}}{ - 2}\\{ - 3}\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{l}}1\\2\end{array}}\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 3; - 4; - 1} \right)}\\{ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right].\overrightarrow {AA'} = \left( { - 3} \right).\left( { - 1} \right) + \left( { - 4} \right).1 + \left( { - 1} \right).0 = - 1}\end{array}$

Khi đó: ${V_{ABCD.A'B'C'D'}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right].\overrightarrow {AA'} } \right| = \left| { - 1} \right| = 1$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 21:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;0;2), B(2;−1;3). Số điểm M thuộc trục Oy sao cho tam giác MAB có diện tích bằng $\frac{{\sqrt 6 }}{4}$ là:

A.1

B.Vô số

C.0

D.2

Xem đáp án

Gọi $M\left( {0;m;0} \right) \in Oy$

Ta có: $\overrightarrow {AM} = \left( { - 1;m; - 2} \right)$

$\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AM} ;\overrightarrow {AB} } \right] = \left( {m - 2; - 1;1 - m} \right)$

$\Rightarrow {S_{MAB}} = \frac{1}{2}\left[ {\overrightarrow {AM} ;\overrightarrow {AB} } \right]$

$= \frac{1}{2}{\sqrt {{{(m - 2)}^2} + {{( - 1)}^2} + (1 - m)2} ^{}}$

$= \frac{1}{2}\sqrt {2{m^2} - 6m + 6}$

$\Rightarrow \frac{1}{2}\sqrt {2{m^2} - 6m + 6} = \frac{{\sqrt 6 }}{4}$

$\Leftrightarrow 2\sqrt {2{m^2} - 6m + 6} = \sqrt 6$

$\Leftrightarrow 4(2{m^2} - 6m + 6) = 6$

$\Leftrightarrow 8{m^2} - 24m + 18 = 0$

$\Leftrightarrow 4{m^2} - 12m + 9 = 0$

$\Leftrightarrow {(2m - 3)^2} = 0$

$\Leftrightarrow m = \frac{3}{2}$

Vậy có 1 điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán là $M\left( {0;\frac{3}{2};0} \right)$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 22:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, véctơ nào dưới đây vuông góc với cả hai véctơ $\overrightarrow u = \left( { - 1;0;2} \right),\overrightarrow v = \left( {4;0; - 1} \right)$ ?

A. $\vec w = \left( {1;7;1} \right).$

B. $\vec w = \left( { - 1;7; - 1} \right).$

C. $\vec w = \left( {0;7;1} \right).$

D. $\vec w = \left( {0; - 1;0} \right).$

Xem đáp án

Ta có: $\left[ {\vec u;\vec v} \right] = \left( {0;7;0} \right)$

Dựa vào các đáp án ta thấy chỉ có vectơ $\vec w = \left( {0; - 1;0} \right)$ cùng phương với $\left[ {\vec u;\vec v} \right]$

Vậy $\vec w = \left( {0; - 1;0} \right)$ vuông góc với cả hai véctơ $\vec u = \left( { - 1;0;2} \right),\vec v = \left( {4;0; - 1} \right)$

Đáp án cần chọn là: D