Đáp án cần chọn là: A

Đáp án cần chọn là: A

Sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối ta có:

\[\sqrt 2 = |z - 2 - 2i| \ge |z| - | - 2 - 2i| = |z| - 2\sqrt 2 \Rightarrow |z| \le 3\sqrt 2 \]

Suy ra\[\max |z| = 3\sqrt 2 \]

Kiểm tra các đáp án đã cho chỉ có đáp án C thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: C

Sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối ta có

\[\left| {|z| - |3i|} \right| \le |z + 3i| \le \left| {|z| + |3i|} \right| \Leftrightarrow |2 - 3| \le |w| \le |2 + 3| \Leftrightarrow 1 \le |w| \le 5\]

Nhận thấy với\[z = - 2i\] thì \[\left| w \right| = 1\] và với\[z = 2i\] thì\[\left| w \right| = 5\] nên 1 và 5 là GTNN và GTLN của \[\left| w \right|\]

Đáp án cần chọn là: D

Đáp án cần chọn là: D

Đáp án cần chọn là: D

Theo bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối ta có

\[|z + 2 + i| = |(z - 1 - 2i) + (3 + 3i)| \ge ||z - 1 - 2i| - |3 + 3i|| = |4 - 3\sqrt 2 | = 3\sqrt 2 - 4 = m\]

\[|z + 2 + i| = |(z - 1 - 2i) + (3 + 3i)| \le |z - 1 - 2i| + |3 + 3i| = 4 + 3\sqrt 2 = M\]

Suy ra

\[{M^2} + {m^2} = {(3\sqrt 2 - 4)^2} + {(4 + 3\sqrt 2 )^2} = 2({4^2} + {(3\sqrt 2 )^2}) = 68\]

Đáp án cần chọn là: C

Đáp án cần chọn là: B

Giả sử\[z = a + bi\] theo giả thiết ta có

\[|a + bi + 3| + |a + bi - 3| = 10 \Leftrightarrow \sqrt {{{(a + 3)}^2} + {b^2}} + \sqrt {{{(a - 3)}^2} + {b^2}} = 10\]

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có

\[10 = \sqrt {{{(a + 3)}^2} + {b^2}} + \sqrt {{{(a - 3)}^2} + {b^2}} \le \sqrt {({1^2} + {1^2})[{{(a + 3)}^2} + {b^2} + {{(a - 3)}^2} + {b^2}]} \]

\[ = \sqrt {2.[2{a^2} + 2{b^2} + 18]} = 2\sqrt {{a^2} + {b^2} + 9} \]

Suy ra\[\sqrt {{a^2} + {b^2} + 9} \ge 5 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + 9 \ge 25 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} \ge 16\]

Do đó\[|z| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \ge 4\]

Đáp án cần chọn là: B

Đáp án cần chọn là: D

Đáp án cần chọn là: B

Có\[\frac{{ - 2 - 3i}}{{3 - 2i}} = - i\].Đặt\[z = x + yi\]thì

\[\frac{{ - 2 - 3i}}{{3 - 2i}}z + 1 = - i(x + yi) + 1 = (y + 1) - xi\]

Điều kiện đã cho trong bài được viết lại thành\[{(y + 1)^2} + {x^2} = 1\]

Điểm biểu diễn M(x,y) của z chạy trên đường tròn (*) có tâm I(0,−1), bán kính bằng 1.

Cần tìm điểm M(x,y) thuộc đường tròn này để OM lớn nhất.

Vì O nằm trên đường tròn nên OM lớn nhất khi OM là đường kính của (*) ⇔I là trung điểm của OM \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2{x_I}}\\{y = 2{y_I}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{y = - 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow M(0, - 2)\)

Suy ra\[z = - 2i \Leftrightarrow |z| = 2\]

Vậy \[\max \left| z \right| = 2\]Đáp án cần chọn là: C

Gọi\[z = x + yi\]

Khi đó\[z - 4 + 3i = \left( {x - 4} \right) + \left( {y + 3} \right)i\]

\[ \Rightarrow \left| {z - 4 + 3i} \right| = \left| {\left( {x - 4} \right) + \left( {y + 3} \right)i} \right| = 3 \Rightarrow {\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 9\]

Vậy quỹ tích các điểm M biểu diễn số phức z thuộc đường tròn tâm I(4;−3);R=3.

Đặt  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3sint + 4}\\{y = 3cost - 3}\end{array}} \right.\)\[ \Rightarrow {x^2} + {y^2} = {\left( {3\sin t + 4} \right)^2} + {\left( {3\cos t - 3} \right)^2}\]

\[ = 9{\sin ^2}t + 9{\cos ^2}t + 24\sin t - 18\cos t + 25 = 24\sin t - 18\cos t + 34\]

Mà \[24\sin t - 18\cos t \le \sqrt {\left( {{{24}^2} + {{18}^2}} \right)\left( {{{\sin }^2}t + {{\cos }^2}t} \right)} = 30\] (theo bunhiacopxki)

\[ \Rightarrow {x^2} + {y^2} \le 30 + 34 = 64 \Rightarrow \sqrt {{x^2} + {y^2}} \le 8 \Rightarrow \left| z \right| \le 8\]

Đáp án cần chọn là: D

Đáp án cần chọn là: D

Cách 1: Dùng phương pháp hình học →→ Kỹ năng dồn số phức.

\[P = \left| {z + i\,{\rm{\bar w}} - 6 - 8i} \right| = \left| {\left( {z - 6 - 8i} \right) - \left( { - i\bar w} \right)} \right| = \left| {u - v} \right|\]

Trong đó:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = z - 6 - 8i}\\{v = - i\overline {\rm{w}} }\end{array}} \right.\) u có điểm biểu diễn là A, v có điểm biểu diễn là B.

\[ \Rightarrow P = \left| {u - v} \right| = AB \Rightarrow \]Cần đạt Min.

\[\left| z \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {\left( {z - 6 - 8i} \right) + 6 + 8i} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {u + 6 + 8i} \right| = 1\]

⇒ Tập hợp điểm A biểu diễn số phức uu là đường tròn: \[\left( {{C_1}} \right):\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{I( - 6; - 8)}\\{{R_1} = 1}\end{array}} \right.\]

\[\left| w \right| = 2 \Leftrightarrow \left| {\bar w} \right| = 2 \Leftrightarrow \left| { - i} \right|.\left| {\bar w} \right| = \left| { - i} \right|.2 \Rightarrow \left| { - i\bar w} \right| = 2 \Leftrightarrow \left| v \right| = 2\]

⇒ Tập hợp điểm B biểu diễn số phức v là đường tròn\[\;({C_2}):\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{O(0;0)}\\{{R_2} = 2}\end{array}} \right.\]

Có\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{IA = {R_1} = 1}\\{OB = {R_2} = 2}\\{OI = 10}\end{array}} \right.\)

\[ \Rightarrow A{B_{\min }} = IO - {R_1} - {R_2} = 10 - 1 - 2 = 7\]

Min đạt được khi:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {OA} = \frac{9}{{10}}\overrightarrow {OI} \Rightarrow A\left( {\frac{{ - 27}}{5};\frac{{ - 36}}{5}} \right) \Rightarrow u = - \frac{{27}}{5} - \frac{{36}}{5}i}\\{\overrightarrow {OB} = \frac{1}{5}\overrightarrow {OI} \Rightarrow B\left( {\frac{{ - 6}}{5};\frac{{ - 8}}{5}} \right) \Rightarrow v = - \frac{6}{5} - \frac{8}{5}i}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{z = u + 6 + 8i = \frac{3}{5} + \frac{4}{5}i}\\{ - i\overline {\rm{w}} = v \Rightarrow \overline {\rm{w}} = \frac{v}{{ - i}} = \frac{{ - \frac{6}{5} - \frac{8}{5}i}}{{ - i + \frac{6}{5}i}} = \frac{8}{5} - \frac{6}{5}i \Rightarrow {\rm{w}} = \frac{8}{5}}\end{array}} \right.\)

\[ \Rightarrow \left| {z - w} \right| = \left| {\left( {\frac{3}{5} + \frac{4}{5}i} \right) - \left( {\frac{8}{5} + \frac{6}{5}i} \right)} \right| = \frac{{\sqrt {29} }}{5}\]

Cách 2: Phương pháp dùng BĐT vectơ

Ta có BĐT cho 3 vectơ\[\vec a,\,\,\vec b,\,\,\vec c\]thì\[\left| {\vec a + \vec b + \vec c} \right| \ge \left| {\vec a} \right| - \left| {\vec b} \right| - \left| {\vec c} \right|\]

Dấu “=” xảy ra ⇔\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| {\overrightarrow a } \right| \ge \left| {\overrightarrow b } \right| + \left| {\overrightarrow c } \right|}\\{\overrightarrow a = k\overrightarrow b }\\{\overrightarrow a = m\overrightarrow c }\end{array}} \right.(k;m < 0)\)

* Đặt\[P = \left| {z + i\,{\rm{\bar w}} - 6 - 8i} \right| = \left| {\underbrace {\left( { - 6 - 8i} \right)}_{ = \overrightarrow a } + \underbrace z_{ = \overrightarrow b } + \underbrace {i\overline {\rm{w}} }_{ = \overrightarrow c }} \right|\]

Đặt\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{( - 6 - 8i) \Leftrightarrow \overrightarrow a ( - 6; - 8) \Rightarrow \left| {\overrightarrow a } \right| = 10}\\{z \Leftrightarrow \overrightarrow b \Rightarrow \left| {\overrightarrow b } \right| = 1}\\{i\overline {\rm{w}} \Leftrightarrow \overrightarrow c \Rightarrow \left| {\overrightarrow c } \right| = \left| {i\overline {\rm{w}} } \right| = \left| {\rm{w}} \right| = 2}\end{array}} \right.\)

\[ \Rightarrow P = \left| {\vec a + \vec b + \vec c} \right| \ge \left| {\vec a} \right| - \left| {\vec b} \right| - \left| {\vec c} \right| = 10 - 1 - 2 = 7\]

\[ \Rightarrow {P_{\min }} = 7\]đạt Min khi\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| {\overrightarrow a } \right| \ge \left| {\overrightarrow b } \right| + \left| {\overrightarrow c } \right|(dung\,do10 > 1 + 2)}\\{\overrightarrow a = - 10\overrightarrow b \Leftrightarrow \overrightarrow b = - \frac{1}{{10}}\overrightarrow a = \left( {\frac{3}{5};\frac{4}{5}} \right)}\\{\overrightarrow a = - 5\overrightarrow c \Leftrightarrow \overrightarrow c = - \frac{1}{5}\overrightarrow a = \left( {\frac{6}{5};\frac{8}{5}} \right)}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{z = \frac{3}{5} + \frac{4}{5}i}\\{i\overline {\rm{w}} = \frac{6}{5} + \frac{8}{5}i \Leftrightarrow {\rm{w}} = \frac{8}{5} + \frac{6}{5}i}\end{array}} \right.\)

\[ \Rightarrow \left| {z - w} \right| = \left| {\left( {\frac{3}{5} + \frac{4}{5}i} \right) - \left( {\frac{8}{5} + \frac{6}{5}i} \right)} \right| = \frac{{\sqrt {29} }}{5}\]

Đáp án cần chọn là: D