Thứ sáu, 29/03/2024
IMG-LOGO
Trang chủ Đánh giá năng lực ĐH Bách Khoa Mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp

Mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp

Mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp

  • 819 lượt thi

  • 33 câu hỏi

  • 60 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Khối cầu thể tích V thì bán kính là:

Xem đáp án

Ta có: thể tích khối cầu  V=43πR3R=3V4π3

Đáp án cần chọn là: D


Câu 2:

Công thức tính diện tích mặt cầu là:

Xem đáp án

Công thức tính diện tích mặt cầu S=4πR2

Đáp án cần chọn là: B


Câu 3:

Công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy là:

Xem đáp án

Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy nội tiếp mặt cầu có bán kính R=r2+h24

với r là bán kính đường tròn đáy, h là chiều cao hình chóp (độ dài cạnh bên vuông góc với đáy).

Đáp án cần chọn là: A


Câu 4:

Cho một mặt cầu bán kính bằng 1. Xét các hình chóp tam giác đều ngoại tiếp mặt cầu trên. Hỏi thể tích nhỏ nhất của chúng bằng bao nhiêu?

Xem đáp án

Áp dụng các công thức trong tứ diện đều cạnh aa

Bán kính mặt cầu nội tiếp r=a612=1a=26

Thể tích tứ diện đều đó là V=a3212=83

Đáp án cần chọn là: B


Câu 5:

Cho một lập phương có cạnh bằng a. Tính diện tích mặt cầu nội tiếp hình lập phương đó

Xem đáp án

Mặt cầu nội tiếp hình lập phương cạnh a có bán kính bằng a2

Diện tích mặt cầu đó là S=4πR2=4πa22=πa2

Đáp án cần chọn là: B


Câu 6:

Cho khối cầu có bán kính R = 6. Thể tích của khối cầu bằng
Xem đáp án

Thể tích của khối cầu bằng V=43πR3=43π.63=288π

Đáp án cần chọn là: C


Câu 7:

Cho hình chóp tam giác S.ABC có SAC^=SBC^=900. Khi đó tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp nằm trên đường thẳng nào?

Xem đáp án

Ta thấy: SAC^=SBC^=900nên các đỉnh A,B luôn nhìn cạnh SC một góc 900. Do đó tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là trung điểm SC.

Đáp án cần chọn là: C


Câu 8:

Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên b. Công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp là:

Xem đáp án

Media VietJack

Ta có: ABCD là hình vuông cạnh a nên AC=a2OA=AC2=a22

Tam giác SOC vuông tại O nên SC2=SO2+OC2h=SO=SC2OC2=b2a22

Vậy R=b22h=b22b2a22

Đáp án cần chọn là: A


Câu 9:

Ba đoạn thẳng SA, SB, SC đôi một vuông góc tạo với nhau thành một tứ diện SABC với SA = a, SB = 2a, SC = 3a . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình tứ diện đó là

Xem đáp án

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện vuông S.ABC được tính theo công thức

R=SA2+SB2+SC24=a2+2a2+3a22=a142

Đáp án cần chọn là: C


Câu 10:

Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC)  và có SA = a, AB = b, AC = c. Mặt cầu đi qua các đỉnh A,B,C,S có bán kính r bằng :

Xem đáp án

Vì SA(ABC)SAABSAAC

Mà  ABAC nên hình chóp S.ABC là tứ diện vuông.

Áp dụng công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện vuông ta được

R=a2+b2+c24=a2+b2+c22

Đáp án cần chọn là: C


Câu 11:

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh a. Một mặt cầu tiếp xúc với các mặt của tứ diện có bán kính là:

Xem đáp án

Media VietJack

Gọi H là tâm tam giác đều BCD,E là trung điểm CD

Ta có AHBCD
Gọi I, r là tâm và bán kính mặt cầu tiếp xúc với các mặt của tứ diện ABCD thì I là giao của AH và phân giác góc AEB của ΔAEB. Ta có

AE=BE=a32;HE=BE3=a36AH=AE2HE2=a63

Áp dụng tính chất đường phân giác:

IHIA=EHEAIHIH+IA=EHEH+EAr=IH=EH.AHEH+EA=a612

Đáp án cần chọn là: A


Câu 12:

Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông cân đỉnh A, AB = AC = a, AA’ =a2. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện  CA′B′C′ là:

Xem đáp án

Media VietJack

Ta có:

A'B'=AB=aB'C'=A'B'2+A'C'2=a2+a2=a2B'C=B'C'2+C'C2=2a2+2a2=2aA'C=A'C'2+C'C2=a2+2a2=a3A'B'2+A'C2=a2+3a2=4a2=B'C2

ΔA'B'C vuông tại AA′.

Gọi I là trung điểm của B′C thì IB′ = IC = IA′

ΔCC'B'  vuông tại C′ nên  IB′ = IC = IC′

Vậy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện CA′B′C′ và bán kính R=12B'C=a

S=4πR2=4πa2

Đáp án cần chọn là: B

 


Câu 15:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 1, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.

Xem đáp án

Media VietJack

Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm AB, tâm đường tròn ngoại tiếp ΔSAB, tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và tâm đường tròn ngoại tiếp \ΔABCMNPQ  là hình vuông suy ra

PN=MQ=13.32=36;NB=23.32=33

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp là R=PB=PN2+NB2=156

Thể tích V=43πR3=515π54
Đáp án cần chọn là: B


Câu 16:

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh SA=2a33 . Gọi D là điểm đối xứng của B qua C. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABD 

Xem đáp án

Do D đối xứng với C qua B nên có BC=DC=AC suy ra tam giác ABD là tam giác vuông tại A.

Kẻ đường thẳng d qua C vuông góc với đáy, đường thẳng này là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy ABD .

Tam giác SAB cân tại S , gọi M là trung điểm AB,H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB

HSM;SM=SA2AM2=a1323

SH=AB.SA.SB4.SSAB=2a32.a4.12.a.AM=4a39

Trong (SAC) dựng HISMId(1)

Mà ABSMABMCAB(SMC)ABHI(2)

Từ (1), (2) suy ra HISAB , suy ra I là tâm đường tròn ngoại tiếp hình chóp S.ABD

Gọi Q=MSCI, xét tam giác SCM có

SMQM=MGMC=13QM=3SM=3.a1323=a392

QH=QMMS+HS=a392a1323+4a39=17a39

QC=QM2MC2=3a

Xét: ΔQHI~ΔQCMHICM=HQQCHI=HQ.CMQC=17a613

R=SI=HI2+HS2=a176132+4a392=a376

Media VietJack

Đáp án cần chọn là: C


Câu 17:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a, SA(ABCD)  và SA = 2a. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Xem đáp án

Gọi O là tâm hình chữ nhật ABCD,M và I lần lượt là trung điểm SA,SCAOIM là hình chữ nhật.

Ta có O là tâm đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD,OI(ABCD)  nên OI là trục đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD

IMSAIM là trung trực SA trong mặt phẳng (SAC)

I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Có OI=AM=SA2=a;OC=AC2=12AB2+AD2=a52

Bán kính và thể tích mặt cầu lần lượt là

R=IC=IO2+OC2=3a2V=43πR3=9πa32

Media VietJack

Đáp án cần chọn là: B


Câu 18:

Cho hình chóp S.ABC có SA(ABC);AC=b,AB=c,BAC^=α. Gọi B′,C′ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB,SC. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp A.BCC′B′ theo b,c,α

Xem đáp án

Media VietJack

Gọi AA′  là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

ACA'C;ABA'B

Ta chứng minh  AC'A'C'

SAA'C;ACA'CA'CAC'

Mà AC'SCAC'A'C'

Tương tự AB'A'B'

Như vậy B,C,C′,B′ cùng nhìn AA′  bằng 1  góc vuông nên A,B,C,B′,C′ cùng thuộc 1  mặt cầu có đường kính là AA′  và cũng đồng thời là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Tính BC=b2+c22bcosα

Trong tam giác ABC:BCsinA=2RR=b2+c22bccosα2sinα
Đáp án cần chọn là: C


Câu 19:

Cho tứ diện ABCD có AB = a;AC = BC = AD = BD =a32. Gọi M,N là trung điểm của AB,CD. Góc giữa hai mặt phẳng (ABD);(ABC) là α . Tính cosα biết mặt cầu đường kính MN tiếp xúc với cạnh AD.

Xem đáp án

Media VietJack

Xét các tam giác ACB, ADB lần lượt cân tại C và D nên CMAB,DMAB

Ta có : (ABC)(ABD)=ABCMAB,CM(ABC)DMAB,DM(ABD)ABC;ABD=CM;DM

Tam giác ACM vuông tại M nên theo Pitago ta có :

CM2=AC2AM2CM=AC2AM2=a322a22=a22

Tương tự DM=a22

Gọi K là hình chiếu của I lên AD ta có :

Mặt cầu đường kính MN tiếp xúc với AD nên IK=IM=IN,IKAD.

Xét tam giác AMI và AKI có :

AMI^=AKI^=900;AIchung;IM=IKcmt;

Do đó ΔAMI=ΔAKI (cạnh huyền – cạnh góc vuông) AK=AM=a2 (cạnh tương ứng).

Tương tự : ΔDNI=ΔDKI (cạnh huyền – cạnh  góc vuông)

DN=DK=ADAK=a32a2=a312DC=2DN=2.a312=a31

Áp dụng định lý cô sin trong tam giác MCD có :

cosCMD^=MC2+MD2CD22MC.MD                    =a222+a222a3122.a22.a22                    =233>0cosα=cosCMD^=233

Đáp án cần chọn là: B


Câu 20:

Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC), tam giác ABC vuông tại BB có cạnh AB=3, BC=4 và góc giữa DC và mặt phẳng (ABC) bằng 450. Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.

Xem đáp án

Media VietJack

Ta có : BCBABCDABC(ABD)BCBDΔBCD vuông tại B.

Gọi I là trung điểm của CD thì IB=IC=ID=12CD

Tam giác ACD vuông tại A nên IA=IC=ID=12CD

Do đó IA=IB=IC=IDI  là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCDABCD.

Tam giác ABC vuông tại B nên AC=AB2+BC2=32+42=5 (Định lí Pytago).

DAABC nên ACAC là hình chiếu của DCDC lên (ABC).
DC;ABC=DC;AC=DCA=450

Tam giác DAC vuông tại A có DCA^=450 nên là tam giác vuông cân

DC=AC2=52
R=IA=12DC=522

Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là :V=43πIA3=43π.5223=12523π

Đáp án cần chọn là: C


Câu 21:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 22. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 3. Mặt phẳng qua A và vuông góc với SC cắt cạnh SB,SC,SD lần lượt tại M,N,P. Thể tích V của khối cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP.

Xem đáp án

Media VietJack

Ta có BCABBCSABC(SAB)BCAM

AMBCAMSCAM(SBC)AMMC

AMC=900 hay điểm M thuộc mặt cầu đường kính AC.

Chứng minh tương tự ta có APSCDAPPCAPC=900 hay P  thuộc mặt cầu đường kính AC.

Lại có ANSCANC=900 hay N  thuộc mặt cầu đường kính AC.

Do đó CMNP nội tiếp khối cầu đường kính AC hay khối cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP có bán kính R=12AC=12.22.2=2

Vậy thể tích khối cầu cần tìm là: V=43πR3=43π.23=32π3
Đáp án cần chọn là: A


Câu 22:

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ AA =2a, BC = aGọi M là trung điểm BB’. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp M.A’B’C’ bằng:

Xem đáp án

Media VietJack

Gọi O,O′ lần lượt là tâm tam giác đều ABC và A’B’C’, khi đó ta có OO’ là trục của (A’B’C’).

Gọi N là trung điểm của B’M, E là trung điểm của A’C’.

Qua N kẻ NI // BEIOO'  ta có:

B'EBB'NIB'ENIBB'IM=IB'

Lại có IOO' nên IA'=IB'=IC'
Do đó ta có IA'=IB'=IC'=IM nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp M.A’B’C’, bán kính R=IB'

Ta có:NIB'O'B'NO'I nên O’B’NI là hình bình hành

O'I=B'N=12B'M=14BB'=a2

Tam giác A’B’C’ đều cạnh a nên B'E=a32B'O=23B'E=a33

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông O’B’I có:

IB'=O'I2+B'O'2=a22+a332=a216

Đáp án cần chọn là: C


Câu 23:

Cho mặt cầu (S) tâm O và các điểm ABC nằm trên mặt cầu (S) sao cho AB = 3AC = 4BC = 5 và khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) bằng 1. Thể tích của khối cầu (S) bằng

Xem đáp án

Media VietJack

Tam giác ABC có:

AB2+AC2=32+42=25BC2=52=25AB2+AC2=BC2ΔABC vuông tại (Định lí Pytago đảo).

Gọi H là trung điểm của BC khi đó H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, suy ra

HA=HB=HC=12BC=52.

Mà OA=OB=OCOHABCdO;ABC=OH=1.

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông OBH có:

R=OB=OH2+HB2=1+522=292.

Vậy thể tích khối cầu cần tìm là:  V=43πR3=29296π.

Đáp án cần chọn là: C


Câu 24:

Cho hai khối cầu (S1),(S2) có cùng bán kính 2 thỏa mãn tính chất: tâm của (S1) thuộc (S2) và ngược lại. Tính thể tích phần chung V của hai khối cầu tạo bởi (S1) và (S2).
Xem đáp án

Media VietJack

Gọi O1,O2 lần lượt là tâm mặt cầu (S1),(S2). Hai mặt cầu này cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn (C) có tâm I.

Gọi A, B là một đường kính của đường tròn giao tuyến như hình vẽ, ta có AB là trung trực của O1O2, do đó I là trung điểm của O1O2IO1=IO2=12O1O2=R2=1
Thể tích phần chung chính là tổng thể tích của hai khối chỏm cầu bằng nhau có bán kính R = 2, chiều cao h=R2=1
Vậy V=2.πh2Rh3=2π.12213=10π3

Đáp án cần chọn là: A


Câu 25:

Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có chiều cao bằng 4, đáy ABC là tam giác cân tại A với AB = AC = 2; BAC=1200. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ trên.

Xem đáp án

Media VietJack

Gọi M là trung điểm của BC, H là điểm đối xứng với A qua M.

Xét tứ giác ABHC có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường và

AMBCAHBC  (do tam giác ABC cân tại A) nên ABHC là hình thoi HB=HC

Xét tam giác ABH có AB = BH, BAH=12BAC=600 nên là tam giác đều, do đó HA = HB.

Suy ra HA = HB = HC hay H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Gọi H’ là hình chiếu của A lên (A’B’C’) thì H’ chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A’B’C’, khi đó HH’ là trục của khối lăng trụ đứng.

Gọi I là trung điểm của HH’, ta có IA = IB = IC, IA’ = IB’ = IC’.

Xét tam giác vuông AHI và tam giác vuông A’H’I có: HI = H’I (theo cách dựng), AH = A’H’.

ΔAHI=ΔA'H'I (2 cạnh góc vuông) =>IA = IA′. Do đó A = IB = IC = IA’ = IB’ = IC’ hay I chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’.

Ta có AH = AB = 2 (do ABHC là hình thoi) và HH’ = AA’ = 4 nên IH = 2.

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông AHI có:

AI=AH2+HI2=22+22=22

Suy ra bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ là R=22

Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ là: Smc=4πR2=4π.222=32π

Đáp án cần chọn là: C


Câu 26:

Một thùng rượu vang có dạng hình tròn xoay có hai đáy là hai hình tròn bằng nhau, khoảng cách giữa hai đáy bằng 80(cm). Đường sinh của mặt xung quanh thùng là một phần đường tròn có bán kính 60(cm)(tham khảo hình minh họa bên). Hỏi thùng đó có thể đựng bao nhiêu lít rượu?(làm tròn đến hàng đơn vị)

Media VietJack

Xem đáp án

Media VietJack

Ta có đường kính mặt cầu là 60.2=120(cm).

Mà khoảng cách giữa hai đáy của thùng rượu là 80cm

Nên chiều cao chỏm cầu là h=120802=20  cm.
Thế tích của 1 chỏm cầu chiều cao h = 20 và bán kính 60cm

Vcc=πh2Rh3=π.20260203=640003π  cm3=64π3  l

Thể tích của cả khối cầu bán kính 60 cm là V=43πr3=43π.603=288000π  cm3=288π  l

Khi đó thể tích thùng rượu là V'=V2Vcc=7363π  l771  l.

Đáp án cần chọn là: A


Câu 27:

Cho một hình hộp chữ nhật kích thước 4×4×h  chứa một khối cầu lớn có bán kính bằng 2 và 8 khối cầu nhỏ có bán kính bằng 1. Biết rằng các khối cầu đều tiếp xúc với nhau và tiếp xúc với các mặt của hình hộp (tham khảo hình vẽ). Thể tích của khối hộp bằng

Media VietJack

Xem đáp án

Media VietJack

Bước 1: Gọi tâm của quả cầu lớn là S, tâm của các quả cầu nhỏ lần lượt là A,B,C,D. Khi đó 5 điểm S,A,B,C,D.

Gọi tâm của quả cầu lớn là S, tâm của các quả cầu nhỏ lần lượt là A,B,C,D. Khi đó 5 điểm S,A,B,C,D tạo thành 1 khối chóp tứ giác đều, có cạnh đáy bằng 2 , cạnh bên bằng 3

Ta có BO=12BD=2;SO=SB2BO2=7

Bước 2: Chiều cao của hình hộp h=2.SO+2.1

Khi đó, chiều cao của hình hộp là: h=2SO+2.1=27+2

Vậy thể tích của khối hộp là: V=4.4.h=327+32


Câu 28:

Cho hình chóp đều nn cạnh (n ≥ 3)). Cho biết bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy là R và góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 600 , thể tích khối chóp bằng 334R3. Tìm n?

Xem đáp án

Giả sử đáy là đa giác đều A1A2...AnO là tâm đáy, chóp có chiều cao là SH . Gọi I là trung điểm của A1A2

Ta có : IA1=R.sinπn;OI=R.cosπn

SO=OI.tan600=R.cosπn.3=R3.cosπn

Diện tích đáy : S=3VSO=3.334.R3R3.cosπn=9R24cosπn

Mà S=n.12R2.sin2πn9R24cosπn=n.12.R2.sin2πn

nsin2πncosπn=92

Thử các giá trị của nn ở các đáp án ta được n = 6.

Đáp án cần chọn là: D


Câu 29:

Cho ba hình cầu có bán kính lần lượt là R1,R2,R3 đôi một tiếp xúc nhau và cùng tiếp xúc với mặt phẳng (P). Các tiếp điểm của ba hình cầu với mặt phẳng (P) lập thành một tam giác có độ dài cạnh lần lượt là 2, 3, 4. Tính tổng R1+R2+R3:

Xem đáp án

Media VietJack

Gọi I1,I2,I3 là tâm của các hình cầu, M,N,P là các tiếp điểm của các hình cầu (như hình vẽ), H,K,F là tiếp  ba hình cầu với mặt phẳng (P) (như hình vẽ).

Xét mặt phẳng (I1I2KH), có:

HK=I1I22I2KI1H2         =R1+R22R1R22        =4R1R2=2R1R2=1

Tương tự, R1R3=94,R2R3=4

R1R2R3=1.94.4=3R1=34R2=43R3=3

Vậy R1+R2+R3=34+43+3=6112

Đáp án cần chọn là: D


Câu 30:

Có 4 viên bi hình cầu bán kính bằng 1cm. Người ta đặt 3 viên bi tiếp xúc nhau và cùng tiếp xúc với mặt bàn. Sau đó đai 3 viên bi đó lại và đặt 1 viên bi thứ 4 tiếp xúc vởi cả 3 viên bi trên như hình vẽ bên dưới. Gọi O là điểm thuộc bề mặt của viên bi thứ 4 có khoảng cách đến mặt bàn là lớn nhất. Khoảng cách từ O đến mặt bàn bằng

Media VietJack

Xem đáp án

Tứ diện đều ABCD có cạnh đều bằng 2 (do BC=BM+MC=1+1=2)

Tam giác ACD đều, cạnh bằng 2 => Chiều cao AN=2.32=3

Tam giác BCD đều, cạnh bằng 2I là trọng tâm IN=13BN=13.3=33

Tam giác AIN vuông tại I, theo Pytago ta có:

AI=AN2IN2=32332=83=243=263

Vậy, khoảng cách từ O đến mặt bàn bằng OJ=OA+AI+IJ=1+263+1=6+263

Đáp án cần chọn là: B


Câu 31:

Hai quả bóng hình cầu có kích thước khác nhau được đặt ở hai góc của một căn nhà hình hộp chữ nhật sao cho mỗi quả bóng đều tiếp xúc với hai bức tường và nền của nhà đó. Biết rằng trên bề mặt của quả bóng đều tồn tại một điểm có khoảng cách đến hai bức tường và nền nhà mà nó tiếp xúc bằng 1,2,4. Tổng độ dài đường kính của hai quả bóng đó.
Xem đáp án

Media VietJack

Xét quả bóng tiếp xúc với các bức tường và chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ bên (tương tự với góc tường còn lại).

Gọi I(a;a;a) là tâm của mặt cầu (tâm quả bóng) và R=a.

 phương trình mặt cầu của quả bóng là

S:xa2+ya2+za2=a2          1.

Giả sử M(x;y;z) nằm trên mặt cầu (bề mặt của quả bóng) sao cho

dM;Oxy=1,  dM;Oyz=2,  dM;Oxz=3

Khi đó z=1;  x=2;  y=3    M2;3;1S               2.

Từ (1),(2) suy ra 1a2+2a2+4a2=a2

R1=a1=772R2=a2=7+72d1+d2=2(R1+R2)=14
Đáp án cần chọn là: B


Câu 32:

Người ta thả một viên billiards snooker có dạng hình cầu với bán kính nhỏ hơn 4,5cm vào một chiếc cốc hình trụ đang chứa nước thì viên billiards đó tiếp xúc với đáy cốc và tiếp xúc với mặt nước sau khi dâng (tham khảo hình vẽ bên). Biết rằng bán kính của phần trong đáy cốc bằng 5,4cm và chiều cao của mực nước ban đầu trong cốc bằng 4,5cm. Bán kính của viên billiards đó bằng

Media VietJack

Xem đáp án

Thể tích mực nước ban đầu là: V1=πr12h1=π.5,42.4,5

Gọi R là bán kính của viên bi ta có sau khi thả viên bi vào cốc, chiều cao của mực nước bằng 2R, do đó tổng thể tích của nước và bi sau khi thả viên bi vào trong cốc là:

V=πr12.2R=π.5,42.2R

Thể tích của quả cầu là: VC=43πR3

Ta có: V=V1+V25,42.4,5+43R3=5,42.2R

Giải phương trình trên với điều kiện R<4,5R=2,7cm.

Đáp án cần chọn là: D


Câu 33:

Một hộp đựng phấn hình hộp chữ nhật có chiều dài 30cm, chiều rộng 5cm và chiều cao 6cm. Người ta xếp thẳng đứng vào đó các viên phấn giống nhau, mỗi viên phấn là khối trụ có chiều cao h=6cm và bán kính đáy r=12cm. Hỏi có thể xếp được tối đa bao nhiêu viên phấn.

Xem đáp án

Đường kính đường tròn đáy của một viên phấn là d=2r=2.12=1(cm)

Chiều rộng của hộp là 5cm Xếp được tối đa 5 viên phấn theo chiều rộng.

Chiều dài của hộp là 30cm Xếp được tối đa 30 viên phấn theo chiều dài.

Như vây, có thể xếp được tối đa 5×30=150 viên phấn vào hộp.

Đáp án cần chọn là: A


Bắt đầu thi ngay