15 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Elip

Câu 1:

Elip (E) có độ dài trục bé bằng tiêu cự. Tâm sai của (E) là:

A. $\frac{1}{\sqrt{2}}$

B. $\frac{2}{\sqrt{2}}$

C. $\frac{1}{3}$

D. 1

Xem đáp án

Elip có độ dài trục bé bằng tiêu cự nên ta có b=c

Mặt khác ta có $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ suy ra $a^{2} = 2 c^{2}$ hay $a = \sqrt{2} c$

Tâm sai của elip là: $e = \frac{c}{a} = \frac{c}{\sqrt{2} c} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 2:

Cho elip $(E) : \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ và cho các mệnh đề:

1. (E) có các tiêu điểm F1(0;−4) và F2(0;4)

2. (E) có tỉ số $\frac{c}{a} = \frac{4}{5}$

3. (E) có đỉnh A1(−5;0)

4. (E) có độ dài trục nhỏ bằng 3.

Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề trên:

A.1 và 2

B.2 và 3

C.1 và 3

D.4 và 1

Xem đáp án

Từ phương trình elip $(E) : \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ ta có $\{\begin{matrix} a = 5 \\ b = 3 \\ c = \sqrt{a^{2} - b^{2}} = 4 \end{matrix}$

Suy ra ta có:

1. (E) có các tiêu điểm $F_{1} (- 4; 0)$ và $F_{2} (4; 0)$ nên (1) sai.

2. (E) có tỉ số $\frac{c}{a} = \frac{4}{5}$ nên (2) đúng.

3. (E) có đỉnh $A_{1} (- 5; 0)$ nên (3) đúng.

4. (E) có độ dài trục nhỏ bằng 2b=6 nên (4) sai.

Vậy các mệnh đề sai là (1) và (4).

Đáp án cần chọn là: D

Câu 3:

Elip có độ dài trục lớn là 12, độ dài trục nhỏ là 8 có phương trình chính tắc là:

A. $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{16} = 1$

B. $\frac{x^{2}}{144} + \frac{y^{2}}{64} = 1$

C. $\frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{8} = 1$

D. $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{36} = 1$

Xem đáp án

Độ dài trục lớn là 12, suy ra 2a=12 hay a=6

Độ dài trục nhỏ là 8, suy ra 2b=8 hay b=4

Vậy elip cần tìm là $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{16} = 1$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 4:

Phương trình chính tắc của elip có hai đỉnh là A(5;0) và B(0;3) là:

A. $\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{3} = 1$

B. $\frac{x^{2}}{100} + \frac{y^{2}}{36} = 1$

C. $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$

D. $\frac{x^{2}}{10} + \frac{y^{2}}{6} = 1$

Xem đáp án

Elip có hai đỉnh là A(5;0) và B(0;3) suy ra a=5 và b=3. Do đó, phương trình chính tắc của elip là: $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 5:

Cho elip chính tắc (E) có tiêu điểm F1(4;0) và một đỉnh là A(5;0). Phương trình chính tắc của elip (E) là:

A. $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$

B. $\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

C. $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$

D. $\frac{x}{5} + \frac{y}{4} = 1$

Xem đáp án

Elip có tiêu điểm $F_{1} (4; 0)$ suy ra c=4, elip có một đỉnh là A(5;0) suy ra a=5

Mặt khác ta có $b^{2} = a^{2} - c^{2} = 25 - 16 = 9$

Vậy elip có phương trình là $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 6:

Cho elip $(E) : x^{2} + 4 y^{2} - 40 = 0$ . Chu vi hình chữ nhật cơ sở là:

A. $6 \sqrt{10}$

B.10

C. $3 \sqrt{10}$

D. $12 \sqrt{10}$

Xem đáp án

Ta có: $(E) : x^{2} + 4 y^{2} - 40 = 0 \Leftrightarrow \frac{x^{2}}{40} + \frac{y^{2}}{10} = 1$ . Suy ra $\{\begin{matrix} a = 2 \sqrt{10} \\ b = \sqrt{10} \end{matrix}$

Chu vi hình chữ nhật cơ sở là: $2 (2 a + 2 b) = 2 (4 \sqrt{10} + 2 \sqrt{10}) = 12 \sqrt{10}$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 7:

Phương trình chính tắc của elip có độ dài trục lớn là 20, tâm sai là $e = \frac{5}{3}$ là:

A. $\frac{x^{2}}{100} + \frac{y^{2}}{36} = 1$

B. $\frac{x^{2}}{100} + \frac{y^{2}}{64} = 1$

C. $\frac{x^{2}}{400} + \frac{y^{2}}{256} = 1$

D. $\frac{x^{2}}{100} + \frac{y^{2}}{49} = 1$

Xem đáp án

Độ dài trục lớn là 20, suy ra 2a=20 hay a=10

Tâm sai $e = \frac{3}{5}$ , suy ra $\frac{c}{a} = \frac{3}{5}$ suy ra c=6

Mặt khác, ta có $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ suy ra $b^{2} = a^{2} - c^{2} = 100 - 36 = 64$
Đáp án cần chọn là: B

Câu 8:

Phương trình chính tắc của elip có hai tiêu điểm là $F_{1} (- 1; 0), F_{2} (1; 0)$ và tâm sai $e = \frac{1}{5}$ là:

A. $\frac{x^{2}}{24} + \frac{y^{2}}{25} = 1$

B. $\frac{x^{2}}{24} + \frac{y^{2}}{25} = - 1$

C. $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{24} = 1$

D. $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{24} = - 1$

Xem đáp án

Elip có hai tiêu điểm là $F_{1} (- 1; 0), F_{2} (1; 0)$ suy ra c=1

Elip có tâm sai $e = \frac{1}{5}$ suy ra $\frac{c}{a} = \frac{1}{5} \Rightarrow a = 5$

Mặt khác ta có $b^{2} = a^{2} - c^{2} = 25 - 1 = 24$

Vậy elip có phương trình là $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{24} = 1$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 9:

Phương trình chính tắc của elip có một đỉnh là B(0;−2), tiêu cự là $2 \sqrt{5}$ là:

A. $\frac{x^{2}}{7} + \frac{y^{2}}{2} = 1$

B. $\frac{x^{2}}{20} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

C. $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{1} = 1$

D. $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

Xem đáp án

Elip có một đỉnh là B(0;−2) suy ra b=2.

Elip có tiêu cự là $2 \sqrt{5}$ suy ra $c = 2 \sqrt{5} \Leftrightarrow c = \sqrt{5}$

Mặt khác ta có $a^{2} = b^{2} + c^{2} = 4 + 5 = 9$

Vậy elip có dạng $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 10:

Phương trình chính tắc của elip có một đỉnh là A(0;−4), tâm sai

e = \frac{3}{5}

A. $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$

B. $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$

C. $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$

D. $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{16} = 1$

Xem đáp án

Elip có một đỉnh là A(0;−4)suy ra b=4

Tâm sai $e = \frac{3}{5}$ suy ra ta có $\frac{c}{a} = \frac{3}{5}$ .Vì a,c>0 nên ta có

$\frac{c^{2}}{a^{2}} = \frac{9}{25} \Leftrightarrow 25 c^{2} - 9 a^{2} = 0$

Mặt khác ta có $a^{2} - c^{2} = b^{2} = 16$

Ta có hệ phương trình $\{\begin{matrix} 9 a^{2} - 25 c^{2} = 0 \\ a^{2} - c^{2} = 16 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} a^{2} = 25 \\ c^{2} = 9 \end{matrix}$

Vậy phương trình của elip là: $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 11:

Phương trình chính tắc của elip có đỉnh là A(2;0) và đi qua $M (- 1; \frac{\sqrt{3}}{2})$ là:

A. $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{1} = 1$

B. $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$

C. $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

D. $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{1} = 1$

Xem đáp án

Elip có đỉnh là A(2;0) suy ra a=2. Phương trình elip cần tìm có dạng $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$

Vì elip qua $M (- 1; \frac{\sqrt{3}}{2})$ nên ta có $\frac{1}{4} + \frac{3}{4 b^{2}} = 1 \Leftrightarrow b^{2} = 1$

Vậy elip có phương trình là $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{1} = 1$
Đáp án cần chọn là: A

Câu 12:

Phương trình chính tắc của elip có đi qua $M (1; \frac{2}{\sqrt{5}})$ tiêu cự là 4 là:

A. $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{21} = 1$

B. $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

C. $\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{1} = 1$

D. $\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

Xem đáp án

Phương trình elip cần tìm có dạng $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$

Elip có tiêu cự là 4 suy ra $2 c = 4 \Leftrightarrow c = 2$ . Mặt khác ta có: $a^{2} - b^{2} = c^{2} = 4$

Vì elip qua $M (1; \frac{2}{\sqrt{5}})$ nên ta có $\frac{1}{a^{2}} + \frac{4}{5 b^{2}} = 1$

Ta có hệ phương trình $\{\begin{matrix} a^{2} - b^{2} = 4 \\ \frac{1}{a^{2}} + \frac{4}{5 b^{2}} = 1 \end{matrix}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} a^{2} = b^{2} + 4 \\ \frac{1}{b^{2} + 4} + \frac{4}{5 b^{2}} = 1 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} a^{2} = b^{2} + 4 \\ \frac{5 b^{2} + 4 (b^{2} + 4)}{5 b^{2} (b^{2} + 4)} = 1 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow \{\begin{matrix} a^{2} = b^{2} + 4 \\ 9 b^{2} + 16 = 5 b^{4} + 20 b^{2} \end{matrix} \\ \Leftrightarrow \{\begin{matrix} a^{2} = b^{2} + 4 \\ 5 b^{4} + 11 b^{2} - 16 = 0 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow \{\begin{matrix} a^{2} = b^{2} + 4 \\ [\begin{matrix} b^{2} = 1 \\ b^{2} = \frac{- 16}{5} (l) \end{matrix} \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} a^{2} = 5 \\ b^{2} = 1 \end{matrix} \end{array}$

Vậy elip có phương trình là $\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{1} = 1$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 13:

Phương trình chính tắc của elip có đi qua hai điểm $M (2 \sqrt{2}; \frac{1}{3})$ và $N (2; \frac{\sqrt{5}}{3})$ là:

A. $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{1} = 1$

B. $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

C. $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{1} = 1$

D. $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$

Xem đáp án

Phương trình elip cần tìm có dạng $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$

Vì elip qua $M (2 \sqrt{2}; \frac{1}{3})$ nên ta có $\frac{8}{a^{2}} + \frac{1}{9 b^{2}} = 1$

Vì elip qua $N (2; \frac{\sqrt{5}}{3})$ nên ta có $\frac{4}{a^{2}} + \frac{5}{9 b^{2}} = 1$

Ta có hệ phương trình $\{\begin{matrix} \frac{8}{a^{2}} + \frac{1}{9 b^{2}} = 1 \\ \frac{4}{a^{2}} + \frac{5}{9 b^{2}} = 1 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} a^{2} = 0 \\ b^{2} = 1 \end{matrix}$

Vậy elip có phương trình là $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{1} = 1$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 14:

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho elip $(E) : \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ có hai tiêu điểm $F_{1}, F_{2}$ . Biết rằng, điểm M là điểm có tung độ $y_{M}$ dương thuộc elip (E) sao cho bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $M F_{1} F_{2}$ bằng $\frac{4}{3}$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $y_{M} \in (0; \sqrt{3})$

B. $y_{M} \in (2; \sqrt{8})$

C. $y_{M} \in (\sqrt{8}; 5)$

d. $y_{M} \in (\sqrt{3}; 2)$

Xem đáp án

Elip $(E) : \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1 \Rightarrow F_{1} F_{2} = 2 c = 2 \sqrt{25 - 9} = 8$

Gọi $M (x_{M}; y_{M}) \in (E) \Rightarrow M F_{1} + M F_{2} = 2 a = 10 \Rightarrow p = \frac{M F_{1} + M F_{2} + F_{1} F_{2}}{2} = 9$

Diện tích tam giác $M F_{1} F_{2}$ là:

$S_{M F_{1} F_{2}} = \frac{1}{2} F_{1} F_{2} . d (M; O x) = \frac{1}{2} .8. y_{M} = 4 |y_{M}| = 4 y_{M} (d o y_{M} > 0)$

Lại có: $S_{M F_{1} F_{2}} = p . r \Leftrightarrow 4 y_{M} = 9. \frac{4}{3} \Leftrightarrow y_{M} = 3 \in y_{M} \in (\sqrt{8}; 5)$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 15:

Phương trình chính tắc của elip có diện tích hình chữ nhật cơ sở là 8 và

e = \frac{\sqrt{12}}{4}

là:

A. $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$

B. $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{1} = 1$

C. $\frac{x^{2}}{1} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

d. $\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

Xem đáp án

Phương trình elip cần tìm có dạng $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$

Diện tích hình chữ nhật cơ sở bằng 4ab

Theo bài ra ta có $4 a b = 8 \Leftrightarrow a b = 2 \Leftrightarrow a^{2} b^{2} = 4$

Elip có $e = \frac{\sqrt{12}}{4}$ suy ra $\frac{c}{a} = \frac{\sqrt{12}}{4}$ Vì c,a>0 nên ta có

$\frac{c^{2}}{a^{2}} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4} \Leftrightarrow 3 a^{2} - 4 c^{2} = 0$

Mặt khác ta có: $a^{2} - b^{2} = c^{2}$

Ta có hệ phương trình

$\{\begin{matrix} a^{2} b^{2} = 4 \\ 3 a^{2} - 4 c^{2} = 0 \\ a^{2} - b^{2} = c^{2} \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} a^{2} b^{2} = 4 \\ a^{2} - b^{2} = 4 \frac{3}{2} a^{2} \\ 3 a^{2} = 4 c^{2} \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} a^{2} b^{2} = 4 \\ a^{2} - 4 b^{2} = 0 \\ 3 a^{2} = 4 c^{2} \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} a^{2} = 4 \\ b^{2} = 1 \\ c^{2} = 3 \end{matrix}$
Vậy elip có phương trình là $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{1} = 1$

Đáp án cần chọn là: B