Thứ sáu, 29/03/2024
IMG-LOGO

Bài toán về điểm và vectơ

Bài toán về điểm và vecto

  • 844 lượt thi

  • 24 câu hỏi

  • 45 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Cho hai điểm A(1;2;−1) và B(−1;3;1). Tọa độ điểm M nằm trên trục tung sao cho tam giác ABM vuông tại M .

Xem đáp án

M nằm trên trục tung, giả sử M(0;m;0). Ta có

MA=(1;2m;1) và MB=(1;3m;1)

Vì tam giác ABM vuông tại M nên ta có MA.MB=0

1.(1)+(2m)(3m)+(1).1=0m25m+4=0m=1m=4

Đáp án cần chọn là: A


Câu 2:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M thỏa mãn hệ thức  OM=2i+jTọa độ của điểm  M là

Xem đáp án

Ta có:OM=2i+jOM=2.i+1.j+0.kM2;1;0

Đáp án cần chọn là: D


Câu 3:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho OM=2jk ON=2j3i. Tọa độ của MN là:

Xem đáp án

Ta có:MN=ONOM=2j3i2jk=3i+k

Suy ra MN=3;0;1

Đáp án cần chọn là: A


Câu 4:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0;−2;3),B(1;0;−1).  Gọi M là trung điểm đoạn  AB. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Xem đáp án

Ta có:BA=(01;20;3+1)=(1;2;4) Suy ra A sai.

Suy raAB=(1;2;4) D sai.

AB=12+22+(4)2=21B đúng.

Mà M là trung điểm của AB nên M12;1;1C sai.

Đáp án cần chọn là: B


Câu 5:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M(2;−3;5),N(6;−4;−1) và đặt  u=MN. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?

Xem đáp án

Ta cóMN=(62;4+3;15)=(4;1;6)

Do đó|MN|=42+(1)2+(6)2=53

Đáp án cần chọn là: B


Câu 6:

Trong không gian Oxyz cho ba vecto a=1;1;0,b=1;1;0,c=1;1;1.
Mệnh đề nào sau đay sai?
Xem đáp án

Kiểm tra lần lượt các điều kiện

a=(1)2+12+02=2b=12+12+12=3a.b=(1).1+1.1+0.0=0ab

Lại có:b.c=1.1+1.1+0.1=20  nên bvà c không vuông góc.

Đáp án cần chọn là: D


Câu 7:

Trong không gian Oxyz cho 3 véc tơ: a4;2;5,b3;1;3,c2;0;1. Kết luận nào sau đây đúng

Xem đáp án

Tínha,b=2513;5433;4231=1;3;2.Suy ra loại A

Tínha,b.c=1;3;2.2;0;1=0.Suy ra a,b,c đồng phẳng.

Đáp án cần chọn là: C


Câu 8:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểmA(1;1;1),B(−1;−1;0) và C(3;1;−1). Tìm tọa độ điểm M thuộc (Oxy)  và cách đều các điểm A,B,C .

Xem đáp án

MM thuộc mặt phẳng (Oxy), giả sử M(m;n;0).

Ta có

MA=(m1)2+(n1)2+(01)2=(m1)2+(n1)2+1MB=(m+1)2+(n+1)2+(00)2=(m+1)2+(n+1)2MC=(m3)2+(n1)2+(0+1)2=(m3)2+(n1)2+1

Vì M cách đều ba điểm A,B,C nên ta có MA=MB=MC

MA=MBMA=MCMA2=MB2MA2=MC2(m1)2+(n1)2+1=(m+1)2+(n+1)2(m1)2+(n1)2+1=(m3)2+(n1)2+14m+4n=14m=8m=2n=74

Vậy M2;74;0


Câu 9:

Trong không gian với hệ tọa độ  Oxyz, cho hai điểm  A(1;4;2) , B(−1;2;4). Tìm tọa độ điểm M thuộc trục Oz  sao cho :MA2+MB2=32.

Xem đáp án

M nằm trên trục Oz, giả sử M(0;0;m).

Ta có

MA=(01)2+(04)2+(m2)2=(m2)2+17MB=(0+1)2+(02)2+(m4)2=(m4)2+5

Theo giả thiết MA2+MB2=32 suy ra ta có

(m2)2+17+(m4)2+5=32

(m2)2+(m4)2=10

2m212m+20=10

2m212m+10=0

m=1m=5

Vậy M(0;0;1) hoặc M(0;0;5)

Đáp án cần chọn là: A


Câu 10:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , để hai vecto a=m;2;3 b1;n;2 cùng phương thì 2m+3n bằng.

Xem đáp án

Hai vectơ a=m;2;3,b=1;n;2 cùng phương khi

m1=2n=32m=32n=43

2m+3n=7.

Đáp án cần chọn là: D


Câu 11:

Cho tam giác ABC biết A(2;4;−3) và trọng tâm G của tam giác có toạ độ là G(2;1;0). Khi đó AB+AC có tọa độ là

Xem đáp án

Gọi M là trung điểm của BC. Ta cóAB+AC=2AM

Do tính chất trọng tâm cóAM=32AG.Suy raAB+AC=3AG

AG=22;14;0(3)=0;3;3.Suy ra3AG=(0;9;9)

Đáp án cần chọn là: A


Câu 12:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ ab thỏa mãn a=23,b=3 và a,b=300. Độ dài của vectơ 5a,2b bằng:
Xem đáp án

Chú ý rằng5a,2b=1800a,b=1500.

Sử dụng công thứcma,nb=m.n.a.b.sinma,nb, ta được5a,2b=5.2.23.3.sin1500=303.

Đáp án cần chọn là: C


Câu 13:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;2;−1),B(2;−1;3),C(−3;5;1). Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.

Xem đáp án

AB=21;12;3+1=1;3;4

DC=(3xD;5yD;1zD)

ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi

AB=DC3xD=15yD=31zD=4xD=4yD=8zD=3

Đáp án cần chọn là: D


Câu 14:

Cho hình bình hành ABCD với A(2;4;−4),B(1;1;−3),C(−2;0;5),D(−1;3;4). Diện tích của hình bình hành ABCD bằng
Xem đáp án

AB=12;14;3+4=1;3;1

AC=22;04;5+4=4;4;9

TínhAB,AC=3149;1194;1344=23;5;8

Áp dụng công thức tính diện tích hình bình hành có

SABCD=AB,AC=(23)2+52+(8)2=618

Đáp án cần chọn là: C


Câu 15:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, các điểm A(1;2;3),B(3;3;4),C(−1;1;2) sẽ:

Xem đáp án

AB=31;32;43=2;1;1

AC=11;12;23=2;1;1

Nhận thấyABAC là hai vectơ đối nhau.

Đáp án cần chọn là: A


Câu 16:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vectơ a=3;1;2,b=1;2;m c=5;1;7.Giá trị m bằng bao nhiêu để c=a,b

Xem đáp án

Ta có:

a,b=122m;23m1;3112=m+4;23m;7

c=a,bm+4=523m=17=7m=1

Đáp án cần chọn là: A


Câu 17:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm  A(0;2;−1)B(2;0;1). Tìm tọa độ điểm M nằm trên trục Ox sao cho :MA2+MB2 đạt giá trị bé nhất.

Xem đáp án

M nằm trên trục Ox, giả sử M(m;0;0).

Ta có

MA=(m0)2+(02)2+(0+1)2=m2+5MB=(m2)2+(00)2+(01)2=(m2)2+1

Suy ra

MA2+MB2=m2+5+(m2)2+1=2m24m+10

=2(m22m+1)+8=2(m1)2+88

Vậy M(1;0;0)

Đáp án cần chọn là: B


Câu 18:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(1;2;−1), B(2;−1;3), C(−4;7;5). Tọa độ chân đường phân giác trong góc B^ của tam giác ABC là:

Xem đáp án

Gọi D là chân đường phân giác trong góc  của tam giác ABC

Ta cóDA=BABCDC.  Tính đượcBA=26,BC=104

Suy raDA=26104DCDC=2DA

Gọi D(x;y;z). Từ DC=2DA4x=2(1x)7y=2(2y)5z=2(1z)x=2/3y=11/3z=1

Đáp án cần chọn là: A


Câu 19:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.ABCD′ biết A(1;0;1),  B(2;1;2),  D(1;−1;1) và C′(4;5;−5).  Khi đó, thể tích của hình hộp đó là:

Xem đáp án

Ta cóAB=(1;1;1),AD=(0;1;0)

ABCD.A'B'C'D' là hình hộpABCD là hình bình hành. Khi đó ta cóAD=BC

Giả sử C(x;y;z). Ta có:BC=(x2;y1;z2)

AD=BCx2=0y1=1z2=0x=2y=0z=2C(2;0;2)

Ta cóAA'=CC'=2;5;7,AB,AD=(1;0;1)

Theo công thức tính thể tích ta cóVABCD.A'B'C'D=AB,AD.AA'=1.2+0.5+1.7=9

Đáp án cần chọn là: A


Câu 20:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,  cho tứ diện ABCD  có A(2;−1;1), B(3;0;−1), C(2;−1;3) và D thuộc trục Oy . Tính tổng tung độ của các điểm D, biết thể tích tứ diện bằng 5.

Xem đáp án

Giả sửD0;y;0Oy

AB=(1;1;2),AC=(0;0;2),AD=(2;y+1;1)

Ta có AB,AC=2;2;0

Theo công thức tính thể tích ta có

VABCD=16.AB,AC.AD=162.(2)2.(y+1)+0.(1)=166+2y

Theo giả thiết ta cóVABCD=5  suy ra ta có:

16|6+2y|=5|6+2y|=302y+6=302y+6=30y=12y=18

Suy ra  D(0;12;0) hoặc D(0;−18;0)

Do đó tổng tung độ của các điểm D là 12+(18)=6

Đáp án cần chọn là: A


Câu 21:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(4;0;4) và B(2;4;0). Điểm M di động trên tia Oz, điểm N di động trên tia Oy. Đường gấp khúc AMNB có độ dài nhỏ nhất bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Xem đáp án
Media VietJack

Ta có H(0;0;4) và K(0;4;0) là hình chiếu của A trên Oz và B trên Oy

GọiA'0;4;4;B'0;4;2

Xét hai tam giác vuông AHM;AHA' có chung

HM;  HA=HA'=4ΔAHM=ΔA'HM (2 cạnh góc vuông)

AM=A'M

Chứng minh tương tự ta có BN=B'N

Độ dài đường gấp khúc AMNB là

AM+MN+NB=A'M+MN+NB'A'B'=10

(Lưu ý rằng các điểmA',M,N,B' cùng nằm trên mặt phẳng Oyz).

Đáp án cần chọn là: D


Câu 22:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vectơ a=(1;m;2),b=(m+1;2;1) và c=(0;m2;2). Giá trị m bằng bao nhiêu để ba vectơ a,b,cđồng phẳng

Xem đáp án

Ta có

a,b=m221;211m+1;1mm+12=m4;2m+1;2m2m

a,b.c=(2m+1)(m2)+2(2m2m)

a,b,c đồng phẳng khi

a,b.c=0(2m+1)(m2)+2(2m2m)=02m24m+m2+42m22m=05m+2=0m=25

Đáp án cần chọn là: B


Câu 23:

Cho A(1;2;5),B(1;0;2),C(4;7;−1),D(4;1;a). Để 4 điểm A,B,C,D đồng phẳng thì a bằng:

Xem đáp án

AB=(11;02;25)=(0;2;3)AC=(41;72;15)=(3;5;6)AD=(41;12;a5)=(3;1;a5)

AB,AC=2356;3063;0235=(27;9;6)

AB,AC.AD==(27;9;6).(3;1;a5)=60+6a

A,B,C,D đồng phẳng khiAB,AC.AD=060+6a=0a=10

Đáp án cần chọn là: A


Câu 24:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , để hai vecto a=(m;2;3) và b(1;n;2) cùng phương thì 2m+3n bằng.

Xem đáp án

Hai vectơa=m;2;3,b=1;n;2 cùng phương khi

m1=2n=32m=32n=43

2m+3n=7.

Đáp án cần chọn là: D


Bắt đầu thi ngay