31 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Bài toán cực trị có tham số đối với một số hàm số cơ bản

Câu 1:

y = \frac{m x^{3}}{3} - m x^{2} + x - 1

có cực đại và cực tiểu.

A. $0 < m ⩽ 1.$

B. $[\begin{matrix} m < 0 \\ m > 1 \end{matrix}$

C. 0<m<1.

D.m<0.

Xem đáp án

TXĐ: $D = R$

TH1:

m = 0 \to y = x - 1.

Hàm số không có cực trị.

TH2: $m \neq 0$

Ta có:

y = \frac{m x^{3}}{3} - m x^{2} + x - 1 \Rightarrow y^{'} = m x^{2} - 2 m x + 1.

Để hàm số cho có cực đại, cực tiểu thì phương trình $y^{'} = 0$ phải có 2 nghiệm phân biệt

$\Rightarrow Δ' = m^{2} - m > 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} m < 0 \\ m > 1 \end{matrix}$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 2:

Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số $y = - x^{4} + 2 m x^{2}$ có 3 điểm cực trị ?

A.m < 0

B.m = 0

C.m > 0

D.

m ⩾ 0

Xem đáp án

$\begin{array}{l} y = - x^{4} + 2 m x^{2} \Rightarrow y^{'} = - 4 x^{3} + 4 m x = - 4 x (x^{2} - m) \\ \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 \\ x^{2} = m \end{matrix} \end{array}$

Để hàm số có ba điểm cực trị thì phương trình $y' = 0$ có ba nghiệm phân biệt hay phương trình $x^{2} = m$ có hai nghiệm phân biệt $\neq 0$ hay $m > 0$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 3:

Cho hàm số $y = 2 x^{4} - (m + 1) x^{2} - 2.$ Tất cả các giá trị của m để hàm số có 1 điểm cực trị là:

A.m > −1

B.m < −1

C.m = −1

D.

m ⩽ - 1

Xem đáp án

$y^{'} = 8 x^{3} - 2 (m + 1) x = 2 x [4 x^{2} - (m + 1)] \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 \\ 4 x^{2} = m + 1 (1) \end{matrix}$

Ta có yêu cầu bài toán để hàm số có một điểm cực trị $\Leftrightarrow y^{'} = 0$ có 1 nghiệm duy nhất ⇔(1) có 1 nghiệm x = 0 hoặc (1) vô nghiệm $\Leftrightarrow m + 1 ⩽ 0 \Leftrightarrow m ⩽ - 1$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 4:

Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số $y = - \frac{1}{3} x^{3} + \frac{m x^{2}}{3} + 4$ đạt cực đại tại x = 2?

A.m = 1

B.m = 2

C.m = 3

D.m = 4

Xem đáp án

TXĐ $D = ℝ$

$y^{'} = - x^{2} + \frac{2}{3} m x \Rightarrow y^{''} = - 2 x + \frac{2}{3} m$

Hàm số đã cho đạt cực đại tại x = 2

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} y' (2) = 0 \\ y'' (2) < 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} - 2^{2} + \frac{2}{3} m .2 = 0 \\ - 2.2 + \frac{2}{3} m . < 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} - 4 + \frac{4}{3} m = 0 \\ - 4 + \frac{2}{3} m < 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} m = 3 \\ m < 6 \end{matrix} \Leftrightarrow m = 3$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 5:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số $y = x^{3} - 2 m x^{2} + m^{2} x + 2$ đạt cực tiểu tại x = 1.

A.m = 3

B. $m = 1 \lor m = 3$

C.m = −1

D.m = 1

Xem đáp án

TXĐ: $D = R$

Ta có: $y^{'} = 3 x^{2} - 4 m x + m^{2} \Rightarrow y^{''} = 6 x - 4 m$

Để x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số thì:

\{\begin{matrix} y' (1) = 0 \\ y'' (1) > 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} m^{2} - 4 m + 3 = 0 \\ 6 - 4 m > 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} m = 1; m = 3 \\ m < \frac{3}{2} \end{matrix} \Leftrightarrow m = 1.

Đáp án cần chọn là: D

Câu 6:

Đồ thị hàm số $y = x^{3} - (3 m + 1) x^{2} + (m^{2} + 3 m + 2) x + 3$ có điểm cực tiểu và điểm cực đại nằm về hai phía của trục tung khi:

A.1 < m < 2

B.−2 < m < −1

C.2 < m < 3

D.−3 < m < −2

Xem đáp án

$y = x^{3} - (3 m + 1) x^{2} + (m^{2} + 3 m + 2) x + 3$

$y^{'} = 3 x^{2} - (6 m + 2) x + m^{2} + 3 m + 2$

Để cực tiểu và cực đại của đồ thị hàm số y nằm về hai phía của trục tung thì $x_{1} x_{2} < 0,$ với $x_{1}, x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình $y' = 0$ .

$\Leftrightarrow 3 (m^{2} + 3 m + 2) < 0 \Leftrightarrow m^{2} + 3 m + 2 < 0 \Leftrightarrow - 2 < m < - 1$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 7:

Cho hàm số

y = \frac{1}{3} x^{3} - m x^{2} + (2 m - 4) x - 3.

. Tìm mm để hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu

x_{1}; x_{2}

thỏa mãn:

x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = x_{1} . x_{2} + 10

A.m = 1

B. $m = \frac{1}{2}$

C. $m = 1; m = \frac{1}{2}$

D. $m = 3$

Xem đáp án

$y^{'} = x^{2} - 2 m x + 2 m - 4$

Để hàm số có cực đại cực tiểu $\Leftrightarrow > 0, \forall m \Leftrightarrow m^{2} - 2 m + 4 > 0, \forall m$

Khi đó phương trình

y^{'} = 0

có hai nghiệm

x_{1}, x_{2}

thỏa mãn

\{\begin{matrix} x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} = 2 m \\ x_{1} x_{2} = \frac{c}{a} = 2 m - 4 \end{matrix}

Ta có:

x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = x_{1} . x_{2} + 10

\Leftrightarrow {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} x_{2} - x_{1} x_{2} - 10 = 0

\Leftrightarrow {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 3 x_{1} x_{2} - 10 = 0

\Leftrightarrow {(2 m)}^{2} - 3. (2 m - 4) - 10 = 0

\Leftrightarrow 4 m^{2} - 6 m + 2 = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} m = 1 \\ m = \frac{1}{2} \end{matrix}

Đáp án cần chọn là: C

Câu 8:

Cho hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + 3 m x + 1.$ . Tìm m để hàm số có 2 điểm cực trị nhỏ hơn 2

A. $m < - 2$

B. $m > 4$

C. $0 < m < 1$

D. $. - 1 < m < 2$

Xem đáp án

Ta có: $y^{'} = 3 x^{2} - 6 x + 3 m$

Hàm số có 2 điểm cực trị nhỏ hơn 2 ⇔y′ có 2 nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ thoả mãn

$x_{1} < x_{2} < 2 \Leftrightarrow \{\begin{matrix} Δ' > 0 \\ a . f (2) > 0 \\ \frac{S}{2} < 2 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} 9 - 9 m > 0 \\ 3. ({3.2}^{2} - 6.2 + 3 m) > 0 \\ 1 < 2 (\forall m) \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} m < 1 \\ m > 0 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow 0 < m < 1$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 9:

Tìm m để (Cm) : $y = x^{4} - 2 m x^{2} + 2$ có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông cân.

A.m = −4

B.m = −1

C.m = 1

D.m = 3

Xem đáp án

Ta có: $y' = 4 x^{3} - 4 m x = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 \\ x^{2} = m \end{matrix}$

Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị ⇔ pt $y^{'} = 0$ có 3 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow m > 0$

$\Rightarrow [\begin{matrix} x = 0 \\ x = \sqrt{m} \\ x = - \sqrt{m} \end{matrix}$

⇒ Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là: $A (0; 2); B (- \sqrt{m}; 2 - m^{2}); C (\sqrt{m}; 2 - m^{2})$

$\vec{A B} = (- \sqrt{m}; - m^{2}), \vec{A C} = (\sqrt{m}; - m^{2})$

Dễ thấy $Δ A B C$ cân tại A, để $Δ A B C$ vuông cân thì nó phải vuông tại A

$\Rightarrow \vec{A B} . \vec{A C} = 0 \Leftrightarrow - m + m^{4} = 0 \Leftrightarrow m (m^{3} - 1) = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} m = 0 \\ m^{3} - 1 = 0 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} m = 0 \\ m = 1 \end{matrix}$

Kết hợp điều kiện m > 0 ta có m = 1

Đáp án cần chọn là: C

Câu 10:

Cho hàm số $y = x^{4} + 2 (1 - m^{2}) x^{2} + m + 1.$ Tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích bằng $4 \sqrt{2}$ là

A. $m = \sqrt[3]{3}$

B. $m = - 1$

C. $m = \pm \sqrt[]{3}$

D. $m = 5$

Xem đáp án

$\begin{array}{l} y' = 4 x^{3} + 4 (1 - m^{2}) x \\ y' = 0 \Leftrightarrow 4 x^{3} + 4 (1 - m^{2}) x = 0 \Leftrightarrow 4 x (x^{2} + 1 - m^{2}) = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 \\ x^{2} = m^{2} - 1 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 \\ x = \pm \sqrt{m^{2} - 1} \end{matrix} \end{array}$

Điều kiện để hàm số có 3 cực trị: $m^{2} - 1 > 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} m > 1 \\ m < - 1 \end{matrix}$

$\begin{array}{l} x = 0 \Rightarrow A (0; m + 1) \\ x = - \sqrt{m^{2} - 1} \Rightarrow y = {(- \sqrt{m^{2} - 1})}^{4} + 2 (1 - m^{2}) {(- \sqrt{m^{2} - 1})}^{2} + m + 1 \\ \Rightarrow y = {(m^{2} - 1)}^{2} - 2 {(m^{2} - 1)}^{2} + m + 1 = - {(m^{2} - 1)}^{2} + m + 1 \\ \Rightarrow B (- \sqrt{m^{2} - 1}; - {(m^{2} - 1)}^{2} + m + 1) \\ x = \sqrt{m^{2} - 1} \Rightarrow C (\sqrt{m^{2} - 1}; - {(m^{2} - 1)}^{2} + m + 1) \end{array}$

$\begin{array}{l} S_{A B C} = 4 \sqrt{2} \Leftrightarrow \frac{1}{2} A H . B C = 4 \sqrt{2} \\ \Leftrightarrow |y_{A} - y_{C}| . |H C| = 4 \sqrt{2} \\ \Leftrightarrow |y_{A} - y_{C}| . |x_{C}| = 4 \sqrt{2} \\ \Leftrightarrow |m + 1 + {(m^{2} - 1)}^{2} - m - 1| . \sqrt{m^{2} - 1} = 4 \sqrt{2} \\ \Leftrightarrow {(m^{2} - 1)}^{2} . \sqrt{m^{2} - 1} = 4 \sqrt{2} \\ \Leftrightarrow {(m^{2} - 1)}^{5} = 32 \Leftrightarrow m^{2} - 1 = 2 \Leftrightarrow m^{2} = 3 \Leftrightarrow m = \pm \sqrt{3} \end{array}$

$m = \pm \sqrt{3}$ thỏa mãn điều kiện $[\begin{matrix} m > 1 \\ m < - 1 \end{matrix}$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 11:

Cho hàm số $y = x^{4} - 2 m x^{2} + m^{2} + m .$ . Tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành tam giác có một góc 120^o là:

A. $m = \frac{1}{\sqrt[3]{3}}$

B. $m = 0; m = \frac{1}{\sqrt[3]{3}}$

C. $m = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$

D. $m = 1$

Xem đáp án

$\begin{array}{l} y' = 4 x^{3} - 4 m x \\ y' = 0 \Leftrightarrow 4 x^{3} - 4 m x = 0 \Leftrightarrow 4 x (x^{2} - m) = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 \\ x = \pm \sqrt{m} \end{matrix} \end{array}$

Điều kiện để hàm số có 3 cực trị: m > 0

$\begin{array}{l} x = 0 \Rightarrow A (0; m^{2} + m) \\ x = - \sqrt{m} \Rightarrow y = {(- \sqrt{m})}^{4} - 2 m {(- \sqrt{m})}^{2} + m^{2} + m \\ = m^{2} - 2 m^{2} + m^{2} + m = m \Rightarrow B (- \sqrt{m}; m) \\ x = \sqrt{m} \Rightarrow C (\sqrt{m}; m) \end{array}$

$\begin{array}{l} \vec{A B} = (- \sqrt{m}; - m^{2}), \vec{A C} = (\sqrt{m}; - m^{2}) \\ \hat{B A C} = 120^{0} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{\vec{A B} . \vec{A C}}{|\vec{A B}| . |\vec{A C}|} = c o s 120^{0} \\ \Leftrightarrow \frac{- m + m^{4}}{\sqrt{m + m^{4}} . \sqrt{m + m^{4}}} = - \frac{1}{2} \\ \Leftrightarrow 2 (m^{4} - m) = - (m + m^{4}) \\ \Leftrightarrow 3 m^{4} - m = 0 \\ \Leftrightarrow m (3 m^{3} - 1) = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{matrix} m = 0 (l o a i) \\ m = \frac{1}{\sqrt[3]{3}} \end{matrix} \end{array}$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 12:

Hãy lập phương trình đường thẳng (d) đi qua các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số

y = x^{3} + 3 m x^{2} - 3 x

A. $y = m x + 3 m - 1$

B. $y = - 2 (m^{2} + 1) x + m$

C. $y = (2 m^{3} - 2) x$

D. $y = - 2 x + 2 m$

Xem đáp án

Có: $y (x) = x^{3} + 3 m x^{2} - 3 x \Rightarrow y^{'} (x) = 3 x^{2} + 6 m x - 3$

Phương trình đường thẳng d đi qua 2 cực trị của (C) nên $(x_{o}; y_{o}) \in d$ thỏa mãn:

$\begin{array}{l} \{\begin{matrix} y' (x_{o}) = 0 \\ y_{o} = x_{0}^{3} + 3 m x_{0}^{2} - 3 x_{o} \end{matrix} \\ \Leftrightarrow \{\begin{matrix} 3 x_{0}^{2} + 6 m x_{o} - 3 = 0 \\ y_{o} = x_{o} (x_{0}^{2} + 2 m_{o}^{2}) - 3 x_{0} + m x_{0}^{2} \end{matrix} \\ \Leftrightarrow \{\begin{matrix} x_{0}^{2} + 2 m x_{o} = 1 \\ y_{o} = - 2 x_{o} + m x_{o}^{2} \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} x_{o}^{2} = - 2 m x_{o} + 1 \\ y_{o} = - 2 x_{o} + m (- 2 m x_{o} + 1) \end{matrix} \\ \Rightarrow y_{o} = - 2 (m^{2} + 1) x_{o} + m \end{array}$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 13:

Cho hàm số $y = 2 x^{3} - 3 (m + 1) x^{2} + 6 m x .$ . Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là A,B sao cho đường thẳng AB vuông góc với $d : x - y - 9 = 0$

A.m = 0

B.m = −1

C.m = 0; m = 2

D.m = 1; m = 2

Xem đáp án

$y^{'} = 6 x^{2} - 6 (m + 1) x + 6 m$

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A,B ⇔ phương trình $y^{'} = 0$ có hai nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow = 9 {(m + 1)}^{2} - 36 m > 0 \Leftrightarrow 9 m^{2} - 18 m + 9 > 0 \Leftrightarrow 9 {(m - 1)}^{2} > 0 \Leftrightarrow m \neq 1$

Khi đó,

$y = y^{'} . (\frac{1}{3} x - \frac{m + 1}{6}) + [4 m - {(m + 1)}^{2}] x + m (m + 1)$

Đường thẳng $A B : y = [4 m - {(m + 1)}^{2}] x + m (m + 1)$ có hệ số góc $k = 4 m - {(m + 1)}^{2}$

Đường thẳng $d : y = x - 9$ có hệ số góc $k = 1$

$\begin{array}{l} A B ⊥ d \\ \Leftrightarrow [4 m - {(m + 1)}^{2}] .1 = - 1 \\ \Leftrightarrow 4 m - m^{2} - 2 m - 1 = - 1 \\ \Leftrightarrow - m^{2} + 2 m = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{matrix} m = 0 \\ m = 2 \end{matrix} \end{array}$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 14:

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ bên, một hàm số g(x) xác định theo f(x) có đạo hàm $g' (x) = f (x) + m$ . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số mm để hàm số g(x) có duy nhất một cực trị.

Media VietJack

A.−4 < m < 0

B. $m ⩾ 0$ hoặc $m ⩽ - 4$

C.m > 0 hoặc m < −4

D. $- 4 ⩽ m ⩽ 0$

Xem đáp án

Hàm số g(x) có duy nhất một cực trị $\Leftrightarrow p t g^{'} (x) = 0$ có đúng một nghiệm $x_{0}$ thỏa mãn g′(x) đổi dấu qua nghiệm đó.

Theo đề bài ta có: $g^{'} (x) = f (x) + m$

$\Rightarrow g^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow f (x) + m = 0 \Leftrightarrow f (x) = - m$ =>Số nghiệm của pt $g' (x) = 0$ là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và đường thẳng y = −m.

Quan sát đồ thị ta thấy đường thẳng y = −m cắt đồ thị hàm số y = f(x)) tại một điểm duy nhất

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} - m < 0 \\ - m > 4 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} m > 0 \\ m < - 4 \end{matrix}$

Ngoài ra, với m = 0 hoặc m = −4 thì đồ thị hàm số $y = f (x)$ có hai điểm chung với đường thẳng $y = m$ nhưng một điểm là điểm tiếp xúc nên phương trình $g' (x) = 0$ có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm kép và một nghiệm đơn.

Nên trong trường hợp này, hàm số $y = g (x)$ vẫn chỉ có một cực trị.

Vậy $m \geq 0$ hoặc $m \leq - 4$ .

Đáp án cần chọn là: B

Câu 15:

Cho hàm số

y = x^{3} + 6 x^{2} + 3 (m + 2) x - m - 6

với mm là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có hai điểm cực trị

x_{1}, x_{2}

thỏa mãn

x_{1} < - 1 < x_{2}

A.m > 1

B.m < 1

C.m > −1

D.m < −1

Xem đáp án

Ta có $y^{'} = 3 x^{2} + 12 x + 3 (m + 2) = 3 [x^{2} + 4 x + (m + 2)] .$

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow y^{'} = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $x_{1} < - 1 < x_{2}$

- Hàm số có hai điểm cực trị

\Leftrightarrow = 4 - (m + 2) = 2 - m > 0 \Leftrightarrow m < 2

Hai điểm cực trị thỏa mãn $x_{1} < - 1 < x_{2}$ ⇔ phương trình $y^{'} = 0$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow y^{'} (- 1) < 0 \Leftrightarrow m < 1.$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 16:

Cho hàm số $y = 2 x^{3} + m x^{2} - 12 x - 13$ với m là tham số thực. Tìm giá trị của mm để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị thỏa mãn khoảng cách từ chúng đến trục tung bằng nhau.

A.m = 2

B.m = −1

C.m = 1

D.m = 0

Xem đáp án

Ta có $y^{'} = 6 x^{2} + 2 m x - 12.$

Do $∆' = m^{2} + 72 > 0, \forall m \in ℝ$ nên hàm số luôn có hai điểm cực trị $x_{1}, x_{2}$ với $x_{1}, x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình $y^{'} = 0$ .

Theo định lí Viet, ta có $x_{1} + x_{2} = - \frac{m}{3} .$

Gọi $A (x_{1}; y_{1})$ và $B (x_{2}; y_{2})$ là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow |x_{1}| = |x_{2}| \Leftrightarrow x_{1} = - x_{2}$ (do $x_{1} \neq x_{2}$ )

$\Leftrightarrow x_{1} + x_{2} = 0 \Leftrightarrow - \frac{m}{3} = 0 \Leftrightarrow m = 0.$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 17:

Cho hàm số $y = x^{3} - 3 m x^{2} + 4 m^{2} - 2$ với m là tham số thực. Tìm giá trị của mm để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A,B sao cho I(1;0) là trung điểm của đoạn thẳng AB.

A.m = 0

B.m = −1

C.m = 1

D.m = 2.

Xem đáp án

Ta có: $y' = 3 x^{2} - 6 m x = 3 x (x - 2 m); y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 \\ x = 2 m \end{matrix}$

Đề đồ thị hàm số có hai điểm cực trị $\Leftrightarrow m \neq 0$

Khi đó tọa độ hai điểm cực trị là $A (0; 4 m^{2} - 2)$ và $B (2 m; 4 m^{2} - 4 m^{3} - 2)$

Do I(1;0) là trung điểm của AB nên $\{\begin{matrix} x_{A} + x_{B} = 2 x_{I} \\ y_{A} + y_{B} = 2 y_{I} \end{matrix}$

$\{\begin{matrix} 0 + 2 m = 2 \\ (4 m^{2} - 2) + (4 m^{2} - 4 m^{3} - 2) = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow m = 1$ thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: C

Câu 18:

Gọi $m_{0}$ là giá trị của mm thỏa mãn đồ thị hàm số $y = \frac{x^{2} + m x - 5}{x^{2} + 1}$ có hai điểm cực trị A,B sao cho đường thẳng A,B đi qua điểm I(1;−3). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $0 < m_{0} \leq 3$

B. $- 5 < m_{0} \leq - 3$

C. $- 3 < m_{0} \leq 0$

D. $3 < m_{0} \leq 5$

Xem đáp án

TXĐ: $D = ℝ$

Ta có $y = \frac{x^{2} + m x - 5}{x^{2} + 1} = 1 + \frac{m x - 6}{x^{2} + 1}$

Suy ra $y^{'} = \frac{m (x^{2} + 1) - 2 x (m x - 6)}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{- m x^{2} + 12 x + m}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Để hàm số đã cho có hai cực trị thì phương trình $y^{'} = 0$ có hai nghiệm phân biệt hay $- m x^{2} + 12 x + m = 0$ có hai nghiệm phân biệt. Ta có $∆' = 36 + m^{2} > 0; \forall m$ nên hàm số luôn có hai cực trị.

Phương trình đường thẳng AB qua hai điểm cực trị là

$y = \frac{2 (- m) x - 4. (- 5)}{- 4} = \frac{m}{2} x - 5$

Đường thẳng AB qua điểm I(1;−3) nên $- 3 = \frac{m}{2} .1 - 5 \Leftrightarrow m = 4$

Suy ra $m_{0} = 4$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 19:

Hàm số $f (x) = |\frac{x}{x^{2} + 1} - m|$ (với m là tham số thực) có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị?

A.2

B.3

C.5

D.4

Xem đáp án

Hàm số $f (x) = |\frac{x}{x^{2} + 1} - m|$ có TXĐ $D = ℝ$

Xét hàm số $g (x) = \frac{x}{x^{2} + 1} - m$ ta có:

$g^{'} (x) = \frac{x^{2} + 1 - x .2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$

⇒ Hàm số $y = g (x)$ có 2 điểm cực trị.

Xét phương trình hoành độ giao điểm

$\frac{x}{x^{2} + 1} - m = 0 \Leftrightarrow \frac{x - m (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = 0 \Leftrightarrow - m x^{2} + x - m = 0$ , phương trình có $Δ = 1 - 4 m^{2}$ chưa xác định dấu nên có tối đa 2 nghiệm.

Vậy hàm số $f (x) = |\frac{x}{x^{2} + 1} - m|$ có tối đa $2 + 2 = 4$ cực trị.

Đáp án cần chọn là: D

Câu 20:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số $y = m x^{3} - (2 m - 1) x^{2} + 2 m x - m - 1$ có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành.

A.3

B.2

C.1

D.4

Xem đáp án

Để đồ thị hàm số $y = m x^{3} - (2 m - 1) x^{2} + 2 m x - m - 1$ có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành thì phương trình $m x^{3} - (2 m - 1) x^{2} + 2 m x - m - 1 = 0 (*)$ phải có 3 nghiệm phân biệt.

Ta có:

$\begin{array}{l} m x^{3} - (2 m - 1) x^{2} + 2 m x - m - 1 = 0 \\ \Leftrightarrow (x - 1) [m x^{2} - (m - 1) x + m + 1] = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 1 \\ m x^{2} - (m - 1) x + m + 1 = 0 (* *) \end{matrix} \end{array}$

Để (*) có ba nghiệm phân biệt thì (**) phải có 2 nghiệm phân biệt khác 1.

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} m \neq 0 \\ m .1 - (m - 1) .1 + m + 1 \neq 0 \\ Δ = {(m - 1)}^{2} - 4 m (m + 1) > 0 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow \{\begin{matrix} m \neq 0 \\ m - m + 1 + m + 1 \neq 0 \\ m^{2} - 2 m + 1 - 4 m^{2} - 4 m > 0 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow \{\begin{matrix} m \neq 0 \\ m \neq - 2 \\ - 3 m^{2} - 6 m + 1 > 0 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow \{\begin{matrix} m \neq 0 \\ m \neq - 2 \\ \frac{- 3 - 2 \sqrt{3}}{3} < m < \frac{- 3 + 2 \sqrt{3}}{3} \end{matrix} \end{array}$

Mà $m \in ℤ \Rightarrow m = - 1$

Vậy có 1 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: C

Câu 21:

Cho hàm số $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + m x^{2} + (m^{2} - 4) x + 1$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số mm để hàm số $y = f (| x |)$ có đúng 3 điểm cực trị?

A.5

B.3

C.4

D.1

Xem đáp án

Bước 1:

Số điểm cực trị của hàm số $y = f (|x|)$ là $2 m + 1$ trong đó m là số điềm cực trị dương của hàm số $y = f (x)$

Do đó để hàm số $y = f (|x|)$ có đúng 3 điểm cực trị thì m=1⇒ hàm số $y = f (x)$ phải có 1 điểm cực trị dương (*).

Bước 2:

Ta có: $f^{'} (x) = x^{2} + 2 m x + m^{2} - 4$

Xét $f^{'} (x) = 0$ có $∆' = m^{2} - m^{2} + 4 > 0 \forall m$ nên $f^{'} (x) = 0$ có 2 nghiệm phân biệt

$[\begin{matrix} x_{1} = - m + 2 \\ x_{2} = - m - 2 \end{matrix}$

Bước 3:

$(*) \Rightarrow - m - 2 \leq 0 < - m + 2 \Leftrightarrow - 2 \leq m < 2$

Mà $m \in ℤ \Rightarrow m \in \{- 2; - 1; 0; 1\}$

Vậy có 4 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: C

Câu 22:

Gọi k là số giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} + (m^{2} - 8 m + 16) x - 31$ có cực trị. Tìm k.

Xem đáp án

Ta có: $y^{'} = x^{2} - 2 x + m^{2} - 8 m + 16$

Để hàm số đã cho có cực trị thì phương trình $y^{'} = 0$ phải có 2 nghiệm phân biệt.

$\begin{array}{l} \Rightarrow Δ' = 1 - m^{2} + 8 m - 16 > 0 \\ \Leftrightarrow - m^{2} + 8 m - 15 > 0 \\ \Leftrightarrow 3 < m < 5 \end{array}$

Mà $m \in ℤ \Rightarrow m = 4$

Vậy có 1 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

=>k = 1

Câu 23:

Cho hàm số $y = x^{4} - 2 m x^{2} + 3 m + 2.$ Tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành tam giác đều là:

A. $m = \sqrt[3]{3}$

B. $m = 0$

C. $m = - \sqrt[3]{3}$

D. $m = 3$

Xem đáp án

Hàm số $y = f (x)$ có 3 cực trị

⇔ $y' = 0$ có 3 nghiệm phân biệt

⇔(1) có 2 nghiệm phân biệt khác 0

⇔m > 0.

Gọi 3 điểm cực trị của hàm số lần lượt là $A (0; a); B (- \sqrt{m}; b); C (\sqrt{m}; c)$ Khi đó:

+) x = 0 \Rightarrow A (0; 3 m + 2)

\begin{array}{l} +) x = - \sqrt{m} \Rightarrow y = {(- \sqrt{m})}^{4} - 2 m . {(- \sqrt{m})}^{2} + 3 m + 2 \\ = m^{2} - 2 m^{2} + 3 m + 2 \\ = - m^{2} + 3 m + 2 \Rightarrow B (- \sqrt{m}; - m^{2} + 3 m + 2) \end{array}

\begin{array}{l} +) x = \sqrt{m} \Rightarrow y = - m^{2} + 3 m + 2 \\ \Rightarrow C (\sqrt{m}; - m^{2} + 3 m + 2) \end{array}

Ta luôn có $A B = A C$ nên tam giác ABC đều

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow A B = B C \Leftrightarrow A B^{2} = B C^{2} \\ \Leftrightarrow {(\sqrt{m})}^{2} + {(- m^{2})}^{2} = {(2 \sqrt{m})}^{2} + 0^{2} \\ \Leftrightarrow m + m^{4} = 4 m \\ \Leftrightarrow m^{4} - 3 m = 0 \\ \Leftrightarrow m (m^{3} - 3) = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{matrix} m = 0 \\ m = \sqrt[3]{3} \end{matrix} \end{array}$

Kết hợp điều kiện $m > 0 \Rightarrow m = \sqrt[3]{3}$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 24:

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số $y = ∣ 3 x^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2} + m ∣$ có 5 điểm cực trị?

A.26.

B.27.

C.16.

D.28.

Xem đáp án

Xét hàm số $f (x) = 3 x^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2}$ ta có

$\begin{array}{l} f' (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2} - 24 x \\ f' (x) = 0 \Leftrightarrow 12 x^{3} - 12 x^{2} - 24 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 \\ x = - 1 \\ x = 2 \end{matrix} \end{array}$

BBT:

Media VietJack

Ta có đồ thị $y = f (x) (C)$ như sau:

Media VietJack

Để $y = |3 x^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2} + m|$ có 5 điểm cực trị thì:

TH1: (C) cắt đường thẳng y = −m tại 2 điểm phân biệt khác cực trị

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} - m > 0 \\ - 32 < - m < - 5 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} m < 0 \\ 5 < m < 32 \end{matrix}$

Mà $m \in ℤ^{+} \Rightarrow m \in \{6; 7; ...; 31\}$ 26 giá trị.

TH2: (C) cắt đường thẳng y = −m tại 3 điểm phân biệt, trong đó có 1 cực trị

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} - m = 0 \\ - m = - 5 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} m = 0 (L) \\ m = 5 (T M) \end{matrix}$

Vậy, có tất cả 27 giá trị của m thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: B

Câu 25:

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số $y = \frac{x^{2} + m x + 2 m}{x + 1}$ có hai điểm cực trị A,B và tam giác OAB vuông tại O. Tổng tất cả các phần tử của S là:

A.9.

B.1.

C.4.

D.5.

Xem đáp án

ĐKXĐ: $D = ℝ ∖ \{- 1\}$

Ta có: $y = \frac{x^{2} + m x + 2 m}{x + 1} = x + m - 1 + \frac{m + 1}{x + 1}$

$\Rightarrow y^{'} = 1 - \frac{m + 1}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x^{2} + 2 x - m}{{(x + 1)}^{2}}$

Để hàm số đã cho có 2 cực trị thì phương trình

y^{'} = 0

phải có 2 nghiệm phân biệt khác −1

\Leftrightarrow \{\begin{matrix} Δ' = 1 + m > 0 \\ 1 - 2 - m \neq 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} m > - 1 \\ m \neq - 1 \end{matrix} \Leftrightarrow m > - 1

Khi đó, giả sử $x_{1}, x_{2}$ là nghiệm phân biệt của phương trình $y^{'} = 0$ , áp dụng định lí Vi-ét ta có $\{\begin{matrix} x_{1} + x_{2} = - 2 \\ x_{1} . x_{2} = - m \end{matrix}$

Đặt $A (x_{1}; x_{1} + m - 1 + \frac{m + 1}{x_{1} + 1}), B (x_{2}; x_{2} + m - 1 + \frac{m + 1}{x_{2} + 1})$ là hai điểm cực trị của hàm số.

Để tam giác OAB vuông tại O thì $\vec{O A} . \vec{O B} = 0$

$\Leftrightarrow x_{1} . x_{2} + (x_{1} + m - 1 + \frac{m + 1}{x_{1} + 1}) (x_{2} + m - 1 + \frac{m + 1}{x_{2} + 1}) = 0$

$\Leftrightarrow 2 x_{1} . x_{2} + (m - 1) (x_{1} + x_{2}) + (m + 1) (\frac{x_{1}}{x_{2} + 1} + \frac{x_{2}}{x_{1} + 1})$

$+ {(m - 1)}^{2} + (m^{2} - 1) (\frac{1}{x_{1} + 1} + \frac{1}{x_{2} + 1}) + \frac{{(m + 1)}^{2}}{(x_{1} + 1) (x_{2} + 1)} = 0$

$\Leftrightarrow 2 x_{1} . x_{2} + (m - 1) (x_{1} + x_{2}) + (m + 1) \frac{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{1} + x_{2}}{x_{1} x_{2} + x_{1} + x_{2} + 1}$

$+ {(m - 1)}^{2} + (m^{2} - 1) \frac{x_{1} + x_{2} + 2}{x_{1} x_{2} + x_{1} + x_{2} + 1} + \frac{{(m + 1)}^{2}}{x_{1} x_{2} + x_{1} + x_{2} + 1}$

$x_{1} . x_{2} + (m - 1) (x_{1} + x_{2}) + (m + 1) \frac{{(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} x_{2} + x_{1} + x}{x_{1} x_{2} + x_{1} + x_{2} + 1}$

$+ {(m - 1)}^{2} + (m^{2} - 1) \frac{x_{1} + x_{2} + 2}{x_{1} x_{2} + x_{1} + x_{2} + 1} + \frac{{(m + 1)}^{2}}{x_{1} x_{2} + x_{1} + x_{2} + 1}$

$\Leftrightarrow - 2 m - 2 (m - 1) + (m + 1) . \frac{2 + 2 m}{- m - 1} + {(m - 1)}^{2} + \frac{{(m + 1)}^{2}}{- m - 1} = 0$

$\Leftrightarrow - 2 m - 2 m + 2 - 2 - 2 m + m^{2} - 2 m + 1 - m - 1 = 0$

$\Leftrightarrow m^{2} - 9 m = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} m = 0 \\ m = 9 \end{matrix} (t m)$

$\Rightarrow S = \{0; 9\}$

Vậy tổng tất cả các phần tử của S là 9.

Đáp án cần chọn là: A

Câu 26:

Cho hàm số $y = \frac{x^{3}}{3} - a x^{2} - 3 a x + 4$ . Để hàm số đạt cực trị tại $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $\frac{x_{1}^{2} + 2 a x_{2} + 9 a}{a^{2}} + \frac{a^{2}}{x_{2}^{2} + 2 a x_{1} + 9 a} = 2$ thì a thuộc khoảng nào ?

A. $a \in (- 3; - \frac{5}{2})$

B. $a \in (- 5; - \frac{7}{2})$

C. $a \in (- 2; - 1)$

D. $a \in (- \frac{7}{2}; - 3)$

Xem đáp án

Đạo hàm : $y^{'} = x^{2} - 2 a x - 3 a, y^{'} = 0 \Leftrightarrow x^{2} - 2 a x - 3 a = 0 (1)$

Hàm số có hai cực trị $x_{1}, x_{2}$ khi $y^{'} = 0$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow > 0 \Leftrightarrow a < - 3$ hoặc a > 0

Khi đó $x_{1}, x_{2}$ là nghiệm pt (1), theo định lý Viet : $\{\begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 2 a \\ x_{1.} x_{2} = - 3 a \end{matrix}$

Do đó, thay $\{\begin{matrix} 2 a = x_{1} + x_{2} \\ 3 a = - x_{1} . x_{2} \end{matrix}$ vào đẳng thức bài cho ta được:

$\{\begin{matrix} \begin{array}{l} x_{1}^{2} + 2 a x_{2} + 9 a = x_{1}^{2} + (x_{1} + x_{2}) x_{2} - 3 x_{1} x_{2} = x_{1}^{2} - 2 x_{1} x_{2} + x_{2}^{2} \\ = {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 4 x_{1} x_{2} = 4 a^{2} + 12 a \end{array} \\ \begin{array}{l} x_{1}^{2} + 2 a x_{1} + 9 a = x_{1}^{2} + (x_{1} + x_{2)} x_{1} - 3 x_{1} x_{2} \\ = x_{1}^{2} - 2 x_{1} x_{2} + x^{2} = {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 4 x_{1} x_{2} = 4 a^{2} + 12 a \end{array} \end{matrix}$

Theo đề bài, ta có : $\frac{4 a + 12}{a} + \frac{a}{4 a + 12} = 2 \Leftrightarrow \frac{4 a + 12}{a} = 1 \Leftrightarrow a = - 4$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 27:

Tìm tập hợp S tất cả các giá trị của tham số thực m để đồ thị hàm số $y = x^{4} - 2 m^{2} x^{2} + m^{4} + 3$ có ba điểm cực trị đồng thời ba điểm cực trị đó cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tứ giác nội tiếp.

A. $S = \{\frac{- 1}{\sqrt{3}}; 0; \frac{1}{\sqrt{3}}\}$

B. $S = \{- 1; 1\}$

C. $S = \{\frac{- 1}{\sqrt{3}}; \frac{1}{\sqrt{3}}\}$

D. $S = \{\frac{- 1}{\sqrt{2}}; \frac{1}{\sqrt{2}}\}$

Xem đáp án

$y^{'} = 4 x^{3} - 4 m^{2} x; y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 \\ x = \pm m \end{matrix}$

Để hàm số có 3 cực trị thì phương trình $y^{'} = 0$ có 3 nghiệm, hay $m \neq 0$

Không mất tính tổng quát giả sử 3 điểm cực trị có tọa độ

A (0; m^{4} + 3), B (m; 3), C (- m; 3)

Ta có $\vec{A C} (- m; - m^{4}); \vec{O C} (- m; 3)$

Tứ giác OBAC có $\{\begin{matrix} A B = A C \\ O B = O C \end{matrix}$

Suy ra OA là đường trung trực của BC.

Để tứ giác OBAC nội tiếp đường tròn thì điểm B, C phải nhìn cạnh OA dưới góc $90^{\circ}$

Khi đó $\vec{A C} . \vec{O C} = 0 \Leftrightarrow m^{2} - 3 m^{4} = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} m = 0 : L \\ m = \pm \sqrt{\frac{1}{3}} : T / m \end{matrix}$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 28:

Cho hàm số $y = {(x - m)}^{3} - 3 x + m^{2}$ có đồ thị là (Cm) với m là tham số thực. Biết điểm M(a;b) là điểm cực đại của (Cm) ứng với một giá trị m thích hợp, đồng thời là điểm cực tiểu của (Cm) ứng với một giá trị khác của m. Tổng $S = 2018 a + 2020 b$ bằng

A.504.

B.−504.

C.12504.

D.5004.

Xem đáp án

Vì điểm M(a;b) thuộc đồ thị (Cm) nên ta có: ${(a - m)}^{3} - 3 a + m^{2} = b, \forall m \in ℝ (1)$

Xét $y^{'} = 3 {(x - m)}^{2} - 3; y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = m - 1 \\ x = m + 1 \end{matrix}$

Bảng biến thiên

Media VietJack

Dựa vào bảng biến thiên, ta có:

Nếu $m_{1}$ là giá trị của tham số m để đồ thị hàm số nhận điểm M(a;b) là điểm cực đại thì $a = m_{1} - 1$ . Nếu $m_{2}$ là giá trị của tham số m để đồ thị hàm số nhận điểm M(a;b) là điểm cực tiểu thì $a = m_{2} + 1$

Do đó $m_{1} = a + 1, m_{2} = a - 1$

Mà $m_{1}, m_{2}$ phải thỏa mãn (1)nên ta có: $\{\begin{matrix} - 1 - 3 a + {(a + 1)}^{2} = b \\ 1 - 3 a + {(a - 1)}^{2} = b \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} a = \frac{1}{2} \\ b = - \frac{1}{4} \end{matrix}$

Vậy $S = 2018 a + 2020 b = 504$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 29:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số $y = x^{4} - 2 m x^{2} + m - 1$ có ba điểm cực trị. Đồng thời ba điểm cực trị đó là ba đỉnh của một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1.

A. $[\begin{matrix} m = 1 \\ m = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2} \end{matrix}$

B. m =1

C. $[\begin{matrix} m = 1 \\ m = \pm \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2} \end{matrix}$

D. $m = \pm \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}$

Xem đáp án

Tập xác định $D = ℝ$

Ta có $y^{'} = 4 x^{3} - 4 m x = 4 x (x^{2} - m)$

Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị $\Leftrightarrow m \geq 0$

Khi đó: $y' = 4 m x^{3} - 4 m x = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 \\ x = \pm \sqrt{m} \end{matrix}$

Suy ra: Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là

A (0; m - 1), B (- \sqrt{m}; - m^{2} + m - 1), C (\sqrt{m}; - m^{2} + m - 1)

Ta có:

S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} |y_{B} - y_{A}| . |x_{C} - x_{B}| = m^{2} \sqrt{m}

A B = A C = \sqrt{m^{4} + m}, B C = 2 \sqrt{m}

Gọi R=1 là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Diện tích tam giác ABC là:

$S_{Δ A B C} = \frac{A B . A C . B C}{4 R} = \frac{2 \sqrt{m} (m^{4} + m)}{4}$

$m^{2} \sqrt{m} = \frac{2 \sqrt{m} (m^{4} + m)}{4} \Leftrightarrow 2 m = m^{3} + 1$

$\Leftrightarrow (m - 1) (m^{2} + m - 1) = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} m = 1 \\ m^{2} + m - 1 = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} m = 1 \\ m = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2} \\ m = \frac{- 1 - \sqrt{5}}{2} (l) \end{matrix}$

Vậy: $m = 1$ hoặc $m = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}$
Đáp án cần chọn là: A

Câu 30:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y = x^{8} + (m - 2) x^{5} - (m 2 - 4) x^{4} + 1$ đạt cực tiểu tại x = 0?

A.3.

B.5

C.4

D.Vô số.

Xem đáp án

Ta có

$y' = x^{3} [8 x^{4} + 5 x (m - 2) - 4 (m^{2} - 4)] = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 \\ g (x) = 8 x^{4} + 5 x (m - 2) - 4 (m^{2} - 4) = 0 \end{matrix}$

Do $x = 0$ là một nghiệm của đạo hàm nên hàm số đạt cực tiểu tại $x = 0$ ⇔y′ đổi dấu từ − sang + khi qua nghiệm $x = 0$

*) TH1: $x = 0$ là nghiệm của g(x) hay $m = \pm 2$

Với m = 2 thì $g (x) = 0$ có nghiệm $x = 0$ bội 4 theo kết quả ở trên thì $x = 0$ là nghiệm bội 7 của y′ nên $x = 0$ là điểm cực tiểu của hàm số nên chọn $m = 2$ .

Với $m = - 2$ thì g(x) có nghiệm $x = 0$ và 1 nghiệm dương, lúc này $x = 0$ là nghiệm bội 4 của f′(x) nên $x = 0$ không là điểm cực trị của hàm số. Loại $m = - 2$

*) TH2: $x = 0$ không là nghiệm của g(x) hay $m \neq \pm 2$ . Ta có $g (0) = - 4 (m^{2} - 4)$

$y^{'} = x^{3} g (x)$ đổi dấu từ − sang + qua nghiệm $x = 0$ khi và chỉ khi $\{\begin{matrix} \underset{x \to 0^{+}}{l i m} g (x) > 0 \\ \underset{x \to 0 -}{l i m} g (x) > 0 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow - 4 (m^{2} - 4) > 0 \Leftrightarrow m^{2} - 4 < 0 \Leftrightarrow - 2 < m < 2$

Do m nguyên nên $m \in \{- 1; 0; 1\}$

Kết hợp hai trường hợp ta được $m \in \{- 1; 0; 1; 2\}$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 31:

Cho hàm số $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x - 2$ thỏa mãn $\{\begin{matrix} a + b > 1 \\ 3 + 2 a + b < 0 \end{matrix}$ . Số điểm cực trị của hàm số $y = |f (| x |)|$ bằng:

A.5

B.9

C.2

D.1

Xem đáp án

Ta có: $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x - 2$

$+) f (0) = - 2 < 0; f (1) = a + b - 1 > 0$ nên $f (0) . f (1) < 0$

⇒ phương trình $f (x) = 0$ có ít nhất 11 nghiệm $x_{1} \in (0; 1)$

$+) f (2) = 2 (3 + 2 a + b) < 0$ nên $f (1) . f (2) < 0$

⇒ phương trình $f (x) = 0$ có ít nhất 1 nghiệm $x_{2} \in (1; 2)$

Do đó phương trình $f (x) = 0$ có ít nhất hai nghiệm và đồ thị hàm số
chỉ có thể có dạng:

Media VietJack

Khi đó, đồ thị hàm số $y = f (|x|)$ (màu tím) và $y = |f (|x|)|$ (màu cam) lần lượt có đồ thị như sau:

Media VietJack

Như vậy, hàm số $y = |f (|x|)|$ có tất cả 11 cực trị.

Đáp án cần chọn là: D