36 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Cực trị của hàm số

Câu 1:

y = f (x)

có đạo hàm trên (a;b). Nếu

f' (x)

đổi dấu từ âm sang dương qua điểm

x_{0}

thuộc (a;b) thì

A. $x_{0}$ là điểm cực đại của hàm số.

B. $x_{0}$ là điểm cực tiểu của hàm số

C. $x_{0}$ là điểm cực đại của đồ thị hàm số.

D.

x_{0}

là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.

Xem đáp án

Nếu $f' (x)$ đổi dấu từ âm sang dương qua điểm $x_{0}$ thì $x_{0}$ là điểm cực tiểu của hàm số.

Đáp án cần chọn là: B

Câu 2:

Giả sử

y = f (x)

có đạo hàm cấp hai trên (a;b). Nếu

\{\begin{matrix} f' (x_{0}) = 0 \\ f'' (x_{0}) > 0 \end{matrix}

thì

A. $x_{0}$ là điểm cực tiểu của hàm số.

B. $x_{0}$ là điểm cực đại của hàm số.

C. $x_{0}$ là điểm nằm bên trái trục tung.

D.

x_{0}

là điểm nằm bên phải trục tung.

Xem đáp án

Nếu $\{\begin{matrix} f' (x_{0}) = 0 \\ f'' (x_{0}) > 0 \end{matrix}$ thì $x_{0}$ là một điểm cực tiểu của hàm số.

Đáp án cần chọn là: A

Câu 3:

Điều kiện để hàm số bậc ba không có cực trị là phương trình $y' = 0$ có:

A.nghiệm kép.

B.vô nghiệm.

C.hai nghiệm phân biệt.

D.Cả A và B đúng.

Xem đáp án

Điều kiện để hàm số bậc ba không có cực trị là phương trình $y' = 0$ vô nghiệm hoặc có nghiệm kép.

Đáp án cần chọn là: D

Câu 4:

Cho các phát biểu sau:

1. Hàm số $y = f (x)$ đạt cực đại tại $x_{0}$ khi và chỉ khi đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm qua.

2. Hàm số $y = f (x)$ đạt cực trị tại $x_{0}$ khi và chỉ khi $x_{0}$ là nghiệm của đạo hàm.

3. Nếu $f' (x_{0}) = 0$ và $f'' (x_{0}) = 0$ thì $x_{0}$ không phải là cực trị của hàm số đã cho.

4. Nếu $f' (x_{0}) = 0$ và $f'' (x_{o}) > 0$ thì hàm số đạt cực đại tại $x_{0}$ .

Các phát biểu đúng là:

A.1; 3; 4

B.1

C.1; 2; 4

D.Tất cả đều đúng

Xem đáp án

+) Ta có định lí: Nếu $f' (x)$ đổi dấu từ dương sang âm khi x qua điểm $x_{o}$ (theo chiều tăng) thì hàm số đạt cực đại tại điểm ⇒ 1 đúng.

+) Điều kiện cần để $x_{o}$ là điểm cực trị của hàm số là: $x_{o}$ là nghiệm của phương trình $f' (x) = 0 \Rightarrow$ 2 sai.

+) Nếu $f' (x_{o}) = 0$ và f(x) có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm $x_{o}$ thì:

-) Nếu $f^{''} (x_{o}) < 0$ thì hàm số f(x) đạt cực đại tại điểm $x_{o}$ .

-) Nếu $f^{''} (x_{o}) > 0$ thì hàm số f(x) đạt cực tiểu tại điểm $x_{o}$ .

+) Nếu $f^{'} (x_{o}) = 0$ và $f^{''} (x_{o}) = 0$ thì ta không kết luận gì chứ không phải hàm số không đạt cực trị tại $x_{o}$ .

Khi

\{\begin{matrix} f' (x_{0}) = 0 \\ f'' (x_{0}) = 0 \end{matrix}

thì ta không kết luận gì vì có thể xảy ra cả hai trường hợp là hàm số đạt cực trị hoặc không đạt cực trị tại

x_{o}

.

Ví dụ:

+) TH1: Xét hàm $f (x) = x^{4}$ có $f^{'} (x) = 4 x^{3} = 0 \Leftrightarrow x = 0$

f^{''} (x) = 12 x^{2}

và

f^{''} (0) = 0

Trong TH này hàm số có $f^{''} (0) = 0$ nhưng vẫn đạt cực tiểu tại x = 0 vì đạo hàm $f' (x)$ đổi dấu từ âm sang dương qua x=0.

+) TH2: Xét hàm $g (x) = x^{3}$ có $f^{'} (x) = 3 x^{2} = 0 \Leftrightarrow x = 0$

$f^{''} (x) = 6 x \Rightarrow f^{''} (0) = 0$

Trong TH này hàm số có $f^{''} (0) = 0$ nhưng không đạt cực trị tại x = 0 vì đạo hàm $f^{'} (x) = 3 x^{2}$ không đổi dấu của x = 0.

⇒ 3 và 4 sai.

Đáp án cần chọn là: B

Câu 5:

Cho hàm số $y = f (x)$ có bảng biến thiên trên khoảng (0;2) như sau:

Media VietJack

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng:

A.Trên (0;2), hàm số không có cực trị

B.Hàm số đạt cực đại tại x = 1

C.Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1

D.Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0

Xem đáp án

A sai vì trên đoạn (0;2) vẫn có cực trị tại x = 1.

Hàm số đạt cực đại tại x = 1 nên B đúng.

C sai vì hàm số đạt cực đại tại x = 1 không phải cực tiểu

D sai vì đạo hàm không đổi dấu qua x = 0

Đáp án cần chọn là: B

Câu 6:

Cho hàm số $y = f (x)$ có bảng biến thiên như sau:

Media VietJack

Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai:

A.Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 2$

B.Hàm số đạt cực đại tại $x = 3$

C.Hàm số đạt cực tiểu tại $x = - 2$

D.Hàm số đạt cực đại tại

x = 0

Xem đáp án

Từ bảng biến thiên ta thấy:

- Đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương qua $x = - 2$ nên $x = - 2$ là điểm cực tiểu của hàm số (C đúng).

- Đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương qua $x = 2$ nên $x = 2$ là điểm cực tiểu của hàm số (A đúng).

- Đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm qua $x = 0$ nên $x = 0$ là điểm cực đại của hàm số (D đúng).

- Qua điểm $x = 3$ thì đạo hàm không đổi dấu nên $x = 3$ không là điểm cực trị của hàm số (B sai).

Đáp án cần chọn là: B

Câu 7:

Cho hàm số $y = f (x)$ có bảng biến thiên như sau. Khẳng định nào dưới đây là đúng?

Media VietJack

A.Giá trị cực tiểu của hàm số là $y = 2$

B.Giá trị cực đại của hàm số là $y = 2$ .

C.Giá trị cực tiểu của hàm số là $y = - \infty$

D.Hàm số không có cực trị.

Xem đáp án

Từ bảng biến thiên ta thấy, đạo hàm không đổi dấu trên $(- \infty; + \infty)$ nên hàm số không có cực trị.

Đáp án cần chọn là: D

Câu 8:

Cho hàm số $y = f (x)$ có bảng biến thiên như hình bên dưới, chọn khẳng định sai:

Media VietJack

A.Hàm số đạt cực đại tại $x = 2$

B.Giá trị cực đại của hàm số là $y = 3$

C. $x = - 2$ là điểm cực tiểu của hàm số.

D.Điểm (2;3) là điểm cực đại của đồ thị hàm số.

Xem đáp án

Từ bảng biến thiên ta thấy:

Đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm qua điểm $x = 2$ nên $x = 2$ là điểm cực đại của hàm số, $y = 3$ là giá trị cực đại của hàm số và (2;3) là điểm cực đại của đồ thị hàm số.

Ngoài ra, đạo hàm không đổi dấu qua điểm $x = - 2$ nên $x = - 2$ không là điểm cực trị của hàm số.

Đáp án cần chọn là: C

Câu 9:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đồ thị như hình vẽ bên.

Media VietJack

Trên đoạn $[- 3; 3],$ hàm số đã cho có mấy điểm cực trị?

A.4

B.5

C.2

D.3

Xem đáp án

Dựa vào đồ thị hàm số ta thầy, trên đoạn $[- 3; 3],$ hàm số $y = f (x)$ có 3 điểm cực trị là $(- 1; 1); (1; - 3); (2; 3) .$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 10:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đồ thị $f' (x)$ như hình vẽ. Số điểm cực trị của hàm số $y = f (x)$ là:

Media VietJack

A.2

B.3

C.0

D.1

Xem đáp án

Dựa vào đồ thị hàm số $y = f^{'} (x)$ ta thấy $f^{'} (x)$ có 1 lần đổi dấu từ âm sang dương

⇒ Hàm số $y = f (x)$ có 1 điểm cực trị.

Đáp án cần chọn là: D

Câu 11:

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên $ℝ$ và có bảng xét dấu $f' (x)$ như sau :

Media VietJack

Hàm số $y = f (x)$ có bao nhiêu điểm cực trị ?

A.1

B.2

C.4

D.3

Xem đáp án

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đổi dấu khi đi qua 4 điểm có hoành độ là $- 1; 0; 2; 4$ .Vậy hàm số $y = f (x)$ có 4 điểm cực trị.

Đáp án cần chọn là: C

Câu 12:

Hình vẽ dưới đây mô tả số người nhiễm Covid-19 đang được điều trị ở Việt Nam tính từ ngày 23/01/2020 đến ngày 13/02/2021.

Media VietJack

Hỏi từ ngày 16/06/2020 đến ngày 27/01/2021, ngày nào Việt Nam có số người được điều trị Covid-19 nhiều nhất?

A. 16/11/2020.

B. 17/08/2020.

C. 23/07/2020

D. 13/02/2021

Xem đáp án

Dựa vào hình vẽ ta thấy được, trong khoảng thời gian từ ngày 16/06/2021 đến ngày 27/01/2021, ngày 17/08/2020 có số người được điều trị Covid – 19 nhiều nhất là 492 người.

Đáp án cần chọn là: B

Câu 13:

Số điểm cực trị của đồ thị hàm số $y = \frac{x - 1}{2 - x}$ là:

A.0

B.1

C.2

D.3

Xem đáp án

TXĐ: $D = R ∖ \{2\}$

Dễ thấy $y^{'} = \frac{1}{{(2 - x)}^{2}} > 0 \forall x \in D$

⇒ Hàm số đồng biến trên các khoảng $(- \infty; 2)$ và $(2; + \infty)$

⇒ Hàm số không có cực trị.

Đáp án cần chọn là: A

Câu 14:

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + 1$ là:

A. $y = - 2 x + 1$

B. $y = 2 x - 1$

C. $y = - 2 x - 1$

D. $y = 2 x + 1$

Xem đáp án

Cách 1:

$y^{'} = 3 x^{2} - 6 x$

$y' = 0 \Leftrightarrow 3 x (x - 2) = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 \Rightarrow y = 1 \\ x = 2 \Rightarrow y = - 3 \end{matrix}$

Từ đây suy ra hai điểm cực trị có tọa độ A(0,1) và B(2,−3).

Phương trình đường thẳng qua hai điểm A,B là $\frac{x - 0}{2 - 0} = \frac{y - 1}{- 3 - 1}$

$\Leftrightarrow - 4 x = 2 (y - 1) \Leftrightarrow y = - 2 x + 1.$

Cách 2:

Ta có $y^{'} = 3 x^{2} - 6 x$

Khi đó $x^{3} - 3 x^{2} + 1 = (3 x^{2} - 6 x) (\frac{1}{3} x - \frac{1}{3}) - 2 x + 1$

Vậy đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là

y = - 2 x + 1

Cách 3:

Bước 1:

$y^{'} = 3 x^{2} - 6 x; y^{''} = 6 x - 6$

Bước 2:

Media VietJack

Bước 3: Ta được a=1 và b=-2

Vậy đường thẳng là: $y = - 2 x + 1$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 15:

Hàm số nào sau đây không có cực trị?

A. $y = x^{3}$

B. $y = x^{3} + 3 x^{2}$

C. $y = x^{4}$

D. $y = x^{4} + 1$

Xem đáp án

Đáp án A: $y^{'} = 3 x^{2} \geq 0$ với mọi x nên hàm số đồng biến trên R. Do đó nó không có cực trị.

Vậy hàm số $y = x^{3}$ không có cực trị.

Đáp án B: $y' = 3 x^{2} + 6 x = 3 x (x + 2) = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 \\ x = - 2 \end{matrix}$

y'' = 6 x + 6 \Rightarrow \{\begin{matrix} y'' (0) = 6 > 0 \\ y'' (- 2) = - 6 < 0 \end{matrix}

, do đó x=0 là điểm cực tiểu của hàm

số, x=−2x=−2 là điểm cực đại của hàm số.

Đáp án C: $y' = 4 x^{3} = 0 \Leftrightarrow x = 0 \Rightarrow \{\begin{matrix} y' > 0, \forall x > 0 \\ y' < 0, \forall x < 0 \end{matrix} \Rightarrow x = 0$ là điểm cực tiểu của hàm số.

Đáp án D: $y' = 4 x^{3} = 0 \Leftrightarrow x = 0 \Rightarrow \{\begin{matrix} y' > 0, \forall x > 0 \\ y' < 0, \forall x < 0 \end{matrix} \Rightarrow x = 0$ là điểm cực tiểu của hàm số.

Đáp án cần chọn là: A

Câu 16:

Hàm số $f (x) = 2 \sin 2 x - 3$ đạt cực tiểu tại:

A. $x = \frac{π}{4} + k π$

B. $x = \frac{π}{4} + \frac{k π}{2}$

C. $x = \frac{π}{2} + k π$

D. $x = \frac{π}{4} + \frac{(2 k + 1) π}{2}$

Xem đáp án

Ta có: $f (x) = 2 \sin 2 x - 3$

TXĐ: $D = R .$

$f^{'} (x) = 4 \cos 2 x, f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow \cos 2 x = 0 \Leftrightarrow 2 x = \frac{π}{2} + k π \Leftrightarrow x = \frac{π}{4} + \frac{k π}{2}, k \in Z$

$f^{''} (x) = - 8 \sin 2 x$

Ta có: $f^{''} (\frac{π}{4} + \frac{k π}{2}) = - 8 \sin (\frac{π}{2} + k π), k \in Z$

Khi $k = 2 n$ thì $\sin (\frac{π}{2} + 2 n π) = \sin \frac{π}{2} = 1$ nên $f^{''} (\frac{π}{4} + \frac{2 n π}{2}) = - 8 < 0$

Khi $k = 2 n + 1$ thì $\sin (\frac{π}{2} + (2 n + 1) π) = \sin \frac{3 π}{2} = - 1$ nên $f^{''} (\frac{π}{4} + \frac{(2 n + 1) π}{2}) = 8 > 0$

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại $x = \frac{π}{4} + \frac{(2 k + 1) π}{2}$
Đáp án cần chọn là: D

Câu 17:

Đồ thị hàm số nào sau đây có 3 điểm cực trị?

A. $y = x^{4} + 2 x^{2}$

B. $y = x^{4} - 2 x^{2} - 1$

C. $y = 2 x^{4} + 4 x^{2} - 4$

D. $y = - x^{4} - 2 x^{2} - 1$

Xem đáp án

Xét phương án B ta thấy $y^{'} = 4 x^{3} - 4 x = 4 x (x^{2} - 1) = 4 x (x + 1) (x - 1) .$

Phương trình $y^{'} = 0$ có ba nghiệm đơn phân biệt cho nên thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ngoài ra, ta tính y′ và giải các phương trình $y^{'} = 0$ ở từng đáp án ta thấy:

Đáp án A: $y^{'} = 4 x^{3} + 4 x = 4 x (x^{2} + 1)$ chỉ có 1 nghiệm x = 0 nên loại.

Đáp án C: $y^{'} = 8 x^{3} + 8 x = 8 x (x^{2} + 1)$ chỉ có 1 nghiệm x = 0 nên loại.

Đáp án D: $y^{'} = - 4 x^{3} - 4 x = - 4 x (x^{2} + 1)$ chỉ có 1 nghiệm x = 0 nên loại.

Đáp án cần chọn là: B

Câu 18:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm $f' (x) = (x - 1) (x^{2} - 2) (x^{4} - 4)$ Số điểm cực trị của hàm số $y = f (x)$ là:

A.3

B.2

C.4

D.1

Xem đáp án

Ta có: $f^{'} (x) = 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow (x - 1) (x^{2} - 2) (x^{4} - 4) = 0 \\ \Leftrightarrow (x - 1) {(x^{2} - 2)}^{2} (x^{2} + 2) = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 1 \\ x = \sqrt{2} \\ x = - \sqrt{2} \end{matrix} \end{array}$

Một điểm được gọi là cực trị của hàm số khi đạo hàm của hàm số đổi dấu qua điểm đó.

Ta nhận thấy đạo hàm của hàm số chỉ đổi dấu qua x=1 và không đổi dấu qua

x = \pm \sqrt{2}

Vậy hàm số có 1 điểm cực trị.

Đáp án cần chọn là: D

Câu 19:

Đồ thị hàm số $y = x^{3} - 3 x + 2$ có 2 điểm cực trị A,B. Diện tích tam giác OAB với O(0;0) là gốc tọa độ bằng:

A.2

B. $\frac{1}{2}$

C.1

D.3

Xem đáp án

$\begin{array}{l} y = x^{3} - 3 x + 2 \Rightarrow y^{'} = 3 x^{2} - 3 \\ y^{'} = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1 \end{array}$

Tọa độ 2 điểm cực trị : A(1;0),B(−1;4)

Khi đó

$S_{Δ O A B} = \frac{1}{2} . O A . d (B, O A) = \frac{1}{2} . |x_{A}| . |y_{B}| = \frac{1}{2} . |1| . |4| = 2$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 20:

Hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + 4$ đạt cực tiểu tại:

A.x = 0

B.x = 2

C.x = 4

D.x = 0 và x = 2

Xem đáp án

TXĐ: $D = R$

Ta có: $y^{'} = 3 x^{2} - 6 x$

$\Rightarrow y^{'} = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc x=2

Ta có bảng biến thiên:

Media VietJack

Từ bảng dễ thấy hàm số đạt giá trị cực tiểu y = 0 tại x = 2

Đáp án cần chọn là: B

Câu 21:

Cho hàm số $y = \frac{- x^{2} + 3 x + 6}{x + 2}$ , chọn kết luận đúng:

A.Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu (−4;11) và điểm cực đại (0;3).

B.Hàm số có điểm cực tiểu (−4;11) và điểm cực đại (0;3).

C.Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu (0;3) và điểm cực đại (−4;11).

D.Đồ thị hàm số không có điểm cực trị.

Xem đáp án

Ta có: $y = \frac{- x^{2} + 3 x + 6}{x + 2} = - x + 5 - \frac{4}{x + 2}$

TXĐ: $D = R ∖ \{- 2\}$

Ta có:

$\begin{array}{l} y' = - 1 + \frac{4}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{- x^{2} - 4 x}{{(x + 2)}^{2}}; y' = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 \Rightarrow y = 3 \\ x = - 4 \Rightarrow y = 11 \end{matrix} \end{array}$

Bảng biến thiên:

Media VietJack

Từ bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số có điểm cực đại là (0;3) và điểm cực tiểu là (−4;11).

Đáp án cần chọn là: A

Câu 22:

Cho hàm số bậc hai $y = f (x)$ có đồ thị như hình vẽ bên, một hàm số g(x) xác định theo f(x) có đạo hàm $g' (x) = f (x) + m$ . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số g(x) không có cực trị.

A. $m ⩽ 1$

B. $m ⩾ 1$

C.m > 1 hoặc m < 0

D.m > 1

Xem đáp án

Gọi hàm số $y = f (x) = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$

Đồ thị hàm số $y = a x^{2} + b x + c$ nhận điểm (0;−1) làm đỉnh và đi qua điểm (1;1) nên $a = 2; b = 0; c = - 1$ hay $f (x) = 2 x^{2} - 1$

Do đó $g^{'} (x) = 2 x^{2} + m - 1$

Hàm số $y = g (x)$ không có cực trị $\Leftrightarrow g^{'} (x) = 0$ vô nghiệm hoặc có nghiệm kép.

$\Leftrightarrow m - 1 ⩾ 0 \Leftrightarrow m ⩾ 1$

Vậy $m ⩾ 1$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 23:

Điểm thuộc đường thẳng $d : x - y - 1 = 0$ cách đều hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + 2$ là

A.(2;1).

B. (0;−1).

C.(1;0).

D.(-1;2)

Xem đáp án

Ta có

$\begin{array}{l} y = x^{3} - 3 x^{2} + 2 \to y' = 3 x^{2} - 6 x; y' = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 \Rightarrow y (0) = 2 \\ x = 2 \Rightarrow y (2) = - 2 \end{matrix} \end{array}$

Suy ra tọa độ hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là $A (0; 2), B (2; - 2) .$

Gọi $M \in d \Rightarrow M (a; a - 1),$ khi đó $\{\begin{matrix} M A = \sqrt{a^{2} + {(a - 3)}^{2}} \\ M B = \sqrt{{(a - 2)}^{2} + {(a + 1)}^{2}} \end{matrix}$

Mà M cách đều A,B

Suy ra $M A^{2} = M B^{2} \Leftrightarrow a^{2} + {(a - 3)}^{2} = {(a - 2)}^{2} + {(a + 1)}^{2} \Leftrightarrow a = 1 \Rightarrow M (1; 0) .$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 24:

Điểm thuộc đường thẳng $d : x - y - 1 = 0$ cách đều hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + 2$ là

A.(2;1).

B.(0;−1).

C.(1;0).

D.(−1;2)

Xem đáp án

Ta có

$y = x^{3} - 3 x^{2} + 2 \to y' = 3 x^{2} - 6 x; y' = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 \Rightarrow y (0) = 2 \\ x = 2 \Rightarrow y (2) = - 2 \end{matrix}$

Suy ra tọa độ hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là $A (0; 2), B (2; - 2) .$

Gọi $M \in d \Rightarrow M (a; a - 1),$ khi đó $\{\begin{matrix} M A = \sqrt{a^{2} + {(a - 3)}^{2}} \\ M B = \sqrt{{(a - 2)}^{2} + {(a + 1)}^{2}} \end{matrix}$

Mà M cách đều A,B

Suy ra $M A^{2} = M B^{2} \Leftrightarrow a^{2} + {(a - 3)}^{2} = {(a - 2)}^{2} + {(a + 1)}^{2} \Leftrightarrow a = 1 \Rightarrow M (1; 0) .$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 25:

Cho hàm số $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ (với $a, b, c, d \in ℝ$ và $a \neq 0$ ) có đồ thị như hình vẽ. Số điểm cực trị của hàm số $g (x) = f (- 2 x^{2} + 4 x)$ là

Media VietJack

A.2.

B.5.

C.4.

D.3.

Xem đáp án

Từ đồ thị ta thấy, hàm số f(x) đạt cực trị tại các điểm $x = - 2$ và $x = 0$ nên , f'(0)=0.

Ta có: $g^{'} (x) = (- 4 x + 4) f^{'} (- 2 x^{2} + 4 x)$

Cho $g' (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} - 4 x + 4 = 0 \\ f' (- 2 x^{2} + 4 x) = 0 \end{matrix} (*)$

Do

f^{'} (- 2) = 0, f^{'} (0) = 0

\Rightarrow f' (- 2 x^{2} + 4 x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} - 2 x^{2} + 4 x = 0 \\ - 2 x^{2} + 4 x = - 2 \end{matrix}

Do đó,

$(*) \Leftrightarrow [\begin{matrix} - 4 x + 4 = 0 \\ - 2 x^{2} + 4 x = - 2 \\ - 2 x^{2} + 4 x = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 1 \\ x = 1 \pm \sqrt{2} \\ x = 0 \\ x = 2 \end{matrix}$

Các nghiệm này đều là nghiệm đơn.

Do đó $g' (x)$ đổi dấu qua 5 điểm trên.

Vậy hàm số $y = g (x)$ có 5 điểm cực trị.

Đáp án cần chọn là: B

Câu 26:

Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:

Số điểm cực trị của hàm số $f (x^{2} - 2 x)$ là:

A.4

B.2

C.5

D.3

Xem đáp án

Đặt $g (x) = f (x^{2} - 2 x)$ ta có $g^{'} (x) = (2 x - 2) f^{'} (x^{2} - 2 x)$

$g' (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 1 \\ f' (x^{2} - 2 x) = 0 \end{matrix}$

Dựa vào BBT ta thấy $f' (x^{2} - 2 x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x^{2} - 2 x = 0 \\ x^{2} - 2 x = 3 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 \\ x = 2 \\ x = - 1 \\ x = 3 \end{matrix}$

⇒ Phương trình

g^{'} (x) = 0

có 5 nghiệm đơn

x = 0, x = 2, x = 3, x = - 1, x = 1

Vậy hàm số đã cho có 5 điểm cực trị.

Đáp án cần chọn là: C

Câu 27:

Số điểm cực trị của hàm số $y = |x^{2} - 3 x + 2|$ là:

A.2

B.3

C.1

D.4

Xem đáp án

Xét hàm số $y = x^{2} - 3 x + 2$ ta có: $y^{'} = 2 x - 3 \Rightarrow y^{'} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}$

⇒ Hàm số $y = x^{2} - 3 x + 2$ có 1 cực trị.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y = x^{2} - 3 x + 2$ với trục hoành ta có:

$x^{2} - 3 x + 2 = 0 \Leftrightarrow (x - 1) (x - 2) = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 1 \\ x = 2 \end{matrix}$

⇒ Đồ thị hàm số $y = x^{2} - 3 x + 2$ cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt.

⇒ Số điểm cực trị của hàm số $y = |x^{2} - 3 x + 2|$ là: $S = 1 + 2 = 3$ cực trị.

Đáp án cần chọn là: B

Câu 28:

Cho hàm số f(x) có đạo hàm $f' (x) = x^{2} (x + 2) (x - 3) .$ Điểm cực đại của hàm số $g (x) = f (x^{2} - 2 x)$ là:

A. $x = 3$

B. $x = 0$

C. $x = 1$

D. $x = - 1$

Xem đáp án

Ta có:

$\begin{array}{l} g (x) = f (x^{2} - 2 x) \\ \Rightarrow g' (x) = (2 x - 2) f' (x^{2} - 2 x) \\ g' (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} 2 x - 2 = 0 \\ f' (x^{2} - 2 x) = 0 \end{matrix} \end{array}$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 1 \\ x^{2} - 2 x = - 2 \\ x^{2} - 2 x = 3 \end{matrix}$ (ta không xét $x^{2} - 2 x = 0$ vì x = 0 là nghiệm kép của phương trình )

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 1 \\ x = 3 \\ x = - 1 \end{matrix}$ và qua các nghiệm này thì g′(x) đổi dấu.

Chọn x = 4 ta có $g^{'} (4) = 6 f^{'} (8) > 0$

Khi đó ta có BXD của g′(x) như sau:

Media VietJack

Điểm cực đại của hàm số $g (x) = f (x^{2} - 2 x)$ là $x_{C D} = 1$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 29:

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên R đồng thời hàm số $y = |f (x)|$ có đồ thị như hình vẽ bên, xác định số điểm cực trị của đồ thị hàm số $y = f (| x |) .$

Media VietJack

A.6

B.5

C.4

D.3

Xem đáp án

Từ hình vẽ ta có đồ thị hàm số $y = f (x)$ là một trong hai đồ thị dưới đây:

Từ hai đồ thị trên ta dựng được đồ thị $y = f (| x |)$ là một trong đồ thị dưới đây:

Media VietJack

Từ hai đồ thị ở trên ta thấy: Ở cả hai trường hợp thì hàm số $y = f (| x |)$ đều có 5 điểm cực trị.

Đáp án cần chọn là: B

Câu 30:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm liên tục trên $ℝ$ và đồ thị hàm số $y = f (x)$ như hình vẽ bên. Tìm số điểm cực trị của hàm số $y = 2019^{f (f (x) - 1)}$

Media VietJack

A.13

B.11

C.10

D.12

Xem đáp án

Ta có:

$y = 2019^{f (f (x) - 1)} \Rightarrow y^{'} = 2019^{f (f (x) - 1)} . f^{'} (f (x) - 1) . f^{'} (x) \ln 2019$

$f' (f (x) - 1) = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} f (x) - 1 = - 1 \\ f (x) - 1 = 1 \\ f (x) - 1 = 3 \\ f (x) - 1 = 6 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} f (x) = 0 \\ f (x) = 2 \\ f (x) = 4 \\ f (x) = 7 \end{matrix}$

$f^{'} (f (x) - 1) = 0$ có tất cả: $2 + 5 + 2 + 1 = 10$ nghiệm

(trong đó, có các nghiệm $x = 3, x = 6$ là nghiệm kép, còn lại là nghiệm đơn)

$f' (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = - 1 \\ x = 1 \\ x = 3 \\ x = 6 \end{matrix}$

$\Rightarrow y^{'} = 2019^{f (f (x) - 1)} . f^{'} (f (x) - 1) . f^{'} (x) = 0$ có 12 nghiệm phân biệt, trong đó, $x = 3, x = 6$ là nghiệm bội 3, còn lại là nghiệm đơn.

Do đó, số điểm cực trị của hàm số $y = 2019^{f (f (x) - 1)}$ là 12.

Đáp án cần chọn là: D

Câu 31:

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên $ℝ$ và có đồ thị f′(x) như hình vẽ bên. Số điểm cực đại của hàm số $g (x) = f (- x^{2} + x)$ là:

Media VietJack

A.2

B.4

C.5

D.3

Xem đáp án

Ta có:

$g (x) = f (- x 2 + x)$

$\Rightarrow g' (x) = (- 2 x + 1) f' (- x^{2} + x)$

$g' (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = \frac{1}{2} \\ f' (- x^{2} + x) = 0 \end{matrix}$

Dựa vào đồ thị hàm số $y = f^{'} (x)$ ta có $f' (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 \\ x = 1 \end{matrix}$

$\Rightarrow f' (- x^{2} + x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} - x^{2} + x = 0 \\ - x^{2} + x = 2 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 \\ x = 1 \end{matrix}$

Suy ra phương trình $g^{'} (x) = 0$ có 3 nghiệm đơn phân biệt $x = \frac{1}{2}, x = 0, x = 1$

Chọn $x = 2$ ta có $g^{'} (2) = - 3 f^{'} (- 2) < 0$ qua các nghiệm $x = \frac{1}{2}, x = 0, x = 1$ thì g′(x) đổi dấu.

BBT:

Media VietJack

Dựa vào BBT ta thấy hàm số $y = g (x)$ có 2 điểm cực đại $x = 0, x = 1$ .

Đáp án cần chọn là: A

Câu 32:

Số điểm cực đại của hàm số $y = (x - 1) (x - 2) (x - 3) ... (x - 100)$ bằng:

A.45

B.49

C.44

D.100

Xem đáp án

Xét phương trình $y = (x - 1) (x - 2) (x - 3) ... (x - 100) = 0$ phương trình có 100 nghiệm phân biệt.

Phương trình $y = f (x) = 0$ là phương trình bậc 100, có 100 nghiệm, do đó hàm số $y = f (x)$ có 99 điểm cực trị.

Lại có $\lim_{x \to + \infty} y = + \infty$ nên số điểm cực tiểu nhiều hơn số điểm cực đại là 1.

Do đó hàm số có 50 điểm cực tiểu, 49 điểm cực đại.

Đáp án cần chọn là: B

Câu 33:

Cho hai hàm số bậc bốn $y = f (x)$ và $y = g (x)$ có các đồ thị như hình dưới đây (2 đồ thị có đúng 3 điểm chung).

Media VietJack

Số điểm cực trị của hàm số $h (x) = f^{2} (x) + g^{2} (x) - 2 f (x) . g (x)$ là:

A.5

B.4

C.6

D.3

Xem đáp án

Ta có:

$h (x) = {[f (x) - g (x)]}^{2}$

$\Rightarrow h^{'} (x) = 2 [f (x) - g (x)] . {[f (x) - g (x)]}^{'} = 2 [f (x) - g (x)] [f^{'} (x) - g^{'} (x)] .$

Cho $h' (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} f (x) - g (x) = 0 (1) \\ f' (x) - g' (x) = 0 (2) \end{matrix}$

Từ đồ thị hàm số ta thấy phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt

[\begin{matrix} x = - 1 \\ x = x_{1} \in (- 1; 3) \\ x = 3 \end{matrix}

và đa thức

f (x) - g (x)

đổi dấu khi qua các nghiệm này. Do đó các nghiệm trên là các nghiệm bội lẻ của (1). Mà f(x) và g(x) đều là các đa thức bậc 4 nên bậc của phương trình (1) nhỏ hơn hoặc bằng 4. Từ đó suy ra phương trình (1) là phương trình bậc 3. Do đó phương trình (1) là phương trình bậc 3 có 3 nghiệm phân biệt nên phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt không trùng với các nghiệm của phương trình (1). Suy ra phương trình

h^{'} (x) = 0

có 5 nghiệm phân biệt và h′(x) đổi dấu qua các nghiệm này nên hàm số h(x) có 5 điểm cực trị.

Đáp án cần chọn là: A

Câu 34:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm f′(x) có đồ thị như hình dưới đây

Số điểm cực trị của hàm số

g (x) = 8 f (x^{3} - 3 x + 3) - (2 x^{6} - 12 x^{4} + 16 x^{3} + 18 x^{2} - 48 x + 1)

là:

A.5

B.8

C.7

D.9

Xem đáp án

Ta có:

$g (x) = 8 f (x^{3} - 3 x + 3) - (2 x^{6} - 12 x^{4} + 16 x^{3} + 18 x^{2} - 48 x + 1)$

$g' (x) = 24 (x^{2} - 1) [f' (x^{3} - 3 x + 3) - \frac{1}{2} (x^{3} - 3 x + 3 + 1)]$

$g' (x) = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} x = \pm 1 \\ f' (x^{3} - 3 x + 3) = \frac{1}{2} (x^{3} - 3 x + 3 + 1) (*) \end{matrix}$

Đặt

t = x^{3} - 3 x + 3

phương trình (*) trở thành

f^{'} (t) = \frac{1}{2} (t + 1)

do đó số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số

y = f^{'} (t)

và

y = \frac{1}{2} (t + 1)

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy (∗) $\Leftrightarrow [\begin{matrix} t = - 1 \\ t = 1 \\ t = 5 \\ t = t_{0} \in (1; 5) \end{matrix}$

+ Với $t = - 1 \Rightarrow x^{3} - 3 x + 3 = - 1$ phương trình này có 1 nghiệm không nguyên.

+ Với $t = 1 \Rightarrow x^{3} - 3 x + 3 = 1 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 1 \\ x = - 2 \end{matrix}$ trong đó x = 1 là nghiệm bội 2.

+ Với $t = 5 \Rightarrow x^{3} - 3 x + 3 = 5 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 2 \\ x = - 1 \end{matrix}$ trong đó x = −1 là nghiệm bội 2.

+ Với $t = t_{0} \in (1; 5) \Rightarrow 1 < t_{0} < 5$ ta có phương trình $x^{3} - 3 x + 3 = t_{0}$

Xét hàm số $h (x) = x^{3} - 3 x + 3$ ta có:

$h' (x) = 3 x 2 - 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 1 \\ x = - 1 \end{matrix}$

BBT:

Media VietJack

Từ BBT suy ra phương trình $x^{3} - 3 x + 3 = t_{0}$ có 3 nghiệm phân biệt.

Suy ra phương trình $g^{'} (x) = 0$ có 8 nghiệm phân biệt và g′(x) đổi dấu qua các nghiệm này

( $x = \pm 1$ là nghiệm bội ba) nên hàm số g(x) có 8 điểm cực trị.

Đáp án cần chọn là: B

Câu 35:

Cho hàm số $y = f (x) = a x^{4} + b x^{2} + c$ biết $a > 0, c > 2017$ và $a + b + c < 2017$ . Số điểm cực trị của hàm số $y = |f (x) - 2017|$ là:

A.1

B.7

C.5

D.3

Xem đáp án

Hàm số $y = f (x) = a x^{4} + b x^{2} + c$ xác định và liên tục trên $D = ℝ$

Ta có $f (0) = c > 2017 > 0$

$f (- 1) = f (1) = a + b + c < 2017$

Do đó $[f (- 1) - 2017] . [f (0) - 2017] < 0$ và $[f (1) - 2017] . [f (0) - 2017] < 0$

Mặt khác $\lim_{x \to \pm \infty} f (x) = + \infty$ nên $\exists α < 0, β > 0$ sao cho $f (α) > 2017$ , $f (β) > 2017$

$[f (α) - 2017] . [f (- 1) - 2017] < 0$ và $[f (β) - 2017] . [f (1) - 2017] < 0$

Suy ra đồ thị hàm số $y = f (x) - 2017$ cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt

Đồ thị hàm số $y = |f (x) - 2017|$ có dạng

Media VietJack

Vậy số điểm cực trị của hàm số $y = |f (x) - 2017|$ là 7 .

Đáp án cần chọn là: B

Câu 36:

Cho hàm số $y = f^{'} (x)$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây:

Media VietJack

Tìm số điểm cực trị của hàm số $y = e^{2 f (x) + 1} + 5^{f (x)}$

A.1

B.2

C.4

D.3

Xem đáp án

Bước 1: Tính y'

Ta có:

$\begin{array}{l} y = e^{2 f (x) + 1} + 5^{f (x)} \\ y^{'} = 2 f^{'} (x) . e^{2 f (x) + 1} + f^{'} (x) {.5}^{f (x)} . \ln 5 \\ = f^{'} (x) [2 e^{2 f (x) + 1} + 5^{f (x)} \ln 5] \end{array}$

Bước 2: Chứng minh dấu của y' chỉ phụ thuộc vào dấu của f′(x) và tìm số cực trị.

Ta thấy $2 e^{2 f (x) + 1} + 5^{f (x)} \ln 5 > 0 \forall x$

=> Dấu của y’ phụ thuộc vào dấu của f′(x).

Dựa vào đồ thị ta thấy f′(x) đổi dấu 3 lần nên số điểm cực trị của hàm số ban đầu là 3.

Đáp án cần chọn là: D