20 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Tích có hướng và ứng dụng - vietjack.online

Tích có hướng và ứng dụng

Đề số 1

Tích có hướng và ứng dụng

1210 lượt thi
20 câu hỏi
45 phút

BẮT ĐẦU LÀM BÀI

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Cho hai véc tơ $\vec{u_{1}} = (x_{1}; y_{1}; z_{1})$ và $\vec{u_{2}} = (x_{2}; y_{2}; z_{2})$ . Kí hiệu $\vec{u} = [\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}],$ khi đó:

A. $\vec{u} = (|\begin{matrix} \begin{array}{l} y_{2} \\ y_{1} \end{array} & \begin{array}{l} z_{2} \\ z_{1} \end{array} \end{matrix}|; |\begin{matrix} \begin{array}{l} z_{2} \\ z_{1} \end{array} & \begin{array}{l} x_{2} \\ x_{1} \end{array} \end{matrix}|; |\begin{matrix} \begin{array}{l} x_{2} \\ x_{1} \end{array} & \begin{array}{l} y_{2} \\ y_{1} \end{array} \end{matrix}|)$

B. $\vec{u} = (|\begin{matrix} \begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array} & \begin{array}{l} y_{1} \\ y_{2} \end{array} \end{matrix}|; |\begin{matrix} \begin{array}{l} y_{1} \\ y_{2} \end{array} & \begin{array}{l} z_{1} \\ z_{2} \end{array} \end{matrix}|; |\begin{matrix} \begin{array}{l} z_{1} \\ z_{2} \end{array} & \begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array} \end{matrix}|)$

C. $\vec{u} = (|\begin{matrix} \begin{array}{l} y_{1} \\ y_{2} \end{array} & \begin{array}{l} z_{1} \\ z_{2} \end{array} \end{matrix}|; |\begin{matrix} \begin{array}{l} z_{1} \\ z_{2} \end{array} & \begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array} \end{matrix}|; |\begin{matrix} \begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array} & \begin{array}{l} y_{1} \\ y_{2} \end{array} \end{matrix}|)$

D.

\vec{u} = (|\begin{matrix} \begin{array}{l} z_{1} \\ z_{2} \end{array} & \begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array} \end{matrix}|; |\begin{matrix} \begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array} & \begin{array}{l} y_{1} \\ y_{2} \end{array} \end{matrix}|; |\begin{matrix} \begin{array}{l} y_{1} \\ y_{2} \end{array} & \begin{array}{l} z_{1} \\ z_{2} \end{array} \end{matrix}|)

Công thức xác định tọa độ tích có hướng

$[\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] = (|\begin{matrix} \begin{array}{l} y_{1} \\ y_{2} \end{array} & \begin{array}{l} z_{1} \\ z_{2} \end{array} \end{matrix}|; |\begin{matrix} \begin{array}{l} z_{1} \\ z_{2} \end{array} & \begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array} \end{matrix}|; |\begin{matrix} \begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array} & \begin{array}{l} y_{1} \\ y_{2} \end{array} \end{matrix}|)$

$= (y_{1} z_{2} - y_{2} z_{1}; z_{1} x_{2} - z_{2} x_{1}; x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1})$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 2:

Cho hai véc tơ $\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}$ ,khi đó:

A. $[\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] = [\vec{u_{2}}, \vec{u_{1}}]$

B. $[\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] = - [\vec{u_{2}}, \vec{u_{1}}]$

C. $[\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] - [\vec{u_{2}}, \vec{u_{1}}] = \vec{0}$

D.

[\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] + [\vec{u_{2}}, \vec{u_{1}}] = 0

Ta có: $[\vec{u_{1}}; \vec{u_{2}}] = - [\vec{u_{2}}; \vec{u_{1}}]$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 3:

Điều kiện để hai véc tơ $\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}$ cùng phương là:

A. $\vec{u_{1}} . \vec{u_{2}} = 0$

B. $\vec{u_{1}} . \vec{u_{2}} = \vec{0}$

C. $[\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] = \vec{0}$

D.

[\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] = 0

Ta có: $[\vec{u_{1}}; \vec{u_{2}}] = \vec{0} \Leftrightarrow \vec{u_{1}}$ cùng phương $\vec{u_{2}}$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 4:

Cho hai véc tơ $\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}},$ chọn kết luận sai:

A. $[\vec{u_{1}}; \vec{u_{2}}] . \vec{u_{1}} = 0$

B. $[\vec{u_{1}}; \vec{u_{2}}] . \vec{u_{2}} = \vec{0}$

C. $[\vec{u_{1}}; \vec{u_{2}}] . \vec{u_{2}} = 0$

D.

[\vec{u_{1}}; \vec{u_{2}}] ⊥ \vec{u_{1}}

Vì tích có hướng của hai véc tơ vuông góc với cả hai véc tơ đó nên:

$\begin{array}{l} [\vec{u_{1}}; \vec{u_{2}}] ⊥ \vec{u_{1}} \Rightarrow [\vec{u_{1}}; \vec{u_{2}}] . \vec{u_{1}} = 0 \\ [\vec{u_{1}}; \vec{u_{2}}] ⊥ \vec{u_{2}} \Rightarrow [\vec{u_{1}}; \vec{u_{2}}] . \vec{u_{2}} = 0 \end{array}$

Do đó các đáp án A, C, D đúng.

Đáp án cần chọn là: B

Câu 5:

Cho hai véc tơ $\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}$ , kí hiệu $(\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}})$ là góc hợp bởi hai véc tơ. Chọn mệnh đề đúng:

A. $|[\vec{u_{1}}; \vec{u_{2}}]| = |\vec{u_{1}}| . |\vec{u_{2}}| \sin (\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}})$

B. $|[\vec{u_{1}}; \vec{u_{2}}]| = |\vec{u_{1}}| . |\vec{u_{2}}| \cos (\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}})$

C. $[\vec{u_{1}}; \vec{u_{2}}] = |\vec{u_{1}}| . |\vec{u_{2}}| \sin (\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}})$

D.

|[\vec{u_{1}}; \vec{u_{2}}]| = |\vec{u_{1}} . \vec{u_{2}}| \sin (\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}})

Ta có: $|[\vec{u_{1}}; \vec{u_{2}}]| = |\vec{u_{1}}| . |\vec{u_{2}}| \sin (\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}})$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 6:

Cho A,B,C là ba đỉnh của tam giác. Công thức tính diện tích tam giác ABC là:

A. $S_{A B C} = |[\vec{A B}, \vec{A C}]|$

B. $S_{A B C} = \frac{1}{2} |[\vec{A B}, \vec{A C}]|$

C. $S_{A B C} = \frac{1}{4} |[\vec{A B}, \vec{A C}]|$

D.

S_{A B C} = \frac{1}{6} |[\vec{A B}, \vec{A C}]|

Tam giác ABC có $S_{A B C} = \frac{1}{2} |[\vec{A B}, \vec{A C}]|$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 7:

Diện tích hình bình hành ABCD được tính theo công thức:

A. $S_{A B C D} = |[\vec{A B}, \vec{A D}]|$

B. $S_{A B C D} = \frac{1}{2} |[\vec{A B}, \vec{A D}]|$

C. $S_{A B C D} = 2 |[\vec{A B}, \vec{A D}]|$

D.

S_{A B C D} = 4 |[\vec{A B}, \vec{A D}]|

Công thức tính diện tích hình bình hành $S_{A B C D} = |[\vec{A B}, \vec{A D}]|$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 8:

Thể tích khối tứ diện được tính theo công thức:

A. $V_{A B C D} = \frac{1}{3} |[\vec{A B}, \vec{A C}] . \vec{A D}|$

B. $V_{A B C D} = \frac{1}{6} |[\vec{A B}, \vec{A D}] . \vec{A D}|$

C. $V_{A B C D} = \frac{1}{6} |[\vec{A B}, \vec{A C}] . \vec{A D}|$

D.

V_{A B C D} = \frac{1}{6} |[\vec{A B}, \vec{A D}] . \vec{A B}|

Công thức tính thể tích tứ diện ABCD là $V_{A B C D} = \frac{1}{6} |[\vec{A B}, \vec{A C}] . \vec{A D}|$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 9:

Công thức tính thể tích khối hộp $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ là:

A. $V_{A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}} = [\vec{A B}, \vec{A D}] . \vec{A A^{'}}$

B. $V_{A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}} = \frac{1}{6} |[\vec{A B}, \vec{A D}] . \vec{A A^{'}}|$

C. $V_{A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}} = |[\vec{A B}, \vec{A D}] . \vec{A A^{'}}|$

D.

V_{A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}} = \frac{1}{3} |[\vec{A B}, \vec{A D}] . \vec{A A^{'}}|

Khối hộp $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có thể tích $V_{A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}} = |[\vec{A B}, \vec{A D}] . \vec{A A^{'}}|$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 10:

Tính tích có hướng của hai véc tơ $\vec{u} (0; 1; - 1), \vec{v} (1; - 1; - 1)$ .

A. $\vec{0}$

B.(−2;−1;−1)

C.(2;1;1)

D.(−1;−2;−1)

Ta có:

$[\vec{u}, \vec{v}] = (|\begin{matrix} \begin{array}{l} 1 \\ - 1 \end{array} & \begin{array}{l} - 1 \\ - 1 \end{array} \end{matrix}|; |\begin{matrix} \begin{array}{l} - 1 \\ - 1 \end{array} & \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \end{matrix}|; |\begin{matrix} \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} & \begin{array}{l} 1 \\ - 1 \end{array} \end{matrix}|)$

$= (- 1 - 1; - 1 - 0; 0 - 1) = (- 2; - 1; - 1)$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 11:

Hai véc tơ $\vec{u} = (a; 1; b), \vec{v} = (- 2; 2; c)$ cùng phương thì:

A.b=2c

B.c=2b

C.b=−2c

D.b=c

Ta có: $\vec{u} = k \vec{v} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} a = - 2 k \\ 1 = 2 k \\ b = k c \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} k = \frac{1}{2} \\ a = - 1 \\ b = \frac{1}{2} c \end{matrix} \Rightarrow c = 2 b$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 12:

Cho ba véc tơ

\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}, \vec{u_{3}}

[\vec{u_{1}}; \vec{u_{2}}] . \vec{u_{3}} = 0 \Leftrightarrow

. Khi đó ba véc tơ đó

A.đồng phẳng

B.đôi một vuông góc

C.cùng phương

D.cùng hướng

$[\vec{u_{1}}; \vec{u_{2}}] . \vec{u_{3}} = 0 \Leftrightarrow$ ba véc tơ $\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}, \vec{u_{3}}$ đồng phẳng.

Đáp án cần chọn là: A

Câu 13:

Sin của góc giữa hai véc tơ $\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}$ là:

A. $\sin (\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}) = \frac{|[\vec{u_{1}}; \vec{u_{2}}]|}{|\vec{u_{1}}| . |\vec{u_{2}}|}$

B. $\sin (\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}) = \frac{[\vec{u_{1}}; \vec{u_{2}}]}{|\vec{u_{1}}| . |\vec{u_{2}}|}$

C. $\sin (\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}) = \frac{\vec{u_{1}} . \vec{u_{2}}}{|\vec{u_{1}}| . |\vec{u_{2}}|}$

D.

\sin (\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}) = \frac{|\vec{u_{1}} . \vec{u_{2}}|}{|\vec{u_{1}}| . |\vec{u_{2}}|}

Ta có:

$|[\vec{u_{1}}; \vec{u_{2}}]| = |\vec{u_{1}}| . |\vec{u_{2}}| \sin (\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}) \Rightarrow \sin (\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}) = \frac{|[\vec{u_{1}}; \vec{u_{2}}]|}{|\vec{u_{1}}| . |\vec{u_{2}}|}$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 14:

Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(0;−2;3),B(1;0;−1). Tính sin góc hợp bởi hai véc tơ $\vec{O A}, \vec{O B}$ .

A.1

B. $\sqrt{\frac{19}{26}}$

C. $\sqrt{\frac{1}{2}}$

D.

\sqrt{\frac{17}{26}}

Ta có:

$\begin{array}{l} \vec{O A} = (0; - 2; 3) \Rightarrow |\vec{O A}| = \sqrt{0^{2} + {(- 2)}^{2} + 3^{2}} = \sqrt{13} \\ \vec{O B} = (1; 0; - 1) \Rightarrow |\vec{O B}| = \sqrt{1^{2} + 0^{2} + {(- 1)}^{2}} = \sqrt{2} \end{array}$

Suy ra

$[\vec{O A}, \vec{O B}] = (|\begin{matrix} \begin{array}{l} - 2 \\ 0 \end{array} & \begin{array}{l} 3 \\ - 1 \end{array} \end{matrix}|; |\begin{matrix} \begin{array}{l} 3 \\ - 1 \end{array} & \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \end{matrix}|; |\begin{matrix} \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} & \begin{array}{l} - 2 \\ 0 \end{array} \end{matrix}|) = (2; 3; 2)$

$\Rightarrow |[\vec{O A}, \vec{O B}]| = \sqrt{2^{2} + 3^{2} + 2^{2}} = \sqrt{17}$

Do đó $\sin (\vec{O A}, \vec{O B}) = \frac{|[\vec{O A}, \vec{O B}]|}{|\vec{O A}| . |\vec{O B}|} = \frac{\sqrt{17}}{\sqrt{13} . \sqrt{2}} = \sqrt{\frac{17}{26}}$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 15:

Diện tích tam giác OBC biết B(1;0;2),C(−2;0;0) là:

A. $\sqrt{5}$

B. 4

C. $2 \sqrt{5}$

D. 2

Ta có: $\vec{O B} = (1; 0; 2), \vec{O C} = (- 2; 0; 0)$

$\Rightarrow [\vec{O B}, \vec{O C}] = (|\begin{matrix} \begin{array}{l} 0 \\ 0 \end{array} & \begin{array}{l} 2 \\ 0 \end{array} \end{matrix}|; |\begin{matrix} \begin{array}{l} 2 \\ 0 \end{array} & \begin{array}{l} 1 \\ - 2 \end{array} \end{matrix}|; |\begin{matrix} \begin{array}{l} 1 \\ - 2 \end{array} & \begin{array}{l} 0 \\ 0 \end{array} \end{matrix}|) = (0; - 4; 0)$

Do đó $S_{O B C} = \frac{1}{2} |[\vec{O B}, \vec{O C}]| = \frac{1}{2} \sqrt{0 + {(- 4)}^{2} + 0^{2}} = 2$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 16:

Công thức nào sau đây không sử dụng để tính diện tích hình bình hàn ABCDABCD?

A. $S_{A B C D} = |[\vec{A B}, \vec{A D}]|$

B. $S_{A B C D} = |[\vec{A B}, \vec{A C}]|$

C. $S_{A B C D} = |[\vec{B C}, \vec{B D}]|$

D.

S_{A B C D} = |[\vec{A C}, \vec{B D}]|

Diện tích hình bình hành $S_{A B C D} = |[\vec{A B}, \vec{A D}]| = |[\vec{A B}, \vec{A C}]| = |[\vec{B C}, \vec{B D}]|$

Hai công thức sau có được từ việc suy luận diện tích hình bình hành ABCD bằng hai lần diện tích tam giác ABC hoặc tam giác DCB.

Chỉ có đáp án D là công thức sai.

Đáp án cần chọn là: D

Câu 17:

Diện tích hình bình hành ABCD có các điểm A(1;0;0),B(0;1;2),C(−1;0;0) là:

A. $\sqrt{5}$

B. $2 \sqrt{5}$

C. $2 \sqrt{6}$

D.

2 \sqrt{2}

Ta có: $\vec{A B} = (- 1; 1; 2), \vec{A C} = (- 2; 0; 0)$

$\Rightarrow [\vec{A B}, \vec{A C}] = (|\begin{matrix} \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} & \begin{array}{l} 2 \\ 0 \end{array} \end{matrix}|; |\begin{matrix} \begin{array}{l} 2 \\ 0 \end{array} & \begin{array}{l} - 1 \\ - 2 \end{array} \end{matrix}|; |\begin{matrix} \begin{array}{l} - 1 \\ - 2 \end{array} & \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \end{matrix}|) = (0; - 4; 2)$

Do đó diện tích hình bình hành $S_{A B C D}$ là:

$S_{A B C D} = |[\vec{A B}, \vec{A C}]| = \sqrt{0^{2} + {(- 4)}^{2} + 2^{2}} = 2 \sqrt{5}$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 18:

Trong không gian tọa độ Oxyz, tính thể tích khối tứ diện OBCD biết B(2;0;0),C(0;1;0),D(0;0;−3).

A.1

B.6

C.3

D.2

Ta có: $\vec{O B} = (2; 0; 0), \vec{O C} = (0; 1; 0), \vec{O D} = (0; 0; - 3)$

Do đó $[\vec{O B}, \vec{O C}] = (|\begin{matrix} \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} & \begin{array}{l} 0 \\ 0 \end{array} \end{matrix}|; |\begin{matrix} \begin{array}{l} 0 \\ 0 \end{array} & \begin{array}{l} 2 \\ 0 \end{array} \end{matrix}|; |\begin{matrix} \begin{array}{l} 2 \\ 0 \end{array} & \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \end{matrix}|) = (0; 0; 2)$

Suy ra $V_{O B C D} = \frac{1}{6} |[\vec{O B}, \vec{O C}] . \vec{O D}| = \frac{1}{6} |0.0 + 0.0 + 2. (- 3)| = 1$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 19:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, véctơ nào dưới đây vuông góc với cả hai véctơ $\vec{u} = (- 1; 0; 2), \vec{v} = (4; 0; - 1)$ ?

A. $\vec{w} = (1; 7; 1) .$

B. $\vec{w} = (- 1; 7; - 1) .$

C. $\vec{w} = (0; 7; 1) .$

D.

\vec{w} = (0; - 1; 0) .

Ta có: $[\vec{u}; \vec{v}] = (0; 7; 0)$

Dựa vào các đáp án ta thấy chỉ có vectơ $\vec{w} = (0; - 1; 0)$
cùng phương với $[\vec{u}; \vec{v}]$

Vậy $\vec{w} = (0; - 1; 0)$ vuông góc với cả hai véctơ $\vec{u} = (- 1; 0; 2), \vec{v} = (4; 0; - 1)$
Đáp án cần chọn là: D

Câu 20:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;0;2), B(2;−1;3). Số điểm M thuộc trục Oy sao cho tam giác MAB có diện tích bằng $\frac{\sqrt{6}}{4}$ là:

A.1

B.Vô số

C.0

D.2

Gọi $M (0; m; 0) \in O y$

Ta có: $\vec{A M} = (- 1; m; - 2), \vec{A B} = (1; - 1; 1)$

$\Rightarrow [\vec{A M}; \vec{A B}] = (m - 2; - 1; 1 - m)$

$\Rightarrow S_{M A B} = \frac{1}{2} [\vec{A M}; \vec{A B}] = \frac{1}{2} \sqrt{{(m - 2)}^{2} + {(- 1)}^{2} + {(1 - m)}^{2}} = \frac{1}{2} \sqrt{2 m^{2} - 6 m + 6}$

$\Rightarrow \frac{1}{2} \sqrt{2 m^{2} - 6 m + 6} = \frac{\sqrt{6}}{4}$

$\Leftrightarrow 2 \sqrt{2 m^{2} - 6 m + 6} = \sqrt{6}$

$\Leftrightarrow 4 (2 m^{2} - 6 m + 6) = 6$

$\Leftrightarrow 8 m^{2} - 24 m + 18 = 0$

$\Leftrightarrow 4 m^{2} - 12 m + 9 = 0$

$\Leftrightarrow {(2 m - 3)}^{2} = 0$

$\Leftrightarrow m = \frac{3}{2}$

Vậy có 1 điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán là $M (0; \frac{3}{2}; 0)$

Đáp án cần chọn là: A

Bắt đầu thi ngay

Có thể bạn quan tâm

Các bài thi hot trong chương