Thứ năm, 28/03/2024
IMG-LOGO

Mặt trụ, khối trụ

Mặt trụ, khối trụ

  • 697 lượt thi

  • 30 câu hỏi

  • 60 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 3:

Thể tích khối trụ có bán kính r = 4cm và chiều cao h = 5cm là:
Xem đáp án

Ta có: V=πr2h=π.42.5=80πcm3

Đáp án cần chọn là: B


Câu 6:

Một đội xây dựng cần hoàn thiện một hệ thống cột tròn của một cửa hàng kinh doanh gồm 17 chiếc. Trước khi hoàn thiện mỗi chiếc cột là một khối bê tông cốt thép hình lăng trụ lục giác đều có cạnh 14cm; sau khi hoàn thiện (bằng cách trát thêm vữa tổng hợp vào xung quanh) mỗi cột là một khối trụ có đường kính đáy bằng 30cm. Biết chiều cao của mỗi cột trước và sau khi hoàn thiện là 390cm. Tỉnh lượng vữa hỗn hợp cần dùng (tính theo đơn vị m3, làm tròn đến 1 chữ số thập phân sau dấu phầy). Ta có kết quả:

Xem đáp án

- Với cột bê tông hình lăng trụ:

Đáy của mỗi cột là hình lục giác đều có diện tích bằng 6 tam giác đều cạnh 14cm, mỗi tam giác có diện tích là 14234cm2

- Với cột bê tông đã trát vữa hình trụ:

Đáy của mỗi cột là hình tròn bán kính 15cm nên có diện tích là 152πcm2

Số lượng vữa cần trát thêm vào tất cả 17 cột, mỗi cột cao 390cm là:

17.390152π6.14234=1,31.106cm3=1,31m3

Đáp án cần chọn là: A


Câu 7:

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng aa. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Khi quay hình vuông ABCD quanh MN tạo thành một hình trụ. Gọi (S) là mặt cầu có diện tích bằng diện tích toàn phần của hình trụ, ta có bán kính của mặt cầu (S) là:

Xem đáp án

Mặt trụ tạo bởi hình vuông ABCD khi quay quanh MN có chiều cao h = a  và bán kính đáy r=a2 nên có diện tích toàn phần:

Stp=2πrr+h=2π.a2a2+a=3a2π2

Mặt cầu (S) có diện tích bằng Stp của mặt trụ thì có bán kính R với:

4πR2=3a2π2R=a64

Media VietJack

Đáp án cần chọn là: C


Câu 9:

Công thức tính diện tích toàn phần hình trụ có bán kính r và chiều cao h là:
Xem đáp án

Công thức tính diện tích toàn phần hình trụ là: Stp=2πrh+2πr2

Đáp án cần chọn là: A


Câu 11:

Một cái nồi có dạng hình trụ có chiều cao 60cm và diện tích đáy là 900πcm2. Hỏi cần miếng kim loại hình chữ nhật có kích thước bao nhiêu để làm thân nồi?

Xem đáp án

Ta có hình trụ có diện tích đáy là S=πR2=900πR=30cm.

Diện tích xung quanh hình trụ là S=2πRh=2π.30.60=60π.60(cm2).

 Vậy cần miếng kim loại hình chữ nhật chiều dài 60πcm và chiều rộng 60cm

Đáp án cần chọn là: B


Câu 12:

Cho hình thang ABCD vuông tại A và D, có AB=3, DC=AD=1. Thể tích của khối tròn xoay nhận được khi quay hình thang ABCD quang trục AB là

Media VietJack

Xem đáp án

Media VietJack

Kẻ CE vuông góc vưới AB (E thuộc AB).

Thể tích khối tròn xoay cần tìm bằng tổng thể tích hai khối tròn xoay khi quay hình vuông ADCE và tam giác vuông ECB quanh trục AB.

Quay hình vuông ADCE ta được khối trụ tròn xoay có chiều cao h=AE=1, bán kính đáy r=AD=1

VTR=πr2.h=π (đvtt)

Quay tam giác vuông ECB quanh AB được khối nón có chiều cao h’=EB=3-1=2, bán kính đáy r’=EC=1.

VN=13.πr'2h'=23π (đvtt).

Vậy thể tích của khối tròn xoay là V=VTR+VN=π+23π=53π (đvtt).

Đáp án cần chọn là: C


Câu 13:

Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước 50cm×240cm, người ta làm các thùng đựng nước hình trụ có chiều cao bằng 50cm, theo hai cách sau (xem hình minh họa dưới đây):

- Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng.

- Cách 2: Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành mặt xung quanh của một thùng.

Kí hiệu V1 là thể tích của thùng gò được theo cách 1 và V2 là tổng thể tích của hai thùng gò được theo cách 2. Tính tỉ số V1V2

Media VietJack

Xem đáp án

Cách 1: Chu vi đáy là 240cm2πR1=240R1=120π

V1=πR12h=π120π2h=1202.50π

Cách 2: Chu vi đáy mỗi hình trụ nhỏ là:

240:2=120cm2πR=120R=60π

V=πR2h=π60π2.50=602.50πV2=2V=2.602.50π

Vậy V1V2=1202.50π:2.602.50π=2

Một đường tròn có bán kính rr thì có chu vi và diện tích lần lượt là

C=2πr;S=πr2S=C24π

Gọi chiều dài tấm tôn là a thì tổng diện tích đáy của thùng theo 2 cách lần lượt là

S1=a24π;S2=2.a224π=a28πS1S2=2V1V2=2

Đáp án cần chọn là: C


Câu 14:

Xét hình trụ TT có thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông cạnh a. Tính diện tích toàn phần S của hình trụ.

Xem đáp án

Ta có: r=OA=AB2=a2;h=AA'=a nên

Stp=2πrh+2πr2=2π.a2.a+2π.a22=πa2+πa22=3πa22

Media VietJack

Đáp án cần chọn là: A


Câu 15:

Một sợi dây (không co giãn) được quấn đối xứng đúng 10 vòng quanh một ống trụ tròn đều có bán kính R=2πcm (như hình vẽ).

Media VietJack

Xem đáp án

Gọi độ dài đường cao của ống trụ là 10x (cm)(x > 0)

Chia ống trụ thành 10 phần bằng nhau, mỗi phần có độ dài đường sinh là x(cm).

Trải phẳng mỗi ống trụ nhỏ ta được 1 hình chữ nhật có hai kích thước là x và 2π.R=2π.2π=4  cm

Khi đó độ dài đường chéo của hình chữ nhật là x2+42=x2+16, và độ dài đường chéo chính bằng độ dài của 1 vòng.

Media VietJack

Do đó ta có phương trình:  10x2+16=50x2+16=5

x2+16=25x2=9x=3  cm  tm Độ dài đường cao của ống trụ là h=10x=30(cm)

Vậy diện tích xung quanh của ống trụ là Sxq=2πRh=2π.2π.30=120  cm2.

Đáp án cần chọn là: D


Câu 16:

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 4. Hình trụ (T) có một đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tam giác BCD và chiều cao bằng chiều cao của tứ diện ABCD. Diện tích xung quanh của (T) bằng:

Xem đáp án

Media VietJack

Tam giác BCD là tam giác đều cạnh 4 SBCD=43p=12

 Áp dụng công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp ta có: R=2Sp=233

Gọi O là tâm của tam giác đều BCD AOBCDΔABO vuông tại O có

BO=433;AB=4AO=h=463

Khi đó diện tích xung quanh hình trụ có h=463;R=233  là S=2πRh=162π3
Đáp án cần chọn là: A


Câu 17:

Thiết diện của hình trụ và mặt phẳng chứa trục của hình trụ là hình chữ nhật có chu vi bằng 12. Giá trị lớn nhất của thể tích khối trụ bằng

Xem đáp án

Media VietJack

Gọi R,h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ.

Giả sử thiết diện của hình trụ và mặt phẳng chứa trục của hình trụ là hình chữ nhật ABCD như hình vẽ, ta có AB = 2R và AD = h.

Chu vi thiết diện chứa trục bằng 12 2R+h=6h=62R

Khi đó thể tích khối trụ:

V=πR2h=πR262R=π.R.R62Rπ.R+R+62R33=8π

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi R=62RR=2.

Vậy thể tích khối trụ lớn nhất là 8π khi R = 2.

Đáp án cần chọn là: C


Câu 18:

Hình dưới bao gồm hình chữ nhật ABCD và hình thang vuông CDMN. Các điểm B,C,N thẳng hàng, AB=CN=2dm;BC=4dm;MN=3dm. Quay hình bên xung quanh cạnh BN ta được khối tròn xoay có thể tích bằng

Media VietJack

Xem đáp án

Media VietJack

Bước 1: Xác định các hình khối khi quay hình quanh cạnh BN

Khi quay hình trên quanh cạnh BN ta được một khối tròn xoay gồm một khối trụ có bán kính đáy bằng 2dm, chiều cao bằng 4dm và một khối nón cụt có bán kính hai đáy lần lượt là 2dm và 3dm, chiều cao bằng 2dm.

Bước 2: Tính thể tích của từng hình (trụ+nón cụt) rồi tính tổng.

Thể tích khối trụ là VT=4π.4

Thể tích khối nón cụt là: VN=23(4π+9π+4π.9π

Do đó thể tích của khối tròn xoay là

V=4π.4+23(4π+9π+4π.9π)=86π3dm3

Câu 19:

Một sợi dây được quấn đối xứng đúng 10 vòng quanh một ống trụ tròn đều có bán kính R=2πcm  (như hình bên dưới)

Media VietJack

Biết rằng sợi dây dài 50cm. Hãy tính diện tích xung quanh của ống trụ đó.

 

Xem đáp án

Media VietJack

Bước 1: Gọi chiều cao của hình trụ là x(cm). Khi trải phẳng ống trụ và nhận xét kích thước.

Gọi chiều cao của hình trụ là x(cm)

Khi trải phẳng ống trụ tròn đều ta được một hình chữ nhật có chiều rộng là chu vi của mặt đáy còn chiều dài là chiều dài của trụ, mỗi vòng quấn của dây dài 5cm là đường chéo của hình chữ nhật có kích thước lần lượt bằng chu vi đáy trụ (5cm) và 110 chiều dài trụ.

Bước 2: Tính diện tích xung quanh ống trụ

Theo định lý Pitago ta có:

5222ππ2=x10x=30( cm)

Vậy diện tích xung quanh của trụ là: Sxq=22ππ30=120 cm2


Câu 20:

Cho hình trụ có đường kính đáy bằng 2a. Thiết diện qua trục của hình trụ là hình chữ nhật có đường chéo là 3a. Diện tích toàn phần của hình trụ là

Xem đáp án

Media VietJack

R=a

h=3a22a2=a5

Diện tích toàn phần là:

Stp=2πR2+2πRh=2πa2+2πa.a5=2+25πa2

Đáp án cần chọn là: D


Câu 21:

Cho hình trụ có chiều cao bằng bán kính đáy và bằng 5cm. Mặt phẳng (α) song song với trục, cắt hình trụ theo một thiết diện có chu vi bằng 26cm. Khoảng cách từ đến trục của hình trụ bằng:

Xem đáp án

Media VietJack

Mặt phẳng (α) song song với trục, cắt hình trụ theo thiết diện là một hình chữ nhật ABCD với AD = BC = h = 5.  

2AB+BC=2AB+5=26AB=8  cm.

Gọi H là trung điểm của ABOHABOHABCD hay OHα.

dOO';  α=dO;  α=OH.
AH=AB2=4  cm.

Áp dụng định lý Pitago cho ΔAOH vuông tại HH ta có:
OH=OA2AH2=5242=3cm.dOO';  α=3cm.

Đáp án cần chọn là: D


Câu 22:

Cho hình trụ có O,O′  là tâm hai đáy. Xét hình chữ nhật ABCD có A,B cùng thuộc (O) và C,D  cùng thuộc (O′) sao cho AB=a3, BC=2a  đồng thời (ABCD) tạo với mặt phẳng đáy hình trụ góc 600. Thể tích khối trụ bằng:

Xem đáp án

Media VietJack

Gọi M,N lần lượt là trung điểm của CD,AB và I là trung điểm của OO′.

Ta có:

(ABCD)(O'CD)=CDIM(ABCD),IMCDO'M(O'CD),O'MCD

ABCD;O'BC=IM;O'M=IMO'=600

Ta có: MN=BC=2aIM=12MN=a

Xét tam giác vuông O′IM có: O'M=IM.cos600=a2

O'I=IM.sin600=a32

Chiều cao của khối trụ là h=OO'=2O'I=a3

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông O′CM có:

O'C=O'M2+CM2=a24+3a24=a

Bán kính đáy của khối trụ là r=O'C=a

Vậy thể tích của khối trụ là: V=πr2h=π.a2.a3=πa33
Đáp án cần chọn là: A


Câu 23:

Cho khối trụ có hai đáy là (O) và (O′). AB,CD lần lượt là hai đường kính của (O) và (O′), góc giữa AB và CD bằng 300AB = 6 và thể tích khối tứ diện ABCD bằng 30. Thể tích khối trụ đã cho bằng:

Xem đáp án

Media VietJack

Gọi A′,B′ lần lượt là hình chiếu của A,B lên đường tròn (O).

      C′,D′ lần lượt là hình chiếu của C,D lên đường tròn (O′).

=>AC′BD′ là hình bình hành, lại có AB = CD = C′D′ nên  AC′BD′ là hình chữ nhật.

Khi đó AC′BD′.A′CB′D là hình hộp chữ nhật.

Ta có: VAC'BD'.A'CB'D=VABCD+VA.A'CD+VB.B'CD+VC.C'AB+VD.D'AB

Ta có: VA.A'CD=13AA'.SA'CD=13AA'.12SA'CB'D=16VAC'BD'.A'CB'D

CMTT ta có: VB.B'CD=VC.C'AB=VD.D'AB=16VAC'BD'.A'CB'D

VAC'BD'.A'CB'D=VABCD+4.16VAC'BD'.A'CB'DVABCD=13VAC'BD'.A'CB'D=30VAC'BD'.A'CB'D=90

Theo bài ra ta có: AB;CD=300AB;C'D'=300 giả sử AB;C'D'=AOC'=300

Lại có  OA=OC'=12AB=3

SOAC'=12OA.OC'.sinAOC'=12.3.3.sin300=94
SAC'BD'=4SOAC'=9

Ta có:  VAC'BD'.A'CB'D=AA'.SAC'BD'90=AA'.9AA'=10

Vậy thể tích khối trụ là  V=πr2h=π.OA2.AA'=π.32.10=90π

Đáp án cần chọn là: B


Câu 24:

Một hình trụ có diện tích xung quanh là 16π, thiết diện qua trục là hình vuông. Một mặt phẳng (α) song song với trục, cắt hình trụ theo thiết diện là  ABB′A′, biết một cạnh thiết diện là một dây của đường tròn đáy hình trụ và căng một cung 1200. Chu vi tứ giác ABB′A′ bằng:

Media VietJack

Xem đáp án

Media VietJack

Gọi r,h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ, ta có

Sxq=2πrh16π=2πrhrh=8

Lại có thiết diện qua trục là hình vuông nên h=2rdo đó r.2r=8r2=4

r=2,  h=4=AA'

Theo bài ra ta có: AOB=1200
Áp dụng định lí Cosin trong tam giác OAB ta có:

AB2=OA2+OB22.OA.OB.cosAOBAB2=r2+r22.r.r.cos1200AB2=3r2AB=r3=2.3

Vậy CABB'A'=2AB+AA'=223+4=8+43
Đáp án cần chọn là: D


Câu 25:

Cho hình trụ bán kính đường tròn đáy bằng 1. Hai điểm A và B lần lượt thuộc hai đường tròn đáy sao cho AB=6, khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và trục của hình trụ bằng 12. Thể tích khối trụ được giới hạn bởi hình trụ đó bằng:

Xem đáp án

Media VietJack

Gọi O,O′ lần lượt là tâm đường tròn đáy chứa A,B.

Gọi A′ là hình chiếu của A lên đường tròn đáy chứa điểm B.

Ta có AA'OO'OO'AA'BAB

dOO';AB=dOO';AA'B=dO';AA'B

Gọi H là trung điểm của A′B, ta có O'HA'B (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).

Khi đó ta có:O'HA'BO'HAA'O'H(AA'B)dOO';AB=OH=12

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông O′HB có

HB=O'B2O'H2=12122=32
A'B=2HB=3

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông  có:

AA'=AB2A'B2=63=3

Vậy thể tích khối trụ là V=πr2h=π.12.3=π3
Đáp án cần chọn là: C


Câu 26:

Người ta xếp hai quả cầu có cùng bán kính r vào một chiếc hộp hình trụ sao cho các quả cầu đều tiếp xúc với hai đáy, đồng thời hai quả cầu tiếp xúc với nhau và mỗi quả cầu đều tiếp xúc với đường sinh của hình trụ (tham khảo hình vẽ). Biết thể tích khối trụ là 120cm3, thể tích của mỗi khối cầu bằng

Media VietJack

Xem đáp án

Dựa vào dữ kiện bài toán và hình vẽ  Hình trụ có chiều cao h = 2r và bán kính đáy R = 2r .

Thể tích khối trụ là V=π2r22r=8πr3=120r3=1208π=15π

Vậy thể tích mỗi khối cầu là Vc=43πr3=43π.15π=20  cm3

Đáp án cần chọn là: B


Câu 28:

Cho hình trụ có các đáy là hình tròn tâm O và tâm O′ , bán kính đáy bằng chiều cao và bằng 4cm. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O′ lấy điểm B sao cho AB=43cm. Thể tích khối tứ diện AOO′B là:

Xem đáp án

Media VietJack

Tam giác OAO′ vuông tại O nên:

O'A=OA2+O'O2=42+42=42

Tam giác AO′B có:

O'A2+O'B2=AB2 nên tam giác AO′B vuông tại O′

Ta có O'BOO'O'BAO'O'B(AOO')
SΔAOO'=12OA.OO=12.4.4=8

VAOO'B=13SΔAOO'.O'B=13.8.4=323

Đáp án cần chọn là: A


Câu 29:

Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có thể tích bằng 1. Gọi (T) là hình trụ nội tiếp lăng trụ và M là tâm của mặt bên BCC’B’. Mặt phẳng (P) chứa AM cắt hình trụ (T) như hình vẽ.

Media VietJack

Thể tích khối hình còn lại (phần tô đậm) của khối trụ (T) là

Xem đáp án

Giả sử h=S=1

Cạnh AB=a, bán kính đường tròn nội tiếp tam giác A’B’C’ là r và p là nửa chu vi của tam giác ABC.

Khi đó ta có: S=p.r=1

p=3a2;S=ppa3=1ppa3=13a2a23=1a=234p=274r=1274VtruVltru=StronSA'B'C'=πr2pr=πrp=π.127Vtru=π27

Media VietJack

Gọi thể tích của khối trụ bị cắt bỏ là V1 và phần tô đậm của (T) là V2

Mà thiết diện khi lăng trụ bị cắt là tam giác AEF với E và F lần lượt là trung điểm của BB’ và CC’

Khi đó VABCFEVABC.A'B'C'=V1V1+V2

Ta có:

VABCFEVABC.A'B'C'=0+12+123=13V1V1+V2=13V2V1+V2=23V2=23.Vtru=23.π27=2π327

Đáp án cần chọn là: A


Câu 30:

Bạn An có một cốc hình nón có đường kính đáy là 10cm và độ dài đường sinh là 8cm. Bạn dự định đựng một viên bi hình cầu sao cho toàn bộ viên bi nằm trong cốc (không phân nào của viên bị cao hơn miệng cốc). Hỏi bạn An có thể đựng được viên bị có đường kính lớn nhất bằng bao nhiêu?

Media VietJack

Xem đáp án

Media VietJack

Bước 1: Xét thiết diện qua trục.

Thiết diện qua trục là một tam giác cân có cạnh bên là 8cm và cạnh đáy là 10 cm (tam giác SAB)

Bước 2: Xác định vị trí của viên bi thỏa mãn bài toán

Viên bi bị cắt theo chính thiết diện đó thì sẽ tiếp xúc với hai cạnh bên.

Viên bi càng tiến gần đáy thì càng lớn.

Để viên bị có đường kính lớn nhất thì viên bi phải tiếp xúc với mặt trên của cốc nước (miễn là viên bi không cao hơn miệng cốc)

Bước 3: Tính đường kính viên bi

p=8+8+102=13

r=Sp=5825213=53913d=2r=103913cm

Đáp án cần chọn là: C


Bắt đầu thi ngay