13 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Hàm số liên tục

Câu 1:

Hàm số $y = f (x)$ có đồ thị dưới đây gián đoạn tại điểm có hoành độ bằng bao nhiêu?

Media VietJack

A.0

B.1

C.2

D.3

Xem đáp án

Quan sát đồ thị ta thấy $\lim_{x \to 1^{-}} f (x) = 3; \lim_{x \to 1^{+}} f (x) = 0 \Rightarrow \lim_{x \to 1^{-}} f (x) \neq \lim_{x \to 1^{+}} f (x)$ nên không tồn tại $\lim_{x \to 1^{}} f (x)$ . Do đó hàm số gián đoạn tại điểm x = 1.

Đáp án cần chọn là: B

Câu 2:

Hàm số $f (x) = \{\begin{matrix} \frac{x^{4} + x}{x^{2} + x} k h i x \neq 0, x \neq - 1 \\ 3 k h i x = - 1 \\ 1 k h i x = 0 \end{matrix}$

A.Liên tục tại mọi điểm trừ điểm thuộc đoạn (−1;0)

B.Liên tục tại mọi điểm trừ x = 0.

C.Liên tục tại mọi điểm $x \in R$

D.Liên tục tại mọi điểm trừ x = −1

Xem đáp án

Hàm phân thức $y = \frac{x^{4} + x}{x^{2} + x}$ có txđ $D = R ∖ \{0; - 1\}$ và liên tục trên các khoảng $(- \infty; - 1), (0; + \infty)$

Ta chỉ cần xét tính liên tục của $y = f (x)$ tại các điểm $x = 0; x = - 1$

Ta có:

\lim_{x \to - 1} f (x) = \lim_{x \to - 1} \frac{x^{4} + x}{x^{2} + x} = \lim_{x \to - 1} \frac{x^{3} + 1}{x + 1} = \lim_{x \to - 1} (x^{2} - x + 1) = 3 = f (- 1) \Rightarrow

Hàm số liên tục tại $x = - 1$

$\lim_{x \to 0} f (x) = \lim_{x \to 0} \frac{x^{4} + x}{x^{2} + x} = \lim_{x \to 0} \frac{x^{3} + 1}{x + 1} = 1 = f (0) \Rightarrow$ Hàm số liên tục tại $x = 0.$

Vậy hàm số liên tục tại mọi điểm $x \in R$
Đáp án cần chọn là: C

Câu 3:

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{matrix} \frac{x - 8}{\sqrt[3]{x - 2}} k h i x > 8 \\ x + 4 k h i x \leq 8 \end{matrix}$ . Để hàm số liên tục tại x = 8, giá trị của a là:

A.1

B.2

C.4

D.3

Xem đáp án

$\begin{array}{l} \lim_{x \to 8^{+}} f (x) = \lim_{x \to 8^{+}} \frac{x - 8}{\sqrt[3]{x} - 2} = \lim_{x \to 8^{+}} ({\sqrt[3]{x}}^{2} + 2 \sqrt[3]{x} + 4) \\ = 2^{2} + 2.2 + 4 = 12 \\ \lim_{x \to 8^{-}} f (x) = \lim_{x \to 8^{-}} (a x + 4) = 8 a + 4 \\ f (8) = 8 a + 4 \end{array}$

Hàm số liên tục tại $x = 8 \Leftrightarrow 12 = 8 a + 4 \Leftrightarrow a = 1$
Đáp án cần chọn là: A

Câu 4:

Hàm số nào sau đây liên tục trên $ℝ$ ?

A. $f (x) = \frac{x^{4} - 4 x^{2}}{x + 1}$

B. $f (x) = t a n x$

C. $f (x) = x^{4} - 4 x^{2}$

D. $f (x) = \sqrt{x}$

Xem đáp án

$f (x) = x^{4} - 4 x$ luôn liên tục trên $ℝ$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 5:

Hàm số $f (x) = \{\begin{matrix} - x c o s x k h i x < 0 \\ \frac{x^{2}}{1 + x} k h i 0 \leq x < 1 \\ x^{3} k h i x \geq 1 \end{matrix}$

A.Liên tục tại mọi điểm trừ điểm x = 0.

B.Liên tục tại mọi điểm trừ x = 1.

C.Liên tục tại mọi điểm trừ hai điểm x = 0 và x = 1..

D.Liên tục tại mọi điểm

x \in R

.

Xem đáp án

Hàm số $y = f (x)$ liên tục trên các khoảng $(- \infty; 0), (0; 1), (1; + \infty)$ nên ta chỉ xét tính liên tục của $y = f (x)$ tại các điểm $x = 0, x = 1$

$\begin{matrix} \underset{x \to 0^{+}}{\underset{⏟}{l i m}} f (x) = \underset{x \to 0^{+}}{\underset{⏟}{l i m}} \frac{x^{2}}{1 + x} = 0 \\ \underset{x \to 0^{-}}{\underset{⏟}{l i m}} f (x) = \underset{x \to 0^{-}}{\underset{⏟}{l i m}} (- x c o s x) = 0 \\ f (0) = \frac{0}{1 + 0} = 0 \end{matrix}\} \Rightarrow \underset{x \to 0^{+}}{\underset{⏟}{l i m}} f (x) = \underset{x \to 0^{-}}{\underset{⏟}{l i m}} f (x) = f (0)$

⇒ hàm số liên tục tại $x = 0.$

$\begin{matrix} \underset{x \to 1^{+}}{\underset{⏟}{l i m}} f (x) = \underset{x \to 1^{+}}{\underset{⏟}{l i m}} x^{3} = 1 \\ \underset{x \to 1^{-}}{\underset{⏟}{l i m}} f (x) = \underset{x \to 1^{-}}{\underset{⏟}{l i m}} \frac{x^{2}}{1 + x} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2} \end{matrix}\} \Rightarrow \underset{x \to 1^{+}}{\underset{⏟}{l i m}} f (x) \neq \underset{x \to 1^{-}}{\underset{⏟}{l i m}} f (x)$

Không tồn tại $\lim_{x \to 1} f (x)$ ⇒ hàm số không liên tục tại x = 1.

Vậy hàm số liên tục tại mọi điểm trừ x = 1.

Đáp án cần chọn là: B

Câu 6:

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{matrix} \frac{s i n 5 x}{5 x} k h i x \neq 0 \\ a + 2 k h i x = 0 \end{matrix}$ . Tìm a để hàm số liên tục tại x = 0.

A.1

B.-1

C.-2

D.2

Xem đáp án

Ta có $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5 x}{5 x} = 1; f (0) = a + 2$

Vậy để hàm số liên tục tại $x = 0$ thì $a + 2 = 1 \Leftrightarrow a = - 1$
Đáp án cần chọn là: B

Câu 7:

Cho phương trình $2 x^{4} - 5 x^{2} + x + 1 = 0 (1)$ . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A.Phương trình (1) chỉ có một nghiệm trong (−2;1)

B.Phương trình (1) có ít nhất hai nghiệm trong khoảng (0;2)

C.Phương trình (1) không có nghiệm trong khoảng (−2;0)

D.Phương trình (1) không có nghiệm trong khoảng (−1;1).

Xem đáp án

TXĐ: D = R. Hàm số $f (x) = 2 x^{4} - 5 x^{2} + x + 1$ liên tục trên R.

Ta có: $f (- 1) = - 3, f (0) = 1 \Rightarrow f (- 1) f (0) < 0 \Rightarrow$ Phương trình (1) có ít nhất một nghiệm trong $(- 1; 0) \subset (- 2; 1)$

⇒ Phương trình (1) có ít nhất hai nghiệm trong (−2;1)⇒ Đáp án A sai.

Ta có:

$f (0) = 1; f (1) = - 1 \Rightarrow f (0) . f (1) < 0 \Rightarrow$ Phương trình (1) có ít nhất 1 nghiệm thuộc $(0; 1) \subset (- 2; 1)$

⇒ Phương trình (1) có ít nhất hai nghiệm trong (−2;1)⇒ Đáp án A sai.

Ta có: $f (- 1) = - 3, f (0) = 1 \Rightarrow f (- 1) f (0) < 0 \Rightarrow$ Phương trình (1) có ít nhất một nghiệm trong $(- 1; 0) \subset (- 2; 0) \Rightarrow$ Đáp án C sai.

Ta có: $f (0) = 1; f (1) = - 1 \Rightarrow f (0) . f (1) < 0 \Rightarrow$ Phương trình (1) có ít nhất 1 nghiệm thuộc $(0; 1) \subset (- 1; 1) \Rightarrow$ Đáp án D sai.

Đáp án cần chọn là: B

Câu 8:

Giá trị thực của tham số m để hàm số $f (x) = \{\begin{matrix} x^{2} - 1 k h i x > 2 \\ m + 1 k h i x \leq 2 \end{matrix}$ liên tục tại x = 2 bằng

A.5

B.2

C.3

D.1

Xem đáp án

Bước 1:

$\begin{array}{l} f (2) = \lim_{x \to 2^{-}} f (x) = m + 1 \\ \lim_{x \to 2^{+}} f (x) = \lim_{x \to 2^{+}} (x^{2} - 1) = 3 \end{array}$

Bước 2:

$\Rightarrow m + 1 = 3 \Leftrightarrow m = 2$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 9:

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{matrix} \sqrt{2 x - 4} + 3 k h i x \geq 2 \\ \frac{x + 1}{x^{2} - 2 m x + 3 m + 2} k h i x < 2 \end{matrix}$

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số liên tục trên R.

A. $m = 3$

B. $m = 4$

C. $m = 5$

D. $m = 6$

Xem đáp án

Ta có hàm số liên tục trên $(2; + \infty)$

Ta có: $f (2) = \sqrt{2.2 - 4} + 3 = 3; \lim_{x \to 2^{+}} f (x) = \lim_{x \to 2^{+}} (\sqrt{2 x - 4} + 3) = 3$

Hàm số liên tục trên $ℝ \Leftrightarrow$ Hàm số liên tục trên $(- \infty; 2)$ và liên tục tại
$x = 2$ ⇔Hàm số xác định trên $(- \infty; 2)$ và liên tục tại $x = 2$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} x^{2} - 2 m x + 3 m + 2 \neq 0 \forall x \in (- \infty; 2) (1) \\ \underset{x \to 2^{+}}{\underset{⏟}{l i m}} f (x) = \underset{x \to 2^{-}}{\underset{⏟}{l i m}} f (x) = f (2) \end{matrix}$

$\begin{array}{l} (2) \Leftrightarrow \lim_{x \to 2^{-}} = 3 \Leftrightarrow \frac{2 + 1}{2^{2} - 2 m .2 + 3 m + 2} = 3 \\ \Leftrightarrow \frac{3}{6 - m} = 3 \Leftrightarrow m = 5 \end{array}$

Thay m=5 vào (1) ta được $x^{2} - 10 x + 17 \neq 0 \forall x \in (- \infty; 2)$

Vậy với m = 5 thì hàm số liên tục trên $ℝ$ .

Đáp án cần chọn là: C

Câu 10:

Cho a và b là các số thực khác 0. Tìm hệ thức liên hệ giữa aa và bb để hàm số $f (x) = \{\begin{matrix} \frac{\sqrt{a x + 1} - 1}{x} k h i x \neq 0 \\ 4 x^{2} + 5 b k h i x = 0 \end{matrix}$ liên tục tại x = 0.

A. $a = 5 b$

B. $a = 10 b$

C. $a = b$

D. $a = 2 b .$

Xem đáp án

Bước 1:

$\begin{array}{l} \lim_{x \to 0} f (x) = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{a x + 1} - 1}{x} \\ = \lim_{x \to 0} \frac{a x + 1 - 1}{x (\sqrt{a x + 1} + 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{a}{\sqrt{a x + 1} + 1} \\ = \frac{a}{\sqrt{a .0 + 1} + 1} = \frac{a}{2} \\ f (0) = 5 b \end{array}$

Bước 2:

Để hàm số liên tục tại $x = 0$ thì $\lim_{x \to 0} f (x) = f (0) \Leftrightarrow \frac{a}{2} = 5 b \Leftrightarrow a = 10 b$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 11:

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn $[- 1; 4]$ sao cho $f (- 1) = 2, f (4) = 7$ . Có thể nói gì về số nghiệm của phương trình $f (x) = 5$ trên đoạn $[- 1; 4] :$

A.Vô nghiệm.

B.Có ít nhất một nghiệm.

C.Có đúng một nghiệm.

D.Có đúng hai nghiệm.

Xem đáp án

Ta có $f (x) = 5 \Leftrightarrow f (x) - 5 = 0$ . Đặt $g (x) = f (x) - 5.$ Khi đó

$\{\begin{matrix} g (- 1) = f (- 1) - 5 = 2 - 5 = - 3 \\ g (4) = f (4) - 5 = 7 - 5 = 2 \end{matrix} \Rightarrow g (- 1) g (4) < 0$

Vậy phương trình $g (x) = 0$ có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1;4) hay phương trình $f (x) = 5$ có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1;4).

Đáp án cần chọn là: B

Câu 12:

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{matrix} \frac{\sqrt{x + 6} - a}{\sqrt{x + 1} - 2} k h i x \neq 3 \\ x^{3} - (2 b + 1) x k h i x = 3 \end{matrix}$ trong đó a,b là các tham số thực. Biết hàm số liên tục tại x = 3. Số nhỏ hơn trong hai số a và b là:

A.2

B.3

C.4

D.5

Xem đáp án

$f (3) = 27 - 3 (2 b + 1)$

Đặt $g (x) = \sqrt{x + 6} - a$

Ta có $g (3) = 3 - a$

Nếu a = 3 thì

$\lim_{x \to 3} f (x) = \lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x + 6} - 3}{\sqrt{x + 1} - 2} = \lim_{x \to 3} \frac{(x - 3) (\sqrt{x + 1} + 2)}{(x - 3) (\sqrt{x + 6} + 3)} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Để hàm số liên tục tại x = 3

$\Leftrightarrow \lim_{x \to 3} f (x) = f (3) \Leftrightarrow 27 - 3 (2 b + 1) = \frac{2}{3} \Leftrightarrow b = \frac{35}{9}$

Nếu $a \neq 3 \Leftrightarrow g (3) \neq 0 \Rightarrow \lim_{x \to 3} \frac{g (x)}{\sqrt{x + 1} - 2} = \infty \Rightarrow$ Hàm số không thể liên tục tại x = 3.

Vậy $a = 3, b = \frac{35}{9}$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 13:

Cho hàm số

f (x) = x^{3} - 3 x - 1

. Số nghiệm của phương trình

f (x) = 0

trên

ℝ

là:

A.0

B.1

C.2

D.3

Xem đáp án

Hàm số $f (x) = x^{3} - 3 x - 1$ là hàm đa thức có tập xác định là $ℝ$ nên liên tục trên $ℝ$ . Do đó hàm số liên tục trên mỗi khoảng $(- 2; - 1), (- 1; 0), (0; 2) .$

Ta có
$\{\begin{matrix} f (- 2) = - 3 \\ f (- 1) = 1 \end{matrix} \Rightarrow f (- 2) f (- 1) < 0$ ⇒(1) có ít nhất một nghiệm thuộc $(- 2; - 1) .$

$\{\begin{matrix} f (- 1) = 1 \\ f (0) = - 1 \end{matrix} \Rightarrow f (- 1) f (0) < 0$ ⇒(1) có ít nhất một nghiệm thuộc (−1;0)

$\{\begin{matrix} f (2) = 1 \\ f (0) = - 1 \end{matrix} \Rightarrow f (2) f (0) < 0$ ⇒(1) có ít nhất một nghiệm thuộc (0;2).
Như vậy phương trình (1) có ít nhất ba nghiệm thuộc khoảng (−2;2).

Tuy nhiên phương trình $f (x) = 0$ là phương trình bậc ba có nhiều nhất ba nghiệm.

Vậy phương trình $f (x) = 0$ có đúng 3 nghiệm trên $ℝ$ .

Đáp án cần chọn là: D