12 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Cấp số cộng

Câu 1:

Cho cấp số cộng (u_n) xác định bởi u₃= −2 và $u_{n + 1} = u_{n} + 3, \forall n \in N *$ . Xác định số hạng tổng quát của cấp số cộng đó.

A. u_n= 3n − 11

B. u_n= 3n − 8

D. u = n − 5

Xem đáp án

Trả lời:

$u_{n + 1} = u_{n} + 3 \Rightarrow (u_{n})$ là CSC có công sai d = 3.

$u_{3} = u_{1} + 2 d$

$\Rightarrow u_{1} = u_{3} - 2 d = - 2 - 2.3 = - 8$

Vậy số hạng tổng quát của CSC trên là:

$u_{n} = u_{1} + (n - 1) d = - 8 + (n - 1) .3 = 3 n - 11$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 2:

Cho cấp số cộng (x_n) có $S_{n} = 3 n^{2} - 2 n$ . Tìm số hạng đầu u₁ và công sai d của cấp số cộng đó.

A. $u_{1} = 2; d = 7$

B. $u_{1} = 1; d = 6$

C. $u_{1} = 1; d = - 6$

D. $u_{1} = 2; d = 6$

Xem đáp án

Trả lời:

Ta có:

$S_{1} = 3.1 - 2.1 = 1 = u_{1}$

$S_{2} = {3.2}^{2} - 2.2 = 8 = u_{1} + u_{2}$

$u_{2} = 7 \Rightarrow d = u_{1} - u_{2} = 6$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 3:

Cho cấp số cộng (u_n) có u₂= 2017 và u₅ = =1945. Tính u₂₀₁₈

A. u₂₀₁₈ = - 46367

B. u₂₀₁₈= 50449

C. u₂₀₁₈= − 46391

D. u₂₀₁₈= 50473

Xem đáp án

Trả lời:

$\{\begin{matrix} u_{2} = 2017 \\ u_{5} = 1945 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} u_{1} + d = 2017 \\ u_{1} + 4 d = 1945 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} u_{1} = 2041 \\ d = - 24 \end{matrix}$

⇒ u₂₀₁₈= u₁+ 2017d

= 2041 + 2017(−24) = −46367

Đáp án cần chọn là: A

Câu 4:

Cho cấp số cộng 6; x; −2; y. Khẳng định nào sau đây đúng ?

A. x = 2, y = 5

B. x = 4, y = 6

C. x = 2, y = −6

D. x = 4, y = −6.

Xem đáp án

Trả lời:

Ta có: $\{\begin{matrix} 6 - 2 = 2 x \\ x + y = - 4 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} x = 2 \\ y = - 6 \end{matrix}$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 5:

Cho cấp số cộng 2; 5; 8; 11; 14... Công sai của cấp số cộng đã cho bằng

A. 3

B. 14

C. -3

D. 2

Xem đáp án

Trả lời:

u₁= 2; u₂= 5.

Vì đây là cấp số cộng nên công sai d = u₂– u₁= 3

Đáp án cần chọn là: A

Câu 6:

Cho cấp số cộng (u_n) với $\{\begin{matrix} u_{3} + u_{5} = 5 \\ u_{3} . u_{5} = 6 \end{matrix}$ . Tìm số hạng đầu của cấp số cộng.

A. $[\begin{matrix} u_{1} = 1 \\ u_{1} = 4 \end{matrix}$

B. $[\begin{matrix} u_{1} = 1 \\ u_{1} = - 4 \end{matrix}$

C. $[\begin{matrix} u_{1} = - 1 \\ u_{1} = 4 \end{matrix}$

D. $[\begin{matrix} u_{1} = - 1 \\ u_{1} = 1 \end{matrix}$

Xem đáp án

Trả lời:

$\{\begin{matrix} u_{3} + u_{5} = 5 \\ u_{3} . u_{5} = 6 \end{matrix} \Rightarrow u_{3}, u_{5}$ là nghiệm của phương trình

$X^{2} - 5 X + 6 = 0$

$\Rightarrow [\begin{matrix} X = 3 \\ X = 2 \end{matrix}$

$\Rightarrow [\begin{matrix} \{\begin{matrix} u_{3} = 3 \\ u_{5} = 2 \end{matrix} \\ \{\begin{matrix} u_{3} = 2 \\ u_{5} = 3 \end{matrix} \end{matrix}$

TH1: $\{\begin{matrix} u_{3} = 3 \\ u_{5} = 2 \end{matrix}$

$\Rightarrow \{\begin{matrix} u_{1} + 2 d = 3 \\ u_{1} + 4 d = 2 \end{matrix}$

$\Rightarrow \{\begin{matrix} u_{1} = 4 \\ d = - \frac{1}{2} \end{matrix}$

$\{\begin{matrix} u_{3} = 2 \\ u_{5} = 2 \end{matrix}$ TH2:

$\Rightarrow \{\begin{matrix} u_{1} + 2 d = 2 \\ u_{1} + 4 d = 3 \end{matrix}$

$\Rightarrow \{\begin{matrix} u_{1} = 1 \\ d = \frac{1}{2} \end{matrix}$

Vậy $[\begin{matrix} u_{1} = 1 \\ u_{1} = 4 \end{matrix}$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 7:

Nghiệm của phương trình 1 + 7 + 13 + … + x = 280 là:

A. x = 53

B. x = 55

C. x = 57

D. x = 59

Xem đáp án

Trả lời:

Ta thấy tổng 1 + 7 + 13 + … + x là tổng của cấp số cộng với u₁= 1, d = 6.

Giả sử x là số hạng thứ n, khi đó x = u₁+ (n − 1)d = 1 + (n − 1)6, và

$1 + 7 + 13 + ... + x = \frac{n (2 u_{1} + (n - 1) d)}{2}$

$= \frac{n (2 + (n - 1) .6)}{2}$

= 280

⇒ 2n + 6n(n − 1) = 560

⇔ 6n²− 4n – 560 = 0

⇔ n = 10

Vậy x = 1 + 9.6 = 55

Đáp án cần chọn là: B

Câu 8:

Một người làm việc cho một công ty. Theo hợp đồng trong năm đầu tiên, tháng lương thứ nhất là 6 triệu đồng và lương tháng sau cao hơn tháng trước là 200 ngàn đồng. Hỏi theo hợp đồng tháng thứ 7 người đó nhận được lương là bao nhiêu?

A. 7,0 triệu

B. 7,3 triệu

C. 7,2 triệu

D. 7,4 triệu

Xem đáp án

Trả lời:

Tháng thứ hai người đó nhận được số tiền là:

6.000.000 + 200.000 = 6.200.000 đồng.

Tháng thứ ba người đó nhận được số tiền là:

6.000.000 + 2 × 200.000 = 6.400.000 đồng.

Tháng thứ nn người đó nhận được số tiền là:

6.000.000 + (n − 1) × 200.000 đồng.

⇒ Tháng thứ 7 người đó nhận được số tiền là:

6.000.000 + 6 × 200.000 = 7.200.000 đồng.

Đáp án cần chọn là: C

Câu 9:

Độ dài 3 cạnh của một tam giác vuông lập thành một cấp số cộng . Nếu trung bình cộng ba cạnh bằng 6 thì công sai của cấp số cộng này là:

A. 7,5

B. 4,5

C. 0,5

D. Đáp án khác

Xem đáp án

Trả lời:

Gọi 3 cạnh của tam giác vuông là a, b, c (a < b < c). Khi đó ta có hệ phương trình:

$\{\begin{matrix} a^{2} + b^{2} = c^{2} \\ a + c = 2 b \\ \frac{a + b + c}{3} = 6 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} a^{2} + b^{2} = c^{2} \\ a + c = 2 b \\ a + b + c = 18 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} a^{2} + b^{2} = c^{2} \\ a + c = 2 b \\ 3 b = 18 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} a^{2} + b^{2} = c^{2} \\ a + c = 2 b \\ a + b + c = 18 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} b = 6 \\ a^{2} + 36 = c^{2} \\ a = 12 - c \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} b = 6 \\ a = 12 - c \\ 144 - 24 c + c^{2} + 36 = c^{2} \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} b = 6 \\ c = \frac{15}{2} \\ a = \frac{9}{2} \end{matrix}$

$\Rightarrow d = b - a = 6 - \frac{9}{2} = \frac{3}{2} = 1,5$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 10:

Trên một bàn cờ có nhiều ô vuông. Người ta đặt 7 hạt dẻ vào ô vuông đầu tiên, sau đó đặt tiếp vào ô vuông thứ hai nhiều hơn ô đầu tiên là 5 hạt dẻ, tiếp tục đặt vào ô vuông thứ ba số hạt dẻ nhiều hơn ô thứ hai là 5 hạt dẻ,… và cứ thế tiếp tục đến ô cuối cùng. Biết rằng đặt hết số ô trên bàn cờ người ta phải sử dụng hết 25450 hạt dẻ. Hỏi bàn cờ đó có bao nhiêu ô?

A. 98 ô

B. 100 ô

C. 102 ô

D. 104 ô

Xem đáp án

Trả lời:

Gọi u_n là số hạt dẻ ở ô thứ n . Khi đó ta có:

u₁= 7 và $u_{n + 1} = u_{n} + 5, \forall n \geq 1$ .

Dãy số (u_n) là cấp số cộng với u₁= 7 và công sai d = 5 nên ta có

$S_{n} = \frac{n [2 u_{1} + (n - 1) d]}{2}$

$S_{n} = \frac{n [2.7 + (n - 1) 5]}{2}$

$S_{n} = \frac{5 n^{2} + 9 n}{2}$

Theo giả thiết ta có:

$S_{n} = 25450$

$\Rightarrow \frac{5 n^{2} + 9 n}{2} = 25450$

$\Leftrightarrow n = 100$

Vậy bàn cờ có 100 ô.

Đáp án cần chọn là: B

Câu 11:

Cho cấp số cộng có tổng của 4 số hạng liên tiếp bằng 22, tổng bình phương của chúng bằng 166. Bốn số hạng của cấp số cộng này là:

A. 1, 4, 7, 10

B. 1, 4, 5, 10

C. 2, 3, 5, 10

D. 2, 3, 4, 5

Xem đáp án

Trả lời:

Gọi 4 số hạng liên tiếp của CSC là u, u + d, u + 2d, u + 3d. Theo giả thiết ta có:

$\{\begin{matrix} u + u + d + u + 2 d + u + 3 d = 22 \\ u^{2} + {(u + d)}^{2} + {(u + 2 d)}^{2} + {(u + 2 d)}^{2} = 166 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} 4 u + 6 d = 22 \\ 4 u^{2} + 12 u d + 14 d^{2} = 166 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} 2 u + 3 d = 11 \\ 2 u^{2} + 6 u d + 7 d^{2} = 83 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} u = \frac{11 - 3 d}{2} \\ \frac{9 d^{2} - 66 d + 121}{2} + 6 \frac{11 - 3 d}{2} d + 7 d^{2} = 83 (*) \end{matrix}$

$(*) \Leftrightarrow 9 d^{2} - 66 d + 121 + 66 d - 18 d^{2} + 14 d^{2} = 166$

$\Leftrightarrow 5 d^{2} = 45 \Leftrightarrow d = \pm 3$

$d = 3 \Rightarrow u = \frac{11 - 3.3}{2} = 1 \Rightarrow 4$ số cần tìm là 1, 4, 7, 10

$d = - 3 \Rightarrow u = \frac{11 - 3. (- 3)}{2} = 10 \Rightarrow 4$ số cần tìm là 10, 7, 4, 1.

Đáp án cần chọn là: A

Câu 12:

Mặt sàn tầng một của một ngôi nhà cao hơn mặt sân 0,5m. Cầu thang đi từ tầng một lên tầng hai gồm 21 bậc, mỗi bậc cao 18cm. Ký hiệu h_n là độ cao của bậc thứ n so với mặt sân. Viết công thức để tìm độ cao h_n

A. h_n= 0,18n + 0,32(m)

B. h_n= 0,18n + 0,5(m)

C. h_n= 0,5n + 0,18(m)

D. h_n= 0,5n − 0,32(m)

Xem đáp án

Trả lời:

Ký hiệu h_n là độ cao bậc n so với mặt sân.

Khi đó ta có h_n+1= h_n+ 0,18(m), trong đó h₁= 0,5m là độ cao của bậc 1 so với mặt sân.

Dãy số (h_n) là cấp số cộng có h₁= 0,5 và công sai d = 0,18. Suy ra số hạng tổng quát của cấp số cộng này là:

h_n= h₁+ (n − 1)d = 0,5 + (n − 1)0,18

= 0,18n + 0,32 (mét).

Đáp án cần chọn là: A