43 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Bài toán đếm

Câu 1:

Công việc A có k phương án A₁,...,A_k để thực hiện. Biết có n₁ cách thực hiện A₁,…,n_k cách thực hiện A_k. Số cách thực hiện công việc A là:

A. n₁.n₂.....n_k cách

B. n₁ – n₂−...−n_k cách

C. n₁ + n₂ + ... + n_k cách

D.

n_{1}^{2} + n_{2}^{2} + ... + n_{k}^{2}

cách

Xem đáp án

Áp dụng quy tắc cộng ta có số cách thực hiện công việc là n₁ + n₂ +...+n_k cách cách.
Đáp án cần chọn là: C

Câu 2:

Công việc A có k công đoạn A₁, A₂,...,A_k với số cách thực hiện lần lượt là n₁, n₂,...,n_k. Khi đó số cách thực hiện công việc A là:

A.

n_{1} + n_{2} + ... + n_{k}

cách

B. $n_{1} . n_{2} ..... n_{k}$ cách

C. $n_{1}^{2} + n_{2}^{2} + ... + n_{k}^{2}$ cách

D. $n_{1} . n_{2} + n_{2} . n_{3} + ... + n_{k - 1} . n_{k}$ cách

Xem đáp án

Số cách thực hiện công việc A là:

n_{1} . n_{2} ..... n_{k}

cách.
Đáp án cần chọn là: B

Câu 3:

Số các hoán vị khác nhau của n phần tử là:

A. $P_{n} = n!$

B. $P_{n} = n$

C. $P_{n} = (n - 1)!$

D. $P_{n} = n^{2}$

Xem đáp án

Số các hoán vị khác nhau của n phần tử là P_n = n!
Đáp án cần chọn là: A

Câu 4:

Số chỉnh hợp chập kk của nn phần tử là:

A. $A_{n}^{k} = \frac{n!}{(n - k)!}$

B. $A_{n}^{k} = \frac{n!}{k!}$

C. $A_{n}^{k} = \frac{(n - k)!}{n!}$

D. $A_{n}^{k} = \frac{k!}{n!}$

Xem đáp án

Số chỉnh hợp chập k của n phần tử là:

A_{n}^{k} = \frac{n!}{(n - k)!} = n (n - 1) (n - 2) ... (n - k + 1)

Đáp án cần chọn là: A

Câu 5:

Số tổ hợp chập k của n phần tử là:

A. $A_{n}^{k}$

B. $A_{k}^{n}$

C. $C_{n}^{k}$

D. $C_{k}^{n}$

Xem đáp án

Số tổ hợp chập k của n phần tử là

C_{n}^{k}

Đáp án cần chọn là: C

Câu 6:

Có bao nhiêu cách xếp 5 học sinh thành một hàng dọc?

A. 1.

B. 25.

C. 5.

D. 120.

Xem đáp án

Mỗi cách xếp cho ta một hoán vị của 5 học sinh và ngược lại.
Vậy số cách xếp là P₅ = 5! = 120 (cách).

Đáp án cần chọn là: D

Câu 7:

Cho đa giác đều n đỉnh, n∈N và n ≥ 3. Tìm n biết rằng đa giác đã cho có 135 đường chéo

A. n = 15.

B. n = 27.

C. n = 8.

D. n = 18.

Xem đáp án

+ Số đoạn thẳng tạo bởi n đỉnh là $C_{n}^{2}$ trong đó có nn cạnh, suy ra số đường chéo là $C_{n}^{2} - n$

+ Đa giác đã cho có 135 đường chéo nên

C_{n}^{2} - n = 135

+ Giải PT :

\frac{n!}{(n - 2)! 2!} - n = 135, (n \in N, n \geq 2)

\Leftrightarrow (n - 1) n - 2 n = 270

\Leftrightarrow n^{2} - 3 n - 270 = 0

\Leftrightarrow [\begin{matrix} n = 18 (T M) \\ n = - 15 (L) \end{matrix}

\Leftrightarrow n = 18

Đáp án cần chọn là: D

Câu 8:

Mỗi cách lấy ra k trong số n phần tử được gọi là:

A. tổ hợp chập k của n phần tử

B. chỉnh hợp chập k của n phần tử

C. $C_{n}^{k}$

D. $A_{n}^{k}$

Xem đáp án

Mỗi cách lấy ra k trong số n phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.
Đáp án cần chọn là: A

Câu 9:

Một lớp có 8 học sinh được bầu chọn vào 3 chức vụ khác nhau: lớp trưởng, lớp phó và bí thư (không được kiêm nhiệm). Số cách lựa chọn khác nhau sẽ là:

A. 336

B. 56

C. 31

D. 40320

Xem đáp án

Số cách chọn ra 3 người để bầu cho 3 vị trí khác nhau là

A_{8}^{3} = 336

(cách).

Đáp án cần chọn là: A

Câu 10:

Cho k, n(k < n) là các số nguyên dương. Mệnh đề nào sau đây SAI?

A. $C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}$

B. $C_{n}^{k} = \frac{n!}{k! . (n - k)!}$

C. $A_{n}^{k} = k! . C_{n}^{k}$

D. $A_{n}^{k} = n! . C_{n}^{k}$

Xem đáp án

Ta có:

C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}

,

C_{n}^{k} = \frac{n!}{k! . (n - k)!}

,

A_{n}^{k} = k! . C_{n}^{k}

là các công thức đúng

Đáp án cần chọn là: D

Câu 11:

Trong một lớp có 17 bạn nam và 11 bạn nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một bạn làm lớp trưởng?

A. 17

B. 11

C. 1

D. 28

Xem đáp án

Có 2 phương án chọn lớp trưởng là nam hoặc nữ.
- Có 17 cách chọn lớp trưởng là nam.
- Có 11 cách chọn lớp trưởng là nữ.
Vậy có tất cả 17 + 11 = 28 cách chọn lớp trưởng.
Đáp án cần chọn là: D

Câu 12:

Muốn đi từ A đến B thì bắt buộc phải đi qua C. Có 3 con đường đi từ A tới C và 2 con đường từ C đến B. Số con đường đi từ A đến B là:

A. 6

B. 5

C. 1

D. 7

Xem đáp án

Có 2 công đoạn đi từ A đến B là: đi từ A đến C và đi từ C đến B.
- Có 3 con đường từ A đến C.
- Có 2 con đường từ C đến B.
Vậy có 3.2 = 6 con đường đi từ A đến B.
Đáp án cần chọn là: A

Câu 13:

Có bao nhiêu số có 3 chữ số được lập thành từ các chữ số 3,2,1?

A. 6

B. 27

C. 9

D. 3

Xem đáp án

Gọi số thỏa mãn bài toán là

\bar{a b c}

- Có 3 cách chọn chữ số a.
- Có 3 cách chọn chữ số b.
- Có 3 cách chọn chữ số c.
Vậy có 3.3.3 = 27 số tạo thành từ các chữ số 3, 2, 1.
Đáp án cần chọn là: B

Câu 14:

Một đội văn nghệ chuẩn bị được 2 vở kịch, 3 điệu múa và 6 bài hát. Tại hội diễn, mỗi đội chỉ được trình bày 1 vở kịch, 1 điệu múa và 1 bài hát. Hỏi đội văn nghệ trên có bao nhiêu cách chọn chương trình diễn, biết chất lượng các vở kịch, các điệu múa, các bài hát là như nhau?

A. 11

B. 36

C. 25

D. 18

Xem đáp án

Chọn 1 vở kịch có 2 cách
Chọn 1 điệu múa có 3 cách.
Chọn 1 bài hát có 6 cách.
Vậy theo quy tắc nhân ta có:
2.3.6 = 36 cách
Đáp án cần chọn là: B

Câu 15:

Một đội văn nghệ đã chuẩn bị 3 bài múa, 4 bài hát và 2 vở kịch. Thầy giáo yêu cầu đội chọn biểu diễn một vở kịch hoặc một bài hát. Số cách chọn bài biểu diễn của đội là:

A. 4

B. 9

C. 6

D. 7

Xem đáp án

Có 2 phương án chọn bài biểu diễn là bài hát hoặc vở kịch.
- Có 4 cách chọn bài hát.
- Có 2 cách chọn vở kịch.
Vậy có tất cả 2 + 4 = 6 cách chọn bài biểu diễn.
Đáp án cần chọn là: C

Câu 16:

Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau và là số chẵn?

A. 360

B. 343

C. 523

D. 347

Xem đáp án

Gọi số tự nhiên có 4 chữ số cần tìm là $\bar{a b c d}$ (a≠0, a ≠ b ≠ c ≠ d), d∈{2; 4; 6}

Vì

\bar{a b c d}

là số chẵn nên d∈{2; 4; 6}

⇒ Có 3 cách chọn d.
Vì a ≠ d nên có 6 cách chọn a
b ≠ a, d nên có 5 cách chọn b
c ≠ a, b, d nên có 4 cách chọn c
Áp dụng quy tắc nhân ta có số các số thỏa mãn là: 3.6.5.4 = 360 (số)
Đáp án cần chọn là: A

Câu 17:

Có bao nhiêu cách sắp xếp 8 viên bi đỏ khác nhau và 8 viên bi đen khác nhau thành một dãy sao cho hai viên bi cùng màu không được ở cạnh nhau?

A. 3251404800

B. 1625702400

C. 72

D. 36

Xem đáp án

Do hai viên bi cùng màu không được đứng cạnh nhau nên ta có trường hợp sau:
Trường hợp 1: Các viên bi đỏ ở vị trí lẻ.
Có 8 cách chọn viên bi đỏ ở vị trí 1.
Có 7 cách chọn viên bi đỏ ở vị trí 3.
...
Có 1 cách chọn viên bi đỏ ở vị trí 15.
Suy ra có 8.7.6.5.4.3.2.1 cách xếp viên bi đỏ.
Tương tự có 8.7.6.5.4.3.2.1 cách xếp viên bi đen.

Vậy có (8.7.6.5.4.3.2.1)² cách xếp.
Trường hợp 2: Các viên bi đỏ ở vị trí chẵn ta cũng có cách xếp tương tự.
Vậy theo quy tắc cộng ta có: 2.(8.7.6.5.4.3.2.1)² = 3251404800
Đáp án cần chọn là: A

Câu 18:

Biển đăng kí xe ô tô có 6 chữ số và hai chữ cái trog 26 chữ cái (không dùng các chữ I và O ). Chữ số đầu tiên khác 0. Hỏi số ô tô được đăng kí nhiều nhất có thể là bao nhiêu?

A. 5184.10²

B. 576.10⁶

C. 33384960

D. 4968.10⁵

Xem đáp án

Theo quy tắc nhân ta thực hiện từng bước.
Chữ cái đầu tiên có 24 cách chọn.
Chữ cái tiếp theo cũng có 24 cách chọn.
Chữ số đầu tiên có 9 cách chọn.
Chữ số thứ hai có 10 cách chọn.
Chữ số thứ ba có 10 cách chọn.
Chữ số thứ tư có 10 cách chọn.
Chữ số thứ năm có 10 cách chọn.
Chữ số thứ sáu có 10 cách chọn.
Vậy theo quy tắc nhân ta có :
24.24.9.10⁵ = 5184.10⁵ là số ô tô nhiều nhất có thể đăng kí.
Đáp án cần chọn là: A

Câu 19:

Trên giá sách có 10 quyển Văn khác nhau, 8 quyển sách Toán khác nhau và 6 quyển sách Tiếng Anh khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn hai quyển sách khác môn?

A. 230400

B. 60

C. 48

D. 188

Xem đáp án

Theo quy tắc nhân ta có:
10.8 = 80 cách chọn một quyển Văn và một quyển Toán khác nhau.
10.6 = 60 cách chọn một quyển Văn và một quyển Tiếng Anh khác nhau.
8.6 = 48 cách chọn một quyển Toán và một quyển Tiếng Anh khác nhau.
Theo quy tắc cộng ta có số cách chọn hai quyển sách khác môn là:
80 + 60 + 48 = 188 cách.
Đáp án cần chọn là: D

Câu 20:

Một nhóm 9 người gồm 3 đàn ông, 4 phụ nữ và 2 đứa trẻ đi xem phim. Hỏi có bao nhiêu cách xếp họ ngồi trên một hàng ghế sao cho mỗi đứa trẻ ngồi giữa hai người phụ nữ và không có hai người đàn ông nào ngồi cạnh nhau.

A. 288

B. 864

C. 24

D. 576

Xem đáp án

Kí hiệu T là ghế đàn ông ngồi, N là ghế cho phụ nữ ngồi, C là ghế cho trẻ em ngồi. Ta có phương án sau:
PA1: TNCNTNCNT.
PA2: TNTNCNCNT.
PA3: TNCNCNTNT.
Xét phương án 1: Xếp ba vị trí ghế cho 3 người đàn ông ngồi.
- Người đàn ông thứ nhất có 3 cách xếp.
- Người đàn ông thứ hai có 2 cách xếp.
- Người đàn ông thứ ba có 1 cách xếp
Nên số cách xếp ba vị trí cho 3 người đàn ông là 3.2.1 = 6 cách.
Tương tự: Bốn vị trí ghế cho phụ nữ ngồi có 4.3.2.1 = 24 cách.
Hai vị trí cho trẻ em ngồi có 2.1 = 2 cách.
Lập luận tương tự cho PA2 và PA3.
Theo quy tắc cộng ta có: 3.6.24.2 = 864 cách.
Đáp án cần chọn là: B

Câu 21:

Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số, trong đó chữ số 1 có mặt 3 lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng 1 lần.

A. 35280 số

B. 40320 số

C. 5880 số

D. 840 số

Xem đáp án

Do chữ số 1 có mặt 3 lần nên ta coi như tìm các số thỏa mãn đề bài được tạo nên từ 88 số 0,1,1,1,2,3,4,5

Chọn số cho ô đầu tiên có 7 cách.
Chọn số cho ô thứ hai có 7 cách.
…
Chọn số cho ô thứ 8 có 1 cách.
Suy ra có 7.7.6.5.4.3.2.1 = 7.7! cách xếp 88 chữ số 0, 1, 1, 1, 2, 3, 4, 5 vào 8 ô.
Mặt khác chữ số 1 lặp lại 3 lần nên số cách xếp là

\frac{7.7!}{3!} = 5880

số

Đáp án cần chọn là: C

Câu 22:

Cho 8 bạn học sinh A, B, C, D, E, F, G, H. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 8 bạn đó ngồi xung quanh một bàn tròn có 8 ghế.

A. 40320 cách

B. 5040 cách

C. 720 cách

D. 40319 cách

Xem đáp án

Ta thấy xếp các vị trí theo một hình tròn nên ta phải cố định vị trí của một bạn.
Ta chọn cố định vị trí của A , sau đó xếp vị trí cho 7 bạn còn lại.
Bạn thứ nhất có 7 cách xếp.
Bạn thứ hai có 6 cách xếp.
…
Bạn thứ 7 có 1 cách xếp.
Vậy có 7.6.5.4.3.2.1 = 5040 cách.
Đáp án cần chọn là: B

Câu 23:

Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số trong đó các chữ số cách đều chữ số đứng giữa thì giống nhau?

A. 900

B. 9000

C. 90000

D. 27216

Xem đáp án

Gọi số cần tìm là

\bar{a b c b a}

Có 9 cách chọn a .
Có 10 cách chọn b .
Có 10 cách chọn c .
Vậy có 9.10.10 = 900 số.
Đáp án cần chọn là: A

Câu 24:

Trong mặt phẳng có 2010 điểm phân biệt sao cho có ba điểm bất kì không thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu véc tơ mà có điểm đầu và điểm cuối phân biệt thuộc 2010 điểm đã cho.

A. 4040100 véc tơ

B. 4038090 véc tơ

C. 2021055 véc tơ

D. 2019045 véc tơ

Xem đáp án

Với mỗi điểm đầu véc tơ thì có 2009 cách chọn điểm cuối véc tơ.
Có 2010 cách chọn điểm đầu vecto.
Vậy có 2010.2009 = 4038090 vecto.
Đáp án cần chọn là: B

Câu 25:

Một chồng sách gồm 4 quyển sách Toán, 3 quyển sách Vật lý, 5 quyển sách Hóa học. Hỏi có bao nhiêu cách xếp các quyển sách trên thành một hàng ngang sao cho 4 quyển sách Toán đứng cạnh nhau, 3 quyển Vật lý đứng cạnh nhau?

A. 1 cách.

B. 5040 cách.

C. 725760 cách.

D. 144 cách.

Xem đáp án

+) Số cách xếp 4 cuốn sách toán là 4! cách.
+) Tương tự ta cũng “buộc” 3 quyển sách Lý lại với nhau, thì số cách xếp cho bộ Lý này là 3! cách.
+) Lúc này ta sẽ đi xếp vị trí cho 7 phần tử trong đó có:
+ 1 bộ Toán.
+ 1 bộ Lý.
+ 5 quyển Hóa.
Thì sẽ có 7! cách xếp.
Vậy theo quy tắc nhân ta có 7!.4!.3! = 725760 cách xếp.
Đáp án cần chọn là: C

Câu 26:

Có 5 viên bi đỏ và 5 viên bi trắng kích thước đôi một khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách xếp các viên bi này thành một hàng dài sao cho hai bi cùng màu không được nằm kề nhau?

A. 28800 cách

B. 86400 cách

C. 14400 cách

D. 720 cách

Xem đáp án

Ta thấy điều kiện để xếp hai viên bi cùng màu không đứng cạnh nhau là phải xếp xen kẽ các viên bi.
Có 2 cách chọn viên bi đầu tiên (có thể là đỏ hoặc trắng).
Trong mỗi cách chọn đó:
Số cách xếp các viên bi đỏ là:
Viên bi đỏ thứ nhất có 5 cách xếp.
Viên bi đỏ thứ hai có 4 cách xếp.
…
Viên bi đỏ thứ năm có 1 cách xếp.
Theo quy tắc nhân ta có 5.4.3.2.1 = 120 cách xếp.
Tương tự ta có: 120 cách xếp 5 viên bi xanh.
Vậy có tất cả 2.120.120 = 28800 cách.
Đáp án cần chọn là: A

Câu 27:

Một dãy ghế dài có 10 ghế. Xếp một cặp vợ chồng ngồi vào 2 trong 10 ghế sao cho người vợ ngồi bên phải người chồng (không bắt buộc ngồi gần nhau). Số cách xếp là:

A. 45

B. 50

C. 55

D. 362880

Xem đáp án

Ta lần lượt đánh số các ghế từ 1 đến 10.
Nếu người chồng ngồi ở vị trí 1 thì có 9 cách xếp người vợ.
Nếu người chồng ngồi ở vị trí 2 thì có 8 cách xếp người vợ.
….
Nếu người chồng ngồi ở vị trí 9 thì có 1 cách xếp người vợ.
Nếu người chồng ngồi ở vị trí 10 thì có 0 cách xếp người vợ.
Vậy có tất cả 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 45 cách.
Đáp án cần chọn là: A

Câu 28:

Cho dãy số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Từ dãy số này lập được bao nhiêu số có 5 chữ số đôi một khác nhau nhỏ hơn 30000.

A. 360

B. 720

C. 1080

D. 920

Xem đáp án

Gọi số có 5 chữ số cần tìm là:

\bar{a b c d e}

(a, b, c, d, e đều thuộc dãy số đã cho).

Vì

\bar{a b c d e} < 30000

nên:

a có 2 cách chọn.
b có 6 cách chọn.
c có 5 cách chọn.
d có 4 cách chọn.
e có 3 cách chọn.
⇒ Lập được tất cả số các số có 5 chữ số: 2 × 6 × 5 × 4 × 3 = 720 số.
Đáp án cần chọn là: B

Câu 29:

Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có bốn chữ số mà các chữ số đôi một khác nhau.

A. 156

B. 240

C. 180

D. 106

Xem đáp án

Gọi số cần tìm là

\bar{a b c d}

TH1 : d = 0 thì
a có 5 cách chọn
b có 4 cách chọn
c có 3 cách chọn
Suy ra có 1.5.4.3 = 60 số chẵn có chữ số tận cùng là 0.
TH2 : dϵ{2; 4} thì dd có 2 cách chọn
a có 4 cách chọn
b có 4 cách chọn
c có 3 cách chọn
Suy ra có 2.4.4.3 = 96 số
Vậy lập được tất cả 96 + 60 = 156 số thỏa mãn đề bài.
Đáp án cần chọn là: A

Câu 30:

Số các số có 4 chữ số đôi một khác nhau được tạo thành từ các chữ số 2, 4, 6, 7, 8, 9 là:

A. $A_{4}^{6}$

B. $C_{6}^{4}$

C. $A_{6}^{4}$

D. $C_{4}^{6}$

Xem đáp án

Mỗi số thỏa mãn bài toán và một chỉnh hợp chập 4 của 6 phần tử.
Số các số là:

A_{6}^{4} = 360

số.

Đáp án cần chọn là: C

Câu 31:

Một lớp có 40 học sinh. Số cách chọn ra 5 bạn để làm trực nhật là:

A. $C_{40}^{5}$

B. $A_{40}^{5}$

C. $P_{5}$

D. $P_{40}$

Xem đáp án

Mỗi cách chọn ra 5 bạn là một tổ hợp chập 5 của 40.
Do đó số cách chọn là

C_{40}^{5}

Đáp án cần chọn là: A

Câu 32:

Cho tập A = {1; 2; 4; 6; 7; 9}. Hỏi có thể lập được từ tập A bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau, trong đó không có mặt chữ số 7.

A. 36

B. 60

C. 72

D. 120

Xem đáp án

Lập số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau sao cho không có mặt chữ số 7, ta bỏ chữ số 7 ra khổi tập hợp A, khi đó ta được tập hợp B = {1; 2; 4; 6; 9} và đưa bài toán trở thành có thể lập được từ tập B bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau.
Số các số có 4 chữ số khác nhau lập được từ tập B là chỉnh hợp chập 4 của 5. Vậy có

A_{5}^{4} = 120

số.

Đáp án cần chọn là: D

Câu 33:

Có bao nhiêu số tự nhiên có các chữ số đôi một khác nhau nhỏ hơn 1000 được lập từ năm chữ số 0, 1, 2, 3, 4?

A. 48

B. 68

C. 69

D. 125

Xem đáp án

Số nhỏ hơn 1000 là số có nhiều nhất 3 chữ số.
TH1: Ta đưa về bài toán: Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau được lập từ năm chữ số 0, 1, 2, 3, 4?
Gọi số cần tìm có dạng

\bar{a b c}

(a ≠ 0, a ≠ b ≠ c) suy ra có 4 cách chọn aa, có 4 cách chọn b, có 3 cách chọn c .

Vậy có 4.4.3 = 48 số.
TH2: Số có hai chữ số khác nhau lập từ các số 0, 1, 2, 3, 4?
Có 4.4 = 16 số.
TH3: Số có 1 chữ số lập từ các số 0, 1, 2, 3, 4?
Có 5 số.
Vậy có có tất cả 69 số.
Đáp án cần chọn là: C

Câu 34:

Một nhóm 4 đường thẳng song song cắt một nhóm 5 đường thẳng song song khác. Hỏi có bao nhiêu hình bình hành được tạo thành?

A. 20

B. 60

C. 12

D. 126

Xem đáp án

Bước 1: Xác định yếu tố cấu thành hình bình hành.
Cứ hai đường thẳng song song trong nhóm này và 2 đường thẳng song song trong nhóm kia cắt nhau tạo thành một hình bình hành.
Bước 2: Tìm số hình bình hành.
Chọn 2 đường thẳng song song trong nhóm 4 đường thẳng song song có

C_{4}^{2} = 6

cách

Chọn 2 đường thẳng song song trong nhóm 5 đường thẳng song song có

C_{5}^{2} = 10

cách

Vậy có tất cả 6.10 = 60 hình bình hành được tạo thành.
Đáp án cần chọn là: B

Câu 35:

Từ 5 bông hoa hồng vàng, 3 bông hoa hồng trắng và 4 bông hoa hồng đỏ (các bông hoa xem như đôi một khác nhau), người ta muốn chọn một bó hồng gồm 7 bông, hỏi có bao nhiêu cách chọn bó hoa trong đó có ít nhất 3 bông hoa hồng vàng và ít nhất 3 bông hoa hồng đỏ?

A. 10 cách

B. 20 cách

C. 120 cách

D. 150 cách

Xem đáp án

TH1: Chọn được 3 bông hoa hồng vàng và 4 bông hoa hồng đỏ.
Số cách chọn 3 bông hồng vàng là

C_{5}^{3}

cách

Số cách chọn 4 bông hồng đỏ là

C_{4}^{4}

cách

Theo quy tắc nhân thì có 10.1 = 10 cách.
TH2: Chọn được 4 bông hoa hồng vàng và 3 bông hoa hồng đỏ.
Tương tự TH1 ta có số cách chọn là

C_{5}^{4} . C_{4}^{3}

cách

TH3: Chọn được 3 bông hoa hồng vàng, 3 bông hoa hồng đỏ và 1 bông hoa hồng trắng.
Tương tự TH1 ta có số cách chọn là

C_{5}^{3} . C_{4}^{3} . C_{3}^{1} = 120

cách

Vậy theo quy tắc cộng ta có 10 + 20 + 120 = 150 cách.
Đáp án cần chọn là: D

Câu 36:

Cho tập A = {2; 5}. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 10 chữ số, các chữ số lấy từ tập A sao cho không có chữ số 2 nào đứng cạnh nhau?

A. 144 số

B. 143 số

C. 1024 số

D. 512 số

Xem đáp án

TH1: Có 10 chữ số 5: Chỉ có duy nhất 1 số.
TH2: Có 9 chữ số 5 và 1 chữ số 2 .
Xếp 9 chữ số 5 thành 1 hàng ngang có 1 cách. Khi đó ta sẽ tạo nên 10 vách ngăn. Việc còn lại là xếp 1 chữ số 2 vào 10 vách ngăn đó, có 10 cách. Vậy trường hợp này có 10 số.
TH3: Có 8 chữ số 5 và 2 chữ số2.
Xếp 8 chữ số 5 thành 1 hàng ngang có 1 cách. Khi đó ta sẽ tạo nên 9 vách ngăn. Việc còn lại là xếp 2 chữ số 2 vào 9 vách ngăn đó, có

C_{9}^{2} = 36

cách. Vậy trường hợp này có 36 số.

TH4: Có 7 chữ số 5 và 3 chữ số 2 .
Xếp 7 chữ số 5 thành 1 hàng ngang có 1 cách. Khi đó ta sẽ tạo nên 8 vách ngăn. Việc còn lại là xếp 3 chữ số 2 vào 8 vách ngăn đó, có

C_{8}^{3} = 56

cách. Vậy trường hợp này có 56 số.

TH5: Có 6 chữ số 5 và 4 chữ số 2 .
Xếp 6 chữ số 5 thành 1 hàng ngang có 1 cách. Khi đó ta sẽ tạo nên 7 vách ngăn. Việc còn lại là xếp 4 chữ số 2 vào 7 vách ngăn đó, có

C_{7}^{4} = 35

cách. Vậy trường hợp này có 35 số.

TH6: Có 5 chữ số 5 và 5 chữ số 2.
Xếp 5 chữ số 5 thành 1 hàng ngang có 1 cách. Khi đó ta sẽ tạo nên 6 vách ngăn. Việc còn lại là xếp 5 chữ số 2 vào 6 vách ngăn đó, có

C_{6}^{5} = 6

cách. Vậy trường hợp này có 6 số.

Theo quy tắc cộng ta có tất cả: 1+10+36+56+35+6=144 số.
Đáp án cần chọn là: A

Câu 37:

Trong một tổ học sinh có 5 em gái và 10 em trai. Thùy là 1 trong 5 em gái và Thiện là 1 trong 10 em trai. Thầy chủ nhiệm chọn ra 1 nhóm 5 bạn tham gia buổi văn nghệ tới. Hỏi thầy chủ nhiệm có bao nhiêu cách chọn mà trong đó có ít nhất một trong hai em Thùy và Thiện không được chọn?

A. 286

B. 3003

C. 2717

D. 1287

Xem đáp án

Bài toán đối: tìm số cách chọn ra 5 bạn mà trong đó có cả bạn Thùy và Thiện.
Bước 1: Chọn nhóm 3 em trong 13 em (13 em này không tính em Thùy và Thiện) có

C_{13}^{3} = 286

cách

Bước 2: Chọn 2 em Thùy và Thiện có 1 cách.
Vậy theo quy tắc nhân thì ta có 286286 cách chọn 55 em mà trong đó có cả 22 em Thùy và Thiện.
Chọn 5 em bất kì trong số 15 em thì ta có:

C_{15}^{5} = 3003

cách

Vậy theo yêu cầu đề bài thì có tất cả 3003 – 286 = 2717 cách chọn mà trong đó có ít nhất một trong hai em Thùy Và Thiện không được chọn.
Đáp án cần chọn là: C

Câu 38:

Số tam giác xác định bởi các đỉnh của một đa giác đều 10 cạnh là:

A. 35.

B. 120.

C. 240.

D. 720.

Xem đáp án

Cứ ba đỉnh của đa giác sẽ tạo thành một tam giác.
Chọn 3 trong 10 đỉnh của đa giác, có

C_{10}^{3} = 120

Vậy có 120 tam giác xác định bởi các đỉnh của đa giác 10 cạnh.
Đáp án cần chọn là: B

Câu 39:

Một nhóm đoàn viên thanh niên tình nguyện về sinh hoạt tại một xã nông thôn gồm có 21 đoàn viên nam và 15 đoàn viên nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân chia 3 nhóm về 3 ấp để hoạt động sao cho mỗi ấp có 7 đoàn viên nam và 5 đoàn viên nữ?

A. $3 C_{36}^{12}$

B. $2 C_{36}^{12}$

C. $3 C_{21}^{7} C_{15}^{5}$

D. $C_{21}^{7} . C_{15}^{5} . C_{14}^{7} . C_{10}^{5}$

Xem đáp án

Bước 1: Chọn 7 nam trong 21 nam và 5 nữ trong 15 nữ cho ấp thứ nhất.
Số cách chọn là

C_{21}^{7} . C_{15}^{5}

cách

Bước 2: Chọn 7 nam trong 14 nam và 5 nữ trong 10 nữ cho ấp thứ hai
Số cách chọn là

C_{14}^{7} . C_{10}^{5}

cách

Bước 3: Chọn 7 nam trong 7 nam và 5 nữ trong 5 nữ cho ấp thứ ba.
Số cách chọn là

C_{7}^{7} . C_{5}^{5} = 1

cách

Áp dụng quy tắc nhân ta có:

C_{21}^{7} . C_{15}^{5} . C_{14}^{7} . C_{10}^{5}

cách

Đáp án cần chọn là: D

Câu 40:

Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số mà tổng tất cả các chữ số của số đó bằng 7.

A. 165

B. 1296

C. 343

D. 84

Xem đáp án

Gọi số cần tìm có dạng $\bar{a b c d}$ (a, b, c, dϵN, 0 ≤ a, b, c, d ≤ 9, a ≠ 0)

TH1: Trong 4 chữ số a, b, c, d có 3 chữ số bằng 0 ⇒b=c=d=0,a=7
Do đó có 1 số thỏa mãn.
TH2: Trong 4 chữ số a, b, c, d có 2 chữ số bằng 0.
- Chọn vị trí cho 2 chữ số 0 có

C_{3}^{2} = 3

cách

- Tổng hai chữ số còn lại là 7, ta có:
7 = 6 + 1 = 5 + 2 = 4 + 3 = 3 + 4 = 2 + 5 = 1 + 6 nên có 6 cách chọn 2 chữ số còn lại.
Do đó trường hợp này có 18 số.
TH3: Trong 4 chữ số a, b, c, d có 1 chữ số bằng 0.
- Chọn vị trí cho 1 chữ số 0 có

C_{3}^{1} = 3

cách

- Tổng 3 chữ số còn lại bằng 7, ta có:
7 = 1 + 1 + 5 = 1 + 2 + 4 = 1 + 3 + 3 = 2 + 2 + 3
+ Với bộ số (1; 2; 4) có 3! = 6 cách chọn 3 chữ số còn lại.
+ Với 3 bộ số còn lại có

\frac{3!}{2!}

cách chọn 3 chữ số còn lại.

Do đó trường hợp này có 3.(6 + 3.3) = 45 số.
TH4: Trong 4 chữ số a, b, c, d không có chữ số nằm bằng 0

Ta có:

\{\begin{matrix} 7 = 1 + 1 + 1 + 4 \\ 7 = 1 + 1 + 2 + 3 \\ 7 = 1 + 2 + 2 + 2 \end{matrix}

+ Với bộ số (1; 1; 1; 4), có

\frac{4!}{3!} = 4

cách chọn 4 chữ số a, b, c, d.

+ Với bộ số (1; 1; 2; 3), có

\frac{4!}{2!} = 12

cách chọn 4 chữ số a, b, c, d.

+ Với bộ số (1; 2; 2; 2), có

\frac{4!}{3!} = 4

cách chọn 4 chữ số a, b, c, d.

Do đó trường hợp này có 4 + 12 + 4 = 20 số thỏa mãn.
Vậy có tất cả: 1 + 18 + 45 + 20 = 84 số.
Đáp án cần chọn là: D

Câu 41:

Có bao nhiêu số tự nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau được thành lập từ tập A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} sao cho số đó chia hết cho 1111?

A. 384

B. 345

C. 3840

D. 1920

Xem đáp án

Đặt $m = \bar{a_{1} a_{2} ... a_{8}} (a_{i} \in A, a_{i} \neq a_{j}, \forall i, j = \bar{1, 8})$

Do $a_{i} \in A$ , các $a_{i} \neq a_{j}, \forall i, j = \bar{1, 8}$ nên:

$\sum_{i = 1}^{8} a_{i} = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36$

Do đó $m ⋮ 9$ mà $m ⋮ 11 (g t) \Rightarrow m ⋮ 9999$

Đặt $p = \bar{a_{1} a_{2} a_{3} a_{4}}; q = \bar{a_{5} a_{6} a_{7} a_{8}}$ ta có:

$m = p {.10}^{4} + q = 9999. p + (p + q) ⋮ 9999$

$\Rightarrow (p + q) ⋮ 9999$

Do 0 < p, q < 9999
⇒ 0 < p + q < 2.9999
Mà (p + q)⋮9999 ⇒ p + q = 9999

$\Rightarrow \{\begin{matrix} a_{1} + a_{5} = 9 \\ a_{2} + a_{6} = 9 \\ a_{3} + a_{7} = 9 \\ a_{4} + a_{8} = 9 \end{matrix}$

Có 4 cặp có tổng bằng 9 là (1; 8); (2; 7); (3; 6); (4; 5)
Suy ra có:
+) 8 cách chọn a₁, ứng với mỗi cách chọn a₁ có 1 cách chọn a₅.
+) 6 cách chọn

a_{2} (\neq a_{1}; \neq a_{5})

ứng với mỗi cách chọn a₂ có 1 cách chọn a₆.

+) 4 cách chọn

a_{3} (\neq a_{1}; a_{2}; a_{5}; a_{6})

ứng với mỗi cách chọn a₃ có 1 cách chọn a₇

+) 2 cách chọn

a_{4} (\neq a_{1}; a_{2}; a_{3}; a_{5}; a_{6}; a_{7})

ứng với mỗi cách chọn a₄ có 1 cách chọn a₈.

Áp dụng quy tắc nhân, có tất cả 8.6.4.2 = 384 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án cần chọn là: A

Câu 42:

Một lớp học có n học sinh (n > 3). Thầy chủ nhiệm cần chọn ra một nhóm và cần cử ra 1 học sinh trong nhóm đó làm nhóm trưởng. Số học sinh trong mỗi nhóm phải lớn hơn 1 và nhỏ hơn n. Gọi T là số cách chọn. Lúc này:

A. $T = \sum_{k = 2}^{n - 1} k C_{n}^{k}$

B. $T = n (2^{n - 1} - 1)$

C. $T = n {.2}^{n - 1}$

D. $T = \sum_{k = 1}^{n} k C_{n}^{k}$

Xem đáp án

Gọi A_k là phương án: Chọn nhóm có k học sinh và chỉ định 1 bạn trong k học sinh đó làm nhóm trưởng.
Thầy chủ nhiệm có các phương án: A₂, A₃, A₄, ..., A_n-1
Ta tính xem A_k có bao nhiêu cách thực hiện.
Phương án A_k có hai công đoạn:
Công đoạn 1: Chọn k học sinh trong n học sinh có

C_{n}^{k}

cách chọn

Công đoạn 2: Chọn 1 học sinh trong k học sinh làm nhóm trưởng có

C_{k}^{1} = k

cách chọn

Theo quy tắc nhân thì phương án A_k có

k C_{n}^{k}

cách chọn

Các phương án A_k là độc lập với nhau.
Vậy theo quy tắc cộng ta có:

T = \sum_{k = 2}^{n - 1} k C_{n}^{k}

Đáp án cần chọn là: A

Câu 43:

Cho các chữ số 0, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 9; có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 15, gồm 4 chữ số đôi một khác nhau?

A. 124

B. 132

C. 136

D. 120

Xem đáp án

Gọi số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau là

\bar{a b c d} (a \neq 0)

Để một số chia hết cho 15 thì số đó phải chia hết cho 3 và cho 5.
⇒ dϵ{0; 5}
TH1: d = 0, số cần tìm có dạng

\bar{a b c 0}

Để số cần tìm chia hết cho 3 thì a + b + c ⁝ 3
Ta có các nhóm:

\{\begin{matrix} 9 \equiv 0 (\mod 3) \\ \{1; 4; 7\} \equiv 1 (\mod 3) \\ \{2; 5; 8\} \equiv 2 (\mod 3) \end{matrix}

+) a, b, c ≡ 1(mod 3) ⇒ a, b, c ϵ{1; 4; 7}
⇒ Có 3! cách chọn.
+) a, b, c ≡ 2(mod3) ⇒ a, b, c ϵ {2; 5; 8}
⇒ Có 3! cách chọn.
+) Trong 3 số a, b, c có 1 số chia hết cho 3, 1 số chia 3 dư 1, 1 số chia 3 dư 2.
⇒ Có

1. C_{3}^{1} . C_{3}^{1} .3!

cách chọn

⇒ Có

3! + 3! + 1. C_{3}^{1} . C_{3}^{1} .3! = 66

số

TH2: d = 5, số cần tìm có dạng

\bar{a b c 5}

Để số cần tìm chia hết cho 3 thì a + b + c + 5 ⁝ 3, trong đó 5 ≡ 2(mod 3).
Ta có các nhóm:

\{\begin{matrix} \{0; 9\} \equiv 0 (\mod 3) \\ \{1; 4; 7\} \equiv 1 (\mod 3) \\ \{2; 8\} \equiv 2 (\mod 3) \end{matrix}

+) Trong 3 số a, b, c có 2 số chia hết cho 3, 1 số chia 3 dư 1.
- Ta chọn số chia hết cho 3 trước: Có 1 cách chọn. Chọn tiếp số chia cho 3 dư 1, có

C_{3}^{1}

cách chọn. Sắp xếp các số này có 3! cách. Theo quy tắc nhân có:

C_{3}^{1} .3!

cách chọn

Trong các cách chọn này có số có chữ số 0 ở đầu nên ta phải trừ đi các cách chọn a, b, c có a = 0, ta cần tìm

\bar{b c}

:

Chọn số chia hết cho 3 có 1 cách, chọn số chia 3 dư 1 có

C_{3}^{1}

cách. Sắp xếp hai số này có 2! cách. Số cách chọn

\bar{b c}

là

C_{3}^{1} .2!

⇒ Có

C_{3}^{1} .3! - C_{3}^{1} .2! = 12

cách

+) Trong 3 số a, b, c có 1 số chia hết cho 3, 2 số chia 3 dư 3.
⇒ Có

C_{2}^{1} .3! - 2! = 10

cách chọn

+) Trong 3 số a, b, c có 1 số chia 3 dư 1, 1 số chia 3 dư 2.
⇒ Có

C_{3}^{2} . C_{2}^{1} .3! = 36

cách chọn

Vậy có tất cả 66 + 12 + 10 + 36 = 124 số thỏa mãn.
Đáp án cần chọn là: A