12 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 1: Tìm ảnh của một điểm, một hình qua phép đông dạng có đáp án

Câu 1:

Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình $x + y - 2 = 0$ . Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm $I (- 1; - 1)$ , tỉ số $k = \frac{1}{2}$ và phép quay tâm O góc.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Gọi $d_{1}$ là ảnh của d qua phép vị tự tâm $I (- 1; - 1)$ , tỉ số $k = \frac{1}{2}$ .

Vì $d_{1}$ song song hoặc trùng với d nên phương trình của $d_{1}$ có dạng: $x + y + c = 0$

Lấy thuộc d thì ảnh của nó qua phép vị tự nói trên là $M' (x'; y') \in d_{1}$

Ta có: $\{\begin{cases} x' = k x + (1 - k) x_{0} \\ y' = k y + (1 - k) y_{0} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x' = \frac{1}{2} .1 + (1 - \frac{1}{2}) . (- 1) \\ y' = \frac{1}{2} .1 + (1 - \frac{1}{2}) . (- 1) \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} x' = 0 \\ y' = 0 \end{cases} \Rightarrow M' \equiv O$ .

Vậy phương trình của $d_{1} : x + y = 0$ .

Ảnh của $d_{1}$ qua phép quay âm O góc $- 45 °$ là đường thẳng Oy.

Vậy phương trình của d’ là x=0

Câu 2:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình ${(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ . Phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp các phép vị tự tâm O tỉ số $k = \frac{1}{2}$ và phép quay tâm O góc $90 °$ sẽ biến (C) thành đường tròn nào trong các đường tròn sau?

A. ${(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$

B. ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$

C. ${(x + 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$

D. ${(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đường tròn (C) có tâm $I (2; 2)$ , bán kính R=2

Suy ra phép vị $V_{(O; \frac{1}{2})}$ tự biến (C) thành (C') tâm $I' (1; 1)$ , bán kinh $R' = 1$

Phép quay $Q_{(O; 90 °)}$ biến (C') thành (C'') có tâm $I'' (- 1; 1)$ , bán kính $R'' = R' = 1$

Vậy phương trình đường tròn (C'') là ${(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ .

Chọn D.

Câu 3:

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. Phép dời hình là một phép đồng dạng.

B. Phép vị tự là một phép đồng dạng.

C. Phép quay là một phép đồng dạng.

D. Phép đồng dạng là phép dời hình.

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Câu 4:

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. Phép vị tự là phép đồng dạng.

B. Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số 1.

C. Phép dời hình là phép vị tự.

D. Phép quay là phép dời hình.

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Câu 5:

Phép vị tự tỉ số k=-2 là phép đồng dạng tỉ số bằng bao nhiêu?

A. 1.

B. -1

C. 2.

D. -2

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Câu 6:

Trong hệ tọa độ Oxy cho điểm A(4,3). Ảnh của A có được bằng cách thực hiện liên tiếp qua phép vị tự tâm O tỉ số 2 và phép tịnh tiến theo vectơ $\vec{v} (- 3; 2)$ là:

A. $(1; 5)$

B. $(8; 5)$

C. $(5; 8)$

D. $(8; 6)$

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Câu 7:

Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình $2 x - y = 0$ . Phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp vị tự tâm O tỉ số k=-2 và phép đối xứng qua trục Oy sẽ biến d thành đường thẳng nào trong các đường thẳng sau?

A. $2 x - y = 0$

B. $2 x + y = 0$

C. $4 x - y = 0$

D. $2 x + y - 2 = 0$

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Tâm vị tự O thuộc đường thẳng d nên $d = V_{(O; - 2)} (d)$ .

$d' = §_{O_{y}} (d)$ có phương trình là: $\{\begin{cases} x' = - x \\ y' = y \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = - x' \\ y = y' \end{cases}$ .

Mà $2 x - y = 0$ nên $2 (- x') - y' = 0 \Leftrightarrow 2 x' + y' = 0$

Vậy qua phép đồng dạng đường thẳng d biến thành đường thẳng k có phương trình $2 x + y = 0$ .

Câu 8:

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai đường tròn (C) và (C') có phương trình lần lượt là $x^{2} + y^{2} - 4 y - 5 = 0$ và $x^{2} + y^{2} - 2 x + 2 y - 14 = 0$ . Biết (C') là ảnh của qua phép đồng dạng tỉ số k, khi đó giá trị k bằng:

A. $\frac{4}{3}$

B. $\frac{3}{4}$

C. $\frac{9}{16}$

D. $\frac{16}{9}$

Xem đáp án

(C ) có tâm $I (0; 2)$ , bán kính R=2.

(C') có tâm $I (- 1; - 1)$ , bán kính R=4.

Ta có (C) là ảnh của (C') qua phép đồng dạng tỉ số k thì $4 = k .3 \Leftrightarrow k = \frac{4}{3}$ .

Câu 9:

Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn $(C) : x^{2} + y^{2} - 6 x + 4 y - 23 = 0$ . Phương trình đường tròn (C) là ảnh của đường tròn (C') qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo vectơ $\vec{v} (3; 5)$ và phép vị tự $V_{(O; \frac{1}{3})}$ là:

A. $(C') : {(x + 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 4$

B. $(C') : {(x + 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 36$

C. $(C') : {(x + 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 6$

D. $(C') : {(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 2$

Xem đáp án

Đường tròn (C) có tâm $I (3; - 2)$ và bán kính $R = \sqrt{9 + 4 + 23} = 6$ .

$T_{\vec{v}} (I (3; - 2)) = I' (x'; y')$ với $\vec{v} = (3; 5)$

Dựa vào biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến ta có $\{\begin{cases} x' = 3 + 3 = 6 \\ y' = - 2 + 5 = 3 \end{cases} \Rightarrow I' (6; 3)$ .

Ta có: $R' = \frac{1}{3} R = 2$

Vậy phương trình đường tròn $(C') : {(x + 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 4$ .

Câu 10:

Trong mặt phẳng Oxy cho điểm $M (0; 3)$ . Tìm tọa độ điểm M’ là ảnh của M qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O góc quay $- 90 °$ và phép vị tự tâm O, tỉ số k=5.

A. $M' (15; 0)$

B. $M' (0; 15)$

C. $M' (0; - 15)$

D. $M' (- 15; 0)$

Xem đáp án

Q_{(O; - 90 °)} (M (x; y)) = M_{1} (x_{1}; y_{1}); V_{(O; 5)} (M_{1}) = M' (x'; y')

Ta có $Q_{(O; - 90 °)} (M) = M_{1} \Leftrightarrow \{\begin{cases} O M = O M_{1} \\ (O M, O M_{1}) = - 90 ° \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{1} = 3 \\ y_{1} = 0 \end{cases} \Rightarrow M_{1} (3; 0)$ .

Lại có $V_{(O; 5)} (M_{1}) = M' \Leftrightarrow \vec{O M'} = 5 \vec{O M_{1}} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x' = 15 \\ y' = 0 \end{cases} \Rightarrow M' (15; 0)$

Vậy ảnh của M qua phép đồng dạng là

M' (15; 0)

Câu 11:

Trong mặt phẳng Oxy cho điểm $N (- 6; 0)$ . Ảnh của N qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O góc quay $90 °$ và phép vị tự tâm O, tỉ số k=-3 là:

A. $N' (- 18; 0)$

B. $N' (0; 18)$

C. $N' (0; - 18)$

D. $N' (0; - 6)$

Xem đáp án

$Q_{(O; 90 °)} (N (x; y)) = N_{1} (x_{1}; y_{1}); V_{(O; - 3)} (N_{1}) = N' (x'; y')$ .

Ta có $Q_{(O; 90 °)} (N) = N_{1} \Leftrightarrow \{\begin{cases} O N = O N_{1} \\ (O N, O N_{1}) = 90 ° \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{1} = 0 \\ y_{1} = - 6 \end{cases} \Rightarrow N_{1} (0; - 6)$ .

Lại có $V_{(O; - 3)} (N_{1}) = N' \Leftrightarrow \vec{O N'} = 5 \vec{O N_{1}} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x' = 0 \\ y' = 18 \end{cases} \Rightarrow N' (0; 18)$ .

Vậy ảnh của N qua phép đồng dạng là $N' (0; 18)$ .

Câu 12:

Cho $∆ A B C$ đều cạnh 2. Qua ba phép đồng dạng liên tiếp: Phép tịnh tiến $T_{\vec{B C}}$ , phép quay $Q (B; 60 °)$ , phép vị tự $V_{(A; 3)}$ thì $∆ A B C$ biến thành $Δ A_{1} B_{1} C_{1}$ . Diện tích $Δ A_{1} B_{1} C_{1}$ là:

A. $5 \sqrt{2}$

B. $9 \sqrt{3}$

C. $9 \sqrt{2}$

D. $5 \sqrt{2}$

Xem đáp án

Do phép tịnh tiến và phép quay bảo toàn khoảng cách giữa các điểm nên qua liên tiếp các phép tịnh tiến $T_{\vec{B C}}$ , phép quay $Q (B; 60 °)$ , phép vị tự $V_{(A; 3)}, Δ A B C$ biến thành $Δ A_{1} B_{1} C_{1}$ thì $A_{1} B_{1} = 3 A B = 6$

Vì $Δ A_{1} B_{1} C_{1}$ có cạnh bằng 6 nên $S_{Δ A_{1} B_{1} C_{1}} = \frac{6^{2} \sqrt{3}}{4} = 9 \sqrt{3}$ (đơn vị diện tích).