10 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Quy tắc đếm có đáp án (Vận dụng)

Câu 1:

Sắp xếp 5 học sinh lớp A và 5 học sinh lớp B vào hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy 5 ghế sao cho 2 học sinh ngồi đối diện nhau thì khác lớp. Khi đó số cách xếp là:

A. 460000.

B. 460500.

C. 460800.

D. 460900.

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: C

Cách 1: Có tất cả 5 cặp ghế ngồi đối diện

Cặp 1: Học sinh đầu tiên, giả sử đó là học sinh lớp A có 10 cách chọn ghế.

Có 5 cách chọn ra một học sinh lớp B ngồi vào ghế đối diện.

Cặp 2: Có 8 cách chọn ra một học sinh lớp A ( hoặc lớp B) vào ghế tiếp theo.

Có 4 cách chọn ra học sinh lớp B ( hoặc lớp A) vào ghế đối diện.

Cặp 3: Có 6 cách chọn ra học sinh lớp A ( hoặc lớp B)

Có 3 cách chọn học sinh lớp B ( hoặc lớp A) vào ghế đối diện.

Cặp 4: Có 4 cách chọn học sinh lớp A ( hoặc lớp B) vào ghế tiếp.

Có 2 cách chọn học sinh lớp B ( hoặc lớp A) vào ghế đối diện.

Cặp 5: Có 2 cách chọn học sinh lớp A ( hoặc lớp B) vào ghế kế tiếp.

Có 1 cách chọn học sinh lớp B ( hoặc lớp A) vào ghế đối diện.

Theo quy tắc nhân thì có 10.5.8.4.6.3.4.2.2.1=460800 cách.

Cách 2:

Vì 2 học sinh ngồi đối diện nhau thì khác lớp nên mỗi cặp ghế đối diện nhau sẽ được xếp bởi 1 học sinh lớp A và 1 học sinh lớp B.

Số cách xếp 5 học sinh lớp A vào 5 cặp ghế là 5! cách. Số cách xếp 5 học sinh lớp B vào 5 cặp ghế là 5! cách. Số cách xếp chỗ ở mỗi cặp ghế là 2 cách.

Theo quy tắc nhân thì có ${(5!)}^{2} . 2^{5}$ =460800 cách.

Câu 2:

Cho X={0,1,2,3,4,5,6,7}. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau đôi một từ X sao cho một trong 3 chữ số đầu tiên phải có mặt chữ số 1

A. 2280 số.

B. 840 số.

C. 1440 số.

D. 2520 số.

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: A

Gọi số tự nhiên cần tìm là $\bar{a b c d e}$ (a≠0)

TH1: Nếu a=1 khi đó:

Có 1 cách chọn a.

Có 7 cách chọn b.

Có 6 cách chọn c.

Có 5 cách chọn d.

Có 4 cách chọn e.

Áp dụng quy tắc nhân ta có: 1.7.6.5.4=840 số.

TH2: Nếu a≠1 khi đó:

Có 6 cách chọn a.

Có 2 cách xếp vị trí cho chữ số 1 là b hoặc c.

Cách xếp các chữ số còn lại có 6.5.4 = 120 cách.

Áp dụng quy tắc nhân ta có: 6.2.120 = 1440 số.

Vậy theo quy tắc cộng ta có: 840 + 1440 = 2280 số.

Câu 3:

Trong kì thi tuyển nhân viên chuyên môn cho công ty cổ phần Giáo dục trực tuyến VEDU, ở khối A có thí sinh đạt điểm giỏi môn Toán, thí sinh đạt điểm giỏi môn Vật lí, thí sinh đạt điểm giỏi môn Hóa học, thí sinh đạt điểm giỏi cả hai môn Toán và Vật lí, thí sinh đạt điểm giỏi cả hai môn Vật lí và Hóa học, thí sinh đạt điểm giỏi cả hai môn Toán và Hóa học, thí sinh đạt điểm giỏi cả ba môn Toán, Vật lí và Hóa học. Có thí sinh mà cả ba môn đều không có điểm giỏi. Hỏi có bao nhiêu thí sinh tham dự tuyển nhân viên chuyên môn cho công ty?

A. 867.

B. 776.

C. 264.

D. 767.

Xem đáp án

Chọn đáp án A.

Kí hiệu $A, B, C$ tương ứng là tập hợp các thí sinh đạt điểm giỏi ở ít nhất một trong ba môn là Toán, Vật lý, Hóa học.

$|A| = 51; |B| = 73; |C| = 64; |A \cap B| = 32; |B \cap C| = 45; |A \cap C| = 21; |A \cap B \cap C| = 10 .$

Lúc này ta có là tập hợp các học sinh đạt điểm giỏi ở ít nhất một trong ba môn là Toán, Vật lý, Hóa học. Ta có:

$|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |B \cap C| - |A \cap C| + |A + B + C| = 51 + 73 + 64 - 32 - 45 - 21 + 10 = 100$

Vậy số thí sinh dự tuyển vào công ty VEDU là $100 + 767 = 867$ .

Câu 4:

Có bao nhiêu cách sắp xếp 8 viên bi đỏ khác nhau và 8 viên bi đen khác nhau thành một dãy sao cho hai viên bi cùng màu thì không được ở cạnh nhau?

A. 3251404800.

B. 1625702400.

C. 72.

D. 36.

Xem đáp án

Chọn đáp án A.

Nhận xét: Bài toán là sự kết hợp giữa quy tắc cộng và quy tắc nhân.

Do hai viên bi cùng màu không được ớ cạnh nhau nên ta có trường hợp sau:

Phương án 1: Các bi đỏ ở vị trí lẻ. Có 8 cách chọn bi đỏ ở vị trí số 1.

Có 7 cách chọn bi đỏ ờ vị trí số 3.

….

Có 1 cách chọn bi đỏ ờ vị trí số 15.

Suy ra có $8.7.6 . . . 3.2.1$ cách xếp 8 bi đỏ.Tương tự có $8.7.6 . . . 3.2.1$ cách xếp bi xanh.

Vậy có ${(8.7.6 . . . 3.2.1)}^{2}$ cách xếp.

Phương án 2: Các bi đỏ ở vị trí chẵn ta cũng có cách xếp tương tự.

Vậy theo quy tắc cộng ta có ${(8!)}^{2} + {(8!)}^{2} = 3251404800$ .

Câu 5:

Có 20 cặp vợ chồng tham dự chương trình Gameshow truyền hình thực tế. Có bao nhiêu cách chọn ra hai cặp đôi sao cho hai cặp đó là hai đôi vợ chồng?

A. 380.

B. 116280.

C. 90.

D. 5040.

Xem đáp án

Chọn đáp án A.

Bước 1: Có 20 cách chọn người đàn ông đầu tiên.

Bước 2: Sau đó chi có 1 cách chọn vợ của anh ta.

Bước 3: Có 19 cách chọn người đàn ông tiếp theo.

Bước 4: Sau đó chi có 1 cách chọn vợ của anh ta.

Vậy theo quy tắc nhân thì có $20.1.19.1 = 380$ cách.

Câu 6:

Một bộ ghép hình gồm các miếng gỗ. Mỗi miếng gỗ được đặc trưng bởi 4 tiêu chuẩn: chất liệu, màu sắc, hình dạng và kích cỡ. Biết rằng có 2 chất liệu (gỗ, nhựa); có 4 màu (xanh, đỏ, lam, vàng); có hình dạng (hình tròn, vuông, tam giác, lục giác) và có 3 kích cỡ (nhỏ, vừa, lớn). Xét miếng gỗ “nhựa, đỏ, hình tròn, vừa”. Hỏi có bao nhiêu miếng gỗ khác miếng gỗ trên ở đúng hai tiêu chuẩn?

A. 29.

B. 39.

C. 48.

D. 56.

Xem đáp án

Chọn đáp án A.

Có $C_{4}^{2} = 6$ cách chọn 2 trong 4 tiêu chuẩn.

Với hai tiêu chuẩn “chất liệu, cỡ” thì có $1.2 = 2$ miếng khác ở đúng tiêu chuẩn này.

Với hai tiêu chuẩn “chất liệu, màu” thì có $1.3 = 3$ miếng khác ở đúng tiêu chuẩn này.

Với hai tiêu chuẩn “chất liệu, dạng” thì có 1.3=3 miếng khác ở đúng tiêu chuẩn này.

Với hai tiêu chuẩn “cỡ, dạng” thì có $2.3 = 6$ miếng khác ở đúng tiêu chuẩn này.

Với hai tiêu chuẩn “cỡ, màu” thì có $3.3 = 9$ miếng khác ở đúng tiêu chuẩn này.

Tóm lại có $2 + 3 + 3 + 6 + 6 + 9 = 29$ miếng.

Câu 7:

Một đoàn tàu có bốn toa đỗ ở sân ga. Có bốn hành khách bước lên tàu. Số trường hợp có thể xảy ra về cách chọn toa của bốn khách là:

A. 24.

B. 256.

C. 232.

D. 1.

Xem đáp án

Chọn đáp án B.

Chọn toa cho vị khách thứ nhất có 4 cách.

Chọn toa cho vị khách thứ hai có 4 cách.

Chọn toa cho vị khách thứ ba có 4 cách.

Chọn toa cho vị khách thứ tư có 4 cách.

Theo quy tắc nhân thì có $4^{4} = 256$ cách chọn toa cho bốn khách.

Câu 8:

Hỏi có tất cả bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 9 mà mỗi số có 2011 chữ số và trong đó có ít nhất hai chữ số 9.

A. $\frac{9^{2011} - 2019 . 9^{2010} + 8}{9}$

B. $\frac{9^{2011} - 2 . 9^{2010} + 8}{9}$

C. $\frac{9^{2011} - 9^{2010} + 8}{9}$

D. $\frac{9^{2011} - 19 . 9^{2010} + 8}{9}$

Xem đáp án

Chọn đáp án A.

Đặt $X$ là các số tự nhiên thỏa yêu cầu bài toán.

A={ các số tự nhiên không vượt quá 2011 chữ số và chia hết cho 9}

Với mỗi số thuộc A có $m$ chữ số $(m \leq 2008)$ thì ta có thể bổ sung thêm $2011 - m$ số $0$ vào phía trước thì số có được không đổi khi chia cho 9. Do đó ta xét các số thuộc A có dạng $\bar{a_{1} a_{2} . . . a_{2011}}; a_{i} \in \{0, 1, 2, 3, . . ., 9\}$

$A_{0} = {a \in A |$ mà trong $a$ không có chữ số 9}

$A_{1} = {a \in A |$ mà trong $a$ có đúng 1 chữ số 9}

Ta thấy tập A có $1 + \frac{9^{2011} - 1}{9}$ phần tử

Tính số phần tử của $A_{0}$

Với $x \in A_{0} \Rightarrow x = \bar{a_{1} . . . a_{2011}}; a_{i} \in \{0, 1, 2, . . . 8\} i = \bar{1, 2010} v à a_{2011} = 9 - r v ớ i r \in [1; 9], r \equiv \sum_{i = 1}^{2010} a_{i}$ .

Từ đó ta suy ra $A_{0}$ có $9^{2010}$ phần tử

Tính số phần tử của $A_{1}$

Để lập số của thuộc tập $A_{1}$ ta thực hiện liên tiếp hai bước sau

Bước 1: Lập một dãy gồm $2010$ chữ số thuộc tập $\{0, 1, 2, . . ., 8\}$ và tổng các chữ số chia hết cho 9. Số các dãy là $9^{2009}$

Bước 2: Với mỗi dãy vừa lập trên, ta bổ sung số 9 vào một vị trí bất kì ở dãy trên, ta có 2010 các bổ sung số 9

Do đó $A_{1}$ có $2010 . 9^{2009}$ phần tử.

Vậy số các số cần lập là:

$1 + \frac{9^{2011} - 1}{9} - 9^{2010} - 2010 . 9^{2009} = \frac{9^{2011} - 2019 . 9^{2010} + 8}{9}$

Câu 9:

Từ các số có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên,mỗi số có 6 chữ số đồng thời thỏa điều kiện :sáu số của mỗi số là khác nhau và trong mỗi số đó tổng của 3 chữ số đầu nhỏ hơn tổng của 3 số sau một đơn vị.

A. 104.

B. 106.

C. 108

D. 112

Xem đáp án

Chọn đáp án C.

Cách 1: Gọi $x = \bar{a_{1} a_{2} . . . a_{6}}, a_{i} \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ là số cần lập

Theo bài ra ta có: $a_{1} + a_{2} + a_{3} + 1 = a_{4} + a_{5} + a_{6}$ (1)

Mà $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}, a_{6} \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ và đôi một khác nhau nên

$a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} + a_{6} = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21$ (2)

Từ (1), (2) suy ra: $a_{1} + a_{2} + a_{3} = 10$

Phương trình này có các bộ nghiệm là: $(a_{1}, a_{2}, a_{3}) = (1, 3, 6); (1, 4, 5); (2, 3, 5)$

Với mỗi bộ ta có: ( 3.2.1). (3.2.1) = 36 số.

Vậy có tất cả: $3.36 = 108$ số cần lập.

Cách 2: Gọi $x = \bar{a b c d e f}$ là số cần lập

Ta có: $\{\begin{cases} a + b + c + d + e + f = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 \\ a + b + c = d + e + f + 1 \end{cases}$

$\Rightarrow a + b + c = 11$ . Do $a, b, c \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$

Suy ra ta có các cặp sau: $(a_{1}, a_{2}, a_{3}) = (1, 3, 6); (1, 4, 5); (2, 3, 5)$

Với mỗi bộ như vậy ta có 3.2.1= 6 cách chọn $a, b, c$ và 3.2.1= 6 cách chọn

Do đó có: 3. 6.6 = 108 số thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 10:

Một lớp có 25 học sinh khá môn Toán, 24 học sinh khá môn Ngữ Văn, 10 học sinh khá cả môn Toán và môn Ngữ Văn và 3 học sinh không khá cả Toán và Ngữ Văn. Hỏi lớp học đó có bao nhiêu học sinh?

A. 39.

B. 42.

C. 62.

D. 52.

Xem đáp án

Chọn đáp án B.

Gọi $A$ là tập các học sinh khá môn Toán, $B$ là tập các học sinh khá môn Ngữ Văn.

Theo đề ta có: $|A| = 25; |B| = 24; |A \cap B| = 10$ .

Theo quy tắc tính số phần tử của hợp hai tập hợp hữu hạn bất kì ta có:

$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| = 25 + 24 - 10 = 39$

Vậy lớp học có $39 + 3 = 42$ học sinh.