10 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 1: Nhận biết, chứng minh dãy số là một cấp số cộng có đáp án

Câu 1:

Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là một cấp số cộng?

A. (u_n): 1; 1; 2; 3; 5; …;

B. (v_n): 0; 2; 4; 6; 8; …;

C. (w_n): 1; –1; 1; –1; …;

D. (t_n): 2; 4; 8; 16; 32; ….

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Có v₁ = 0, v₂ = 2, v₃ = 4, v₄ = 6, v₅= 8.

Dễ thấy các số hạng của dãy số (v_n) là các số chẵn có hiệu giữa hai phần tử liên tiếp là 2 đơn vị.

Do đó (v_n) là một cấp số cộng.

Câu 2:

Cho các dãy số sau:

(1): 0; 5; 10; 15; 20; …

(2): 1; 4; 9; 16; 25; …

(3): 3; 5; 7; 9; 11; 13; …

(4): 5; –1; –7; –13; –19; …

Các dãy số là cấp số cộng là

A. 1; 2; 3;

B. 1;

C. 2; 3;

D. 1; 3; 4;

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

• Xét dãy (1) là dãy số có hiệu 2 phần tử liên tiếp là:

5 – 0 = 10 – 5 = … = 5 Þ Dãy (1) là cấp số cộng.

• Xét dãy (2) là dãy số có hiệu 2 phần tử liên tiếp là:

4 – 1 = 3; 9 – 4 = 5; … khác nhau Þ Dãy (2) không phải cấp số cộng.

• Xét dãy (3) là dãy số có hiệu 2 phần tử liên tiếp là:

5 – 3 = 7 – 5 = … = 2 Þ Dãy (3) là cấp số cộng.

• Xét dãy (4) là dãy số có hiệu 2 phần tử liên tiếp là:

– 1 – 5 = –7 – (– 1) = … = – 6 Þ Dãy (4) là cấp số cộng.

Vậy các dãy số thỏa mãn là cấp số cộng là: 1; 3; 4.

Câu 3:

Trong các dãy số dưới đây, dãy số không phải là một cấp số cộng?

A. (u_n): 0; 2; 4; 6; 8; …;

B. (v_n): 1; 5; 9; 13; 17; …;

C. (w_n): 2; –6; 18; –54; …;

D. (t_n): 6; 12; 18; 24; 30; ….

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Có w₁ = 2, w₂ = –6, w₃ = 18, w₄ = –54.

n	w_n ₊ ₁ – w_n
1	–8
2	–24
3	–72

Þ Ta kết luận w_n không phải một cấp số cộng.

Vậy D là đáp án đúng.

Câu 4:

Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là một cấp số cộng?

A. –13n + 27;

B. –13n² + 27n;

C.

\frac{- 13}{n} + 27;

D. (– 13)ⁿ + 27.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có: u_n ₊ ₁ = −13(n + 1) + 27 = −13n + 14

Þ u_n ₊ ₁ − u_n = (−13n + 14) − (−13n + 27) = −13

Suy ra: (u_n) là cấp số cộng với công sai d = −13.

Câu 5:

Dãy số nào dưới đây không là cấp số cộng?

A. u_n = −3 − 8n;

B. u_n = n + 2;

C. u_n = 3n;

D. u_n = 3. (−4)ⁿ − 8.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

• Xét phương án A: u_n = −3 − 8n.

Ta có u_n ₊ ₁ = −3 − 8(n + 1) = −11 − 8n

Þ u_n ₊ ₁ − u_n = (−11 − 8n) − (−3 − 8n) = −8

Þ (u_n): u_n = −3 − 8n là một cấp số cộng với công sai d = −8.

• Xét phương án B: u_n = n + 2.

Ta có u_n ₊ ₁ = n + 1+ 2 = n + 3;

Þ u_n ₊ ₁ − u_n = (n + 3) − (n + 2) = 1

Þ (u_n): u_n = n + 2 là một cấp số cộng với công sai d = 1.

• Xét phương án C: u_n = 3n.

Ta có u_n ₊ ₁ = 3(n + 1) = 3n + 3;

Þ u_n ₊ ₁ − u_n = 3n + 3 – 3n = 3

Þ C (u_n) là một cấp số cộng với công sai d = 3.

• Xét phương án D: u_n = n + 2:

Ta có u_n ₊ ₁ = 3.(−4)ⁿ ⁺ ¹ − 8;

Þ u_n ₊ ₁ − u_n = [3.(−4)ⁿ ⁺ ¹ − 8] − [ 3.(−4)ⁿ − 8] = 3.(−4)ⁿ ⁺ ¹ − 3.(−4)ⁿ.

Þ (u_n ₊ ₁ − u_n) không phải là hằng số; còn phụ thuộc vào n.

Nên dãy số (u_n) không là cấp số cộng.

Þ D đúng.

Câu 6:

Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là một cấp số cộng?

A. $u_{n} = \frac{1}{n + 2};$

B. $u_{n} = \frac{n^{2} - 2}{n};$

C. $u_{n} = \frac{2^{n}}{n};$

D. $\{\begin{cases} u_{1} = 2 \\ u_{n + 1} = \sqrt{2 + u_{n}} \end{cases}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có: u₂ = 2; u₃ = 2; u₄ = 2; u₅ = 2...

Dự đoán: u_n = 2 "n Î ℕ^*.

Ta chứng minh u_n = 2 bằng phương pháp quy nạp:

+ Với n = 1 ta có: u₁ = 2 nên đúng với n = 1.

+ Giả sử đúng với n = k, tức là: u_k = 2.

Ta chứng minh dãy số đúng với n = k + 1 hay u_k ₊ ₁ = 2.

Theo giả thiết ta có: $u_{k + 1} = \sqrt{2 + u_{k}} = \sqrt{2 + 2} = 2$

Þ Đúng với n = k + 1, suy ra điều phải chứng minh.

Vậy với mọi n ta có: u_n = u_{n + 1} nên u_{n + 1} − u_n = 0.

Þ Dãy số (u_n) là cấp số cộng với công sai d = 0.

Câu 7:

Cho các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng?

A.

u_{n} = \frac{n + 1}{n + 2}

;

B. u_n = n² + 2n + 2;

C. u_n = n + 10;

D. u_n = 2ⁿ + 3.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có: u_{n + 1} – u_n = (n + 1) + 10 – n – 10 = 1

Þ u_n là cấp số cộng có công sai bằng 1.

Câu 8:

Cho các dãy số sau đây: v_n = −2n² + n + 1; $u_{n} = \frac{1}{2 n - 3}$ ; $w_{n} = \frac{n^{2} + 2 n}{n^{2}}$ .Có bao nhiêu dãy số là cấp số cộng?

A. 0;

B. 1;

C. 2;

D. 3.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

• Ta có: v_n+1 = −2(n + 1)² + (n + 1) + 1= −2n² − 3n

Xét hiệu: v_{n + 1} − v_n = (−2n² − 3n) − (−2n² + n + 1) = −4n – 1.

Do đó, hiệu (v_{n + 1} − v_n) còn phụ thuộc vào n nên (v_n) không là cấp số cộng.

• Ta có: u_{n + 1} = – 2(n + 1)² + (n + 1) + 1

Xét hiệu: u_{n + 1} − u_n = −2(n + 1)² + 2n² + 1 = – 4n – 1 phụ thuộc vào n.

Þ (u_n) không là cấp số cộng.

+ Ta có: $w_{1} = - 1; w_{2} = 1; w_{3} = \frac{1}{3}$

Þ w₃ − w₂ ≠ w₂ − w₁ nên dãy số (w_n) không phải là cấp số cộng.

Câu 9:

Cho dãy số (u_n) có $u_{n} = \frac{- 2 . 3^{n}}{n^{2}} \cdot u_{n}$ . Cấp số cộng có công sai là

A. 0;

B. 4;

C. (u_n) không phải là cấp số cộng;

D. 3.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có: $u_{1} = - 6; u_{2} = \frac{- 9}{2}; u_{3} = - 6$

Ta thấy: u₁ + u₃ ≠ 2u₂.

Do đó, dãy số (u_n) đã cho không là cấp số cộng.

Câu 10:

Cho dãy số (u_n) xác định bởi u₁ = 2 và $u_{n + 1} = \sqrt{3 u_{n} - 2}$ . Dãy số (u_n) là cấp số cộng với công sai là bao nhiêu?

A. 0;

B. 3;

C. 2;

D. Dãy số không phải là cấp số cộng.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có: u₂ = 2; u₃ = 2; u₄ = 2; u₅ = 2...

Dự đoán: u_n = 2 "n Î ℕ^* .

Ta chứng minh u_n = 2 bằng phương pháp quy nạp.

+ Với n = 1 ta có: u₁ = 2 nên đúng với n = 1.

+ Giả sử đúng với n = k, tức là: u_k = 2.

Ta chứng minh đúng với n = k + 1 hay u_k+1 = 2.

Theo giả thiết ta có: $u_{k + 1} = \sqrt{3 u_{k} - 2} = \sqrt{3 . 2 - 2} = 2$

Þ Đúng với n = k + 1, ta có điều phải chứng minh.

Vậy với mọi n ta có: u_n = u_{n + 1} nên u_{n + 1} − u_n = 0.

Þ Dãy số (u_n) là cấp số cộng với công sai d = 0.