25 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Bài tập Tổ Hợp - Xác Suất cơ bản nâng cao có lời giải chi tiết (P1)

Câu 1:

Một lớp học có 15 bạn nam và 10 bạn nữ. Số cách chọn hai bạn trực nhật sao cho có cả nam và nữ là:

A. 300

B. 25

C. 150

D. 50

Xem đáp án

Đáp án C

Phương pháp:

Sử dụng quy tắc nhân

Để chọn được nhóm có một bạn nam và một bạn nữ ta làm như sau:

Khi đó, số cách chọn hai bạn sao cho có một bạn nam và một bạn nữ là:

Câu 2:

Gieo con xúc xắc được chế tạo cân đối và đồng chất 2 lần. Gọi a là số chấm xuất hiện trong lần gieo thứ nhất, b là số chấm xuất hiện trong lần gieo thứ hai. Xác suất để phương trình $x^{2} + a x + b = 0$ có nghiệm bằng

A. $\frac{17}{36}$

B. $\frac{19}{36}$

C. $\frac{1}{2}$

D. $\frac{4}{9}$

Xem đáp án

Đáp án B

Phương pháp:

Phương trình $a x^{2} + b x + c = 0$ $(a \neq 0)$ có nghiệm

$\Leftrightarrow ∆ \geq 0$

Gọi A là biến cố:

"Phương trình $a x^{2} + b x + c = 0$ có nghiệm"

Câu 3:

Một tổ có 10 học sinh gồm 6 nam và 4 nữ. Giáo viên cần chọn ngẫu nhiên hai bạn hát song ca. Tính xác suất P để hai học sinh được chọn là một cặp song ca nam nữ.

A. $\frac{4}{15}$

B. $\frac{8}{15}$

C. $\frac{12}{19}$

D. $\frac{2}{9}$

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 4:

Từ các chữ số 1; 2; 3 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau?

A. 8

B. 6

C. 9

D. 3

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 5:

Hệ số của số hạng chứa $x^{5}$ trong khai triển ${(1 + x)}^{12}$ là:

A. 972

B. 495

C. 792

D. 924

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 6:

Thầy Tuấn có 15 cuốn sách gồm 4 cuốn sách Toán , 5 cuốn sách Lý và 6 cuốn sách Hóa. Các cuốn sách đôi một khác nhau. Thầy chọn ngẫu nhiên 8 cuốn sách để làm phầnt hưởng cho một học sinh. Tính xác suất để số cuốn sách còn lại thầy Tuấn còn đủ 3 môn

A. $\frac{54}{715}$

B. $\frac{661}{715}$

C. $\frac{2072}{2145}$

D. $\frac{73}{2145}$

Xem đáp án

Đáp án B

Gọi biến cố A: “Số cuốn sách còn lại của thầy Tuấn có đủ cả ba môn”.

Khi đó ta có biến cố: $\bar{A}$ : “Số cuốn sách còn lại của thầy Tuấn không có đủ cả 3 môn”.

Câu 7:

Cho x là số thực dương, khai triển nhị thức ${(x^{2} + \frac{1}{x})}^{12}$ ta có hệ số của số hạng chứa $x^{m}$ bằng 792. Giá trị của m là:

A. m = 3 và m = 9

B. m = 0 và m = 9

C. m = 9

D. m = 0

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 8:

Cho hình chóp S.ABCD có $S C = x (0 < x < a \sqrt{3})$ , các cạnh còn lại đều bằng a. Biết rằng thể tích khối chóp S.ABCD lớn nhất khi và chỉ khi $x = \frac{a \sqrt{m}}{n} (m, n \in ℕ^{*})$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

Xem đáp án

Đáp án A

Phương pháp:

+) Chứng minh hình chiếu vuông của S trên (ABCD) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD.

+) Chứng minh tam giác SAC vuông tại S, tính AC.

+) Tính BD.

+) Sử dụng công thức tính thể tích $V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S H . S_{A B C D} = \frac{1}{3} S H . \frac{1}{2} A C . B D$

Cách giải:

Vì SA = SB = SD = a nên hình chiếu vuông của S trên (ABCD) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD.

Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD

$\Rightarrow S H ⊥ (A B C D) .$

Do tam giác ABD cân tại A $\Rightarrow H \in A C$

Dễ dàng chứng minh được:

$△ S B D = △ A B D (c . c . c) \Rightarrow S O = A O = \frac{A C}{2} \Rightarrow △ S A C$ vuông tại S (Tam giác có trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SAC có $S H = \frac{S A . S C}{A C} = \frac{a x}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}}$

Ta có

Dấu “=” xảy ra

Câu 9:

Cho một tập hợp A gồm 9 phân tử. Có bao nhiêu cặp tập con khác rỗng không giao nhau của tập A?

A. 9330

B. 9586

C. 255

D. 9841

Xem đáp án

Đáp án A

Do đó ta có $3^{9}$ cặp 2 tập hợp không giao nhau (chứa cả cặp tập hợp rỗng).

Số cách chọn tập $X \neq ○; Y = ○$ là $2^{9} - 1$ cách chọn.

Số cách chọn tập $X = ○; Y \neq ○$ là $2^{9} - 1$ cách chọn.

$\Rightarrow$ số cặp 2 tập hợp khác rỗng không giao nhau thực sự là $3^{9} - 2 (2^{9} - 1)$

Do (X;Y) và (Y;X) là trùng nhau nên số cặp 2 tập hợp không giao nhau thực sự là $\frac{3^{9} - 2 (2^{9} - 1)}{2} = 9330$

Câu 10:

Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của ${(x^{2} - \frac{1}{x})}^{12}$ .

A. -459.

B. -495.

C. 495.

D. 495.

Xem đáp án

Đáp án C

Phương pháp:

Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton:

Cách giải

Ta có :

Để có số hạng không chứa x trong khai triển thì:

Vậy hệ số cần tìm là

Câu 11:

Trong truyện cổ tích Cây tre trăm đốt (các đốt được tính từ 1 đến 100), khi không vác được cây tre dài tận 100 đốt như vậy về nhà, anh Khoai ngồi khóc, Bụt liền hiện lên, bày cho anh ta : “Con hãy hô câu thần chú Xác suất, xác suất thì cây tre sẽ rời ra, con sẽ mang được về nhà”. Biết rằng cây tre 100 đốt được tách ra một cách ngẫu nhiên thành các đoạn ngắn có chiều dài là 2 đốt (có thể chỉ có một loại). Xác suất để có dố đoạn 3 đốt nhiều hơn số đoạn 5 đốt đúng 1 đoạn gần với giá trị nào trong các giá trị dưới đây ?

A.0,142.

B. 0,152.

C. 0,132.

D. 0,122.

Xem đáp án

Đáp án D

Phương pháp

+) Gọi số đoạn có chiều dài 2 đốt là x và số đoạn có chiều dài 5 đốt là y, lập hệ phương trình giải tìm x, y trong trường hợp $x - y = 1$ , suy ra kết quả thuận lợi cho biến cố “số đoạn 2 đốt nhiều hơn số đoạn 5 đốt đúng 1 đoạn”.

+) Tính số bộ số (x;y) thoả mãn 2x + 5y = 100 2x + 5y =10 $(x, y \in N)$ , suy ra số phần tử của không gian mẫu.

+) Tính xác suất của biến cố.

Cách giải

Gọi số đoạn có chiều dài 2 đốt là x và số đoạn có chiều dài 5 đốt là y, ta có hệ phương trình

Gọi A là biến cố số đoạn 2 đốt nhiều hơn số đoạn 5 đốt đúng 1 đoạn” $\Rightarrow n (A) = 1$ .

Xét các bộ số (x,y) thoả mãn 2x + 5y =100 $(x, y \in N)$ ta có bảng sau:

Câu 12:

Hệ số của số hạng chứa $x^{7}$ trong khai triển nhị thức ${(x - \frac{2}{x \sqrt{x}})}^{12}$ (với $x > 0$ ) là:

A. 376.

B. $- 264$ .

C. 264.

D. 260.

Xem đáp án

Đáp án C

Phương pháp

Sử dụng công thức số hạng tổng quát của nhị thức:

Câu 13:

Một đội xây dựng gồm 3 kĩ sư, 7 công nhân. Có bao nhiêu cách lập từ đó một tổ công tác 5 người gồm 1 kĩ sư làm tổ trưởng, 1 công nhân làm tổ phó và 3 công nhân làm tổ viên:

A. 420 cách.

B. 120 cách.

C. 252 cách.

D. 360 cách.

Xem đáp án

Đáp án A

Phương pháp

Sử dụng quy tắc nhân và tổ hợp

Cách giải:

Chọn 1 kĩ sư là tổ trưởng trong 3 kĩ sư nên ta có 3 cách chọn

Chọn 1 công nhân làm tổ phó trong 7 công nhân nên có 7 cách chọn

Chọn 3 công nhân trong 6 công nhân còn lại làm tổ viên nên có $C_{6}^{3}$ cách chọn

Như vậy có: 3.7. $C_{6}^{3}$ = 420 cách chọn theo yêu cầu bài toán

Câu 14:

Cho tập $X = \{1; 2; 3; . . . . . . . . . .; 8\}$ . Lập từ x số tự nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau. Xác suất để lập được số chia hết cho 1111 là:

Xem đáp án

Đáp án D

Do X có 8 phần tử và tổng các phần tử là 36 nên A chia hết cho 9, lại có (9;11) = 1 nên A chia hết cho 9999.

Ta có:

Có 8 cách chọn $a_{1}$ . Với mỗi $a_{1}$ sẽ cho 1 cách chọn cho duy nhất cho $a_{5}$

Có 8 cách chọn $a_{2}$ . Với mỗi $a_{1}$ sẽ cho 1 cách chọn cho duy nhất cho $a_{6}$

Có 8 cách chọn $a_{3}$ . Với mỗi $a_{1}$ sẽ cho 1 cách chọn cho duy nhất cho $a_{7}$

Có 8 cách chọn $a_{4}$ . Với mỗi $a_{1}$ sẽ cho 1 cách chọn cho duy nhất cho $a_{8}$

Câu 15:

Một nhóm gồm 10 học sinh trong đó có An và Bình, đứng ngẫu nhiên thành một hàng. Xác suất để An và Bình đứng cạnh nhau là

A. $\frac{2}{5}$ .

B. $\frac{1}{10}$ .

C. $\frac{1}{5}$ .

D. $\frac{1}{4}$ .

Xem đáp án

Đáp án C

Xếp ngẫu nhiên học sinh thành một hàng có 10! $\Rightarrow n (Ω) = 10!$

Gọi biến cố A : “Xếp học sinh thành một hàng sao cho An và Bình đứng cạnh nhau”.

Xem An và Bình là nhóm X .

Xếp X và học sinh còn lại có 9! cách.

Hoán vị An và Bình trong X có 2! cách.

Câu 16:

Cho tập hợp $A = \{0; 1; 2; 3; 4; 5\}$ . Gọi S là tập hợp các số có 3 chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số của tập A. Chọn ngẫu nhiên một số từ S , xác suất để số được chọn có chữ số cuối gấp đôi chữ số đầu bằng

A. $\frac{23}{25}$ .

B. $\frac{2}{25}$ .

C. $\frac{4}{5}$ .

D. $\frac{1}{5}$ .

Xem đáp án

Đáp án B

Khi đó

- Số cách chọn chữ số $α$ có 5 cách chọn vì $α \neq 0$ .

- Số cách chọn chữ số $b$ có 5 cách chọn vì $b \neq α$ .

- Số cách chọn chữ số $c$ có cách chọn vì $c \neq α$ và $c \neq b$ .

Do đó tập $S$ có 5.5.4 = 100 phần tử.

Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên1 số từ tập $S$ .

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là $|Ω| = C_{100}^{1} = 100 .$

Gọi $X$ là biến cố "Số được chọn có chữ số cuối gấp đôi chữ số đầu". Khi đó ta có các bộ số là $1 b 2$ hoặc $2 b 4$ thỏa mãn biến cố $X$ và cứ mỗi bộ thì $b$ có 4 cách chọn nên có tất cả số thỏa yêu cầu.

Suy ra số phần tử của biến cố $X$ là $|Ω_{X}| = 8 .$

Vậy xác suất cần tính $P (X) = \frac{|Ω_{X}|}{|Ω|} = \frac{8}{100} = \frac{2}{25} .$

Câu 17:

Bỏ ngẫu nhiên 4 lá thư vào 4 phong bì có địa chỉ khác nhau. Gọi A là biến cố “có ít nhất một lá thư đến đúng người nhận”, khi đó $P (A)$ bằng

A. $\frac{1}{24}$ .

B. $\frac{1}{3}$ .

C. $\frac{1}{4}$ .

D. $\frac{5}{8}$ .

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 18:

Một bình chứa 16 viên bi, với 7 viên bi trắng, 6 viên bi đen, 3 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi. Tính xác suất lấy được 1 viên bi trắng, 1 viên bi đen, 1 viên bi đỏ.

A. $\frac{1}{210}$ .

B. $\frac{3}{80}$ .

C. $\frac{9}{40}$ .

D. $\frac{1}{35}$ .

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 19:

Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm hai chữ số khác nhau?

A. 25.

B. 9.

C. $20$ .

D. 10.

Xem đáp án

Đáp án C

Lời giải :

+ Mỗi số có 2 chữ số khác nhau được lập từ 5 chữ số là chỉnh hợp chập 2 của 5

$\Rightarrow A_{5}^{2} = 20$

Câu 20:

Từ các chữ số 1, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau?

A. 24.

B. 64.

C. 256.

D. 12.

Xem đáp án

Đáp án A

Giải.

Số cách lập là 4.3.2.1 = 24.

Câu 21:

Gọi là đa giác đều 4n đỉnh nội tiếp trong đường tròn tâm $O (n \in ℕ^{*})$ và X là tập hợp các tam giác có ba đỉnh là các đỉnh của đa giác. Chọn ngẫu nhiên một tam giác thuộc tập X. Biết rằng xác suất chọn được một tam giác vuông thuộc tập X là $\frac{1}{13}$ . Giá trị của n là

A. 9.

B. 14.

C. 10.

D. 12.

Xem đáp án

Đáp án C

Gọi $A$ là biến cố: “Chọn được tam giác vuông”

Đa giác đều 4n đỉnh nội tiếp trong đường tròn tâm $O$ có 2n đường chéo qua tâm $O$ .

Mỗi tam giác vuông tạo bởi hai đỉnh nằm trên cùng một đường chéo qua tâm $O$ và một đỉnh trong $4 n - 2$ đỉnh còn lại.

Suy ra số tam giác vuông được tạo thành là $C_{2 n}^{1} . C_{4 n - 2}^{1} .$

Câu 22:

Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các số 1, 3, 5, 7, 9. Tính xác suất để tìm được một số không bắt đầu bởi 135.

A. $\frac{59}{60}$ .

B. $\frac{1}{6}$ .

C. $\frac{5}{6}$ .

D. $\frac{1}{60}$ .

Xem đáp án

Đáp án A

Lời giải

Số phần tử không gian mẫu là: $n (Ω) = 5! .$

Gọi $A$ là biến cố “số tìm được không bắt đầu bởi ”.

Thì biến cố $A$ là biến cố “số tìm được bắt đầu bởi ”

Buộc các số lại thì ta còn 3 phần tử. Số các số tạo thành thỏa mãn số đứng đầu là 1.2.1 = 2 cách

Câu 23:

Từ các chữ số 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số

A. 16.

B. 120.

C. 24.

D. 256

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 24:

Xét tập hợp A gồm tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số từ A. Tính xác suất để số được chọn có chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng trước (tính từ trái sang phải)?

A. $\frac{1}{216}$ .

B. $\frac{3}{350}$ .

C. $\frac{74}{411}$ .

D. $\frac{62}{431}$ .

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 25:

Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newtơn của $P (x) = {(x^{2} + \frac{1}{x})}^{15}$

A. 4000.

B. 2700.

C. 3003.

D. 3600.

Xem đáp án

Đáp án C